V Euklidov postulat i geometrija Lobacevskog

Univ Univerz erzite itet t u Niˇ su su ˇki fakultet Prirodno Prirodno - matema matemati ticki c akultet Depar Departman tman za matema matematiku tiku

V Euklidov postulat i geometrija Lobaˇ cevsko kog g Master Master rad

Mentor: Prof. dr Mića Stanković

Niˇs, s, Septe Sep tembar mbar 2013 2013..

Student: Jasna Milićević

Sadrˇ za j 1 Istorijski pregled razvo ja geometrije

1.1 1.2 1.2 1.3 1.3

4

Razvoj geometrije do Euklida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Eukl Eu klid id,, mate matema mati tiˇˇcar c ar star staree Grˇ Grˇcke c ke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Rev Revoluc olucij ijaa geom geomet etri rije je nak nakon Eu Eukl klid idoovih vih Elem Elemen enat ataa . . . . . . . . . . 12

2 Leˇ zandrove teoreme

15

3 V Euklidov postulat

25

ˇ ivot i rad Leˇzandra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Z 2.2 Leˇzandrove teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1 3.2 3.2 3.3 3.4 3.4 3.5

Plejferova aksioma paralelnosti . . . . . . Ekvi Ekviv valen alenti ti Plej Plejfe fero rov ve aksi aksiom omee pa para rallelno elnost stii Proklov argument . . . . . . . . . . . . . . Sak Sa keri erijev i Lambe ambert rtoov po pok kuˇsaj . . . . . . . Tib o ov prividan dokaz . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4 Geometrija Lobaˇ cevskog

4.1 4.1 4.2 4.3 4.4 4.4 4.5 4.6

27 30 37 40 43 46

Gaus Gausoova teor teoriija o V Eu Eukl klid idoovom po post stul ulat atu u Doba Lobaˇcevskog i Boljaja aja . . . . . . . . Aksioma Lobaˇcevskog . . . . . . . . . . . Ugao Ugao para parale leln lnos osti ti.. Fun Funk kcija cija Loba Lobaˇˇcevs c evsk kog . 2 Parale Paralelne lne prave prave u ravni ravni L . . . . . . . . . Osobine Osobine hiperpara hiperparalel lelnih nih pravih pravih u L2 . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

46 48 51 55 59 72

5 Appendix

75

6 Zakljuˇ cak

78

1

Uvod ”Geometrija je praobrazac lepote sveta” Galileo Galilei (1564 - 1642)

ˇ Covek je oduvek bio graditelj. gr aditelj. On je pisao, a i danas dana s piˇse se svoju istoriju. Njegova Njegova dela od najjednostavnijeg najj ednostavnijeg do najsavr na jsavrˇˇsenijeg, senijeg, kao da upućuju cuju izazov vremenu. vr emenu. To je, u stvari, stvari, jedna jedinstveno jedinstveno duga i vekovi vekovima ma neprekidna neprekidna priˇ ca. ca. Ostvariti Ostvariti zamisao, zamisao, realizovati plodove uma - oduvek je ljudima predstavljalo pravi smisao postojanja. Ali, svaka svaka naˇ naˇsa sa ideja vredi samo onda kada je prihv prihvate i drugi i daju svoj doprinos da se ona pretvori u vidljivu i opipljivu stvarnost. Upravo je Euklid stvorio takvo delo, delo koje koj e je teˇsko sko nadmaˇsiti. siti. Već viˇse se od dve hiljade godina Elementi sluˇze ze kao matematiˇ matem atiˇcka cka biblija, biblij a, to je zaduˇzbina zbina aksiomatskog omatskog metoda i izvor izvor deduktivnog znanja. znanja. Euklidov Euklidovoo delo odliku o dlikuje je se lepotom ravnom onoj iz Biblije iz Biblije . Svojom knjigom Elementi knjigom Elementi , Euklid je otvorio prozor kroz koji se otvorila otvoril a priro p riroda da naˇseg seg sveta. Sve vreme borbe protiv petog Euklidovog postulata ( sve do XIX veka ), u isto vreme se verovalo verovalo u njegovu istinitost. Velika elika je ideja koja ko ja je Lobaˇcevskog cevskog i Boljaju doˇsla sla na um da moˇzda zda negde ne vaˇzi zi Euklidov peti p eti postulat. Reklo bi se kao da je to pitanje pita nje vere, u koje ko je tvrd¯enje verovati. Prihvatiti Prihvatiti Euklidov peti p eti postulat p ostulat ili verovati da on ipak ne vaˇzi, zi, bilo je pitanje na koje se dugo godina nije mogao prona´ pronaći ci odgovor. Danas Dan as Euklido Euklidov v peti postulat postulat stoji nepokoleb nepokoleblji ljivo vo.. Seciran Seciran veko vekovim vima, a, ostao ostao je kao pravi temelj jedne geometrije stvorene joˇs u antiˇ cko cko vreme. Zahvaljuju´ Zahvaljujući ci Euklidu vekovima su matematiˇ mate matiˇcari cari imali ˇsta da rade i to t o ˇsto sto su godine god ine prolazile prola zile bivali je sve ve´ ci ci izazov raditi na tako naizgled jednostavnoj stvari. Istorija Euklidovog petog postulata je joˇs jedna potvrda toga da su sve velike misli nastale jednostavno. Elementi zajedno sa drugim radovima, radovima, svrstav svrstavaju Euklida Euklida u nauˇ cnika cnika sa bogatim stvaralaˇ stvar alaˇckim cki m darom. dar om. U ovom radu, rad u, opisa´ o pisaćemo cemo istorijiski razvoj raz voj geometrije od nastanka Euklidovog pep etog postulata, pa sve do stvaranja stvaranja nove nove geometrije, geometrije, tzv. geometrije geometrije Lobaˇ cevskog. cevskog. Daćemo cemo detaljan detal jan opis o pis rada r ada mnogih m nogih matematiˇ mate matiˇcara cara na dokazu do kazu V postul p ostulata, ata, kao i ideje idej e pojedinih po jedinih da pomenuti postulat zamene tvrd¯enjem koji bi ga negirao. Rad je tematski podeljen na 3 celine. U prvoj glavi glavi da´ cemo cemo istorijski osvrt na nastanak i razvoj geometrije geometrije sve do vremena Euklida. Euklida. U nastav nastavku ku istorij istorijsk skog og razvoja razvoja geometri geometrije je akcena akcenatt je stavlj stavljen en na 2

ˇ SADRZAJ Euklidove Elemente , kao i njegov njegov ˇcuveni cuveni V postulat. Nakon Nakon toga izlaˇ izlaˇzu zu se ideje upotpunjavanja Euklidovih Elemenata Euklidovih Elemenata , pre svega rad Arhimeda, a zatim se uvodi Hilbertov sistem aksioma. Boljaj i Lobaˇcevski cevski su radeći ci na V Euklidovom postulatu doˇsli sli na ideju da ga zamene aksiomom koja ko ja bi ga negirala i na taj ta j naˇcin cin uvode uvo de novu n ovu geometriju. geometriju. O tome je u ovoj ovoj glavi glavi data samo uvodna reˇc. c. U drugoj drugo j glavi, pored kratkog pregleda ˇzivota zivota i rada francuskog matematiˇcara cara Leˇzandra, zandr a, dokazuju se znaˇcajne ca jne Leˇzandrove zandr ove teoreme, teor eme, koje će ce kasnije imati veliku ulogu u dokazu teorema teo rema geometrije Lobaˇcevskog. cevskog. Pored uvod¯enja Plejferove akisome paralelnosti, kao jednog od ekvivalenata ekvivalenata petog Euklidovog postulata, u trećem cem delu rada, navode se i dokazuju joˇs neki, znaˇcajni ca jni ekvivalenti. Priˇca ca o V postulat pos tulatu u se s e zatim z atim nastavlja nastavlj a bezusp b ezuspeˇ eˇsnim snim pokuˇsajima sa jima mnogih matematiˇ matematiˇcara cara da ga dokaˇ dokaˇzu. zu. U radu je konkretno konkretno predstavljen predstavljen rad Sakerija Sakerija i Lamberta, kao i rad Tiboa. U ˇcetvrto cetvr tojj i poslednj pos lednjoo j glavi g lavi reˇ r eˇc je j e o novouvedeno j geomet g eometriji, riji, geometriji geome triji Lobaˇcecevskog. Najpre Na jpre se zapoˇ za poˇcinje cinje radom rado m znamenito zna menitogg matematiˇ mat ematiˇcara cara Gausa. Gausa . Zatim se izlaˇ iz laˇze ze ideja Boljaja Bolja ja i Lobaˇcevskog cevskog o zameni V postulata, postulata , tj. Plejferove aksiome paralelnosti tvrd tvr d¯enjem enj em koje ko je će ce ga negira neg irati. ti. Nakon uvod uvo d¯enja enj a aksiom aks iomee Lobaˇ Lob aˇcevskog cev skog,, obrad obr ad¯uju se neki osnovni po p o jmovi i tvrd¯enja hiperboliˇ hiperb oliˇcke cke geometrije, ge ometrije, pre svega uvodi uvo di se po jam ugla paralelnosti i funkcije Lobaˇcevskog, cevskog, a zatim se ispituju osobine paralelnih i hiperparalelnih pravih u ravni Lobaˇcevskog. cevskog. Posebno bih uputila u putila zahvalnost svom mentoru, me ntoru, prof. prof . dr Mi´ M ići ci Stankovi´ St ankoviću, cu, koji mi je svojim primedbama i sugestijama pomogao pri izradi ovog rada.

3

Glava 1 Istorijski pregled razvoja geometrije 1.1

Razvoj geometrije do Euklida

Geometrijom su se ljudi poˇceli baviti joˇs u najranijoj istoriji. O tome svedoˇce raznovrsni tragovi iz dalekih vremena i drevnih civilizacija. Velike grad¯evine i piramide starih Egipćana dokazuju da su oni morali dobro poznavati geometriju, jer je takve grad¯evine nemoguće podići bez prethodnih merenja i geometrijskih izraˇcunavanja. Naziv ”geometrija” (merenje zemljiˇsta) naˇcinjen je od grˇckih reˇci i potiˇce od starih Grka koji su znali da su egipatska geometrijska znanja nastala iz praktiˇcnih potreba premeravanja zemljiˇsta. Velika egipatska reka Nil nanosila je svake godine svojim poplavama velike koliˇcine mulja. Taj mulj je kao prirodno d¯ubrivo blagotvorno uticao na plodnost zemljiˇsta, a uz to je brisao med¯e izmed¯u pojedinih zemljiˇsnih parcela. Stoga je posle svake poplave trebalo ponovo premeravati zemljiˇste i pronalaziti med¯e izmed¯u zemljiˇsnih parcela. U tom periodu geometrija se razvijala kao induktivna nauka. Egipćani su razvili induktivan metod zakljuˇcivanja - od pojedinaˇcnog ka opˇstem. Kada su negde u VI veku pre nove ere vodeću ulogu u nauci i kulturi preuzeli Grci, geometrija poˇcinje da se razvija jednim potpuno novim putem koji će vremenom da se odrazi i u drugim nauˇcnim oblastima. U to vreme nastaje u Grˇckoj privredni i kulturni procvat koji je postao znaˇcajan za razvoj ˇcitavog antiˇckog druˇstva. Znanja geometrije, prihvaćena iz egipatske zaostavˇstine, Grci dalje dopunjuju i proˇsiruju. No, njihovo veliko znaˇcenje, nije samo u tome. Vaˇznije je ˇsto su grˇcki matematiˇcari toga doba otkrili novu metodu izgradnje geometrije, metodu koja se danas zove deduktivna ili aksiomatska . Ona je sve do sada ostala znaˇcajna metoda geometrijskih istraˇzivanja i osnovna metoda nauˇcne obrade rezultata tih istraˇzivanja. Otkriće te metode smatra se jednom od najvećih tekovina matematiˇcke misli. Nije nastala odjednom, nego je rezultat predanog rada uˇcenjaka mnogih generacija. Do tog naˇcela, kaˇzu, prvi je doˇsao antiˇcki filozof Tales1 . Tales je putovao u Egipat i tamo od sveˇstenika upoznao njihove geometrijske i astronomske zakljuˇcke o zbiru 1

Tales (624-547 p.n.e.), poznat kao Tales iz Mileta, antiˇcki matematiˇcar

4

GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE uglova u trouglu, o upisanom krugu u trougao itd. Njegovi spisi, ukoliko su uopˇste i postojali, do nas nisu dospeli, te se ne moˇ ze pouzdano re´ ci koja je geometrijska tvrd¯enja on uspeo da dokaˇze. Istoriˇcar geometrije Eudem iz IV veka pre n.e. pripisivao je Talesu dokaz drugog stava podudarnosti trouglova, stava o jednakosti uglova na osnovici jednakokrakog trougla i njemu obratnog tvrd¯enja, stava o med¯usobnoj podudarnosti pravih uglova, stava po kojem je periferijski ugao nad preˇcnikom bilo kojeg kruga prav ugao i stav po kojem svaki dijametar kruˇzne povrˇsi razlaˇze tu povrˇs na dva podudarna dela. Koristeći sliˇcnost jednakokrako pravouglih trouglova odredio je, kaˇzu, visinu Keopsove piramide, a pomoću podudarnosti trouglova uspeo je da odredi udaljenost usidrenog broda od morske obale. Naˇcelo dokazivanja geometrijskih tvrd¯enja u mnogo većoj meri poˇceo je da sprovodi znameniti starogrˇcki filozof i matematiˇcar Pitagora2 . Upoznavˇsi se već u mlad¯im godinama sa uˇcenjem Talesa, Pitagora je niz godina proveo u Egiptu i Vavilonu, gde je bio u mogućnosti ne samo da se upozna, ve´ c i kritiˇcki osvrne na sve ˇsto se do tada znalo u oblasti geometrije. Po povratku u domovinu on osniva svoju ˇskolu Polukrug, ne na rodnom Samosu, već u gradu Krotonu, grˇckoj koloniji u juˇznoj Italiji. U oblasti matematike Pitagora se posebno bavio geometrijom i teorijom brojeva. Posebno je znaˇ cajna teorema o pravouglom trouglu koja danas nosi njegovo ime. Pitagori ili nekom od njegovih uˇcenika, po svoj prilici Hipasu3 , treba pripisati i teoremu o egzistenciji nesamerljivih duˇzi koja će podstaći razvoj tzv. geometrijske algebre. Obilje dokazanih geometrijskih tvrd¯enja već je bilo dovoljno da se postavi pitanje redosleda njihovog izlaganja. To je zahtevao i sam proces dokazivanja tvrd¯enja koji se sastoji u logiˇckom izvod¯enju zakljuˇcaka iz ranije poznatih tvrd¯enja, tj. tvrd¯enja koja su već dokazana ili se pretpostavljaju. Taj redosled u dokazivanju geometrijskih tvrd¯enja znaˇcio je jedno novo naˇcelo, tzv. naˇcelo sistematizacije. Prve korake u sistematizaciji geometrije naˇcinio je Pitagorin sledbenik Hipokrat sa Hiosa4 u svom delu Elementi geometrije pre dve i po hiljade godina. Smatra se da je u tom delu bilo sabrano sve ˇsto se do tada znalo u oblasti geometrije. Naˇ zalost, ovo delo nije saˇcuvano. Prve nagoveˇstaje aksiomatskog zasnivanja geometrije srećemo u atinsko j ˇskoli zvanoj Akademija istaknutog starogrˇckog filozofa Platona5 . Sam Platon eksplicitno nije se bavio matematikom, ali su njegova rasud¯ivanja u oblasti filozofije imala snaˇznog odraza i u ovoj oblasti, posebno u poimanju brojeva i geometrijskih likova. Platon je prvi poˇceo da geometrijska tela razmatra odvojeno od opaˇzajnih i ukazao na razliku koja posto ji izmed¯u nauˇcnog zakljuˇcivanja i empirijskog saznanja. Geometrijske objekte smatrao je idealnim, savrˇsenim, kakvi se ne mogu sresti u prirodi. Koji su bili principi i kakav je po Platonovom miˇsljenju bio pravi smisao aksioma i postulata ne zna se pouzdano, ali u nekim saˇcuvanim delima Platona ima mesta iz kojih se jasno naslućuje aksiomatska metoda u izgradnji bilo koje nauˇcne teorije. 2

Pitagora (oko 580-oko 500 p.n.e.), starogrˇcki filozof i matematiˇcar Hipas (IV vek p.n.e.), matematiˇ car iz Metaponta (Krotona) 4 Hipokrat sa Hiosa (V vek p.n.e.), matematiˇcar 5 Platon iz Atene (427-347 p.n.e.), antiˇcki grˇcki filozof i matematiˇcar 3

5

GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE Teorijske osnove deduktivne metode u najopˇstijoj formi razvio je najdarovitiji Platonov uˇcenik, genijalni starogrˇcki filozof Aristotel6 . U viˇse svojih rasprava logiˇckog karaktera, koje su negde sredinom I veka pre n.e. od strane istaknutog peripatetiˇcara Andronika sabrana u poseban kodeks pod nazivom Organon, kao i u raspravi Metafizika Aristotel je pokuˇsao da na svojevrstan naˇcin nauˇcno razotkrije opˇste zakonitosti deduktivnog zakljuˇcivanja. Osnovne principe, tj. osnovna tvrd¯enja na kojima se zasniva deduktivna teorija, Aristotel je takod¯e razvrstavao na aksiome i postulate. Po njegovom miˇsljenju aksiome treba da budu osnovna tvrd¯enja opˇstijeg karaktera, tj. tvrd¯enja koja se prihvataju bez dokazivanja, a koja vaˇze ne samo u jednoj, ve´ c u dvema ili viˇse nauˇcnih teorija. Naprotiv, postulati treba da budu osnovna tvrd¯enja specifiˇcnog karaktera, tj. tvrd¯enja koja se prihvataju bez dokazivanja i koja vaˇze iskljuˇcivo u toj nauˇcnoj teoriji. Aristotel je smatrao da aksiome i postulati moraju predstavljati tvrd¯enja koja su do te mere opˇstepriznata i iz svakodnevne prakse poznata da ih ne samo nije moguće, ve´ c i nije potrebno dokazivati. U takvoj teoriji istinitost izvedenih tvrd¯enja tj. teorema nije mogla podleći nikakvoj sumnji, pa se nije mogao ni nametati problem neprotivureˇcnosti deduktivne teorije aristotelovskog tipa.

6

Aristotel iz Stagire (384-322 p.n.e.), grˇ cki filozof

6

GLAV GLAVA 1. ISTORIJSKI ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA RAZVOJA GEOMETRIJE GEOMETRIJE

1.2

Euklid, Eukl id, matem m atematiˇ atiˇ car car stare star e Grˇ cke cke

U izgrad izgr ad¯ivanju geometri geo metrije, je, posle p osle mnoˇ m noˇstva stva dokazanih dokazani h teorema, teo rema, pojavila po javila se potreba pot reba za sistematizacijom, a kasnije i za uvod¯enjem aksioma. Jedan od prvih pokuˇsaja saja aksiomatskog zasnivanja geometrije, g eometrije, i iz tog vremena jedini saˇcuvan, cuvan, dao da o je starogrˇcki cki 7 matema mat ematiˇ tiˇcar car Euklid Euk lid iz Aleksandrije. Obrazovanje Obrazovanje je, kaˇ kaˇzu, zu, stekao u Atini kod Platonovih tonovih uˇcenik cenika, a oko oko 300. godine godine pre n. e. preˇ preˇsao sao u Aleksa Aleksandri ndriju ju da bi u tek osnovano osnovanojj ˇskoli predavao predavao geometriju. Sakupivˇsi si sve ˇsto sto se do tada znalo iz oblasti geometrije geome trije,, Euklid E uklid je pristupio pristu pio sistematiz siste matizaciji aciji te grad¯e izloˇzivˇ zivˇsi si je na bazi osnovnih formulacija - aksioma u svojim znamenitim knjigama Elementi knjigama Elementi .

Slika 1.1: Euklid, poznat i kao Euklid iz Aleksandrije Euklidovi Elementi Euklidovi Elementi , po p o nekim procenama je knjiga koja je, osim Biblije, doˇzivela zivela najveći ci broj izdanja u celoj zapadnoj civilizaciji civilizaciji.. Njeno prvo ˇstampano stampano izdanje pojavi po javilo lo se 1482. godine, a iza toga bilo je joˇ joˇs preko hiljadu izdanja. Su Suˇˇstinska stinska karakteristika karakteristika koja ovu knjigu ˇcini cini tako slavnom, je njen jednostavan i logiˇcan can sled teorema teor ema i proble p roblema. ma. Logiˇcka cka struktur str ukturaa ove knjige uticala utica la je na nauˇcnu cnu misao ˇcitavih citavih 2000 godina, god ina, viˇse se nego bilo koje drugo nauˇcno cno delo. Elementi delo. Elementi se se sastoje iz 13 knjiga. Veliki deo geometrije geome trije koji koj i se nalazi nalaz i u danaˇsnjim snjim udˇzbenicima zbe nicima matematike, matem atike, praktiˇ prakt iˇcno cno je preuzet iz prvih ˇsest knjiga Elemenata knjiga Elemenata . To je, zapravo, najstarije na jstarije nauˇ na uˇcno cno delo de lo koje ko je je joˇs uvek u upotrebi. Prvu knjigu Elemenata knjigu Elemenata Euklid Eu klid zapoˇ zap oˇcinje cinje nizom definicija definic ija kojima koj ima se objaˇ ob jaˇsnjavaju snjavaju prvi geometrijs geome trijski ki po p o jmovi kao ˇsto sto su s u taˇcka, cka, prava, rav r avan, an, ugao, krug i dr. Na osnovu osn ovu prevoda Euklidovih Elemenata Euklidovih Elemenata koji ko ji je uradio uradi o Anton Bilimović, c, u nastavku nastavk u ćemo cemo navesti sve definicije iz ovog dela.

