Predmet Metodika nastave matematike II
Geometrija Njena sistematizacija kroz istoriju
Profesor dr Luˇci´c Zoran
Student Sara jli´c Mina 121-01
1
1
Geo Geometr etrija
Geometrija Geometrija je grana matematik matematikee koja se bavi bavi prouˇ prouˇcavanjem cavanjem osobina osobina i medusobnih odnosa prostornih oblik o blika, a, geometrijskih tela, povrˇ povrˇsina, sina, linija i taˇcaka. caka. U svom prvobitnom znaˇcenju cenju geometrija se shvatala shvatala kao nauka o figurama, figurama, o uzajamnom poloˇzaju zaju i razmerama razmerama njihovi njihovih h delov delova, i takode takode o transformisanju figura.
2
Istor Istorij ijsk skii ra razv zvoj oj geo geome metr trij ije e
Istorija Istorij a geometrije geometrij e seˇze ze do antiˇckog ckog doba, ali je njena kolevka nesumljivo nesum ljivo Istok. Razvoj geometrije se moˇze ze podeliti na ˇcetiri cetiri perioda, ˇcije cije je granice nemogu´ nemo gu´ce ce obeleˇ ob eleˇziti ziti odrede od redenim nim datumim dat umima: a: 1. period nastanka, do oko V veka stare ere 2. perio per iod d sistem si stematsko atskogg izlagan izla ganja, ja, antiˇcka cka Grˇcka cka 3. analitiˇcka cka geometrija, o d nastanka nastanka kapitalizma kapitalizma u Evropi 4. izgradnja neeuklidskih geometrija, do danas.
3
Period eriod na nast stan ank ka
Geometrija se kao nauka prvi put pojavila u drevnom Egiptu, Vaviloniji i Grˇckoj ckoj u vezi sa razvojem kulture premeravanja premeravanja tla. Otuda i potiˇce ce naziv geometrije. Egip´cani cani su razvili induktivan induktivan metod zakljuˇ civanja civanja od pojepo jedinaˇcnog cnog ka opˇstem stem (npr. primetili su da jedan trougao ima tri ugla, pa su nacrtali drugi trougao i primetili isto, itd. dok nisu zakljuˇ zakljuˇcili cili da svi trouglovi imaju po tri ugla, tada su to uzeli za neku osnovnu vrednost - aksiomu). Religiozni ligio zni obredi obred i su bili bi li povezani s konstrukcijom ˇzrtvenika (Delski problem), pro blem), a prakt pr aktiˇ iˇcne cne potr po treb ebee ljudi lj udi uˇcinile cin ile su nuˇznim zni m da d a se izmere izm ere p ovrˇsine si ne delo d elova va zemlje zem lje,, zapremine sudova i ostava ostava za ˇzetvu. zetvu. Geometrijska Geometrijska razmatranja su se svodila na pravila izraˇ cunavanja cunavanja povrˇsina sina i zapremina i treba pretpostaviti da su ova pravila imala viˇse se empirijski nego logiˇcki cki karakter. U VII V II veku stare sta re ere er e geometr geo metrijsko ijsko znanje znan je je, po miˇsljenju slje nju grˇckih ckih istoriˇ isto riˇcara, cara , preneˇ pren eˇseno seno iz Egipta Egip ta i Vavilonije u Grˇcku. cku. Oko IV-V I V-V veka veka p.n.e. Grˇcki cki filozofi su se poˇceli celi upozupo znavati navati sa egipatskom i vavilonskom vavilonskom mudroˇ mudroˇscu. scu. Od tada nastaje drugi period p eriod razvoja geometrije, period sistematskog izlaganja geometrije kao nauke, kada se sve tvrdnje(iskazi) dokazuju.
2
4
Period eriod sist sistem emat atsk skog og izla izlaga ganj nja a
U ovom perio p eriodu du su ve´ c poznate pozn ate u Grˇckoj ckoj Talesove teoreme (VI vek stare st are ere). Tales iz Mileta Mi leta je putovao p utovao u Egipat i tamo od o d sveˇ sveˇstenika stenika upoznao up oznao njihove n jihove geometrijske geometrijske i astronomske zakljuˇcke cke o sumi uglova uglova u trouglu, o upisanom uglu (u krug) itd. Grci su razvili razvili novi novi metod zakljuˇ zakljuˇ civanja civanja - deduktiv deduktivan an metod (obrnuto od induktivnog - od opˇsteg steg ka pojedinaˇ p ojedinaˇcnom). cnom). Anaksagora (VI vek stare stare ere) ere) se bavio bavio kvadra kvadratur turom om kruga kruga i perspek perspektiv tivom. om. Pitagor Pitagoraa je otkrio nesamerljive nesamerljive duˇzi zi (iracionalni brojevi). Pitagora je osnivaˇ osnivaˇc ˇcuvene cuvene ˇskole skole ”Polukrug”koja je dala veliki veliki doprinos matematici. Pitagorejci su zakljuˇcili cili da je zbir uglova u trouglu 180 stepeni, stepeni , otkrili su prvi, tre´ci ci i ˇcetvrti cetvrti stav podudarnosti p odudarnosti trougla, i naravno ˇcuvenu cuvenu Pitagorinu teoremu da je zbir kvadrata kateta u pravouglom trouglu jednak kvadratu hipotenuze, iz koje su izveden izvedenee mnoge sloˇzenije zenije formule. formule. Hipokrat Hipokrat Hionski Hionski (V vek vek stare ere), Pitagorin Pitago rin sledbenik, sledb enik, izloˇ izl oˇzio zio je sistematski sistemat ski geometriju geom etriju (”Elementi geometrije” g eometrije”)) i odredio odr edio povrˇsinu sinu meseˇcevog cevog srpa. Platon i njegov uˇcenik cenik Aristotel (IV vek stare ere), ako i nisu ostavili nikakvih dela u geometriji, pridavali su veliki znaˇcaj caj sistemu i osnovama osnovama geometrije. Platon je prvi po ˇceo ceo da postavlja aksiome (osnovne zakone, koji ko ji se uzimaju pri izvodenju izvodenju sloˇzenijih), zenijih), medutim u njegovo njegovo vreme mnogo aksioma su iskljuˇ civale civale jedna drugu, i bilo je veoma teˇsko sko znati znat i ˇsta sta je taˇcno, cno, a ˇsta ne. Tako je geometri geom etrija ja u Grˇckoj cko j dostig dos tigla la onaj ona j stepen kad je postalo nuˇzno zno da se ona sistematiz sistematizuje. uje. Sistematiz Sistematizacij aciju u (ele(elementarne) geometrije geometrij e je uˇcinio cinio Euklid (III (II I vek stare s tare ere) izloˇzivˇ zivˇsi si je na bazi osnovnih formulacija-aksioma u svojim znamenitim knjigama Elementi, koje obuhvataju trinaest tomova. Euklid je koristio postulate: 1.Pretpostavlja 1.Pretp ostavlja se da je mogu´ce ce da se od svake taˇcke, cke, do svake svake druge taˇcke cke moˇ mo ˇze ze p ovu´ ovu´ci ci lini li nija ja 2.Pretpostavlja se da je mogu´ce ce da se svaka svaka prava, prava, prate´ci ci njen pravac, pravac, pro pr o duˇzi zi neog ne ogra raniˇ niˇceno ceno 3.Pretpostavlja 3.Pretp ostavlja se da je mogu´ce ce da se oko svake taˇcke cke u nekoj ravni moˇze ze opisati opisat i krug bilo kojeg preˇcnika cnika 4.Pret 4.Pretpost postav avlja lja se da su svi pravi pravi uglovi uglovi medu medu sobom podudarni. podudarni. Ako Ako se pravom preseku dve prave, tako da grade unutraˇsnje snje uglove ˇciji ciji je zbir zb ir manji od zbira dva prava ugla, tada se te dve prave seku sa one strane, sa koje se ti uglovi nalaze. Posle Euklida Eukl ida javlja se u Grˇckoj ckoj niz istaknutih i staknutih matematiˇcara: cara: Arhimed, Apolonije, Eratosten i drugi, koji su obogatili geometriju novim 3
otkri´cima. cima. Raspad antiˇ ckog ckog robovlasnickog robovlasnickog uredenja doveo doveo je do zastoja u razvoju geometije u Grˇckoj, ckoj, ali se ona i dalje razivjala u zemljama arapskog Istoka, u srednjoj Aziji i Indiji.
5
Nastanak analitiˇ analitiˇ cke cke geometrije
Nastanak kapitalizma kapitalizma u Evropi je doveo doveo do novog, novog, tre´ceg ceg perioda razvoja geometrij geometrije. e. U prvoj prvoj polovini polovini XVII vek veka nastala nastala je analitiˇ analitiˇ cka cka geometrija geometrija,, ˇciji ciji su tvorci bili bil i Dekart D ekart i Ferma. Ferma . Analitiˇ Ana litiˇcka cka geome g eometrij trijaa izuˇ i zuˇcava cava svojstva svo jstva geometrijskih ometrijs kih figura na osnovu njihovih algebarskih algeba rskih jednaˇcina, cina, oslanja ju´ci ci se s e na koordinatni metod. meto d. U vezi vezi s razvojem diferencijalnog raˇcuna cuna i ispitivanjem ispitivanjem geometrijskih svojstava figura lokalnog karaktera ponikla je u XVIII veku ˇ Dezarga i diferencijalna geometrija u delima Ojlera i Monˇ za. za. Radovima Z. B. Paskala rada se u prvoj polovini XVII veka projektivna geometrija, koja je nastala u pocetku pri izuˇcavanju cavanju predstava predstava perspektive i posle toga se razvijala pri izuˇcavanju cavanju onih o nih svojstava figura koje se ne menjaju ako se figure projektuju projektuju s jedne jedne ravni ravni na drugu iz bilo koje taˇ cke cke prostora prostora (centr (centralna alna ˇ Ponselea. projekcija), i na kraju bila zavrˇ zavrˇsena sena radovima Z.
