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ANALISIS VECTORIAL I
1.- VECTOR Es un ente matemático que sirve para representar a las magnitudes de carácter vectorial como por ejemplo: la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc. Los vectores pueden presentarse de dos maneras:
(I) GRAFICAMENTE: se le representa mediante un segmento de recta orientado, asi por ejemplo:
Definimos los puntos P y Q en función de sus coordenadas: P (x 1 ; y Q (x 2 ; y 1) 2)
PQ Q P
PQ (x 2 ; y 2 ) (x 1; y 1 )
PQ (x 2 x1
Restando:
y ; 2 y 1 )
A partir de la ecuación cartesiana podemos hallar las características del vector:
PQ
Modulo:
(x 2 x 1 )2
2 + y 2( ) y1
y 2 y 1 arctg Dirección ( ) : x x 2 1
PROBLEMAS 1 1.- Determinar el modulo, la dirección y el sentido del vector: A (12 ; 5)
2.- Determinar el modulo, la dirección y sentido
del vector: 2 A 3B , sabiendo que:
A (2 ;5) ; B (3 ;4)
3.- Determinar el modulo, dirección y sentido del
Elementos:
a) Módulo: Es la medida o longitud del vector. b) Dirección: Es el ángulo " " que se forma. c) Sentido: Representa la flecha del vector. d) Línea de Acción (L1 ): Es la línea recta donde se encuentra contenido el vector.
vector: vector:
A 3 B sabiendo que el modulo del A B es 25 unidades y además:
(3 ;8) A (p ;1) ; B
4.- sabiendo que el modulo y la dirección del
vector A B son 25 unidades y 53º respectivamente. Hallar el modulo, la dirección y
;6) el sentido del vector A 4 B , siendo: A (p
). e) Línea Horizontal (L2 ): Es la línea recta que y B (4 ; q sirve para dar la dirección ( ) al vector.
(5 ;7) y 5.- sabiendo que: A (4;8); B (2 ; 3) . Determinar el valor de “ K”, a partir representar a través de ecuaciones cartesianas C
(II) MATEMATICAMENTE: se le puede
(en el plano o en el espacio) y/o ecuaciones de la siguiente expresión: matriciales en general. A B C K C 2A 3B
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2.- CLASIFICACION DE VECTORES
h) VECTORES COPLANARIOS: Son vectores que se encuentran en un mismo plano
a) VECTORES PARALELOS: Son los que
a
poseen la misma dirección.
c
b
a
a
P
b
b
i) VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos
cuyas líneas de acción se cortan (concurren) en un PARALELOS ANTI-PARALELOS punto común b) VECTORES OPUESTOS: Son dos vectores a opuestos de igual magnitud, de igual dirección y sentido opuesto. b a j)
2.- OPERACIONES CON VECTORES: Método del Polígono:
b
El método consiste en graficar a los vectores c) VECTORES COLINEALES: Son vectores dados uno a continuación del otro y el vector que están sobre una misma línea de acción resultante se obtiene partiendo del origen y se dirige al extremo del último. L b a
d) VECTORES EQUI VALENTES: Dos vectores son equivalentes si tienen igual dirección sentido y modulo El orden de dibujar a los vectores A , B y C no a interesa, pues la resultante siempre será la misma.
b
Polígono
cerrado:
Es los vectores e) VECTORES IGUALES: Dos vectores que cuando tienen la misma dirección, sentido, magnitud o graficados cierran la figura, los vectores deben modulo y punto de aplicación orientarse en forma horaria a o antihoraria; por lo tanto b su resultante es nula. f) VECTOR NULO: Es aquel vector donde todos Métodos Analíticos: Son aquellos en los cuales sus componentes son cero (0) ó valen cero (0) para determinar la resultante es necesario hacer g) VECTORES UNITARIOS : Es todo vector uso de ecuaciones matemáticas, las cuales cuya magnitud es uno, i ; j ; k son un conjunto contienen funciones trigonométricas.
de vectores unitarios asociados con los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente y orientados A) Método del Triángulo: Se tienen los vectores A , B y C hacia los semiejes positivos Sus módulos: A, B y C Z k Sus ángulos: α, β, γ a
U a
X i
Y j
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Para determinar un módulo o un ángulo se puede aplicar; A
La Ley de Senos:
sen
B sen
R X 3
C
sen
B) Método del Paralelogramo:
Cuando dos vectores A y B de módulos A y B a forman un ángulo " α".
