Euklidska Geometrija

U N I V E R Z I T E T

U

ˇ T P R I S

Prirod no-mate matiˇ cki

I N I

faku ltet

Vlad Vladic ica a Sto St o janovi´ janovi´ c

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

Kosovska Mitrovica, 2011.

ii

ii

Sadrˇ za j 1 UVOD 1.1 Istorijski razvoj geometrije . . . . . . . . . . . . . . 1.1. 1.1.11 Indu Indukt ktiv ivni ni i dedu dedukt ktiv ivni ni me meto tod d u geom geomet etri riji ji 1.1.2 Euklidov dovi ”Elementi” i V pos postulat . . . . . 1.1. 1.1.33 Aksiom siomat atssko zasni asniv vanje anje geom geomeetrij trijee . . . . . 1.2 1.2 Osno Osnovn vnii pojmo pojmov vi i sta stavovi u geome eometr trij ijii . . . . . . .

. . . . .

1 1 1 3 4 5

- ENJE 2 INCID INCIDEN ENTN TNOST OST I URE URED 2.1 2.1 Aksio ksiome me inc inciden idenccije ije i njih njihoove posl posleedice dice . . . . . . . . . . . . . 2.2 Aksiome por poretka i njihove pos posled ledice . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Zadaci za veˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 9 12

3 GEOMETRIJSKE FIGURE U RAVNI 3.1 Duˇz i pol poluprava . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Poja ojam i osobine duˇzi . . . . . . . 3.1.2 Poluprava. Defi Definicija i osobine ine . 3.1. 3.1.33 Orije rijen ntac tacija ija duˇ duˇzi i polu polupr praave . . 3.2 Poligo igon i pol poligonska pov povrˇs . . . . . . . . 3.3 Poluravan i ugao . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Definicija i osobine pol poluravni . . 3.3.2 Ugaona linija i ugao . . . . . . . 3.3.3 Orijentacija uglova i ravni . . . . 3.4 Konveksni skupov povi u ravni . . . . . . . . 3.5 Zadaci za veˇzbu . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

15 15 15 17 19 21 24 24 26 28 30 32

4 PODUDARNOST 35 4.1 4.1 Aksio ksiome me podud podudar arno nost stii i njih njihoove posl posled edic icee . . . . . . . . . . . 35 4.2 4.2 Poja ojam izom izomet etri rijjskih skih tran transf sfoormac rmacij ija a . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 4.3 Rela Relaci cija ja podud podudar arno nost stii geom geomet etri rijs jski kih h figur figuraa . . . . . . . . . . . 40 iii

iv 4.4

4.5

Podudarnost geometrijskih figura u ravni . . . 4.4.1 Podudarnost duˇzi . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Podudarnost uglova . . . . . . . . . . . 4.4.3 Pravi, oˇstri i tupi uglovi. Upravne prave 4.4.4 Podudarnost trouglova . . . . . . . . . . Zadaci za veˇzbu . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 NEPREKIDNOST 5.1 Aksiome neprekidnosti i njihove 5.2 Sistem merenja duˇzi i uglova . 5.3 Po jam kruga . . . . . . . . . . 5.4 Zadaci za veˇzbu . . . . . . . . .

posledice . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 PARALELNOST 6.1 Aksioma paralelnosti i njene posledice 6.2 Relacija paralelnosti pravih i ravni . . 6.3 Primena paralelnosti u planimetriji . . 6.3.1 Paralelogram i trapez . . . . . 6.3.2 Znaˇc ajne taˇcke trougla . . . . . 6.3.3 Krug i mnogougao . . . . . . . 6.3.4 Merenje figura u ravni . . . . . 6.4 Vektori u geometriji . . . . . . . . . . 6.5 Konstrukcije lenjirom i ˇsestarom . . . 6.6 Zadaci za veˇzbu . . . . . . . . . . . . . Literatura

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. 41 . 41 . 43 . 48 . 51 . 55

. . . .

. . . .

59 59 63 66 68

. . . . . . . . . .

71 71 74 76 77 80 84 88 91 94 98

. . . . . . . . . .

103

Glava 1

UVOD

1.1

Istorijski razvoj geometrije

Ako bi hteli da po jam geometrije definiˇsemo u par reˇci, onda najˇceˇsće kaˇzemo da ona predstavlja nauku o prostoru , tj. izuˇ cava osobine objekata koji se mogu prostorno modelovati. Na taj naˇ cin, celokupan sadrˇzaj geometrije podred¯en je odgovarajućem, konkretnom prostornom modelu. Ipak, savremena shvatanja podrazumevaju da se svaka matematiˇcka disciplina zasnuje na strog i formalan naˇcin, pa je i u danaˇsnjoj geometriji prihva´ cen isti princip. Da bismo bolje razumeli naˇ cin zasnivanja geometrije kao nauke, dajemo najpre kratak istorijski osvrt na njen razvoj i promene koje je ona, tokom njega, doˇzivljavala. Smatramo da ćemo time bolje razumeti ne samo bitne istorijske trenutke, već i celokupnu transformaciju geometrije o d ˇcisto empirijske do savremene, deduktivno zasnovane teorije. 1.1.1

Induktivni i deduktivni metod u geometriji

Geometrija spada u red najstarijih matematiˇ ckih disciplina, sa veoma dugom i bogatom tradicijom. Stare, drevne civilizacije (Egip´ cani, Sumeri, Vavilonci i drugi) koristili su iskljuˇcivo induktivni metod zakljuˇcivanja u geometriji. To znaˇci da su od pojedinaˇcnih, empirijskih zapaˇzanja induktivnim putem dolazili su do odred¯enih opˇstijih zakljuˇcaka. Na taj naˇcin, doˇslo se do prvih saznanja o povrˇ sini geometrijskih figura, zapremini kvadra, prizme 1

2 i piramide, i sliˇcno. U VI veku p.n.e. dominaciju u nauci i kulturi preuzimaju stari Grci. Njima se pripisuje zasluga u novom, drugaˇ cijem p oimanju geometrije i nauke uopˇ ste. Osnov za to jeste deduktivni metod zakljuˇcivanja, ˇcija je osnovna karakteristika teˇznja ka opisivanju (i dokazivanju) opˇstih stavova i ˇcinjenica koji će zatim vaˇziti u bilo kom pojedinaˇ cnom sluˇ caju. Koliko je nama poznato, naˇcelo dedukcije u dokazivanju geometrijskih tvrd¯enja prvi uvodi ˇcuveni starogrˇcki filozof Tales iz Mileta (624–547 p.n.e.). Njemu se pripisuje dokaz II stava o podudarnosti trouglova, odred¯ivanje periferijskih uglova nad preˇcnikom kruga, izraˇcunavanje visine Keopsove piramide, itd. Talesova naˇcela dalje razvija poznati starogrˇcki filozof i matematiˇcar Pitagora (oko 580–500 p.n.e.). Posebno se bave´ ci geometrijom i teorijom brojeva, doˇ sao je do niza vaˇznih rezultata. Smatra se da je prvi otkrio zbir unutraˇsnjih uglova trougla, dokazao ostala tri stava podudarnosti trouglova, kao i legendarnu teoremu o pravouglom trouglovu koja nosi njegovo ime. Ve´ c tada, obilje dokazanih geometrijskih tvrd¯enja dovodi do potrebe za sistematizacijom dotadaˇ snjih saznanja. Ovo naˇcelo sprovodi u delo sam Pitagora, ukazujući da se geometrijska tvrd¯enja moraju dokazivati primenom ranije poznatih ili oˇciglednih ˇcinjenica. Upravo zato, smatramo ga tvorcem deduktivnog metoda, ne samo u geometriji, ve´ c u nauci, uopˇste. Deduktivni metod zasnivanja geometrije prihva´ cen je od strane ve´ cine starogrˇckih nauˇcnika tog doba, ali i kasnije. Sistematiˇcni radovi o nauˇcnom zasnivanju geometrije vezuju se za filozofe Hipokrata i Demokrita, ali nama, na ˇzalost, nije poznat njihov sadrˇzaj. Rodonaˇcelnikom aksiomatskog zasnivanja geometrije smatramo istaknutog starogrˇckog filozofa Platona (427–347 p.n.e.). Iako se nije eksplicitno bavio matematikom, Platon u svojoj ˇcuvenoj ˇskoli ”Akademija” razvija i neguje geometriju kao deduktivnu teoriju, odva jajući od nje empirijske, opaˇzajne primese. Po njemu, geometrija se zasniva na odred¯enom broju opˇste prihvaćenih ˇcinjenica: aksioma i postulata . Ova dva pojma dalje naroˇcito istiˇce Platonov genijalni uˇcenik Aristotel (384–322 p.n.e.). On aksiome smatra tvrd¯enjima koja se ne dokazuju, a opˇ stijeg su karaktera, tj. vaˇze u dve ili viˇ se nauˇ cnih teorija. S druge strane, postulati su takod¯e opˇste priznata i prihva´ cena tvrd¯enja, ali vaˇ ze samo u jednoj odred¯enoj nauˇcnoj disciplini. Na taj naˇcin, Aristotel detaljnije razrad¯uje Platonove ideje, utvrd¯ujući svojevrsno pravilo po kojem se svaki novi pojam moˇ ze opisati pomo´ cu njemu srodnog, poznatog pojma, ali i njihove specifiˇcne razlike, odnosno osobine koju novi pojam, za razliku od prethodnog, poseduje .

Na primer, kvadrat moˇ zemo opisati kao pravougaonik (srodan pojam), ali takav da su mu sve stranice jednake (specifiˇ cno svojstvo kvadrata).

3 1.1.2

Euklidovi ”Elementi” i

V postulat

Najznaˇcajniji doprinos razvoju geometrije antiˇcke Grˇcke dao je, sasvim sigurno, starogrˇcki matematiˇcar Euklid (oko 365–270 p.n.e.). On je napisao dotad najsistematiˇcnije delo iz geometrije, ˇcuvene ”Elemente”, gde je pokuˇ sao da dosledno sprovede deduktivni metod u geometriji. Upravo zato, njegovo delo vekovima je smatrano najsavrˇ senijem delom ljudskog uma i uzor logiˇckog zakljuˇcivanja, ne samo u geometriji ve´ c i u nauci, uopˇste. Euklid izlaganje poˇcinje navod¯enjem niza definicija kojima se opisuju osnovni geometrijski p ojmovi: taˇ cka, linija, prava, ravan, itd. Evo nekih od tih definicija: I. Taˇcka je ono ˇciji je deo niˇsta. II. Linija je duˇzina bez ˇsirine. III. Prava je linija jednakopostavljena u odnosu na sve svoje taˇ cke. IV. Povrˇs je ono ˇsto ima duˇzinu i ˇsirinu. V. Ravan je povrˇ s jednakopostavljena u odnosu na sve svoje prave. Sa danaˇsnje taˇcke glediˇsta, naravno, jasno je da ove definicije nisu logiˇcki korektne, niti su prihvatljive u formalnom smislu. Euklid, takod¯e, navodi sistem od 14 osnovnih tvrd¯enja, aksioma i postulata. Ovaj sistem, ubrzo se pokazalo, nije potpun, tj. iz njega se ne moˇ ze izvesti svako geometrijsko tvrd¯enje. Ve´ c je Arhimed (287–212 p.n.e.) u svom delu ”O lopti i valjku” dodao pet novih p ostulata kojima se omogu´ cava uvod¯enje pojma mere geometrijskih figura. Jedan od tih postulata, tzv. Eudoks-Arhimedova aksioma prestiˇ zivosti , i danas predstavlja jedno od osnovnih tvrd¯enja savremene geometrije. Med¯utim, za razvoj geometrije od posebnog je znaˇcaja famozni Euklidov V postulat , koji moˇzemo formulisati na sledeći naˇcin: -

Ako izvesna prava, presecajući dve komplanarne prave, obrazuje sa njima s jedne iste strane dva ugla ˇciji je zbir manji od zbira dva prava ugla, tada se te dve prave, neograniˇ ceno produˇzene, seku sa te iste strane date seˇcice (slika 1.1).

4 Mnogi matematiˇ cari posle Euklida smatrali su da V postulat, zbog svoje sloˇzenosti, predstavlja teoremu koja se moˇ ze dokazati na osnovu ostalih tvrd¯enja. Na taj naˇcin, oni su na jˇceˇsće otkrivali nova tvrd¯enja i time obogaćivali dotadaˇsnja saznanja iz geometrije.

Slika 1.1.

Tek u XIX veku, ruski matematiˇcar Nikolaj Lobaˇcevski (1792–1856), u pokuˇsaju da, kao i mnogi pre njega, negacijom V postulata dod¯e do kontradiktornih tvrd¯enja, otkriva potpuno novu teoriju. Na taj naˇ cin, on shvata da sem dotad poznate - euklidske (paraboliˇcke ), postoji niz ”drugaˇ cijih” geometrija koje se bitno razlikuju od nje. Potpuno nezavisno od Lobaˇcevskog do iste geometrije doˇsao je i mad¯arski matematiˇcar Janoˇs Boljaj (1802–1860). U njihovu ˇcast, ta prva neeuklidska geometrija i danas nosi naziv geometrija Lobaˇ cevskog–Boljaja ili hiperboliˇcka geometrija . Pored nje, ˇcesto se koristi i neeuklidska geometrija koju, posebnim sistemom aksioma, uvodi nemaˇcki matematiˇcar Bernhard Riman (1826-1866). Danas se ova geometrija obiˇ cno naziva Rimanova ili eliptiˇcka geometrija . 1.1.3

Aksiomatsko zasnivanje geometrije

Otkrivanje neeuklidskih geometrija iz korena menja dotadaˇ snja shvatanja ne samo geometrije, već i zasnivanje bilo koje deduktivne teorije. Uoˇ ceno je da se osnovni objekti geometrije, taˇ cke, prave i ravni mogu apstrahovati, a njihove osobine formulisati sistemom aksioma koje nisu oˇ cigledne u euklidskom smislu. Zasnivanje geometrije na apstraktnim pojmovima i neoˇciglednim aksiomama podstaklo je matematiˇcare da dalja istraˇzivanja usmere ka samim osnovama geometrije i drugih matematiˇ ckih disciplina. Na ta j naˇcin, poˇcinju da se razmatraju fundamentalni problemi vezani ne samo za aksiomatiku geometrije, već i za formalno, aksiomatsko zasnivanje bilo koje deduktivne teorije. To su, pre svega, problemi neprotivureˇ cnosti, nezavisnosti i potpunosti . Prvi od njih odnosi se na osobinu da deduktivna teorija, zasnovana na odgovarajućem sistemu aksioma, nema dve med¯usobno protivureˇ cne aksiome. Dalje, sistem aksioma bi´ ce nezavisan ako nijedna

5 od njih ne moˇ ze biti izvedena iz ostalih aksioma date teorije1 . Najzad, potpunost sistema aksioma znaˇci da se bilo koje tvrd¯enje moˇze, na osnovu njega, pokazati. Aksiomatsko zasnivanje geometrije podstaklo je mnoge matematiˇ care da suptilno analiziraju osnovne geometrijske pojmove i tvrd¯enja. Tako nemaˇcki matematiˇcari Dedekind i Kantor sedamdesetih godina XIX veka uvode tzv. aksiome neprekidnosti. Deceniju kasnije, takod¯e nemaˇcki matematiˇcar Moric Paˇs u svojoj knjizi ”Predavanja iz novije geometrije” uvodi aksiome poretka. Na ta j naˇcin, otklanjaju se krupni nedostaci Euklidove aksiomatike i omogućava formiranje neprotivureˇ cnog, nezavisnog i potpunog sistema aksioma savremene geometrije, kakav poznajemo i danas. Prvi je taj cilj ostvario David Hilbert (1862–1943), nemaˇ cki matematiˇcar, koji 1899. godine u svom delu ”Osnovi geometrije” daje preciznu aksiomatiku i dovoljno apstrahovane definicije taˇ caka, pravih i ravni kao osnovnih geometrijskih objekata. Ova, poluformalna aksiomatika Hilberta predstavlja prvi korak u danaˇsnjem, savremenom poimanju geometrije kao deduktivne, matematiˇ cke nauke.

1.2

Osnovni pojmovi i stavovi u geometriji

Kao i svaka deduktivna teorija, geometrija se zasniva na odred¯enim pojmovima koje smatramo poznatim i izvesnom sistemu tvrd¯enja koje ne dokazujemo. Pojmove koje ne definiˇsemo u geometriji nazivao osnovnim geometrijskim pojmovima , a tvrd¯enja koja ne dokazujemo aksiomama . Na osnovu njih, uvode se ostali, izvedeni pojmovi i dokazuju odgovaraju´ ca tvrd¯enja - teoreme ili stavovi. U cilju zasnivanja geometrije, polazimo od proizvoljnog skupa S , dveju klasa C l i C π njegovih podskupova i dveju relacija definisanih na njemu. Skup S nazivamo prostorom , a njegove elemente taˇckama i obeleˇzavamo ih latinskim slovima A, B , C , . . . Elemente klase C l nazivamo pravim lini jama ili pravama , a obeleˇ zavamo ih slovima a , b , c , d , . . . , p , q , . . . Elemente klase C π nazivamo ravnima , a obeleˇzavamo ih sa α, β , . . . , π, . . . Najzad, svaki neprazan podskup taˇ caka prostora S nazivamo geometrijskim objekci, taˇcke, prave i ravni jesu (osnovni) geometrijski tom (likom, figurom). Znaˇ objekti. S druge strane, jedna od relacija na skupu S jeste troelementna relacija izmed¯u , koju obeleˇ zavamo sa B (skraćeno od engleskog termina between). Ovom relacijom, kao ˇsto i sam njen naziv kaˇze, oznaˇ cavamo da se jedna 1

ˇ Cesto se kaˇ ze i da je dati skup aksioma minimalan .

6 taˇcka, recimo B , nalazi izmed¯u drugih dveju taˇcaka A i C , ˇsto kraće zapisu jemo sa B (A,B,C ). Druga od relacija je ˇcetvoroelementna relacija podudarnosti ured¯enih ˇ parova taˇ caka (relacija kongruencije ili ekvidistancije). Cinjenicu da je ured¯en par taˇcaka (A, B) podudaran sa parom taˇ caka (C, D) zapisujemo ∼ (A, B) = (C, D). Na kraju, definiˇsemo i sam sistem aksioma koje karakteriˇsu osnovne geometrijske objekte i relacije. Po prirodi zakonitosti koje opisuju, sve aksiome delimo na pet grupa: I. Aksiome incidencije ili pripadanja (9 aksioma) II. Aksiome rasporeda ili poretka (6 aksioma) III. Aksiome podudarnosti (7 aksioma) IV. Aksiome neprekidnosti (2 aksiome) V. Aksiome paralelnosti (1 aksioma) U daljem tekstu detaljnije ćemo izloˇziti ovaj sistem aksioma, zajedno sa odgovarajućim stavovima koji iz njih proizilaze. Vaˇzno je istaći da se poslednja, aksioma paralelnosti moˇze posmatrati odvojeno od ostalih aksioma, pa se i sadrˇ zaj naˇ seg daljeg izlaganja moˇ ze smatrati podeljenim na dva dela. Prvi se odnosi na tzv. apsolutnu geometriju , koju odred¯uju prve ˇcetiri grupe aksioma. Ovaj deo opisan je u naredne ˇcetiri glave koje neposredno slede. U poslednjem poglavlju, zajedno sa aksiomom paralelnosti, detaljnije su opisane ˇcinjenice koje se odnose na euklidsku geometriju .

Glava 2

INCIDENTNOST I - ENJE URED

2.1

Aksiome incidencije i njihove posledice

Osnovni geometrijski objekti, taˇ cke, prave i ravni nalaze se u med¯usobnim odnosima koje, u terminima Teorije skupova, izraˇ zavamo relacijama ”pripada” i ”sadrˇzi”. Ove relacije u geometriji nazivamo relacijama incidencije , a istovetan naziv ima i ova, prva grupa aksioma koja opisuje njihove osnovne osobine. Ipak, pre uvod¯enja samih aksioma, p otrebno je definisati pojmove kolinearnosti i komplanarnosti . Definicija 2.1.1. Tri ili viˇse taˇcaka A, B , C , . . . su kolinearne ako postoji prava koja ih sadrˇ zi. Ukoliko takva prava ne postoji, za date taˇ cke kaˇ ze se da su nekolinearne. ˇ ili viˇse taˇcaka A, B , C, D . . . su komplanarne ako Definicija 2.1.2. Cetiri postoji ravan koja ih sadrˇ zi. Ukoliko takva ravan ne postoji, za date taˇ cke kaˇzemo da su nekomplanarne.

Definicija 2.1.3. Dve ili viˇse pravih p, q , . . . su komplanarne ako postoji ravan koja ih sadrˇ zi. Ukoliko takva ravan ne postoji, za date prave kaˇ zemo da su nekomplanarne ili mimoilazne.

Sada navodimo sistem aksioma incidencije koga saˇcinjava sledećih devet aksioma: 7

8 Aksioma I 1 : Svaka prava sadrˇzi najmanje dve razne taˇcke. Aksioma I 2 : Postoji najmanje jedna prava koja sadrˇzi dve taˇcke. Aksioma I 3 : Postoji najviˇse jedna prava koja sadrˇzi dve razne taˇcke. Aksioma I 4 : Svaka ravan sadrˇzi najmanje tri nekolinearne taˇcke. Aksioma I 5 : Postoji najmanje jedna ravan koja sadrˇzi tri taˇcke. Aksioma I 6 : Postoji najviˇse jedna ravan koja sadrˇzi tri nekolinearne taˇcke. cke neke prave pripadaju izvesnoj ravni, Aksioma I 7 : Ako dve razne taˇ onda i sve taˇ cke te prave pripadaju datoj ravni. cku, onda one imaju bar Aksioma I 8 : Ako dve ravni imaju zajedniˇcku taˇ joˇ s jednu zajedniˇ cku taˇ cku.

Aksioma I 9 : Postoje ˇcetiri nekomplanarne taˇcke. Dokaza´ cemo neka vaˇ znija tvrd¯enja koja se dobija ju na osnovu aksioma incidencije. Teorema 2.1.1. Svaka prava jednoznaˇcno je odred¯ena dvema svojim raznim taˇ ckama.

zi najmanje dve razne taˇcke Dokaz. Prema aksiomi I 1 svaka prava p sadrˇ A i B. Obratno, za svake dve razne taˇ cke A i B, na osnovu aksiome I 2 , postoji najmanje jedna, a na osnovu aksiome I 3 najviˇse jedna prava p koja ih sadrˇzi. Dakle, postoji taˇcno jedna prava koja sadrˇzi dve razne taˇcke. Teorema 2.1.2. Svaka ravan jednoznaˇcno je odred¯ena trima nekolinearnim taˇ ckama.

cno kao u prethodnoj teoremi, tvrd¯enje je direktna posledica Dokaz. Sliˇ aksioma I 4 , I 5 i I 6 . Teorema 2.1.3. Ako dve razliˇcite ravni imaju bar jednu zajedniˇcku taˇcku, onda je njihov presek prava.

= β i α ∩ β  = ∅. Dakle, postoji Dokaz. Neka su α i β ravni sa osobinama α  taˇcka A ∈ α ∩ β pa, na osnovu aksiome I 8 , ravni α i β imaju joˇs najmanje jednu zajedniˇ cku taˇ cku B ∈ α ∩ β . Taˇckama A i B, na osnovu teoreme 2.1.1, jednoznaˇ cno je odred¯ena prava p = p(A, B). Na osnovu aksiome I 7 , prava p pripada ravnima α i β , t. vaˇzi p ⊆ α ∩ β .

9 Dokaza´ cemo sada da je p = α ∩ β . U tom cilju, pretpostavimo da, suprotno tome, postoji taˇcka C ∈ α ∩ β koja ne pripada pravoj p (slika 2.1). Tada su A, B i C tri nekolinearne taˇ cke kojima je, na osnovu prethodne teoreme, jednoznaˇ cno odred¯ena ravan π(A,B,C ). Med¯utim, kako je A, B,C ∈ α i A,B,C ∈ β , primenom iste teoreme nalazimo da je α = β = π. Ovo je, najzad, u suprotnosti sa pretpostavkom da su α i β Slika 2.1. razliˇcite ravni.

2.2

Aksiome poretka i njihove posledice

Ovu grupu aksioma saˇcinjava niz tvrd¯enja kojima se obezb ed¯uje zasnivanje tzv. geometrije poretka , pre svega na pravoj, ali i u ravni, odnosno prostoru. Osnov za to daje troelementna relacija B (”izmed¯u”) koju smo opisali u uvodnom delu. Da se podsetimo, zapis B (A,B,C ) oznaˇcava da se taˇcka B nalazi izmed¯u taˇcaka A i C . Svojstva relacije ”izmed¯u” sadrˇzana su sledećim skupom aksioma rasporeda : Aksioma II 1 : Ako su A, B,C tri kolinearne taˇcke takve da vaˇzi B (A,B,C ), onda su te taˇcke med¯usobno razliˇ cite.

Aksioma II 2 : Ako su A, B,C tri kolinearne taˇcke takve da vaˇzi B (A,B,C ), onda je i B (C,B,A). Aksioma II 3 : Ako su A, B,C tri kolinearne taˇcke takve da vaˇzi B (A,B,C ), onda nije B (A,C,B). Aksioma II 4 : Ako su A i B dve razne taˇcke neke prave p, onda postoji taˇ cka C ∈ p takva da je B (A,B,C ). Aksioma II 5 : Ako su A,B, C tri razne kolinearne taˇcke, onda vaˇzi najmanje jedna od relacija

B (A,B,C ),

B (A,C,B),

B (C,A,B).

10 Aksioma II 6 : (Paˇsova aksioma) Neka su A,B, C tri nekolinearne taˇ cke i p prava koja pripada ravni odred¯enoj taˇckama A,B,C , ne sadrˇzi taˇcku ce pravu BC u A i seˇ taˇ cki P takvoj da je B (B,P,C ). Tada prava p seˇce pravu AC u taˇcki Q takvoj da je B (A,Q,C ) ili pravu AB u taˇcki R takvoj da je B (A,R,B) (slika 2.2).

Slika 2.2.

Prvih pet aksioma poretka odnose se na geometriju prave, pa ih obiˇcno nazivamo linearnim aksiomama poretka . Med¯utim, iz linearnih aksioma poretka ne moˇze se, kao ˇsto ćemo uskoro videti, izgraditi potpuna geometrija poretka taˇ caka na pravoj. Poslednja, Paˇsova aksioma, odnosi se na geometriju ravni i pokazuje se neophodnom u izgradnji te teorije. Ne ulazeći detaljnije u tzv. geometriju poretka , navodimo nekoliko vaˇ znijih tvrd¯enja. Teorema 2.2.1. Ako su A,B, C tri razne kolinearne taˇcke, onda vaˇzi taˇcno jedna od relacija

B (A,B,C ),

B (A,C,B),

B (C,A,B).

zi bar jedna od triju navedenih relacija. Neka, Dokaz. Prema aksiomi II 5 vaˇ recimo, vaˇzi B (A,B,C ). Iz aksiome II 3 sledi da tada nije B (A,C,B). Na osnovu aksiome II 2 iz B (A,B,C ) sledi da je B (C,B,A), odakle ponovnom primenom II 3 zakljuˇcujemo da ne vaˇzi B (C,A,B). Narednim tvrd¯enjem vrˇsimo identifikaciju prave naroˇcito definisanim skupovima taˇcaka. Teorema 2.2.2. Neka su A, B dve razne taˇcke prave p. Tada se prava p poklapa sa skupom p ′ koji se sastoji iz taˇ caka A, B i svih taˇcaka X ∈ p takvih da vaˇ zi neka od relacija

B (A,B,X ),

B (A,X,B),

B (X,A,B).