7

Eukli Euk lid d (grˇ ( grˇcki: ck i: Eυκλιδς ), ), rod¯en oko 300. godine p.n.e., poznat i kao Euklid iz Aleksandrije, anti antiˇˇcki ck i mate ma tema mati tiˇˇcar ca r

7

GLAV GLAVA 1. ISTORIJSKI ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA RAZVOJA GEOMETRIJE GEOMETRIJE 1. Taˇ cka cka je ono ˇsto sto nema nem a delova. del ova. 2. Linija Lin ija je duˇzina zin a bez be z ˇsirine sir ine.. 3. Krajevi Kra jevi linije su taˇcke. cke. 4. Prava Prava je linija ona, koja za taˇcke cke na njoj pod podjednako jednako leˇzi. zi. 5. Povrˇsina si na je ono on o ˇsto st o ima samo sa mo duˇzinu zi nu i ˇsirinu sir inu.. 6. Krajevi Kra jevi povrˇsine sine su linije. 7. Ravan Ravan je povrˇsina sina koja za prave na njoj njo j podjednako po djednako leˇzi. zi. 8. Ugao u ravni je uzajamni uza jamni nagib dveju linija linija u ravni, ravni, koje se seku i koje ne leˇ ze ze u istoj pravoj. 9. Ako su linije koje obrazuju ugao prave, ugao se zove zove pravolinijski pravolinijski.. 10. Ako prav prava, koja stoji na drugoj pravoj, obrazuje sa ovom dva dva susedna jednaka jednaka ugla, svaki od njih je prav, a podignuta prava zove se normala na onoj na kojoj stoji. 11. Tup ugao je ona j, koji ko ji je ve´ ci ci od o d pravog. 12. Oˇstar star je onaj, koji je manji od pravog. pravog. 13. Granica Granic a je ono ˇsto sto je kraj kra j ma ˇcega. cega. 14. Figura Figur a je ono ˇsto je omed¯eno ili jednom jedno m ili sa viˇse se granica. gran ica. 15. Krug je ravna figura figu ra omed¯ena takvom jedinom linijom (koja se zove periferija), da su sve prave povuˇcene cene od jedne taˇcke, cke, koja ko ja se nalazi u samoj samo j figuri, prema toj to j liniji (prema periferiji kruga) med¯usobno jednake. 16. Ova taˇ t aˇcka cka zove z ove se s e srediˇ sre diˇste ste kruga. kru ga. 17. Preˇcnik cnik kruga je svaka svaka prava ˇsto sto prolazi prola zi kroz srediˇ sred iˇste ste kruga, kruga , a ograniˇ ogra niˇcena cena je sa svake strane periferijom kruga; on polovi krug. 18. Polukrug je figura ograniˇcena cena preˇcnikom cnikom i njime odvojenom odvo jenom periferijom kruga; srediˇste ste polukrug pol ukrugaa je isto kao i srediˇ sred iˇste ste kruga. kruga . 19. Pravolinijske Pravolinij ske figure su one ko je su ograniˇ og raniˇcene cene pravama; trostra tr ostrane ne su ograniˇ o graniˇcene cene sa tri, tri , ˇcetvoro cet vorostr strane ane sa ˇcetiri cet iri,, mnogos mno gostra trane ne sa viˇse se od ˇcetiri cet iri prave. prave . 20. Od trostran trostranih ih figura figura jednak jednakostr ostrani ani trougao trougao ima tri jednak jednakee strane, strane, jednak jednakookraki ima samo dve jednake strane, a raznostrani ima tri nejednake strane. 21. Dalje, Dalje, od trostran trostranih ih figura je pravo pravougl uglii trougao trougao onaj koji ima prav ugao, tupougli koji ima tup ugao, a oˇstrougli strougli koji ima tri oˇstra stra ugla. 8

GLAV GLAVA 1. ISTORIJSKI ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA RAZVOJA GEOMETRIJE GEOMETRIJE 22. Od ˇcetvorostranih cetvorostranih figura kvadrat je jednakostran i sa pravim uglovima; pravoup ravougaonik je sa pravim uglovima, no nije sa jednakim stranama; romb sa jednakim stranama, stranama, no nije sa pravim uglovima; uglovima; romboid sa jednakim naspramnim stranama i jednakim naspramnim uglovima, no nije ni jednakostran ni sa pravim uglovima. Ostale ˇcetvorostrane cetvorostrane figure neka se zovu trapezi. tra pezi. 23. Parale Paralelne lne su one prave, prave, koje se nalaze nalaze u istoj istoj ravni ravni i koje se, produˇ produˇzene zene u beskrajnost na obe strane, ne seku jedna sa drugom.

Slika 1.2: Euklidovi Elementi Kao ˇsto sto se da primetiti prime titi ovo nisu ni su stroge stro ge definicije, defin icije, već samo objaˇ ob jaˇsnjenja snjen ja elementareleme ntarnih geomet g eometrijskih rijskih pojmova po jmova data sa namero na merom m da se u ˇcoveˇ coveˇcjoj cjo j svesti svest i stvori intuitivna intuitiv na predstava o datim pojmovima. Polazna Polazna tvrd¯enja Euklid je podelio na aksiome aksiome i postulate od kojih su ovi drugi ˇcisto cisto geometrijs geome trijskog kog sadrˇzaja. za ja. U razliˇcitim citim prepisima prep isima Elemenata Elemenata broj postulata i aksioma aksioma nije isti, ali se obiˇ cno cno prihv prihvata da je Euklid zasnovao zasnovao geometriju geometriju na devet devet aksioma i pet p et postulata. Neki od o d njih, n jih, doduˇ do duˇse se u izmenjenom obliku, zadrˇ za drˇzali zali su se i do danaˇsnjih snjih dana. Navedimo postulate u obliku u kom ih je Euklid dao: I Pretpos Pret postavlja tavlja se da je moguće ce od svake taˇcke cke do d o svake s vake druge dru ge taˇcke cke konstru kon struisati isati pravu liniju. II Pretpostavlja se da se svaka svaka prava, prava, prateći ci njen pravac, pravac, moˇze ze neograniˇceno ceno pro pr o duˇ duˇzavat zavati.i.

9

GLAV GLAVA 1. ISTORIJSKI ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA RAZVOJA GEOMETRIJE GEOMETRIJE III Pretpostavlja se da se u nekoj ravni oko svake svake njene taˇcke cke moˇze ze opisati krug bilo kojeg koj eg polupreˇ polu preˇcnika. cnika. IV Pretpostavlja Pretpostavlja se da su svi pravi uglovi med¯u sobom podudarni. Za dalji razvoj r azvoj geometrije veoma veliki znaˇcaj caj imao je peti Euklidov E uklidov postulat koji u svom originalu glasi: V Ako neka prava prava presecaj prese caju´ ući ci druge dve komplanarne prave obrazuje obraz uje sa njima sa iste strane dva dva unutraˇ unutraˇsnja snja ugla kojima je zbir manji od zbira dva prava prava ugla, tada se te dve prave, neograniˇ neogr aniˇceno ceno produˇ pro duˇzene zene seku sa one strane stran e seˇcice cice sa koje koj e je taj ta j zbir uglova uglova manji od zbira dva prava prava ugla.

Slika 1.3.

Po svojoj prirodi, postulati su strogo geometrijsk geometrijskaa tvrd¯enja. Oni su izraˇ izraˇzeni zeni u vidu zahtev z ahtevaa ili pretpostavki kojima kao da se ˇzeli zeli naglasiti njihov n jihov konstruktivan karakter. Prva Prva tri postulata zaista su konstruktiv konstruktivnog nog karaktera karaktera i na njima je vekovi vekovima ma zasnivana teorija geometrijskih ge ometrijskih konstrukcija. Za poslednja p oslednja dva postulata p ostulata ne moˇze ze se reći ci da su konstruktivnog karaktera. Pomenimo da u savremenoj geometriji ˇcetvrti cetvrti postu po stulat lat predst pre dstavlj avljaa tvrd tvr d¯enje enj e koje ko je se dokazuje dokaz uje.. Svojom Svo jom sloˇzenoˇ zen oˇs´ sću cu istiˇ ist iˇce ce se famozn fam oznii peti postulat. Time je izazvao izazvao paˇ znju znju ostalih matematiˇ cara cara i nagonio ih je da ga izvode iz ostalih aksioma geometrije. Kao i postulati, u geometriji geomet riji Euklida, i aksiome su predstavljale osnovna tvrd¯enja. Aksiome Aksiome se od tvrd¯enja razlikuju razlikuju po karakteru koji nije striktno geometrijski. geometrijski. Aksiome, kako ih je Euklid navodio su: 1. Oni (objekti) (ob jekti) koji su jednaki istom (ob jektu) jednaki su med¯usobno. 2. I ako se jednakim jednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine celine su jednake. jednake. 3. I ako se od jednakih jednakih (objekata) oduzmu jednaki jednaki (objekti) (ob jekti) ostaci su jednaki. jednaki. 4. I ako se nejednakim nejednakim (objektima) dodaju jednaki (objekti) celine celine su nejednake. nejednake. 10

GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE 5. I udvostruˇceni jednaki (objekti) jednaki su med¯usobno. 6. I polovine od jednakih (ob jekata) jednake su med¯usobno . 7. I oni (geometrijski objekti) koji se mogu poklopiti jednaki su med¯usobno. 8. I celina je veća od dela. 9. I dve prave ne ograniˇcavaju oblast. Po svojoj prirodi većina Euklidovih aksioma je opˇstijeg karaktera, to su tvrd¯enja koja vaˇze i u drugim nauˇcnim oblastima (sa izuzetkom aksioma 7. i 9. koje su izrazito geometrijskog karaktera).

11

GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE

1.3

Revolucija geometrije nakon Euklidovih Elemenata

Euklidov sistem osnovnih tvrd¯enja nije potpun, naime iz njegovih aksioma i postulata ne moˇze se izvesti svako tvrd¯enje. Tu nepotpunost prvi je primetio znameniti starogrˇcki matematiˇcar Arhimed8 . Spisak geometrijskih postulata on je delom proˇsirio. U svom delu O lopti i valjku , radi zasnivanja metriˇcke geometrije Arhimed je uveo sledećih pet postulata: I Od svih linija koje imaju zajedniˇcke kra jeve prava je najkraća. II A druge dve linije koje ima ju za jedniˇcke krajeve i leˇze u istoj ravni nisu jednake ako su obe ispupˇcene i jedna od njih obuhvaćena drugom krivim i pravom koja spaja kra jeve, a takod¯e i ako krive ima ju jedan zajedniˇcki deo, dok se preostali deo obuhvata; pritom je obuhvaćena kriva manja od one koja je obuhvata. III Isto tako, od svih povrˇsina koje imaju zajedniˇcku ravnu periferiju ravan je najmanja. IV A druge dve povrˇsine koje imaju zajedniˇcku ravnu periferiju nisu jednake ako su obe ispupˇcene i jedna od njih (ili jedan njen deo) obuhvaćena povrˇsinom i ravni periferije; pritom je obuhvaćena povrˇsina manja od one koja je obuhvata. V Pored toga, od dveju nejednakih linija, dveju nejednakih povrˇsina ili dvaju nejednakih tela, veća veliˇcina biće manja od one veliˇcine koja se dobija kad manju umnoˇzimo potreban broj puta. Prva ˇcetiri Arhimedova stava ne mogu se prihvatiti kao postulati za logiˇcko zasnivanje metriˇcke geometrije. Poslednje tvrd¯enje, koje se obiˇcno naziva Arhimedovim postulatom, neobiˇcno je vaˇzno. Ono se moˇze kratko iskazati u sledećem obliku: Arhimedov stav: Za ma koja dva broja a i b, a < b, postoji takav ceo broj n, da je na > b . I nakon Arhimeda nastavljaju se pokuˇsaji da se dopune osnove euklidske geometrije. No, svi ti pokuˇsaji nisu pridoneli niˇsta bitno sve do kraja XIX veka. Tada su se formirali takvi pogledi na principe logiˇckog zasnivanja geometrije koji su omogućili da je prvi put pokazan potpun sistem aksioma iz kojih se sve teoreme izvode bez ikakvog pozivanja na oˇciglednost naˇsih prostornih predstava. Veoma mali broj geometara je uvideo neophodnost upotpunjavanja broja Euklidovih postulata. Naprotiv, veliki broj dela u vezi sa Euklidovim Elementima postavio je sebi zadatak da smanji broj stavova geometrije koji se uzimaju bez dokaza. U tome se izraˇzavala potpuno prirodna teˇznja da se razjasni pod kakvim se minimalnim uslovima materijal geometrije moˇze razviti logiˇckim putem. Jedan rezultat u tom pravcu bio je dobijen bez ikakvog truda. Naime, zapazilo se da je Euklidov IV postulat izliˇsan, poˇsto se jednakost dvaju pravih uglova moˇze dokazati isto tako strogo kao i mnoga druga tvrd¯enja. Mnogi matematiˇcari smatrali da zbog svoje 8

Arhimed (287 p.n.e.-212 p.n.e.), grˇcki matematiˇcar, fiziˇcar i astronom

12

GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE sloˇzenosti i neoˇciglednosti V Euklidov postulat ne treba da bude na spisku osnovnih tvrd¯enja, ve´ c ga treba kao teoremu dokazati. Zato su i mnogi matematiˇcari pokuˇsali da, indirektnim postupkom, izvedu dokaz tog tvrd¯enja, mnogi od njih su dovodili sebe u zabludu smatrajući da su u tome uspeli ne primećujući da su u svojim razmatranjima na izvestan naˇcin iskoristili neki od ekvivalenata Euklidovog petog postulata. Prouˇcavanja posvećena V postulatu stara su koliko i Euklidovi Elementi . Ona su se zavrˇsila tek krajem XIX veka i dovela su do veoma vaˇznih otkrića. U delu Nikolaja Lobaˇcevskog9 i Janoˇsa Bolja ja10 prvi put je izraˇ zena misao da peti postulat ne zavisi od ostalih aksioma geometrije te da se, stoga, ne moˇ ze izvesti iz ostalih postulata. Time je proˇsireno shvatanje samog smisla geometrije i naˇcinjen korak u jedan sasvim novi geometrijski svet. Rezultati Lobaˇcevskog i Bolja ja postali su sasvim jasni tek kra jem devetnaestog veka kada je konaˇcno formiran pogled na logiˇcke principe zasnivanja geometrije i kada je, prvi put, geometrija logiˇcki korektno utemeljena. Sledeći napore trojice geometara sa kraja devetnaestog veka: Peana11 , Paˇsa12 i Veroneza13 , David Hilbert14 je u svom delu Osnove geometrije , koje je izdato 1899. godine, geometriju zasnovao na neprotivureˇcnosti, nezavisnom i potpunom sistemu aksioma. Za razliku od Euklidovih Elemenata u Hilbertovim Osnovama geometrije nema opisivanja osnovnih geometrijskih pojmova: taˇcke, prave, ravni itd. Hilbert na samom poˇcetku jednostavno kazuje: ”Mi zamiˇsljamo tri razliˇcita sistema stvari: stvari prvog sistema nazivamo taˇckama i oznaˇcavamo ih sa A, B , C , ...; stvari drugog sistema nazivamo pravama i oznaˇcavamo ih sa a, b, c,...; stvari trećeg sistema nazivamo ravnima i oznaˇcavamo ih sa α, β , γ . ..; taˇcke se nazivaju elementima linearne geometrije, a taˇcke, prave i ravni se nazivaju elementima prostorne geometrije ili elementima prostora. Mi zamiˇsljamo taˇcke, prave i ravni u izvesnim med¯usobnim odnosima i oznaˇcavamo ove odnose reˇcima leˇzati, izmed¯u, ”podudarno”, ”paralelno”, ”neprekidno”; taˇcan i za matematiˇcke svrhe potpun opis ovih odnosa postiˇze se pomoću aksioma geometrije.” Hilbert u Osnovama geometrije uvodi dvadeset aksioma koje razvrstava u pet grupa na sledeći naˇcin: I Aksiome veze, pripadanja ili incidencije (osam aksioma), II Aksiome poretka (ˇcetiri aksiome), III Aksiome podudarnosti (pet aksioma), 9

Nikolaj Ivanoviˇc Lobaˇcevski (1793-1856), ruski matematiˇcar Janoˇs Boljaj (1802-1870), mad¯arski matematiˇcar 11 Giuseppe Peano (1858 - 1932), italijanski matematiˇcar i logiˇcar 12 Moritz Pasch (1843-1930), nemaˇcki matematiˇcar 13 Giuseppe Veronese (1854 - 1917), italijanski matematiˇcar 14 David Hilbert (1862-1943), nemaˇcki matematiˇcar 10

13

GLAVA 1. ISTORIJSKI PREGLED RAZVOJA GEOMETRIJE IV Aksiome neprekidnosti (dve aksiome), V Aksioma paralelnosti (jedna aksioma). Polazeći od izabranog skupa aksioma, Hilbert izvodi pojedine teoreme euklidske geometrije, izgrad¯uje ta j geometrijski sistem i da je dokaz da je uzeti sistem aksioma potpun, nezavisan i neprotivureˇcan. U tom delu Hilbert je dao i reˇsenje problema V Euklidovog postulata. On je dokazao da taj postulat nije posledica preostalih ˇcetiri grupa aksioma. To drugim reˇcima znaˇci da je ovde zaista reˇc o aksiomi, a ne o teoremi. Postoji niz geometrijskih teorema koje se ne oslanjaju na aksiomu o paralelama, nego samo na preostale ˇcetiri grupe aksioma. Sve teoreme koje se mogu dokazati na osnovu grupe aksioma veze, poretka, podudarnosti i neprekidnosti ˇcine apsolutnu geometriju . Ako se apsolutnoj geometriji dodaju V Euklidov postulat i sve teoreme koje se pomoću njega dokazuju direktno ili indirektno, dobijamo euklidsku geometriju . I danas, skoro sto godina nakon izlaska Osnova geometrije kojima su i pored priznanja za njihov izvanvremensku valjanost u tom vremenu izreˇcene i mnoge zamerke, geometrija poˇciva na principima koje je utemeljio Hilbert. Znaˇcaj Hilbertovih Osnova geometrije ogleda se u tome ˇsto je njihova formalistiˇcka koncepcija stvorila preduslov za istraˇzivanja koja se odnose na potpunost, neprotivureˇcnost i nezavnisnost aksiomatskog sistema.

14

Glava 2 Leˇ zandrove teoreme 2.1

ˇ Zivot i rad Leˇ zandra

Adrijen Mari Leˇzandr1 dao je niz znaˇ cajnih radova iz teorije bro jeva, teorije eliptiˇckih funkcija, teorije povrˇsi, teorije verovatnoće i napisao je savremeni geometrijski udˇzbenik koji se veoma dugo upotrebljavao po Evropi. ˇ se tiˇce geometrije sa kraja osamnestog i poˇcetka devetnaestog veka, tri dela Sto dobila su veliki znaˇcaj: Bezuov2 Kurs geometrije , Osnove Lakrua3 i Elementi geometrije Leˇzandra. Ta dela u razliˇcitom stepenu odraˇzavaju tendenciju Dalambera4 da otrgne predavanje geometrije od tradicionalnog teˇskog Euklidovog naˇcina. Sve tri knjige su napisane od strane istaknutih matematiˇcara i talentovanih pedagoga; oni nisu umanjili ranija predavanja geometrije, već su je uˇcinili mnogo dostupnijom. Ta tri udˇzbenika geometrije dobili su neobiˇcno ˇsiroku rasprostranjenost u svim kulturnim zemljama i obeleˇzavaju novu epohu u daljem predavanju geometrije. Leˇzandrovi Elementi geometrije su zaista zamenili Euklidova dela u ˇskolskim klupama. Istina, sledeći tendencije Dalambera u nameri da reorganizuje predavanja geometrije, Leˇzandr se nije odnosio prema Euklidu potcenjivaˇcki. Osnovne ideje Leˇzandrove teorije paralelnih linija izloˇzene su u ovom odeljku. One, kako ćemo videti, nisu bile originalne budući da su Leˇzandrovi rezultati u kojima se, izmed¯u ostalog, istiˇce ekvivalent petog Euklidovog postulata i tvrd¯enja, da posto ji trougao kome je zbir unutraˇsnjih uglova π , ranije ve´ c poznati. No, ove osnovne ˇcinjenice iz teorije paralelnih linija, u Leˇzandrovom delu bile su pregledno i jasno izloˇzene i stoga su ˇcesto citirane. U nameri da iz prve ˇcetiri grupe, koje se nazivaju i aksiomama apsolutne geometrije, izvede peti Euklidov postulat Leˇzandr je u svom delu Elementi geometrije , ˇcije je prvo izdanje ˇstampano 1794. godine, dokazao nekoliko vaˇ znih teorema koje se odnose na zbirove unutraˇsnjih uglova trougla i n-tougla.

1

Adrien-Marie Legendre (1753-1833), francuski matematiˇcar ´ Etienne B´ ezout (1730-1783), francuski matematiˇcar 3 Sylvestre Fran¸cois Lacroix (1765-1843), francuski matematiˇcar 4 Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1783), francuski matematiˇcar, fiziˇcar i filozof 2

15

ˇ GLAVA 2. LEZANDROVE TEOREME

2.2

Leˇ zandrove teoreme

zandrova teorema). U apsolutnoj geometriji zbir unuTeorema 2.2.1 (Prva Leˇ traˇsnjih uglova proizvoljnog trougla nije veći od zbira dva prava ugla. Dokaz.

Slika 2.1. Pretpostavimo suprotno, da postoji trougao ∆ABB 1 kome je zbir unutraˇsnjih uglova veći od zbira dva prava ugla. Obeleˇzimo sa B2 , B3 , . . . , Bn taˇcke poluprave BB 1 (Slika 2.1.), takve da je

B (B, B1 , B2 , . . . , Bn ) i BB 1 ∼ = B 1 B2 ∼ = B 2 B3 ∼ = . . . ∼ = B n 1 Bn . −

Sa iste strane prave BB1 sa koje je taˇcka A odredimo taˇcke A 1, A2 , . . . , An 1 tako da je ∆ABB 1 ∼ = ∆ A1 B1 B2 ∼ = . . . ∼ = ∆ An 1Bn 1 Bn . −

−

−

Iz podudarnosti ovih trouglova sledi podudarnost odgovarajućih stranica i uglova. Dakle: AB ∼ = A 1 B1 ∼ = . . . ∼ = A n 1 Bn 1 −

−

AB1 ∼ = A 1 B2 ∼ = . . . ∼ = A n−1Bn ABB 1 = A1 B1 B2

= . . . =

An−1 Bn−1 Bn

BB 1 A = B1 B2 A1 = . . . = Bn−1 Bn An−1 .

Kako je BB 1 A + AB1A1 + A1 B1 B2 = 2R i AB1 B + B1 AB + ABB 1 > 2 R sledi da je BAB 1 > AB1 A1 . Pored toga, kako je AB ∼ = A 1 B1, AB1 ≡ AB1 i BAB 1 > AB1A1 , sledi da mora biti BB 1 > AA1, ˇsto se moˇze zakljuˇciti i koriˇsćenjem neke izometrijske transformacije i prevod¯enjem ugla AB1 A1 na ugao BAB 1 . Na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova sledi da je ∆AB1 A1 ∼ = ∆ A1B2 A2 ∼ = ... ∼ = A n 2 Bn 1An − 1, a odatle AA1 ∼ = A 1A2 ∼ = . . . ∼ = A n 2 An 1 . Posmatrajmo sada poligon BB n An 1 An 2 . . . A1 A. Za njega vaˇzi −

−

−

−

−

−

BB n < Bn An−1 + An−1An−2 + . . . + A1A + AB

16

(*)

ˇ GLAVA 2. LEZANDROVE TEOREME Prethodna nejednakost induktivno vaˇzi na osnovu nejednakosti za ˇcetvorougao ABCD (Slika 2.2.): AB < AC + CB < (nejednakost trougla za ∆ACD )AD + DC + CB

Slika 2.2. Sada iz (*) sledi n · BB 1 < An−1 Bn + (n − 1)AA1 + AB.

Pa, je odavde n · (BB 1 − AA1 ) < AB1 + AB − AA1 .

U svakom trouglu je zbir dveju stranica veći od treće stranice, pa tako za trougao ∆ABB 1 vaˇzi sledeća relacija AB1 + AB > BB1 . Kako je BB 1 > AA1 > 0, to je AB1 + AB − AA1 > BB 1 − AA1 .