R X 2
Es decir: Datos: A, B, α Incógnita: R R A B A B
R X
El módulo de la resultante:
R
A B 2 AB cos 2
2
B sen arctg A B cos
· Cuando dos vectores tienen igual módulo. la resultante es bisectriz.
CASOS PARTICULARES:
R 2X cos
· Cuando a es igual a 0°, los vectores son paralelos y del mismo sentido. Entonces se obtiene la resultante máxima. RMAX A B
· Cuando dos vectores tienen módulos con un divisor común “ n”
· Cuando α es igual a 180°, los vectores son paralelos y de sentido contrario. Entonces se obtiene la resultante mínima. El sentido del vector resultante, es el mismo que el del vector del mayor módulo. R n A2 B 2 2 AB cos
RMIN A B
· Cuando el ángulo es igual a 90° los vectores · Cuando se requiere calcular el módulo del son perpendiculares vector diferencia D. entonces: R
A2 B2
D AB
A2 B2 2 AB cos
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MÉTODO DE LA DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR:
3.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:
Se emplea cuando se requiere determinar el módulo y la dirección de la resultante de un conjunto de vectores concurrentes y coplanares. 4.- hallar la intensidad del vector resultante del Este método consiste en: siguiente grupo de vectores: • Trasladar todos los vectores a un plano cartesiano, haciéndolos concurrir en el origen de coordenadas. 5.- hallar la intensidad del vector resultante del • Descomponer todos los vectores que van a siguiente grupo de vectores: sumarse, en sus componentes rectangulares. Para ello hay que auxiliarse de las funciones trigonométricas. 6.- hallar la intensidad del vector resultante del siguiente grupo de vectores:
7.- Hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores: • Sumar algebraicamente los componentes en cada eje separadamente, considerando positivos los componentes que señalan hacia arriba o derecha, y negativos los que señalan hacia abajo o izquierda. 8.- hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores: Vx y Vy se determinará el • Conociendo módulo de la resultante y su dirección.
9.- hallar el módulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:
PRACTICA EN CLASE 1.- Hallar el módulo del vector resultante del siguiente conjunto de vectores:
10.- hallar el modulo del vector resultante del siguiente grupo de vectores:
2.- Hallar la magnitud del vector resultante del siguiente conjunto de vectores:
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PRACTICA DOMICILIARIA
8.- un bote a motor se dirige hacia el este con
una velocidad de 10m/s. Si la corriente marina 1.- Calcular la magnitud del vector resultante tiene una velocidad de 4m/s. en la dirección N60ºE. ¿Cuál será el valor de la velocidad del siguiente sistema de vectores: resultante del bote?
9.- Si: A 20; encontrar la resultante. ,30 B
2.- determinar la resultante para los vectores dados:
a 20; b 12; c
5;d 7
10.- determinar el modulo de la resultante, si:
A B 8; C
4
3.- Dos vectores de la misma magnitud (4u) están formando un ángulo de 60º. Determinar el modulo de la suma de ambos vectores.
4.- determinar la resultante para los vectores dados, siendo:
a 10; b 2; c
11.- Calcular el modulo de la resultante, si . 4 a 3; b
4;d 3
12.- en la figura D= 20 y C= 40. Determinar su resultante.