(2.1)

zi i Dokaz. Iz definicije skupa p′ jasno sledi da je p′ ⊆ p. Pokaˇzimo da vaˇ obratna relacija. Neka je X proizvoljna taˇcka prave p. Ako je X = A ili X = B, onda je oˇcito X ∈ p′ , opet po definiciji skupa p′ . Najzad, ako je X  = A, B, onda su A, B,X tri razne kolinearne taˇcke prave p, pa na osnovu prethodne teoreme vaˇzi taˇcno jedna od relacija (2.1).

11 Naglasimo da se na sliˇcan naˇcin kao u prethodno j teoremi moˇze izvrˇsiti identifikacija ravni pomoću pravih, odnosno prostora S pomoću ravni. Na ovim ˇcinjenicama se, ipak, nećemo detaljnije zadrˇzavati. Teorema 2.2.3. Ako su A, B dve razne taˇcke prave p, tada postoji taˇcka C ∈ p takva da je B (A,C,B). cka van prave AB (slika 2.3). Kako je Dokaz. Neka je D proizvoljna taˇ D  = B, na pravoj BD, prema aksiomi II 4 , postoji taˇcka E takva da je B (B,D,E ). Taˇcka E je van prave AB (zaˇsto?), pa je E  = A. Tada, prema aksiomi II 4 , na pravoj AE postoji taˇcka F takva da je B (A,E,F ). Dakle, A,B,E jesu tri nekolinearne taˇ cke, pri ˇcemu prava DF ne sadrˇzi niti jednu od njih i seˇ ce, redom, prave BE i AE u taˇckama D i F takvim da je B (B,D,E ) i B (A,E,F ). Prema Paˇ sovoj aksiomi II 6 prava DF tada mora seći pravu AB u taˇcki C takvoj Slika 2.3. da je B (A,C,B). Navodimo sada, u kratkim crtama, joˇs neka uopˇstenja relacije ”izmed¯u” neophodna za dalju izgradnju geometrije poretka i joˇ s nekih, fundamentalnih geometrijskih objekata. Pre svega, pokazujemo kako relaciju B moˇzemo proˇsiriti i uopˇstiti na proizvoljan konaˇcan skup taˇcaka. Definicija 2.2.1. Za konaˇcan skup od n ≥ 3 kolinearnih taˇcaka {A1 , . . . , An } kaˇ ze se da je linearno ured¯en ako za svako 1 ≤ i < j < k ≤ n vaˇ zi B (Ai , A j , Ak ). Tada piˇsemo, kraće, B (A1 , . . . , An ). Sa ovako definisanom relacijom B u mogućnosti smo da govorimo o linearnom poretku proizvoljnog konaˇcnog broja taˇ caka na pravoj. U tom sluˇcaju, vaˇzi Teorema 2.2.4. Neka je {A1 , . . . , An } konaˇcan skup od n ≥ 3 kolinearnih taˇ caka takvih da za svako i = 2, . . . , n − 1 vaˇzi B (Ai−1 , Ai , Ai+1 ). Tada vaˇzi B (A1 , . . . , An ). ✷

12

2.3

Zadaci za veˇ zbu

Zadatak 2.1. Ako su A, B i C nekolinearne taˇcke, dokazati da su one med¯u sobom razliˇcite taˇcke. Zadatak 2.2. Ako su A, B,C i D ˇcetiri nekomplanarne taˇcke, dokazati da su svake dve od tih taˇcaka med¯u sobom razliˇcite, a svake tri od tih taˇcaka nekolinearne. Zadatak 2.3. Dokazati da dve razne prave mogu imati najviˇse jednu za jedniˇ cku taˇ cku.1 Zadatak 2.4. Dokazati da je svaka ravan jednoznaˇcno odred¯ena: (a) Pravom i taˇckom izvan nje.

(b) Dvema pravama koje se seku.

Zadatak 2.5. Koliko je najviˇse ravni odred¯eno: (a) Dvema pravama koje se seku i trima nekolinearnim taˇckama; (b) Dvema nekomplanarnim pravama i sa ˇcetiri nekomplanarne taˇcke? Zadatak 2.6. Dat je skup od n ≥ 3 taˇcaka od kojih ni koje tri nisu kolinearne. Odrediti n tako da taˇcke tog skupa odred¯uju podjednak broj pravih i ravni. Zadatak 2.7. Dokazati da za svaku pravu, odnosno ravan, postoji bar jedna taˇcka koja joj ne pripada. Zadatak 2.8. Ako prava p ne pripada ravni α, onda ona sa datom ravni ima najviˇse jednu zajedniˇcku taˇcku.2 Dokazati. Zadatak 2.9. Van ravni α date su tri nekolinearne taˇcke A,B, C takve da je AB ∩ α = { M }, BC ∩ α = {N }, AC ∩ α = { P }. Dokazati da su M , N , P kolinearne taˇcke. Zadatak 2.10. Dokazati da nekomplanarne (mimolilazne) prave nemaju zajedniˇckih taˇcaka, kao i da postoje bar dve mimoilazne prave. Zadatak 2.11. Dokazati da postoji beskonaˇ cno mnogo pravih, odnosno ravni, koje sadrˇze zadatu proizvoljnu taˇcku. 1

cnom Za takve prave kaˇ zemo da se seku, a njihovu zajedniˇcku taˇcku nazivamo preseˇ taˇ ckom (presekom) datih pravih. 2 Za pravu ko ja ima taˇcno jednu zajedniˇsku taˇcku sa nekom ravni kaˇ zemo prodire datu ravan.

13 Zadatak 2.12. Neka su A,B, C nekolinearne taˇcke, a P,Q, R taˇcke takve da je B (B,P,C ), B (A,Q,C ) i B (A,R,B). Dokazati da taˇ cke P,Q,R ne pripadaju jednoj pravoj. Zadatak 2.13. Neka su A,B,C,D cˇetiri kolinearne taˇcke. Dokazati da tada vaˇzi:3

B (A,B,C ) ∧ B (B,C,D)

=⇒

B (A,B,D) ∧ B (A,C,D);

(ii) B (A,B,C ) ∧ B (A,C,D)

=⇒

B (A,B,D) ∧ B (B,C,D);

(iii) B (A,B,D) ∧ B (B,C,D)

=⇒

B (A,B,C ) ∧ B (A,C,D).

(i)

ˇ Citaocu posebno skrećemo paˇznju na vaˇ znost ovog zadatka, koji ˇcesto koristimo u kasnijim teoretskim izlaganjima. 3

14

Glava 3

GEOMETRIJSKE FIGURE U RAVNI Na osnovu kompletne aksiomatike incidencije i poretka moguće je izgraditi tzv. elementarnu geometriju . Aksiomatika incidencije omogu´ cava zasnivanje longometrije (incidencija na pravoj), planimetrije (incidencija u ravni) i stereometrije (incidencija u prostoru). S druge strane, aksiomatika poretka dovoljna je za izgradnju kompletne teorije poretka na pravoj, ravni i prostoru. Dodatno, ona omogućava uvod¯enje niza geometrijskih objekata o kojima će ovde biti reˇci.

3.1

Duˇ z i poluprava

Najpre razmatramo neke od najvaˇ znijih geometrijskih figura na pravoj, koje su nam, makar intuitivno, dobro poznate od ranije. Pored njih, u poslednjem delu opisaćemo tipiˇcan ”geometrijski” postupak uvod¯enja ori jentacije na pravoj. 3.1.1

Pojam i osobine duˇ zi

U prethodnoj sekciji pokazali smo da izmed¯u bilo kojih dveju taˇcaka A i B postoji taˇcka C . Induktivnim postupkom lako je zakljuˇ citi da postoji beskonaˇcno mnogo takvih taˇcaka, pa dolazimo do sledećeg pojma. 15

16 Definicija 3.1.1. Neka su A i B dve razne taˇcke neke prave p. Otvorena caka prave p koje se nalaze izmed¯u A duˇ z , u oznaci (AB), jeste skup svih taˇ i B , tj. (AB) = X X ∈ p ∧ B (A,X,B) .



caka Zatvorenom duˇ zi [AB] nazivamo skup taˇ



[AB] = (AB) ∪ {A, B }. Taˇ cke A i B nazivamo krajevima (otvorene ili zatvorene ) duˇzi.

Grafiˇcka interpretacija duˇzi data je na slici 3.1. Naglasimo da, ukoliko zatvorenost duˇzi ˇciji Slika 3.1. su kra jevi taˇcke A, B nije od znaˇcaja, datu duˇz oznaˇcavamo samo sa AB. Na osnovu gore navedene definicije jasno je, takod¯e, da svaka duˇz jeste podskup prave p odred¯ene krajnjim taˇ ckama date duˇ zi. U daljem izlaganju, na relativno jednostavan naˇcin moˇzemo pokazati joˇs neke osobine duˇzi. Teorema 3.1.1 (Osnovna teorema o razbijanju duˇ zi). Svaka taˇcka C ∈ (AB) razlaˇze duˇz (AB) na dve otvorene, disjunktne duˇzi (AC ) i (CB ). cemo najpre da se sve taˇcke duˇzi (AB), izuzev taˇcke C , Dokaz. Pokaza´ nalaze na bar jednoj od duˇ zi (AC ) ili (CB). Zaista, neka je X ∈ (AB) proizvoljna taˇcka takva da je X  = C . Na osnovu aksiome I I 5 vaˇzi bar jedna od relacija B (A,X,C ), B (A,C,X ) ili B (C,A,X ). Razmotrimo sada pojedinaˇ cno svaku od njih: (i) Ako je B (A,X,C ), onda je, po definiciji, X ∈ (AC ). (ii) Ako je B (A,C,X ), onda, zbog B (A,X,B), na osnovu zadatka 2.13 zakljuˇcujemo da vaˇzi B (C,X,B). Dakle, sada je X ∈ (CB ). (iii) Pokaza´ cemo, najzad, da relacija B (C,A,X ) nije moguća. Zaista, ako je B (C,A,X ), onda na osnovu aksiome II 2 vaˇzi B (X,A,C ) . Kako je i B (A,C,B), to na osnovu zadatka 2.13 mora biti B (X,A,B). Odavde sledi da nije B (A,X,B), tj. taˇcka X ne pripada duˇzi (AB), ˇsto je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom. Na kraju, pokazujemo da je (AC ) ∩ (CB) = ∅ . Zaista, ako bi postojala taˇcka D ∈ (AC ) ∩ (CB ), onda za nju vaˇzi B (A,D,C ) i B (C,D,B). No, iz B (A,D,C ) i B (A,C,B) sledi, na osnovu zadatka 2.13, da je B (D,C,B), a to je u suprotnosti sa relacijom B (C,D,B).

17 Teorema 3.1.2. Duˇz, prava i ravan su beskonaˇcni skupovi taˇcaka. cka Dokaz. Za svaku duˇz (AB) postoji, prema teoremi 2.2.3, bar jedna taˇ C koja joj pripada. Sliˇcno, na duˇzima (AC ) i (BC ) moˇzemo naći bar po jednu taˇ cku X ∈ (AC ) i Y ∈ (BC ). Kako smo za ove dve duˇzi pokazali da su disjunktne, to je X  = Y , pri ˇcemu je oˇcito X, Y ∈ (AB). Ponavljajući isti postupak na sve novodobijene duˇzi jasno je da dobijamo beskonaˇ can skup taˇcaka koje pripadaju duˇzi (AB). Sliˇcan postupak moˇzemo ponoviti i u sluˇcaju pravih i ravni (svaka od njih sadrˇzi bar jednu duˇz, pokaˇ zite!).

3.1.2

Poluprava. Definicija i osobine

Pojam poluprave definiˇse se na osnovu posebne relacije definisane na skupu taˇcaka neke prave p. Definicija 3.1.2. Taˇcke A, B ∈ p su sa iste strane taˇcke O ∈ p ako nije B (A,O,B). Tada piˇsemo, kraće, A, B . . O. U suprotnom, taˇcke A i B su cke O, ˇsto zapisujemo A, B ÷ O. sa razliˇ citih strana taˇ Teorema 3.1.3. Relacija . . O je relacija ekvivalencije na skupu taˇ caka prave p, razliˇ citih od taˇcke O. Dokaz. Pokazujemo da relacija . . O zadovoljava osobine relacije ekviva-

lencije: (i)

Refleksivnost: Za svaku taˇ cku A ∈ p \ {O} nije B (A,O,A). Zaista, prema aksiomi II 1 , sve tri taˇ cke koje su u relaciji ”izmed¯u” moraju biti razliˇcite. Dakle, vaˇzi A, A . . O.

(ii)

Simetriˇcnost: Ako za ma koje dve taˇ cke A, B ∈ p \{O} vaˇzi A, B . . O, onda, po definiciji relacije . . O, nije B (A,O,B). Prema aksiomi II 2 tada nije ni B (B,O,A), pa je B , A . . O.

(iii) Tranzitivnost: Neka su A,B, C ∈ p \ {O} takve da vaˇzi A, B . . O i B, C . . O. Po definiciji relacije . . O, zakljuˇcujemo da za taˇcke A, B vaˇzi poredak B (A,B,O) ili B (B,A,O), dok za B, C vaˇzi B (B,C,O) ili B (C,B,O). Upored¯ujući sve moguće sluˇcajeve koji ovde nastaju (proverite ih sami, za veˇzbu!), a na osnovu zadatka 2.13 dobijamo da je B (A,C,O) ili B (C,A,O), odnosno da vaˇ zi A, C . . O.

18

Narednom definicijom konaˇcno uvodimo pojam poluprave. Definicija 3.1.3. Skup svih taˇcaka neke prave p koje se nalaze sa iste strane taˇ cke O ∈ p naziva se otvorena poluprava prave p . Unija tog skupa i taˇ cke O je zatvorena poluprava date prave, a sama taˇcka O poˇ cetak ili kraj poluprave.

Otvorenu polupravu prave p sa poˇcetkom u taˇcki O obiˇcno oznaˇcavamo sa (O, p), dok za zatvorenu polupravu koristimo oznaku [O, p). Ukoliko, ipak, pripadnost poˇcetne taˇcke O dato j polupravoj nije od znaˇcaja, pisaćemo jednostavno Op. Pokazaćemo sada, sliˇcno kao i kod duˇzi, tzv. osnovnu teoremu o razbijanju prave. Teorema 3.1.4. Svaka taˇcka O ∈ p razlaˇze skup ostalih taˇcaka prave p na dve otvorene, disjunktne poluprave prave p. cku Dokaz. Prema aksiomi I 1 , prava p pored taˇcke O sadrˇzi bar joˇs jednu taˇ A ∈ p. S druge strane, prema aksiomi II 4 postoji i taˇcka A′ ∈ p takva da je B (A,O,A′ ). Znaˇci, vaˇzi A, A′ ÷ O, tj. taˇcke A i A ′ nalaze se sa razliˇcitih strana taˇcke O. Kako smo u teoremi 3.1.3 pokazali da je . . O relacija ekvivalencije, to taˇcke A i A ′ na pravoj p odred¯uju dve razliˇcite klase ekvivalencije, oznaˇcimo ih, respekktivno, sa .. .. OA = {X ∈ p | A, X O} i OA′ = {Y ∈ p | A′ , Y O}. Dakle, kao ˇsto znamo od ranije, klase ekvivalencije OA i OA′ su disjunktni skupovi taˇcaka prave p koje su u relaciji . . O ili sa taˇckom A ili sa taˇckom A′ . Na osnovu poslednje definicije, zakljuˇ cujemo da oba skupa jesu otvorene poluprave prave p. Pokaˇ zimo, na kraju, da ne postoji i tre´ ca klasa ekvivalencije, odnosno poluprava prave p sa istim poˇcetkom O. Zaista, neka je P ∈ p proizvoljna taˇcka, razliˇcita od taˇcke O. Tada, prema teoremi 2.2.1, vaˇzi taˇcno jedna od relacija B (A,P,O), B (A,O,P ) ili B (P,A,O). U prvom i trećem sluˇcaju jasno je da P ∈ OA. Za B (A,O,P ), na osnovu B (A,O,A′ ) i zadatka 2.13, imamo da je ili B (O, A′ , P ) ili B (O,P,A′ ). Na jzad, obe ove relacije daju P ∈ OA ′ .

19 3.1.3

Orijentacija duˇ zi i poluprave

Najpre uvodimo pojam tzv. relacije smera , kojom se sve poluprave jedne iste prave mogu klasifikovati na poseban naˇcin. Definicija 3.1.4. Neka su a i b dve poluprave iste prave p. Ako jedna od navedenih polupravih sadrˇ zi drugu polupravu, kaˇ zemo da su a i b poluprave sto zapisujemo a ⇒ b. U suprotnom, poluprave a i b su istog smera , ˇ suprotnog smera , u oznaci a ⇄ b.

Slika 3.2.

Na slici 3.2 prikazane su grafiˇcki ove dve relacije. Sada, na sliˇcan naˇcin, moˇzemo definisati i relaciju smera nad duˇzima jedne iste prave. Definicija 3.1.5. Dve duˇzi AB i CD (otvorene ili zatvorene ) jedne iste prave p su istog smera ako su odgovaraju´ ce poluprave AB i C D istog smera. U protivnom, duˇ zi AB i CD su suprotnog smera . Za relaciju istosmernosti polupravih (pa samim tim duˇzi) vaˇze sledeće osobine. Teorema 3.1.5. Relacija ⇒ je relacija ekvivalencije na skupu polupravih jedne iste prave p. cnost relacije ⇒ sledi direktno na osnovu Dokaz. Refleksivnost i simetriˇ njene definicije. Dokaˇ zimo zato osobinu tranzitivnosti. Neka su a,b, c ⊆ p proizvoljne poluprave takve da je a ⇒ b i b ⇒ c. Na osnovu definicije relacije ci su tada sledeći odnosi ovih polupravih: ⇒, mogu´ (1) a ⊆ b ∧ b ⊆ c =⇒ a ⊆ c (2) a ⊆ b ∧ c ⊆ b =⇒ a ⊆ c ∨ c ⊆ a (3) b ⊆ a ∧ b ⊆ c =⇒ a ⊆ c ∨ c ⊆ a (4) b ⊆ a ∧ c ⊆ b =⇒ c ⊆ a. Dakle, u svim sluˇcajevima vaˇzi a ⇒ c, ˇcime smo pokazali tranzitivnost relacije ⇒ i tvrd¯enje u celini.

20 Teorema 3.1.6. Skup L svih polupravih neke prave p moˇze se razloˇziti na dva podskupa L1 i L2 koji imaju slede´ ce osobine: (i)

L1 , L2  = ∅;

(ii)

L1 ∩ L2 = ∅;

(iii) (∀a, b ∈ L i , i = 1, 2) a ⇒ b; (iv) (∀a ∈ L 1 )(∀b ∈ L 2 ) a ⇄ b. cka. Prema teoremi o razlaganju prave, Dokaz. Neka je A ∈ p proizvoljna taˇ taˇcka A odred¯uje dve komplementrane poluprave a i a′ . Ove poluprave, saglasno definiciji 3.1.4, jesu suprotnog smera. Uoˇcimo sada sledeće skupove polupravih L1 = { b ∈ L | b ⇒ a},

L2 = {b ∈ L | b ⇒ a′ }.

Skupovi L1 i L2 jesu klase ekvivalencije relacije ⇒, pa zadovoljavaju sve gore navedene osobine. Ostaje joˇs da pokaˇzemo da sve poluprave prave p pripadaju nekom od ova dva skupa, odnosno da je L = L 1 ∪ L2 . Zaista, neka je b ∈ L proizvoljna poluprava sa poˇcetkom u taˇcki B ∈ p i b′ njoj komplementarna poluprava. Tada razlikujemo sledeće ˇcetiri mogućnosti (prikaˇzite ih grafiˇcki): (1) A ∈ b, B ∈ a =⇒ a′ ⊆ b =⇒ b ∈ L 2 ; (2) A ∈ b, B ∈ a ′ =⇒ a ⊆ b =⇒ b ∈ L 1 ; (3) A ∈ b ′ , B ∈ a =⇒ b ⊆ a =⇒ b ∈ L 1 ; (4) A ∈ b ′ , B ∈ a ′ =⇒ b ⊆ a′ =⇒ b ∈ L 2 . Dakle, poluprava b uvek pripada nekom od skupova L 1 i L2 . Definicija 3.1.6. Svaki od skupova L1 i L2 iz prethodne teoreme naziva se orijentacijom ili smerom na pravoj p. Na svakoj pravoj, prema definiciji smera i prethodno dokazanoj teoremi, postoje taˇcno dva smera. Uobiˇcajeno, nazivamo ih suprotnim , ˇsto ukazuje na mogućnost da jedan smer zovemo pozitivnim , a drugi negativnim . Pojam orijentacije omogućava da celokupnu geometriju poretka na pravoj izgradimo na potpuno nov naˇcin. U tom cilju, uvodimo dve pomo´ cne relacije ”pre” i ”posle”, koje se obiˇ cno koriste u Teoriji brojeva. Definicija 3.1.7. Neka su A i B dve razne taˇcke orijentisane prave p, tj. prave na kojoj je izabran jedan od dva mogu´ ca smera. Neka su, dalje, a i b

21 poluprave kojima su, respektivno, taˇ cke A i B krajevi, a koje su orijentisane saglasno smeru na pravoj p. Ako je b  a, onda kaˇ zemo da je na orijentisanoj pravoj p taˇ cka A pre taˇ cke B , i piˇsemo A ≺ B . Obratno, ako je a  b, kaˇzemo da je taˇ cka A posle taˇ cke B , u oznaci A ≻ B .

Za relaciju A ≺ B lako se pokazuje da predstavlja relaciju potpunog ured¯enja taˇcaka na orijentisanoj pravoj p, odnosno da je na tom skupu konektivna (definisana za svake dve taˇ cke prave p), antisimetriˇcna i tranzitivna . (Proverite ovu ˇ cinjenicu sami!) Zahvaljujući njoj, Teorija brojeva i geˇ ometrija na orijentisanoj pravoj su ekvivalentne. Staviˇ se, naredno tvrd¯enje, ˇciji dokaz ostavljamo Vama kao veˇ zbu, ukazuje na to da je ova relacija ekvivaletna ranije definisanoj relaciji ”izmed¯u”. cke orijentisane prave p vaˇzi Teorema 3.1.7. Za svake tri taˇ

B (A,B,C )

3.2

⇐⇒

A ≺ B ≺ C

∨

C ≺ B ≺ A.

✷

Poligon i poligonska povrˇ s

Koristeći po jam duˇzi, moˇzemo definisati joˇs neke vaˇ zne klase geometri jskih likova u ravni. Jedna od najvaˇ znijih jeste klasa mnogouglova do koje dolazimo tek nakon uvod¯enja sledećeg pojma. Definicija 3.2.1. Neka je { A1 , . . . , An } konaˇcan skup nekolinearnih taˇcaka. Poligonalna (izlomljena ) linija jeste skup P = [A1 A2 ] ∪ · · · ∪ [An−1 An ]. Taˇcke A1 , . . . , An jesu temena , a duˇzi [A1 A2 ], . . . , [An−1 An ] su stranice poligonalne linije P . Temena koja pripadaju jednoj istoj stranici su susedna temena . Sliˇ cno, dve stranice koja imaju za jedniˇcko teme su susedne stranice . Ako sva temena poligonalne linije P pripadaju jednoj ravni, ona je ravna . U suprotnom, poligonalna linija P je prostorna . Najzad, P je prosta ako njene stranice, sem susednih, nemaju zajedniˇckih taˇcaka. Definicija 3.2.2. Poligon (mnogougao) je zatvorena poligonalna linija, tj. poligonalna linija ˇ cije se krajnje taˇ cke A1 i An poklapaju.

22

Slika 3.3.

Na slici 3.3 prikazana je otvorena poligonalna linija odred¯ena taˇ ckama A1 , A2 , . . . , A5 , kao i poligon - sedmougao ˇcija su temena taˇcke A1 , A2 , . . . , A7 . U narednom delu naˇseg izlaganja posmatraćemo isljuˇcivo ravne poligone, za koje uvodimo vaˇzan pojam poligonskih povrˇsi . U tom cilju, na jpre definiˇsemo odgovarajuće ”pomoćne” po jmove. Posmatrajmo prost ravan poligon P i proizvoljnu taˇcku O koja pripada istoj ravni kao i poligon P , ali nije na samom poligonu. Neka su a, b proizvoljne poluprave u ravni datog poligona koje kao poˇcetak imaju taˇcku O, a ne sadrˇze niti jedno teme (i niti jednu stranicu) poligona P . Oznaˇcimo dalje sa k(a) i k(b), respektivno, ukupan broj zajedniˇckih taˇcaka p olupravih a i b sa poligonom P (slika 3.4). Pokazuje se (ˇsto ovde nećemo ˇciniti) da koeficijenti k(a), k(b) moraju istovremeno biti ili parni ili neparni bro jevi, odnosno da za neki prirodan broj n ∈ N vaˇzi jednakost k(a) + k(b) = 2n.

Slika 3.4.

Odavde se neposredno pokazuje sledeća ˇcinjenica, koju ˇcesto koristimo u daljem izlaganju. Teorema 3.2.1. Svaka prava s u ravni prostog ravnog poligona P koja ne sadrˇ zi niti jedno teme i stranicu datog poligona ima sa njim paran broj za jedniˇ ckih taˇ caka.