U naˇsem sluˇcaju nejednakost n · (BB 1 − AA1) < AB1 + AB − AA1 vaˇzi za svaki prirodan broj n, ˇsto dovodi do kontradikcije sa Arhimedovim stavom koji kaˇze da za ma koja dva broja a i b , a < b, postoji takav ceo broj n , da je na < b < ( n + 1)a. Dakle, polazna pretpostavka nije taˇcna, te mora biti zbir uglova u trouglu ∆ABB 1 manji ili jednak od zbira dva prava ugla. snjih uglova trougla ∆ ABC i R prav Definicija 2.2.1. Neka je σ (ABC ) zbir unutraˇ ugao. Razliku δ (ABC ) = 2R − σ(ABC )

nazivamo defektom trougla ∆ABC . Kako je u apsolutnoj geometriji na osnovu prve Leˇzandrove teoreme zbir unutraˇsnjih uglova u trouglu manji ili jednak od 2R, to je oˇcigledno δ (ABC ) ≥ 0. Lema 2.2.1. Ako je zbir unutraˇsnjih uglova nekog trougla jednak zbiru dva prava

ugla, tada je zbir unutraˇsnjih uglova svakog trougla, koji je od prvog odseˇcen nekom pravom takod¯e jednak zbiru dva prava ugla. 17

ˇ GLAVA 2. LEZANDROVE TEOREME Dokaz. Mogu nastupiti dva sluˇcaja:

(i) da preseˇcna prava p sadrˇzi jedno teme trougla ∆ABC (ii) da prava p ne sadrˇzi nijedno teme.

Slika 2.3. (i) Neka prava p sadrˇzi teme A trougla ∆ABC . Oznaˇcimo sa D preseˇcnu taˇcku prave p sa stranicom B C (Slika 2.3.). Tada je σ (ABC ) = σ (ABD ) + σ(ACD ) − 2R i kako je σ(ABC ) = 2R sledi da je σ (ABD ) + σ(ACD ) = 4R. S druge strane, zbir unutraˇsnjih uglova u trouglu ne moˇze biti ve´ ci od zbira dva prava ugla, pa je zbir unutraˇsnjih uglova svakog od trouglova ∆ABD i ∆ACD jednak 2R.

Slika 2.4. (ii) Neka sada prava p ne sadrˇzi nijedno teme trougla ∆ABC . Preseˇcne taˇcke prave p sa stranicama AB i BC trougla ∆ABC oznaˇcimo redom sa E i F (Slika 2.4.). Zbir unutraˇsnjih uglova trougla ∆ABC jednak je zbiru dva prava ugla, pa je na osnovu dokazanog dela (i) zbir unutraˇsnjih uglova trougla ∆ABF , a samim tim i trougla ∆BE F jednak zbiru dva prava ugla.

18

ˇ GLAVA 2. LEZANDROVE TEOREME snjih uglova nekog pravouglog trougla jednak zbiru Lema 2.2.2. Ako je zbir unutraˇ dva prava ugla, tada je i zbir unutraˇsnjih uglova pravouglog trougla koji se od prvog dobija udvostruˇcavanjem jedne katete, takod¯e jednak zbiru dva prava ugla. Dokaz.

Neka je zbir unutraˇsnjih uglova pravouglog trougla ∆ABC , sa pravim

Slika 2.5. uglom kod temena C jednak zbiru dva prava ugla. U taˇcki A konstruiˇsimo polupravu AQ (Slika 2.5.) upravnu na pravu AC i to sa one strane prave AC sa koje je i taˇcka B . Sa B1 oznaˇcimo taˇcku poluprave AQ takvu da je AB1 = C B . Neka je D taˇcka prave C B takva da je C B = B D i B (C , B , D ). Kako je σ (ABC ) = 2R i ACB = R sledi da je CAB + ABC = R. S druge strane iz CAB + BAB 1 = R i CAB + ABC = R sledi da je CBA = BAB 1 . Za trouglove ∆ABC i ∆BAB 1 vaˇzi AB ≡ AB , CB = B1 A i CBA = B1AB , pa su oni podudarni na osnovu prvog stava o podudarnosti trouglova. Iz njihove podudarnosti sledi podudarnost preostalih odgovarajućih elemenata AB1 B = C = R, CAB = B1 BA . Sada imamo da je B1 BC = B1BA + ABC = BAC + ABC = R, ˇsto znaˇci da je B1 B ⊥CD. Sada su trouglovi ∆ABB 1 i ∆DB 1 B podudarni na osnovu prvog stava o podudarnosti trouglova, jer je AB1 B = DBB1 = R, AB1 = DB i BB 1 ≡ B1 B . Iz njihove podudarnosti sledi BAB 1 = B1 DB i AB = DB1 . Trouglovi ∆ABD i ∆DB1 A imaju sve odgovarajuće stranice podudarne, pa su oni med¯u sobom podudarni na osnovu trećeg stava o podudarnosti trouglova. Odatle sledi da je BDA = B1 AD. Zbir unutraˇsnjih uglova trougla ∆ACD je σ (ACD ) = ACD + CDA + DAC

= R + B1 AD + DAC = R + B1 AC = 2R tj. σ (ACD ) = 2R.

snjih uglova jednog pravouglog trougla jednak zbiru Lema 2.2.3. Ako je zbir unutraˇ dva prava ugla, tada je zbir unutraˇsnjih uglova svakog pravouglog trougla jednak zbiru dva prava ugla. 19

ˇ GLAVA 2. LEZANDROVE TEOREME Dokaz. Neka je trougao ∆ABC pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C ˇciji je zbir unutraˇ snjih uglova jednak zbiru dva prava ugla i neka je ∆A B  C  proizvoljan pravougli trougao sa pravim uglom kod temena C  . Pokazaćemo da je σ (A B  C  ) = 2R.

Slika 2.6. (i) Ako su obe katete trougla ∆ABC veće ili jednake od odgovarajućih kateta trougla ∆A B C tada na duˇzima C B i C A postoje redom taˇcke B 1 i A 1 takve da je CB1 = C B i CA1 = C A (Slika 2.6.). Pravougli trougao ∆CB1 A1 nastao je odsecanjem od pravouglog trougla ∆CBA ˇciji je zbir unutraˇsnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, pa je na osnovu Leme 2.2.1. i zbir unutraˇsnjih uglova pravouglog trougla ∆CB1A1 jednak zbiru dva prava ugla. Kako su trouglovi ∆A1 CB1 i ∆A B C na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova podudarni, sledi da je i zbir unutraˇsnjih uglova trougla ∆A B C jednak zbiru dva prava ugla. 

























Slika 2.7. (ii) Ako je kateta C A manja od katete C A tada na polupravoj C A odredimo niz taˇcaka A1 , A2 , . . . , An , . . . takav da je B (C,A,A1 , A2, . . . , An, . . .) i CA ∼ = AA 1 , CA1 ∼ = A1 A2 , . . . (Slika 2.7.). Tada postoji prirodan broj k takav da C Ak < C A < CAk+1 . Prema Lemi 2.2.2. je zbir unutraˇsnjih uglova u svakom od pravouglih trouglova ∆AnCB jednak 2R. 





20



ˇ GLAVA 2. LEZANDROVE TEOREME Ako je kateta CB manja od katete C B na polupravoj CB uoˇcimo niz taˇcaka B1 , B2, . . . , Bn , . . . takav da je B (C , B , B1 , B2 , . . . , Bn , . . .) i CB ∼ = BB 1 , CB1 ∼ = B1 B2 , . . .. Tada postoji prirodan broj l takav da je CBl < C B < CBl+1 . Sada je ponovo na osnovu Leme 2.2.2. zbir unutraˇsnjih uglova u svakom od trouglova ∆AnCBm jednak 2R. Dakle, zbir unutraˇsnjih uglova u trouglu ∆Ak+1CBl+1 jednak je 2R, pri ˇcemu je C Ak+1 > C A i C Bl+1 > C B , pa je prema dokazanom delu pod (i) zbir unutraˇsnjih uglova trougla ∆A B C jednak zbiru dva prava ugla. 





















Teorema 2.2.2 (Druga Leˇzandrova teorema). Ako je u jednom trouglu ∆ ABC zbir

unutraˇsnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, tada je u svakom drugom trouglu ∆A B C zbir unutraˇsnjih uglova takod¯e jednak zbiru dva prava ugla. 





Dokaz.

Slika 2.8. Kod trouglova ∆ABC i ∆A B C bar po jedna visina ima podnoˇzje na naspramnoj stranici. Neka su to podnoˇzja D i D iz temena A i A redom (Slika 2.8.). Kako je u trouglu ∆ABC zbir unutraˇsnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, to je na osnovu Leme 2.2.1. i u pravouglim trouglovima ∆ABD i ∆ACD zbir unutraˇsnjih uglova takod¯e jednak zbiru dva prava ugla. Trougao ∆ABD je pravougli trougao kome je zbir unutraˇsnjih uglova jednak 2R, pa na osnovu Leme 2.2.3. sledi da su zbirovi unutraˇsnjih uglova u trouglovima ∆A B D i ∆ A D C jednaki po 2R. Sada zakljuˇcujemo da je zbir unutraˇsnjih uglova trougla ∆A B C jednak zbiru dva prava ugla. 



























snjih uglova jednak zbiru dva Teorema 2.2.3. Postoji trougao kome je zbir unutraˇ prava ugla ako i samo ako svaka prava upravna na jedan krak bilo kojeg oˇstrog ugla seˇce i drugi krak tog ugla. star ugao i neka je P ∈ p proizvoljna taˇcka. Dokaz. Neka je  pOq proizvoljan oˇ Oznaˇcimo sa Q podnoˇzje normale iz taˇcke P na polupravu q . Neka je R proizvoljna taˇcka poluprave q i n normala na pravu q u taˇcki R. Ako vaˇzi B (O,R,Q) onda na osnovu Paˇsove aksiome direktno sledi da prava 21

ˇ GLAVA 2. LEZANDROVE TEOREME n seˇce i polupravu p. Neka je B (O,Q,R) i P n i Qn, n = 1, 2, . . . takve da je B (O , P , P1 , P 2 , . . . , Pn , . . .), B (O,Q,Q1 , Q2 , . . . , Qn, . . .), OP n = 2n OP i OQn = 2nOQ (Slika 2.9.). Ako posto ji trougao kod koga je zbir unutraˇsnjih uglova jednak

zbiru dva prava ugla, onda je na osnovu druge Leˇzandrove teoreme zbir unutraˇsnjih uglova svakog trougla jednak zbiru dva prava ugla. Dakle, zbir unutraˇsnjih uglova trouglova ∆OP n Qn je jednak zbiru dva prava ugla. Oznaˇcimo sa S taˇcku prave s upravne na pravu P Q tako da je P S ∼ = OQ.

Slika 2.9. Tada je

∆OP Q ∼ = ∆ P P 1 S ∼ = ∆ P Q1 S ∼ = ∆ Q1 P Q, odakle sledi da je P Q1Q ∼ = P OQ i P 1 Q1 P ∼ = OP Q, a kako je joˇs P OQ + cin zakljuˇcujemo da je OP Q = R, to je OQ1 P 1 prav. Rasud¯ivanjem na isti naˇ svaki od trouglova ∆OP n Qn pravougli sa pravim uglom kod temena Q n . Na osnovu Arhimedovog stava taˇcku Qn moˇzemo izabrati tako da je B (O,R,Qn ). Sada prava n na osnovu Paˇsovog stava mora se´ ci joˇs jednu od stranica trougla ∆OP nQn u unutraˇsnjoj taˇcki. Ako bi n sekla stranicu P n Qn u unutraˇsnjoj taˇcki, dobili bismo trougao sa dva prava ugla, pa bi tada zbir unutraˇsnjih uglova tog trougla bio ve´ ci od zbira dva prava ugla, a to je nemoguće. Odatle sledi da prava n mora seći duˇz OP n, tj. pravu p. Ovim je ovaj deo dokaza zavrˇsen. Obratno, neka svaka prava q n upravna u taˇcki Qn (definisane u prvom delu dokaza) na krak q seˇce krak p oˇstrog ugla  pOq u taˇcki P n (Slika 2.10.). Tada za defekt trougla ∆OQn P n vaˇzi δ (OQ n P n) = δ (OQ n−1 P n−1) + δ (P n−1 Qn−1 Qn ) + δ (P n−1 Qn P n ),

tj. δ (OQn P n ) ≥ 2δ (OQ n−1 P n−1).

Nastavlja jući postupak nakon n koraka dobijamo δ (OQn P n ) ≥ 2n δ (OQP ).

22


Slika 2.10. Ako bi bilo δ (OQP ) > 0, tada broj n moˇzemo izabrati dovoljno veliki da 2n δ (OQP ) bude veće od bilo kog unapred zadatog ugla, pa i od 2R. Tada bi bilo δ (OQn P n ) > 2 R,

ˇsto je nemoguće. Dakle, mora biti δ (OQP ) = 0, tj. σ(OQP ) = 2R. Teorema 2.2.4 (Treća Leˇzandrova teorema). Postoji trougao ∆ kome je zbir σ (∆) unutraˇsnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla ako i samo ako u ravni π odred¯enoj pravom p i taˇckom A van nje postoji samo jedna prava a koja sadrˇzi taˇcku A, a sa pravom p nema zajedniˇckih taˇcaka.

cka B podnoˇzje normale iz A na pravu p (Slika 2.11. a)), a prava Dokaz. Neka je taˇ a ko ja sadrˇzi taˇcku A i normalna je na pravu AB . Pretpostavimo da postoji trougao kome je zbir unutraˇsnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla. Prava a ne moˇze seći pravu p, jer bi smo tada dobili trougao sa dva prava ugla, a to je u apsolutnoj geometriji nemoguće. Pokazaćemo sada da je prava a jedina prava ko ja sadrˇzi taˇcku ckih taˇcaka. Pretpostavimo suprotno, da u ravni π A, a sa pravom p nema zajedniˇ postoji joˇs jedna prava b koja prolazi kroz taˇcku A i nema zajedniˇckih taˇcaka sa pravom p. Oznaˇcimo sa b onu polupravu prave b koja sa polupravom AB u taˇcki A gradi oˇ star ugao. Prava p je normalna na krak AB oˇstrog ugla, pa na osnovu teoreme 2.2.3. ona seˇce drugi krak b tog ugla, odnosno pravu b. Dakle, prava a je jedinstvena prava u ravni π ko ja sadrˇzi taˇcku A, a sa pravom p nema zajedniˇckih taˇcaka. Obratno, neka je u ravni π data prava p, taˇcka A van nje i prava a jedinstvena prava koja prolazi kroz taˇcku A i sa pravom p nema zajedniˇckih taˇcaka. Pokazaćemo da postoji trougao ˇciji je zbir unutraˇsnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla. Oznaˇcimo sa B podnoˇzje normale iz taˇcke A na pravu p (Slika 2.11. b)), a sa C proizvoljnu taˇcku prave p razliˇcitu od B . Neka je A taˇcka prave a razliˇcita od A koja se nalazi sa one strane prave AB sa koje je i taˇcka C . Tada je zbir unutraˇsnjih 

23


Slika 2.11. uglova trougla ∆ABC jednak zbiru dva prava ugla, ˇsto ćemo sada pokazati. Na osnovu prve Leˇzandrove teoreme sledi da je σ (ABC ) ≤ 2R, pa je BAC + ACB ≤ R. Odatle sledi da je ACB ≤ CAA . Ako bi bilo ACB < CAA onda bi u unutraˇsnjosti ugla CAA postojala poluprava b koja sa AC gradi ugao β podudaran uglu ACB . Prava p normalna je na krak AB oˇstrog ugla BAD , pa na osnovu teoreme 2.2.3. seˇ ce i drugi krak tog ugla, odnosno polupravu b . Njihov presek oznaˇcimo sa D. Tada bi u trouglu ∆ACD , spoljaˇsnji ugao BC A kod temena C bio jednak unutraˇsnjem nesusednom uglu CAD, a to je nemoguće. Polazna pretpostavka je pogreˇsna, dakle, mora biti BC A = CAA . Odavde sledi da je σ(ABC ) = 2R. 











Leˇzandrov udˇzbenik Elementi geometrije doˇziveo je dvanaest izdanja (poslednje je iz 1823. godine). To je prvo delo te vrste koje se bitno razlikuje od Euklidovih Elemenata . Zahvaljujući, pre svega, svojim metodiˇckim odlikama, ovo Leˇzandrovo ˇ viˇse, moglo bi se reći delo veoma ja uticalo na potonje udˇzbenike geometrije. Sta da je ovaj udˇzbenik prvi poˇceo da istiskuje Euklidove Elemente iz kao nastavno geometrijsko ˇstivo. U kasnjim prouˇcavanjima geometrije Leˇzandrove teoreme će biti vema znaˇcajne za dokazivanje nekih stavova euklidske geometrije (geometrija u kojoj vaˇze aksiome pripadanja, rasporeda, podudarnosti, neprekidnosti, i Plajferova aksioma).

24

Glava 3 V Euklidov postulat Danaˇsnje materijalistiˇcko shvatanje aksioma kao istina koje izviru iz iskustva, a praksa treba da ih potvrd¯uje, nastalo je sa razvojem nauke. U vreme Euklidovih Elemenata , kao i dugo vremena posle njihove pojave, vladalo je drugo miˇsljenje. Aksiome su se smatrale istinitim, jer su neposredno jasne. Uz to se pod dokazom smatralo takvo razmiˇsljanje koje treba da pokaˇze oˇciglednost nekog tvrd¯enja. Oˇciglednost je neˇsto ˇcisto subjektivno, i kao svaki osećaj, moˇze biti varljiv. Dugo se smatralo oˇciglednim i to da se Sunce okreće oko Zemlje. Danas se oˇciglednost ne smatra dovoljnom u otkrivanju nauˇcnih istina. Med¯utim, istorijska je istina da je spomenuto shvatanje o aksiomama vladalo med¯u geometrima. Zato je posebnu paˇznju izazvala jedna od osnovnih Euklidovih tvrdnji koja je u nekim rukopisima Elemenata uzeta kao 11. aksioma, a u drugima kao V postulat. Euklid je tu aksiomu formulisao na sledeći naˇcin: com pravom c Peti Euklidov postulat. Ako dve prave a i b u preseku sa tre´ grade suprotne uglove ˇciji je zbir razliˇcit od zbira dva prava ugla, onda se prave a i cice c sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla. b seku i to sa one strane seˇ

Slika 3.1. Ova aksioma nije izgledala geometrima neposredno jasna, pa je joˇs od poˇcetka nastalo miˇsljenje da to ne moˇze biti aksioma, nego teorema. Zaista, ukoliko V postulat uporedimo sa ostalim aksiomama i postulatima euklidske geometrije, zapaˇza 25

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT se da je od njih znatno komplikovaniji. Zbog toga se brzo ustalilo miˇsljenje koje se zadrˇzalo viˇse od dve hiljade godina, da je tu tvrdnju Euklid uvrstio med¯u aksiome ne zato ˇsto je osnovnog karaktera, pa je kao takvu ne moˇzemo dokazati, nego zato ˇsto je navodno Euklid nije mogao dokazati pomoću ostalih aksioma svoje geometrije. Geometre je stalno podsticalo da traˇze dokaz za V postulat. Ideja koja je pri tom vodila geometre ima ovaj smisao: Ako se uspe dokazati V postulat na osnovu ostalih Euklidovih aksioma i postulata, onda se on ne moˇze smatrati aksiomom, jer se aksiome ne mogu dokazati. Kada bi taj dokaz uspeo, onda bi V postulat trebalo izbrisati iz spiska aksioma i uvrstiti med¯u teoreme. Tokom viˇse od dve hiljade godina pokuˇsavalo se pronaći dokaz Euklidovog V postulata. U tome su uˇcestvovali mnogi matematiˇcari svih zemalja u kojima su bili poznati Euklidovi Elementi . Za to vreme pojavili su se mnogi ”dokazi” V postulata. Bilo je i vrlo oˇstroumnih pokuˇsaja. Med¯utim, briˇzljivo izuˇcavanje svih tih ”dokaza” uvek je pokazalo da je u toku dokazivanja naˇcinjena neka logiˇcka greˇska. Obiˇcno se u ”dokaz” uˇsunjala, a da to autor ”dokaza” nije primetio, neka tvrdnja ekvivalentna V postulatu, tj. takvo tvrd¯enje koje tvrdi isto ˇsto i taj postulat samo na drugaˇciji naˇcin. Pravi dokaz Euklidovog postulata trebalo bi da se oslanja samo na ostale aksiome Euklidove geometrije. Ako takav dokaz ne postoji, onda je to zaista aksioma, a ne teorema, jer je svaka teorema logiˇcka posledica aksioma, te se moˇze dokazati.

26

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT

3.1

Plejferova aksioma paralelnosti

Pre svega podsetimo se definicije paralelnih pravih. Definicija 3.1.1. Dve prave su paralelne ukoliko pripadaju istoj ravni i pri tom

nemaju zajedniˇckih taˇcaka. Egzistenciju paralelnih pravih je lako dokazati i to koristeći samo prve tri grupe aksioma. Taj zakljuˇcak moˇzemo iskazati u obliku sledeće teoreme. cku, koja ne pripada datoj pravoj, prolazi prava koja Teorema 3.1.1. Kroz svaku taˇ joj je paralelna. Dokaz.

Slika 3.2. Neka je data prava AB (Slika 3.2.) i taˇcka P na njoj. Neka je p prava koja sadrˇzi taˇcku P i neka su P i P taˇcke prave p , takve da vaˇzi raspored taˇcaka B (P, P , P ). Na osnovu aksioma podudarnosti uvek postoji prava A B koja sadrˇzi taˇcku P , takva da je P P B ∼ = P P B 





















U tom sluˇcaju ne posto ji taˇcka S , zajedniˇcka taˇcka pravih AB i A B , jer bi u trouglu ∆SP P jedan spoljaˇsnji ugao bio podudaran unutraˇsnjem nesusednom uglu, ˇsto je nemoguće. 





Prethodnu teoremu moˇzemo formulisati i na sledeći naˇcin: com obrazuju podudarne naiTeorema 3.1.2. Ako dve prave pri preseku sa tre´ zmeniˇcne ili podudarne saglasne uglove, ili je pak zbir dva suprotna ugla jednak zbiru dva prava ugla, te dve prave su paralelne. Prve ˇcetiri grupe aksioma pomoću kojih se izgrad¯uje tzv. apsolutna geometrija nisu dovoljne da se u potpunosti izgradi geometrija razmatranog prostora. Za izgradnju te teorije neophodno je uvesti jednu grupu aksioma; to je po redu peta 27

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT grupa aksioma geometrije. Tu grupu ˇcini samo jedna aksioma koju je 1797. godine umesto Euklidovog petog postulata uveo engleski matematiˇcar Dˇzon Plejfer1 . Ona se odnosi na paralelne prave te je nazivamo Plejferovom aksiomom paralelnosti. Plejferova aksioma paralelnosti se po formulaciji razlikuje od Euklidovog petog postulata i predstavlja njegov ekvivalent. Kako ovaj iskaz poseduje jednostavniju formulaciju, Plejfer uzima ovaj stav za aksiomu, a peti postulat za teoremu. Plejferova aksioma paralelnosti. Ako je p proizvoljna prava i A taˇcka van nje tada u ravni odred¯enoj pravom p i taˇckom A postoji jedinstvena prava a koja sadrˇzi taˇcku A i sa pravom p nema zajedniˇckih taˇcaka. Za taˇcku A i pravu p reći ćemo da imaju Plejferovo svojstvo.