6
Izgr Iz grad adnj nja a neeuk neeukli lidsk dskih ih geom geometr etrij ija a
ˇ Cetvrti period razvoja geometrije obeleˇzen zen je izgradnjom neeuklidovih neeuklidovih geometrija geometri ja od o d kojih ko jih je prva pr va bila geometrija geometrij a Lobaˇ Lo baˇcevskog cevskog koju je Lobaˇ Lo baˇcevski cevski izgradio istraˇzuju´ zuju´ci ci osnove geometrije, geo metrije, i posebno, p osebno, aksiome o paraleln p aralelnim im pravama. Sadrˇzaj zaj svoje geometrije Lobaˇcevski cevski je prvi put izneo na sednici fiziˇckockomatemati matematiˇˇckog ckog fakulteta fakulteta Kazanskog Kazanskog univerzi univerziteta teta 1826. godine. Rad je bio publikovan 1829. 182 9. g. Madarski matematiˇ matemat iˇcar car Janoˇ Ja noˇs Bo jai je publikovao rad o istom ovom ovom pitanju, pitanju, u manje razvije razvijenoj noj formi, formi, 1832. godine. Od nastank nastanka geometrije geometri je Lobaˇcevskog cevskog uloga aksiomatickog aksioma tickog metoda met oda u matematici m atematici uopˇste ste i u geometriji geometri ji posebno p osebno postala pos tala je veoma znaˇcajna. ca jna. Euklidova geometrija geo metrija (obiˇcna cna elementarna elementarna geometrija koja ko ja se izucava izucava u ˇskoli) skoli) je posle toga dobila takode svoju svoju aksiomatiˇ aksiomatiˇ cku cku osnovu. osnovu. Hilbert Hilbert je na kraju XVIII vek veka prvi postavio konkret konkretan an sistem sistem aksioma aksioma Euklidov Euklidovee geometrije geometrije,, tzv. Hilbertov Hilbertovee aksiome. aksiome. Aksiomatske osnove dobile su i druge geometrija: Lobaˇcevskog, cevskog, projektivna, afina, viˇsedimenzionalna sedimenzio nalna Euklidova (n dimenzija) dimenzija ) i drude. d rude. 4
7
Teorija relativnosti
Istoriˇcari prirodnih nauka joˇs uvek nisu reˇsili dilemu da li je specijalna rela-tivnost zaˇceta u danas ˇcuvenom Ajnˇstajnovom ˇclanku iz 1905. godine, ili je postojala i ranije u radovima Lorenca (Lorentz) i Poenkarea (Poincar). Ustvari pojam ”odgovaraju´cih stanja”koji Lorenc koristi u svom ˇclanku iz 1904. u mnogo ˇcemu je prete´ca relativistiˇckih ideja, mada se joˇs uvek oslanja na besmisleni pojam etra. Medutim, medu istoriˇcarima ima veoma malo dilema oko tvrdnje da je Ajnˇstajn skoro potpuno sam stvorio opˇstu teoriju relativnosti. Isto tako moˇze se re´ci da koreni ove teorije leˇze u dalekoseˇznim geometrijskim istraˇzivanjima G. F. Rimana (G. F. B. Riemann), koji je sa svoje strane bio inspirisan Gausovim (Gauss) remek delom Disquistiones ge-nerales circa superficies curvas, o diferencijalnoj geometriji zakrivljenih povrˇsi. Glavna tema u opˇstoj teoriji relativnosti je da prisustvo materije utiˇce na geometriju prostora, koji, usled toga prestaje da bude eulidski. Ajnˇstajn je imao prethodnike koji su imali ˇcudne, snaˇzne slutnje o budu´cem toku razvoja nauke. Riman se jedno vreme poigravao idejom da je realni prostor zakrivl jen. Poznati fiziˇcar i fiziolog Helmholc (H. Helmholtz, 1821-1894.) istraˇzivao je fiziˇcke aspekte Rimanove teorije, i postavio je, na osnovu astronomskih posmatranja, granice mogu´ce zakrivljenosti prostora. Geometar Kliford (W. K. Clifford, 1845-1879.) zamiˇsljao je materiju kao talasanje u zakrivljenom prostoru. Mnoge njegove ideje kasnije su se ponovo pojavile u opˇstoj relativnosti. Svi ovi pokuˇsaji, koliko god da budu briljantni, bili su preuran jeni. Fiziˇcarima je nedostajao pojam prostorno-vremenske viˇsestrukosti, a takode nije bila shva´cena kljuˇcna uloga elektrodinamike. Potpuno stvaranje relativistiˇcke teorije gravitacije desilo se tek na kraju Prvog svetskog rata. Ajnˇstajn nije lako doˇsao do krajnjih rezultata. Bile su mu potrebne godine intelektualnih lutanja dok je otkrio oblik jednaˇcina polja. Neki od njegovih najboljih kolega i prijatelja su ˇcak smatrali da je skrenuo, zanet nekom neostvarljivom fantazijom. Moˇze se pretpostaviti da ga je princip ekvivalentnosti interesovao ˇcak 1911. godine. Kad se vratio iz Praga u Cirih, 1912. godine, sreo je Marsela Grosmana (M. Grossmann) i poˇceo da proucava Gausove krivolinijske koordinate i njihova uopˇstenja. Preko Grosmana upoznao je i apsolutni diferencijalni racun, koji su razvili italijanski matematicari Gregorio Rici i Tulio Levi - Civita (G. Ricci, T. Levi - Civita). Iz istorijskih izvora je poznato da je Luidi Bijanki (L. Bianchi), veoma uticajna licnost medu matematiˇcarima onog doba u Italiji, bio veoma skeptiˇcan kritiˇcar ap5
solutnog diferencijalnog raˇcuna, tako da je ova matematicka tehnika stekla zaslueno priznanje tek zahvaljujuci razvoju teorije relativnosti. Posle niza neuspeˇsnih pokˇsaja, konaˇcna verzija teorije bila je zavrˇsena 1916. godine, ˇ samo godinu dana poˇsto je Karl Svarcˇ sild (K. Schwarzchild) naˇsao reˇsenje jednaˇcina gravitacionog polja koje danas nosi njegovo ime. Spektakularnu potvrdu ispravnosti, teorija je dobila 1919. godine, kada je jedna ekspedicija na Prinˇ cevo ostrvo (Prince Island), pod vodstvom Edingtona, prilikom posmatranja pomraˇcenja Sunca uspela da izmeri skretanje svetlosnih zraka u gravitacionom polju Sunca.
8
Podela geometrije
Danas geometrija sadrˇzi mnogobrojne geometrije i teorije, izmedu kojih nema taˇcnih granica. Pri tome se pojedine geometrijske teorije usko prepli´cu s analizom (diferencijalna geometrija), s teorijom skupova (teorija skupova taˇcaka, topologija). Svaka geometrija se razlikuje od druge prema tome kakav prostor izuˇcava (Euklidov, Lobaˇcevskovljev), kakvim metodama se sluˇzi (na primer,analitiˇcka teorija krivih drugog reda u analitiˇckoj geometriji, ili ˇcisto geometrijska, sintetiˇcka teorija krivih drugog reda u Sintetiˇckoj geometriji), kakve objekte (figure) ili njihova svojstva izucava (na primer, mogu se razmatrati poliedri i njihova svojstva, krive i povrˇsi, itd). Pitanja metrike (merenje duˇzina, uglova i povrˇsina) dovode do po jma metriˇcke geometije, dok pitanja incidencije (pripadanja, rasporeda) dovode do pojma geometrije poloˇzaja, tj. projektivna geometrija. Pitanja o osnovama geometrije dovode do odeljka elementarna geometrije, koja izuˇcava njene logiˇcke osnove, njenu aksiomatiku i ustrojstvo. Ova nauˇcna disciplina se naziva osnovima geometrije. Svaka od geometrija moˇze se okarakterisati (definisati), po predlogu Klajna ( Erlangenski program), odgovaraju´com grupom onih transformacija koje ona izuˇcava. Tako se elementarna geometrija karakteriˇse grupom Euklidovih kretanja, afina - grupom afinih transformacija, projektivna - grupom svih kolineacija (projektivnih transformacija).
6
9
Euklidova geometrija
Geometrija izgradena na aksiomama apsolutne geometrije i Euklidovom aksiomu (postulatu) o paralelnim pravama: kroz taˇcku A koja ne leˇzi na pravoj a, u ravni koja je odredena taˇckom A i pravom a, moˇze se povu´ci samo jedna prava koja ne seˇce pravu a. Euklidovu geometriju ˇcesto nazivaju elementarna geometrija. Geometriju koja se izuˇcava u srednjoj ˇskoli takode nazivaju Euklidova geometrija i to je u vezi s ˇcinjenicom da je njenu prvu sistematsku izgradnju izloˇzio starogrˇcki geometar Euklid u III veku pre n.e. u svojoj knjizi Elementi ( Euklidovi Elementi). Prva geometrija razliˇcita od Euklidove geometrije bila je geometrija Lobaˇcevskog, koju je izgradio veliki ruski matematiˇcar Lobaˇcevski.
10
Elementarna geometrija
Geometrija odredena u osnovi grupom kretanja i grupom sliˇcnosti. Sadrˇzaj elementarne geometrije ne iscrpljuje se navedenim transformacijama. U elementarnoj geometriji izuˇ cavaju se takode transformacija inverzije, elementi sferne geometrije, elementi geometrijskih konstrukcija, teorija merenja geometrijskih veliˇcina i druge oblasti matematike. Medutim, ne postoji ˇcak ni priblino jasno skiciran sadrˇzaj elementarne geometrije. Elementarna geometrija poput drugih geometrija, nastavlja se razvijati i danas. U ve´cini srednjoˇskolskih programa, elementarna geometrija se naziva Euklidova geometrija ili euklidovska geometrija.
11
Osnovne oblasti geometrije
1.Planimetrija - geometrija ravni 2.Stereometrija (trodimenziona geometrija) prostora 3.Trigonometrija - merenje uglova i duˇzi Ravninska trigonometrija - na Euklidskoj ravni Sferna trigonometrija - na sfernim povrˇsinama Hiperboliˇcka trigonometrija - na pseudosferama Hiperboliˇcke funkcije - sinus, kosinus, ..., kosekans hiperbolni 4.Analitiˇcka geometrija - izraˇzavanje koordinatama 5.Diferencijalna geometrija - proucavanje metodama diferencijalnog raˇcuna. 7
12
Planimetrija
Planimetrija(latinski: planum - ravan, grˇcki: µτρω - merim) je deo elementarne geometrije u kojem se izuˇcavaju svojstva figura koje leˇze u ravni. U srednjoj ˇskoli, u nastavi matematike, obiˇcno se nakon planimetrije prelazi na izuˇcavanje drugog dela elementarne geometrije - stereometrije, koja izuˇcava svojstva figura u trodimenzionalnom Euklidovom prostoru. Metodika nastave matematike, kada se oba dela elementarne geometrije izuˇcavaju istovremeno, naziva se fuzionizam. Najpotpunije, sistematizovano izlaganje planimetrije prvi put je bilo sprovedeno u knjizi Elementi starogrˇckog nauˇcnika Euklida. Osnovni pojmovi planimetrije su: 1. Mnogougao (poligon) 2. Elementi pravilnih mnogouglova 3. Trougao 4. Pravougli trougao ˇ 5. Cetvorougao 6. Paralelogram 7. Pravougaonik i kvadrat 8. Romb 9. Trapez 10. Kruˇznica 11. Odseˇcak (segment) i iseˇcak (sektor) kruga 12. Kruˇzni prsten
12.1
Mnogougao
Mnogougao(poligon) je zatvorena izlomljena linija. Segmenti izlomljene linije nazivaju se stranice mnogougla, a krajevi segmenata - temena. Zbir unutraˇsnjih uglova mnogougla je 360, n-to ugla je 180(n-2), gde je n = 3, 4, 5, ...
8
F
E a
D
A
S
C
B
Mnogougao Zbir spoljaˇsnjih uglova je 360. Povrˇsinu odredujemo tako da mnogougao rastavimo na trouglove. Mnogougao je pravilan ako su mu sve stranice i svi uglovi medusobno jednaki. Druga definicija, mnogougao je pravilan, ako se oko njega i u njega moˇze upisati kruˇznica. Za pravilne mnogouglove sa n stranica vaˇzi: centralni ugao α =360/n; spoljaˇsnji ugao β =360/n; unutraˇsnji ugao γ =180-β ; ako je R polupreˇcnik opisane i r polupreˇcnik upisane krunice (apotema), onda je stranica
√
a = 2 R2
−r
2
= 2R sin
α
2
Povrˇsina pravilnog n-to ugla je: P =
12.2
α 1 1 nar = nr 2 tan = nR2 sin α 2 2 2
Trougao
Nejednakost trougla: zbir dve stranice trougla uvek je ve´ci od tre´ce stranice b + c > a. Zbir uglova u trouglu jednak je ispruˇzenom uglu α + β + γ = 180.
9
C
b
A1 ta
A
B
c
Trougao Trougao je potpuno odreden ako su zadate sve tri stranice; dve stranice i ugao medu njima; stranica i dva ugla na njoj; ako su zadate dve stranice i ugao nasuprot jednoj od tih stranica, onda su odredena dva, jedan ili nijedan trougao. Teˇziˇsna linija (medijana) trougla je duˇz (prava) koja spaja vrh sa sredinom suprotne stranice trougla. Teˇziˇste je taˇcka u kojoj se seku teˇziˇsnice. Teˇziˇste deli teˇziˇsnicu u odnosu 2:1 poˇcev od vrha. Duˇzina teˇziˇsne linije na stranicu a je: ta
=
2(
b2 + c2 )
2
2
−a .