23 cka i s 1 , s2 disjunktne poluprave na Dokaz. Neka je S ∈ s \ P proizvoljna taˇ koje je prava s razloˇzena taˇckom S . Tada je k(s) = k(s1 ) + k(s2 ) = 2n. Pri navedenim pretpostavkama, sada moˇzemo definisati osnovne relacije taˇcaka ravni u odnosu na poligon P . Definicija 3.2.3. Taˇcka O je unutar poligona P ako je k(a) = 2n − 1, za neko n ∈ N. U suprotnom, O se nalazi izvan poligona P . Daljom analizom relacije ”unutar prostog ravnog poligona” dolazimo do osnovnih pojmova i razultata ovog odeljka. Definicija 3.2.4. Skup svih taˇcaka unutar prostog ravnog poligona P naziva se otvorena poligonska povrˇ s, koju oznaˇcavamo sa (P ). Otvorena poligonska povrˇs zajedno sa samim poligonom P ˇ cini zatvorenu poligonsku povrˇ s, u oznaci [P ]. ˇ Teorema 3.2.2 (Zordanova teorema o razlaganju ravni). Svaki prost ravan poligon P u ravni π razlaˇ ze skup ostalih taˇ caka te ravni na dva disjunktna podskupa. Jedan od njih je otvorena poligonska povrˇ s, a drugi spoljaˇ snjost te povrˇsi.

zi temena poligona P , Dokaz. Neka je s ⊂ π proizvoljna prava koja ne sadrˇ ali sa njim ima zajedniˇckih taˇ caka. Prema prethodnoj teoremi ukupan bro j takvih taˇcaka je paran. Ako ove taˇcke oznaˇcimo, redom, sa P 1 , P 2 , . . . , P2 n , onda, ne umanjujući opˇstost, za navedene taˇcke moˇzemo pretpostaviti da vaˇzi relacija B (P 1 , P 2 , . . . , P2 n ). S druge strane, neka je X ∈ s taˇcka za koju je B (P 1 , X , P2 ), a Y ∈ s proizvoljna taˇcka takva da je B (Y, P 1 , P 2 ). Tada je, jasno, taˇ cka X unutar, a Y izvan poligona Slika 3.5. P (slika 3.5). Pokazaćemo sada da unutraˇsnjost i spoljaˇsnjost poligona P ne mogu imati zajedniˇckih taˇcaka. Zaista, ako bi postojala taˇcka M ∈ π koja pripada i unutraˇsnjosti i spoljaˇsnjosti poligona P , onda bi postojale bar dve poluprave m1 i m2 sa poˇcetkom u M , takve da ne sadrˇ ze temena poligona

24 P i jedna od njih ima neparan, a druga paran broj zajedniˇckih taˇ caka sa P . Tada je, dakle, k(m1 ) + k(m2 ) neparan broj, ˇsto je nemoguće. Najzad, pokazujemo da svaka taˇcka A ∈ π \ P pripada ili unutraˇsnjosti ili spoljaˇsnjosti datog poligona. Zaista, neka je a poluprava sa poˇcetkom u A, koja se nalazi u ravni poligona P i ne sadrˇ zi niti jedno njegovo teme. Poluprava a sa poligonom P ima ili neparan ili paran broj zajedniˇckih taˇcaka, pa je taˇcka A, u zavisnosti od toga, ili unutar ili izvan poligona. Naredno tvrd¯enje, koje navodimo bez dokaza, omogućava dalji postupak razlaganja poligonskih povrˇsi. Teorema 3.2.3. Neka je P prost ravan poligon i L poligonalna linija u istoj ravni, sa krajevima koji se nalaze na poligonu P , a ostale taˇ cke unutar njega. Tada L razlaˇze P na dve otvorene poligonske povrˇsi. Kao neposredna posledica ove teoreme, indukcijom se lako pokazuje sledeća ˇcinjenica. snjim Posledica 3.2.1. Svaki prost ravan poligon moˇze se, svojim unutraˇ dijagonalama 1 , razloˇ ziti na konaˇ can broj disjunktnih trougaonih povrˇ si.

Navedeno tvrd¯enje omogućava tzv. metod triangulacije poligonskih povrˇsi i ima vaˇ znu ulogu u Teoriji merenja geometrijskih figura, o ˇcemu će kasnije biti viˇse reˇci.

3.3

Poluravan i ugao

Koristeći sliˇcne ideje kao u prethodnim razmatranjima, dolazimo do joˇs dva vaˇzna geometrijska pojma. 3.3.1

Definicija i osobine poluravni

Pojam poluravni uvodimo pomo´ cu relacija ”sa iste strane prave” i ”sa razliˇcite strane prave”. Definicija 3.3.1. Neka su A, B taˇcke neke ravni π i p prava koja pripada toj ravni i ne sadrˇ zi A i B . Za taˇcke A i B kaˇzemo da su sa iste strane cke A i B prave p ako je (AB) ∩ p = ∅ i piˇsemo A, B . . p. U suprotnom, taˇ su sa raznih strana prave p, ˇsto zapisujemo A, B ÷ p. 1

Duˇ z koja spaja dva nesusedna temena poligona naziva se dijagonalom tog poligona.

25 caka Teorema 3.3.1. Relacija . . p je relacija ekvivalencije na skupu taˇ ravni π , koje ne pripadaju pravoj p ⊂ π . Dokaz. Refleksivnost i simetriˇcnost relacije . . p slede direktno na osnovu

njene definicije. Neka su, sada, A, B,C tri razne taˇcke ravni π takve da vaˇzi A, B . . p i B, C . . p. Tada razlikujemo sledeće sluˇcajeve, prikazane i na slici 3.6. (i) Taˇcke A,B,C pripadaju jednoj pravoj s ⊂ π. Prava s tada seˇce pravu p ili sa njom nema zajedniˇckih taˇ caka. Ako je s ∩ p = {O}, onda . . . . je A, B O i B, C O. Na osnovu ranije pokazane tranzitivnosti relacije . . O dobijamo A, C . . O, pa je i A, C . . p. S druge strane, ako je s ∩ p = ∅, onda je i (AC ) ∩ p = ∅, pa neposredno sledi A, C . . p.

Slika 3.6.

(ii) Taˇcke A, B i C nisu kolinearne. Kako je (AB) ∩ p = ∅ i (BC ) ∩ p = ∅, to prava p ne moˇze seći pravu AC izmed¯u taˇcaka A i C , jer bi na osnovu Paˇsove aksiome ona tada morala seći joˇs i duˇz AB ili BC . Znaˇci, vaˇzi A, C . . p, ˇcime je p okazana tranzitivnost relacije . . p. caka neke ravni π koje se nalaze sa jedne Definicija 3.3.2. Skup svih taˇ iste strane prave p ⊂ π naziva se otvorena poluravan . Unija tog skupa i prave p je zatvorena poluravan date ravni. Prava p u oba sluˇ caja naziva se granica ili med¯uprava odgovarajuće poluravni.

Otovrenu poluravan ravni π sa granicom p oznaˇcavamo sa ( p, π), dok odgovarajuću zatvorenu poluravan obeleˇzavamo sa [ p, π). Analogno teoremi o razlaganju prave, moˇzemo formulisati i pokazati sledeće tvrd¯enje. Teorema 3.3.2 (Osnovna teorema o razlaganju ravni). Svaka prava p ravni π razlaˇze skup ostalih taˇcaka te ravni na dve otvorene poluravni.

26 cka prave p, a A taˇcka ravni π koja ne priDokaz. Neka je O proizvoljna taˇ pada pravoj p. Prema aksiomi I I 4 postoji i taˇcka A ′ takva da je B (A,O,A′ ). Oˇcito, A′ ∈ / p (zaˇsto?) i (AA′ ) ∩ p = {O}, pa vaˇzi A, A′ ÷ p. Neka su, dalje, ( p, A) = {X ∈ π | X, A

. .

p }

i

( p, A′ ) = {Y ∈ π | Y, A′

. .

p }

klase ekvivalencije relacije . . p. Oˇ cito, reˇ c je o disjunktnim skupovima taˇcaka, pri ˇcemu svaki od njih, po definiciji relacije . . p, predstavlja otvorenu poluravan ravni π. Pokaˇzimo, kao i obiˇcno, da ne postoji i treća klasa ekvivalencije, odnosno taˇcka B takva da je A, B ÷ p i A′ , B ÷ p. Zaista, ako takva taˇcka postoji, onda su A, A′ i B tri nekolinearne taˇcke (zaˇsto?), takve da prava p seˇce duˇzi AB i A ′ B. Med¯utim, na osnovu Paˇsove aksiome, prava p tada ne moˇze seći i duˇz AA′ 2 , a to je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom A, A′ ÷ p.

3.3.2

Ugaona linija i ugao

Posebno vaˇzan pojam geometrije ravni jeste, kao ˇsto znamo, pojam ugla. Njega definiˇsemo se tek na osnovu odgovaraju´ ceg pojma ugaone linije i relacije ”sa iste strane” koju nad njom uvodimo. Definicija 3.3.3. Geometrijski lik koji se sastoji od jedne taˇ cke O i dveju polupravih p i q kojima je zajedniˇ cki kraj taˇcka O, naziva se ugaona linija i obeleˇ zava sa ∠ pq . Definicija 3.3.4. Neka je ∠ pq ugaona linija u ravni π i A, B proizvoljne taˇ cke iste ravni koje ne pripadaju samoj liniji ∠ pq . Taˇcke A i B su sa iste strane ugaone linije ∠ pq ako postoji poligonalna linija P ˇciji su krajevi A i B , a sa ugaonom linijom ∠ pq nema zajedniˇckih taˇcaka. Tada piˇsemo A, B . . ∠ pq . U suprotnom, kaˇzemo da su taˇcke A i B sa raznih strana ugaone linije ∠ pq , u oznaci A, B ÷ ∠ pq Pokazujemo sada ve´ c uobiˇcajeno svojstvo koje, sliˇcno prethodnim, gore definisana relacija poseduje. Teorema 3.3.3. Relacija . . ∠ pq je relacija ekvivalencije. 2

Ova tvrdnja nije oˇcigledna. Pokuˇsajte da je dokaˇzete, koristeći kao ideju zadatak 2.12!

27 cnost slede neposredno iz definicije relacije Dokaz. Refleksivnost i simetriˇ

. . ∠ pq , pa ostaje da pokaˇ zemo joˇ s i njenu tranzitivnost. Neka su, stoga, A,B,C tri razne taˇcke ravni π i ∠ pq ugaona linija takva da je A, B . . ∠ pq i B, C . . ∠ pq . Tada, po definiciji ove relacije, postoje poligonalne linije P 1 , P 2 ⊂ π sa sledećim osobinama: (i) P 1 spaja taˇcku A sa taˇckom B, pri ˇcemu je P 1 ∩ ∠ pq = ∅; (ii) P 2 spaja taˇcku B sa taˇckom C i vaˇzi P 2 ∩ ∠ pq = ∅. No, tada P = P 1 ∪ P 2 jeste poSlika 3.7. ligonalna linija u ravni π koja spaja taˇcke A i C , a pritom je P ∩ ∠ pq = ∅ (slika 3.7). Dakle, zaista vaˇzi A, C . . ∠ pq , ˇcime je tvrd¯enje pokazano u celini. Definicija 3.3.5. Neka je ∠ pq ugaona linija neke ravni π . Skup svih taˇcaka u ravni π koje se nalaze sa iste strane ugaone linije ∠ pq naziva se otvoreni zava sa ( ∡ pq ). Unija ugaone linije ∠ pq i otvorenog ugla ( ∡ pq ) ugao i obeleˇ naziva se zatvoreni ugao i obeleˇ zava sa [∡ pq ]. Samu ugaonu liniju ∠ pq zovemo granicom ili med¯om ugla ∡ pq , poluprave p i q kracima , a taˇcku O temenom svakog od navedenih uglova. Uobiˇcajeno, ugao kod koga zatvorenost nije od znaˇcaja simboliˇcki obeleˇzavamo sa ∡ pq . Na kraju, sliˇcno ranije navedenim teoremama o razlaganju ravni pomoću pravih, moˇze se pokazati da odgovarajuće tvrd¯enje vaˇ zi i kod uglova. Teorema 3.3.4. Svaka ugaona linija ∠ pq ravni π razlaˇze skup ostalih taˇcaka iste ravni na dva otvorena ugla.

cu Dokaz. Dokaz se izvodi analogno teoremama o razlaganju ravni pomo´ prave, pa ga ostavljamo ˇcitaocu za samostalni rad.

28 3.3.3

Orijentacija uglova i ravni

Da bi uveli pojam orijentacije u ravni, prethodno treba najpre definisati pojam orijentisanog ugla, a zatim i relaciju istosmernosti uglova. Pritom, razlikujemo kao dva moguća sluˇcaja uglove sa istim, zajedniˇckim temenom, odnosno uglove sa razliˇcitim temenima. ciji kraci a i b ˇ cine ured¯en par polupravih (a, b) Definicija 3.3.6. Ugao ∡ ab ˇ jeste orijentisan . Krak a je poˇ cetni ( prvi ), a krak b zavrˇ sni ( drugi ) krak tog orijentisanog ugla.

Definicija 3.3.7. Dva orijentisana ugla ∡ ab i ∡ cd koji pripadaju istoj ravni i imaju zajedniˇ cko teme O nazivaju se istosmernim , u oznaci ∡ ab ⇒ ∡ cd, ako vaˇ zi jedan od sledećih uslova:

(i) Za a = c ili b = d jedan od uglova ∡ ab ili ∡ cd sadrˇzi onaj drugi, pisa´ cemo ∡ ab ⊂ ⊃ ∡ cd. (ii) Za a  = c i b  = d vaˇze, prema uslovu (i), sledeće relacije ∡ ab ⇒ ∡ ad

∧

∡ ad ⇒ ∡ cd.

Ako dati uglovi nisu istosmerni, kaˇ zemo da su suprotnosmerni i piˇsemo ∡ ab ⇄ ∡ cd.

Slika 3.8.

Na slici 3.8 prikazani su neki od sluˇ cajeva istosmernih, odnosno suprotnosmernih uglova sa zajedniˇckim temenom. Ukoliko uglovi nemaju isto teme, vaˇzi: Definicija 3.3.8. Dva orijentisana ugla ∡ ab i ∡ cd neke ravni sa razliˇcitim temenima O i S nazivaju se istosmernim , u oznaci ∡ ab ⇒ ∡ cd, ako posto je orijentisani opruˇ zeni uglovi 3 ∡ pq i ∡ rs sa temenima O i S , respektivno, tako da za poluprave p,q,r, s vaˇ zi p ⇒ r ∧ q ⇒ s, 3

Ugao je opruˇzen ako mu kraci leˇze na jedno j istoj pravoj.

29 dok sami uglovi zadovoljavaju slede´ ce uslove ∡ ab ⇒ ∡ pq

⊂ ⊃

∡ rs ⇒ ∡ cd.

Napomena 3.3.1. Ovde se relacija ⇒ kod uglova posmatra u smislu prethodne definicije 3.3.7 (slika 3.9).

Slika 3.9.

Analogno odgovarajućem tvrd¯enju o istomernosti polupravih, pokazuje se Teorema 3.3.5. Relacija istosmernosti uglova je relacija ekvivalencije. Jedna od posledica relacije istosmernosti uglova i prethodnog tvrd¯enja jeste mogu´ cnost razlaganja svih uglova jedne ravni na klase istosmernih uglova. Teorema 3.3.6. Skup svih orijentisanih uglova K neke ravni π moˇze se razloˇ ziti na dva podskupa K1 i K 2 koji imaju slede´ ce osobine:

K1 , K2  = ∅; (ii) K1 ∩ K2 = ∅; (iii) (∀ ∡ ab, ∡ cd ∈ Ki , i = 1, 2) ∡ ab ⇒ ∡ cd; (iv) (∀ ∡ ab ∈ K1 )(∀ ∡ cd ∈ K2 ) ∡ ab ⇄ ∡ cd. (i)

Dokaz. Analogno kao u dokazu teoreme 3.1.6.

Svaki od dva podskupa K 1 i K 2 iz prethodne teoreme naziva se smer ili orijentacija u posmatranoj ravni π. Orijentacije K 1 i K 2 zovemo suprotnim med¯usobom , a ravan π u kojoj je izabrana jedna od orijentacija, orijentisanom ravni .

30 Naglasimo, na kraju, da u tzv. apsolutnoj geometriji (geometriji bez aksiome paralelnosti), pojam orijentacije nije transmisibilan . To znaˇci da moˇ zemo govoriti samo o orijentaciji jedne iste ravni, jer p ojam orijentacije uglova u razliˇ citim ravnima ne moˇze biti definisan. Tek nakon uvod¯enja pojma paralelnosti moˇ zemo definisati orijentaciju na tzv. klasama paralelnih pravih i ravni.

3.4

Konveksni skupovi u ravni

Na kraju ovog poglavlja, definisa´ cemo joˇ s jednu zanimljivu klasu geometrijskih likova. Definicija 3.4.1. Skup K ⊆ S je konveksan ako za svake dve njegove taˇcke A, B ∈ K vaˇzi (AB) ⊆ K. Dakle, skup K je konveksan ako za bilo koje svoje dve taˇ cke sadrˇ zi i njima odred¯enu duˇz, tj. sve taˇcke koje se nalaze izmed¯u njih. Na slici 3.10 prikazani su neki primeri konveksnih skupova. Poslednji skup prikazan na istoj slici nije konveksan, jer postoje taˇcke toga skupa izmed¯u kojih se nalaze taˇcke koje mu ne pripada ju.

Slika 3.10.

Na osnovu prethodne definicije, lako se pokazuju slede´ ca tvrd¯enja, ko jima ukazujemo na neke tipiˇ cne klase konveksnih geometrijskih figura u ravni. Teorema 3.4.1. Prava i ravan jesu konveksni skupovi taˇcaka. cke A, B ∈ p, na Dokaz. Za proizvoljnu pravu p i dve razne, proizvoljne taˇ osnovu definicije duˇ zi sledi da je (AB) ⊂ p. Sliˇ cno, ako je π proizvoljna ravan prostora S i A, B ∈ π, onda prema aksiomi I 7 vaˇzi p(A, B) ⊂ π. Samim tim i duˇz (AB) pripada ravni π.

31 caka. Teorema 3.4.2. Poluprava i poluravan jesu konveksni skupovi taˇ

cke neke poluprave Op. Dokaz. Neka su A, B proizvoljne taˇ

Tada, po . . . . definiciji poluprave i relacije O, vaˇzi A, B O, odnosno taˇcno jedna od relacija B (O,A,B) ili B (O,B,A). Pretpostavimo, recimo, da je taˇcna prva relacija i uoˇcimo proizvoljnu taˇcku X ∈ (AB). Tada je, dakle, B (O,A,B) i B (A,X,B), pa na osnovu zadatka 2.13 sledi da je B (O,A,X ) i B (O,X,B). Odavde je, jasno, A, X . . O i B , X . . O, odnosno vaˇzi X ∈ Op. Sliˇcno se pokazuje i drugi deo tvrd¯enja. Neka su A, B proizvoljne taˇcke neke poluravni π sa graniˇcnom pravom p. Tada, po definiciji poluravni i relacije . . p, vaˇzi (AB) ∩ p = ∅. No, onda je za proizvoljnu taˇcku X ∈ (AB) ispunjen uslov (AX ) ∩ p = ∅ , odnosno X ∈ π. Sa geometrijskim figurama, kao i sa skupovima uopˇste, mogu se izvoditi operacije razlike, unije i preseka. Kada je reˇ c o konveksnim skupovima, pokazuje se da vaˇzi sledeća osobina konveksnih skupova. Teorema 3.4.3. Presek dva konveksna skupa jeste konveksan skup 4 . Dokaz. Neka su K i K ′ konveksni skupovi i A, B ∈ K ∩ K ′ ma koje dve

razne taˇcke. Duˇz AB pripada skupu K , jer je A, B ∈ K , a iz istog razloga pripada i skupu K ′ . Dakle, duˇz AB pripada skupu K ∩ K ′ , pa je skup K ∩ K ′ zaista konveksan skup. Dokaz prethodne teoreme se na isti naˇcin moˇze proˇsiriti i na viˇ se od dva skupa. (Neka to ˇcitalac uradi za veˇ zbu.) Na slici 3.11 prikazan je presek tri konveksna skupa. Taˇ cke A i B pripadaju svakom od navedenih skupova, pa i svaka med¯utaˇcka taˇcaka A i B takod¯e pripada datim skupovima.

4

Slika 3.11.

S tim u vezi, vaˇzno je napomenuti slede´ ce: Da bi teorema o preseku konveksnih skupova imala smisla i onda kada je presek jednoˇclan ili ˇcak prazan skup, dogovorno se svaki skup od jedne taˇcke, kao i prazan skup smatraju konveksnim skupovima.

32

3.5

Zadaci za veˇ zbu

Zadatak 3.1. Ako taˇcke A, B pripadaju otvorenoj duˇzi (CD), onda taˇcke C, D ne pripadaju duˇzi (AB). Dokazati. Zadatak 3.2. Ako su O,A,B, C taˇcke takve da je A, B ÷ O i A, C ÷ O, onda su to taˇcke jedne iste prave i vaˇ zi B, C . . O. Dokazati. Zadatak 3.3. Ako su O,A,B,C,D taˇcke takve da je A, B ÷ O, B , C ÷ O i C, D ÷ O, onda su to taˇcke jedne iste prave i vaˇzi A, D ÷ O. Dokazati. Zadatak 3.4. Ako su A i B dve taˇcke neke prave p, dokazati da ove dve taˇcke zajedno sa duˇzi AB i dvema polupravama iste prave, jednom sa poˇcetkom u A koja ne sadrˇzi taˇcku B, drugom sa poˇcetkom u B koja ne sadrˇzi taˇcku A, predstavlja ju ceo skup taˇcaka prave p. Zadatak 3.5. Ako je P unutraˇsnja taˇcka trougla ABC , dokazati da svaka poluprava sa poˇcetkom u taˇcki P ima sa tim trouglom taˇ cno jednu za jedniˇ cku taˇ cku. Koliko najviˇse zajedniˇckih taˇ caka ima takva poluprava ako ne sadrˇzi stranice ∆ABC , a P ne pripada njegovoj unutraˇsnjosti? Zadatak 3.6. Ako su P i Q unutraˇsnje taˇcke stranica AB i AC trougla ABC , dokazati da se duˇzi BQ i CP seku u nekoj taˇcki S koja pripada unutraˇsnjosti ∆ABC . Zadatak 3.7. Ako su P,Q,R unutraˇsnje taˇcke stranica BC , CA, AB trougla ABC , dokazati da se duˇ zi AP i QR seku u nekoj taˇcki S koja pripada unutraˇsnjosti ∆ABC . Zadatak 3.8. Ako su A,B,C,D taˇcke takve da je A, B . . p, B, C ÷ p i C, D . . p, dokazati da tada vaˇ zi A, C ÷ p i B, D ÷ p. Zadatak 3.9. Dokazati da je svaka ugaona linija ravna geometrijska figura, tj. da postoji ravan koja je sadrˇzi. Zadatak 3.10. Neka je u istoj ravni data ugaona linija ∠ pq i prava a koja ne sadrˇzi niti jednu od polupravih date linije. Dokazati da prava a i ugaona linija ∠ pq mogu imati najviˇse dve zajedniˇcke taˇcke. Zadatak 3.11. Koliko razliˇcitih uglova odred¯uju ˇcetiri razne prave ako se svake dve seku i pritom: (a) bilo koje tri nemaju zajedniˇcku taˇcku; (b) taˇcno tri se seku u jedno j taˇcki?

33 Zadatak 3.12. Dokazati da svaka trougaona povrˇ s jeste konveksan skup taˇcaka. Zadatak 3.13. Dokazati da je ∡ pOq konveksan akko se moˇze prikazati kao presek dveju poluravni. Zadatak 3.14. Svaka taˇ cka koja je sadrˇ zana u dva ugla jednog trougla, pripada i tre´ cem uglu tog trougla. Dokazati. Zadatak 3.15. Sve taˇcke koje pripadaju unutraˇsnjosti proizvoljnog ∆ABC ujedno pripadaju i svakom od njegovih uglova. Dokazati. Zadatak 3.16. Dokazati da je ˇcetvorougaona povrˇs konveksan skup taˇcaka akko sadrˇzi obe dijagonale tog ˇcetvorougla. Zadatak 3.17. Dokazati da se dijagonale AC i BD konveksnog ravnog ˇcetvorougla ABCD seku u taˇcki S koja pripada unutraˇsnjosti tog ˇcetvorougla. Iskazati zatim obratan stav i dokazati ga. Zadatak 3.18. Dokazati da su taˇ cke u kojima se seku dijagonale konveksnog ravnog petougla temena konveksnog ravnog p etougla koji je sadrˇ zan u prvome. Iskazati analogno tvrd¯enje u sluˇ caju proizvoljnog konveksnog n-tougla.

34

Glava 4

PODUDARNOST

4.1

Aksiome podudarnosti i njihove posledice

Relacija podudarnosti, kao ˇsto smo već istakli u uvodnom delu, predstavlja jednu od osnovnih relacija parova taˇ caka geometrijskog prostora S . Ako je ured¯en par taˇcaka (A, B) podudaran sa parom taˇcaka (C, D), pisaćemo (A, B) ∼ = (C, D). Pritom, ovu relaciju karakteriˇsu sledeće aksiome: Aksioma II I 1 : Za svake dve taˇcke A, B ∈ S vaˇzi (A, A) ∼ = (B, B). Aksioma II I 2 : Za svake dve taˇcke A, B ∈ S vaˇzi (A, B) ∼ = (B, A). Aksioma II I 3 : Ako su A, B,C,D,E, F ∈ S takve da vaˇzi (A, B) ∼ = (C, D) ∼ ∼ i (A, B) = (E, F ), onda vaˇ zi i (C, D) = (E, F ). Aksioma II I 4 : Ako su C i C ′ proizvoljne taˇcke duˇzi (AB) i (A′ B ′ ), respektivno, takve da je (A, C ) ∼ = (A′ , C ′ ) i (C, B) ∼ = (C ′ , B ′ ), onda je i (A, B) ∼ = (A′ , B ′ ). Aksioma II I 5 : Ako su A, B ∈ S dve razne taˇcke i A′ krajnja taˇcka neke poluprave p, onda postoji taˇ cka B ′ ∈ p takva da je (A, B) ∼ = (A′ , B ′ ). Aksioma II I 6 : Ako su A,B, C ∈ S proizvoljne nekolinearne taˇcke i A ′ , B ′ taˇ cke ruba neke poluravni π takve da je (A, B) ∼ = (A′ , B ′ ), onda postoji taˇcno jedna taˇcka C ′ ∈ π za koju vaˇ zi (A, C ) ∼ = (A′ , C ′ ) i (B, C ) ∼ = ′ ′ (B , C ). 35

36 Aksioma III 7 : Ako su A,B, C i A ′ , B ′ , C ′ dve trojke nekolinearnih taˇcaka i D, D′ taˇcke polupravih BC i B ′ C ′ , respektivno, takve da je (A, B) ∼ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ (A , B ), (A, C ) ∼ = (A , C ), (B, C ) ∼ = (B , C ) i (B, D) ∼ = (B , D ), ′ ′ onda vaˇzi i (A, D) ∼ = (A , D ). Navodimo sada neke od vaˇznijih posledica aksioma podudarnosti. Teorema 4.1.1. Relacija podudarnosti parova taˇcaka prostora S je relacija ekvivalencije.

cke. Prema aksiomi II I 2 imamo Dokaz. Neka su A, B ∈ S proizvoljne taˇ

da je (B, A) ∼ = (A, B) i (B, A) ∼ = (A, B), pa na osnovu aksiome II I 3 vaˇzi ∼ (A, B) = (A, B). Dakle, relacija podudarnosti parova taˇ caka je refleksivna. Uoˇcimo sada dva para taˇcaka A, B i C, D prostora S , takve da je (A, B) ∼ = ∼ (C, D). Na osnovu refleksivnosti je (A, B) = (A, B), pa ponovnom primenom aksiome I II 3 dobijamo (C, D) ∼ = (A, B). Ovim je pokazana simetriˇcnost relacije podudarnosti parova taˇcaka. Na kraju, pokazujemo tranzitivnost iste relacije. Zaista, neka su (A, B), (C, D) i (E, F ) tri para taˇcaka prostora S takve da vaˇ zi (A, B) ∼ = (C, D) i ∼ (C, D) = (E, F ). Tada, na osnovu već pokazane simetriˇcnosti ove relacije sledi (C, D) ∼ = (A, B) i (C, D) ∼ = (E, F ), pa prema aksiomi III 3 imamo da je (A, B) ∼ = (E, F ). Teorema 4.1.2. Ako su A, B ∈ S dve razne taˇcke i A′ krajnja taˇcka neke poluprave p, onda postoji jedinstvena taˇ cka B ′ ∈ p takva da je (A, B) ∼ = ′ ′ (A , B ). cka B ′ takva da Dokaz. Prema aksiomi II I 5 , na polupravoj p postoji taˇ

je (A, B) ∼ = (A′ , B ′ ), pa treba joˇs dokazati da je ona jedinstvena. U tom cilju, pretpostavimo suprotno, da na istoj polupravoj osim taˇcke B ′ postoji bar joˇs jedna taˇcka B ′′ takva da je (A, B) ∼ = (A′ , B ′′ ). Ako obeleˇzimo sa C proizvoljnu taˇcku van prave AB (slika 4.1), onda prema aksiomi II I 6 u nekoj od poluravni ˇciji je rub prava A′ B ′ postoji taˇcka C ′ takva da je (A, C ) ∼ = (A′ , C ′ ) i (B, C ) ∼ = (B ′ , C ′ ).