Slika 3.3.

Geometrija koja je zasnovana na aksiomama apsolutne geometrije i Plejferovoj aksiomi paralelnosti naziva se euklidskom ili paraboliˇckom geometrijom . Prostor koji te aksiome zadovoljava, naziva se euklidskim prosotorom , a svaka njegova ravan euklidskom ravni . Kao ˇsto smo rekli, Plejfer peti Euklidov postulat uzima za teoremu, koja se dobija kao posledica Plejferove aksiome paralelnosti, te ćemo sada navesti i ta j dokaz. com pravom Teorema 3.1.3 (Peti Euklidov postulat). Ako dve prave u preseku sa tre´ grade suprotne uglove ˇciji je zbir razliˇcit od zbira dva prava ugla, onda se te dve prave seku i to sa one strane seˇcice sa koje je taj zbir manji od zbira dva prava ugla. Dokaz. Zaista, neka su AB i A B  dve prave koje prava p seˇce u taˇckama P i P  respektivno (Slika 3.4.). Iz aksioma podudarnosti sledi da kroz taˇcku P  prolazi jedna prava, AB  recimo, takva da je zbir suprotnih uglova, koje ona i prava AB obrazuju sa pravom p, jednak zbiru dva prava ugla. S obzirom na napred izloˇzeno, tj. na osnovu Teoreme 3.1.2., prava AB  je paralelna pravoj AB , a s obzirom na aksiomu paralelnosti, to je i jedina prava koja prolazi kroz taˇcku P  , a paralelna je pravoj AB .

Dakle, prava A B mora seći pravu AB . Da se taj presek mora nalaziti sa one strane prave p, sa koje je zbir suprotnih uglova manji od zbira dva prava ugla, sledi 

1



John Playfair (1748-1819), ˇskotski matematiˇcar

28


Slika 3.4. iz prve Leˇzandrove teoreme, prema kojo j zbir dva unutraˇsnja ugla trougla ne moˇze biti veći od zbira dva prava ugla.

29


3.2

Ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti

Pri pokuˇsaju dokazivanja V Euklidovog postulata geometri su naiˇsli na interesantne rezultate. Tako se med¯u ostalim, naiˇslo na to da je V postulat ekvivalentan Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Ekvivalentnost o kojoj ćemo ovde govoriti ogleda se u ovome: Ako se pretpostavi da vaˇ zi V Euklidov postulat, onda iz toga logiˇcki proizilazi da kroz taˇcku A izvan prave p prolazi samo jedna prava a koja sa pravom p nema zajedniˇckih taˇcaka. Ako se, pak, uzme da je istinita tvrdnja da kroz jednu taˇcku A izvan prave p prolazi samo jedna prava koja sa pravom p nema zajedniˇckih taˇcaka, onda iz te pretpostavke logiˇcki proizilazi Euklidov V postulat. Za sam dokaz ovoga potrebni su nam neki drugi ekvivalenti Plejferove aksiome paralelnosti, te ćemo taj dokaz ostaviti za kasnije. Uspostavilo se da posto ji mnogo tvrd¯enja u matematiˇckoj literaturi, spominje se njih tridesetak, koji su ekvivalentni V Euklidovom postulatu, odnosno Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Ovde ćemo spomenuti i dokazati samo znaˇcajnije ekvivalente. snjih uglova proizvoljnog troTeorema 3.2.1 (I ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Zbir unutraˇ ugla jednak je zbiru dva prava ugla”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti ce Leˇzandrove teoreme sledi da je Plejferova aksioma paraDokaz. Na osnovu tre´ lelnosti ekvivalentna tvrd¯enju da posto ji trougao kome je zbir unutraˇsnjih uglova jednak zbiru dva prava ugla, odakle na osnovu druge Leˇzandrove teoreme sledi da je tvrd¯enje da je zbir unutraˇsnjih uglova svakog trougla jednak zbiru dva prava ugla ekvivalentan Plejferovoj aksiomi paralelnosti. cetvorougao kome je zbir unuTeorema 3.2.2 (II ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Postoji ˇ traˇsnjih uglova jednak zbiru ˇcetiri prava ugla”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. snjih uglova prostog ravTeorema 3.2.3 (III ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Zbir σ unutraˇ nog n-tougla jednak je σ = 2(n − 2)R, pri ˇcemu je R prav ugao”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Dokaz se izvodi indukcijom po broju temena n-tougla i koriˇsćenjem prvog

ekvivalenta Plejferove aksiome paralelnosti. Posledica 3.2.1 (IV ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Zbir spoljaˇ snjih uglova kod svih temena konveksnog prostog ravnog n-tougla jednak je 4R”, ekvivalentno je Plejferovoj

aksiomi paralelnosti. ˇ zi A = B = R i Definicija 3.2.1. Cetvorougao ABCD je Sakerijev ako vaˇ AD = BC . Stranica AB je osnovica, CD protivosnovica, a AD i BC su visine Sakerijevog ˇcetvorougla (Slika 3.5.).

30


Slika 3.5. U Euklidskoj geometriji Sakerijev ˇcetvorougao je pravougaonik. Teorema 3.2.4. U apsolutnoj geometriji uglovi nalegli na protivosnovici Sakerijevog

ˇcetvorougla su jednaki. sta Definicija 3.2.2. Srednja linija Sakerijevog ˇcetvorougla je duˇz koja spaja srediˇ osnovice i protivosnovice. Teorema 3.2.5. U apsolutnoj geometriji srednja linija Sakerijevog ˇcetvorougla je

zajedniˇcka normala osnovice i protivosnovice. Teorema 3.2.6 (V ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Uglovi na protivosnovici Sakerijevog

ˇcetvorougla su pravi”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. ˇ sa tri prava ugla u apsolutnoj geometriji naziva se Definicija 3.2.3. Cetvorougao Lambertov (Slika 3.6.).

Slika 3.6.

Teorema 3.2.7 (VI ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Svi uglovi Lambertovog ˇcetvorougla su

pravi”, ekvivalentno je Plejferovoj askiomi paralelnosti. 31

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT Teorema 3.2.8 (VII ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Svaka prava u ravni oˇstrog ugla koja je

upravna na jedan krak tog ugla seˇce drugi krak”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Sledi direktno iz Teoreme 2.2.3. i treće Leˇzandrove teoreme. Teorema 3.2.9 (VIII ekvivalent). Peti Euklidov postulat i Plejferova aksioma pa-

ralelnosti su ekvivalentna tvrd¯enja. Dokaz.

Slika 3.7. Pretpostavimo da vaˇzi Plejferova aksioma paralelnosti i neka prava c seˇce prave a i b redom u taˇckama A i B (Slika 3.7.). Neka su A i B redom taˇcke pravih a i b takve da je A AB + B BA < 2 R 







gde je R prav ugao. Tada je bar jedan od uglova A AB ili B BA oˇstar. Ne umanjujući opˇstost dokaza neka je to ugao B BA . Oznaˇcimo sa C podnoˇzje normale iz taˇcke A na pravu b. Tada se taˇcke C i B nalaze na pravoj b sa iste strane taˇcke B , jer bi u suprotnom postojao trougao ˇciji je zbir unutraˇsnjih uglova ve´ ci od zbira dva prava ugla, a to je u kontradikciji sa prvom Leˇzandrovom teoremom. Kako vaˇzi Plejferova aksioma paralelnosti to je zbir unutraˇsnjih uglova u trouglu ∆ABC jednak 2R, pa je: 







CAA



= BAA − BAC = BAA − (R − ABC ) = BAA − R + ABC < 2 R − R = R 





Prava b je upravna na krak AC ugla CAA , pa na osnovu VII ekvivalenta, prava b mora seći i drugi krak tog ugla. Dakle, prave a i b se seku, tj. vaˇzi peti Euklidov postulat. Obratno, pretpostavimo da vaˇzi peti Euklidov postulat i neka su date prava a i taˇcka B van nje (Slika 3.8.). Neka su A i A proizvoljne taˇcke prave a i neka je B taˇcka ravni koju odred¯uju prava a i taˇcka B , takva da vaˇzi sledeće: 



¨ AB i A , B  −



A

AB + ABB  = 2R.

32




Slika 3.8. Sada imamo da je prava b, odred¯ena taˇckama B i B jedina prava ravni (a, B ) koja sadrˇzi taˇcku B i sa pravom a nema zajedniˇckih taˇcaka. Zaista, ako bi posto jala joˇs jedna prava sa istom osobinom, ona bi sa pravom AB gradila suprotne uglove ˇciji je zbir razliˇcit od zbira dva prava ugla. A kako vaˇzi peti Euklidov postulat, ta prava bi morala seći pravu a. Iz ovoga zakljuˇcujemo da vaˇ zi Plejferova aksioma paralelnosti. 

cene trećom Teorema 3.2.10 (IX ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Dve paralelne prave preseˇ grade jednake odgovarajuće uglove”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. cke Teorema 3.2.11 (X ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Kroz ma koje tri nekolinearne taˇ prolazi krug”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. zi Plejferova aksioma paralelnosti i neka su A , B i C tri proizvoljne Dokaz. Neka vaˇ nekolinearne taˇcke. Medijatrise stranica trougla ∆ABC pripadaju istom pramenu pravih. Nije teˇsko zakljuˇciti da te medijatrise pripadaju konkurentnom pramenu pravih, tj. da preseˇcna taˇcka O medijatrisa trougla ∆ABC zapravo predstavlja centar opisanog kruga oko trougla ∆ABC . Pokaˇ zimo i suprotan smer. Pretpostavimo da vaˇze aksiome apsolutne geometrije i neka kroz ma koje tri nekolinearne taˇcke prolazi krug. Neka prave a i b seku neku pravu p tako da je prava a upravna na p i b nije upravna na p (Slika 3.9.). Oznaˇcimo sa A i B preseˇcne taˇcke prave p sa pravama a i b, redom. Neka je C taˇcka prave p , takva da vaˇzi raspored taˇcaka B (A,C,B ). Neka je D taˇcka simetriˇcna u odnosu na pravu a taˇcki C , a q prava koja sadrˇzi taˇcku C i normalna je na pravu b. Taˇcku simetriˇcnu taˇcki C u odnosu na pravu b oznaˇcimo sa Q. Taˇcke D, C i Q su nekolinearne, jer bi u suprotnom vaˇzilo b ⊥ p. Na osnovu pretpostavke sledi da postoji krug koji sadrˇzi ove tri taˇcke. Centar ovog kruga oznaˇcimo sa O. Taˇcka O je podjednako udaljena od temena D, C i Q trougla ∆DCQ, tj. OD ∼ = OC ∼ = OQ. Centar kruga O pripada pravoj a, jer a medijatrisa duˇzi DC . S druge strane, pripada i pravoj b, jer je b medijatrisa duˇzi CQ. O je zajedniˇcka taˇcka pravih a i b. Dakle, 33


Slika 3.9. prave a i b se seku, ˇsto na osnovu teoreme 2.2.3. i treće Leˇzandrove teoreme znaˇci da vaˇ zi Plejferova aksioma paralelnosti. cke Teorema 3.2.12 (XI ekvivalent). Tvrd¯enje: ”U ravni postoje tri kolinearne taˇ podjednako udaljene od date prave”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Neka su A , B i C tri kolinearne taˇcke podjednako udaljene od date prave a .

Slika 3.10. Pravu kojoj pripada ju taˇcke A, B i C oznaˇcimo sa b. Neka su A , B i C podnoˇzja normala redom iz taˇcaka A, B i C na pravu a (Slika 3.10.). Kako je AA ∼ = BB i AA B = BB A = R, to je ˇcetvorougao AA B B Sakerijev. Tada je srednja linija M N tog ˇcetvorougla zajedniˇcka normala osnovice i protivosnovice, tj. M N ⊥ a i M N ⊥ b. Isto tako je i ˇcetvorougao BB C C Sakerijev, te je srednja linija P Q tog ˇcetvorougla, takod¯e zajedniˇcka normala pravih a i b. N i Q pripadaju pravoj b i ne pripadaju 















34











GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT pravoj a, odakle sledi da taˇcke M , P , Q i N obrazuju ˇcetvorougao sa ˇcetiri prava ugla odakle na osnovu II ekvivalenta sledi da vaˇzi Plejferova aksioma paralelnosti. Pretpostavimo sada da vaˇzi Pljeferova aksioma paralelnosti i pokazaćemo da postoje tri kolinearne taˇcke podjednako udaljenje od date prave. Neka su u ravni date prava a i taˇcke A, B i C (Slika 3.11.) sa iste strane prave a tako da je AA ∼ = BB ∼ = CC , gde su A , B i C podnoˇzja normala na pravu a redom iz taˇcaka A, B i C . Pokazaćemo da su taˇcke A, B i C kolinearne. 











Slika 3.11. ˇ Cetvorougao cetvorougao AA B B je pravougaonik, pa je AB  a. Isto tako je i ˇ AA C C pravougaonik, odakle je AC  a. Kako vaˇ zi Plejferova aksioma paralelnosti, a imamo da u taˇcki A postoje dve prave AB i AC u istoj ravni, koje su paralelne pravoj a, to sledi da se te dve prave AB i AC moraju poklapati. Dakle, taˇcke A , B i C su kolinearne. 







Teorema 3.2.13 (XII ekvivalent). Tvrd¯enje: ”Postoje dva trougla kojima su odgo-

varajući uglovi jednaki, a odgovarajuće stranice nejednake”, ekvivalentno je Plejferovoj aksiomi paralelnosti. Dokaz. Neka su dati trouglovi ∆ABC i ∆ A B  C  takvi da je A = A , B = B  i C = C  , a odgovarajuće stranice im nisu jednake. Tada posto ji taˇcka B1  =B na polupravoj AB takva da je AB1 = A  B  i taˇcka C 1  = C na polupravoj AC takva   da je AC 1 = A C .

Tada trouglovi ∆AB1 C 1 i ∆A B C imaju dva para podudarnih stranica i jednake njima zahvaćene uglove. Na osnovu prvog stava o podudarnosti trouglova sledi da su ova dva trougla podudarna. Odatle sledi: 



AB1 C 1 ∼ = A



Posmatrajmo ˇcetvorougao



B  C  i

BC C 1 B1 .

AC 1 B1 ∼ = A



C  B  .

Zbir unutraˇsnjih uglova tog ˇcetvorougla je:

σ (BC C 1 B1 ) = B + C + CC 1 B1 + C 1 B1 B

= B + C + (2R − C ) + (2R − B ) = 4R. 





35




Slika 3.12. Na osnovu II ekvivalenta zakljuˇcujemo da vaˇzi Plejferova akioma paralelnosti.

Slika 3.13. Obratno, pretpostavimo da vaˇzi Plejferova askioma paralelnosti. Neka je dat trougao ∆ABC i duˇz B C  = B C . Neka su B B1 i C C 1 poluprave takve da je 







(B



B1 , B  C  ) = B, (B  C  , C  C 1 ) = C.

Uglovi B i C su uglovi trougla, pa mora biti B + C < 2 R, odakle sledi da je zi Plejferova aksioma paralelnosti to sledi da vaˇzi i peti B + C < 2R. Kako vaˇ Euklidov postulat. Odatle zakljuˇcujemo da se poluprave B B1 i C C 1 će se seći u taˇcki A . Trouglovi ∆ABC i ∆A B C imaju sva tri odgovarajuća ugla jednaka, ali im odgovarajuće stranice nisu jednake. Ovim je dokaz teoreme zavrˇsen. 















Teorema 3.2.14 (XIII ekvivalent). Tvrd¯enje ”Kroz svaku unutraˇsnju taˇcku oˇstrog

ugla uvek se moˇze povu´ ci prava koja seˇce oba kraka tog ugla” je ekvivalentno Plejferovoh aksiomi paralelnosti.

36


3.3

Proklov argument

Prvi poznati pokuˇsaj da se dokaˇze postulat o paralelama preuzeo je Ptolomej u drugom veku naˇse ere. Njegovo zakljuˇcivanje je bilo sloˇzeno, ali je u osnovi njegov dokaz bio jednostavan. On je pretpostavio alterantivni oblik postulata, a onda je iz njega izveo izvorni oblik. Med¯utim, to je bio samo ”prividan” dokaz, jer se ispostavilo da su neke od najbanalnijih pretpostavki, tako oˇcigledne da ˇcak nisu ni formulisane, u stvari preruˇsen postulat o paralelama. U nastavku ćemo izloˇziti jedan zanimljiv pristup dokazu Euklidove aksiome o paralelama. Naime, antiˇ cki mislilac Proklo 2 preduzeo je jedan znameniti pokuˇsaj dokazivanja petog Euklidovog posulata. Proklo je bio upravnik neoplatonovske ˇskole u Atini. Pisao je komentare na dela Euklida, Platona, Ptolomeja. Najviˇse je vremena provodio analizirajući Euklidove Elemente i pritom napisao komentar prve knjige Elemenata, koji predstavlja glavni izvor naˇseg znanja o geometriji starih Grka. Da bismo razumeli njegov dokaz, korisno je najpre uraditi tri stvari. Prvo, primeniti alternativni vid postulata, odnosno njegov ekvivalent, Plejferovu aksiomu paralelnosti. Drugo, uˇciniti Proklov argument malo manje tehniˇckim. I treće, prevesti ga sa grˇckog. Da bismo postavili Proklov dokaz u povoljnije okruˇzenje, zamislimo, na primer, Petu aveniju u Njujorku. A zatim joˇs jednu aveniju, uporednu sa njom, koju ćemo ˇ nazvati Sesta avenija. Prema Euklidu, to znaˇci da se ove dve avenije ”ne seku”. Visoko povrh prodavaca kafe i virˇsli na ˇSesto j aveniji uzdiˇze se velelepno zdanje u kome svoje prostorije ima ugledni izdavaˇc koji ob javljuje samo najbolje knjige Fri pres . Bez ikakve namere da mu se umanji ugled, Fri pres će u ovom primeru igrati ulogu ”spoljne taˇcke”. Shodno matematiˇckoj tradiciji, treba imati na umu da je sve ˇsto smo upravo izloˇzili ujedno i sve ˇsto se moˇ ze pretpostaviti o ovim ulicama. Iako za potrebe konkretne ilustracije imamo u vidu dve odredjene avenije, te kao matematiˇcari ne smemo da koristimo nikakva druga svojstva ovih ulica u dokazu koji izvodimo osim ovih koja smo eksplicitno naveli. Matematiˇcki dokaz jeste veˇzbanje u kome se koriste samo eksplicitno iznete ˇcinjenice. Sada smo spremni da izloˇzimo Plejferovu aksiomu u obliku prilagod¯enom naˇsem kontekstu: ˇ Ako su dati Peta avenija i izdavaˇc Fri pres na Sestoj aveniji, ne moˇze biti drugih ˇ ulica u kojima bi takod¯e bio Fri pres , a koje bi poput Seste avenije, bile uporedne sa Petom avenijom. Da se primetiti da ovaj iskaz ne odgovara u potpunosti Plejferovoj aksiomi, zato ˇsto smo, poput Prokla, pretpostavili da postoji bar jedna prava, ili ulica, koja je uporedna sa datom pravom, u naˇsem sluˇcaju sa ulicom. To se naime tek mora dokazati, ali je Prokle protumaˇcio da jedna Euklidova teorema to jemˇci. Prihvatićemo 2

Proklo Dijadoh (grˇc. Πρoκλoς ), 5. vek n.e., grˇcki filozof

37

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT ovo za sada i videćemo da li na osnovu ovog argumenta moˇzemo da dokaˇzemo aksiomu u obliku u kome je prethodno izloˇzen. Da bismo postulat dokazali, odnosno da bismo ga pretvorili u teoremu, moramo ˇ da pokaˇzemo da se svaki put koji prolazi pored Fri presa , osim Seste avenije, seˇce s Petom avenijom. Ovo izgeda oˇcigledno na osnovu naˇseg svakodnevnog iskustva. Upravo zbog toga se takce ulice nazivaju popreˇcnim ulicama. Ono ˇsto je neophodno da uradimo jeste da dokaˇzemo pretpostavku bez pomoći postulata o paralelama. Poˇcećemo tako ˇsto ćemo zamisliti treću ulicu, ˇcija su jedina svojstva da ide pravo i da prolazi pored Fri presa . Neka se ta ulica zove Brodvej. Saglasno svom metodu dokazivanja, Prokle bi krenuo od Fri Presa i iˇsao Brodvejem na jug. Zamislite neku ulicu koja vodi od mesta gde se Prokle zatekao do ˇ Seste avenije. Nazovimo tu ulicu Nikolajeva ulica. Situaciju imate prikazanu na narednom crteˇzu.