5.- hallar la resultante de:
, encontrar 5 B la resultante. 6.- En la figura D= 12 y C= 5 determinar su 13.- Si: A 3; resultante:
7.- Calcular el modulo de la resultante de los vectores mostrados:
14.- determinar el modulo de la resultante, si:
A B 4; C
8
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PRACTICA EN CLASE > Los vectores x, M y D son coplanares. ( ) > En los siguientes ejercicios colocar verdadero Los o vectores x y D no son coplanares.. ( ) falso (F), según corresponda: > Los vectores M y D son coplanares........ ( ) > Los vectores A, E, , x, y D son coplanares ( ) 1.- Dados los vectores: > Los vectores A, E y c son concurrentes... ( ) > Los vectores x, M , D son concurrentes.... ( ) > Los vectores x y D son paralelos............. ( ) > Los vectores A, b y D son paralelos ( )> Los vectores A y c son iguales.................. ( ) > Los vectores A y D son paralelos ( ) > Los vectores A y D son opuestos............ ( ) > Los vectores b y D son paralelos ( ) > Los vectores A y D son opuestos ( ) 5.- Los vectores mostrados son: > Los vectores b y D son iguales ( ) > Paralelos ( ) > Coplanares ( ) 2.- del siguiente conjunto de vectores: > Iguales ( ) > Opuestos ( ) PROBLEMAS DE VECTORE
PROBLEMAS > Los vectores A, b y D son paralelos ( ) 1.- Si el módulo de la resultante máxima de dos > Los vectores A y D son paralelos ( ) vectores es 24u y al mínima es de 8u, hallar el > Los vectores b y D son paralelos ( ) modulo de la resultante cuando los vectores formen > Los vectores A y D son opuestos (120°. ) > Los vectores b y D son iguales ( ) a) 8 2 b) 8 3 c) 8 5 d) 4 3 e) 4 5
3.- sabiendo que los módulos de los vectores A,
b, D y E son iguales a 2cm. Y que el modulo del 2.- Hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados en la figura A = 4; B = 5. vector c es 1cm. a) 65 b) 3 5 c) 3 7 > Los vectores A y D son iguales ( ) d) 3 > Los vectores b y D son opuestos ( ) e) N.A. > Los vectores A y c son iguales ( ) > Los vectores A y E son opuestos ( ) Hallar el ángulo " " de manera que la 3. > Los vectores b y D son opuestos ( ) resultante de los vectores mostrados sea cero.
4.- Se muestran dos planos con vectores.
a) 30° b) 37° c) 45° d) 53° e) 60°
, hallar el 4.- si 3A 2B 30u y 2A 3B 25u
modulo de 7 A 4B . a) 70u b) 50u c) 30u d) 15u > Los vectores A, E, b y c son coplanares. ( ) e) N.A. Los vectores A, E y b son coplanares… ( ) > > Los vectores A, E, b y x son coplanares ( )
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PROBLEMAS UNI
5.- determinar el vector X en función de los
vectores A y B .
b) (2 A 3B )/ 5
c) (3 A 2B )/ 5
d) A B
B C B C a) A b) A 2 2 B C B C c) A d) A 3 4
figura es un hexágono regular)
a) ( A B )/5
1.- exprese el vector A en términos de B y C (la
e) (3A 2B )/5
6.- Determinar la medida del ángulo
PROBLEMA N-1 Sem. CEPRE-UNI
sabiendo En el sistema de vectores sobre el hexágono de 4 m
que e! modulo de la resultante de los vectores de lado mostrado en la figura, determine el módulo de la resultante. mostrados es 103 .(AB= BD= 3 y BC= 1). A) 20 m B) 1 a) 30° b) 37° C) 24 m D) 8 c) 45° d) 53° E) 32 m e) 60° " para que la resultante cié 7.- Halle el ángulo " los vectores mostrados sea igual a 7, si además AB= 6 y BC= 10 (M y N son puntos medios). a) 60° b) 57° c) 45° d) 37° e) 30°
PROBLEMA N* 2 Sem. CEPRE-UNI
Dado el conjunto de vectores que se mue determinar el vector R en términos del vector E . Si R A B C D E a) E b) - E c) 2 E d) -2 E e) 0
8.- Hallar la resultante y su módulo de los vectores PROBLEMA N a3 Sem. CEPRE-UNI mostrados en la figura. (B= H= 4; D= G= 6). a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
La figura muestra un tetraedro regular de 2 m de lado, halle el módulo de la resultante de todos los vectores mostrados. A) 2 m B) 4 m C) cero D) 1
PROBLEMA N s4 Sem. CEPRE-UNI
En el sistema de vectores mostrados, de termine la , magnitud de: R A B C D E F G 9.- En la figura determinar el vector suma C y D en la función de A y B . si se sabe que :
a) (2 A B )/3
b) 2(2A B )/3
c) 2(2A B )/3
B E G y A G 10u A) 10 u B) 20 u C) 80 u D) 40 u E) cero
d) (2A B )/2
e) (2 A B )/3
PROBLEMA N s6 Sem. CEPRE-UNI 98-1
Hallar el módulo del vector 10.- Hallar el módulo de la resultante de los resultante del sistema de vectores que se muestra en vectores mostrados en el hexágono regular de la figura. Si: a = 3u y lado 2u. e = 2u. a) 8u A) 5u B) 7u b) 12u C) 10u D) 13u c) 12u d) 20u E) 15u e) 4u