Slika 4.1.

37 Primenom aksiome III 7 nalazimo da je i (B, C ) ∼ = (B ′′ , C ′ ). Med¯utim, tada su A,B, C tri nekolinearne taˇcke i A′ , C ′ taˇcke ruba A′ C ′ poluravni (A′ C ′ , B ′ ) takve da je (A, C ) ∼ = (A′ , C ′ ), dok su B ′ i B ′′ taˇcke te iste poluravni takve da je (A, B) ∼ = (A′ , B ′ )

∧

(B, C ) ∼ = (B ′ , C ′ ),

∧

(B, C ) ∼ = (B ′′ , C ′ ).

a, s druge strane, (A, B) ∼ = (A′ , B ′′ )

Ovo je, naravno, u suprotnosti sa aksiomom I II 6 , ˇcime je tvrd¯enje pokazano u celini. Na kraju ovog odeljka, navodimo bez dokaza vaˇzno tvrd¯enje, poznato kao osnovna teorema o podudarnosti kolinearnih taˇ caka . Teorema 4.1.3. Neka su p i p′ dve prave prostora S . Ako su A,B, C tri razne taˇcke prave p i A ′ , B ′ dve taˇcke prave p ′ takve da je (A, B) ∼ = (A′ , B ′ ), tada u prostoru S postoji jedinstvena taˇ cka C ′ takva da je (A, C ) ∼ = (A′ , C ′ ) i (B, C ) ∼ = (B ′ , C ′ ). Pri tome, taˇcka C ′ pripada pravoj p′ i poretku taˇcaka A,B,C odgovara isti poredak odgovarajućih taˇcaka A′ , B ′ , C ′ , tj. vaˇzi (i) B (A,B,C )

=⇒

B (A′ , B ′ , C ′ );

(ii) B (A,C,B)

=⇒

B (A′ , C ′ , B ′ );

(iii) B (C,A,B)

=⇒

B (C ′ , A′ , B ′ ).

Napomena 4.1.1. Prethodna teorema nam omogućava definisanje relacije podudarnosti za ma koji konaˇcan niz taˇ caka. Naime, za neko k ∈ N reći ćemo da su taˇcke A1 , A2 , . . . , Ak podudarne taˇckama A′1 , A′2 , . . . , A′k ako za svako i, j = 1, 2, . . . , k vaˇzi (Ai , A j ) ∼ = (A′i , A j′ ). Tada piˇsemo (A1 , A2 , . . . , Ak ) ∼ = (A′1 , A′2 , . . . , A′k ).

4.2

Pojam izometrijskih transformacija

Aksiome podudarnosti omogućavaju nam da u geometrijskom prostoru S definiˇsemo naroˇcitu klasu preslikavanja (transformacija) tog prostora. Ove transformacije, kao ˇsto ćemo videti kasnije, imaju veoma ˇsiroku i raznovrsnu primenu u izuˇcavanju osobina razliˇcitih geometrijskih objekata.

38 Definicija 4.2.1. Bijektivno preslikavanje I : S → S naziva se izometricaka jska transformacija ili izometrija prostora S ako za svaki par taˇ ′ ′ ce slike X = I (X ), Y = I (Y ) vaˇ zi relacija X, Y ∈ S i njima odgovaraju´ (X, Y ) ∼ = (X ′ , Y ′ ). Na slici 4.2 prikazali smo, pri oznakama iz prethodne definicije, tipiˇ cnu karakteristiku izometrijske transformacije I koja ”ˇcuva” osobinu podudarnonosti parova taˇ caka prostora S . Najjednostavniji primer takve transformacije jeste identiˇcko preslikavanje prostora S , koje svaku taˇcku iz S prevodi u tu istu taˇ cku. Kako za svake dve taˇcke X, Y ∈ S vaˇzi (X, Y ) ∼ = (X, Y ), to je jasno da Slika 4.2. identiˇcko preslikavanje zaista predstavlja izometrijsku transformaciju datog prostora. Inaˇ ce, ovo preslikavanje nazivamo koincidencijom i obeleˇzavamo sa ξ . Pored toga, izometrijske transformacije prostora S imaju sledeća vaˇ znija svojstva: Teorema 4.2.1. Kompozicija dveju izometrijskih transformacija prostra S je takod ¯e izometrijska transformacija tog prostora.

: S → S dve proizvoljne izometrijske transformacije prostora S . Oznaˇcimo sa X, Y proizvoljne taˇcke tog prostora, sa X 1 = I 1 (X ) i Y 1 = I1 (Y ) taˇ cke koje u izometriji I1 odgovaraju taˇckama X i Y , a sa X 2 = I2 (X 1 ) i Y 2 = I2 (Y 1 ) taˇcke koje u izometriji I2 odgovaraju taˇckama X 1 i Y 1 . Tada u kompoziciji I2 ◦ I1 taˇckama X i Y odgovaraju redom taˇcke X 2 i Y 2 (slika 4.3). Pritom, na osnovu definicije izometrijskih transformacija vaˇ zi ∼ (X, Y ) = (X 1 , Y 1 ) i (X 1 , Y 1 ) ∼ = (X 2 , Y 2 ), pa primenom ranije Slika 4.3. pokazane osobine tranzitivnosti relacije podudarnosti sledi da je (X, Y ) ∼ = (X 2 , Y 2 ). Dakle, kompozicija I 2 ◦I1 zaista predstavlja izometrijsku transformaciju prostora S . Dokaz. Neka su

I1 , I2

Teorema 4.2.2. Inverzna transformacija izometrijske transformacije prostora S predstavlja takod¯e izometrijsku transformaciju tog prostora.

39 koja izometrijska transformacija prostora S . Ako su X i Y proizvoljne taˇ cke tog prostora, a X ′ = I(X ) i Y ′ = I(Y ), biće (X, Y ) ∼ = (X ′ , Y ′ ). Na osnovu osobine simetriˇcnosti relacije podudarnosti parova taˇcaka tada vaˇzi i (X ′ , Y ′ ) ∼ = (X, Y ). Najzad, kako su taˇcke X i Y ′ ′ slike taˇcaka X i Y pri inverznom preslikavanju I−1 , to je ovo preslikavanje takod¯e izometrijska transformacija. Dokaz. Neka je

I bilo

Na osnovu prethodno pokazanih rezultata zakljuˇcujemo da vaˇzi sledeća ˇcinjenica: Posledica 4.2.1. Skup svih izometrijskih transformacija prostora S predstavlja (nekomutativnu ) grupu. Grupu svih izometrijskih transformacija prostora S obeleˇzavamo sa G(I). Dalje, dajemo joˇ s neke opˇ ste karakterizacije izometrijskih transformacija taˇ caka na pravoj, u ravni, odnosno celokupnom prostoru S . Teorema 4.2.3. Neka su A, B dve razne taˇcke neke prave p i A′ , B ′ taˇcke iste prave takve da je (A, B) ∼ = (A′ , B ′ ). Tada postoji jedinstvena izometri jska transformacija I : p → p takva da je I(A)

= A′

i

I(B)

= B ′ .

= B i (A, B) ∼ = B ′ . Pored Dokaz. S obzirom da je A  = (A′ , B ′ ), biće A′  navedenih taˇcaka uoˇcimo na pravoj p dve proizvoljne taˇcke X i Y . Prema osnovnoj teoremi o podudarnosti kolinearnih taˇ caka postoje jedinstveno ′ ′ odred¯ene taˇcke X , Y ∈ p takve da je (A,X,B) ∼ = (A′ , X ′ , B ′ )

∧

(A,Y,B) ∼ = (A′ , Y ′ , B ′ ).

Tada, dakle, vaˇzi relacija (A,X,Y,B) ∼ = (A′ , X ′ , Y ′ , B ′ ), pa mora biti i (X, Y ) ∼ = (X ′ , Y ′ ). Stoga, ako preslikavanje I : p → p definiˇsemo sa c o izometrijskoj transforI(X ) = X ′ , odnosno I(Y ) = Y ′ , jasno je da je reˇ maciji prave p. Posledica 4.2.2. Svaka izometrijska transformacija prave p koja ima bar dve razne invarijantne (nepokretne ) taˇ cke jeste koincidencija na pravoj p. Na kraju, navodimo bez dokaza odgovarajuća tvrd¯enja koja se odnose na karakterizaciju izometrija u ravni, odnosno unutar prostora S . cke ravni π Teorema 4.2.4. Neka su A, B,C ma koje tri nekolinearne taˇ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ i A , B , C taˇ cke te iste ravni takve da je (A,B,C ) = (A , B , C ′ ). Tada postoji jedinstvena izometrijska transformacija I : π → π takva da je I(A)

= A′ ,

I(B)

= B ′ ,

I(C )

= C ′ .

40 Posledica 4.2.3. Svaka izometrijska transformacija ravni π koja ima bar tri nekolinearne invarijantne taˇ cke jeste koincidencija u toj ravni.

Teorema 4.2.5. Neka su A,B,C,D ma koje ˇcetiri nekomplanarne taˇcke prostora S i A ′ , B ′ , C ′ , D′ taˇ cke tog istog prostora takve da je (A,B,C,D) ∼ = ′ ′ ′ ′ (A , B , C , D ). Tada postoji jedinstvena izometrijska transformacija I : S → S takva da je I(A)

= A′ ,

I(B)

= B ′ ,

I(C )

= C ′,

I(D)

= D ′ .

Posledica 4.2.4. Svaka izometrijska transformacija I : S → S koja poseduje najmanje ˇcetiri nekomplanarne invarijantne taˇ cke jeste koincidencija.

4.3

Relacija podudarnosti geometrijskih figura

U prethodnim razmatranjima podudarnost smo posmatrali kao relaciju definisanu nad parovima taˇcaka, odnosno, u opˇstijem sluˇcaju, nad konaˇcnim skupovima taˇcaka geometrijskog prostora S . Sada, koristeći izometrijske transformacije moˇzemo opisati relaciju podudarnosti ma kojih figura u tom prostoru. Definicija 4.3.1. Neka su Φ, Φ ′ ⊂ S proizvoljne geometrijske figure. Kaza´ cemo da je figura Φ podudarna sa figurom Φ ′ , u oznaci Φ ∼ = Φ ′ , ako postoji izometrijska transformacija I : S → S takva da je I(Φ) = Φ′ . Na osnovu prethodne definicije mogu se p okazati sledeća vaˇ znija svojstva relacije podudarnosti. Teorema 4.3.1. Relacija podudarnosti geometrijskih figura u prostoru S je relacija ekvivalencije.

cno kao i ranije, za datu relaciju pokazujemo osobine relacije Dokaz. Sliˇ ekvivalencije: (i)

Refleksivnost: Geometrijska figura Φ ⊂ S podudarna je sama sebi, jer vaˇzi ξ (Φ) = Φ, gde je ξ koincidencija prostora S .

(ii)

Simetriˇ cnost: Ako su Φ, Φ′ ⊂ S geometrijske figure za koje je Φ ∼ = Φ ′ , onda po definiciji postoji izometrija I takva da je I(Φ) = Φ′ . Prema teoremi 4.2.2, inverzna transformacija I−1 je takod¯e izometrija, pri ˇcemu oˇcito vaˇzi I−1 (Φ′ ) = Φ, odnosno Φ′ ∼ = Φ.

41 (iii) Tranzitivnost: Neka su Φ, Φ′ , Φ′′ proizvoljne figure prostora S takve da je Φ ∼ = Φ ′ i Φ′ ∼ = Φ ′′ . Oznaˇcimo sa I1 , I2 izometrije datog prostora za koje vaˇzi I1 (Φ) = Φ′ i I2 (Φ′ ) = Φ′′ . Kako je, prema teoremi 4.2.1, kompozicija I2 ◦ I1 takod¯e izometrija, a pritom je oˇcito (I2 ◦ I1 )(Φ) = Φ′′ , to je Φ ∼ = Φ ′′ .

Na osnovu pokazane teoreme jasno je da unutar geometrijskog prostora S moˇzemo posmatrati klase podudarnih geometrijskih figura . Direktnom primenom aksioma podudarnosti i teorema 4.2.3 i 4.2.4 iz prethodnog dela lako je pokazati da su med¯usobno podudarne svake dve prave, poluprave, ravni i poluravni (proverite, za veˇzbu). Ipak, podudarnost sloˇzenijih geometrijskih figura posebno se ispituje.

4.4

Podudarnost geometrijskih figura u ravni

U daljem izlaganju dajemo osnovne ˇcinjenice koje se odnose na podudarnost ravnih geometrijskih figura. Najpre opisujemo neke od osobina podudarnih duˇzi i uglova, kao i naˇcine njihovog upored¯ivanja. Zatim ćemo izvrˇsiti klasifikaciju uglova, pri ˇcemu posebno prouˇcavamo prave uglove i njihovu ulogu u zasnivanju relacije normalnosti dveju pravih u ravni. Na kraju, formuliˇsemo dobro poznate stavove o podudarnosti trouglova i neke od njihovih vaˇznijih primena. 4.4.1

Podudarnost duˇ zi

Intuitivno, p odudarnost duˇzi, kao i ostalih geometrijskih ob jekata, vezu jemo za pojam ”kretanja” koje jednu od njih ”vodi” ka drugoj. Ipak, u detaljnijem istraˇzivanju relacije podudarnosti duˇzi moramo najpre p okazati sledeću ˇcinjenicu. Teorema 4.4.1. Pri svakoj izometrijskoj transformaciji I : S → S duˇz se preslikava u njoj podudarnu duˇ z.

= A′ i I(B) = B ′ . Oznaˇcimo dalje sa X ∈ AB proizvoljnu taˇcku, a sa X ′ sliku taˇcke X pri izometriji I. Kako je tada (A,X,B) ∼ = (A′ , X ′ , B ′ ), to iz relacije B (A,X,B) primenom osnovne teoreme o podudarnosti 4.1.3 sledi da je B (A′ , X ′ , B ′ ). z za koju je Dokaz. Neka je AB prizvoljna duˇ

I(A)

42 Dakle, vaˇzi X ′ ∈ A ′ B ′ , pa smo pokazali da je I (AB) ⊆ A′ B ′. Sada, na sliˇcan naˇcin, koristeći inverznu transformaciju I−1 pokazuje se obratna relacija, a samim tim i jednakost skupova taˇcaka I(AB) i A ′ B ′ . Koriste´ ci relaciju podudarnosti duˇ zi dolazimo do novih pojmova i osobina duˇzi kao geometrijskih objekata. Definicija 4.4.1. Taˇcka O ∈ AB je srediˇste duˇzi AB ako je AO ∼ = OB . Teorema 4.4.2. Svaka duˇz ima taˇcno jedno srediˇste. Dokaz. Neka je AB proizvoljna duˇz, C taˇcka izvan prave AB i π ravan

odred¯ena nekolinearnim taˇckama A,B, C . Kako je (A, B) ∼ = (B, A), prema aksiomi I II 6 u ravni π, sa one strane prave AB sa koje nije taˇcka C , postoji jedinstvena taˇ cka D takva da je (A, C ) ∼ = (B, D) i (B, C ) ∼ = (A, D) (slika 4.4). Tada, primenom teoreme 4.2.4 zakljuˇ cujemo da postoji jedinstvena izometrijska transformacija I ravni π koja taˇcke A, B,C respektivno preslikava u taˇcke B,A,D. U toj transformaciji, oˇ cito, pravama AB i CD odgovaraju iste te prave, pa njihova preseˇcna taˇcka, oznaˇcimo je sa O, mora biti invarijantna. Pritom, iz relacija I(O) = O, I(A) = B, I(B) = A sledi (O, A) ∼ = (O, B). Pritom mora biti B (A,O,B), jer bi u suprotnom taˇcka O bila poˇcetak poluprave kojoj pripadaju obe Slika 4.4. taˇcke A i B. Prema teoremi 4.1.2 odatle sledi da je A = B , ˇsto je, oˇcito, nemoguće. Dakle, vaˇzi O ∈ AB, tj. taˇcka O jeste srediˇste duˇzi AB . Dokaˇzimo joˇs da je srediˇste O jedinstveno o dred¯eno. Zaista, ukoliko bi postojala joˇs neka taˇcka O′ ∈ AB za koju je (O′ , A) ∼ = (O′ B), onda bi u izometriji I, koju smo ranije definisali, postojale dve invarijantne taˇ cke O i ′ O . Prema posledici teoreme 4.2.3 ta izometrija mora biti koincidencija, tj. svaka taˇcka prave AB bi bila invarijantna. Ovo je, oˇcito, nemoguće jer taˇcki = B. A odgovara taˇcka B, pri ˇcemu je A  Na kraju, koristeći relaciju podudarnosti duˇzi opisaćemo postupak njihovog upored¯ivanja. Definicija 4.4.2. Za duˇz AB kaˇzemo da je manja od duˇzi CD ako postoji taˇ cka E ∈ C D takva da je AE ∼ = C E . Tada simboliˇcki piˇsemo AB < CD .

43 Pokazuje se da relacija “<” jeste relacija delimiˇcnog ured¯enja na skupu duˇzi prostora S . Ako, pored nje, posmatramo i relaciju podudarnosti, moˇzemo definisati sledeću relaciju: AB ≤ CD

⇐⇒

AB < CD ∨ AB ∼ = C D.

Relacija “≤” predstavlja relaciju potpunog ured¯enja, pri ˇcemu podudarne duˇzi AB i CD smatramo jednakima i tada, uobiˇcajeno, piˇsemo AB = C D. Na sliˇcan naˇcin opisujemo i neke elementarne “operacije” nad duˇzima. Definicija 4.4.3. Neka su AB, CD, EF duˇzi za koje postoji taˇcka M ∈ AB takva da je AM ∼ = C D i M B ∼ = EF (slika 4.5). Tada kaˇzemo da je duˇz AB zi CD i EF , pri zbir duˇ ˇ c emu

ovo

zapisujemo AB = CD + E F. Sliˇcno, pri istim pretpostavkama re´ ci ´ cemo da duˇ z CD predstavlja razliku duˇ zi AB i EF , u oznaci

Slika 4.5.

CD = AB − EF. Definicija 4.4.4. Neka su AB i CD proizvoljne duˇzi i k ∈ N . Duˇz AB je zi proizvod broja k i duˇzi CD ako vaˇ AB = CD + CD + · · · + CD .



4.4.2



k puta



Podudarnost uglova

Sliˇcno kao kod duˇzi, u izuˇcavanju relacije podudarnosti uglova jedne iste ravni polazimo najpre od sledećeg tvrd¯enja: Teorema 4.4.3. Pri svakoj izometrijskoj transformaciji

I neke

ravni π

proizvoljnom uglu odgovara njemu podudaran ugao. Dokaz. Neka je u ravni π dat ugao ∡ pOq .

Ako je taj ugao opruˇ zen, tvrd¯enje teoreme neposredno sledi iz ˇcinjenice da pri izometrijskoj transformaciji ravni π svakoj poluravni odgovara poluravan. Pretpostavimo zato da ∡ pOq nije opruˇzen, pri ˇcemu je jasno da je dovoljno razmotriti sluˇcaj kada je on konveksan. Obeleˇzimo sada sa A i B proizvoljne taˇcke na

44 krakovima Op i Oq datog ugla, respektivno. U izometrijskoj transformaciji I nekolinearnim taˇckama O,A, B odgovaraju takod¯e nekolinearne taˇcke O′ , A′ , B ′ , polupravama Op,Oq poluprave O′ p′ , O′ q ′ , a ugaonoj liniji AOB ugaona linija A ′ O′ B ′ (slika 4.6). Najzad, ako poluravni (OA,B), (OB,A) i (O′ A′ , B ′ ), (O′ B ′ , A′ ) obeleˇzimo respektivno sa α, β i α′ , β ′ , biće I(α) = α′ i I(β ) = β ′ . Pritom je ∡ pOq = α ∩ β i ∡ p′ O′ q ′ = α′ ∩ β ′ , pa konaˇcno dobijamo I(∡ pOq ) = I (α ∩ β ) = I (α) ∩ I(β ) = α ′ ∩ β ′ = ∡ p′ O′ q ′ .

Slika 4.6.

Teorema 4.4.4 (Osnovna teorema o podudarnosti uglova). Dva ugla ∡ pOq i ∡ p′ O′ q ′ su podudarna akko na kracima Op,Oq i O ′ p′ , O′ q ′ tih uglova postoje respektivno taˇ cke P, Q i P ′ , Q′ takve da je (O,P,Q) ∼ (4.1) = (O′ , P ′ , Q′ ). Dokaz. Ako su ∡ pOq i ∡ p′ O ′ q ′ opruˇzeni uglovi, tvrd¯enje teoreme je oˇcigle-

dno. Pretpostavimo stoga da ova dva ugla nisu opruˇzena, ˇstaviˇse, dovoljno je kao i ranije posmatrati sluˇcaj konveksnih uglova ∡ pOq i ∡ p′ O′ q ′ . (=⇒:) Neka su ∡ pOq i ∡ p′ O′ q ′ konveksni podudarni uglovi. Tada, po definiciji podudarnosti, postoji izometrijska transformacija I : S → S takva da je I(∡ pOq ) = ∡ p′ O′ q ′ . Ako su P ∈ Op i Q ∈ Oq proizvoljne taˇcke krakova ugla ∡ pOq , a P ′ = I (P ), Q ′ = I (Q) slike datih taˇcaka pri izometriji cito, P ′ ∈ O′ p′ i Q′ ∈ O′ q ′ . Najzad, kako je O′ = I(O), to je I, onda je, oˇ OP ∼ = O ′ P ′ , OQ ∼ = O ′ Q′ i P Q ∼ = P ′ Q′ , tj. vaˇzi relacija (4.1). (⇐=:) Neka su P ∈ Op,Q ∈ Oq i P ′ ∈ O′ p′ , Q′ ∈ O′ q ′ taˇcke odgovarajućih krakova uglova ∡ pOq i ∡ p′ O′ q ′ za koje vaˇ zi relacija (4.1). Kako su ′ ′ ′ tada O,P, Q i O , P , Q trojke nekolinearnih med¯usobno podudarnih taˇcaka, prema teoremi 4.2.4 postoji jedinstvena izometrijska transformacija I za koju vaˇzi I(O) = O ′ , I(P ) = P ′ i I(Q) = Q ′ . Jasno je da se u tom sluˇ caju ′ ′ ′ ′ izometrijom I poluprave Op i Oq preslikavaju u poluprave O p i O q , respektivno. Na taj naˇcin, i sam ugao ∡ pOq preslikava se u njemu podudaran ugao ∡ p′ O′ q , ˇsto je i trebalo dokazati.

45 Na osnovu prethodne teoreme proizilazi niz karakteristika podudarnih uglova. Naveˇsćemo ovde samo one najvaˇznije: Teorema 4.4.5. Ako su ∡ pOq i ∡ p′ O′ q ′ podudarni, konveksni i neopruˇ zeni uglovi, onda su i njima naporedni uglovi takod ¯e podudarni.

zene uglove ∡ pOq i Dokaz. Za proizvoljne podudarne, konveksne i neopruˇ ∡ p′ O ′ q ′

oznaˇcimo sa ∡ qOr i ∡ q ′ O′ r ′ njima odgovarajuće naporedne uglove. Uoˇcimo, dalje, taˇcke P ∈ Op, Q ∈ Oq , R ∈ Or, kao i P ′ ∈ O ′ p′ , Q′ ∈ O ′ q ′ , R′ ∈ O ′ r ′ , takve da vaˇ zi OP ∼ = O ′ P ′ , OQ ∼ = O ′ Q′ i OR ∼ = O ′ R′ (slika 4.7).

Slika 4.7.

Tada, na osnovu relacije ∡ pOq ∼ = ∡ p′O′ q ′ i prethodne teoreme 4.4.4 sledi (O,P,Q) ∼ = (O′ , P ′ , Q′ ). Odavde, primenom aksiome III 7 imamo QR ∼ = ′ ′ ′ ′ ′ ∼ Q R , odnosno vaˇ zi (O,Q,R) = (O , Q , R ). Najzad, ponovnom primenom teoreme 4.4.4 dobijamo ∡ qOr ∼ = ∡ q ′ O′ r ′ . Teorema 4.4.6. Unakrsni uglovi su med¯usobno podudarni. Dokaz. Neka su ∡ pOq i ∡ rOs dva unakrsna ugla takva da kraci Op i Or

pripadaju jednoj, a kraci Oq i Os pripadaju drugoj pravoj (slika 4.8). Kako uglovi ∡ pOq i ∡ qOr imaju zajedniˇcki krak Oq , dok su im ostala dva kraka komplementarne poluprave jedne iste prave, oni su naporedni. Na sliˇ can naˇ cin dokazuje se da su naporedni i uglovi ∡ qOr i ∡ rOs. Dakle, unakrsni uglovi ∡ pOq i ∡ rOs jesu naporedni jednom istom uglu ∡ qOr, te prema prethodnoj teoremi moraju Slika 4.8. biti med¯usobno podudarni.