Slika 3.14: Proklov dokaz 38

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT ˇ Nikolajeva ulica, Brodvej i Sesta avenija obrazuju pravougli trougao. Kako Prokle nastavlja da se kreće Brodvejem, pravougli trougao nastao na ovaj naˇcin posta je sve ve´ ci. U krajnjoj liniji, strane trougla, ukljuˇcujući i Nikolajevu ulicu, mogu da se pove´ caju koliko vam drago, te tako Nikolajeva ulica konaˇcno posta je duˇza od ˇ razmaka izmed¯u Pete i Seste avenije. Prema tome, rekao bi Proklo, Brodvej mora da preseˇce Petu aveniju, a upravo je to i trebalo dokazati. Ovaj argument jeste jednostavan, ali pogreˇsan. Pre svega, pojam ”sve veći” na izvestan naˇcin je zloupotrebljen. Nikolajeva ulica, naime, moˇze da postaje sve veća, a da pri tom ostane manja od jednog bloka, sliˇcno nizu bro jeva 12 , 23 , 34 , 45 , 56 ... koji takod¯e postaju sve veći, ali nikada ne nadmaˇsuju jedinicu. Ovaj nedostatak moˇze se otkloniti. No kljuˇcni nedostatak jeste to ˇsto je Proklo, poput Ptolemeja, upotrebio jednu neosnovanu pretpostavku. Primenio je jedno svojstvo uporednih puteva koje intuitivno izgleda taˇcno, ali koje nije dokazao. Koja je ta pretpostavka? ˇ Proklova greˇska odnosila se na ”razdaljinu izmed¯u Pete i Seste avenije”. Podsetimo se kako je to mesto glasilo: ”Ako sluˇcajno znate [...] da ih razdvaja tolika i tolika razdaljina [...] zaboravite slobodno na sve to.” Iako Prokle ne kaˇze taˇcno kolika je ta razdaljina, on podrazumeva da je ona nepromenljiva. To nam kaˇze naˇse ˇ iskustvo s uporednim pravim, odnosno s Petom i Sestom avenijom, ali se ne moˇze matematiˇcki dokazati bez primene postulata o paralelama: ne razlikuje se od samog postulata. Isti propust promakao je i velikom bagdadskom uˇcenjaku Tabitu ibn Kuri3 u devetom veku. Da biste sebi predoˇcili Tabitovu ideju, zamislite da se krećete pravolinijski Petom avenijom, drˇzeći neki kruti metar, dugaˇcak jedan blok zgrada, pod pravim uglom u odnosu na ulicu u kojoj se nalazite. Kako Tabit napreduje Petom avenijom, kakvu putanju ispisuje taˇcka na suprotnom kraju njegovog metra? Tabit ˇ je utvrdio da je posredi prava linija, recimo, Sesta avenija. Na temelju ove pretpostavke on je potom ”dokazao” postulat o paralelama. Linija koju opisuje dalji kraj metra svakako je nekakva kriva, ali ˇsta nam da je za pravo da tvrdimo da je posredi prava linija? Ono ˇsto nas ovlaˇsćuje u ovom smislu jedino moˇze da bude, pogodili ste, postulat o paralelama. Jedino je u euklidskom prostoru skup taˇ caka na istoj udaljenosti od neke prave takod¯e prava. Tabit je ponovio Ptolemejevu greˇsku. Krajem osamnaestog stoleća matematiˇcari bi, da su neˇsto drugaˇcije videli svoja otkrića, zakljuˇcili da neeuklidski prostori moˇ zda postoje, a ako postoje, onda i imaju neka veoma neobiˇcna svo jstva. No njih je, umesto toga, naprosto ozlojed¯ivala ˇcinjenica ˇsto nisu mogli da dokaˇzu da ta neobiˇcna svojstva vode do protivureˇcnosti, te da je stoga prostor euklidski. Narednih pola veka bile su godine tajne revolucije. Postepeno, u nekoliko zemalja, otkrivane su nove vrste prostora, ali zajednica matematiˇcara nije ih bila svesna ili ih nije uoˇcavala. Tek kada su, sredinom devetnaestog stoleća, prouˇceni radovi jednog nedugo pre toga preminulog starca iz Getingena u Nemaˇckoj, obznanjene su tajne neeuklidskog prostora. Tada je ve´ cina onih koji su skinuli veo s ovih tajni već bila pokojna, baˇs kao i ovaj starac. 3

Thabit ibn Qurra (826 901), iraˇ ski matematiˇcar, filozof i astronom

39


3.4

Sakerijev i Lambertov pokuˇ saj

Budući da nikako nije uspevalo direktno dokazivanje Euklidove aksiome o paralelama, dva su matematiˇcara u XVIII veku, Sakeri4 i Lambert5 , nezavisno jedan od drugog pokuˇsali dati indirektan dokaz. Obojica su poˇsla od ˇcinjenice da je Euklidova aksioma paralelnosti ekvivalentna tvrd¯enju da postoji ˇcetvorougao sa ˇcetiri prava ugla. Sakerijeva prouˇ cavanja bila su objavljena 1733. godine u Milanu pod naslovom ”Euclides ob omni naevo vindicatus”. U tom delu Sakeri pokuˇsava da V postulat dokaˇze indirektnim putem.

Slika 3.15. Sakeri polazi od posmatranja ˇcetvorougla ABB A (Slika 3.15.) koji ima dva prava ugla na osnovici AB i dve jednake boˇcne strane AA i BB . Iz simetriˇcnosti slike u odnosu na normalu HH sledi da su uglovi kod temena A i B med¯usobno jednaki. Ako se usvoji V postulat i, prema tome, Euklidova teorija paralelnih linija, moˇze se odmah utvrditi da su uglovi kod temena A i B pravi, a ˇcetvorougao ABB A - pravougaonik. Obrnuto po Sakeriju, kad bi bar u jednom ˇ cetvorouglu ˇ ci uglovi na gornjoj osnovici bili pravi, vaˇzio bi Euklidov postulat o paralelama. Zele´ da dokaˇze taj postulat, Sakeri je uˇcinio tri moguće pretpostavke; ili su uglovi A i B pravi, ili tupi, ili oˇ stri. Ove tri pretpostavke on je nazvao hipotezama pravog, tupog i oˇstrog ugla. Poˇsto je hipoteza pravog ugla ekvivalentna V postulatu, to, da bi se ta j postulat dokazao, treba odbaciti dve druge hipoteza. Potpuno taˇ cnim rasud¯ivanjem Sakeri najpre dovodi do protivureˇcnosti hipotezu tupog ugla i to tako ˇsto je dokazao da zbir uglova na protivosnovici ne moˇze biti ve´ ci od opruˇzenog ugla. Ukoliko bi to bilo moguće, tada bi prave u prostoru bile konaˇ cne, ˇsto je u kontradikciji sa II Euklidovim postulatom. Med¯utim, dokazati da zbir uglova na protivosnovici ne moˇze biti manji od opruˇzenog ugla pokazalo se kao daleko ve´ ci problem. Sakeri je uporno dokazivao nova tvrd¯enja traˇzeći u njima kontradikciju, ali sve ˇsto je iz njegovog rada proizaˇslo su zapravo brojne teoreme hiperboliˇcke geo





















4 5

Giovanni Girolamo Saccheri (1667 - 1733), italijanski matematiˇ car Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777), ˇsvajcarski matematiˇcar i fiziˇcar

40

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT metrije. Razvijajući to ispitivanje Sakeri izgrad¯uje sloˇzen geometrijski sistem, ˇcija su po jedina tvrd¯enja toliko protivureˇcna naˇsim predstavama o poloˇzaju pravih u ravni, da bi se mogla smatrati apsurdnim. Na primer, u geomerijskom sistemu koji odgovara hipotezi oˇstrog ugla dve paralelne prave ili imaju samo jednu zajedniˇcku normalu, od koje se na obe strane neograniˇceno udaljavaju jedna od druge, ili nema ju nijednu i, pribliˇzavajući se jedna drugo j asimptotski u jednom smeru, neograniˇceno se jedna od druge udaljavaju u drugom smeru. U samo j protivureˇcnosti sa uobiˇcajenim prostornim predstavama Sakeri, ispravno, ne vidi logiˇcku nemogućnost tih stavova. Ali posle niza besprekorno taˇcnih rasud¯ivanja, Sakeri utvd¯uje laˇznost hipoteze oˇstrog ugla. Smatrajući da su na taj naˇcin hipoteze tupog i oˇstrog ugla dovedene do protivureˇcnosti, Sakeri zakljuˇcuje da je jedino hipoteza pravog ugla istinita i da je na ta j naˇcin dat dokaz V postulata. Oˇcigledno, Sakeri pri tom i sam oseća da hipotezu oˇstrog ugla nije doveo do logiˇcke protivureˇcnosi i on se ponovo vraća na nju da bi dokazao da je ona ”protivureˇcna samoj sebi”. U tom cilju on izraˇcunava na dva naˇcina duˇzinu neke linije i za nju dobija dve razliˇcite vrednosti. Ta okolnost bi odista u sebi sadrˇzala protivureˇcnost, ali je Sakeri doˇsao do nje uˇcinivˇsi greˇsku u raˇcunanju. Iako Sakeri nije primetio greˇsku, on je ipak, kako se vidi iz nekih njegovih primedaba, i svojim dopunskim rasud¯ivanjem bio nezadovoljan. Svoj rad na ovoj temi Sakeri zakljuˇcuje reˇcima:”hipoteza oˇstrog ugla je apsolutno netaˇ cna, jer je u suprotnosti sa prirodom pravih linija”.

Slika 3.16. Ideje koje je Lambert razvio u delu ”Teorija paralelnih linija” iz 1766. godine bliske su Sakerijevim shvatanjima. Lambert posmatra ˇcetvorougao ABCD koji ima tri prava ugla A, B i C (Slika 3.16.); za ˇcetvrti ugao mogu se takod¯e uˇciniti tri pretpostavke; da je ta j ugao oˇstar, prav ili tup. Na ta j naˇcin, ovde se opet javljaju tri hipoteze. Poˇsto je utvrdio ekvivalentnost hipoteze pravog ugla sa V postulatom i doveo do protivureˇcnosti hipotezu tupog ugla, Lambert je, sliˇcno Sakeriju, primoran da se najviˇse bavi hipotezom oˇstrog ugla. Hipoteza oˇstrog ugla dovodi Lamberta, kao i Sakerija, do sloˇzenog geometrijskog sistema. Zadatak da se dokaˇze V postulat bio bi reˇsen kad bi se u tom sistemu pronaˇsla dva stava koji su logiˇcki protivureˇcni 41

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT jedan drugom. Med¯utim, bez obzira na to ˇsto je veoma razvio pomenuti sistem, Lambert nije uspeo da u njemu naid¯e na dva tvrd¯enja koja se logiˇcki uzajamno iskljuˇcuju. Kao ni Sakeri, ni on nije zakljuˇcke o laˇznosti hipoteze oˇstrog ugla izveo samo na osnovu toga ˇsto su te osobine protivureˇcne naˇsim oˇciglednim predstavama o osobinama pravih. Ali za razliku od Sakerija, Lambert nije uˇcinio greˇsku usled koje bi hipotezu oˇstrog ugla mogao smatrati odbaˇcenom i, prema tome, V postulat dokazanim. Lambert nigde u svom delu ne tvrdi da je dokazao V postulat i dolazi do zakljuˇcka da nijedan drugi pokuˇsaj u tom pravcu nije doveo do cilja. ”Dokazi Euklidovog postulata”, piˇse Lambert, ”mogu se dovesti tako daleko, da, oˇcigledno, preostaje neznatna sitnica. Ali, pri podrobnoj analizi ispostavlja se da baˇs u toj prividnoj sitnici leˇzi sva suˇstina pitanja; ona obiˇcno sadrˇzi ili stav koji treba dokazati ili njemu ekvivalentan postulat”. Osim toga, razvijajući sistem posledica hipoteze oˇstrog ugla, Lambert otkriva analogiju toga sistema sa sfernom geometrijom i u tome vidi mogućnost njegovog postojanja. ”Sklon sam ˇcak da poverujem da je treća hipoteza taˇcna na nekoj imaginarnoj sferi. Mora postojati uzrok usled koga se ona u ravni ni izdaleka ne moˇ ze oboriti onako lako kako se to moˇze uˇciniti sa drugom hipotezom”. Lambert je na neobiˇcan naˇcin predosetio pravo reˇsenje pitanja V postulata i on je dalje no iko pre njega iˇsao pravilnim putem.

42


3.5

Tiboov prividan dokaz

Kad već nisu uspeli dokazati Euklidovu aksiomu o paralelnosti, mnogi matematiˇcari su na razne naˇcine pokuˇsavali da dokaˇzu neki od njenih ekvivalenata. Ukoliko bi takav dokaz uspeo, ne pozivajući se na aksiomu o paralelnosti, zakljuˇcili bismo da V Euklidov postulat nije aksioma, nego teorema. Med¯utim, nijedan pokuˇsaj nije uspeo.

Slika 3.17. Tibo Ovde ćemo izneti jedan od tih prividnih ”dokaza” koji je dao Tibo6 . On je ˇzeleo da dokaˇze teoremu koja kaˇze da je zbir unutraˇsnjih uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla. Kako je to tvrd¯enje ekvivalentno Plejferovoj aksiomi paralalenosti, a samim tim i V Euklidovom postulatu, sledilo bi da je Tibo na indirektan naˇ cin dokazao aksiomu paralelnosti. Podsetimo se, najpre, kako uobiˇcajeno dokazujemo da je zbir uglova u nekom trouglu jednak 2R. Posmatrajmo trougao ∆ABC sa uglovima α, β i γ redom kod temena A, B i C (Slika 3.18.). Produˇzimo stranicu BC ovog trougla preko temena C . U tom istom temenu konstruiˇsimo paralelu CD sa stranicom AB . Ta paralela deli spoljaˇsnji ugao kod temena C na uglove α i β . Kako su β i β uglovi sa paralelnim kracima, oni su jednaki med¯u sobom, tj. β = β . Iz istog razloga su i uglovi α i α jednaki. Sa slike vidimo da je α + β + γ = 2R, a na osnovu prethodnog je 













α + β + γ = 2R.

Time smo pokazali da je zbir uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla. Potrebno je istaknuti da smo u dokazu koristili aksiomu paralelnosti. Kao ˇsto znamo, dokaz je izveden uz pomoć prave CD paralelne stranici AB . No, da u taˇcki C 6

Bernhard Friedrich Thibaut (1775-1832), nemaˇcki matematiˇcar

43


Slika 3.18.

postoji prava, i to jedinstvena, koja je paralelna pravoj AB garantuje upravo aksioma paralelnosti.

Slika 3.19. Tibo je bio uveren da mu je uspelo dokazati da je zbir uglova u trouglu jednak zbiru dva prava ugla bez pozivanja na aksiomu paralelnosti. Svoj dokaz izveo je pomoću triju rotacija prave p u nekoj ravni. Posmatrajmo trougao ∆ABC (Slika 3.19.). Prava p neka je odred¯ena taˇckama A i B i orijentisana udesno. Rotirajmo pravu p oko temena B u smeru kretanja kazaljke na ˇcasovniku dok se ne poklopi sa stranicom BC . Prava p se pri tom rotirala za ugao β . Zatim, rotirajmo pravu p dok se ne poklopi sa stranicom CA u istom smeru. Tako je prava p rotirala za ugao γ . Treća rotacija prave p neka bude oko temena A za ugao α. Nakon treće rotacije prava p će se ponovo poklopiti sa stranicom AB . Prava p je u toku ovih triju rotacija postepeno menjala svoj smer kako pokazuju strelice na slici i na kraju se ponovo naˇsla u poˇcetni poloˇzaj samo sa suprotnim smerom. Zbir uglova za koje je 44

GLAVA 3. V EUKLIDOV POSTULAT prava p izvrˇsila sve tri rotacije iznosi α + β + γ , a to je upravo zbir uglova u trouglu. S druge strane, prava p bi se mogla naći u istom poloˇzaju, kao i kada je izvrˇsila tri uzastopne rotacije redom oko temena B , C i A, ako bi naˇcinila jednu rotaciju oko vrha A za ugao 2R. Odavde Tibo zakljuˇcuje da je zbir uglova u trouglu: α + β + γ = 2R.

Izgleda da smo uspeli dokazati da zbir uglova u trouglu iznosi 2R, s tim da u dokazu nismo uopˇste koristili aksiomu o paralelnosti. To znaˇci da teorema o zbiru uglova u trouglu ne zavisi od aksiome paralelnosti. No, kako je teorema o zbiru unutraˇsnjih uglova u trouglu ekvivalentna toj aksiomi, sledi da smo na posredan ˇ naˇcin dokazali tu aksiomu. Cim se neka aksioma moˇ ze dokazati, ona odmah u deduktivnom sistemu gubi poloˇzaj aksiome i spada u teoreme. Tada na se na kraju ovog razmatranja priˇcinjava da je Tibo uspeo da dokaˇze V Euklidov postulat. Da je Tiboov dokaz pogreˇsan ukazuje ˇcinjenica da bi se na isti naˇcin mogalo dokazati da je zbir uglova sfernog trougla jednak zbiru dva prava ugla (Slika 3.20.). Dokaz se izvodi na sliˇcan naˇcin, samo ˇsto ćemo u ovom sluˇcaju pravu p zameniti glavnom kruˇznicom sfere kojo j pripada taj trougao. Ovde bismo uzeli da glavna kruˇznica u poˇcetnom poloˇzaju prolazi kroz taˇcke A i B , te bismo je redom rotirali oko temena B , C i A. Na taj naˇ cin dobili bismo isto ˇsto i u dokazi Tiboa. Tako bismo zakljuˇcili da je zbir uglova sfernog trougla jednak 2R, ˇsto nije istina, jer se u sfernoj geometriji dokazuje da je taj zbir uvek veći od 2R. Sada je logiˇcno postaviti pitanje: Gde je Tibo pogreˇsio? Greˇska je u tome ˇsto

Slika 3.20. su tri uzastopne rotacije prave p (ili glavne kruˇznice) oko triju razliˇcitih taˇcaka B , C i A s uglovima β , γ i α ekvivalentne jedno j rotaciji oko taˇcke A za ugao β + γ + α jedino ako je: BAD = ABC i DAE = BC A ˇsto je moguće samo ako u taˇcki A postoji jedina paralela AD sa CB , tj. ako vaˇzi V Euklidov postulat. Dakle, i Tibo se kao i mnogi drugi matematiˇcari pokuˇsavajući da dokaˇze aksiomu paralelnosti neprimetno u toku samog dokaza oslanjao na tu istu aksiomu. 45

Glava 4 Geometrija Lobaˇ cevskog 4.1

Gausova teorija o V Euklidovom postulatu

Suˇstinskih promena u geometriji nije bilo joˇs od vremena Euklida i Arhimeda sve do prve polovine devetnaestog veka. Mnogi pokuˇsaji da se razreˇsi pitanje petog Euklidovog postulata ostali su bezuspeˇsni. Karl Fridrih Gaus1 sa dvanaest godina poˇceo je da kritikuje Euklidove Elemente . Usredsredio se, kao i drugi pre njega, na postulat o paralelama. Za razliku od svih svojih prethodnika, Gaus nije pokuˇsao da dod¯e do nekog prihvatljivijeg vida ovog postulata niti da ga uˇcini nepotrebnim time ˇsto bi ga dokazao preko drugih postulata. Umesto toga, doveo je u sumnju njegovu valjanost. Da li je moguće, zapitao se Gaus, da je prostor zapravo zakrivljen?

Slika 4.1: Karl Fridrih Gaus

1

Johann Carl Friedrich Gauß (1777-1855), nemaˇcki matematiˇcar i nauˇcnik

46

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG Kada se Gaus 1795. upisao na Getingenski univerzitet, veoma se zainteresovao za problem petog postulata. Jedan od njegovih profesora, Abraham Kestner, sakupljao je iz hobija literaturu o istoriji petog postulata. Kestnerov student Georg Kligel ˇcak je, kao doktorsku disertaciju, preduzeo analizu dvadeset osam neuspelih pokuˇsaja da se postulat dokaˇze. No, ni Kestner niti bilo ko drugi nije bio pripravan da prihvati ono ˇsto je Gaus podozrevao: da je postulat moˇzda netaˇcan. Kestner je ˇcak jednom prilikom primetio da bi samo ludak mogao da posumnja u valjanost postulata. Gaus je zadrˇzao svoje miˇsljenje za sebe. Gaus je prvi doˇsao, nakon dugogodiˇsnjeg razmiˇsljanja, do uverenja da se moˇze izgraditi geometrija, u sebi neprotivureˇcna, u kojoj bi se Euklidova aksioma o paralelama zamenila hipotezom o oˇstrom uglu. Takvu geometriju nazvao je ”neeuklidska”. Ta svoja shvatanja Gaus nije objavio. Do 1824. godine Gaus je uspeo da razdradi ˇcitavu teoriju neeuklidske geometrije i 6. novembra iste godine, advokatu Taurinusi, koji se isto tako bavio matematikom, piˇse sledeće: ”Pretpostavka da je zbir uglova u trouglu manji od 180 vodi do posebne geometrije, razliˇcite od naˇse (euklidske), koja je sasvim celovita i koju sam ja razradio na potpuno zadovoljavajući naˇcin...”. Mnoge od svojih dela Gaus nije ˇzeleo da objavi, strahuju´ ci od reakcije koju bi izazvali novi pogledi na peti Euklidov postulat, te je i Taurinusa zamolio da njegove zamisli u vezi neeuklidske geometrije ne izlaˇze javnosti. Njegovi radovi su pronad¯eni tek posle njegove smrti. ◦

47

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG

4.2

Doba Lobaˇ cevskog i Boljaja

Pored Gausa, teorijom paralela bavili su se i drugi istaknuti matematˇcari tog vremena kao ˇsto su Dalamber, Laplas2 i Lagranˇz3. Ostalo je zabeleˇ zeno da je Lagranˇz u kasnim godinama svoga ˇzivota pripremao jednu raspravu o paralelama i da je na samom poˇcetku njenog izlaganja u Akademiji zastao i zavrˇsio reˇcima: ”Moram joˇs o tome da razmislim”. Nije joˇs mnogo vremena proˇslo do konaˇ cnog rasvetljenja ovog problema. Problem paralela je reˇsen, ali u neskladu sa predrasudama koje su vekovima vladale. Poˇcetkom devetnaestog veka Nikolaj Lobaˇcevski i Janoˇs Bolja j su nezavisno jedan od drugoga doˇsli na ideju da peti Euklidov postulat zamene aksiomom koja bi ga negirala. Nemajući pred sobom oˇcigledne slike koje bi poduprle njihov pogled na osnove geometrije, oni su umeli da izgrade teoriju koja je isto toliko logiˇcki valjana kao i euklidska geometrija. Oni su, kako mladi Janoˇs Boljaj, istiˇce u jednom pismu svome ocu, ”ni iz ˇcega” stvorili ”jedan sasvim novi svet”. Tako je po prvi put zasnovana jedna teorija koja se nije zasnivala na oˇciglednosti. Iz geometrijskog sveta u kojem se u potpunosti moglo osloniti na intuiciju zasnovanu na predstavama koja ostvaruju ˇcula, zakoraˇcilo se u svet koji postoji izvan dohvata naˇseg iskustva. Iste godine 1823., kada je i Janoˇs Boljaj pisao svom ocu da je otkrio novu geometriju, u mestu Kazanj u Rusiji, Nikolaj Ivanoviˇc Lobaˇcevski istraˇzivao je posledice naruˇsavanja postulata o paralelama u jednom neobjavljenom udˇzbeniku geometrije. Lobaˇ cevskom je mentor bio Johan Bartels, u to vreme profesor na univerzitetu u Kazanju. Zajedno sa Bartelsom Volfgang Boljaj, otac Janoˇsa Boljaja, se zanimao za neeuklidsku geometriju i pri tom vodili rasprave o to j zamisli sa matematiˇcarom Gausom.