Simetrala ugla trougla je duˇz (prava) koja polovi unutraˇsnji ugao trougla. Simetrale uglova seku se u jednoj taˇ cki koja je centar upisane kruˇznice trougla. Duˇzina simetrale ugla α je: S α =
[( + ) − bc b c 2 b+c
a2 ]
Ako simetrala ugla deli stranicu a na odsecke m i n , onda je m : n = c : b.
Visina trougla je spuˇstena iz vrha trougla na suprotnu stranicu. Ortocentar je taˇcka u kojoj se seku visine trougla.
10
C
H
A
B
Ortocentar Centar opisane kruˇznice trougla je taˇcka preseka simetrala stranica trougla. Teˇ ziˇsnica, visina i simetrala ugla, ka istoj strani trougla, podudaraju se ako su druge dve stranice trougla jednake, tj. ako imamo jednakokraki trougao. Obrnuto, ako se dva od tih pravaca podudaraju, trougao ce biti jednakokrak. Jednakostraniˇcni trougao je onaj kod kojeg su sve tri stranice jednake (a=b=c). Sva tri njegova ugla su po 60 stepeni. U njemu se podudaraju sve ˇcetiri znaˇcajne taˇcke trougla: teˇziˇste, ortocentar, centar upisane kruˇznice, centar opisane kruˇznice. Srednja linija trougla (srediˇsnjica) je duˇz (prava) koja spa ja sredine dve stranice trougla. Ona je paralelna sa tre´ com stranicom trougla i jednaka polovini njene duˇzine. Povrˇsina trougla: P =
aha
2
=
ab sin γ
2
= rp = p =
abc = 4R
( − p p
a)( p
− b)( p − c)
a + b + c
2 gde je poluobim, r poluprecnik upisane, R poluprecnik opisane kruˇznice datog trougla. Trouglovi (mnogouglovi, sa jednakim brojem stranica) su sliˇcni ako su im odgovaraju´ci uglovi jednaki i odgovaraju´ce stranice proporcionalne. Za sliˇcnost trouglova dovoljno je da su ispunjena dva od ovih uslova: (1) tri stranice jednog trougla proporcionalne su trima stranicama drugog trougla; (2) dva ugla jednog trougla jednaki su sa dva ugla drugog trougla; (3) dve stranice jednog trougla proporcionalne su sa dve stranice drugog trougla, a uglovi medu njima su jednaki. Povrˇsine sliˇcnih likova proporcionalne su kvadratima odgovaraju´cih linearnih elemenata (stranica, visina, dijagonala itd.)
11
12.3
Pravougli trougao
Za pravougli trougao vezujemo Pitagorinu teoremu: a2 + b2 = c 2
C
a
b
q
A
p
H
B
Pravougli trougao Povrˇsina pravouglog trougla je: 1 1 1 ab = b2 tan α = c2 sin2α 2 2 4
P =
12.4
ˇ Cetvorougao
Zbir (unutraˇsnjih) uglova svakog konveksnog ˇcetvorougla je 360 stepeni. Povrˇsina ˇcetvorougla je: 1 P = d1 d2 sin α 2 D c C
d2 d b
d1 A
a
B
ˇ Cetvorougao Tangentni ˇcetvorougao je ona j u kojeg moˇzemo upisati kruˇznicu. U ˇcetvorougao moˇzemo upisati kruˇznicu ako i samo ako je a + b = c + d. Tetivni ˇcetvorougao
12
je onaj oko kojeg se moˇze opisati kruˇ znica. Oko ˇcetvorougla moˇzemo opisati kru”nicu tada i samo tada ako je α + β = γ + δ = 180,
tj. ako su mu naspramni uglovi suplementni. Za upisani ˇcetvorougao je a + b = d 1 d2 .
Povrˇsina upisanog ˇcetvorougla je:
( − )( − )( − )( −
P =
p p
a p
p =
b p
c p
d)
a + b + c + d
2
gde je poluobim ˇcetvorougla.
12.5
Paralelogram
Paralelogram je ˇcetvorougao koji ima jednu od slede´cih osobina: suprotne stranice su paralelne; suprotne stranice su jednake; jedan par suprotnih stranica je paralelan i jednak; dijagonale se polove (seku se u taˇcki koja je sredina svake od njih posebno) suprotni uglovi su jednaki.
D
C d2
b
A
h d1 H
S B
a
Paralelogram Dijagonale i stranice paralelograma su u relaciji: d21 + d22 = 2(a2 + b2 )
Povrˇsina paralelograma je: P = ah.
13
12.6
Pravougaonik i kvadrat
Paralelogram je pravougaonik ako ima: sve uglove jednake, jednake di jagonale. Svaka od dve navedene osobine je posledica one druge. D
C
d
A
b
a
B
Pravougaonik Povrˇsina pravougaonika je: P = ab
gde su a,b susedne stranice. Pravougaonik je kvadrat, ako su mu susedne stranice jednake. Osobine kvadrata su: a = b d =
√
2a
Povrˇsina kvadrata je: P = a 2 =
12.7
1 2 d . 2
Romb
Paralelogram je romb ako ima: sve stranice jednake; dijagonale medusobno normalne. Dijagonale su simetrale uglova. Kada je ispunjeno jedno od ovih osobina onda su kao posledica ispunjena i ostala dva.
14
D
C d2
a h A
S d1 H
B
Romb Povrˇsina romba je: P = ah = a 2 sin α =
12.8
1 d1 d 2 . 2
Trapez
Trapez je ˇcetvorougao koji ima jedan par paralelnih strana. Paralelne strane trapeza nazivaju se osnovice, a neparalelne su kraci trapeza. Neka su a i b su osnovice trapeza, h visina, m je srednja linija (srediˇsnjica), tj. duˇz koja spaja sredine neparalelnih stranica. Ona je paralelna sa osnovicama i jednaka njihovom poluzbiru, m =
Povrˇsina trapeza je: P =
D
a + b
2
a + b
2
h = mh
b
c
d
h A
C
H
a
Trapez 15
B
Trapez je jednakokrak ako je d = c. U tom sluˇcaju je: P = (a
12.9
− c cos γ )c sin γ = (b + c cos γ )c sin γ.
Kruˇ znica
Kruˇznica k ima polupreˇcnik (radijus) i preˇcnik (dijametar). Tetiva je duˇz koja spaja dve taˇcke na kruˇznici (AB). Centralni ugao ACB dvostruko je ve´ci od perifernog APB nad istom tetivom AB. Tangenta je prava t koja dodiruje kruˇ znicu u (jednoj) tacki A. Ugao izmedu tangente i tetive u isto j taˇcki jednak je perifernom uglu nad istom tetivom. Seˇcica (sekanta) je prava koja seˇce kruˇznicu.Ugao izmedu tetiva jednak je poluzbiru centralnih uglova nad krajevima tih tetiva. P =
a + b
2
h = mh
k
t
P C A
B
Kruˇznica Za tetive AB i C D koje se seku u tacki E vaˇzi: EA EB = E C ED
·
·
gde je r poluprecnik kruˇznice, a m je udaljenost od centra kruga do taˇcke preseka tetiva E . Ugao izmedu seˇ cica jednak je polurazlici centralnih uglova nad krajevima pridruˇzenih tetiva. Ugao izmedu tangente i seˇcice jednak je polurazlici centralnih uglova nad krajevima pridruˇ zene tetive i dodirne tacke tangente. Ugao izmedu tangenti jednak je polurazlici centralnih uglova nad 16
dodirnim taˇckama tangenti. Mo´c taˇcke u odnosu na krug je broj jednak proizvodu duˇzina odsecaka
·
MA MB
svake seˇcice koja prolazi kroz taˇcku M i preseca kruˇznicu u tackama A i B . Moc taˇcke se naziva i potencija taˇcke u odnosu na krug. Za obim kruga s i povrˇsinu kruga P (r je polupreˇcnik, d je preˇcnik) vaˇzi: s = 2rπ P = r 2 π
Broj π je odnos obima i preˇcnika kruga, tj: π =
12.10
s = 3 , 14159265... d
Odseˇ cak (segment) i iseˇ cak (sektor) kruga
Za polupreˇcnik r kruga, duˇzinu luka l, tetivu a, centralni ugao α u stepenima i visinu segmenta h vaˇze izrazi:
√
a = 2 2hr
h = r
−
−h
r2
2
= 2r sin 2
− a4
Povrˇsina iseˇcka (sektora): P i =
a
360
Povrˇsina odseˇcka (segmenta): P o =
( 2 180
Pribliˇzno je: P o =
h
15
− sin α)
(6a + 8b).
17
2 α
= tg 2 2
r2 π
r 2 πα
α
12.11
Kruˇ zni prsten
Kruˇzni prsten prikazan je kruˇzni prsten. Preˇcnik ve´ceg kruga je D = 2R, preˇcnik manjeg kruga d = 2r, srednji polupreˇcnik ρ =
R + r
2
ˇsirina prstena b = R - r. Povrˇsina kruˇznog prstena: P = π (R2
− r ) = π4 (D − d ) = 2 π. 2
2
2
Povrˇsina dela kruˇznog prstena sa centralnim uglom φ u stepenima je: P φ =
13
φπ
360
( R2
φπ φπ . − r ) = 140 (D − d ) = 180 2
2
2
Stereometrija
Stereometrija je deo elementarne geometrije koja izuˇcava svojstva figura smeˇstenih u prostoru. U oblike stereometrije spadaju:kocka, kvadar, piramida, prizma, valjak, lopta, kupa, zarubljena kupa, kuglina kapa, sferni iseˇcak.
13.1
Kocka
Geometrijsko telo koje je jedno od Platonovih tela. Kocka spada u paralelepipede, to je pravilna ˇcetverostrana prizma. Sastoji se od ˇsest jednakih kvadrata, njenih stranica. Mreˇ za kocke sastoji se od 6 jednakih kvadrata.
18
D
C
D
C
A
B
A
B
Kocka Formule: (a - duˇzina stranice) V (zapremina): a3 O (obim): 6a2 d (manja dijagonala): a 2 D (prostorna dijagonala): a 3 r (radijus upisane kruˇznice): a2√ R (radijus opisane kruˇznice): 23a
√
13.2
√
Kvadar
Geometrijsko telo ograniˇceno sa ˇsest medusobno normalnih pravougaonih povrˇsi. Ove povrˇsi se dele na tri para medusobno naspramnih, paralelnih i jednakih povrˇsi, koje se mogu opisati sa tri duˇzine a, b i c (c je nekad oznacˇceno i sa h). Ove tri duˇzine se joˇs redom zovu ˇsirina, duˇzina i visina kvadra.
19
D
C
D
C
c
A A
B b
B
a
Kvadar Specijalan sluˇcaj kvadra kome su sve ivice jednake se zove kocka. Formule: Povrˇsina S = 2(ab + ac + bc), Zapremina V = abc, Male dijagonale dab = a2 + b2 dac = a2 + c2 dbc = b2 + c2 Velika dijagonala d = a2 + b2 + c2 Poluprecˇcnik opisane sfere ro = d2 = 12 a2 + b2 + c2 Ugao izmedu velike dijagonale i baze ϕ = arctan dc
√ √
13.3
√ · √
√
ab
Piramida
Piramida je poliedar ograniˇcen osnovom i stranicama koje se spajaju u jednoj taˇcki - temenu, koje se nalazi na suprotnoj strani od osnove. Piramida moˇze biti pravilna ili nepravilna. Pravilna piramida je ona kod koje osnovu ˇcini pravilan mnogougao. Piramida moˇze biti prava ili kosa. Prava piramida je ona kod koje se projekcija temena na osnovu poklapa sa teˇziˇstem osnove. Povrˇsina piramide jednaka je zbiru povrˇsina osnove i stranica. Osnova moˇze biti bilo koji mnogougao, dok su stranice zapravo trouglovi.
20
V
H
A
B
S A
B
Piramida Povrˇsina piramide se izraˇcunava: P = B + M
M - povrˇsina omotaˇca Zapremina piramide se raˇcuna po formuli: V =
B
∗ H 3
B - povrˇsina osnove H - visina piramide
13.4
Prizma
Obim i povrˇsina prizme: O = 2B + P V = B
∗h
B-je povrˇsina baze,P je povrˇsina omotaˇca,h-visina.