46 Teorema 4.4.7. Za svaki orijentisani ugao ∡ pOq i polupravu O′ p′ unutar ravni π postoji u datoj orijentaciji K taˇcno jedan ugao ∡ p′ O ′ q ′ takav da je ∡ pOq ∼ = ∡ p′ O′ q ′ i ∡ p′ O′ q ′ ∈ K . cigledno. Razmotrimo Dokaz. Ako je ∡ pOq opruˇzen ugao, tvrd¯enje je oˇ stoga sluˇcaj kada ∡ pOq nije opruˇzen, pri ˇcemu opet moˇzemo pretpostaviti da je reˇ c o konveksnom uglu. Ako oznaˇ cimo sa P i Q proizvoljne taˇcke ′ polupravih Op i Oq , a sa P taˇcku poluprave O′ p′ takvu da je OP ∼ = O ′ P ′ , onda prema aksiomi II I 6 u orijentisanoj ravni π postoji jedinstvena taˇcka Q′ takva da je (P,O,Q) ∼ = (P ′ , O′ , Q′ ), a konveksni ugao ∡ p′ O′ q ′ pripada zadatoj orijentaciji K . Ako polupravu O′ Q′ obeleˇzimo sa O′ q ′ , primenom teoreme 4.4.4 zakljuˇ cujemo da je ∡ pOq ∼ = ∡ p′ O′ q ′ . Na kraju, jedinstvenost ugla ∡ p′ O′ q ′ pokazuje se indirektnim postupkom uz ponovno koriˇsćenje aksiome III 6 (ostavljamo ga ˇcitaocu kao veˇ zbu). Relacija podudarnosti uglova pruˇ za mogu´ cnost formiranja novih pojmova, pri ˇcemu posebno istiˇcemo jedan od njih. Definicija 4.4.5. Poluprava Or je simetrala (bisektrisa ) ugla ∡ pOq ako pripada datom uglu i pritom je ∡ pOr ∼ = ∡ rOq . Teorema 4.4.8. Svaki ugao ∡ pOq ima jednu i samo jednu bisektrisu. zen. Na krakovima Dokaz. Razmotrimo na jpre sluˇcaj kada je ∡ pOq neopruˇ

datog ugla uoˇcimo taˇcke P ∈ Op i Q ∈ Oq takve da je OP ∼ = OQ. Tada ∼ su O,P,Q nekolinearne taˇcke za koje vaˇ zi (O,P,Q) = (O,Q,P ), pa postoji jedinstvena izometrijska transformacija I za koje vaˇzi I(P ) = Q, I(Q) = P, I(O) = O. U izometriji I srediˇste R duˇzi P Q, kao i taˇcka O, jesu dve razne invarijantne taˇcke, pa je svaka taˇcka prave OR invarijantna. S druge strane, ako je R ′ taˇcka prave OR takva da je B (R,O,R′ ), onda je data prava taˇckom O razloˇzena na dve disjunktne poluprave OR i OR ′ , od kojih taˇcno jedna, obeleˇzimo je sa Or, pripada uglu ∡ pOq (slika 4.9). Najzad, kako je poluprava Or invari jantna pri izometriji I, to vaˇzi ∡ pOr ∼ = ∡ qOr, tj. Or zaista predstavlja jedinstvenu bisektrisu ugla Slika 4.9. ∡ pOq .

47 Pretpostavimo sada da je ∡ pOq opruˇzen. Obeleˇzimo sa P i Q taˇcke polupravih Op i Oq takve da je OP ∼ cku u un= OQ, sa M bilo koju taˇ traˇ snjosti datog ugla, a sa N taˇcku toga ugla takvu da je (P,Q,M ) ∼ = (Q,P,N ) (slika 4.10). Kako su P,Q,M i Q, P,N trojke nekolinearnih taˇcaka, na osnovu teoreme 4.2.4 sledi da postoji jedinstvena izometrijska transformacija I za koju je I(P ) = Q, I(Q) = P, I(M ) = N . Pri datoj izometriji, srediˇsta O i R duˇzi P Q i MN su invarijantne taˇcke, pa je Slika 4.10. i svaka taˇcka prave OR invarijantna. Stoga, sliˇcno kao u prethodnom sluˇcaju, zakljuˇcujemo da je poluprava OR (i samo ona) bisektrisa ∡ pOq .

Sliˇcno kao kod duˇzi, i ovde moˇzemo definisati relaciju pored¯enja dva ugla, kao i operacije zbira, razlike i mnoˇ zenja ugla skalarom. Definicija 4.4.6. ∡ aMb je manji od ∡ cNd, u oznaci ∡ aMb < ∡ cNd, ako postoji poluprava N e ⊂ ∡ cNd takva da je ∡ aMb ∼ = ∡ cNe (slika 4.11).

Slika 4.11.

Definicija 4.4.7. ∡ pOq jeste zbir dva ugla ∡ aMb i ∡ cNd, u oznaci ∡ pOq = ∡ aMb + ∡ cNd, ako unutar ∡ pOq postoji poluprava Or takva da je ∡ aMb ∼ = ∡ pOr i ∡ cNd ∼ = ∡ rOs (slika 4.12). Tada kaˇzemo i da je ∡ aMb jednak razlici uglova ∡ pOq i ∡ cNd, ˇsto zapisujemo ∡ aMb = ∡ pOq − ∡ cNd.

48

Slika 4.12.

Definicija Definicija 4.4.8. ∡ cNd cN d je jednak proizvodu ∡ aMb aM b i prirodnog broja k ∈ cN d = k = k ∡ aMb aM b, ako je N, u oznaci ∡ cNd cN d = ∡ aMb aM b + · · · + ∡ aMb aM b . ∡ cNd



4.4.3 4.4.3



k puta



Pravi, Pravi, oˇ stri stri i tupi uglovi. uglovi. Upravne Upravne prave prave

U ovom delu prouˇcavamo cavamo poseban p oseban oblik binarnih binarn ih relacija relacij a izmed¯u dveju d veju pravih. Reˇ c je o tzv. relaciji normalnosti koju uvodimo nakon formulisanja slede´ sle dećih cih klasa klas a uglova. ugl ova. Definicija Definicija 4.4.9. 4.4.9. Ugao ∡ pOq je prav , oˇstar ili tup ako je, redom, podudaran, manji ili ve´ ci ci od svog naporednog naporednog ugla.

Nadalje Nada lje posebnu po sebnu paˇznju znju posve´ po svećujemo cuj emo prouˇ pro uˇcavanju cavanju pravih pravi h uglova, u glova, za koje koj e navodimo sada neka vaˇzna zna svojstva. svojst va. Teorema 4.4.9. Ugao podudaran podudaran pravom uglu je takod¯e prav ugao. ug ao. pOq proizvoljan prav ugao i ∡ p′ O′ q ′ njemu podudaran Dokaz. Neka je ∡ pOq proizvoljan ugao. Oznaˇcimo, cimo, dalje, sa ∡ qOr i ∡ q ′ O′ r ′ uglove koji su, redom, naporedni uglovima ∡ pOq i i ∡ p′ O′ q ′ . Tada iz relacije ∡ pOq ∼ = ∡ p′ O′ q ′ , primenom teoreme 4.4.4 o jednakosti naporednih uglova sledi ∡ qOr ∼ = ∡ q ′ O′ r ′ . S druge strane, ugao ∡ pOq je pOq je prav, pa po prethodnoj prethodno j definiciji pravih uglova vaˇzi zi qOr . Na osnovu osnovu tranzitivnosti tranzitivnosti relacije relacije p odudarnosti, odudarnosti, iz p osledosled∡ pOq ∼ = ∡ qOr. ′ ′ ′ ∼ nje dve relacije sledi ∡ pOq = ∡ q O r . Najzad, Najzad, kako kako je, po pretpos pretposta tav vci, ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ Dakle, ugao ugao ∡ p O q ∡ pOq = ∡ p O q , to mora biti i ∡ p O q = ∡ q O r . Dakle, ′ ′ ′ jeste podudaran podud aran svom naporednom uglu ∡ q O r , pa je zaista z aista reˇc o pravom uglu. Svak a dva dv a prava p rava ugla u gla su med¯usobno podudarna. podudarna. Teorema 4.4.10. Svaka

49 i ∡ p′ O′ q ′ proizvoljni pravi uglovi, a ∡ qOr i ∡ q ′ O′ r ′ Dokaz. Neka su ∡ pOq i njima naporedni, naporedni, samim tim i njima podudarni uglovi. uglovi. Ak Akoo pretpostav pretpostavimo imo ′ ′ ′ da uglovi ∡ pOq i i ∡ p O q nisu podud p odudarni, arni, onda o nda vaˇzi, zi, recimo, relacija ∡ pOq < ′ ′ ′ ′ ′ ′ oblasti ugla ugla ∡ p O q postoji poluprava O′ q ′′ takva da je ∡ p O q . Tada u oblasti ∡ pOq ∼ = ∡ p′ O′ q ′′ (slika 4.13). Na osnovu prethodne teoreme ugao ∡ p′ O′ q ′′ jeste prav, tj. podudaran je svom naporednom uglu ∡ q ′′ O′ r′ . Med¯utim, uti m, ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′′ tada opruˇzeni zeni ugao ∡ p O r ima dve razne bisektrise O q i O q ˇsto st o je u suprotnosti sa ranije pokazanom teoremom 4.4.8.

Slika 4.13.

Koriste´ Kori steći ci po jam pravih pravi h uglova u glova moˇ m oˇzemo zemo definis defi nisati ati vaˇ znu znu binarnu bin arnu relacij rel aciju u koja opisuje poseban odnos dveju pravih u ravni. Definicija 4.4.10. Dve prave p, q koje pripadaju istoj ravni π su upravne upravne zajedn o sa svojom svo jom preseˇcnom cno m taˇckom cko m O (normalne) ako zajedno O obrazuju bar jedan prav ugao ∡ pOq . Tada piˇsemo se mo p ⊥ q . Primenom prethodnih dveju teorema lako se pokazuje da su i ostali uglovi koje obrazuju upravne prave p i q takod takod¯e pravi (oni su ili naporedni ili unakrsni pravom uglu ∡ pOq ). ). Iz prethodne definicije dalje sledi da je relacija upravnosti simetriˇcna, cna, tj. iz relacije p ⊥ q sledi q sledi relacija q ⊥ p. Stog Stogaa za takve prave p rave jednostavno jedno stavno kaˇ kaˇzemo zemo da su med m ed¯usobno upravne. Navodimo sada jednu od najva na jvaˇˇznijih znijih osobina upravnih pravih, poznatu teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti normale . koj a taˇ cka cka ravni π . Teorema 4.4.11. Neka je p proizvoljna prava, a P ma koja Tada u istoj ravni postoji jedinstvena prava n koja koja sadrˇ sa drˇzi taˇ taˇ cku ck u P i upravna je na pravu p.

caj caj kada kada P ∈ (slika a 4.14). 4.14). Ak Ako o su M i / p (slik Dokaz. Razmotrimo najpre sluˇ N N dve d ve razne taˇcke cke prave p, prema aksiomi II I 6 u ravni π postoji, s one strane prave p s koje koj e nije nij e taˇcka cka P , P , jedinst jedi nstvena vena taˇcka cka Q takva da je M P ∼ = ∼ M Q i N P = N Q. Kako su taˇ cke cke P, Q ∈ π sa raznih raznih strana strana prave prave p, prava n odred od red¯ena en a njim nj imaa seˇce ce pravu pr avu p u neko ne kojj taˇcki cki O. Pritom je bar jedna

50 o d taˇ taˇcaka ca ka M i N N raz razli liˇˇcita ci ta o d taˇ taˇcke cke O (zaˇsto?), sto?), neka je to, recimo, taˇcka cka ∼ M . M . U tom tom slu sluˇcaju c aju imam imamoo da je (M , N , P ) = (M , N , Q), Q), pa primenom primenom aksiome II I 7 nalazimo da je (O, (O, P ) P ) ∼ Sada su su M,O, M,O, P i M,O,Q = (O, Q). Sada dve tro jke nekolinearnih taˇ caka caka takve da je (M,O,P ) ∼ M,O,Q), pa su = (M,O,Q), uglovi ∡ M OP i ∡ M OQ naporedni OQ naporedni i podudarni, p odudarni, dakle, dakle, pravi uglovi. uglovi. Prema prethodnoj definicijio tada je n je n ⊥ p, p , pa osta je joˇs da pokaˇ po kaˇ zemo zemo da je n je n jedina jedina prava ravni π koja zadovo zadovolja ljav va navedene navedene uslove. uslove. Zaista, Zaista, ako ako bi osim prave prave ′ n posto jala joˇ s neka takva takva prava prava n , ona bi sekla pravu p u nekoj neko j taˇcki cki ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ ′ ′  O. Ak O = Akoo je Q taˇcka cka prave pr ave n takva da je B (P, O , Q ) i P O = O Q , ′ biće M P ∼ sluˇcaju, caju, u ravni ravni π sa iste strane = M Q i N P ∼ = N Q′ . U tom sluˇ ′ prave p prave p posto p ostoje je dve razne taˇcke cke Q i Q takve da je (M (M , N , P ) ∼ (M , N , Q) Q) i = (M ′ ∼ (M , N , P ) = (M ( M , N , Q ), ˇsto sto je nemogu´ nem oguće. ce. Na ovaj naˇcin, cin, tvrd¯enje teoreme teor eme jeste pokazano u ovom ovom sluˇ caju. caju.

Slika 4.14.

Slika 4.15.

Pretpostavimo sada da P ∈ p (slika 4.15). Tada taˇcka cka P P ra razl zlaˇ aˇze ze skup sku p ostali ost alih h taˇcaka caka prave p prave p na dve dijskunktne poluprave P poluprave P a i P b koje ko je o dred dr ed¯uju uj u opruˇ op ruˇzen zen ugao ug ao ∡ aP b. Prema teoremi teoremi 4.4.8 taj ta j ugao ima jedinstve jedinstvenu nu bisekbisektrisu, oznaˇcimo cimo je sa P c. Ka Kak ko su uglo uglovi ∡ aP c i ∡ bP c naporedni i podudarni, oni su pravi, pa je prava n odred od red¯ena polup po lupravom ravom P c upravna na pravu p pravu p.. Da je n je n jedina jedina prava ravni π ravni π koja ko ja je u taˇ t aˇcki P cki P upravna upravna na pravu p pravu p,, dokazuje dokazu je se na sliˇcan can naˇcin cin kao i u preth p rethod odnom nom sluˇcaju ca ju (ostavlja (ost avljamo mo ˇcitaoc cita ocu u da taj dokaz izvede sam). Na kra k raju ju ovog odeljka, odel jka, koristeći ci relaciju relacij u normaln n ormalnosti osti uvodimo joˇs jedan j edan bitan pojam. data a duˇ duˇ z z AB . Prava Prava m koja pripada Definicija 4.4.11. Neka je u ravni π dat istoj is toj ravni, ravn i, sadrˇ sad rˇ zi zi srediˇste ste O du duˇzi AB i upravna je na pravu AB naziva se duˇ zi AB (slika 4.16). medijatrisa (simetrala ) du

51 Ranije smo pokazali (teorema 4.4.2) da svaka duˇz ima taˇ cno jedno srediˇ ste. S druge strane, prethodnom teoremom pokazali smo da u zadatoj ravni postoji taˇ cno jedna prava koja je normalna na datu pravu u nekoj zadatoj taˇcki. Na osnovu toga, zakljuˇcujemo da će bilo koja duˇz AB Slika 4.16. u ravni π imati taˇcno jednu medi jatrisu. Od znaˇ cajnijih osobina medijatrise duˇ zi, izdvajamo joˇ s slede´ ce tvrd¯enje. Teorema 4.4.12. Neka je u ravni π data duˇz AB . Skup svih taˇcaka X ∈ π takvih da je AX ∼ = BX predstavlja medijatrisu duˇzi AB . Dokaz. Neka je n = {X ∈ π | AX ∼ = B X } i pokaˇzimo da ovaj skup taˇcaka

predstavlja medijatrisu m duˇzi AB. Kao ˇsto znamo, srediˇste O duˇzi AB jeste jedinstvena taˇ cka prave AB za koju vaˇzi AO ∼ = OB, pa je O ∈ n. S druge strane, ako je X ∈ n taˇcka ravni π koja ne pripada pravoj AB, biće (A,O,X ) ∼ = (B,O,X ), odnosno ∡ AOX ∼ = ∡ BOX . Kako su ∡ AOX i ∡ BOX naporedni uglovi, to je OX ⊥ AB, tj. X ∈ m (videti opet sliku 4.16). Dakle, pokazali smo da vaˇzi n ⊆ m. Obratno, ako je X ∈ m i X  = O, onda su iz podudarnosti naporednih uglova ∡ AOX i ∡ BOX , kao i relacija OA ∼ = OB i OX ∼ = OX , sledi da je ∼ AX = BX . Na ovaj naˇ cin pokazana je i relacija m ⊆ n, pa je m = n.

4.4.4

Podudarnost trouglova

Kao ˇsto smo ve´ c pokazali, u svakoj izometrijskoj transformaciji I : S → S kolinearnim taˇ ckama odgovaraju kolinearne, a nekolinearnim taˇ ckama odgovaraju nekolinearne taˇcke. Iz tog svojstva i ˇcinjenice da u izometrijskoj transformaciji duˇzi uvek o dgovara duˇz neposredno sledi da u toj transformaciji trouglu uvek odgovara trougao, ˇcetvorouglu ˇcetvorougao, i, uopˇste, svakom n-touglu uvek odgovara n-tougao. Na ta j naˇ cin, u prostoru S mogu se posmatrati klase p odudarnih mnogouglova. Ipak, uslovi kojima se utvrd¯uje podudarnost dva mnogougla nisu uvek dati na idealan naˇ cin samim postojanjem izometrijske transformacije koja

52 prevodi jedan od njih u drugi. Kod trouglova kao najjednostavnijih poligona podudarnost moˇzemo izraziti podudarnoˇsću odgovarajućih stranica i uglova datih trouglova. Na taj naˇcin, moguće je ustanoviti ˇcetiri razliˇcita stava o podudarnosti trouglova u istoj ravni. Te stavove, nadamo se već dobro poznate ˇcitaocima, formuliˇsemo sada u obliku odgovarajućih tvrd¯enja. Teorema 4.4.13 (II I stav podudarnosti trouglova). Dva trougla su podudarna ako su im podudarne odgovaraju´ ce stranice. Dokaz. Neka su ∆ABC i ∆A′ B ′ C ′ dva trougla ravni π takva da je AB ∼ =

A′ B ′ , BC ∼ = B ′ C ′, CA ∼ = C ′ A′ (slika 4.17). Tada su A,B, C i A′ , B ′ , C ′ dve trojke nekolinearnih taˇcaka ravni π takve da je (A,B,C ) ∼ = (A′ , B ′ , C ′ ), pa postoji izometrijska transformacija I ravni π koja taˇcke A, B,C prevodi respektivno u taˇcke A′ , B ′ , C ′ . Jasno je onda da izometrija I prevodi ∆ABC u ∆A′ B ′ C ′ , odnosno da vaˇzi ∆ABC ∼ = ∆A′ B ′ C ′ .

Slika 4.17.

Teorema 4.4.14 (I stav podudarnosti trouglova). Dva trougla su podudarna ako su im podudarne po dve razne stranice i njima zahva´ ceni ugao. Dokaz. Neka su ∆ABC i ∆A′ B ′ C ′ dva trougla u ravni π takvi da je

AB ∼ = A′ B ′ , AC ∼ = A ′ C ′ i ∡ A ∼ = ∡ A′ (slika 4.18). S obzirom da su uglovi cke na kracima tih uglova takve da A i A′ podudarni, a B, C i B ′ , C ′ taˇ ′ ′ ′ je (A, B) ∼ = (A , B ) i (A, C ) ∼ = (A , C ′ ), prema teoremi 4.4.4 imamo da je (B, C ) ∼ = (B ′ , C ′ ), odnosno BC ∼ = B ′ C ′ . Stoga je, prema prethodnoj teoremi, ∆ABC ∼ = ∆A′ B ′ C ′ .

Slika 4.18.

53 Teorema 4.4.15 (II stav podudarnosti trouglova). Dva trougla su podudarna ako su im podudarne po jedna stranica i njoj nalegli uglovi. Dokaz. Neka su ∆ABC i ∆A′ B ′ C ′ dva trougla u ravni π kojima je AB ∼ =

A′ B ′ , ∡ A ∼ zimo da je tada BC ∼ = ∡ A′ i ∡ B ∼ = ∡ B ′ (slika 4.19). Dokaˇ = ′ ′ ′ ′ B C . Ako pretpostavimo suprotno, onda je jedna od duˇzi BC i B C veća od druge, recimo, B ′ C ′ > BC . U tom sluˇ caju, unutar duˇzi B ′ C ′ postoji taˇcka C ′′ takva da je BC ∼ = B ′ C ′′ . Prema prethodnoj teoremi imamo da je ∆ABC ∼ = ∆A′ B ′C ′′ , pa je ∡ BAC ∼ = ∡ B ′ A′ C ′′ . Med¯utim, tada su A′ C ′ i A′ C ′′ dve razne poluprave koje sa polupravom A′ B ′ zahvataju p odudarne istosmerne uglove, a to je prema teoremi 4.4.7 nemogu´ ce. ′ ′ Dakle, zaista je BC ∼ = B C , pa primenom prethodne teoreme, dobijamo ′ ′ ′ ∼ ∆ABC = ∆A B C .

Slika 4.19.

Teorema 4.4.16 (IV stav podudarnosti trouglova). Dva trougla su podudarna ako su im podudarne po dve stranice i ugao naspram jedne od njih, dok su uglovi naspram drugih dveju pomenutih stranica istog karaktera stra, oba prava ili oba tupa ). (oba su oˇ Dokaz. Neka su ∆ABC i ∆A′ B ′ C ′ dva trougla ravni π za koja je AB ∼ =

A′ B ′ , BC ∼ = B ′ C ′ i ∡ A ∼ = ∡ A′ , dok su uglovi ∡ C i ∡ C ′ oba oˇstra, oba prava ili oba tupa (slika 4.20). Dokaˇ zimo da je tada AC ∼ = A′ C ′ . Ako pretpostavimo suprotno, onda je, recimo, AC < A′ C ′ , pa postoji taˇcka C ′′ ∈ A′ C ′ takva da je AC ∼ = A ′ C ′′ . Prema I stavu podudarnosti trouglova tada imamo da je ∆ABC ∼ = ∆A′ B ′ C ′′ , pa je B C ∼ = B ′ C ′′ i ∡ BC A ∼ = ∡ B ′ C ′′ A′ . S druge strane, u ∆B ′ C ′ C ′′ je B ′ C ′ ∼ = B ′ C ′′ , pa je ∡ B ′C ′ C ′′ ∼ = ∡ B ′ C ′′ C ′. Kako su ∡ BC A i ∡ B ′ C ′ C ′′ uglovi istog karaktera (oba oˇ stra, oba prava ili oba tupa) tu istu osobinu imaju i njima podudarni uglovi ∡ B ′ C ′′ A′ i ¯utim, ova dva ugla ne mogu biti oba oˇ stra niti oba tupa jer ∡ B ′ C ′′ C ′ . Med su naporedni. Isto tako ne mogu biti ni pravi, jer bi tada kroz taˇ cku B ′ postojale dve razne prave B ′ C ′ i B ′ C ′′ upravne na pravu A ′ C ′ , ˇsto je prema teoremi 4.4.11 nemogu´ ce. Stoga je AC ∼ = A′ C ′ i prema tome ∆ABC ∼ = ′ ′ ′ ∆A B C .

54

Slika 4.20.

Gore navedeni stavovi o podudarnosti trouglova imaju veoma znaˇcajnu ulogu u dokazivanju velikog broja ˇcinjenica i tvrd¯enja u geometriji, o ˇcemu će biti viˇse reˇci u narednim izlaganjima. U ovom odeljku pokazaćemo, na osnovu njih, joˇ s neke dobro p oznate osobine trouglova u ravni, kojima se, pre svega, opisuje odnos njihovih stranica i uglova. Teorema 4.4.17. Naspram ve´ ce stranice trougla nalazi se ve´ ci ugao, i obratno, naspram ve´ ceg ugla trougla nalazi se ve´ ca stranica.

zimo da tada Dokaz. Neka je dat ∆ABC u kojem je AC > AB, te pokaˇ mora biti ∡ B > ∡ C . Zaista, iz relacije AC > AB sledi da unutar duˇzi AC postoji taˇcka D takva da je AB ∼ = AD (slika 4.21). Poluprava BD nalazi se u ∡ ABC , pa je ∡ ABC > ∡ ABD ∼ = ∡ ADB > ∡ ACB. Obratno, ako je dat ∆ABC u ko jem je ∡ B > ∡ C , onda je AC > AB. Zaista, ne moˇze biti AC ∼ = AB, jer bi tada vaˇzila relacija ∡ B ∼ = ∡ C , ˇsto je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom. Ne moˇze biti ni AC < AB, Slika 4.21. jer bi prema prethodno dokazanom delu ove teoreme vaˇzila relacija ∡ B < ∡ C , a to je takod¯e suprotno pretpostavci. Dakle, vaˇzi AC > AB. Teorema 4.4.18. Zbir ma kojih dveju stranica trougla veći je od treće stranice, a razlika dveju stranica manja je od tre´ ce stranice. Dokaz. Neka je dat proizvoljan ∆ABC . Da bismo dokazali da je, recimo,

AB + AC > BC , obeleˇzimo sa D taˇcku prave AB takvu da je B (B,A,D) i AC ∼ = AD (slika 4.22). Tada je ∡ BCD > ∡ ACD i ∡ ACD ∼ = ∡ BDC , pa je ∡ BCD > ∡ BDC . Stoga je prema prethodnoj teoremi BD > BC , odno-

55 sno AB + AC > BC . Da bismo dokazali drugi deo teoreme, pretpostavimo da je, recimo, AC > AB. Tada, prema prethodno dokazanom delu ove teoreme imamo da je AC < AB + BC , odakle neposredno sledi relacija AC − AB < BC .

4.5

Slika 4.22.

Zadaci za veˇ zbu

Zadatak 4.1. Dokazati da u izometrijskoj transformaciji I prostora S konveksnom liku Φ odgovara konveksan lik Φ′ , a konkavnom liku Φ odgovara konkavan lik Φ′ . Zadatak 4.2. Ako u izometrijskoj transformaciji I ravni π duˇzi X Y odgovara duˇz X ′ Y ′ , dokazati da srediˇstu O duˇzi XY odgovara srediˇste O′ duˇzi X ′ Y ′ . Zadatak 4.3. Na jednoj pravoj date su ˇcetiri taˇcke A,B,C,D takve da je B (A,B,C,D) i AB ∼ = CD. Dokazati da je tada AC ∼ = BD, kao i da se srediˇsta duˇzi AD i B C poklapaju. Zadatak 4.4. Date su tri kolinearne taˇcke A,B, C . Ako su M i N srediˇsta duˇzi AB i AC , respektivno, dokazati da je duˇz M N jednaka ili poluzbiru ili polurazlici duˇzi AB i AC . Zadatak 4.5. Ako u izometrijskoj transformaciji I ravni π uglu ∡ pOq odgovara ugao ∡ p′ O′ q ′ , dokazati da simetrali Os ugla ∡ pOq odgovara simetrala O′ s′ ugla ∡ p′ O′ q ′ . Zadatak 4.6. U jednoj ravni date su poluprave OA,OB,OC,OD takve da je ∡ AOB ∼ = ∡ COD. Dokazati da je tada ∡ AOC ∼ = ∡ BOD, kao i da se simetrale uglova ∡ AOD i ∡ BOC poklapaju. Zadatak 4.7. Ako su OM i ON simetrale uglova ∡ AOB i ∡ AOC , respektivno, sadrˇ zanih u istoj ravni, dokazati da je ∡ MON jednak ili poluzbiru ili polurazlici uglova ∡ AOB i ∡ BOC .