Slika 4.2: Nikolaj Lobaˇcevski (levo) i Janoˇs Boljaj (desno) 2 3

Pierre-Simon, Marquis de Laplace (1749 - 1827), francuski matematiˇ car i astronom Joseph-Louis, comte de Lagrange (1736 - 1813), francusko-italijanski matematiˇcar

48

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG Rezultate svojih istraˇzivanja Lobaˇcevski je saopˇstio u odeljenju fiziˇcko - matematiˇckih nauka Kazanjskog univerziteta dana 23. februara 1826. godine, a rad Saˇzeto izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o paralelama , koji obeleˇzava poˇcetak neeuklidske geometrije, publikovao je u ”Vesniku” Kazanjskog univerziteta 1829. godine. Mad¯arski matematiˇcar Janoˇs Boljaj je rezultate svojih istraˇzivanja objavio 1832. godine u vidu dodatka knjige ”Geometrija” svojeg oca Volfganga Boljaja. Stoga se taj rad u literaturi i sre´ ce pod naslovom ”Apendiks”, ˇsto na latinskom jeziku znaˇci ”dodatak”. Kako je Boljajev otac bio Gausov prijatelj, rad je poslao Gausu s molbom da da miˇsljenje o vrednosti rada njegovog sina. U odgovoru Gaus mu piˇse da se rezultati do kojih je doˇsao mladi Bolja j podudara ju s njegovim. U tom pismu Gaus napominje da nema nameru da publikuje iˇsta od tih svojih radova, jer smatra da većina matematiˇcara ne bi shvatila o ˇcemu se u njima radi. Janoˇs se potpuno razoˇ carao odgovorom Gausa. Nije mogao da veruje da je ˇ je pomiˇsljao da je Gaus i pre njega doˇsao do otkrića neeuklidske geometrije. Cak njegov otac ranije otkrio ideje iznete u Apendiksu . Iako se kasnije uverio da je ta sumnja neopravdana, nikada nije mogao da oprosti Gausu ˇsto nije javno pohvalio vrednost njegovog rada. Nije iznenad¯ujuće to ˇsto zamisli Lobaˇcevskog i Bolja ja nisu za njihova ˇzivota dobile priznanje koje im pripada. Samo je Gaus razumeo dubinu i dalekoseˇ znost njihovih ideja, jer su se one podudarale sa njegovim zamislima. Zanimljivo je to ˇsto je Gaus znao za radove obojice matematiˇcara, ali nije nijednog od njih upoznao sa rezultatima drugog. Do Boljaja je dospela jedna rasprava Geometrijsko istraˇzivanje teorije paralela na nemaˇckom jeziku Nikolaja Lobaˇcevskog, dok Lobaˇcevski nikada nije saznao za rad Janoˇsa Boljaja. Boljaj se zaˇcudio kako se mnoge postavke u knjizi Lobaˇ cevskog podudaraju sa njegovim rezultatima u Apendiksu , te je poˇceo sumnjati da je njegov rad nekako doˇsao u ruke Lobaˇcevskog. Sumnjao je ˇcak da se pod imenom Lobaˇcevskog ne krije sam Gaus. Iako se Boljaju ne mogu osporiti zasluge za otkriće neeuklidske geometrije, ipak ga ne moˇzemo po znaˇcenju u tom poslu uporediti sa Lobaˇcevskim. Bolja j nije u svom reˇsenju postigao onu celovitost, potpunost i zaokruˇzenost koju je dao Lobaˇcevski. Stoga se zasluge za otkriće neeuklidske geometrije danas pripisuju najviˇse Lobaˇcevskom. Zbog toga novootkrivena geometrija dobija naziv po njegovom imenu - neeuklidska geometrija Lobaˇcevskog ili hiperboliˇcka geometrija . Dve decenije nakon otkrića hiperboliˇcke geometrije otkrivena je joˇs jedna neeuklidska geometrija, tj. eliptiˇcka ili Rimanova geometrija , do koje je doˇsao matematiˇcar Riman4 1854. godine u svom radu O hipotezama koje leˇ ze u osnovi geometrije , razmatrajući tzv. polidimenzione povrˇsi. Eliptiˇcki prostor jeste prostor koji se dobija ako se pretpostavi jedno drugo naruˇsavanje postulata o paralelama: da uopˇste nema paralelnih linija, tj. da se sve linije u ravni moraju se´ ci. Ukoliko se prisetimo izuˇcavanja Sakerija i Lamberta vezana za dokaz V Euklidovog postulata, moˇzemo reći da eliptiˇcka geometrija nasta je ukoliko se umesto V Euklidovog postulata pretpostavi da vaˇzi, tzv. hipoteza tupog ugla (Slika 4.3.). 4

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866), nemaˇcki matematiˇcar

49


ˇ Slika 4.3: Cetvorougao u a) euklidskoj; b) hiperboliˇckoj i c) eliptiˇckoj geometriji

50


4.3

Aksioma Lobaˇ cevskog

U okviru apsolutne geometrije bili smo u mogućnosti da dokaˇzemo tvrd¯enje prema kojem u jednoj ravni kroz taˇcku A van prave a postoji prava koja s pravom a nema za jedniˇckih taˇcaka. Med¯utim, u apsolutno j geometriji nije moguće ustanoviti koliki je broj tih pravih. Uvod¯enjem aksiome prema kojoj kroz taˇcku A postoji samo jedna prava koja sa pravom a nema zajedniˇckih taˇcaka Plejfer je omogućio izgradnju euklidske geometrije. Polazeći od aksioma apsolutne geometrije i pretpostavke da posto je kroz taˇcku A dve prave koje s pravom a nemaju zajedniˇckih taˇcaka, Lobaˇcevski je doˇsao do potpuno nove tzv. hiperboliˇcke geometrije. U ovom odeljku samo ćemo izloˇziti njenu aksiomatiku i ukazati na mogućnost njene realizacije. Aksioma Lobaˇ cevskog. Postoje prava a i taˇcka A van nje tako da u njima odred¯enoj ravni kroz taˇcku A prolaze dve prave a1 i a2 koje sa pravom a nemaju zajedniˇckih taˇcaka (Slika 4.4.). Za taˇcku A i pravu a reći ćemo da imaju svojstvo Lobaˇcevskog .

Slika 4.4. Teoriju zasnovanu na sistemu aksioma apsolutne geometrije i aksiomi Lobaˇcevskog nazivamo hiperboliˇckom geometrijom ili geometrijom Lobaˇ ce-vskog . Ta geometrija se ponekad naziva i geometrijom Boljaj-Lobaˇcevskog ili geometrijom Gaus-BoljajLobaˇcevskog . Ravan i prostor u kojima vaˇze aksiome te geometrije nazivamo respektivno hiperboliˇckom ravni ili ravni Lobaˇcevskog i hiperboliˇckim prostorom ili prostorom Lobaˇcevskog , a oznaˇcavamo ih redom L2 i L3 . Aksioma Lobaˇcevskog omogućava da neposredno ustanovimo niz teorema koje se odnose na zbirove unutraˇsnjih i spoljaˇsnjih uglova prostih ravnih poligona. Sva tvrd¯enja koja vaˇze u apsolutnoj geometriji prenose se, a dobija se i niz novih tvrd¯enja koja su posledica aksiome Lobaˇcevskog. snjih uglova trougla u ravni L2 i ako je R Teorema 4.3.1. Ako je σ (∆) zbir unutraˇ prav ugao tada je σ (∆) < 2 R. zandrove teoreme sledi da je σ(∆) ≤ 2R. Ako bi bilo Dokaz. Na osnovu prve Leˇ coj Leˇzandrovoj teoremi za svaku pravu p i svaku σ (∆) = 2R tada bi prema tre´ taˇcku A van nje u njima odred¯enoj ravni postojala jedinstvena prava a koja sadrˇzi 51

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG taˇcku A i sa pravom p nema zajedniˇckih taˇcaka. Ovo je u suprotnosti sa aksiomom Lobaˇcevskog, te mora da vaˇzi da je σ (∆) < 2 R. snji ugao trougla u ravni L2 veći je od zbira dva unuTeorema 4.3.2. Svaki spoljaˇ traˇsnja nesusedna ugla tog trougla. Dokaz.

Slika 4.5. Neka su α, β i γ uglovi trougla ∆ABC redom kod temena A, B i C (Slika 4.5.). Ako oznaˇcimo sa α1 spoljaˇsnji ugao kod temena A i ako je R prav ugao, tada je α1 = 2R − α > α + β + γ − α = β + γ,

a ovo je trebalo pokazati. snjih uglova prostog n -tougla Teorema 4.3.3. Ako je σ (A1 A2 . . . An ) zbir svih unutraˇ 2 A1 A2 . . . An u ravni L i R prav ugao tada je σ (A1 A2 . . . An ) < ( n − 2) · 2R Dokaz. Teoremu ćemo dokazati primenom matematiˇcke indukcije po broju temena n-tougla.

Za n=3 tvrd¯enje oˇcigledno vaˇzi na osnovu Teoreme 4.3.1. Pretpostavimo da tvrd¯enje vaˇzi za prirodan bro j n. Dokazaćemo da isto vaˇzi i za n + 1. Na osnovu induktivne pretpostavke imamo sledeće σ(A1 A2 . . . An An+1 ) = σ (A1A2 . . . An) + σ (A1An An+1 ) < ( n − 2)2R + 2 R = ((n + 1) − 2)2R.

ckoj ravni dati prava a i taˇcka A van nje tada u Teorema 4.3.4. Ako su u hiperboliˇ njima odred¯enoj ravni postoji neograniˇceno mnogo pravih koje sadrˇze taˇcku A i ne seku pravu a. 52


Slika 4.6.

cevskog postoje dve prave a1 i a2 takve da sadrˇze Dokaz. Na osnovu aksiome Lobaˇ taˇcku A i sa pravom a nemaju zajedniˇckih taˇcaka. Oznaˇcimo sa A2 taˇcku prave a2 (Slika 4.6.) koja se nalazi sa one strane prave a1 sa koje nije prava a, a sa B proizvoljnu taˇcku prave a. Tada se taˇcke A2 i B nalaze sa raznih strana prave a1 , pa duˇz A2 B seˇce pravu a1 u taˇcki A1 . Tada je taˇcka A1 izmed¯u taˇcaka A2 B , pa su prema tome A1 i A 2 razliˇcite taˇcke. Neka je P proizvoljna unutraˇsnja taˇcka duˇzi A1 A2 , a p prava odred¯ena taˇckama A i P . Tada prava p nema zajedniˇckih taˇcaka sa pravom a. Zaista, ukoliko bi se ove dve prave sekle u nekoj taˇcki S , tada bi vaˇzio jedan od rasporeda B (A,P,S ) ili B (S,A,P ). Ako bi bilo B (A,P,S ), onda bi prava a 1 pripadala ravni trougla ∆P BS . Prava a1 tada ne bi sadrˇzala ni jedno teme trougla ∆P BS , sekla bi stranicu P B u taˇcki A1 i produˇzetak stranice P S u taˇcki A. Na osnovu Paˇsovog stava sledi da prava a 1 mora seći stranicu B S tog trougla, odnosno pravu a . Ovo je u kontradikciji sa pretpostavkom, odakle sledi da prava p nema zajedniˇckih taˇcaka sa pravom a. Analogno se pokazuje da isto vaˇzi i u sluˇcaju kada je B (S,A,P ) . S obzirom na ˇcinjenicu da na duˇzi A1 A2 posto ji beskonaˇcno mnogo unutraˇsnjih taˇcaka to posto ji i beskonaˇcno mnogo pravih u ravni odred¯enoj taˇckom A i pravom a, koje prolaze kroz taˇcku A i sa pravom a nemaju zajedniˇckih taˇcaka. Na osnovu prethodne teoreme zakljuˇcujemo da se skup svih pravih koje sadrˇze taˇcku A i koje se nalaze u ravni L2 moˇze razloˇziti na dva podskupa pravih M i N , pri ˇcemu je M skup svih pravih koje sadrˇze taˇcku A i seku pravu a , a N skup svih pravih koje sadrˇze taˇcku A i ne seku pravu a . Ovakvo razlaganje zadovoljava uslove Dedekindovog5 preseka, odnosno Dedekindove aksiome neprekidnosti6 , te postoje dve i samo dve prave koje razdvajaju skupove M i N . Indirektnim putem se moˇze 5

Julius Wilhem Richard Dedekind (1831-1916), nemaˇcki matemtiˇcar (Dedekindova aksioma neprekidnosti) Ako su M i N dva neprazna skupa taˇcaka orijentisane prave p tako da za proizvoljnu taˇcku P skupa M i proizvoljnu taˇcku Q skupa N vaˇzi da je taˇcka P ispred taˇcke Q ( P ≺ Q), tada na pravoj p postoji taˇcka X takva da je za svaku taˇcku P ∈ M\ {X } i Q ∈ N \ {X } vaˇzi relacija P ≺ X ≺ Q. 6

53

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG ustanoviti da graniˇcne prave ova dva skupa pravih nema ju sa pravom a zajedniˇckih taˇcaka, tj. da pripadaju skupu N . Definicija 4.3.1. Neka je u ravni Lobaˇ cevskog data prava a i taˇcka A izvan nje. Graniˇcne prave a1 i a2 koje razdvajaju pramen pravih ravni L2 koje sadrˇze taˇcku A na podskupove pravih koje ne seku pravu a i pravih koje seku pravu a, nazivamo pravama koje su paralelne sa pravom a u taˇcki A.

Smatraćemo da je jedna od pravih a1 i a2 parlalelna pravoj a u jednom smeru, a druga paralelna pravoj a u drugom smeru. Sve ostale prave u toj ravni koje sadrˇze taˇcku A i sa pravom a nemaju zajedniˇckih taˇcaka nazivamo hiperparalelnim pravama sa pravom a. Za paralelnost koristimo uobiˇcajenu oznaku p  a, a za hiperparalelnost koristimo oznaku p  a. U hiperboliˇckoj geometriji paralelne prave h

karakteriˇsu neke osobine koje ih bitno razlikuju od euklidske geometrije.

54


4.4

Ugao paralelnosti. Funkcija Lobaˇ cevskog

Jedna bitna karakteristika paralelnih pravih u geometriji Lobaˇ cevskog je ugao paralelnosti. U ovom delu ćemo definisati ugao paralelnosti dveju pravih, a zatim uvesti funkciju Lobaˇcevskog. Definicija 4.4.1. Neka je taˇcka P izvan prave BB  i Q podnoˇzje normale iz taˇcke P na pravu BB  . Ako je AA prava koja sadrˇzi taˇcku P i paralelna je sa BB  , tada oˇstar ugao ω = QP A nazivamo uglom paralelnosti prave AA  u taˇcki P sa pravom BB  , tj. uglom paralelnosti koji odgovara duˇ zi P Q.

Slika 4.7. Pokazaćemo da je ugao paralelnosti potpuno odred¯en rasto janjem taˇcke, tj. da vaˇzi sledeća teorema: zima odgovaraju jednaki uglovi paralelnosti. Teorema 4.4.1. Jednakim duˇ Dokaz. Neka su P i P  dve taˇcke koje se nalaze na jednakim rastojanjima redom od pravih a i a (Slika 4.8.). Kroz taˇcku P postavimo pravu u paralelnu pravoj a, a kroz taˇcku P  pravu u paralelnu pravoj a . Sa Q i Q oznaˇcimo redom podnoˇzja normala iz taˇcaka P i P  na prave a i a , a sa α i α uglove paralelnosti u taˇckama P i P  redom u odnosu na prave a i a . Kako se taˇcke P i P  nalaze na jednakim rastojanjima redom od pravih a i a , to je P Q = P  Q . Pokazaćemo da je α = α  . Pretpostavimo suprotno, da je α  = α . Neka je npr. α < α . Kroz taˇcku P  postavimo pravu v  koja sa duˇzi P  Q u smeru paralelnosti pravih a i u zaklapa ugao jednak uglu α. Iz paralelnosti pravih u i a sledi da prava v  mora seći pravu a u smeru paralelnosti pravih u  i a od taˇcke Q  . Oznaˇcimo sa R  njihovu preseˇcnu taˇcku. Neka je R taˇcka prave a u smeru paralelnosti pravih a i u takva da je QR ∼ = Q R . Trouglovi ∆P QR i ∆P  Q R su podudarni na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova, jer je P Q ∼ = P  Q , Q = Q i QR ∼ = Q R , odakle sledi da je QP R = α . To znaˇci da se prave u i P R poklapaju, tj. da se paralelne prave ce. Dakle, ne moˇze biti α < α . Analogno u i a seku u taˇcki R, a to je nemogu´ se pokazuje da ne moˇze biti α > α . To znaˇci da mora biti α = α , ˇcime je dokaz

zavrˇsen. 55


Slika 4.8. star. Teorema 4.4.2. Ugao paralelnosti je uvek oˇ Dokaz.

Slika 4.9. U ovo je lako uveriti se, ukoliko u taˇcki A konstruiˇsemo normalu AR na duˇz zi AB , pa su AB (Slika 4.9.). Prave AR i CC grade jednake suprotne uglove sa duˇ med¯usobno hiperparalelne7 i samim tim se ne seku. Neka je AP poluprava paralelna pravoj CC u smeru BC . Oˇcigledno je da poluprava AP ne moˇze biti iznad poluprave AR, jer tada ne bi bila ”prva” poluprava koja ne seˇ ce pravu CC . 





coj duˇzi odgovara manji ugao paralelnosti. Teorema 4.4.3. Ve´ Dokaz. Neka je A proizvoljna taˇcka van prave a i neka je P podnoˇzje normale iz taˇcke A na pravu a (Slika 4.10.). Oznaˇcimo sa b pravu koja sadrˇzi taˇcku A i paralelna je pravoj a. Sa α oznaˇcimo ugao paralelnosti koji odgovara duˇzi AP . Neka je A taˇcka prave AP takva da su A i A sa iste strane u odnosu na taˇcku P . 7

com pravom grade jednake suprotne uglove Teorema 4.6.4. Dve prave koje u preseku sa tre´ sto kasnije u radu) su hiperparalelne. (Dokaz ove teoreme uslediće neˇ

56


Slika 4.10. Pretpostavimo da je P A > P A. Konstruiˇsimo pravu b koja prolazi kroz taˇcku A i u smeru paralelnosti pravih a i b gradi ugao α sa A P . Dve prave b i b grade jednake suprotne uglove u preseku sa pravom A P , pa su prave b i b hiperparalelne 8 . To znaˇci da prava a koja sadrˇzi taˇcku A i paralelna je pravoj b gradi u smeru paralelnosti ugao α za koji je α < α. Iz a  b i b  a sledi da je a  a. Dakle, ugao paralelnosti α koji odgovara duˇzi A P je manji od ugla paralelnosti α koji odgovara duˇzi AP . 





























Iz napred navedenog zakljuˇcujemo da veliˇ cina ugla paralelnosti neke prave AA u taˇcki P sa pravom B B u proizvoljnom sistemu merenja duˇzi predstavlja funkciju odstojanja x taˇcke P od prave BB . Ovu funkciju obeleˇzavamo sa Π i nazivamo funkcijom Lobaˇcevskog . Sledeća teorema da je osnovne osobine funkcije Lobaˇcevskog: 





cevskog tada je: Teorema 4.4.4. Ako je Π funkcija Lobaˇ 1. dom (Π) = (0, +∞), 2. codom (Π) = (0, π2 ), 3. Π strogo opada i neprekidna je funkcija, 4. lim Π(x) = π2 , lim Π(x) = 0. x→0

x→∞

Dokaz.

1. Trivijalno sledi iz definicije. 2. Neka je α proizvoljan oˇstar ugao. Dokazaćemo da je ono ugao paralelnosti neke duˇzi x (Slika 4.11.). Neka je O teme, a a i b kraci ugla α. Odatle sledi da postoji jedinstvena prava a 9 normalna na pravu b i paralelna sa pravom a . Oznaˇcimo sa M presek pravih a i b. Duˇz OM zadovoljava relaciju Π(OM ) = α. Biće, dakle, x = OM i ovim je dokaz zavrˇsen. 



8

Teorema 4.6.4. Dve prave koje u preseku sa tre´ com pravom grade jednake suprotne uglove su hiperparalelne. 9 Teorema. 4.5.7. Ako je ω oˇ star ugao u ravni L2 tada postoji jedinstvena prava upravna na sto kasnije u jedan krak, a paralelna sa drugim krakom tog ugla. (Dokaz ove teoreme izloˇzićemo neˇ

ovom radu)

57


Slika 4.11. 3. Direktno sledi iz teoreme 4.4.3. 4. Sledi iz delova 2. i 3. ove teoreme. Iz same ˇcinjenice da Π(x) → π2 , kad x → 0 sledi da se u malim delovima prostora geometrija Lobaˇ cevskog malo razlikuje od Euklidske geometrije i da se ta razlika smanjuje sa smanjivanjem posmatranog dela prostora. Veza izmed¯u uglova i linearnih veliˇcina data funkcijom α = Π(x) uslovljava celokupni karakter geometrije Lobaˇcevskog. Na taj naˇcin u geometriji Lobaˇcevskog nema sliˇcnih figura. To nije teˇsko zakljuˇciti, jer su uglovi i stranice trouglova povezani med¯usobno jednaˇcinama, pa zadavanjem uglova trouglova potpuno su odred¯ene i njegove stranice, pa dva trougla sa podudarnim uglovima imaju podudarne i odgovarajuće stranice, tj. podudarni su med¯u sobom.

58


4.5

Paralelne prave u ravni L2

Definicijom 4.3.1. uvedena je relacija paralenosti dve prave u ravni L2 koja je bila strogo vezana za paralelnost jedne prave prema drugoj pravoj u odnosu na zadatu taˇcku. Pokazaćemo da paralelnost ne zavisi od taˇcke u odnosu na koju smo tu paralelnost definisali, tj. pokazaćemo da je svojstvo paralelnosti transmisibilno, odnosno prenosno. Teorema 4.5.1. Relacija paralelnosti pravih u ravni L2 je transmisibilna. Dokaz. Neka je prava AA paralelna pravoj BB  u nekoj taˇcki M . Pokazaćemo da je prava AA paralelna pravoj BB  u proizvoljnoj taˇcki N prave AA . Mogu

nastupiti dve mogućnosti: (i) Taˇcka N se nalazi na pravoj AA od taˇcke M u smeru paralelnosti, 

(ii) Taˇcka N se nalazi na pravoj AA od taˇcke M u smeru suprotnom od smera paralelnosti. 

Razmotrimo ponaosob svaki od ova dva sluˇcaja.

Slika 4.12. (i) Neka je K proizvoljna taˇcka prave BB (Slika 4.12.). Da bismo pokazali da je prava AA paralelna pravoj BB u taˇcki N dovoljno je da pokaˇ zemo da je AA graniˇcna prava u skupu pravih koje sadrˇze taˇcku N i ne seku pravu BB , odnosno dovoljno je pokazati da svaka prava koja sadrˇzi taˇcku N i proizvoljnu taˇcku P unutar ugla KN A seˇce pravu BB . Ako bi se taˇcka P nalazila na pravoj B B ili sa one strane prave B B sa koje nije taˇcka N , direktno bi sledilo da prava N P seˇce pravu BB . Zato pretpostavimo da se taˇcka P nalazi sa one strane prave BB sa koje je i taˇcka N . Kako je prava AA paralelna pravoj B B u taˇcki M , a taˇcka P se nalazi unutar ugla KM A , to prava M P seˇce pravu BB u neko j taˇcki Q. Prava N P u uglu KN M nema taˇcaka, te ne moˇze seći stranicu M K trougla ∆M KQ. Pored toga, i s obzirom da se nalazi u ravni trougla ∆M KQ i ne sadrˇzi nijedno njegovo teme, prava N P seˇce stranicu M Q tog trougla, pa na osnovu Paˇ sovog stava ona mora seći stranicu KQ, te seˇce i 





























59

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG pravu BB . To znaˇci da je u ovom sluˇcaju prava AA paralelna pravoj BB u taˇcki N . 