13.5
Valjak
Valjak je konveksna geometrijska prostorna figura koja se moˇze definisati kao neprekidna familija elipsi koje pripadaju medusobno paralelnim ravnima, 21
imaju iste parametre oblika, a centri su im rasporedeni na jednoj neprekidnoj pravoj ili duˇ zi. Prava koja sadrˇzi sve centre elipsi valjka se zove osa valjka, a radijusi elipsi su takode radijusi valjka. Ove elipse mogu biti i krugovi. U ovom slucˇcaju se valjak joˇs zove kruˇzni valjak. U zavisnosti od toga da li su ravni koje sadrˇze elipse koje ˇcine valjak normalne na osu valjka ili ne, valjak moˇze biti prav ili kos. Povrˇsina valjka se odreduje kao zbir povrˇsine omotaˇca valjka i dve njegove baze. Povrˇsina omotaˇca se odreduje kao proizvod obima bazne elipse i duˇzine ivice valjka. Duˇzina ove ivice je i stvari jednaka duˇzini osne duˇzi koja sadrˇzi centre elipsa. Zapremina valjka se odreduje kao proizvod povrˇsine bazne elipse i visine valjka. Visina valjka se odreduje kao maksimalno rastojanje izmedu dve ravni koje sadrˇze dve elipse valjka.
O
h
r
O
Valjak Kod pravog kruˇznog valjka ovi izrazi izgleda ju ovako: Povrˇsina P = 2rπ h + 2 r2 π = 2rπ (h + r )
·
Zapremina
·
V = r 2 π h
·
gde su r - polupreˇcnik baznog kruga i h - visina valjka. Kod kosog kruˇznog valjka ovi izrazi izgledaju ovako: P = 2 rπ
h
2
2
2
h
· sin α + 2 · r π = 2rπ sin α + r V = 2 r π · h = 2r π · l sin α
= 2 rπ (l + r )
gde su r - poluprecˇcnik baznog kruga, h - visina valjka, l - duˇzina ivice valjka, α - ugao koji zaklapaju ivica i ravan baze valjka.
22
13.6
Lopta
Lopta je geometrijsko telo, ograniˇceno sferom. Lopta se moˇze posmatrati kao kao telo dobijeno obrtanjem kruga oko svoga preˇcnika. Loptin iseˇcak je geometrijsko telo, dobijeno obrtanjem kruˇznog iseˇcka oko dijametra preˇcnika koji nema unutraˇsnjih taˇcaka sa lukom kruˇznog iseˇcka. Svaki presek lopte sa ravni jeste krug. Povrina povri lopte (povrˇsina sfere) polupreˇcnika r odreduje se formulom S = 4πr 2
Zapremina lopte je V =
4 3 πr . 3 l
r O
Lopta Lopta sa centrom O(a,b,c), i polupreˇcnikom r je geometrijsko mesto taˇcaka (x,y,z), prostora, ˇcije koordinate zadovoljavaju uslov: 0
≤
( − ) + ( x
a
2
y
− b)
2
+ (z
2
− c) ≤ r
Sferna kalota je deo sfere koji se nalazi sa jedne strani ravni koja seˇce sferu. Ako je R polupreˇcnik sfere i H visina odgovaraju´e kalote tada je povrˇsina kalote P = 2 R π H
· · ·
Loptin odseˇcak je deo lopte ograniˇcen ravni koja seˇce loptu i odgovaraju´com kalotom. Kad ravan prolazi kroz centar lopte dobivaju se dve polulopte. Ako je R polupreˇcnik lopte i H visina odgovaraju´eg otseˇcka tada je zapremnina otseˇcka V =
π h2
· · (3R − h) 3 23
Loptin slo j je deo lopte ograniˇcen dvema paralelnim ravnima koje seku loptu i odgovara ju´com zonom. Ako su r 1 i r 2 polupreˇcnici osnova i h visina loptinog sloja tada je zapremina loptinog sloja V =
· · (3r + 3 r + h ) 6
π h
2 1
2 2
2
Ako je R polupreˇcnik lopte tada je njena zapremina V =
4 3 R π. 3
Ako je R polupreˇcnik sfere tada je njena povrˇsina P = 4R2 π.
14
Trigonometrija
Trigonometrija(latinski trigonon - trougao, metron - mera) je deo matematike koji izuˇcava zavisnost izmedu strana i uglova trougla (trigonometrija u uˇzem smislu), a takode i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu medu njima (goniometrija). Trigonometrija se deli na sledece tri oblasti: 1.Ravninska trigonometrija, trigonometrija u uˇzem smislu koja proucava trigonometrijske funkcije, posebno: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans, nverzne trigonometrijske funkcije, tzv. ciklometrijske, ili arkusfunkcije 2.Sferna trigonometrija, na povrˇsi sfere 3.Hiperboliˇcka trigonometrija, trigonometrija Lobaˇcevskog.Funkcije: sinus hiperboliˇcki, kosinus hiperboliˇcki, tangens hiperboliˇcki, kotangens hiperboliˇcki, sekans hiperboliˇcki i kosekans hiperboliˇcki, Inverzne hiperboliˇcke funkcije, tzv. area-funkcije. Osnovna linija razvoja trigonometrija bila je primena u geometrijskim istraˇzivanjima. Razvoj prve i druge od nabrojanih trigonometrija iˇsao je uz Euklidsku ravan, tj. elementarna geometrija i povrˇsinu sfere, a tre´ ca od trigonometrija je bar u pocetku (XIX vek) bila vezana za otkri´ca neeuklidskih geometrija, (geometrija Lobaˇcevskog, zatim Rimanova geometrija). Primene trigonometrija danas su daleko ˇsire.
24
14.1
Poreklo
Prvi koreni trigonometrije su nadeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije. Egipatski papirus Rind (oko 1650. p.n.e.) sadrˇzi probleme sa odnosima stranica trougla primenjenim na piramide. Niti Egip´cani, niti Vavilonci nisu imali naˇse shvatanje mere ugla, a relacije tog tipa su smatrali osobinama trouglova, pre nego samih uglova. Vaˇzan napredak napravljen je u Grˇckoj u vreme Hipokrata iz Kiosa (Elementi, oko 430. p.n.e.), koji je prouˇcavao odnose izmedu centralnih uglova kruˇznice i tetiva. Hiparhus je 140. p.n.e. napravio tablicu tetiva (prvu prete´cu savremenih sinusnih tablica). Menelaj iz Aleksandrije (Sferna geometrija, oko 100. nove ere) je prvi koristio sferne trouglove i sfernu trigonometriju. Ptolomej (Almagest, oko 100. n.e.) je napravio tablicu tetiva uglova izmedu 0,5 i 180 sa intervalom od pola stepena. On je takode istraˇzivao trigonometrijske identitete. Grˇcku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematiˇcari koji su ostvarili napredak razmeˇstanjem tetiva preuzetih od Grka na polu tetive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentom naˇsoj sinusnoj funkciji. Prve takve tablice bile su u Sidhantasu (sistem za astronomiju) u IV i V veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematiˇcara preko Arapskih matematiˇcara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uveli su trigonometriju u Evropu. Osoba odgovorna za ”modernu”trigonometriju bio je renesansni matematiˇcar Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bila jednostavno alat za astronomska izraˇcunavanja. Regiomontanus (De triangulis omni modis, 1464. publikovano 1533.) bio je prvi koji je trigonometriju tretirao kao sub jekt po sebi. Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium (1543.) i njegov uˇcenik Retikus. U Opus palatinum de trianulis (kompletirao njegov ucenik 1596.), Retikus je ustanovio upotrebu ˇsest osnovnih trigonometrijskih funkcija, prave´ ci tablice njihovih vrednosti, i drˇzeci se ideje da te funkcije predstavljaju odnose stranica u pravouglom trouglu (rade nego tradicionalne polu-tetive krugova). Moderna analitiˇcka geometrija datira od vremena Fransoisa Vietea, koji je uradio tablice ˇsest funkcija do na jbliˇze minute (1579). Viete je takode izveo formulu za proizvod, tangensnu formulu i formule za viˇse uglova. Krajem XV veka je prvi put upotrebljen naziv ”trigonometrija”.
25
15
Analitiˇ cka geometrija
Analitiˇcka geometrija predstavlja izuˇcavanje geometrije kori´cenjem principa algebre. Geometrijske likove posmatra u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom Dekartovom koordinatnom sistemu i predstavlja ih algebarskim jednaˇcinama. Drugim reˇcima, ona definiˇse geometrijske oblike na numeriˇcki naˇcin, i iz takve reprezentacije izdvaja numeriˇcke informacije. Numeriˇcki rezultat moˇze biti vektor ili geometrijski lik. Postoje miˇsljenja da je pojavom analitiˇcke geometrije zapoˇceta moderna matematika. Smatra se da je Rene Dekart objavljivanjem svoje Geometrije, postavio osnove danaˇsnjoj analitiˇckoj geometriji. U pitanju je bio jedan od tri dodatka njegovoj Raspravi o metodi (Discours de la mthode pour bien conduire sa raison, et chercher la vrit dans les sciences, 1637) - traktatu o nauˇcnim metodama, u kome on, na svega 116 strana, pokazuje primenu svoje opˇste metode sinteze na primeru spajanja algebre i geometrije. Ujedno, to je jedino matematiˇ cko delo koje je objavio za ˇzivota. Iako je presudno uticala na razvoj analitiˇcke geometrije, u Dekartovoj Geometriji, onakvoj kakva je, nema nekih njenih osnovnih elemenata, kao ˇsto su Dekartove koordinate, jednaˇcina prave, jednaˇcine konusnih preseka (iako se jednom jednaˇcinom drugog reda oznaˇcava konusni presek), a ve´ci deo izlaganja je posve´cen teoriji algebarskih jednaˇcina. Iz saˇcuvanih pisama Pjera Ferma moˇze se videti da je on razvio ideju analitiˇcke geometrije pre objavljivanja Dekartovog dela o toj temi. Dekart je predloˇzio predstavljanje krive jednaˇcinom, izuˇcavanje dobijene jednaˇcine i na taj naˇcin utvrdivanje osobina same krive, dok je Ferma suˇstinski uradio isto proglaˇsavaju´ci jednaˇcinu ˇspecijalnom osobinom”krive i izvode´ci sve osˇ tale osobine posmatrane krive iz nje. Cinjenica da je mogu´ce interpretirati euklidsku geometriju jezikom analitiˇcke geometrije (ˇsto znaˇci da je svaka teorema prve, u isto vreme i teorema druge) je kljuˇcni korak u dokazu Alfreda Tarskog da je euklidska geometrija konzistenta i odluˇciva. Vaˇ zni po jmovi analitiˇcke geometrije su: - vektorski prostor - skalarni proizvod, za odredivanje ugla izmedu dva vektora - vektorski proizvod, za odredivanje vektora normalnog na dva data vektora, kao i zapremine paralelopipeda koji oni odreduju - definicija ravni - problem rastojanja - krive drugog reda
26
15.1
Vektorski prostor
Vektorski ili linearni prostor je algebarski pojam u matematici koji nalazi primenu u svim glavnim granama matematike. On se definiˇse na slede´ci naˇcin: Neka skup V ima strukturu Abelove grupe u odnosu na sabiranje. Elemente skupa V zovemo vektori. Neutralni element oznaˇcavamo sa 0 i zovemo nulti vektor. Neka skup F ima strukturu polja. Elemente skupa F zovemo skalari, a neutralne elemente u odnosu na dve binarne operacija oznaˇcavamo sa 0 i 1. Na skupu F V definisano je mnoˇzenje vektora skalarom, tj. preslikavanje F V V , koje svakom skalaru α F i svakom vektoru x V pridruˇzuje vektor αx V , tako da su ispunjeni slede´ci aksiomi: (I) α(βx ) = (αβ )x, α, β F, x V (II) α(x + y ) = αx + αy, α F, x, y V (III) (α + β )x = αx + βx, α, β F, x V (IV) 1x = x. Ovako definisano preslikavanje se zove mnoˇzenje vektora skalarom, dok se V naziva vektorski prostor nad poljem F i piˇse V (F ). Uobiˇ cajeno je da se vektorski prostori nad poljem realnih odnosno kompleksnih brojeva nazivaju realni, odnosno kompleksni vektorski prostori. Takode, vektorski prostor u kojem je definisan skalarni proizvod naziva se Euklidski vektorski prostor.
× → ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈
∈
15.2
∈
Skalarni proizvod
Skalarni proizvod je binarna operacija koja kao argumente uzima dva vektora a rezultat joj je skalar. Ako su ova dva vektora a i b iz vektorskog prostora V, zapis ove operacije je slede´ci: (a, b)
→ a · b
Skalarnim proizvodom se zove svako preslikavanje koje ima slede´ce osobine: (u + v ) w = u w + v w (αu) v = α (u v ) u v = v u u = 0 u u > 0 pri ˇcemu su u, v i w vektori iz V a α proizvoljan realan broj. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90) jednak je 0. Ovo je naˇcin na koji se na jˇceˇs´ce proverava ortogonalnost dva vektora. Definicija standardnog skalarnog proizvoda dva vektora a = (a1, a2, , an) i b = (b1, b2, , bn) se
·
· · · · ⇒ ·
·
·
27
moˇze definisati kao: n
a · b =
ai bi = a 1 b1 + a2 b2 +
i=1
· ·· + a b
n n
Primer skalarnog mnoˇzenja vektora (1, 3, -5) i (4, -2, -1) u trodimenzionalnom prostoru: (1, 3, 5) (4, 2, 1) = 1 4 + 3 ( 2) + ( 5) ( 1) =4 6+5 =3
(1) (2) (3) (4)
− · − − · ·− − ·− −
. Ovaj skalarni proizvod se moˇze definisati i kao proizvod duˇzina prvog i drugog vektora i kosinusa ugla izmedu njih:
| |
a b = b a = a b cos φ
·
·
Ovakav skalarni proizvod jednog vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove duine, jer je u tom sluˇcaju kosinus 0 stepeni jednako 1. Geometrijska interpretacija:
a b = a b cos θ = θ = arccos
·
15.3
| | | |
⇒
a·b |a||b|
.
Vektorski proizvod
Joˇs jedan tip proizvoda karakterestiˇcan za trodimenzionalne euklidske prostore (E3) je vektorski proizvod. Definiˇse se na slede´ci naˇcin: 3
3
3
× : (E , E ) → E −→a , −→b ∈ E −→i →− j →−k −→a × −→b = a a a = 3
1
2
3
b1
b2
b3
−→ −→i (a b − a b ) − −→ j ( a b − a b ) + k ( a b − a b 2 3
3 2
1 3
3 1
1 2
28
2 1
)=
a2 b3 a3 b1 a1 b2
−a b −a b , −a b 3 2 1 3 2 1
−→
−→
−→
jer su i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) i k = (0, 0, 1) vektori kanonske baze E3. Kod vektorskog proizvoda je bitno primetiti slede´ ce osobine:
−→a × −→b ⊥−→a , −→b , tj. vektorski proizvod dva vektora je normalan na njih same.
|−→a × −→b | = |a||b| sin ω, gde je ω ugao izmedu ova dva vektora. Ovo zapravo znaˇci da je intenzitet vektorskog proizvoda dva vektora jednak povrˇsini paralelograma koga ˇcine ovi vektori. a b = (b a ),
−→ × −→ − −→ × −→
vektorski proizvod nije komutativan.
· −→ × −→b = α(−→a × −→b )
(α a )
Vektorski proizvod se lepo ponaˇsa prema mnoˇzenju skalarom sleva.
15.4
Ravan
Ravan je jedan od osnovnih pojmova geometrije kojim se oznaˇcava ravna povrˇsina koja se u svakom smeru ˇsiri do beskonaˇcnosti. Da je ravna, znaˇci da kroz svaku njenu taˇcku moe biti povuˇceno beskonaˇcno mnogo razliˇcitih pravih koje ona u potpunosti sadrˇzi. Iz ovoga sledi i da svaka ravan prostor u kome se nalazi razgraniˇcava na dva jednaka dela. Vaˇ zne osobine ravni: -Ako dve taˇcke prave pripada ju ravni, onda sve taˇcke prave pripada ju ovoj ravni. -Tri taˇcke koje ne leˇze na jednoj pravoj pripadaju samo jednoj ravni. Veliki ruski matematiˇcar N. I. Lobaˇcevski je za definiciju ravni uzimao slede´cu definiciju: Ravan je geometrijsko mesto taˇcaka u prostoru koje su podjednako udaljene od dve date taˇcke. U izgradnji geometrije Lobaˇcevski je polazio od pojma kretanja, i prema tome, i od pojma rastojanja izmedu dve taˇcke. Veliki nemaˇcki matematiˇcar Lajbnic definisao je pojam ravni kao povrˇs koja deli prostor na dva kongruentna dela (koja se kretanjem mogu poklopiti).
29
15.5
Ravan u analitiˇ ckoj geometriji
Ravan A u prostoru Rn se analitiˇcki moˇze opisati jednom njenom taˇckom P A R n i vektorom a koji je normalan na nju, tj. svaki vektor koji joj pripada. Tada ´ce za svaku taˇcku Q A vaˇziti:
−→
∈ ∈
∈
−→a · −→ P Q = 0
, ili (a1 , . . . , an ) (Q1
−→
·
− P , . . . , Q − P ) = a · (Q − P )+ · · ·+ a · (Q − P ) = 0 1
n
1
n
1
1
n
n
n
Kako su a i P konstante, izraz se moˇze drugaˇcije zapisati:
−→a · (Q − P ) ⇒ → −a · −→ →a · −→ −a · −→ Q = − P ⇒ → Q = C.
Ovo je takozvana vektorska jednaˇ cina ravni koja se nakon razvoja skalarnog proizvoda, kao ˇsto je u izrazu ispod prikazano, naziva opˇsta jednaˇcina ravni: a1 Q1 +
·
16
·· · + a · Q = C n
n
Neeuklidska geometrija
Termin neeuklidska geometrija opisuje hiperboliˇcku i eliptiˇcku geometriju, koje su negacija euklidske geometrije. Suˇstinska razlika izmedu Euklidske i Neeuklidske geometrije je priroda paralelnih pravih. U Euklidskoj geometriji, ako uzmemo pravu l i tacku A, koja ne lei na l, onda moemo nacrtati samo jednu pravu kroz tacku A koja je paralelna sa pravom l. U hiperboliˇckoj geometriji, nasuprot tome, ima beskonaˇ cno mnogo pravih kroz A paralelnih sa l, dok u eliptiˇckoj geometriji paralelne prave uopte ne postoje. Drugi naˇcin da opiˇsemo razlike izmedu ovih geometrija je slede´ci. Zamislimo dve linije na dvodimenzionalnoj povrˇsi koje su obe pod pravim uglom na tre´cu liniju. U Euklidskoj i hiperboliˇckoj geometriji ove dve linije su tada paralelne. U Euklidskoj geometriji linije ostaju na konstantnoj udal jenosti, seku´ci se samo u beskonaˇcnosti, dok u hiperboliˇckoj geometriji one se ˇzakrivljuju”jedna od druge, pove´cavaju´ci njihovu udaljenost ˇsto se viˇse udal javaju od mesta preseka sa zajednickom normalom. U eliptiˇ ckoj geometriji linije se ˇzakrivljuju”jedna ka drugoj i konaˇcno se seku. Prema tome paralelne prave u eliptickoj geometriji ne postoje.
30
16.1
Istorija neeuklidske geometrije
Dok Euklidska geometrija spada medu najstarije poznate oblasti matematike, Neeuklidska geometrija nije bila ˇsire prihva´cena i priznata sve do XIX veka. Mada, rasprava koja je mogla da eventualno dovede do otkrica Neeuklidske geometrije poˇcela je maltene istog trenutka kada je ˇcuveno Euklidovo delo ”Elementi”bilo objavljeno. U Elementima, Euklid zapoˇ cinje sa ograniˇcenim brojem pretpostavki (23 definicije, 5 osnovnih pojmova i pet postulata) i teˇzi ka tome da dokaˇze sve ostale rezultate (propozicije) u ovome svome radu. Najproblematiˇcniji ali zato i najpoznatiji od postulata, obiˇcno se naziva ”Euklidov peti postulat”, ili jednostavno ”aksioma paralelnosti”, i on u Euklidovoj originalnoj formulaciji glasi: ”Ako prava linija seˇce dve druge prave linije na takav naˇcin da je zbir unutraˇsnjih uglova sa iste strane manji od dva prava ugla, tada prave linije, produˇzene do beskonaˇcnosti, seku se sa one strane sa koje su uglovi manji od dva prava ugla.Drugi matematicari kasnije su izveli postulate koji su ekvivalentni ovom postulatu, ali imaju jednostavniju formu. Medutim u bilo kojoj formi pokazalo se da je ovaj Euklidov peti postulat mnogo komplikovaniji od njegovih ostalih postulata (medu kojima se nalazi na primer i postulat: ”Kroz bilo koje dve taˇcke moˇze se povuc´ı prava linija”). Nekoliko stotina godina, matematiˇcari su se muˇcili oko kompleksnosti petog postulata, veruju´ci da se on moˇze dokazati kao teorema izvedena iz ostala ˇcetiri postulata. Mnogi su pokuˇsavali da pronadu dokaz zasnovan na metodu svodenja na protivureˇcnost, medu njima najpoznatiji je Italijan Dovani Sakeri. U radu naslovljenom Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euklid osoboden od svih greˇsaka), objavljenom 1733. on odmah odbacuje eliptiˇ cku geometriju kao mogu´cnost (neke od ostalih Euklidovih aksioma morale bi biti modifikovane da bi eliptiˇ cka geometrija funkcionisala) i baca se na posao dokazuju´ci veliki broj rezultata u hiperboliˇckoj geometriji. Njegova konaˇcna poenta je u tome da ovi rezultati koji su u suprotnosti sa teoremama euklidske geometrije dokazuju nemogu´cnost hiperboliˇcke geometrije. Medutim, nikakve logiˇcke protivureˇcnosti unutar ovih rezultata nije bilo. Pokuˇsavaju´ci da dokaˇze Euklidovu geometriju on umesto toga u stvari nenamerno otkriva jednu novu geometriju sveta. Ipak u to vreme joˇs uvek je ˇsiroko bilo rasprostranjeno verovanje da naˇs Svet ili Univerzum funkcionie u skladu sa principima Euklidske geometrije. Sto godina kasnije, taˇcnije 1829. godine, Rus Nikolaj Ivanovic Lobaˇcevski objavljuje studiju o hiperboliˇckoj geometriji. Iz tog razloga, hiperboliˇcka geometrija se ˇcesto naziva i geometrija Lobaˇcevskog. Otprilike u isto vreme, Madar Janoˇs Boljaji takode pi”e svoju studiju o hiperboliˇckoj geometriji, koju objavljuje 1832. kao dodatak na jedan rad njegovog oca. Veliki matematiˇcar Karl Fridrih Gaus cita ovaj dodatak (apendiks) i 31