56 Zadatak 4.8. Ako u izometrijskoj transformaciji I ravni π duˇzi X Y odgovara duˇz X ′ Y ′ , dokazati da medijatrisi m duˇzi X Y odgovara medijatrisa m ′ duˇzi X ′ Y ′ . Zadatak 4.9. Neka je u ravni dat ∆ABC . Dokazati da je AB ∼ = AC akko je ∡ B ∼ = ∡ C . Zadatak 4.10. Ako su B1 i C 1 srediˇsta stranica CA i AB trougla ABC , dokazati da je AB ∼ = AC akko je B B1 ∼ = C C 1 . Zadatak 4.11. Ako su B ′ i C ′ podnoˇzja visina iz temena B i C trougla ABC , dokazati da je AB ∼ = AC akko je B B ′ ∼ = C C ′ . Zadatak 4.12. Ako su B ′ i C ′ taˇcke u ko jima bisektrise unutraˇsnjih uglova ∡ B i ∡ C seku naspramne stranice CA i AB trougla ABC , dokazati da je AB ∼ = AC akko je B B ′ ∼ = C C ′. Zadatak 4.13. Ako se kraci AB i AC jednakokrakog trougla ABC produˇze preko temena A do taˇcaka E i F , tako da je AE = AF i taˇcka E spoji sa temenom C , a taˇcka F sa temenom B, dokazati da je F B = EC . Zadatak 4.14. Neka su D, D′ srediˇsta stranica B C i B ′ C ′ trouglova ABC i A′ B ′ C ′ , respektivno. Dokazati da je ∆ABC ∼ = ∆A′ B ′ C ′ ako vaˇze sledeće jednakosti: (a) AB = A ′ B ′ , AC = A′ C ′ i BD = B ′ D′ ; (b) ∡ BAD = ∡ B ′ A′ D′ , ∡ ADC = ∡ A′ D′ C ′ i AD = A′ D′ ; (c) AB − AC = A′ B ′ − A′ C ′ , BC = B ′ C ′ i AD = A′ D′ . Zadatak 4.15. Neka je M proizvoljna taˇcka u unutraˇsnjosti ∆ABC . Dokazati da je zbir duˇzi AM , B M i C M veći od poluobima, a manji od obima datog trougla. Zadatak 4.16. Neka je D srediˇste stranice BC trougla AB C . Dokazati da tada vaˇzi AB < AC akko je ∡ BDA < ∡ CDA. Zadatak 4.17. Ako u ∆ABC vaˇzi AB > AC , a S je taˇcka u kojoj simetrala ce stranicu B C , dokazati da je ∡ ASB > ∡ ASC i SB > SC . ∡ A seˇ Zadatak 4.18. Neka su ∆ABC i ∆A′ B ′ C ′ dva trougla takva da vaˇ zi AB ∼ = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ A B i AC = A C . Dokazati da je BC > B C akko je ∡ A > ∡ A . Zadatak 4.19. Dokazati da je zbir dijagonala konveksnog ˇcetvorougla ve´ ci od poluobima, a manji od obima tog ˇcetvorougla.

57 Zadatak 4.20. Ako kod prostog ˇcetvorougla ABCD vaˇzi ∡ A = ∡ B, dokazati da je tada: (a) AD = BC ⇐⇒ ∡ C = ∡ D. (b) Prava odred¯ena srediˇstima stranica AB i C D je zajedniˇcka normala tih stranica. Zadatak 4.21. Ako kod prostog ˇcetvorougla ABCD vaˇzi ∡ A = ∡ B, dokazati da je AD < BC ⇐⇒ ∡ C < ∡ D. Zadatak 4.22. Ako kod prostog ˇcetvorougla ABCD vaˇzi ∡ A = ∡ B i ∡ C = ∡ D, dokazati da je tada AD = BC i AC = BD. Zadatak 4.23. Dokazati da su naspramni uglovi prostog ˇcetvorougla ABCD jednaki akko su njegove naspramne stranice jednake. Zadatak 4.24. Kod prostog ˇcetvorougla ABCD je ∡ B = ∡ D i srediˇste O dijagonale AC je na dijagonali BD. Dokazati da je tada taˇcka O i srediˇste dijagonale BD, kao i da su naspramne stranice ovog ˇcetvorougla jednake.

58

Glava 5

NEPREKIDNOST U prethodnim razmatranjima već smo bili upućeni na to da pravu liniju zamiˇsljamo kao neprekidnu liniju u prostoru. Time smo samo mogli da naslutimo, ali ne i da egzaktno izgradimo uˇcenje o neprekidnosti. Da bi se razvila ova teorija potrebno je uvesti novu grupu aksioma o kojo j će ovde biti reˇci. S tim u vezi, opisaćemo i neke o d najvaˇ znijih posledica ovih aksioma, kao i njihovu primenu u izgradnji sistema merenja duˇzi i uglova. Na kra ju, dajemo i jedan od osnovnih naˇcina na koji se uvodi pojam kruga i njemu srodnih geometrijskih objekata.

5.1

Aksiome neprekidnosti i njihove posledice

Grupu aksioma neprekidnosti ˇcine sledeće dve aksiome: Aksioma IV 1 (Eudoks-Arhimedova aksioma): Ako su AB i CD dve proizvoljne duˇ zi takve da je AB > CD , onda postoji prirodan broj n ∈ N takav da vaˇzi nejednakost nCD ≤ AB ≤ (n + 1)CD. Ovu aksiomu, poznatu i pod nazivom aksioma prestiˇzivosti , moˇzemo dodatno interpretirati na sledeći naˇcin: Na pravoj AB postoji konaˇcan broj taˇcaka A1 , · · · , An , An+1 takvih da je A = A1 , B ∈ An An+1 i CD ∼ = A1 A2 ∼ = ··· ∼ = An An+1 . Kao ilustraciju, na slici 5.1 prikazali smo primenu aksiome prestiˇ zivosti u sluˇcaju kada je n = 3. 59

60

Slika 5.1.

Aksioma IV 2 (Kantorova aksioma): Neka je na pravoj p dat beskonaˇ can niz duˇzi A1 B1 , A2 B2 , . . . , An Bn , . . . takav da zadovoljava slede´ ce osobine (slika 5.2): (i) Svaka duˇz datog niza sadrˇzi sledeću duˇz, tj. za svako n ∈ N vaˇzi An+1 Bn+1 ⊆ An Bn . (ii) Ne postoji duˇz koja pripada svim duˇzima datog niza. Tada postoji jedinstvena taˇcka X koja pripada svim duˇ zima datog niza duˇzi, tj. X ∈ An Bn za svako n ∈ N.

Slika 5.2.

Poslednja aksioma je verovatno poznata ˇcitaocu i kao Lema o umetnutim intervalima, koja se pokazuje kao tvrd¯enje u okviru standarnog kursa Matematiˇcke analize. Na osnovu nje, moguće je izvrˇsiti uzajamno jednoznaˇ cnu korespodenciju realnih brojeva i taˇ caka na pravoj, odnosno potpunu analitiˇ cku interpretaciju geometrijskih objekata u prostoru, ˇsto mi ovde, ipak, nećemo ˇciniti. Naveˇsćemo samo da se moˇze pokazati da je prethodnim dvema aksiomama ekvivalentna tzv. Dedekindova aksioma neprekidnosti : Aksioma IV 1/2 : Neka su na orijentisanoj pravoj p data dva neprazna skupa taˇcaka A i B takvi da za svako A ∈ A i B ∈ B vaˇzi A < B . Tada postoji taˇcka X ∈ p takva da za svake dve taˇ cke A ∈ A\{X } i B ∈ B\{X } vaˇzi ured¯enje A < X < B (slika 5.3).

61

Slika 5.3.

Naglasimo joˇ s da je navedeni sistem aksioma mogu´ ce transformisati u njemu ekvivalentan, tako ˇsto se termin duˇzi zameni uglom, a taˇcka p olupravom. (Ostavljamo Vama da to uradite za veˇzbu!) Na taj naˇ cin formulisane aksiome neprekidnosti imaju raznovrsnu primenu u geometriji. Jedna od najznaˇcajnijih jeste utvrd¯ivanje mere zbira uglova u trouglu o kojoj će sada biti viˇse reˇci. No, pre toga dajemo sledeće pomoćno tvrd¯enje. Lema 5.1.1. Za svaki ∆ABC postoji u istoj ravni trougao kome je bar jedan od unutraˇ snjih uglova najamnje dva puta manji od bar jednog ugla ∆ABC . Pritom, oba trougla imaju jednak zbir unutraˇ snjih uglova. Dokaz. Neka je u ravni π dat proizvoljan trougao ABC i neka je S srediˇste

duˇzi BC . Odredimo na pravoj AS taˇcku D tako da je B (A,S,D) i AS ∼ = SD. Tada, prema I stavu podudarnosti trouglova ∼ vaˇzi ∆ASC = ∆BSD, a odatle je ∡ SAC ∼ = ∡ SDB ∼ i ∡ SC A = ∡ SBD. Pokaˇzimo sada da ∆ABD zadovoljava uslove date u tvrd¯enju leme. Zaista, bar jedan od njegovih uglova ∡ BAS i ∡ SDB najmanje je dva puta manji od ∡ BAC u trouglu ABC . Slika 5.4. Pritom, ako funkciju zbira unutraˇsnjih uglova ma kojeg trougla oznaˇcimo sa σ(·), na osnovu prethodno pokazanih podudarnosti uglova vaˇzi σ(∆ABC ) = ∡ ABC + ∡ BAC + ∡ ACB = = ∡ ABC + ∡ BAS + ∡ SAC + ∡ ACB = = ∡ ABD + ∡ BAD + ∡ ADB = = σ(∆ABD).

62 Pokazuje Pokazujemo mo sada, pri oznakama oznakama uvedenim uvedenim u dokazu dokazu prethodne prethodne leme, leme, teore mu Leˇ zand za ndra ra o zbiru unutraˇsnjih poznatu I teoremu snjih uglova u trouglu. trouglu . proizvoljan ∆ABC va vaˇzi σ (∆ABC gde je R Teorema 5.1.1. 5.1.1. Za proizvoljan (∆ABC )) ≤ 2R, gde prav ugao.

Oz naˇcimo ci mo sa α,β, α,β, γ unutraˇ u nutraˇsnje snje uglove trougla ABC . ABC . Ak Ako o pret pret-Dokaz. Oznaˇ postavimo, suprotno tvrd¯enju teoreme, da je zbir ovih uglova uglova ve´ već i od 2R, onda postoji ugao ε ugao ε takav da je σ (∆ABC (∆ABC )) = α + β + + γ = 2R + ε. Sada, Sad a, primeno pri menom m pretho pre thodne dne leme, l eme, moˇzemo zemo naći ci ∆A ∆A1 B1 C 1 sa uglovima α uglovima α1 , β 1 , γ 1 za koji ko ji vaˇzi zi 1 α1 < α 2

∧

σ(∆A (∆A1 B1 C 1 ) = σ(∆ σ (∆ABC ABC )) = 2R + ε.

Nastavlja jući ci isti postupak post upak dobijamo dobija mo beskonaˇcan can niz trouglova ∆ABC, ∆A1 B1 C 1 , . . . , ∆An Bn C n , . . . koji za svako n ∈ N zadovoljava zadovolj ava sled s lede´ eće ce relacij rel acijee 1 1 αn < α n−1 < · · · < n α 2 2

∧

σ(∆A (∆An Bn C n ) = σ(∆ σ (∆ABC ABC )) = 2R + ε.

Med¯utim, na osnovu aksiome neprekidnosti Kantora, zakljuˇ cujemo cujemo da za ugao ε ugao ε postoji n ∈ N tako da je zadovoljena nejednakost αn <

1 α < ε. 2n

Konaˇcno, cno, zamenivˇsi si ovu nejednakost nejedna kost u jednakost αn + β + β n + γ + γ n = 2R + ε + ε,, dobijamo β n + γ n > 2R. 2R. Poslednj Posle dnjaa nejedna neje dnakost kost je oˇcito cito nemogu´ nem oguća, ca, ˇcime cime je pokazano po kazano tvrd tvr d¯enje teoreme teor eme u celini. Na kraju kra ju ovog odeljka o deljka navodimo bez dokaza joˇs dve Leˇ zandrove zandrove teoreme: Teorema 5.1.2 (II (II Leˇ zand za ndrova rova teo t eore rema ma). ). Ako u ravni π π postoji ∆ABC ∆ ABC takav da je σ(∆ is te ravni rav ni takod ta kod¯e vaˇzi zi σ (∆ABC ABC )) = 2R, onda za svaki ∆A ∆ A1 B1 C 1 iste σ (∆A (∆A1 B1 C 1 ) = 2R. 2 R.

63 vaˇ zi Teorema 5.1.3 (I (I II Leˇ zandrova zan drova teorem teo rema). a). Ako za ∆ABC ∆ ABC ravni π π va cku P i pravu l te ravni, takvu da σ (∆ABC (∆ABC )) = 2R, onda za proizvoljnu taˇcku k oja a sadrˇ sa drˇzi zi taˇ taˇ cku ck u P i nema sa P ∈ / l , postoji jedinstvena prava p u ravni π koj pravom l zaj z ajedn edniˇ iˇ ckih ck ih taˇ taˇ caka ca ka..

ˇ Citalac, Citala c, verujemo, ve´ c moˇ m oˇze ze ”naslut ” naslutiti” iti” tesnu vezu ovih teorema teor ema sa poj p oj-mom paralelnosti, o ˇcemu cemu govorimo u narednom poglavlju. Naglasimo joˇ si ovu ˇcinj ci njeni enicu cu:: Kako se proizvoljan mnogougao A1 A2 · · · An moˇze ze svoji svo jim m unutr unu traˇ aˇsnji sn jim m dijagonalama dijago nalama razloˇziti ziti na n − 2 disjunktnih truoglova, indukcijom se lako pokazuje zbir unutraˇ unut raˇsnjih snjih uglova datog mnogougla mnogou gla zadovoljav z adovoljavaa nejednakost σ (A1 A2 · · · An ) ≤ 2(n 2(n − 2)R. 2)R.

5.2

Sistem merenja merenja duˇ zi zi i uglova uglova

Aksiome Aksi ome nepreki nep rekidno dnosti sti omo omogu´ gućavaju cavaj u nam da na spe s pecifiˇ cifiˇcan can naˇcin cin uvedemo uvedem o pojam mere proizvoljne duˇ zi, zi, odnosno ugla u geometrijskom prostoru. Formalno, mal no, ovaj po jam moˇzemo zemo formulis formu lisati ati na slede´ sled eći ci naˇcin: cin : funkcija d(·) koja svakoj Definicija Definicija 5.2.1. 5.2.1. Sistem Siste m merenja duˇ zi zi jeste funkcija duˇ zi a pridruˇ prid ruˇ zuje zuj e realnu vrednost d(a) sa osobinama: Z a svak sv aku u duˇz z a vaˇ vaˇzi d(a) ≥ 0 . (i) Nenegativnost: Za Posto toji ji duˇz z a0 takva da je d(a0 ) = 1. (ii) ii) Normiranost: Pos Z a svake dve podudarne podudarne duˇ zi zi a, b va vaˇzi (iii) iii) Invarijantost: Za

d(a) = d( d (b). zi a i b va vaˇ zi (iv) iv) Aditivnost: Za svake dve duˇzi

d(a + b) = d( d (a) + d(b). me ra duˇzi a, Broj d Broj d((a) iz prethodne pretho dne definicije defi nicije obiˇcno cno se naziva na ziva mera a , pri datom ˇ aviˇse, sistemu merenja d merenja d((·). Staviˇ St se, ako je a je a = = AB reći ci ćemo ce mo i da d da d((a) predstavlja AB,, re´ 1 kr a jnji jn jih h taˇ t aˇcaka caka A i B date duˇzi. zi. Naredni Nare dnim m tvrd t vrd¯enjem enje m do datno dat no rastojanje kra ispitujemo osnovna svojstva funkcije d funkcije d((·). 1

Ovaj termin nije sluˇ cajan. cajan. Naime, lako se pokazuje da se osnovu funkcije d(·) moˇze ze izgraditi ”prava” ”prava” metrika, metrika, odnosno rastojanje taˇ caka caka u geometrijskom geometrijskom prostoru.

64 sva ke dve duˇ zi zi a i b, odnosno njihove mere d(a) i d(b) Teorema 5.2.1. Za svake vaˇze ze slede sl ede´ ´ ce ce relac rel acij ije: e:

(i) a < b ⇐⇒ d(a) < d(b) (ii) ii) a < b =⇒ d(b − a) = d( d (b) − d(a). Akoo je je a < b, onda o nda posto po sto ji duˇz c takva c takva da je d je d((c) > 0 > 0 i b = b = a a + c. Dokaz. (i) Ak Tada, primenom osobine aditivnosti funkcije d funkcije d((·) dobijamo d(b) = d( d(a + c) = d( d (a) + d(c) > d(a). Obratno, iz d(a) < d(b) i aksiome invarijantnosti sledi da je a  = b. b . Ako bi bilo a > b, onda prema prethodnom delu dokaza sledi da je d( d (a) > d(b), ˇsto sto je nemogu´ nemo guće. ce. Dakle, Dakl e, mora mor a biti b iti a a < b. (ii) ii) Sledi neposredno neposredno na osnovu osnovu (i (i) i aksiome aditivnosti (proverite sami, za veˇzbu) zb u).. Na kraj kr aju, u, pokazujemo egzistenciju egzisten ciju sistema merenja duˇzi, zi, odnosno odno sno slede´ s ledeću cu vaˇznu znu ˇcinj ci njen eniicu. cu . Z a proizvoljn proizv oljnu u duˇ z z a0 = A posto ji jedinstve jedin stveno no odred odred¯en Teorema 5.2.2. Za = A 0 B0 postoji sistem merenja d(·) takav tak av da vaˇzi zi d(a0 ) = 1 .

= AB pro proizvol izvoljna jna duˇ d uˇz koja ko ja pripa pr ipada da isto is tojj pravoj, pravo j, oznaˇcimo cimo Dokaz. Neka je a = AB je sa p, kao i duˇz a0 . Za svako k = 0, 1, 2, . . . pod p odeli elimo mo duˇz a0 na 2k podudarnih dar nih med¯usobno usob no susedn sus ednih ih duˇzi, zi, a sa A sa A k Bk oznaˇ o znaˇcimo ci mo ma koju ko ju duˇz u k-toj k -toj podeli. Sada, istu proˇ proˇsirimo sirimo i na celu pravu p, odnosno formiramo sistem med¯usobno susednih susedn ih duˇzi zi koje su podudarn po dudarnee sa A sa A k Bk (slika 5.5).

Slika 5.5.

Oznaˇ Oz naˇcimo ci mo sa nk ukupan ukup an broj bro j svih duˇzi zi k -te podele koje pripadaju duˇ zi zi ′ a = AB = AB.. Sliˇcno, cno , neka n eka je n je nk ukupa uk upan n bro b rojj takvi t akvih h duˇ d uˇzi zi koje koj e sa duˇzi a zi a imaju imaju bar jednu zajedniˇ cku cku taˇ cku. cku. Tada za svako svako k = 0, 1, 2, . . . oˇ oˇcito vaˇ vaˇzi nk ≤ nk′ , kao i nk′ − n k ≤ 2. Na ovaj naˇ cin cin dobijamo bro jevne jevne nizove nizove (n (nk ) i (nk′ )

65 ˇ sa osobinama nk+1 ≥ 2nk , odnosno n′k+1 ≤ 2n′k . Staviˇ se, sukscesivnom primenom prethodnih nejednakosti za k = 0, 1, 2, . . . imamo n0 ≤

n′ n1 n n n′ n′ ≤ 22 ≤ ·· · ≤ kk ≤ ·· · ≤ kk ≤ · ·· ≤ 22 ≤ 1 ≤ n ′0 . 2 2 2 2 2 2

Dakle, moˇzemo posmatrati dva brojevna niza

 nk k

2

i

′

nk k

2

, pri ˇcemu je prvi

od njih monotono-neopadajući, odozgo ograniˇ cen brojem n′0 . Stoga, niz n jeste konvergentan, tj. postoji njegova graniˇ cna vrednost 2

 k k

def

nk . k →∞ 2k

n = lim

 ′

nk

Sliˇcno, niz 2 je monotono-nerastući, odozdo ograniˇcen sa n0 , pa i on konvergira nekoj graniˇcnoj vrednosti k

n′k n = lim k . k →∞ 2 ′ def

Ako sada primenimo nejednakost 0 ≤ n ′k − nk ≤ 2 na prethodne graniˇcne vrednosti, dobijamo n′k − nk 2 ≤ lim = 0. k →∞ k →∞ 2k 2k

0 ≤ n ′ − n = lim

Znaˇci, vaˇzi n = n′ pa ovu vrednost proglasimo za meru duˇ zi a, odnosno stavimo d(a) = n. Ovim smo za proizvoljnu duˇz a jednoznaˇcno utvrdili brojevnu vrednost d(a), za koju se jednostavno proverava da predstavlja njenu meru, tj. da zadovoljava osobine mere iz prethodne definicije. Recimo, za duˇz a0 vaˇzi nk = n′k = 2k , pa po definiciji odgovarajućih graniˇcnih vrednosti biće n′ n d(a0 ) = lim kk = lim kk = 1. k→∞ 2 k→∞ 2 Analogno se proveravaju i ostale osobine mere, koje ostavljamo ˇcitaocu kao veˇzbu. Napomena 5.2.1. Na sliˇcan naˇcin kao u gore opisanom postupku moˇze se formirati sistem merenja uglova. Potrebno je opet, kao i kod odgovarajućih aksioma neprekidnosti, termine duˇzi zameniti uglovima, a taˇcke polupravama.

66

5.3

Pojam kruga

Koriste´ ci pojam mere duˇ zi, dolazimo do niza novih geometrijskih pojmova i ˇcinjenica. Posebno istiˇcemo jedan od najvaˇznijih i najˇceˇsće koriˇsćenih. Definicija 5.3.1. Neka su O i P  = O proizvoljne taˇcka ravni π . Skup svih ′ taˇcaka P ravni π takvih da je OP ′ ∼ zna trajektorija = OP naziva se kruˇ ili, jednostavno, krug .

Taˇcka O predstavlja centar (srediˇ ste) datog kruga, dok uoˇ ceni skup ′ ∼ svih podudarnih duˇzi OP = OP nazivamo polupreˇcnikom kruga. Na jzad, ako je r = d(OP ) mera polupreˇcnika, odnosno duˇzi OP koju smo definisali u prethodnom odeljku, sam krug oznaˇcavamo sa k = K (O, r). Na slici 5.6 prikazan je krug K (O, r) za jedno sa odgovarajućim elementima, centrom O i polupreˇcnikom mere r. Koristeći sada relacije pored¯enja duˇzi iz prethodnog poglavlja, u Slika 5.6. mogu´ cnosti smo da uvedemo sledeće relacije. Definicija 5.3.2. Taˇcka X je unutar kruga K (O, r) ako je OX < OP, odnosno d(OX ) < r . U sluˇcaju da vaˇ zi suprotna jednakost, kaˇ zemo da je X izvan datog kruga.

Definicija 5.3.3. Skup svih taˇcaka unutar kruga K (O, r) naziva se otvoresi i samog kruga jeste zatvorena kruˇ na kruˇ zna povrˇ s, a unija te povrˇ zna povrˇ s.

Sada, na osnovu prethodnih definicija, moˇzemo preciznije prouˇciti odnos prave i kruga u ravni . Evo nekoliko jednostavnijih ˇcinjenica o tome. Teorema 5.3.1. Svaka prava p koja je u ravni kruga K (O, r) i sadrˇzi njegovo srediˇ ste ima sa tim krugom taˇ cno dve zajedniˇ cke taˇ cke, po jednu sa svake strane srediˇ sta.

67 Dokaz. Neka je OP polupreˇcnik kruga K (O, r). Prema aksiomi III 5 na

svakoj od poluprava prave p ˇciji je kra j taˇcka O postoji po jedna taˇ cka, oznaˇcimo ih sa A i B , tako da je d(OA) = d(OB) = r. Po definiciji, oˇcito je da obe taˇcke A, B pripadaju datom krugu.2 Teorema 5.3.2. Prava p i krug K (O, r) jedne iste ravni π mogu imati najviˇ se dve zajedniˇ cke taˇcke. Dokaz. Pretpostavimo, suprotno tvrd¯enju teoreme, da prava p ima sa kru-

gom K (O, r) tri zajedniˇcke taˇcke A,B, C (slika 5.7). Pritom, pretpostavimo, recimo, da vaˇzi poredak B (A,B,C ). Kako je OA = OB = OC , trouglovi OAB i OB C su jednakokraki, pa je ∡ OAB = ∡ OBA i ∡ OBC = ∡ OCB. Med¯utim, kako su ∡ OBA i ∡ OBC naporedni podudarni uglovi, to oni moraju biti pravi, kao i njima podudarni uglovi ∡ OAB i ∡ OCB. Ovo je u suprotnosti sa ˇcinjenicom da trougao moˇze imati najviˇse jedan pravi ugao (objasnite Slika 5.7. detaljnije zaˇsto). Na kraju, definiˇsemo pojam seˇcice i tangente datog kruga. cno Definicija 5.3.4. Prava s je seˇ cica kruga K (O, r) ako sa njim ima taˇ dve zajedniˇ cke taˇ cke. Prava t koja ima taˇ cno jednu zajedniˇ cku taˇ cku sa datim krugom jeste njegova tangenta .

Teorema 5.3.3. Kroz svaku taˇcku P kruga K (O, r) prolazi taˇcno jedna njegova tangenta t, upravna na polupreˇ cnik OP . Dokaz. Prema teoremi o jedinstvenosti normale, u ravni kruga K (O, r)

postoji taˇcno jedna prava t upravna na pravu OP . Neka je Q proizvoljna taˇcka prave t razliˇcita od P . Tada je ∡ P QO manji od pravog ugla, pa vaˇzi OP < OQ (objasnite zaˇ sto i nacrtajte odgovarajuću sliku). Dakle, prema definiciji, taˇcka Q nalazi se izvan kruga K (O, r), tj. P je jedina taˇcka prave t koja pripada datom krugu. 2

Duˇz AB nazivamo preˇ cnikom datog kruga.

