Vektor satuan
Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas vektor yang yang ternormalisasi, ternormalisasi, yang berarti Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya bernilai 1. Umumnya dituliskan dalam menggunakan topi (bahasa Inggris: Hat ), ), sehingga: dibaa !u"topi! (#u"hat#). $uatu vektor ternormalisasi dari suatu vektor u bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan u, yaitu:
di mana %%u%% adalah norma (atau panjang atau besar) dari u. Isitilah vektor ternormalisasi kadang"kadang digunakan sebagai sinonim dari vektor satuan. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan huruf tebal) adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu
Di sini
adalah vektor yang dmaksud dan
adalah besarnya. besarnya.
&ektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. 'ambang vektor satuan bermaam"maam. bermaam"maam. Di sini akan digunakan simbol .
Contoh Soal 6:
Jawab: panjangnya 1)
. pakah vektor adalah vektor satuan*
1. +aka adalah vektor satuan (karena (karena
erdapat vektor vektor dimana - /j 0k.entukan 0k.entukan vektor vektor satuan Contoh soal 7: erdapat yang searah dan sejajar dengan vektor . a2ab:
entukan panjang vektor $yarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positi3. . ... (i) $yarat ini juga dipenuhi untuk 4panjang4 vektor. adi: . 5anjang vektor satuan adalah 1. adi: 1 . +aka, . $ubtitusikan nilai ini di persamaan a2al, maka didapat:
.
Cross Product Kita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam perhitungan sudut dan vektor proyeksi. Keistimewaan dot terletak pada yang membuat perkalian vektor bersudut 900akan bernilai nol, sehingga mempermudah perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross product? Cross ( !roduct adalah bentuk perkalian antara " vektor yang akan menghasilkan vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor itu di dalam dimensi #, yang dide$inisikan dalam rumus% & di sini
.
.
.
adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus dengan vektor
. 'pa hasil dari cross product itu? hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor . Kenapa bisa begitu? ni karena pengaruh perkalian vektor)vektor satuan dan . *ntuk lebih +elasnya, bisa dilihat di bagian karakteristik cross product. ementara, +ika kita ingin mengskalarkan cross product, maka unsur maka rumusnya men+adi% &
.
dapat kita hilangkan,
.
-i sini, kita tahu bahwa . . adalah rumus Luas +a+argen+ang. ah, ternyata kita bisa mencari luas +a+argen+ang dari sudut pandang vektor/
Mengapa cross product dapat menghasilkan vektor sedangkan Dot Product tidak? ebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor +ika dikalikan lagi dengan vektor satuan. 1amun, dot product senga+a tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor yang banyak digunakan (mencari sudut dan vektor proyeksi. Lalu, +ika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersi$at dinamis.
ementara itu, cross vektor +uga sebenarnya bisa +ika dide$inisikan sebagai ini sa+a% . . karena bisa diaplikasikan dalam mencari luas +a+argen+ang. 1amun, $ungsi ini masih terlalu sederhana (bagaimana kita mende$inisikan dengan , tentunya nilai keduanya harus berbeda dan tidak mungkin kita mende$inisikan keduanya adalah 2 meskipun keduanya tegak lurus. *nsur pada cross vektor sungguh 3mempesona3. !ada saat sudut yang 0 dibentuk adalah 90 (yang berarti hasil sin)nya adalah 2, maka kita dapat memodi$ikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal (tegak lurus kedua vektor, berbeda +ika kita menggunakan cos pada dot product. ni +uga bisa memberikan solusi bagi nilai dengan (sebagai contoh supaya tidak sama. Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja? *ntuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus +uga. Lalu, di dimensi 4, bisakah kita menemukan 4 vektor yang saling tegak lurus?
ebenarnya di dimensi ", cross product bisa sa+a kita gunakan karena dimensi " adalah bagian dari dimensi #. 1amun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas tidak dapat digunakan di dimensi ". Karakteristik -i dimensi
#
terdapat
#
Cross vektor
basis
sebagai
, karena
!roduct berikut.
