86
S. Varoˇ Varoˇ sanec, sanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje
Toˇ ckom P (1, 3, 1) poloˇ poloˇ zimo zimo ravninu ravninu paralelnu paralelnu s ravninom ravninom koja je Primjer 4.34. Toˇ odredena odrede na toˇ toˇ ckom ck om T (1, 2, 5) i pravcem p = AB , A(−4, −3.5, −1), B (2, −1, −7).
Pom Po mo´cu toˇcaka T , A , B mogu se nacrtati tragovi ravnine ρ koja je odredena tim trima tri ma toˇ t oˇckama. ckama. Upotr Up otrijeb ijebit it ´cemo cemo prvo i drug d rugoo prob pr obod odiˇ iˇste ste pravca AT , ozna oz naˇˇcena ce na su s P 1 i P 2 , te prvo probodiˇ prob odiˇste ste pravca AB , oznaˇ oz naˇceno ce no s Q1 . Drugo probodiˇ prob odiˇste ste nije potrebno konstruirati jer tragovi ravnine se sijeku na osi.
Toˇckom P povu Toˇ p ovucimo cimo sutraˇ sutraˇznicu znicu traˇ zene zene ravnine, ravnine, tj. kroz P p ovuˇ ov uˇcemo paralelu s r 2 , u toˇcki cki gdje gdj e ta para p aralela lela sijeˇ sij eˇce ce os povuˇ p ovuˇcemo cemo okomicu okomi cu na n a os. os . Istovrem Ist ovremeno eno kroz P povuˇcemo cemo paralelu s osi. Kroz toˇcku cku gdje se sijeku okomica i paralela propr olazit laz it ´ce ce trag tr ag s1 traˇ tr aˇzene ze ne ravnin rav ninee σ paralelan s r1 . Drugi trag dobivamo kao paralelu s r2 kro k rozz ˇcvor. cvo r.
87
S. Varoˇ sanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje
Primjer 4.35. Zadanim pravcem p = AB poloˇzimo ravninu ρ okomitu na ravninu cemu je A(−3.5, 3.5, 5) i B (3, 1, 3). σ (−4, 5, 2.5), pri ˇ
Bilo kojom toˇckom pravca p povuˇcemo okomicu o na ravninu σ . Na crteˇzu je ta okomica povuˇcena kroz toˇcku A, tj. o ⊥ s1 i o ⊥ s2 . Traˇzena ravnina ρ odredena je pravcima o i p.
Konstrukciju radimo na uobiˇcajeni naˇcin odreduju´ci probodiˇsta pravaca o i p . Tlocrti prvih probodiˇsta odreduju prvi trag r1 ravnine ρ, a druga probodiˇsta drugi trag.
88
S. Varoˇ sanec, Nacrtna geometrija, 4. Mongeovo projiciranje
zimo ravninu τ okomitu na ravPrimjer 4.36. Zadanom toˇckom T (−2, 3, 3) poloˇ nine ρ(−3, 3, 2) i σ (6, 6, 1).
Traˇzena je ravnina τ okomita na presjeˇcnicu p ravnina ρ i σ i prolazi toˇckom T . Prvo ˇcemo na´ci presjeˇcnicu p. Tragovi r1 i s 1 sijeku se u toˇ cki 1, a drugi tragovi sijeku se u toˇcki 2. Tlocrti toˇcaka 1 i 2 odreduju tlocrt pravca p, a nacrti odreduju nacrt od p.
Pravac p okomit na na ravninu τ , pa je prvi trag t1 okomit na p , i analogno t2 ⊥ p . Time su nam odredeni smjerovi tragova t1 i t2 . sad treba samo toˇ ckom T povu´ci sutraˇznicu koja leˇzi u τ . Prvo kroz T povuˇcemo okomicu na p do osi i u toj toˇcki dignemo okomicu na os. Istovremeno iz T povuˇcemo paralelu s osi. Toˇ ckom u kojoj se sijeku okomica i paralela prolazi drugi trag t 2 ravnine τ i joˇs znamo da je okomit na p . Kad nacrtamo t2 , tada je t1 okomit na p i prolazi ˇcvorom na osi.