Slika 4.13. (ii) Neka se sada taˇcka N nalazi na pravoj AA od taˇcke M u smeru suprotnom od smera paralelnosti (Slika 4.13.). Neka je K proizvoljna taˇcka prave BB . Da bismo pokazali da je AA  BB u taˇcki N dovoljno je pokazati da je AA graniˇcna prava u skupu pravih koje sadrˇze taˇcku N i ne seku pravu BB , odnosno dovoljno je pokazati da svaka prava koja sadrˇzi taˇcku N i neku taˇcku P unutar ugla KN A seˇce pravu B B . Ukoliko se taˇcka P nalazi na pravoj B B ili s one strane prave B B sa koje nije taˇcka N , tada oˇcigledno prava N P seˇce pravu B B . Zato pretpostavimo da se taˇcka P nalazi sa one strane prave BB sa koje je i taˇcka N . Neka je R proizvoljna taˇcka prave N P iza taˇcke N u odnosu na taˇcku P . Prava RM sadrˇzi taˇcku R koja se nalazi u naporednom uglu ugla KM A, te ona sadrˇzi i taˇcku koja pripada drugom naporednom uglu ugla KM A. Prema tome, kako je AA  BB u taˇcki M , to prava RM seˇce pravu BB u nekoj taˇcki Q. Prava N P sadrˇzi teme konveksnog ugla KN M i taˇcku P unutar tog ugla, te seˇce duˇz K M u nekoj taˇcki S . Dakle, prava N P se nalazi u ravni trougla ∆M KQ, ne sadrˇzi nijedno njegovo teme, seˇce njegovu stranicu KM u taˇcki S i produˇzetak stranice M Q u taˇcki R, pa prema Paˇsovom stavu mora seći treću stranicu KQ tog trougla, tj. pravu BB . Ovim je pokazano da je AA  BB u taˇcki N . 



































Na osnovu ove teoreme sledi da nije potrebno naglaˇsavati u kojoj je taˇcki prava AA paralelna pravoj BB . 



Teorema 4.5.2. Relacija paralelnosti definisana na skupu pravih u ravni L2 je re-

lacija ekvivalencije. Dokaz. REFLEKSIVNOST: Ako u definisanju paralelnosti pravih u ravni L2 dopustimo da taˇcka A pripada pravoj a, tada u taˇcki A neće posto jati hiperparalelne prave, a prave a 1 i a 2 će se poklapati i biti suprotnosmerne. Odatle neposredno sledi da je relacija paralelnosti pravih u ravni L2 refleksivna.

60


Slika 4.14.

ˇ Neka je AA   BB  (Slika 4.14.), pokazaćemo da je i B B   SIMETRICNOST: AA . Neka je M proizvoljna taˇcka prave AA  , a N podnoˇzje normale iz taˇcke M na pravu BB  . Kako je AA  BB  to svaka prava koja sadrˇzi taˇcku M i neku taˇcku unutar ugla N M A seˇce pravu BB  . Da bismo dokazali da je BB   AA dovoljno je pokazati da svaka prava koja sadrˇzi taˇcku N i neku taˇcku P unutar ugla M N B  seˇce pravu AA . Oznaˇcimo sa Q podnoˇzje normale iz taˇcke M na pravu N P . Kako je ugao cka P unutar tog ugla, to je ugao M N P oˇstar, pa se taˇcka M N B  prav, a taˇ Q nalazi na polupravoj N P . Trougao ∆N QM je pravougli sa pravim uglom kod temena Q, pa je hipotenuza M N tog trougla veća od katete M Q, tj. M N > M Q. To znaˇci da izmed¯u taˇcaka M i N posto ji taˇcka K takva da je M Q ∼ = M K . Neka  je CC prava koja je u taˇcki K normalna na pravu M N . Neka je M L prava koja je simetriˇcna pravoj M Q u odnosu na simetralu ugla N M A . Kako prava M Q sadrˇzi taˇcku Q koja se nalazi unutar ugla N M A , to će i njoj simetriˇcna prava M L sadrˇzati taˇcku unutar ugla N M A . S obzirom da je prava AA paralelna pravoj BB  to prava M L seˇce pravu BB  u nekoj taˇcki L. Taˇcke M i L se nalaze sa raznih strana prave CC  , pa duˇz M L mora seći pravu CC  u nekoj taˇcki S . Na pravoj AA oznaˇcimo sa T taˇcku za koju vaˇzi B (M , T , A ) i M T ∼ = M S . Trouglovi ∆M KS i ∆M QT su podudarni na osnovu prvog stava podudarnosti trouglova, jer vaˇzi M K ∼ = M Q, M S ∼ = M T i KM S ∼ = QM T . Iz njihove podudarnosti sledi podudarnost preostalih odgovarajućih elemenata, tj. SK M ∼ = T QM , a kako je SK M = R, to sledi da je i T QM = R, tj T Q⊥M Q. Kako u jednoj taˇ cki neke

prave postoji samo jedna prava koja je u toj taˇ cki upravna na datu pravu, to se prave N P i QT moraju poklapati. To znaˇci da prava N P ≡ N Q seˇce pravu AA u taˇcki T . Ovim smo pokazali da je BB  AA u nekoj taˇcki N , pa je BB paralelna pravoj AA i u svakoj drugoj taˇcki. Dakle, vaˇzi simetriˇcnost relacije paralelnosti pravih u L2 . TRANZITIVNOST Pretpostavimo da je AA  BB i BB  CC i pokazaćemo da je AA  CC . Ovde se govori o paralelnosti u istom smeru, jer za razliˇcite smerove tranzitivnost ne vaˇ zi. Razmatraćemo dva sluˇcaja: 















61







ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG i) Prava BB se nalazi izmed¯u pravih AA i CC , 





ii) Jedna od pravih AA i CC se nalazi izmed¯u druge dve. 



Slika 4.15. i) Neka se prava BB nalazi izmed¯u pravih AA i CC (Slika 4.15.). Sa P i R oznaˇcimo proizvoljne taˇcke redom pravih AA i CC . Kako se prava BB nalazi izmed¯u pravih AA i CC to duˇz P R seˇce pravu CC u nekoj taˇcki Q. Da bismo pokazali da je AA  CC dovoljno je dokazati da svaka prava koja sadrˇzi taˇcku P i neku taˇcku X unutar ugla RP A seˇce pravu CC . Taˇcka X se nalazi u unutraˇsnjosti ugla RP A , pa se ona nalazi i u unutraˇsnjosti ugla QP A , a kako je AA  BB to prava P X seˇce pravu BB u nekoj taˇcki Y . Neka je Z taˇcka prave P X iza taˇcke Y u odnosu na taˇcku P . Prema tome, taˇcka Z se nalazi unutar ugla RY B . Kako je BB  CC to prava Y Z seˇce pravu CC u taˇcki V , te i prava P X seˇce pravu CC . Time smo pokazali da u ovom sluˇcaju vaˇzi tranzitivnost relacije paralelnosti. 













































Slika 4.16. ii) Neka je sada jedna od pravih AA i C C izmed¯u druge dve prave (Slika 4.16.). Neka je to prava CC . Oznaˇcimo sa P i Q proizvoljne taˇcke redom pravih AA i BB . Prema tome taˇcke P i Q su sa raznih strana prave C C , pa duˇz P Q seˇce pravu CC u nekoj taˇcki R. Da bismo pokazali da je AA  CC dovoljno je dokazati da 















62



ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG svaka prava koja sadrˇzi taˇcku P i neku taˇcku X unutar ugla RP A mora seći pravu CC . Taˇcka X se nalazi u uglu RP A , pa se nalazi i u uglu QP A . Kako je AA  BB sledi da P X seˇce B B u taˇcki Y . Taˇcke P i Y se nalaze sa raznih strana prave C C , pa duˇz P Y seˇce pravu CC u taˇcki Z . Dakle, AA  CC . 





















Teorema 4.5.3. Unutar svakog ugla manjeg od 2 R postoji jedna i samo jedna prava

koja je paralelna sa kracima tog ugla u odred¯enim smerovima. Ta prava naziva se graniˇ cna prava . Dokaz.

Slika 4.17. Neka je dat ugao AOB < 2R. Oznaˇcimo sa OD simetralu ugla AOB (Slika 4.17.). Neka uglu paralelnosti AOD odgovara duˇz OC . Konstruiˇsimo normalu P Q u taˇcki C na pravu OD . Pri tom je CP  OA i CQ  OB . Oˇcigledno je prava P Q traˇzena prava, tj. graniˇcna prava ugla AOB . Da bismo pokazali jedinstvenost te prave, pretpostavi´ cemo suprotno. Neka posto ji joˇs jedna graniˇcna prava P 1 Q1 ili P 2 Q2 kao na Slici 4.17. Kako je relacija paralelnosti pravih u L2 tranzitivna iz Q1 P 1  OA i QP  OA sledi da je Q1 P 1  QP . Med¯utim, to je nemoguće, jer su prave Q1 P 1 i QP normalne na pravu OD , tj. sa njom grade jednake suprotne uglove10 . Kao takve ove dve prave su med¯usobno hiperparalelne. Dakle, postoji jedinstvena graniˇcna prava ugla AOB . Iz upravo dokazane teoreme moˇzemo zakljuˇciti da se kroz taˇcku M unutar ugla AOB < 2 R koja je od temena ugla O odvojena graniˇ cnom pravom ne moˇze povući 10

com pravom grade jednake suprotne uglove su Teorema. Dve prave koje u preseku sa tre´ hiperparalelne.

63

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG prava koja bi sekla oba kraka tog ugla. Iz toga vidimo da teorema koja kaˇze da kroz svaku taˇcku unutar ugla manjeg od 2R prolazi prava koja seˇce oba kraka tog ugla protivureˇci aksiomi Lobaˇcevskog. Ona vaˇzi samo u euklidskoj geometriji, pa je ekvivalentna V postulatu. Uz pomoć prethodne teoreme lako je pokazati sledeću: Teorema 4.5.4. Postoji jedna i samo jedna prava koja je paralelna svakoj od dveju

pravih koje se razilaze (koje se udaljavaju jedna od druge). Dokaz.

Slika 4.18. Neka su date prave OA i O1 B1 koje se razilaze (Slika 4.18.). U taˇcki O konstruiˇsimo pravu OB koja je paralelna sa pravom O1 B1 . Za ugao AOB na osnovu prethodne teoreme posto ji graniˇcna prava P Q. Budući da je ona paralelna sa OA i OB u odgovarajućim smerovima, ona je paralelna i sa O1 B1, jer je OB  O1 B1 . Lako je dokazati na osnovu onoga ˇsto već znamo da je to jedina prava koja je paralelna sa pravama OA i O1 B1 . Poznato nam je iz euklidske geometrije da je rastojanje izmed¯u dve paralelne prave konstantno. Osim toga za razliˇcite parove paralelnih pravih i to rastojanje je razliˇcito. Zbog toga se parovi paralelnih pravih a, b i a , b ne mogu dovesti do poklapanja. Med¯utim, za paralelne prave u ravni Lobaˇcevskog vaˇzi sledeće: 



ze se dovesti do poklapanja s proiTeorema 4.5.5. Svaki par paralelnih pravih moˇ zvoljnim parom paralelnih pravih. Drugim reˇ cima, svi su likovi koji se sastoje od dveju paralela med¯usobno podudarni. Dokaz. Neka su data dva para paralelnih pravih AP  BQ i A1 P 1  B1 Q1 (Slika 4.19.). Na osnovu Teoreme 4.5.3, moˇ ze se prava AP smatrati graniˇcnom pravom

64


Slika 4.19. pravog ugla QSR , ˇsto znaˇci da na pravo j BQ postoji neka odred¯ena i to samo jedna taˇcka S , tako da je poluprava SR koja je upravna na polupravu SQ , bude paralelna sa pravom AP u smeru suprotnom od smera paralelnosti prave AP i SQ . Drugim reˇcima, svakako postoji takva taˇcka S na pravoj BQ da prava AP bude paralelna sa polupravom SQ , ali da isto tako bude paralelna i sa polupravom SR , i to sa svakom od njih u odred¯enom smeru. Isto će vaˇziti i za drugi par paralelnih pravih A1 P 1 i B1 Q1 . Na pravoj B1 Q1 postojaće taˇcka S 1 tako da A1 P 1 bude graniˇcna prava ugla Q1 S 1 R1. Poklopimo oba dobijena lika tako da se taˇcke S i S 1 poklope, poluprava SR padne na polupravu S 1 R1 , a SQ na S 1 Q1 . To je moguće, jer su uglovi QSR i Q1 S 1 R1 pravi, tj. podudarni. No, tada će se poklopiti i prave AP i A1 P 1 , jer su to graniˇcne prave tih pravih uglova, a na osnovu Teoreme 4.5.3. unutar svakog ugla manjeg od 2R , pa prema tome i pravog, postoji jedna i samo jedna graniˇcna prava. Definicija 4.5.1. Skup svih pravih ravni L2 paralelnih med¯u sobom nazivamo para-

boliˇckim pramenom pravih. cke koja se pomera po jednoj od dveju med¯usobno Teorema 4.5.6. Odstojanje taˇ paralelnih pravih od druge prave strogo i neograniˇceno opada kada se taˇcka pomera u smeru paralelnosti, a strogo i neograniˇceno raste kada se taˇ cka pomera u smeru suprotnom od smera paralelnosti. Dokaz. Neka su AA i BB  dve razne med¯usobno paralelne prave u ravni L2 . Oznaˇcimo sa P 1 i P 2 (Slika 4.20.) dve proizvoljne razliˇcite taˇcke prave AA , pri ˇcemu se taˇcka P 2 nalazi na pravoj AA od taˇcke P 1 u smeru paralelnosti prave AA prema pravoj BB  . Neka su Q1 i Q2 podnoˇzja normala redom iz taˇcaka P 1 i P 2 na pravu BB  . Neka je P 1 taˇcka prave P 1 Q1 takva da je Q1 P 1 ∼ = Q 2 P 2 i i B (Q1 , P 1 , P 1 ). ˇ Q1 Q2 P 2 P 1 je Sakerijev jer ima dva susedna prava ugla P 1 Q1 Q2 i Cetvorougao P 2 Q2 Q1 , kao i dve podudarne naspramne stranice P 1 Q1 i P 2 Q2 . Odatle sledi da su mu uglovi Q1 P 1 P 2 i P 1 P 2Q2 na protivosnovici P 1 P 2 podudarni i oˇstri. Ugao star, kao ugao paralelnosti za duˇz P 1 P 2 Q2 je tup, jer je njemu naporedan ugao oˇ  P 2 Q2. To znaˇci da taˇcka P 1 pripada unutraˇsnjosti ugla P 1 P 2 Q2, pa samim tim i

65

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG unutraˇsnjosti duˇzi P 1 Q1 . Imamo da je Q2 P 2 ∼ = Q1 P 1 < Q1 P 1 . Dakle, ukoliko se neka taˇcka kreće po pravoj AA u smeru paralelnosti prave AA prema pravoj BB , rastojanje te taˇcke od prave BB opada. 









Slika 4.20. Sada ćemo pokazati da se to rasto janje smanjuje neograniˇceno. To ćemo uˇciniti tako ˇsto ćemo dokazati da za svaku unapred zadatu duˇz l posto ji taˇcka prave AA ˇcije je rastojanje od prave BB manje od l. Neka je J proizvoljna taˇcka prave AA (Slika 4.21.) i K podnoˇzje normale iz te taˇcke na pravu BB . Oznaˇcimo sa L taˇcku poluprave K J takvu da je K L = l . Ukoliko je J ≡ L ili ukoliko je L iza J u odnosu na taˇcku K tada je dokaz zavrˇsen. Zato pretpostavimo da se taˇcka L nalazi izmed¯u taˇcaka K i J . Taˇcka L se nalazi van prave BB te postoje dve prave koje sadrˇze taˇcku L, a paralelne su sa BB i B B . 













Slika 4.21. Neka je LL  BB i LL  B B . Kako je AA  BB i BB  LL , to na osnovu tranzitivnosti relacije paralelnosti pravih u L 2 sledi da je AA  LL . Prava LL ima taˇcaka koje su u uglu JLL , pa ona seˇce pravu AA u taˇcki M . Oznaˇcimo sa L1 



















66







ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG taˇcku prave M A takvu da je M L ∼ = M L1 . Sa N i K 1 oznaˇcimo redom podnoˇzja normala redom iz taˇcaka M i L1 na pravu BB . Kako su N M L i N M L1 uglovi paralelnosti duˇzi M N to su oni jednaki, tj. N M L = N M L1 , a kako je pored toga M N ≡ M N i M L ∼ = M L1 biće ∆LM N ∼ = ∆ L1 M N . Iz podudarnosti ova dva ∼ trougla sledi da je LN = L1 N i M N L = M N L1 , pa su i njima komplementni uglovi med¯usobno jednaki, tj. KN L = K 1N L1 . Sada je ∆KN L ∼ = ∆K 1 N L1 11 ∼ na osnovu petog stava podudarnosti trouglova , pa je LK = L 1 K 1 , a s obzirom da je LK ∼ = l to je i L1 K 1 ∼ = l. Na osnovu toga na pravoj AA posto ji taˇcka L1 ˇcije je rastojanje od prave BB jednako datoj duˇzi l. Odavde prema dokazanom delu teoreme sledi da postoji taˇcka na pravoj AA ˇcije je rasto janje od prave BB manje od unapred zadate duˇzi l. Prema tome, zakljuˇcujemo da kada se taˇcka P kreće po pravoj AA u smeru paralelnosti sa pravom BB tada se njeno rastojanje od BB neograniˇceno smanjuje. Sluˇca j kada se taˇcka P kreće po pravo j AA u smeru suprotnom od smera paralelnosti prema pravoj BB dokazuje se analogno. 





















Prema tome, na svakoj od dve med¯usobno paralelne prave postoji taˇcka ˇcije je rastojanje od druge prave podudarno unapred zadatoj duˇzi, a isto tako i taˇcka ˇcije je rastojanje od druge prave manje od unapred zadate duˇzi. Zbog toga kaˇzemo da se paralelne prave u smeru paralelnosti asimptotski pribliˇzavaju , tj. da u smeru paralelnosti ima ju zajedniˇcku beskrajno daleku taˇcku O . Kako za svaku taˇcku van date prave u njima odred¯enoj ravni postoje dve prave koje su sa njom paralelne, jedna u jednom, a druga u drugom smeru, hiperboliˇcka prava ima dve beskra jno daleke taˇcke. ∞

star ugao u ravni L2 tada postoji jedinstvena prava Teorema 4.5.7. Ako je ω oˇ upravna na jedan krak, a paralelna sa drugim krakom tog ugla. cemo da posto ji jedinDokaz. Neka su poluprave a i b kraci oˇstrog ugla ω . Pokaza´ stvena prava koja je upravna na krak a i paralelna sa krakom b. Pokaˇ zimo najpre da postoji prava koja je normalna na krak a koja sa krakom b nema zajedniˇckih taˇcaka, te ćemo pokazati i jedinstvenost takve prave. Pretpostavimo suprotno, da svaka prava koja je upravna na krak a ugla ω seˇce drugi krak b tog ugla. Neka je A proizvoljna taˇcka poluprave a (Slika 4.22.) i A1 , A2 , . . . , An , . . . taˇcke poluprave a takve da je:

B (A1 , A2 , . . . , An , . . .) i OA = AA 1 , A1 A2 = OA1 , . . . Sve normale na polupravu a u taˇckama A1 , A2 , . . . , An , . . . prema pretpostavci mora ju seći polupravu b u nekim taˇckama B1 , B2 , . . . , Bn , . . . redom. Kako je zbir unutraˇsnjih uglova proizvoljnog trougla u L2 manji od 2R to je defekt δ ( ∆) = 2R − σ (∆) veći od nule. Ako je neki trougao ∆ razloˇzen na neke trouglove ∆i 11

Peti stav podudarnosti trouglova. Dva trougla su podudarna ako i samo ako su jedna stranica, na njoj nalegli ugao i ugao naspram nje jednog trougla podudarni odgovaraju´ coj stranici i uglovima drugog trougla.

67


Slika 4.22.

(i = 1, 2, . . . , n) tada je defekt tog trougla jednak:

 n

δ (∆) =

δ (∆i ).

i=1

Posmatrajmo trouglove ∆OA1 B1, ∆OA2 B2 , . . . , ∆OAn Bn , . . .. Tada je: δ (OA 1 B1 ) = δ (OAB ) + δ (A1 AB ) + δ (BA 1 B1 )

= 2δ (OAB ) + δ (BA 1B1 ) ⇒ δ (OA1B1 ) > 2 δ (OAB ), δ (OA 2 B2 ) = δ (OA 1 B1 ) + δ (A2 A1 B ) + δ (B1 A2 B2 ) = 2δ (OA1 B1) + δ (B1A2 B2 ) ⇒ δ (OA2B2 ) > 2 2 δ (OAB ), .. . Nakon n koraka dobićemo δ (OAn Bn ) > 2n δ (OAB ). Broj n moˇzemo izabrati dovoljno veliki tako da ugao 2n δ (OAB ) bude ve´ ci od bilo kog unapred zadatog ugla, pa i od zbira dva prava ugla. Odatle bi sledilo da je δ (OAn Bn ) > 2R, a to je u geometriji Lobaˇcevskog nemoguće. Dakle, polazna pretpostavka je nemoguća, te ne mogu sve prave upravne na polupravu a seći polupravu b. Prema tome, skup taˇcaka poluprave a moˇzemo podeliti na dva podskupa M i N , gde je sa M oznaˇcen skup taˇcaka poluprave a u kojima normala na polupravu a seˇce polupravu b, a sa N skup taˇcaka poluprave a u kojima normala na polupravu a ne seˇce polupravu b. Ovako definisani skupovi M i N zadovoljavaju uslove Dedekindovog preseka, tj. Dedekindove aksiome neprekidnosti, ˇsto ćemo sada i pokazati. Treba pokazati da je: 68


• (∀M ∈ M)(∀M ) B (O, M , M ) ⇒ M ∈ M 





• (∀N ∈ N )(∀N ) B (O , N , N ) ⇒ N ∈ N . 





Ako je M ∈ M tada normala u taˇcki M na polupravu a seˇce polupravu b u nekoj taˇcki K . Prava m normalna na polupravu a u neko j taˇcki M takvoj da je B (O, M , M ) pripada ravni trougla ∆OM K ne sadrˇzi nijedno njegovo teme, seˇce stranicu OM u taˇcki M , ne seˇce stranicu M K , jer su prave m i M K upravne na polupravu a, pa ukoliko bi se sekle dobili bismo trougao sa dva prava ugla, a to je u geometriji Lobaˇcevskog nemoguće. Na osnovu Paˇsovog stava sledi da prava m mora seći stranicu OK trougla ∆OM K , pa samim tim i polupravu b u nekoj taˇcki K . Dakle, taˇcka M pripada skupu M . Ako je N ∈ N i N taˇcka poluprave a takva da je B (O , N , N ). Pokazaćemo da je N ∈ N . Ukoliko bi taˇcka N pripadala skupu M onda bi prema prethodno dokazanom taˇcka N ko ja je izmed¯u taˇcaka O i N pripadala skupu M. Dakle, mora biti N ∈ N . Iz dokazanog sledi da skupovi M i N zadovoljavaju uslove Dedekindovog preseka, pa postoji jedinstvena taˇcka P koja razdvaja ova dva skupa. Nije teˇsko ustanoviti da taˇcka P pripada skupu N . Zaista, ukoliko bi P ∈ M tada bi normala u taˇcki P na polupravu a sekla polupravu b u nekoj taˇcki Q . Ako bi Q bila proizvoljna taˇcka poluprave b iza taˇcke Q u odnosu na O, tada bi podnoˇzje normale iz taˇcke Q na polupravu a, taˇcka P bila iza taˇcke P u odnosu na O , ˇsto je nemoguće, jer je taˇcka P graniˇcna taˇcka koja razdvaja skupove M i N . Dakle, P ∈ N i normala u P na poluparvu a ne seˇce poluparvu b. 

