68

5.4

Zadaci za veˇ zbu

Zadatak 5.1. Neka je A 1 B1 , A2 B2 , . . . beskonaˇcan niz duˇzi takav da svaka od njih sadrˇzi narednu i svaka sledeća duˇz jednaka je polovini prethodne. Dokazati da tada ne postoji duˇz sadrˇzana u svim duˇzima datog niza. Zadatak 5.2. Neka je ∡ pn q n , n ∈ N beskonaˇcan niz uglova sa zajedniˇckim temenom u taˇcki O i takav da se svaki sadrˇzi u prethodnom i ne postoji ugao datog niza koji je zajedniˇ cki za sve ostale uglove. Pokazati da je tada presek ovih uglova poluprava sa poˇcetkom u taˇcki O. Zadatak 5.3. Neka je A proizvoljna taˇcka van prave p i N podnoˇzje normale povuˇcene iz taˇcke A na pravu p. Pokazati da za svaku taˇcku P ∈ p \ {N } vaˇzi d(AN ) < d(AP ). Zadatak 5.4. Neka je k n = K (O, rn ), n ∈ N beskonaˇcan niz krugova takav da se svaki sadrˇzi u prethodnom i pritom vaˇzi lim rn = 0. Pokazati da tada n→∞ postoji jedinstvena taˇcka koja se nalazi u svakom od navedenih krugova. Zadatak 5.5. Dokazati da je kruˇzna povrˇs konveksan skup koji ima beskonaˇcno mnogo taˇcaka. Zadatak 5.6. Ako je AB preˇcnik kruga K (O, r), taˇcka M ma koja taˇcka na krugu, a N taˇcka na pravoj AB takva da je B (A,B,N ), dokazati da je BN < MN < AN . Zadatak 5.7. Ako su t i t′ dve tangente istog kruga K (O, r) koje se seku u taˇcki P izvan kruga, dokazati da vaˇze sledeća tvrd¯enja: (a) Duˇzi ˇciji su krajevi taˇcka P i dodirne taˇcke tangenti t i t ′ sa krugom su jednake.3 (b) Uglovi koje obrazuju tangente t i t′ sa polupravom P O su jednaki. Zadatak 5.8. Neka su M i N dve razne proizvoljne taˇcke kruˇznice K (O, r), a P i Q taˇ cke u kojima proizvoljna tangenta t kruˇznice K seˇce dirke konstruisane u taˇckama M i N , respektivno. Dokazati da je ∡ P OQ jednak polovini ∡ MON . 3

Ove duˇzi nazivamo tangentnim duˇ zima.

69 Zadatak 5.9. Dva kruga u istoj ravni mogu imati najviˇse dve zajedniˇcke taˇcke. Dokazati. Zadatak 5.10. Dva kruga u istoj ravni sa istim srediˇ stem i razliˇ citim po4 lupreˇcnicima nemaju zajedniˇckih taˇcaka. Dokazati. Zadatak 5.11. Neka su k1 = K (O, r) i k2 = K (O′ , r′ ) dva kruga u istoj ravni sa raznim srediˇstima O i O′ . Dokazati sledeća tvrd¯enja: (a) Ako je d(OO ′ ) < r + r ′ , onda se krugovi k 1 i k 2 seku u dvema raznim taˇckama. (b) Ako je d(OO ′ ) = r + r ′ , krugovi k 1 i k 2 imaju taˇcno jednu zajedniˇcku taˇcku (dodiruju se spolja). (c) Ako je r < r′ i d(OO ′ ) < r − r ′ , krugovi k1 i k2 nema ju zajedniˇckih taˇcaka. (d) Ako je r < r′ i d(OO ′ ) = r − r′ , krugovi k1 i k2 ima ju taˇcno jednu zajedniˇcku taˇcku (dodiruju se iznutra).

4

Za ovakve krugove kaˇ zemo da su koncentriˇcni krugovi.

70

Glava 6

PARALELNOST U celokupnom izlaganju koje prethodi ovom poglavlju, koristili smo cˇetiri grupe aksioma. Na osnovu njih se izgrad¯uje tzv. apsolutna geometrija u prostoru. Tek nakon uvod¯enja p ojma paralelnosti u mogu´ cnosti smo da damo potpunu geometrijsku teoriju, poznatu kao Euklidska geometrija .

6.1

Aksioma paralelnosti i njene posledice

Kao ˇsto smo već istakli ranije, paralelnost je bila poznata joˇs u antiˇckim vremenima i zasnivala se na famoznom Euklidovom petom postulatu. Ovde dajemo jednostavniji ekvivalent ovog tvrd¯enja koji je dao engleski matematiˇcar Dˇzon Plejfer 1797. godine: Aksioma V 1 (Plejfer): Za proizvoljnu pravu p i taˇcku A izvan nje postoji jedinstvena prava q , komplanarna sa p i takva da je p ∩ q = ∅.

Slika 6.1.

U ˇcast njenog autora ovu aksiomu obiˇ cno nazivamo Plejferovom aksiomom paralelnosti . Ona se, kao ˇsto vidimo, odnosi na posebnu relaciju pravih u ravni, kao ˇsto je prikazano na slici 6.1. Ravan i prostor u ko jima vaˇzi aksioma paralelnosti nazivamo, respektivno, Euklidovom ravni i 71

72 Euklidovim prostorom , a obeleˇ zavamo ih sa E 2 i E 3 . Primenom Plejferove

aksiome moˇzemo i formalno definisati odgovarajuću binarnu relaciju paralelnosti pravih. zemo da Definicija 6.1.1. Za dve prave p i q koje pripadaju istoj ravni kaˇ su paralelne ako je p = q ili p ∩ q = ∅. Tada piˇsemo p  q .

Pojam paralelnosti moˇzemo ”proˇsiriti” i na joˇs neke geometrijske objekte ”srodne” pravama. Definicija 6.1.2. Dve duˇzi (poluprave ) AB i A′ B ′ su paralelne ako istu osobinu imaju odgovaraju´ ce prave koje ih sadrˇ ze. Na isti naˇ cin kao kod ′ ′ pravih, piˇsemo AB  A B .

Dajemo sada neke od vaˇznijih posledica aksiome paralelnosti, pri ˇcemu se na jpre bavimo njenim planimetrijskim primenama, tj. posmatramo paralelnost u Euklidovoj ravni E 2 . Pokazaćemo najpre ”ˇcuvenu” teoremu o uglovima sa paralelnim kracima . Teorema 6.1.1. Neka su ∡ pOq i ∡ p′ O′ q ′ uglovi iste ravni takvi da je Op  Op′ i Oq  Oq ′ . Uglovi ∡ pOq i ∡ p′ O′ q ′ su tada ili podudarni ili suplementi (njihov zbir je jednak zbiru dva prava ugla ). cito je da vaˇzi ∡ pOq ∼ Dokaz. Ako su ∡ pOq i ∡ p′ O ′ q ′ opruˇzeni uglovi, oˇ = ∡ p′ O ′ q ′ .

Pretpostavimo stoga da oni nisu opruˇ zeni, i uoˇ cimo proizvoljnu 2 2 izometrijsku transformaciju I : E → E kojom se poluprava Op preslikava1 u polupravu O ′ p′ tako da je I (O) = O ′ . Oznaˇcimo, dalje, sa O ′ q ′′ polupravu

Slika 6.2. 1

Slika 6.3.

Svake dve poluprave jesu podudarne, tj. postoji izometrijska transformacija koja jednu od njih preslikava u drugu polupravu.

73 koja u izometrji I odgovara polupravoj Oq , tj. takvu da je O′ q ′′ = I(Oq ). Tada razlikujemo dva sluˇcaja: (i) Ako je O′ q ′′ = O′ q ′ , onda je, jasno, I(∡ pOq ) = ∡ p′ O′ q ′ , odnosno vaˇzi ∡ pOq ∼ = ∡ p′ Oq ′ , kao ˇsto je prikazano na slici 6.2. (ii) Razmotrimo sluˇcaj kada je O ′ q ′′  = O ′ q ′ . Tada izometrija I preslikava polupravu Oq u polupravu O ′ q ′′ koja je komplementarna sa O ′ q ′ (slika 6.3). Sada, dakle, vaˇzi ∡ pOq ∼ = ∡ p′ O′ q ′′ , pa je ∡ pOq + ∡ p′ O′ q ′ = 2R. Kao posledicu prethodnog tvrd¯enja, navodimo joˇ s jedan od fundamentalnih rezultata Euklidske geometrije, dobro poznatu teoremu o zbiru unutraˇsnjih uglova u trouglu . Teorema 6.1.2. Zbir unutraˇsnjih uglova proizvoljnog ∆ABC jednak je zbiru dva prava ugla.

zi teme C Dokaz. Neka je p = p(A, B) i q prava paralelna sa p koja sadrˇ datog trougla. Taˇcka C razlaˇze pravu q na dve disjunktne poluprave. Ako su M i N dve razne taˇcke prave q koje pripadaju jednoj, odnosno drugoj polupravoj, bi´ ce B (M,C,N ), kao ˇsto smo prikazali na slici 6.4. Ako sada primenimo prethodno pokazanu teoremu o uglovima sa Slika 6.4. paralelnim kracima, imamo da je ∡ BAC = ∡ ACM i ∡ ABC = ∡ BC N . Najzad, iz ovih dveju jednakosti sledi σ(∆ABC ) = ∡ BAC + ∡ ABC + ∡ ACB = ∡ ACM + ∡ BC N + ∡ ACB = ∡ MCN = 2R.

Evo joˇs nekih ˇcinjenica koje direktno proizilaze iz prethodne teoreme. Posledica 6.1.1. Zbir unutraˇ snjih uglova konveksnog n-tougla (n ≥ 3) jednak je izrazu 2(n − 2)R, gde je R prav ugao. snjih uglova proizvoljnog n -tougla jednak je 4R. Posledica 6.1.2. Zbir spoljaˇ

74

6.2

Relacija paralelnosti pravih i ravni

U prethodnom izlaganju definisali smo pojam paralelnih pravih, duˇzi i polupravih. Ovde detaljnije prouˇ cavamo paralelnost kao binarnu relaciju na skupu pravih, ali i ravni u prostoru E 3 . Teorema 6.2.1. Relacija paralelnosti jeste relacija ekvivalencije na skupu pravih prostora E 3 . cnost relacije paralelnosti sledi neposredno iz Dokaz. Refleksivnost i simetriˇ njene definicije. Dokaˇ zimo, stoga, da vaˇzi joˇs i tranzitivnost. U tom cilju, neka su a,b,c tri proizvoljne prave prostora E 3 takve da je a  b i b  c. Razmotrićemo sledeće tri moguć nosti: (i) Ukoliko je a = b, b = c ili a = c onda je, oˇcito, a  c. (ii) Ako su a, b, c tri razne komplanarne prave, onda mora biti a ∩ c = ∅. Zaista, u suprotnom, iz a ∩ c = { P } sledi da kroz preseˇcnu taˇcku P postoje dve razne prave a i c paralelne sa pravom b. Ovo je prema Plejferovoj aksiomi nemoguće, pa je a  c. (iii) Pretpostavimo sada da prave a,b,c nisu komplanarne. U tom sluˇ caju, na osnovu prethodnog dela dokaza biće opet a ∩ c = ∅, pa ostaje joˇs da pokaˇ zemo da prave a i c pripadaju jednoj istoj ravni. Neka je zato α ravan odred¯ena pravama a i b, β ravan odred¯ena pravama b i c, a γ ravan odred¯ena pravom c i ma kojom taˇckom A ∈ a (slika 6.5). Kako je A ∈ α ∩ γ i α  = γ , to se ravni α i γ seku po nekoj pravoj a′ , pri ˇcemu je a′ ∩ b = ∅ . Zaista, u suprotnom bi svaka za jedniˇ cka taˇ cka pravih a′ i b pripadala i ravni β i ravni γ , pa i Slika 6.5. njihovoj preseˇcnoj pravoj c, a ovo ′ je zbog b  c nemoguće. Dakle, vaˇzi a  b, a odatle, na osnovu Plejferove aksiome, sledi da je a ′ = a. Najzad, iz poslednje jednakosti zakljuˇcujemo da su prave a i c disjunktne i komplanarne, tj. vaˇzi a  c. Primetimo najpre da na osnovu Plejferove aksiome paralelnosti sledi da u Euklidovom prostoru E 3 postoje bar dve paralelne prave. Pokaza´ cemo sada neˇsto viˇse, da je njima na jednoznaˇcan naˇcin odredjena odgovarajuća ravan.

75 Teorema 6.2.2. Postoji taˇcno jedna ravan π koja sadrˇzi dve razne paralelne prave p i q . Dokaz. Neka su p, q proizvoljne razne paralelne prave Euklidovog prostora

E 3 . Uoˇcimo na pravoj p dve razne taˇcke A i B , a na pravoj q taˇcku C (slika 6.6). Taˇcke A, B,C su nekolinearne, pa je njima, na osnovu teoreme 2.1.2, jednoznaˇ cno odred¯ena ravan π = π(A,B,C ) . Ovoj ravni, prema aksiomi I 7 , pripada prava p, a pokazaćemo da joj mora pripadati i prava q . Zaista, ako pretpostavimo suprotno, da q ne pripada π, onda je C jedina zajedniˇcka taˇcka prave q i ravni π. S druge strane, na osnovu Ple jferove aksiome, u ravni π poSlika 6.6. stoji jedinstvena prava q ′ paralelna pravoj p. Pritom je q  = q ′ , pa kroz taˇcku C prolaze dve razne prave q i q ′ koje su paralelne pravoj p. Ovo je, naravno, u suprotnosti sa Plejferovom aksiomom paralelnosti. Paralelnost sada proˇsirujemo kao relaciju koja opisuje poseban odnos prave i ravni. Definicija 6.2.1. U prostoru E 3 prava p je paralelna ravni π , u oznaci p  π , ako je p ⊂ π ili p ∩ π = ∅. U tom sluˇcaju, kaˇzemo, takod¯e, i da je ravan π paralelna pravoj p i piˇsemo π  p . Iz prethodne definicije jasno je da u relaciji paralelnosti prave p i ravni π svejedno koja je od njih ”prva” a koja ”druga” u ovom njihovom uzajamnom odnosu. Stoga najˇceˇsće kaˇzemo da su prava p i ravan π (uzajamno) paralelne. Jedna od vaˇznijih osobina koju ima ova relacija moˇze se formulisati sledećim tvrd¯enjem. Teorema 6.2.3. Ako u prostoru E 3 prava p ne pripada ravni π i ako u istoj ravni postoji prava q takva da je p  q , tada je p  π . Dokaz. Na osnovu pretpostavki datih u teoremi jasno je da su p i q dve

razne prave prostora E 3 . Iz relacija p  = q i p  q , primenom teoreme 6.2.2 zakljuˇcujemo da prave p i q jednoznaˇcno odred¯uju neku ravan σ (slika 6.7).

76 Pritom je π  = σ, p a i z q ⊂ π i q ⊂ σ, sledi da je q = π ∩ σ. Najzad, kako prava p nema zajedniˇckih taˇcaka sa pravom q , mora biti p ∩ π = ∅ (objasnite detaljnije zbog ˇcega). To, prema prethodnoj definiciji, konaˇcno znaˇci da je p  π.

Slika 6.7.

Na kraju, narednom definicijom dajemo pojam paralelnih ravni Euklidovog prostora E 3 . Definicija 6.2.2. U prostoru E 3 ravan α je paralelna ravni β , u oznaci α  β , ako je α = β ili α ∩ β = ∅ . Teorema 6.2.4. Relacija paralelnosti ravni prostora E 3 je relacija ekvivalencije.

cnost ove relacije sledi neposredno iz njene Dokaz. Refleksivnost i simetriˇ definicije, pa dokazujemo da je ona i tranzitivna. U tom cilju, obeleˇzimo sa α,β,γ tri ravni prostora E 3 takve da je α  β i β  γ . Ako je α = β ili β = γ , oˇcito je α  γ . Zato pretpostavimo da su date ravni med¯usobno razliˇcite i pokaˇ zimo da ravni α i γ tada nema ju za jedniˇckih taˇcaka. Zaista, ako bi se ravni α i γ sekle po nekoj pravoj s, tada bi proizvoljna ravan koja seˇce pravu s u nekoj taˇcki S i ravan β po nekoj pravoj b, sekla ravni α i γ po dvema raznim pravama a i c koje sadrˇze taˇcku S i paralelne su pravoj b, ˇsto je nemoguće. Stoga je α ∩ γ = ∅, odnosno α  γ .

6.3

Primena paralelnosti u planimetriji

Pokazaćemo sada kako se i na koji naˇcin relacija paralelnosti primenju je u opisivanju i pokazivanju nekih osobina geometrijskih figura u ravni. Pre svega, definisaćemo najvaˇ znije klase ˇcetvorouglova u kojima se koristi pojam paralelnosti. Zatim istraˇ zujemo neke od osobina koje, na osnovu paralelnosti, poseduju trougao, ˇcetvorougao i krug.

77 6.3.1

Paralelogram i trapez

Najpre formuliˇsemo pojam paralelograma, kao ˇcetvorougla koji se veoma ˇcesto posmatra u geometriji Euklidove ravni E 2 . Pre toga, primetimo da kod svih prostih ravnih ˇcetvorouglova moˇzemo, pored susednih stranica i uglova, koristiti i termine naspramnih stranica , kod stranica bez zajedniˇckih taˇcaka, odnosno naspramnih uglova , kod uglova ˇcetvorougla koji nemaju zajedniˇcki krak. ˇ u kome su (dve po dve ) naspramne straDefinicija 6.3.1. Cetvorougao nice paralelne naziva se paralelogram . Posebno, paralelogram u kome sve susedne stranice obrazuju prave uglove nazivamo pravouglim paralelogramom ili pravougaonikom .

Definicija 6.3.2. Paralelogram u kome su sve stranice jednake naziva se cni pravougli pa jednakostraniˇ cni paralelogram ili romb . Jednakostraniˇ ralelogram nazivamo kvadratom .

Sledećim tvrd¯enjem opisujemo osnovna svojstva paralelograma. Teorema 6.3.1. U svakom paralelogramu vaˇze sledeće osobine: (a) Paralelogram je prost ravan ˇcetvorougao. (b) Naspramne stranice i naspramni ulovi paralelograma su jednaki. (c) Zbir dva susedna ugla paralelograma jednak je zbiru dva prava ugla. (d) Dijagonale paralelograma se polove med¯usobno. cije su paralelne Dokaz. (a) Neka je ABCD proizvoljan paralelogram, ˇ stranice AB i CD, odnosno BC i AD (slika 6.8). Nesusedne stranice, zbog paralelnosti, nemaju zajedniˇckih taˇ caka, pa paralelogram jeste prost ˇcetvorougao. Dalje, prema teoremi 6.2.2 prave AB i C D jednoznaˇcno odred¯uju ravan α kojoj pripadaju, a istoj ravni tada pripadaju prave B C i AD (zaˇsto?). Dakle, ABCD jeste ravan ˇcetvorugao. (b) Pri istim oznakama kao u prethodnom delu dokaza, tvrd¯enje neposredno sledi iz ˇcinjenice da, prema teoremi 6.1.1, vaˇzi ∡ ABD = ∡ BDC i ∡ ADB = ∡ DBC , odakle sledi ∆ABD ∼ = ∆BC D.

78

Slika 6.8.

Slika 6.9.

(c) Tvrd¯enje je opet neposredna p osledica teoreme 6.1.1. (d) Neka su AC i BD dijagonale paralelograma, a O njihova preseˇcna taˇcka (slika 6.9). Na osnovu prethodno dokazanog tvrd¯enja pod (b) i jednakosti ∡ ABO = ∡ ODC i ∡ BAO = ∡ OCD, dobija se ∆AOB ∼ = ∆COD. Odavde neposredno sledi i samo tvrd¯enje ovog dela teoreme. Sada da jemo potrebne i dovoljne uslove da bi neki ˇcetvorougao bio paralelogram. Teorema 6.3.2. Prost ˇcetvorougao je paralelogram akko ima bar jednu od slede´ cih osobina:

(i) Naspramni uglovi (dva po dva ) su jednaki. (ii) Dve naspramne stranice su jednake i paralelne. (iii) Dijagonale se polove med¯usobno. can kao u prethodnoj teoremi, pa ga Dokaz. Dokaz ovog tvrd¯enja je sliˇ ostavljamo ˇcitaocu kao veˇzbu. U kratkim crtama dajemo i osobine ostalih podklasa klase paralelograma: pravougaonika i romba. Pritom, zbog elementarnosti i ovde izostavljamo dokaz navedenih ˇcinjenica. ˇ Teorema 6.3.3. Cetvorougao ABCD je pravougaonik akko ima neku od slede´ cih osobina:

(i) ABCD je paralelogram u kome su dijagonale jednake. (ii) ABCD je ˇcetvorougao u kome su dijagonale jednake i polove se. (iii) ABCD je ˇcetvorougao u kome su tri ugla prava.

79 ˇ Teorema 6.3.4. Cetvorougao ABCD je romb akko ima neku od sledećih osobina:

(i) ABCD je paralelogram u kome su dijagonale upravne jedna na drugu. (ii) ABCD je paralelogram u kome bar jedna dijagonala polovi jedan od njegovih uglova.

(iii) ABCD je prost ˇcetvorougao u kome su sve stranice jednake. Na kraju, opisaćemo i trapeze kao vaˇznu klasu ˇcetvorouglova srodnoj prethodnoj. Definicija 6.3.3. Prost ˇcetvorougao u kome su taˇcno dve stranice paralelne naziva se trapez . Paralelne stranice zovemo osnovicama , a ostale dve stranice kracima trapeza.

Od osobina trapeza posebno izdvajamo sledeću, dobro poznatu ˇcinjenicu. Teorema 6.3.5. Duˇz koja spaja srediˇ sta krakova trapeza paralelna je njegovim osnovicama i jednaka njihovom poluzbiru.

cke E i F , redom, Dokaz. Neka su AB i C D osnovice trapeza ABCD, a taˇ srediˇsta stranica BC i AD (slika 6.10). Oznaˇcimo, dalje, sa M N  AD duˇz koja sadrˇzi taˇcku E , a ˇciji krajevi M i N pripadaju, respektivno, pravama AB i CD. Tada je ∆BEM ∼ = ∆CE N , odakle sledi da je ME = NE i BM = C N . S druge strane, ˇcetvorougao AMN D je paralelogram, jer su mu oba para naspramnih stranica paralelne, pa na osnovu teoreme 6.3.1 vaˇ zi AM = DN i AD = MN . Kako su E i F srediˇsta duˇzi MN i AD, respektivno, to iz poslednje jednakosti sledi AF = ME , tj. ˇcetvorougao AMEF je prema teoremi 6.3.2 takod¯e paralelogram. Odavde sledi da je EF  AB, pa je odatle i EF  CD, odnosno i ˇcetvorougao Slika 6.10. DNEF jeste paralelogram, takod¯e. Najzad, na osnovu teoreme 6.3.1 tada vaˇzi EF = AM = DN , pa primenom prethodnih jednakosti dobijamo 2EF = AM + DN = AM + DC + CN = AM + DC + MB = AB + CD. Dakle, duˇz E F zaista predstavlja polovinu zbira duˇzi AB i C D.

80 6.3.2

Znaˇ cajne taˇ cke trougla

U cilju definisanja vaˇznih taˇcaka trougla pokazujemo najpre sledeće tvrd¯enje, poznato kao teorema o srednjoj liniji trougla .2 sta dveju stranica trougla paralelna je Teorema 6.3.6. Duˇz koja spaja srediˇ tre´ coj stranici tog trougla i jednaka njenoj polovini. Dokaz. Neka su D i E srediˇsta stranica AC i BC trougla ABC . Tada

prava koja prolazi kroz taˇcku E i paralelna je stranici AC seˇce pravu AB u taˇcki F , a pravu koja sadrˇzi taˇcku C i paralelna je pravoj AB seˇce u neko j

Slika 6.11.

taˇcki G (slika 6.11). Sada je ∆BEF ∼ = ∆CEG, jer su duˇzi BE i CE jednake, uglovi ∡ EBF i ∡ EC G podudarni kao uglovi sa paralelnim kracima, a uglovi ∡ BEF i ∡ CEG podudarni kao unakrsni uglovi. Dakle, imamo da je E F = EG i B F = C G. No, ˇcetvorougao AFGC je paralelogram, jer su mu naspramne stranice paralelne,

pa je AC = F G i AF = CG. Kako je AD = CD i F E = GE , duˇzi AD i F E su jednake, kao polovine jednakih duˇzi AC i F G. Najzad, tada su u ˇcetvorouglu AFED stranice AD i F E paralelne i jednake, pa je i on paralelogram, tj. stranice AF i DE su paralelne i jednake. Dakle, duˇz DE jeste paralelna stranici AB trougla ABC , pri ˇcemu iz prethodno pokazanih jednakosti sledi AF = BF = CG = DE , odnosno duˇz DE jednaka je polovini duˇzi AB . Prelazimo sada na razmatranje po jmova teˇziˇsnih duˇzi i teˇziˇsta trougla. stem naspramne Definicija 6.3.4. Duˇz koja spaja teme trougla sa srediˇ stranice nazivamo teˇ ziˇ snom duˇ zi ili medijanom datog trougla.

Teorema 6.3.7. Sve tri teˇziˇsne duˇzi trougla seku se u jednoj taˇcki tako da je duˇ z od temena do taˇ cke preseka dvostruko duˇ za od ostalog dela teˇ ziˇ sne duˇzi. 2

Skrećemo paˇznju ˇcitao cu na ovu teoremu, koja se veoma ˇcesto koristi u reˇsavanju niza razliˇcitih problema i zadataka.

81 zi trougla ABC . Kako je tada Dokaz. Neka su AE i BD dve teˇziˇsne duˇ

B (B , E , C ) i B (A,D,C ), to se duˇzi AE i BD seku u taˇcki S koja pripada unutraˇsnjosti datog trougla (slika 6.12). Neka je, dalje, F srediˇste duˇzi AS ,

Slika 6.12.

a G srediˇste duˇzi BS . Duˇz F G spaja srediˇsta stranica AS i BS trougla ABS , pa prema prethodnoj teoremi vaˇzi F G  AB i 1 F G = AB. Kako i duˇz DE 2 spaja srediˇsta stranica AC i BC trougla ABC , takod¯e je DE  1 AB i DE = AB. Dakle, duˇzi 2 F G i DE su paralelne i jednake, pa na osnovu teoreme 6.3.2 sledi da ˇcetvorougao F GED jeste pa-

ralelogram. Prema teoremi 6.3.1 dijagonale F E i DG ovog paralelograma se uzajamno polove, tj. vaˇ zi F S = SE i DS = DG. Najzad, kako je F S = AF , zakljuˇcujemo da su duˇzi F S i SE polovine duˇzi AS . Na isti naˇcin se pokazuje da je DS polovina duˇzi BS . Pokaˇzimo sada da se sve tri teˇziˇsne duˇzi seku u jednoj taˇcki. Pretpostavimo, stoga, suprotno, da se, recimo, teˇziˇsne duˇzi AE i CM seku u nekoj taˇcki T razliˇcitoj od S (nacrtajte sami odgovarajuću sliku). Kako je, prema prethodnom delu dokaza, AS = 2ES , tj. AE = 3ES , na isti naˇcin se moˇ ze pokazati da je i AE = 3ET . Znaˇci, vaˇzi 3ES = 3ET , odnosno ES = ET , ˇsto je na osnovu teoreme 4.1.2 nemogu´ ce, jer su S i T taˇcke prave AE sa iste strane taˇcke E . Dakle, duˇzi AE i CM zaista se seku u istoj taˇcki S . Definicija 6.3.5. Taˇcka u kojoj se seku sve tri teˇziˇsne duˇzi naziva se teˇ ziˇ ste datog trougla.