odgovara Boljajiu da je od do istih rezultata i on licno doao neto ranije. Medutim prioritet u ovom otkri´cu pripao je Lobaˇcevskom zbog ranijeg ob javljivanja svog rada. Osnovna razlika izmedu ovog i ranijih radova, kao ˇsto je Sakerijev, je u tome to on prvi bez ikakve sumnje tvrdi da Euklidova geometrija nije jedina moguca geometrija, niti je jedina opaˇzajna struktura naˇseg Univerzuma. Lobaˇcevski naziva Euklidsku geometriju ”obiˇcnom geometrijom”, a svoju novu hiperboliˇcku geometriju ”imaginarnom geometri jom”. Ipak, joˇs uvek se zadrˇ zala mogu´cnost da su aksiomi hiperboliˇcke geometrije logiˇcki nekozistentni. Kao ˇsto on napominje, joˇs dosta posla treblo bi da bude uradeno da bi se potpunije zasnovala eliptiˇ cka geometrija. Bernhard Riman, u svojoj ˇcuvenoj lekciji iz 1854. zasniva oblast Rimanove geometrije, razmatraju´ci posebno ideje koje se sada nazivaju mnogostrukost, Rimanova metrika, i zakrivljenost. On konstruiˇse beskonaˇcnu familiju Neeuklidskih geometrija zadaju´ci ovoj familiji formulu Rimanove metrike na jedinicnoj lopti u euklidskom prostoru. Ponekad je njemu nepravedno pripisivana ˇcast da je jedini otkrivaˇc eliptiˇ cne geometrije, ali u stvari, ova njegova konstrukcija pokazuje dalekovidost njegovog rada i ˇcinjenicu da su njegove teoreme vaˇ ze´ce za sve vrste geometrija. Uobiˇcajeni model za Euklidsku geometriju je ravna povrˇs. S druge strane, najjednostavnjiji model za eliptiˇcku geometriju je sfera, gde su prave linije (neeuklidske prave) velike kruˇ znice (takve kao ˇsto su ekvator ili meridijani na globusu), dok se taˇcke suprotne jedna drugoj poˇ i nakon radova Loba—cevskog, dudara ju (smatra ju se istim taˇckama). Cak Gausa i Boljajia, ostalo je pitanje: Da li postoji model o—ciglednog predstavljanja hiperboli—cke geometrije? Na ovo pitanje odgovorio je Eugenio Beltrami, 1868, koji je pokazao da povrˇsina nazvana pseudosfera ima odgovaraju´cu zakrivljenost za jedan model delimiˇcnog hiperboliˇckog prostora, a u drugom ˇclanku objavljenom iste godine, definisan je Klajnov model (Feliks Klajn), Poenkareov disk model i Poenkareov poluravanski model (Anri Poenkare) koji ˇcine u potpunosti modele oˇciglednog predstavljanja hiperboliˇcke geometrije, a ujedno pokazuju da su Euklidska geometrija i hiperboliˇcka geometrija ekvikonzistentne, ˇsto znaˇci da je hiperboliˇcka geometrija logiˇcki konzistentna ukoliko je to i Euklidska geometrija. Razvoj neeuklidskih geometrija pokazao se veoma znaˇcajnim za fiziku XX veka. Zadaju´ci ograniˇcenja brzini svetlosti, sabiranje brzina zahtevalo je nuˇzno koriˇscenje hiperboliˇcke geometrije. Ajnˇstajnova Opˇsta teorija relativnosti opisuje prostor kao generalno ravan (Euklidski), ali i eliptiˇ cki zakrivljen (Neeuklidski) u oblastima u blizini kojih je prisutna materija. S obzirom da se vasiona ˇsiri , ˇcak i prostor gde ne postoji materija ili masa moe se opisivati uz pomoc hiperboliˇckog modela. Ova vrsta geometrije, gde se zakrivljenost menja od taˇcke do taˇcke nazvana je rimanovska geometrija. Postoje takode i drugi matematiˇcki modeli povr’si na kojima Euklidov postulat paralelnosti viˇse ne 32
vaˇzi, kao na primer Denova povrˇs (Dehn plane) koja se sasto ji od svih taˇcaka (x, y), gde su x i y konaˇcni nadrealni bro jevi.
17
Geometrija Lobaˇ cevskog
Lobaˇcevski Nikolaj Ivanoviˇc je Ruski matematiˇcar, osnivaˇc neeuklidske geometrije (1792-1856) koja je predstavljala revolucionarnu taˇcku u razvitku matematiˇckog miˇsljenja XIX veka. Mnogi istaknuti matematiˇcri pokuˇsavali su pre Lobaˇcevskog da dokaˇzu peti Euklidov postulat o paralelama: da se kroz jednu taˇcku izvan neke prave, u ravni odredenoj tom taˇckom i tom pravom, moˇze povu´ci samo jedna prava koja ne´ce se´ci datu pravu. To isto pokuˇsao je da dokaˇze i Lobaˇcevski, ˇsto se vidi iz njegovih predavanja koja je drˇzao 1816-1817. Ukazivao je na vaˇzan problem u teoriji paralelnih pravih koji se sastoji u tome da se osnovno tvrdenje teorije paralelnih primalo bez analize neophodnosti. Naime, pri preseku tre´ om pravom dveju pravih u ravni, obrazuju se osam uslova, ako je pri tom zbir unutraˇsnjih uglova s jedne strane jednak dvama pravim uglovima, onda su dve prave paralelne. Lobaˇcevski je uvidao uzaludnost pokuˇsaja da se dokaˇze peti Euklidov postulat, pa na zasedanju Fiziˇcko-matematiˇckog odeljenja 1826. Izlaˇze svoj rad Saˇzeto izlaganje osnova geometrije sa strogim dokazom teorema o paralelama koja obeleˇzava datum rodenja neeuklidske geometrije. Zahtevao je da se rad objavi u Nauˇcnim zapisima Kazanjskog univerziteta, ali, ne shvativˇsi sadrˇzinu rada, komisija sastavljena od tri profesora nije prihvatila njegovoob javljivanje. Geometrija Lobaˇcevskog se zasniva na osnovnim stavovima kao I Euklidova, samo ˇsto se peti postulat zamenjuje postulatom da se kroz jednu taˇcku izvan neke prave mogu povu´ı najmanje dve prave koje leˇze sa datom pravom u istoj ravni i ne seku je. Svoju geometriju je konstruisao polaze´ci od osnovnih geometrijskih pojmova i svojih aksioma i dokazivao je teoreme geometrijskim metodama, sliˇcno Euklidovoj geometriji. Kao osnova sluˇzila mu je teorija paralelnih pravih i to razlikuje geometriju Lobaˇcevskog od Euklidove. Geometrija Lobaˇcevskog otkriva novi svet geometrijskih objekata: prave paralelne u smislu Lobaˇcevskog sve viˇse se pribliˇzuju jedna drugo j u jednom smeru a u suprotnom smeru njihovo rastojanje se neograniˇceno uve´ cava; dve prave prave u istoj ravni koje imaju zajedniˇcku normalu, na obe strane od te normale beskonaˇ cno se razilaze; zbir uglova u trouglu manji je od 180 stepeni, ˇsto znaˇci da u geometriji Lobaˇcevskog ˇcetvorougao moˇze imati na jviˇse tri prava ugla a ˇcetvrti je oˇstar; sve taˇcke koje se nalaze na jednakom odstojanju od date prave leˇze na krivoj liniji a ne na pravoj, kao u Eukli33
dovoj geometriji. Ravan i prostor Lobaˇcevskog su skupovi taˇcaka u kojima su odredene prave, kretanje figura, rastojanja, uglovi i drugi elementi. Izradio je odgovaraju´cu trigonometriju, kao i principe analitiˇcke i diferencijalne geometrije. Kao neeuklidska geometrija, geometrija Lobaˇcevskog imala je protivnike medu matematiˇcarima koji nisu shvatili njenu sadrˇzinu sve dok veliki italijanski matematiˇ car Beltrami (Eugenio Beltrami, 1835-1900) nije 1868. pokazao da geometrija Lobaˇcevskog vredi na jednoj posebnoj povrˇsi nazvanoj pseudosfera. Ona je postala predmet ispitivanja velikih matematiˇ cara. U tom pogledu znaˇcajni su radovi Nemaca Kla jna (Felix Klein, 1849-1925) i Rimana i Francuza Poenkarea koji su veoma doprineli u smislu afirmacije geometrije Lobaˇcevskog i njene primene. Ona je naˇsla ˇsiroku primenu u raznim granama matematike, posebno u modernim tokovima teorijske fizike. Otkri´ce neeuklidske geometrije spada u red najve´ cih otkri´ca u matematici. Ovim otkri´cem, kao i svojim celokupnim stavom matematiˇcara i filozofa matematike, Lobaˇcevski je otvorio nove puteve u razvitku matematike koji su usledili aksiomatskim zasnivanjima svih grana matematike i uvrstio se u red genijalnih stvaralaca. Povodom stogodiˇsnjice njegovog rodenja utemel jena je Nagrada Lobaˇcevskog za dela iz neeuklidske geometrije.
17.1
O geometriji Lobaˇ cevskog
Da bismo shvatli ideje koje su dovele do stvaranja ove geometrije,vrati´cemo se daleko unazad,u period klasicne grcke matematike. Prvobitno,a za znaˇci u starom Egiptu i Vavilonu, geometrija je sadrˇzavala samo uputstva za reˇsavanje raznih praktiˇcnih problema koji su nastajali pri gradjenju piramida i hramova,navodnjavanju i ostalim gradanskim poduhvatima.U VII veku pre nove ere geometrija prelazi u staru Grˇcku, gde poˇcinje period njenog sistematskog izgradivanja.Tada nastaje ˇcuvena jonska filozofska ˇskola u Maloj Aziji, ˇcijim se najznaˇcajnijem predstavniku,Talesu iz Milita, pripisuje da je prvi dokazao neke geometrijske stavove. Zatim nastaje doba procvata grˇcke kulture, kad se u matematici i filozofiji javljaju znaˇcajna imena, kao ˇsto su Pitagora, Hipokrat, Platon, Aristotel i drufi. Medutim, antiˇcka geometrija je dostigla vrhunac u vreme osnivanja Aleksandrijske ˇskole(332. god p.n.e), kroz radove velikog grˇckog matematiˇ cara Euklida. Glavno njegovo delo ”Elementi”, koja je bacila u zasenak sve ranije knjige o geometriji i ostala tokom dva milenijuma skoro jedina osnova svih geometrijskih istraˇzivanja. U ”Elementima”je Euklid sistematski i logiˇcno povezao,izloˇzio do tada prikupljeno znanje iz geometrije. Pri tome je ˇcitavo delo izvedeno po slede´ cem redosledu: definicije, postulati, aksiome, zatim teoreme i njihovi dokazi. ”Elementi”imaju ogroman istorijski znaˇcaj jer je to prvi pokuˇsaj 34
aksiomatkog zasnivanja neke oblasti matematike. U odnosu na geometrijske predstave koje su postojale u to vreme, Euklid je postigao priliˇcno veliku strogost u izlaganju i logiˇckom povezivanju ˇcinjenica. Tokom vremena mnogi matematiˇcari su popravljali nedostatke u ”elementima”, dodavali neke nove delove, a baroˇcito veliko nteresovanje je pobudivalo je ispitivanje aksioma i postulata(sa savremene taˇcke glediˇsta ne razlikujemo te dve vrste osnovnih stavova). Vremenom se pokazalo da su neke aksiome suviˇse, jer sledi is ostalih, a takode je zapaˇzeno da neke nedostaju. Posebno interesovanje je izazvao V postulat. U stvari on je i doveo do stvaranja neeuklidske geometrije. Ovaj postulat glasi: Ako prava u preseku sa druge dve prave sa njima na istoj strani gradi unutraˇsnje uglove, ˇciji je zbir manji od dva prava ugla, onda se ove prave seku sa one strane gde je taj zbir manji od dva prava ugla. Zbog manje oˇciglednosti izgledalo je da ovaj postulat mora biti posledica ostalih, i u tom pravcu vrˇsena su vrlo opseˇzna istraˇzivanja. Treba odmah ista´ci znaˇcaj ovog postulata: na njemu se zasniva teorija paralelnih pravih, a sa tim u vezi sliˇcnost geometrijskih likova, triigonometrija itd. Do poˇcetka XIX bilo je mnogo uzaludnih pokuˇsaja da se ovaj postulat dokaˇze. Medutim, iak nisu dovela do ˇzeljenog rezultata, ova istraˇzivanja su bila veoma znaˇcajna u razvoju geometrije, jer su dovela do otkri´ ca logiˇcke povezanosti medju mnogim znaˇcajnim stavovima, kao i do niza teorema, logiˇcki. ekvivalentih V postulatu.