Slika 4.23. Pokaˇ zimo sada da je normala P Q u taˇcki P na polupravu a paralelna pravoj b (Slika 4.23.). To ćemo pokazati tako ˇsto ćemo da ustanovimo da svaka prava koja sadrˇzi taˇcku P i neku taˇcku X unutar ugla OP Q seˇce polupravu b . Kako je OP Q prav ugao, a X unutar tog ugla to će OP X biti oˇstar. Dakle, podnoˇzje normale iz taˇcke X na pravu OP pripada polupravoj P O. Ako bi taˇcka X bila sa one strane prave b sa koje nije taˇcka P ili na pravoj b onda bi neposredno sledilo da poluprava P X seˇce polupravu b. Ukoliko se taˇcka X nalazi sa one strane sa koje je i taˇ cka P 69

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG tada je ugao XOP oˇstar, pa podnoˇzje normale iz taˇcke X na polupravu OP sadrˇzi taˇcku Y koja se nalazi izmed¯u taˇcka O i P . Kako se taˇcka Y nalazi izmed¯u taˇcaka O i P to Y ∈ M, pa poluprava XY seˇce polupravu b u taˇcki Z . Prava P X je u ravni trougla ∆OY Z , ne sadrˇzi nijedno njegovo teme, seˇce stranicu sovom stavu Y Z u taˇcki X , seˇce produˇzetak stranice OY u taˇcki P , pa prema Paˇ sledi da prava P X seˇce OZ , a samim tim i polupravu b u nekoj taˇcki V . Prema tome P Q  OZ , tj. P Q  b. Time smo dokazali egzistenciju prave normalne na pravu a i paralelne sa pravom b.

Slika 4.24. Dokaˇzimo sada jedinstvenost te prave. Pretpostavimo suprotno, da postoje dve prave c i d upravne na krak a i paralelne sa b (Slika 4.24.). Iz tranzitivnosti relacije paralelnosti pravih u ravni L2 sledi da je c  d, ali je c  d, jer prave c i d sa pravom h

12

a grade jednake suprotne uglove . Dakle, postoji jedinstvena prava koja je upravna

na jedan krak oˇstrog ugla, a paralelna sa drugim krakom tog ugla. cke koja se nalazi na jednom kraku oˇstrog ugla od Teorema 4.5.8. Odstojanje taˇ drugog kraka neograniˇceno raste pri neograniˇcenom udaljavanju te taˇcke od temena tog ugla. star ugao (Slika 4.25.). Oznaˇcimo sa Q 1 i Q 2 proizvoljne Dokaz. Neka je  pOq dat oˇ taˇcke poluprave Oq takve da je B (O, Q1 , Q2 ), a sa P 1 i P 2 podnoˇzja normala iz taˇcaka Q1 i Q 2 na polupravu Op. Kako je  pOq oˇstar to taˇcke P 1 i P 2 pripradaju polupravoj Op. Ugao OQ1 P 1 je oˇstar, jer ukoliko bi on bio ve´ ci ili jednak od R, tada bi zbir uglova u trouglu ∆OQ 1 P 1 bio ve´ ci od zbira dva prava ugla, a to je u geometriji Lobaˇcevskog nemoguće. S obzirom da je ugao OQ1 P 1 oˇstar to je njegov naporedni ugao Q2Q1 P 1 tup. Neka je Q2 taˇcka poluprave P 2 Q2 takva da je P 2 Q2 = P 1 Q1 . ˇ P 1 P 2 Q2 Q1 je u tom sluˇ Cetvorougao caju Sakerijev, pa su uglovi na protivosnovici  stri. Tada se poluprava Q1 Q2 nalazi u uglu P 1Q1Q2 , pa je taˇcka Q1Q2 jednaki i oˇ 12

com pravom grade jednake suprotne uglove Teorema 4.6.4. Dve prave koje u preseku sa tre´ su hiperparalelne.

70

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG Q2 unutraˇsnja taˇcka duˇzi P 2 Q2 . Dakle, P 1Q1 = P 2 Q2 < P 2 Q2 . Prema tome, kada se neka taˇcka kreće po polupravoj Oq udaljavajući se od temena tog ugla, taˇcke O, njeno odstojanje od poluprave Op se povećava.

Slika 4.25. Dokaˇzimo sada da to odsto janje neograniˇceno raste. Na osnovu prethodne teoreme postoji jedinstvena prava XY upravna na poluparvu Op i paralelna sa polupravom Oq . Da bismo dokazali da pomenuto rastojanje neograniˇceno raste treba da ustanovimo da na kraku Oq posto ji postoji taˇcka K kojoj je odstojanje od poluprave Op ve´ ce od bilo ko je unapred zadate duˇzi l. Neka je L taˇcka prave XY unutar ugla  pOq takva da je XL = l pri ˇ cemu je B (X,L,Y ) i neka je LL prava upravna na XY u taˇcki L , a L taˇ cka te prave koja se nalazi sa one strane prave X Y sa koje je i taˇcka O . Dokaˇzimo da poluprava LL seˇce polupravu Oq . Ugao OLX je oˇstra, jer bi u suprotnom zbir unutraˇsnjih uglova u trouglu bio ve´ ci ili jednak od 2R, ˇsto je nemoguće. Sledi da je naporedni ugao OLY ugla OLX tup, pa se poluprava LL nalazi unutar ugla OLY . Kako je taˇcka L unutar ugla P OQ, taˇcka L unutar ugla OLY i LY  Oq to svaka prava koja sadrˇzi taˇcku L i neku taˇcku L unutar ugla OLY seˇce polupravu Oq u neko j taˇcki K . Oznaˇcimo sa Z podnoˇzje normale iz taˇcke K na polupravu Oq . Taˇcka Z će se nalaziti izmed¯u taˇcaka O i X , jer ukoliko bi vaˇzio raspored B (O , X , Z ) dobili bismo trougao sa dva prava ugla, a to je u geometriji Lobaˇ cevskog nemoguće. U ˇcetvorouglu XLKZ tri ugla Z, X i L su prava, pa ˇcetvrti ugao LKZ mora biti oˇstar. Neka je K taˇcka poluprave Z K takva da je Z K = X L. U tom sluˇcaju je ˇcetvorougao ZXLK Sakerijev, pa su uglovi na protivosnovici K L jednaki i oˇstri. To znaˇci da se poluprava LK nalazi u uglu KLX , a taˇcka K na duˇzi ZK . To znaˇci da je XL = Z K < ZK . Prema tome, za bilo koju unapred zadatu duˇ z l na kraku Oq posto ji taˇcka K ˇcije je rasto janje od kraka Op veće od l . Dakle, rastojanje pokretne taˇcke pri udaljavanju od temena oˇstrog ugla neograniˇceno se povećava. 

























71


4.6

Osobine hiperparalelnih pravih u L2

Teorema 4.6.1. Relacija hiperparalelnosti definisana na skupu pravih u L 2 je transmisibilna, tj. ako je AA hiperparalelna sa BB  u nekoj taˇcki M tada je AA hiperparalelna sa BB  u svakoj drugoj taˇcki N . Teorema 4.6.2. Relacija hiperparalelnosti definisana na skupu pravih u L2 je an-

tirefleksivna, simetriˇcna i netranzitivna. cku norTeorema 4.6.3. Dve hiperparalelne prave u L2 imaju jedinstvenu zajedniˇ malu. Dokaz. Neka su AA i BB  dve hiperparalelne prave (Slika 4.26.). Najpre ćemo dokazati egzistenciju zajedniˇcke normale ovih pravih. Oznaˇcimo sa P proizvoljnu taˇcku prave AA , a sa Q podnoˇzje normale iz taˇcke P na pravu BB  . Taˇcka Q se nalazi van prave AA te postoje dve prave QA i QA takve da je QA  AA i QA  A A. Pri tome poluprave QA i QA zaklapaju sa polupravama QB  i QB oˇstre uglove AQB i A QB  . Uglovi AQB i A QB  su oˇstri, jer ukoliko bi bili

veći ili jednaki pravom uglu onda ne bi bile graniˇcne prave u skupu pravih ravni L2 koje prolaze kroz taˇcku Q i razdvajaju prave koje seku pravu AA i koje je ne seku. Prema dokazanoj Teoremi 4.5.7. postoji jedinstvena prava upravna na QB i paralelna sa polupravom QA . Neka je to prava F A . Analogno, prava E A je jedina prava u ravni pravih AA i BB koja je upravna na polupravu QB i paralelna sa polupravom QA. 











Slika 4.26. Neka je N srediˇste duˇzi EF i M podnoˇzje normale iz taˇcke N na pravu AA . Dokazaćemo da je prava M N normalna i na pravu BB . U tom cilju konstruiˇsemo prave N A i N A paralelne redom sa pravama AA i A A. Na osnovu tranzitivnosti relacije paralelnosti pravih u ravni L 2 zakljuˇcujemo da su prave N A i N A paralelne sa pravama F A i E A redom. Kako su uglovi M N A i M N A uglovi paralelnosti 















72

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG koji odgovaraju duˇzi M N oni su med¯u sobom jednaki, tj. M N A = M N A . No, kako je taˇcka N srediˇste duˇzi EF biće N E = N F . Podudarnim duˇzima odgovaraju podudarni uglovi paralelnosti, pa je EN A = F N A . Kako je M N F = M N A + F N A i M N E = M N A + EN A to sledi da je M N F = M N E . Kako su ti uglovi podudarni i naporedni, oni su i pravi, pa je prava M N normalna na pravu BB . Dokaˇzimo sada jedinstvenost zajedniˇcke normale dveju hiperparalelnih pravih. Pretpostavimo, suprotno, da posto ji joˇs jedna prava M N koja je zajedniˇcka normala pravih AA i BB . Tada je zbir unutraˇsnjih uglova ˇcetvorougla M N N M jednak zbiru ˇcetiri prava ugla, ˇsto je u geometriji Lobaˇcevskog nemoguće. Dakle, postoji jedinstvena normala dveju hiperparalelnih pravih. 





















com pravom grade jednake suprotne Teorema 4.6.4. Dve prave koje u preseku sa tre´ uglove su hiperparalelne. Dokaz.

Slika 4.27. Neka su a i b dve prave, c njihova za jedniˇcka seˇcica (Slika 4.27.) i neka su jednaki suprotni uglovi koje prava c gradi sa pravama a i b. Oznaˇcimo sa A i B preseˇcne taˇcke prave c redom sa pravama a i b , a O srediˇste duˇzi AB . Oznaˇcimo sa P i Q podnoˇzja normala iz taˇcke O redom na prave a i b. Pravougli trouglovi ∆OAP i ∆OBQ su podudarni na osnovu petog stava podudarnosti trouglova, jer je OA = OB , P = Q i A = B . Iz njihove podudarnosti sledi da je AOP = BOQ. Kako su taˇcke A, O i B kolinearne, biće kolinearne i taˇcke P , O i Q. Dakle, prava P Q je zajedniˇcka normala pravih a i b, odakle na osnovu teoreme 4.6.3 sledi da su prave a i b hiperparalelne. cke koja se pomera po jednoj od dveju med¯usobno Teorema 4.6.5. Odstojanje taˇ hiperparalelnih pravih od druge prave strogo i neograniˇceno raste kad se ta taˇcka udaljava od zajedniˇcke normale tih hiperparalelnih pravih. Dokaz. Neka su AA i BB  dve hiperparalelne prave (Slika 4.28.). Prema Teoremi

4.6.3. postoji jedinstvena zajedniˇcka normala ovih hiperparalelnih pravih. Neka 73

ˇ GLAVA 4. GEOMETRIJA LOBACEVSKOG je to prava M N . Neka su P 1 i P 2 dve proizvoljne taˇcke prave AA takve da je B (M, P 1 , P 2 ), a sa Q1 i Q2 oznaˇcimo podnoˇzja normala iz taˇcaka P 1 i P 2 na pravu ˇ M N Q1 P 1 ima tri prava ugla M , N i Q1 te je on LamBB . Cetvorougao bertov, a odatle sledi da ˇcetvrti ugao tog ˇcetvorougla mora biti oˇstar, te je njegov ˇ M N Q2 P 2 je takod¯e Lambertov, jer naporedni ugao Q1 P 1 P 2 tup. Cetvorougao su mu uglovi M , N i Q2 pravi, te je ugao P 2 tog ˇcetvorougla oˇstar. Neka je ˇ P 2 taˇcka poluprave Q2 P 2 takva da je Q2 P 2 = Q1 P 1 . Cetvorougao Q1 Q2 P 2 P 1 je tada Sakerijev, te su uglovi na protivosnovici P 1 P 2 tog ˇcetvorougla jednaki i oˇstri. Kako je ugao Q1 P 1 P 2 oˇstar i kao takav manji od tupog ugla Q1 P 1 P 2 , to se poluprava P 1 P 2 nalazi unutar ugla Q1 P 1 P 2 , a taˇcka P 2 na duˇzi P 2 Q2 . Odatle je P 1 Q1 = P 2 Q2 < P 2 Q2 . Dakle, duˇz P 2Q2 je veća od duˇzi P 1Q1 . Na ta j naˇ cin za 



















Slika 4.28. taˇcke P 1 i P 2 za koje je B (M, P 1 , P 2 ) imamo da je taˇcka P 2 na većem rasto janju od taˇcke P 1 do prave BB . Time je pokazano da to rastojanje raste udaljavanjem od zajedniˇcke normale. Dokaˇzimo joˇs da ono neograniˇceno raste. U tom cilju konstruisaćemo pravu CC koja sadrˇzi taˇcku M i koja je paralelna sa pravom BB . Neka je zatim P proizvoljna taˇcka poluprave M A , a Q podnoˇzje normale iz taˇcke P na pravu CC . Tada su taˇcke P i Q sa raznih strana prave C C , pa duˇz P Q seˇce pravu CC u neko j taˇcki S . Kako je trougao ∆P RS pravougli to je P R < P S . Iz B (P,S,Q) sledi da je P S < P Q. Na taj naˇcin ako se taˇcka P kreće po polupravoj M A oˇstrog ugla A M C , udaljavajući se od njegovog temena njeno rastojanje od drugog kraka, tj. poluprave M C neograniˇceno povećava. No, kako je to rasto janje manje od rasto janja taˇcke P do prave B B tim pre rasto janje taˇcke P od prave B B neograniˇceno raste. 























74



Glava 5 Appendix

Slika 5.1: Hiperboliˇcki Sunˇcani sat podignut za 200-tu godiˇsnjicu od rod¯enja Janoˇsa Boljaja. Nalazi se na trgu koji nosi naziv po ovom znamenitom matematiˇcaru, na Bolja jevom trgu u gradu Turgu Mureˇs u Rumuniji.

75

GLAVA 5. APPENDIX

Slika 5.2: Fiziˇcki modeli hiperboliˇckih prostora mogu se predstaviti pletenjem. Konkretno, na ovoj slici je naˇstrikan, pomalo grub, fiziˇcki model hiperboliˇcke ravni. Idući od sredine ka ivici, obod postaje sve veći (mora sve viˇse da se ˇstrika), kao da imamo sve viˇse i viˇse prostora.

Slika 5.3: Vrlo ˇcesto se u prirodi moˇze naići na hiperboliˇcnu strukturu. Primer za to je list zelene salate.

Slika 5.4: Struktura korala je takod¯e jedan model hiperboliˇcke ravni.

76

GLAVA 5. APPENDIX

ˇ Slika 5.5: Ruski inˇzenjer i arhitekta Vladimir Suhov je otkrio i prvi poˇceo da koristi hiperboloidnu strukturu u grad¯evinarstvu i arhitekturi. Na slici je ˇ predstavljen Suhovljev vodo-toranj u Polibinu u Rusiji. Na zidovima ovog tornja ’vaˇze’ svi zakoni geometrije Lobaˇcevskog.

Slika 5.6: Kontrolni toranj na aerodromu u Barseloni.

77

Glava 6 Zakljuˇ cak Ovaj rad je pokuˇsaj da se na jednostavan i direktan naˇcin da izveˇstaj o jednom od najve´ cih problema matematiˇcara i geometara svih vremena, o problemu petog Euklidovog postulata. U prvoj glavi ovog rada smo se kroz istorijski pregled geometrije samo dotakli petog Euklidovog postulata, dok je o tome mnogo viˇse reˇci bilo u trećoj glavi. Naravno, napomenuli smo da je ’dokazivanje’ Euklidovog postulata trajalo viˇse od dve hiljade godina, tako da je u tom razdoblju veliki broj matematiˇcara i geometara dao svoje ’dokaze’. U ovom radu prezentovali smo samo pokuˇsaje Sakerija, Lamberta i Tiboa. Pored radova ovih matematiˇcara znaˇcajni su i radovi Prokla, zatim Omara Hajama, al-Hajsama, Dˇzona Valisa i mnogih drugih. O njihovim idejama moˇze se viˇse naći u [2] i [10]. Zatim smo u poslednjoj glavi predstavili novo razdoblje u geometriji, doba kada su Lobaˇcevski, Boljaj i Gaus otkrili hiperboliˇcku geometriju. ˇ se tiˇce tvrd¯enja ove geometrije, predstavili smo samo neke osnovne osobine praSto vih u hiperboliˇckoj ravni da bi na neki naˇcin u ˇcoveˇcjoj svesti stvorili predstavu o hiperboliˇckoj geometriji. Koliko god izgledalo ˇcudno Lobaˇcevski je pokazao da je novodobijena geometrija mogu´ ca, te je izveo niz teorema koje vaˇze u toj geometriji. Neke od tih teorema su obrad¯ene i u ovom radu. Koristeći matematiˇcki aparat pokazao je da je moguće koristeći samo matematiˇcku logiku dokazati posto janje potpuno novog sveta iako nismo u stanju da ga svojim ˇculima spoznamo. ˇ i nakon radova Lobaˇcevskog, Gausa i Bolja ja, ostalo je pitanje: Da li postoji Cak model oˇciglednog predstavljanja hiperboliˇcke geometrije? Na ovo pitanje odgovorio je Eugenio Beltrami, 1868., koji je pokazao da povrˇsina nazvana pseudosfera ima odgovarajuću zakrivljenost za jedan model delimiˇcnog hiperboliˇckog prostora, a u drugom ˇclanku ob javljenom iste godine, definisan je Klajnov model (Feliks Klajn), Poenkareov disk model i Poenkareov poluravanski model (Anri Poenkare) koji ˇcine u potpunosti modele oˇciglednog predstavljanja hiperboliˇcke geometrije, a ujedno pokazuju da su euklidska geometrija i hiperbolika geometrija ekvikonzistentne. Ovi modeli definiˇsu realan hiperboliˇcki prostor koji zadovoljava aksiome hiperboliˇcke geometrije. Uprkos imenima koje su dobili, poluravanske modele je osmislio Beltrami, a ne Poenkare ili Klajn. 78

Znaˇcenje geometrijskih generalizacija u ˇcijim osnovima leˇzi veliko otkriće Lobaˇcevskog posebno su doˇsle do izraˇzaja poˇcetkom XX veka. Nova shvatanja o geometriji uticala su na revolucionarni preobraˇzaj slike fiziˇckog sveta u naˇsoj svesti. Rad Lobaˇcevskog je ˇsiroko prihvaćen kao znaˇcajan tek kada je Ajnˇstajnova opˇsta teorija relativnosti pokazala da je prostorno-vremenska geometrija neeuklidska. Ajnˇstajnova teorija opisuje prostor kao generalno ravan (euklidski), ali i eliptiˇcki zakrivljen (neeuklidski) u oblastima u blizini kojih je prisutna materija. S obzirom da se vasiona ˇsiri, ˇcak i prostor gde ne postoji materija moˇze se opisivati pomoću hiperboliˇckog model. Med¯utim, pitanje geometrijske strukture fiziˇckog, realnog prostora, joˇs uvek nije naˇslo potpuno zadovoljavajuće reˇsenje. Odgovor na to pitanje nauka će jednom svakako dati. Time će se odgovoriti i na pitanje koja geometrija, euklidska ili neeuklidska, moˇze adekvatnije opisati geometrijske odnose u kosmiˇckom prostoru. Istorijska je zasluga Lobaˇcevskog ˇsto je poruˇsio bedem koji je viˇse od dve hiljade godina sputavao razvoj geometrije. Zato se s pravom moˇze reći da je otkriće Lobaˇcevskog jedno od najvećih dostignuća ljudske misli.

79

Bibliografija [1] M.Stanković, Osnovi geometrije , Prirodno-matematiˇcki fakultet u Niˇsu, Niˇs, 2006. [2] Z.Luˇcić, Euklidska i hiperboliˇcna geometrija , Total design i Matematiˇcki fakultet, Beograd, 1997. [3] S.Mintaković, Neeuklidska geometrija Lobaˇ cevskog , ˇSkolska knjiga, Zagreb, 1972. [4] M.Prvanović, Neeuklidske geometrije , Novi Sad, 1974. [5] D.Hilbert, Osnove geometrije , Matematiˇcki institut SANU, Beograd, 1957. [6] V.Paˇsić, Viˇsa geometrija , Prirodno-matematiˇcki fakultet, Univerzitet u Tuzli, 2011. [7] M.Rado jˇcić, Opˇsta matematika - Matematika Egipta, Mesopotamije i stare Grˇcke , Matematiˇcki fakultet Beograd, 2005. [8] D.Lopandić, Geometrija , Nauˇcna knjiga, Beograd, 1979. http://poincare.matf.bg.ac.rs/zlucic/LopandicGeometrija.pdf

[9] L.Mlodinov, Euklidov prozor , Laguna, Beograd, 2005. [10] Rad jugoslovenske akademije znanosti i umjetnosti, knjiga 169., Matematiˇcko prirodoslovni razred, Zagreb, 1907. http://poincare.matf.bg.ac.rs/ zlucic/osnivaci neeuklidske geometrije.pdf

ˇ [11] B.Cervar, G.Erceg, I.Lekić Osnove geometrije , Split, 2012. http://mapmf.pmfst.hr/ gorerc/OG-materijali/OG-2012-13.pdf

[12] http://sr.wikipedia.org/sr/hiperbolicka-geometrija [13] Euklid, Elementi , http://poincare.matf.bg.ac.rs/nastavno/zlucic [14] http://mathbiv.wordpress.com/2013/05/20/matematicka-knjiga-sa -najvecim-brojem-izdanja/

[15] http://sr.wikipedia.org/sr/Geometrija

80

V Euklidov postulat i geometrija Lobacevskog

Recommend Documents

V Euklidov postulat i geometrija Lobacevskog