& , & , dan & 5ektor yang tegak lurus ada " arah (berlawanan. upaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan aturan tangan kanan. ni dilakukan supaya hasilnya 33konsisten33 dan 33universal33. 6adi, ini semacam aturan umum sa+a. (ebenarnya +ika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang tegak lurus +uga, namun hasilnya negati$. ebenarnya, ini boleh sa+a dilakukan.
esuai
dengan
de$inisi
& & &
atas,
maka
didapat
(karena
& & 7erlihat
))))) bahwa
perkalian
ekarang & &
di
karakteristik
sebagai
berikut. 00
sudutnya
& & cross
kita
)))) product
tidak
coba
& & bersi$at
komutati$..
mengoperasikan 8
8
8
8 &( 8 & ( &&&&& &&&&&
8 8 ( (
( ( 8 8
8 8 ( (
8
( 8 8
8 ( (
8
& . 8 . 8 ( 8 &&&&& ( 8 . 8 . 8 &&&&& . 8 ( 8 & ( ( 8 ( (upaya dapat lebih mudah dibaca 3dan dihapal3, kita gunakan konsep determinan
& (gunakan cara arrus untuk mencari determinan ordo ## :aka, akan didapat vektor yang tegak lurus dan . Contoh -i
& 6awab%
Soal
,
dan
terdapat
&
vektor
.
7entukan
dan
dan
15 .
.
& ( Determinan
& dapat
3x3
di
& atas dapat
& lihat
kita
diselesaikan
& cara
dengan
Sarrus
biasa..
& bahwa%
&
)(
Contoh Soal -ari contoh soal 2;, berikan ; contoh vektor yang tegak lurus dengan vektor 6awab%
.
1! dan vektor /
Kita sudah menemukan " vektor yang tegak lurus, yaitu% , dan .
Kalikan
dengan
,
maka
Kalikan
dengan
#,
maka
hasilnya%
hasilnya%
&&=
ini
&&=
Kalikan dengan ", maka hasilnya &&= 7entunya, akan ada banyak +awab. ntinya, kita cukup mengalikan apapun... Contoh
contoh
ini
yg
ke)#
contoh
ke)4
ini contoh ke); dengan konstanta
Soal
7entukan persamaan bidang yang melalui titik (0,2," dan terdapat vektor
di
bidang
1"
dan
itu/
6awab% !ertama, tentukan dulu (kita sudah mendapatkannya di soal nomor 2; 1ah, itulah yang disebut dengan vektor normal. 5ektor normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang. (kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis. 1ah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang berikut% pers. bidang%
Kita sudah mendapat salah 2 contoh vektor normal di contoh nomor 2>, yaitu ubstitusikan nilai # di n2, > di n", dan ); di n#. :aka, persamaan bidangnya men+adi%
.
7entukan " vektor yang terletak pada bidang. -i sini, kita mencari vektor (
&
dan
. lain.
&
& & ekarang kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya? @a, menggunakan cross product//
&
&
ekarang tinggal memasukkan nilai)nilai itu ke persamaan bidang% :asukkan n2&"0 , n"&)"0, n# & 20
&
1ah, sekarang masukkan titik yang terletak pada bidang. 7erserah kalian ingin memasukkan titik ', atau <, ataupun C, karena semua titik akan menghasilkan hasil yang sama. -i sini, kita masukkan titik ' (0,2,)#.
$i3at"$i3at 6husus 7ross 5rodut 6ita sudah tahu bah2a ross dan dot produt memilii si3at distributi3. 'alu, bagaimana jika sudutnya 8. entu kita sudah tahu. Di sini, dibahas si3at"si3at yang tidak diberikan seara ekspliit (dan juga jarang terpakai): 1. 9 Untuk +embutikannya, ukup jabarkan ruas kiri. 'alu ubah menjadi 9. -.