18
Projektivna geometrija
Projektivna (nacrtna) geometrija je skup metoda za reˇsavanje prostornih problema crtanjem u ravni. Nacrtna geometrija je oblast u kojoj se prouˇcavaju metode preslikavanja kojima se prostorni likovi predstavljaju odgovaraju´cim likovima u ravni. Na taj naˇcin se postiˇze da se reˇsavanje prostornog zadatka svodi na reˇsavanje odgovaraju´ceg zadatka u ravni. Skup osobina kojima se uspostavlja veza izmedu prostornog zadatka i odgovaraju´ceg u ravni karakteriˇse sadrˇzaj ove oblasti geometrije. Preslikavanje koje se u geometriji koristi je projektovanje, pa se slika u ravni naziva projekcija. Kako je medu likovima u prostoru i njihovim slikama u ravni potrena obostrano jednoznaˇ cna korespondencija, utvrdivanje elemenata u ravni kojima se jednoznaˇ cno predstavljaju likovi prostora definiˇse metodu projektovanja. Rene Decartes (1596-1650) je uveo koordinatni sistem i povezao algebru i geometriju u analitiˇcku geometriju. Monˇz Gaspar( Gaspard Monge )francuski 35
matematiˇcar (1746-1818)je osnivaˇc projektivne geometrije (prvi je uveo istovremeno posmatranje viˇse projekcija na jednom crteˇ zu). Njegov talenat se ispoljio u ˇcetrnaestoj godini pri konstrukciji vatrogasnog motora, gde je pokazao neobiˇcnu sposobnost za uoˇcavanje sloˇzenih prostornih odnosa. Kad mu je bilo ˇsesnaest godina samostalno je izradio kartu radnog mesta i odgovaraju´e merne instrumente, ˇsto je bio veliki uspeh. Iste godine postao je profesor gimnazije i ˇskole za vojne inˇzinjere. Tu se detaljno upoznao sa teorijom utvrdivanja, ˇciji je problem bio izrada plana a da nijedan deo utvrdenja ne bude izloˇzen neprijateljskoj vatri. Monˇz je dao svoje reˇsenje tog problema ˇsto je predstavljalo poˇcetak nacrtne geometrije, a Monˇzova metoda dugo se ˇcuvala kao vojna tajna. Tek je 1794. bilo odobreno da se o njoj javno govori. Potrebe tehniˇch nauka, posebno vojne inˇznjerije podstakle su ga u radu na nacrtnoj geometriji pa je objavio delo Nacrtna geometrija (Geometrije descriptive,1765. kao skripta i 1795. kao knjiga) u kome definiˇse nacrtnu geometriju. Ima dva glavna cilja: prvo, da na crteˇzu koji ima samo dve dimenzije taˇcno predstavi trodimenzionalne ob jekte koji se mogu taˇcno zadati, i drugo, da iz taˇcne geometriske predstave tela izvede sve ˇsto neophodno proizlazi iz njihovog oblika i uzajamnog polo’zaja”. Monˇzovo stvaranje nacrtne geometrije bilo je revolucijarno delo za tehniˇ cke nauke, jednostavno po metodama i idejama i neophodno za napredak tih nauka i njihovih primera. Niz geometriskih problema koji su se do tada reˇsavali analitiˇckim putem Monˇz je pomo´cu nacrtne geometrije sveo na geometrisku konstrukciju, ali njegovo ime je ostalo istaknuto u teoriji povrˇsi gde je veˇsto primenio infinitezimalne metode. U svom delu Primena analize u geometriji (Application de lanalyse a la geometrie, 1795), napisao jasnim i ˇzivim stilom, bez stare sheme, pretpostavka-tvrdenje-dokaz obraduje analitiˇcku geometriju u prostoru. Ovde nalazimo probleme u vezi sa diferencijalnim o dnosima kod obrtnih, zavojnih, pravoliniskih i razvojnih povrˇsina. Monˇ z je stvorio svoju geometrisku ˇskolu za koju je karakteristuˇco potpuno proˇzimanje geometriske konstrukcije i analitiˇcke formule. Svojom diferencijalnom geometrijom pripremio je put Gausu koji ´ce inspirisati Rimana u razvijanju geometrije, neophodne za teoriju relativnosti. Monˇz je poznat u teoriji diferencijalnih jednaˇcina koje su usko povezane sa problemima koje je radio u geometriji. Objavio je brojne radove na podruˇcju nacrtne i diferencijalne geometrije, teorije diferencijalnih jednaˇcina i drugih oblasti u tada najistaknutijim nauˇcnim ˇcasopisima Pariza.
36
19
Aksiomatsko zasnivanje geometrije
Sigurno je da osnovni podstrem za razvoj prirodnih nauka i matematike leˇzi u ˇcovekovoj potrebi za njihovim primenama.Herodot istiˇce da je geometrija potekla iz Egipta od stalne potrebe da se izmere granice po jedinih zemljiˇsta posle poplave Nila, jer je voda brisala graniˇcne znake. Stoga je prirodno ˇsto postoje podaci o matematiˇckim znanjima starih kultura. Matematiˇcko obrazovanje tih naroda svodilo se poznavanje najosnovni jih osobina geometrijskih likova,do koga se doslo islustvom, ili induktivnom metodom. U staroj Grˇckoj matematika pored potrebe postaje i umetnost. Moˇzda je to jedan od razloga zaˇsto su se Grci prihvatili sre’djivanja njihovih znanja u jednu logiˇcku celinu, gde osobine objekta koji se posmatraju nisu vise izolovane ˇcinjenice, ve´c saˇcinjavaju jedan logiˇcni niz u kome se svaki ˇclan niza izvodi kao posledica prethodnih ˇclanova. Sredivanje nagomilanog znanja nesumljiva je potreba, ali grci su mogli sa saˇ cine jednu enciklopediju, gde navedeni pojmovi ne moraju imati medusobne veze. Izlaganje u obliku logiˇckog niza je umetnost kojom poˇcinje i do danas traje u nauci deduktivni metod. Vrhunac grˇckog deduktivnog metoda predstavljaju Euklidovi Elementi . Oni predstavljaju najsjajniji spomenik antiˇcke grˇcke. Elememti predstavljaju izvrstan model aksiomatskog zasnivanja nauke. Za razliku od formalne, obiˇcna aksiomatska matematiˇcka teorija izgraduje se na slede´ci naˇcin: polazi od izvesnog broja reˇci govornog jezika koje se ne definiˇsu i od izvesnog broja reˇcenica istog jezika u kojima uˇcestvuju polazne reˇci. Te reˇcenice po dogovoru smatraju se taˇcnim i da postoje jaki intuitivni razlozi za prihvatanje njihove taˇcnosti. Te reˇcenice nazivaju se aksiome. Teoreme su one reˇ cenice koje se dobijaju iz aksioma primenom nekih logiˇckih pravila. Dokaz aksiomatske matematike je konaˇcan niz ˇciji je svaki ˇclan aksioma, ranije dokazanih teorema, ili ˇclan za koji postoje izvesni prethodni ˇclanovi niza iz kojih se on dobija pomo´cu nekog pravila izvodenja logiˇckog pravila). Razlika izmedu formalne i aksiomatske matematiˇcke teorije nije velika. U formalnoj teoriji govorni jezik i intuicija svode se na oaj neizbezni maximum. Prema Aristotelu, Euklid prvi pravi razliku izmedu postulata i aksioma. Aksiome su evidentne ˇcinjenice zajedniˇcke svim naukama koje se uzimaju za taˇcne, a postulati su zahtevi u geometriji. Aksiome kod Euklida su opˇste aksiome, a postulati su geometrijske aksiome. Sa savremenog glediˇsta aksiomatskog zasnivanja geometrije, Euklid pravi nekoliko greˇsaka jer on ne prihvata potrebu za uvodenjem osnovnih po jmova, ve´c pokuˇsava da ih definiˇse. Aksiome Euklidovog sistema nisu medusobno nezavisne. prilikom dokazivanja Eiklid se oslanjao na sliku, i time dokaze uˇcio nekorektnim. I pored 37
ovih nedostataka, Euklidovi Elementi predstavljaju jedno od najvaˇznijih dela u maematici i posredno su odgovorni za razvitak aksiomatskog metoda. Dugi niz godina glavni izvor ideja za matematiˇ cko stvaranje bili su Euklidovi elementi, i mnogi matemati’cari bavili su se usavrˇsavanjem i dopunjavanjem Elemenata. Nemaˇcki matamatiˇcar David Hilbert(1862-1943) ob javio je 1899. godine kn jigu Grundlagen der Geometrie (osnove geometrije), u kojoj je izloˇzio geometriju saglasno opˇstim zahtevima za aksiomatsko zasnivanje teorije. One je uzimao za osnovne pojmove taˇcku, pravu i ravan, i zatim leˇzi9pripada). izmedu, podudarno, paralelno i neprekidno. On je naveo 20 aksioma u pet grupa tako da su prve bile aksiome veze, druge aksiome rasporeda, zatim aksiome podudarnosti, aksiome paralelnih i aksiome neprekidnosti. Hilbert na odgovaraju´cim mestima uvodi i potrebne definicije onih pojmova koji se pojavljaju u aksiomama. hilbertov sistem aksioma je neprotivreˇcen, nezavisan i potpun. Neprotivreˇcnost Hilbertovog sistema dokazuje se pomo´cu modela, tako da ispravan zakljuˇ cak glasi: Ako je aritmetika sistema realnih brojeva neprotivreˇcena, tada je Hilbertiv sistem aksioma za geometriju neprotivreˇcen. Od samog poˇcetka postojali su pokuˇsaji da se dokaˇze V postulat iz Euklidovih Elemenata. Razlog je ˇsto je iskaz tog postulata daleko sloˇzeniji od svoh ostalih postulata i aksioma koje Euklid navodi. U knjizi Saggio di una Bibliografia Euclidea od Riccardia, koja je objavljena u Bolonji 1890. godine, na dvadeset strana navedeni su naslovi monografija napisanih izmedu 1607. i 1887. godine koje se odnose na V postulat. Medu vaˇ znim pokuˇsajima da se dokaze je Ptolomeja, priklusa, Wallis-a i drugi. Pokazalo se da se V postulat ne moˇ ze dokazati iz ostalih Euklidovih postulata i aksioma, tako da se sa pravom moˇzemo diviti Euklidu koji je V postulat uvrstio medu ostale. Medutim ovi stavovi su doveli da mnogih stavova koji su ekvivalenti V postulatu u odnosu na ostale aksiome. Pored Hilberta, nevedeni su joˇs neki stavovi koje zastupaju Lobaˇcevski, J. Bolyai i K.F. Gauss. Ta geometrija je geometrija Lobaˇcevskog. pored euklidske i geometrije Lobaˇcevskog postoje i druge geometrije koje se takode aksiomatski zasnivaju i za koje se dokazuju da su neprotivreˇcne.
20
O nastavi geometrije u ˇskoli
Tokom mnogih vekova Elementi su bili jedini udzbenik po kome se predavala geometrija. Stoga je nastava geometrije optere´ cena tradicijom daleko 38
viˇse od nastave bilo kog drugog predmeta. Zaˇcuduju´ce je koliko su malo uticala vaˇzna otkri´ca u matematici na nastavu geometrije. Kada se razmi’slja o nastavi geometrije ili o nastavi matematike treba na prvom mestu imati na umu da ´ce samo jedan manji deo uˇcenika nastaviti da se bavi matematikom. Polaze´ci od jednostavnijih primera, objasniti neke od osnovnih logiˇckih pravila koja se koriste u matematici. Vaˇzno je da uˇ cenik ˇsto pre upozna sa pojmovima potrebnog i dovoljnog uslova, metodom dokazivanja, pravilom kontrapozicije. Treba polaziti od jednostavnijih primera.
39
21 21.1
Veliki umovi Pitagora
Pitagora(oko 596. p.n.e. - oko 475. p.n.e) - antiˇcki filosof i matematiˇ car koji je najp oznatiji po svojoj teoremi o odnosu hipotenuze c i kateta a i b u pravouglom troglu c2 = b 2 + a2 .
Sin Mnesarha, rezaˇca dragoga kamena. Rodjen na ostrvu Samosu(Jonija). Verovatno je da je po naredenju samskoga tiranina Polikrata putovao u Egipat, da bolj e upozna ustanove egipatskih sveˇ stenika. Zbog nesuglasica s Polikratom, a moˇ zda i samo zbog odvratnosti prema njegovoj tiraniji, preselio se u Kroton u j uˇ znoj Italiji ili Velikoj Heladi, gde su se, otkako je Jonija pod persijskom vlaˇs/’cu poˇ cela da opada, stvoril a nova sr ediˇ sta helenske prosvete i mo´ı.
21.2
Tales
Tales(Talet Mile´canin, Thales), (oko 625-548. pne.) iz Miletabio je svestrano obrazovan filozof.Aktivan kao matematiˇcar i kao drˇzavnik, vaˇzio je u starom veku kao prvi jonski prirodni filozof i ubrajali su ga meddu Sedam mudraca. On je prvi pokuˇsao da raznovrsnost pojava svede na jednu jedinu pramateriju - vodu. Nije sigurno da li je ovo uˇ cenje izneo u nekom spisu. Kao matematiˇ car poznat je po Talesovoj teoremi. Talesov uˇcenik takode iz Mileta bio je filozof Anaksimandar (Anaximandros), iz prve polovine VI veka pne.
21.3
Platon
Platon( 427. p.n.e.-347. p.n.e.)-roden u Atini. Neizmerno uticaj an starogrˇcki filozof, Sokratov uˇcenik, a Ar istotelov uˇcitelj, i osnivaˇ c Akademije u Atini. Platon je predavao na Akademiji, i pisao u form i dijaloga o mnogim filozofskim temama. Njegovo postojanje nam je poznato preko njegovih filozofskih i dramatiˇckih dela koja su oˇcuvana u r ukopisima obnovljenim i izdatim u mnogim izdanjima od poˇcetka humani stiˇckog pokreta. Platonova pisana dela se skoro u potpunosti sastoje iz dijaloga, epigrama i pisama. Ve´ cina poznatih platonovih dijaloga je saˇ cuvana, iako savremena izdanja njegovih dela sadrˇ ze dij aloge ko ji se o d filozofske javnosti smatra ju ili sumnjivim (Alkibijad, Klitofon) ili verovatno laˇznim (Demodokus, Alkibi jad Drugi). Sokrat se kao liˇ cnost poj avljuje u ve´ cini Platonovih dijaloga, iako ˇcesto nije jasno koliko se sadrˇ zaj dijaloga i misli mogu pripisati Sokratu a koliko Platonu. U poslednjim Platonovim delima (Zakoni) Sokrat se gubi kao uˇ cesnik u dijal ogu. Poznati m eseˇ cev krater je dobio ime Platonov krater, u njegovu ˇcast.
21.4
Euklid
ˇ Euklid(330. god. p.n.e- 275.god. p.n.e.)-Bio je poznati grˇcki matematiˇcar iz Atine. Ziveo je i radio u Aleksandriji gde j e stvorio matematiˇ cku ˇskolu. Napisao je br ojna dela, od kojih neka nisu saˇ cuvana i poznata su samo po naslovu. Saˇ cuvana dela su: Elementi (geometrija kao nauka o prostoru) u 13 knjiga, Data (o uslovima zadavanja nekog matematiˇckog objekta), Optika (sa teorijom perspektive) U odnosu na druge nauˇ cne oblasti, geometrija je dostigla zavidan nivo oko 300. god. pne. pojavom dela ”Elementi”. Tada u matematici geometrija dominira, pa su i brojevi interpretirani geometrijski. Euklid je p okuˇ sao da i zlaganje bude stogo deduktivno i upravo zbog te doslednosti ”Elementiˇsu vekovima smatrani naj savrˇ seniji m matematiˇ ckim delom. Mnoge generacije matematiˇcara i drugih nauˇcnika su uˇ cili iz ove knjige kako se l ogiˇ cki zakljuˇ cuje i novo povezuje sa ranije utvrdenim ˇcinjenicama. Kasnije su ”Elementi”analizirani i dopunjavani. Posebnu paˇznju su privlaˇcili aksiomi i postulati. U ovoj knjizi su sadrˇ zana sva saznanja i otkri´ ca do kojih su doˇsli Euklid i njegovi pretho dnici i savremenici u geometriji, teoriji brojeva i algebri.
40
21.5
Aristotel
Aristotel(384. p. n. e. 322. p. n. e.), starogrˇ cki filozof, Platonov uˇcenik i jedna od na juticajnijih liˇcnosti u istoriji evropske misli. Aristotel je roden u Stagiri , grˇckoj koloniji na makedonskom p oluostrvu. Njegov otac, Nikomah, radio je kao dvorski lekar kod kralja Amintasa III Makedonskog, dede Aleksandra Velikog. Veruje se da su Aristotelovi preci bili na ovoj duˇznosti i kod ranijih makedonskih kraljeva. Pretpostavlja sa da je, kada je otiˇsao u Atinu sa 18 godina, Aristotel imao i neka znanja iz medicine koja je dobio od o ca. Od 18. do 37. godine pohada Akademiju kao Platonov uˇcenik.
21.6
Nikolaj Ivanoviˇ c Lobaˇ cevski
Nikolaj Lobaˇ cevski(1793.-1856.)- ruski matematiˇ car; sin arhitekte, roden u Novogordskoj oblasti, postavio temelje neeuklidske geometrije. Kada mu je bilo ˇsest godina, Lobaˇ cevskom je umro otac i poˇ sto je njegova majka porodicu preselila u Kazanj, tamo je 1807. pohadao novootvoreni univerzitet. Studije zavrava 1811., docent postaje 1814., vanredni profesor 1816., redovni 1822., a 1827. postaje rektor ˇsto ostaje sve do penzionisanja. Njegova vlada ga je o dlikovala, ali je 1846, iz nejasnih razloga, pao u nemilost; tada se penzioniˇ se iz zdravstvenih razloga. Za ˇzivota, Lobaˇ cevski je kao i Kopernik, bio nepoznat i nepriznat ˇcak i u svojoj domovini. Poznati nemac(ki matematic(ar Gaus, jedini je obratio paˇ znju na njegova velika otkri´ca i pomagao njegov izbor za dopisnog ˇclana Nauˇ cnog udruˇ zenja u Getingenu. Ali tek kada je nakon Gausove smrti objavljeno da je on pri hvatao teorije i dostignu´ ca Lobaˇcevskog, tada je iznenadena matematiˇcka javnost prvi put ˇcula za ime velikog ruskog matematiˇcara.
21.7
David Hilbert
David Hilbert(nem. David Hilbert, 23. 01. 1862 14.02.1943) je bio nemaˇ cki matematiˇcar koji je dao ˇ vaˇ zan doprinos u nekoliko grana matematike. Hilbert je 1888. poopˇ stio jednu vaˇznu Zordanovu teoremu na sisteme viˇ seg r eda, da bi 1899. godine objavio svoje ˇcuvene Osnove geometrije (Grundlagen der Geometrie) u kojima je tu temu, konaˇ cno, p ostavio na stroge aksiomatske osnove (Hilbertove aksiome). On je takode pokazao da je geometrija jednako konzistentna kao aritmetika realnih brojeva. Godine 1900. Hilbert je postavio deo od 23 problema kao izazov matemati”arima XX veka; reˇsenja ili nekakav napredak je uˇ cinjen za oko tri ˇ cetvrtine njih. Kasnije se Hilbert posvetio radu na teorijskoj fizici i osnovama matematike. Razvijao je matematiˇ cki formal izam to ga je dovelo do dela Osnove matematike (Grundlagen der Mathematik, 1934. - 1939.), za jedno sa Paulom Bernajsom. Drugi radovi Hilberta ukljuˇcuju njegov dokaz Varingovog problema, tj. pretpostavke koju je p ostavio Varing 1770, a prvo potpuno reˇ senje je pronaˇ sao Hilbert 1909, zatim razvoj tzv. Hilbertovog prostora i doprinos u prouˇcavanju integralnih jednaˇ cina i algebarske teorije brojeva.
21.8
Rene Dekart
Rene Dekart (1596.- 1650.) bio je matematiˇcar, filozof i nauˇcnik ˇcije je del o Geometr ija (La geometrie) postavi lo osnove danaˇ snjo j analitiˇckoj geometriji. Zaˇcetnik je novovjekovnog filozofskog pravca r acional izma, a ˇcesto se kaˇ ze da se u njegovom djelu mogu na´ ci i neke od prvih empi ristiˇckih teza. U Medi tacijama o prvoj filozofiji dosledno (tzv. metodskom sumnjom) izvodi ono prvo sigurno saznanja i uobliˇ cava ga u ˇ cuveno Cogito ergo sum stav ko ji ´ce znaˇciti izvorni preokret u novovekovnoj evropsko j mi sli, odvajaju´ ci je od srednjevekovnog teocentriˇ cnog pogleda sholasti’cke provenijencije. U Dekartovoj filozofiji, rekao bi Hegel, subjekt postaje za sebe, konkretizuje se prevazilaze´ci antiˇ cu objektivnost.
41
Sadrˇzaj 1
Geometrija
2
2
Istorijski razvoj geometrije
2
3
Period nastanka
2
4
Period sistematskog izlaganja
3
5
Nastanak analitiˇ cke geometrije
4
6
Izgradnja neeuklidskih geometrija
4
7
Teorija relativnosti
5
8
Podela geometrije
6
9
Euklidova geometrija
7
10 Elementarna geometrija
7
11 Osnovne oblasti geometrije
7
12 Planimetrija
8
12.1 Mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 P ravougli trougao . . . . . . . . . . . . . ˇ 12.4 Cetvorougao . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 P ravougaonik i kvadrat . . . . . . . . . . 12.7 Romb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Kruˇznica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10Odseˇ c ak (segment) i iseˇ c ak (sektor) kruga 12.11Kruˇzni prsten . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
13 Stereometrija
13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6
Kocka . . Kvadar . Piramida Prizma . . Valjak . . Lopta . .
18
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
14 Trigonometrija
15 Analitiˇ cka geometrija
Vektorski prostor . . . . . . . . S kalarni proizvod . . . . . . . . Vektorski proizvod . . . . . . . Ravan . . . . . . . . . . . . . . R avan u anal itiˇcko j geometr iji .
18 19 20 21 21 23 24
14.1 Poreklo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.1 15.2 15.3 15.4 15. 5
8 9 12 12 13 14 14 15 16 17 18
25 26
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
16 Neeuklidska geometrija
27 27 28 29 30 30
16. 1 Istor ij a neeukli dske geometr ije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Geometrija Lobaˇ cevskog
31 33
17. 1 O geom etr ij i Lobaˇcevskog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
18 Projektivna geometrija
35
19 Aksiomatsko zasnivanje geometrije
37
42
20 O nastavi geometrije u ˇ skoli
38
21 Veliki umovi
21.1 21.2 21.3 21.4 21.5 21.6 21.7 21.8
Pitagora . . . . . . . . . . Tales . . . . . . . . . . . . . Platon . . . . . . . . . . . Euklid . . . . . . . . . . . . Aristotel . . . . . . . . . . . Nikolaj Ivanoviˇc Lobaˇcevski D avid Hilbert . . . . . . . . Rene Dekart . . . . . . . .
40
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
43
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
40 40 40 40 41 41 41 41