Prelazimo sada na razmatranje pojmova simetrala stranica datog trougla, odnosno kruga opisanog oko istog. Osnov za to daje naredno tvrd¯enje. Teorema 6.3.8. Sve tri simetrale stranica trougla seku se u jednoj taˇcki, centru kruga koji sadrˇ zi temena datog trougla. Pritom, ovaj krug je jedinstveno odred¯en, tj. kroz temena trougla prolazi taˇ cno jedan krug. Dokaz. Neka su D i E redom srediˇsta stranica AB i AC nekog trougla

ABC , a r i s simetrale datih stranica (slika 6.13). Prava r prolazi kroz D i

82 upravna je na AB, a prava s prolazi kroz E i upravna je na AC , pa se prave r i s seku u nekoj taˇcki M . Kako je taˇcka M na simetrali stranice AB, na osnovu teoreme 4.4.12 vaˇzi AM = BM , a iz ˇcinjenice da M pripada simetrali stranice AC imamo da je i AM = CM . Odavde sledi da je BM = CM , tj. taˇcka M pada simetrali tre´ ce stranice BC . Slika 6.13. Dakle, taˇcka M je podjednako udaljena od sva tri temena trougla ABC , pa se njegova temena nalaze na krugu k kome je srediˇste M . Kako u datoj ravni svaka od duˇzi ima samo jednu simetralu, to su taˇcka M i sam krug k jedinstveno odred¯eni. ze se Definicija 6.3.6. Za krug koji sadrˇzi sva tri temena nekog trougla kaˇ da je opisan oko tog trougla. Sliˇ cno, tada kaˇ zemo da je trougao upisan u dati krug.

Na osnovu dokaza prethodne teoreme sada moˇ zemo formulisati pojam visina i ortocentra proizvoljnog trougla. Definicija 6.3.7. Duˇz koja spaja teme nekog trougla sa naspramnom stranicom, odnosno pravom koja je sadrˇ zi, a pritom je upravna na istu, naziva se visina trougla .

Teorema 6.3.9. Prave koje sadrˇze visine trougla seku se u jednoj taˇcki. cene redom iz temena A,B, C Dokaz. Neka su h a , h b , h c visine trougla povuˇ

trougla AB C . Dalje, neka je A′ B ′ prava paralelna sa AB ko ja sadrˇzi taˇcku C , zatim B ′ C ′ prava paralelna sa BC kroz teme A i, najzad, C ′ A′ paralelna ′ ˇ sa CA kroz teme B (slika 6.14). Cetvorougao ABCB je paralelogram, pa ′ ′ je, dakle, AB = B C . Isto tako je AB = C A , pa je C je srediˇste duˇzi A ′ B ′ . Sliˇcno se pokazuje da je A srediˇste duˇzi B ′ C ′ i B srediˇste duˇzi C ′ A′ .

83

Slika 6.14.

S druge strane, kako je h a ⊥BC i B ′ C ′  BC , to mora biti h a ⊥B ′C ′ . Na isti naˇcin, vaˇzi hb ⊥C ′A′ i hc ⊥A′ B ′ . Dakle, prave koje sadrˇze visine ha , hb , hc jesu simetrale triju stranica ∆A′ B ′ C ′ , pa se prema prethodnoj teoremi seku u jednoj taˇcki. cka u kojoj se seku sve tri visine jednog trougla, odnosno Definicija 6.3.8. Taˇ prave koje ih sadrˇze, naziva se ortocentar tog trougla.

Na kra ju, navodimo i odgovarajuće pojmove i tvrd¯enje koje se odnosi na simetrale uglova i centar kruga upisanog u dati trougao. Teorema 6.3.10. Simetrale svih uglova datog trougla seku se u jednoj taˇcki, srediˇ stu kruga koji dodiruje sve tri stranice tog trougla. Dokaz. Neka su p, q,r redom simetrale uglova ∡ A, ∡ B, ∡ C trougla ABC .

Kako simetrala pripada uglu koji polovi, poluprava p seˇce stranicu BC u nekoj taˇcki A1 , pri ˇcemu je B (B, A1 , C ). Sliˇcno, poluprava q seˇce duˇz AA1 , ˇciji su krajevi na kracima ∡ ABC , u nekoj taˇcki S tako da je B (A,S,A1 ). Taˇcka S , dakle, pripada obema polupravama p i q . Neka su, sada, SL i SM upravne duˇzi iz taˇcke S redom na krake AB i AC ugla ∡ BAC (slika 6.15). Tada vaˇzi ∆ALS ∼ = ∆AMS , odakle dobijamo

84 SL = SM . Ako je, na isti naˇcin, SN duˇz povuˇcena iz taˇcke S i upravna na krak BC ugla ∡ ABC , onda je ∆BLS ∼ = ∆BN S . Otuda sledi d a je SL = SN , odnosno SM = SN . Iz poslednje jednakosti konaˇcno imamo ∆CM S ∼ = ∆CNS , pa je ∡ MCS = ∡ N CS . Znaˇci, poluprava CS jeste simetrala zi CS = r. Dakle, ∡ ACB , tj. vaˇ Slika 6.15. sve tri simetrale uglova u ∆ABC seku se u taˇcki S , pri ˇcemu su duˇzi povuˇcene iz taˇcke S i upravne na stranice trougla u taˇckama L,M, N med¯usobno podudarne. Tada postoji krug sa srediˇstem u taˇcki S ko ji sadrˇzi taˇcke L,M, N , a prema teoremi 5.3.3 stranice trougla pripadaju tangentama tog kruga. Definicija 6.3.9. Za krug koji dodiruje sve tri stranice nekog trougla kaˇzemo da je upisan u dati trougao.

6.3.3

Krug i mnogougao

U prethodnoj sekciji smo pokazali da se oko svakog trougla moˇ ze opisati, odnosno unutar njega upisati krug. Ovde dajemo joˇs neke pojmove koje se odnose na krug, ali i odnos kruga sa mnogouglovima oko kojih se on moˇ ze upisati ili opisati. Na poˇ cetku, ipak, dajemo definicije joˇs nekih pojmova koji su u tesnoj vezi sa krugom. Definicija 6.3.10. Duˇz AB ˇciji krajevi A, B pripadaju krugu K (O, r) naziva se tetiva tog kruga. Preˇ ste cnik kruga jeste tetiva koja sadrˇzi srediˇ O datog kruga.

Lako se pokazuje da je preˇ cnik kruga njegova najveća tetiva, kao i da je svaka tetiva polovljena svojom normalom povuˇ cenom iz srediˇ sta datog kruga (proverite za veˇzbu). U tesnoj vezi sa pojmom tetive nalazi se joˇ s nekoliko vaˇ znih po jmova. Definicija 6.3.11. Ugao koji pripada ravni nekog kruga a teme mu je srediˇ ste kruga naziva se centralni (srediˇ snji ) ugao tog kruga.

85 Definicija 6.3.12. Deo kruga koji se nalazi unutar nekog njegovog centralnog ugla naziva se kruˇ cne taˇcke A, B krakova tog ugla i zni luk . Preseˇ ⌢

kruga nazivamo krajevima luka , a sam kruˇzni luk oznaˇ cavamo sa AB .

Ako su A i B preseˇcne taˇcke krakova konveksnog centralnog ugla ∡ aOb ⌢

sa krugom K (O, r), onda kaˇ zemo da tetiva AB, odnosno luk AB, odgovara centralnom uglu ∡ aOb (slika 6.16). Na elementaran naˇcin tada se pokazuje da jednakim tetivama (lukovima) kruga odgovaraju jednaki centralni uglovi, odnosno da većoj tetivi (luku) odgovara veći centralni ugao i obratno.3 Na kraju, uvodimo joˇs jedan pojam koji Slika 6.16. je tesno povezan sa pojmom centralnog ugla kruga. Definicija 6.3.13. Konveksan ugao kome je teme na krugu K (O, r) a kraci mu seku ili dodiruju taj krug nazivamo periferijskim uglom .

Sliˇcno centralnim uglovima, kod periferijskih uglova takod¯e ima smisla posmatrati tetive, odnosno kruˇzne lukove koji im o dgovaraju. Sledeće fundamentalno tvrd¯enje da je dobro poznati odnos centralnih i periferijskih uglova kruga. Teorema 6.3.11. Periferijski ugao jednak je polovini centralnog ugla koji odgovara istoj tetivi (luku ) datog kruga. Dokaz. Pretpostavimo najpre da je ∡ ACD periferijski ugao kome kraci CA

i CD seku krug K (O, r) u taˇckama A i D, pri ˇcemu je CD preˇcnik datog ⌢

kruga (slika 6.17). Centralni ugao koji zahvata isti luk AD tada je ∡ AOD, pri ˇcemu on predstavlja spoljaˇsnji ugao jednakokrakog trougla ACO. Kako je tada ∡ AOD jednak zbiru dva nesusedna ugla ovog trougla, vaˇzi ∡ AOD = ∡ DOC + ∡ ACO =

2 ∡ ACD.

Neka je sada ∡ ACB periferijski ugao kome kraci C A i C B seku krug u taˇckama A i B, a ne sadrˇze srediˇste O (videti opet sliku 6.17). Ako je opet CD preˇcnik kruga, prema prethodnom delu dokaza je ∡ AOD = 2 ∡ ACD i ∡ BOD = 2 ∡ BC D. Odavde centralni ugao ∡ AOB, koji odgovara istom luku kao i periferijski ugao ∡ ACB , moˇzemo napisati kao ∡ AOB

= ∡ AOD ± ∡ BOD = 2 (∡ ACD ± ∡ BC D) = 2 ∡ ACD,

86 gde znak sabiranja vaˇ zi ako su taˇcke A i B sa raznih strana prave CD, a znak oduzimanja u suprotnom sluˇ caju.

Slika 6.17.

Slika 6.18.

Razmotrimo sada sluˇcaj kada krak CA ugla ∡ ACD dodiruje krug K (O, r) u taˇcki C , kao na slici 6.18. Ugao ∡ ACD je tada prav (zaˇsto?), dok, s druge strane, centralni ugao nad istim lukom jeste opruˇ zen ugao ∡ COD. Dakle, opet vaˇzi ∡ COD = 2 ∡ ACD. Najzad, neka je ∡ ACB periferijski ugao ˇciji krak CA dodiruje krug u taˇcki C , a krak CB ga seˇce u taˇcki B i ne sadrˇzi srediˇste O (slika 6.18). Tada je nekonveksan ∡ COB centralni ugao koji odgovara datom periferijskom ⌢

uglu, odnosno luku BC . Ako je opet CD preˇcnik datog kruga, imamo cno sledi ∡ COD = 2 ∡ ACD i ∡ BOD = 2 ∡ BC D, a odavde konaˇ ∡ COB = ∡ COD

± ∡ BOD = 2 (∡ ACD ± ∡ BC D) = 2∡ ACB,

gde operacije ” + ” i ” − ” imaju istu interpretaciju kao i malopre. Na osnovu prethodne teoreme neposredno slede naredne ˇcinjenice. Posledica 6.3.1. Svaka dva periferijska ugla nad jednakim tetivama su ili jednaka ili suplementna. Dokaz. Ako se dva periferijska ugla nalaze sa iste strane tetive oni odgo-

varaju istom centralnom uglu. Na osnovu prethodne teoreme tada sledi njihova jednakost. Ukoliko su periferijski uglovi sa raznih strana tetive, zbir njihovih centralnih uglova je pun ugao, odakle ponovnom primenom prethodne teoreme sledi drugi deo tvrd¯enja. Posledica 6.3.2. Svi periferijski uglovi nad preˇcnikom kruga kao tetivom jesu pravi uglovi.

87 Posledica 6.3.3. Centar opisanog kruga oko pravouglog trougla nalazi se na srediˇ stu njegove hipotenuze.

Konaˇcno, koristeći pojmove tangenti i tetiva kruga moˇzemo opisati posebna svojstva mnogouglova. Definicija 6.3.14. Prost ravan mnogougao je tetivan ako postoji krug koji sadrˇzi sva njegova temena. Sliˇ cno, prost ravan mnogougao je tangentan ako postoji krug koji dodiruje sve njegove stranice.

Ve´ c smo pokazali da osobine tetivnosti i tangentnosti imaju svi trouglovi. Razmotrimo sada potrebne i dovoljne uslove pod kojima ista takva poseduju ˇcetvorouglovi. Teorema 6.3.12. Konveksan ˇcetvorougao je tetivan akko su njegovi naspramni uglovi suplementni, tj. zbir dva naspramna ugla ˇcetvorougla jednak je zbiru druga dva naspramna ugla. Dokaz. (=⇒:) Neka je ABCD tetivan ˇcetvorougao oko koga je opisan krug

sa centrom u taˇcki O, kao na slici 6.19. Kako je ˇcetvorougao konveksan, naspramna temena A i C su sa raznih strana prave odred¯ene dijagonalom BD. Na osnovu posledice 6.3.1 uglovi ∡ BAD i ∡ BC D, kao periferijski uglovi sa raznih strana iste tetive B D su suplementni, a odatle jasno sledi i suplementnost za ostala dva ugla. (:⇐=) Pretpostavimo sada da su naspramni uglovi ˇcetvorougla ABCD suplementni. Neka je k krug opisan oko trougla ABD. Tada se iz ˇcetvrtog temena C tetiva BD ”vidi” pod uglom koji je suplementan uglu kod temena A, pa i taˇcka C pripada krugu k.

Slika 6.19.

Slika 6.20.

ˇ je tangentan akko je zbir dve njegove nasTeorema 6.3.13. Cetvorougao pramne stranice jednak je zbiru ostalih dveju stranica.

88 Dokaz. (=⇒:) Neka je ABCD tangentni ˇcetvorougao u koga je upisan krug

sa srediˇstem u taˇcki O (slika 6.20). Neka su dalje K, L, M,N redom dodirne taˇcke stranica AB,BC,CD,DA i upisanog kruga. Tada su odgovarajuće tangentne duˇzi jednake (videti zadatak 5.7), pa imamo da je AK = AN , BK = BL, C L = C M , DM = DC N . Odavde konaˇcno dobijamo AB + CD = AK + BK + CM + DM = AN + DN + BL + CL = AD + BC. (:⇐=) Obratno, neka su u ˇcetvorouglu ABCD zbirovi naspramnih stranica jednaki i neka je k krug koji dodiruje stranice AB, BC i AD (njegov centar je presek bisektrisa uglova ˇcetvorougla kod temena A i B). Kako je prava odred¯ena stranicom CB tangenta kruga k iz taˇcke C izvan njega, to postoji joˇs jedna tangenta CD′, gde je D′ presek ove tangente sa pravom AD. Pretpostavimo da je D′  = D i neka, recimo, vaˇ zi B (A, D′ , D) (nacrˇ tajte odgovarajuću sliku). Cetvorougao ABCD′ je tangentan, pa prema prethodnom delu dokaza imamo da je AB + C D′ = BC + AD ′ . Iz ove i pretpostavljene jednakosti AB + CD = BC + AD dobijamo CD − CD′ = AD − AD′ = DD ′

⇐⇒

CD = C D′ + DD ′ .

Med¯utim, iz ∆CDD ′ sledi da je CD < CD ′ +DD ′, ˇsto protivureˇci poslednjoj jednakosti. Dakle, vaˇzi D = D′ , tj. krug k dodiruje i ˇcetvru stranicu CD datog ˇcetvorougla.

6.3.4

Merenje figura u ravni

Tek nakon uvod¯enja pojma paralelnosti u stanju smo da, sliˇcno kao kod duˇzi, definiˇsemo odgovarajući sistem merenja geometrijskih figura (povrˇsi) u Euklidovoj ravni E 2 . Osnov za to daje Definicija 6.3.15. Sistem merenja figura u ravni E 2 jeste funkcija µ(·) koja proizvoljnoj figuri Φ ⊂ E 2 pridruˇ zuje realan broj µ(Φ) i pritom zadovoljava sledeće osobine:

(i) Nenegativnost: Za svako Φ ⊂ E 2 vaˇzi µ(Φ) ≥ 0 . (ii) Normiranost: Postoji kvadratna povrˇs ω0 ⊂ E 2 takva da je µ(ω0 ) = 1.

89 (iii) Invarijantost: Za svake dve podudarne figure Φ1 , Φ2 vaˇzi µ(Φ1 ) = µ(Φ2 ). (iv) Aditivnost: Ako za figure Φ1 , Φ2 i Φ vaˇzi Φ = Φ1 + Φ 2 , onda je µ(Φ) = µ(Φ1 ) + µ(Φ2 ). Za sistem merenja µ(·) brojevna vrednost µ(Φ) predstavlja meru , odnosno povrˇsinu figure Φ ⊂ E 2 . Kvadratna povrˇs ω 0 , ukoliko postoji, naziva se jediniˇ cna povrˇs mere µ. Ipak, za razliku od duˇ zi, sistem merenja figura u ravni ne postoji uvek, tj. svaku figuru u ravni nije mogu´ ce izmeriti. Objaˇsnjenje ove ˇcinjenice zasniva se na sledećoj konstrukciji: Neka je Φ ⊂ E 2 ma koja figura ˇcija je granica zatvorena prosta linija. Za proizvoljnu kvadratnu povrˇs ω0 iste ravni uoˇcimo niz njoj podudarnih, med¯usobom susednih kvadratnih povrˇsi. Dalje, oznaˇcimo sa m0 ukupan broj svih takvih povrˇ si koje se u potpunosti nalaze unutar figure Φ, a sa m ′0 ukupan broj svih kvadratnih povrˇsi koje sa Φ imaju zajedniˇckih unutraˇsnjih taˇcaka (slika 6.21). Oˇcito je da tada vaˇ zi nejednakost m 0 ≤ m ′0 . Podelimo sada dve susedne stranice povrˇsi ω0 na jednak bro j od, recimo, deset podudarnih, med¯usobno susednih duˇzi. Iz svake od krajnjih taˇ caka ovih duˇzi konstruiˇsimo prave linije paralelne dvema naspramnim stranicama povrˇsi ω0 , pa identiˇcan postupak Slika 6.21. ponovimo i sa ostalim kvadratnim povrˇsima, podudarnim sa ω0 . Na taj naˇcin, dobijena je tzv. mreˇza ranga 1, koju oznaˇcimo sa µ1 . Sliˇ cno kao i ranije, ukupan broj kvadratnih povrˇsi ove mreˇze koji se nalaze unutar figure Φ oznaˇcimo sa m1 , a ukupan broj svih kvadratnih povrˇsi koje sa Φ imaju zajedniˇckih unutraˇsnjih taˇcaka obeleˇzimo sa m ′1 . Tada, oˇcito, vaˇzi m1 ≤ m ′1 , m 1 ≥ 100 m0 i m ′1 ≤ 100 m′0 . Ponavljajući isti postupak dobijaju se mreˇze µk ranga k = 0, 1, 2, . . . , pri ˇcemu za svako k ≥ 0 vrednosti mk i m′k zadovoljavaju nejednakost m k ≤ m ′k ,

90 a za k ≥ 1 relacije mk ≥ 100 mk−1 i m ′k ≤ 100 m′k−1 . Odavde dobijamo m0 ≤

m′k m1 m2 mk m′1 ≤ ≤ ·· · ≤ ≤ ≤ ·· · ≤ ≤ m ′0 , 2 k k 100 100 100 100 100

  

m tj. nizovi 100 i graniˇcne vrednosti k k

′

mk

100k

su monotoni i ograniˇ ceni, pa postoje njihove

mk , k→∞ 100k

µ = lim

m′k . k →∞ 100k

µ′ = lim

Pritom, oˇ cito je µ ≤ µ′ , ali u opˇstem sluˇcaju ne vaˇzi jednakost ovih graniˇcnih vrednosti. Broj µ naziva se unutraˇsnja , a broj µ ′ spoljaˇsnja mera ˇ povrˇsi Φ (u Zordanovom smislu). Ako je µ = µ′ , figura Φ je merljiva u ˇ smislu Zordana i za nju, dakle, postoji sistem merenja µ(·) koji zadovoljava ranije navedene aksiome. Iako nije svaka geometrijska ravna povrˇ s merljiva, moˇ ze se p okazati da iz gore opisane konstrukcije sistema merenja mere µ(·) proizilaze dobro nam poznate mere nekih geometrijskih figura u ravni. Teorema 6.3.14. Neka je Φ pravougaona povrˇs, pri ˇcemu su a i b mere susednih stranica te povrˇ si. Tada je mera povrˇ si Φ jednaka njihovom proizvodu, tj. vaˇ zi µ(Φ) = a · b. zi (stranice) AB Dokaz. Neka su ak i a ′k brojevi koji odgovaraju podeli duˇ

zadate pravougaone povrˇsi Φ = ABCD. Sliˇcno, sa b k i b ′k oznaˇcimo odgovarajuće brojevne vrednosti u podeli susedne stranice AD (slika 6.22). Tada za svaku mreˇzu ranga k ≥ 0 u podeli pravougaone povrˇsi ABCD, odnosno za ranije definisane brojeve mk i m′k vaˇze jednakosti mk = ak · bk Slika 6.22. i m′k = a ′k · b′k . S druge strane, imamo da je ak ≤ a′k i bk ≤ b′k , pa prelaskom na

91 ˇ Zordanove mere, odnosno graniˇcne vrednosti µ i µ′ imamo ak · bk ≤ µ′ = µ = lim k k→∞ 100 =

=

a′k · b′k (a + 2) · (bk + 2) ≤ lim k lim k k →∞ 100 k→∞ 100k lim

k →∞







ց0

ak · bk = µ. k →∞ 100k lim

 

ak · bk 2ak 2bk 4 + + + 100k 100k 100k 100k

ˇ Dakle, vaˇzi µ = µ ′ , tj. povrˇ s Φ je merljiva u Zordanovom smislu. Kako je, po definiciji sistema merenja duˇzi, ak , k →∞ 10k

a = lim

bk , k→∞ 10k

b = lim

zamenom u prethodnu jednakost dobijamo µ = µ ′ = a · b. Sliˇcno prethodnom tvrd¯enju, moˇze se pokazati Teorema 6.3.15. Neka je a duˇ zina proizvoljne stranice, a h njoj odgovarajuće visine u trougaonoj povrˇ si Φ = ∆ABC . Tada je mera ove povrˇ si a·h data jednakoˇsću µ(Φ) = .✷ 2

6.4

Vektori u geometriji

Klasa paralelograma, koju smo opisali u prethodnom delu, omogu´ cava nam da u geometriji ravni uvedemo po jam vektora koji, kao sˇto znamo, ima vaˇznu primenu i to ne samo u geometriji. Tom pojmu prethodi uvod¯enje jedne pomoćne relacije taˇ caka o kojoj će sada biti reˇ ci. Definicija 6.4.1. Ured¯en par taˇcaka (P, P ′ ) je ekvipolentan ( istoznaˇ can ) ′ ′ ′ ′ sa ured¯enim parom taˇcaka (Q, Q ) ako su duˇzi PQ, P Q , odnosno P P , QQ′ paralelne stranice paralelograma P QP ′ Q′ . Na osnovu prethodne definicije neposredno sledi da su ekvipolentni parovi taˇcaka (P, P ′ ) i (Q, Q′ ) podudarni, ˇstaviˇse, da su orijentisane duˇzi P P ′ i QQ′

92 podudarne i istosmerne (slika 6.23). Najzad, jednostavno se pokazuje da relacija ekvipolencije jeste relacija ekvivalencije definisana na skupu ured¯enih parova taˇcaka u ravni. Stoga, ona nam omogućava da skup svih takvih parova razloˇzimo na odgovarajuće klase ekvivalencije. Na taj naˇ cin, dolazimo do osnovnog pojma ove sekcije.

Slika 6.23.

Definicija 6.4.2. Klasu svih med¯u sobom ekvipolentnih parova taˇcaka ravni π nazivamo vektorom te ravni. Vektore, uobiˇ cajeno, obeleˇzavamo malim slovima, odnosno odgovara ju´ cim parom ekvipolentnih taˇ caka iznad kojih stavljamo znak strelice, na −−→ − → primer a = AB. U tom sluˇcaju taˇcku A nazivamo poˇcetnom, a taˇcku −−→ B krajnjom taˇckom vektora AB. S obzirom da vektor predstavlja klasu ekvipolentnih parova taˇ caka, ima smisla uvesti joˇ s neke pojmove koji ga preciznije karakteriˇsu. −−→ Definicija 6.4.3. Pravac vektora AB odred¯en je pravom-nosaˇcem AB , a smer polupravom sa poˇ cetkom u taˇ cki A koja sadrˇzi taˇcku B . Vektore koji imaju isti pravac nazivamo kolinearnim . U suprotnom, vektori su nekolinearni .

Definicija 6.4.4. Rastojanje izmed¯u poˇcetne taˇcke A i krajnje taˇcke B −−→ → vektora − a = AB nazivamo duˇ zinom ili intenzitetom datog vektora, a −−→ → − oznaˇ cavamo ga sa | a | = AB .

 

−−→ → Jasno je da intenzitet vektora − a = AB predstavlja, u stvari, ranije definisanu meru duˇzi-nosaˇca AB datog vektora. Odatle neposredno sledi da intenzitet vektora ima sve osobine mere duˇzi o kojima smo već govorili. → Specijalno, ako je duˇzina vektora − a jednaka nuli, onda je A = B, pa takav −→ − → vektor nazivamo nula vektorom i simboliˇcki obeleˇzavano sa 0 = AA. Jasno je da nula vektor ne odred¯uje nikakav pravac, niti smer. −−→ −−→ → → Definicija 6.4.5. Vektor − − a = BA je suprotan vektoru − a = AB . → → Na osnovu definiicije suprotnog vektora − − a , jasno ja da on i vektor − a → − → − imaju jednake intenzitete, tj. vaˇzi |− a | = | a | . Sada moˇzemo definisati i dve vrste tzv. linearnih operacija sa vektorima.

93

→ −−→ −−→ − → Definicija 6.4.6. Neka su − a = AB i b = BC dva vektora iste ravni. Tada, − → → − −→ → → → → vektor − c = AC nazivamo zbirom vektora − a i b , u oznaci − c = − a + b. → −−→ −−→ − → Nije teˇsko dokazati da zbir dva vektora − a = AB i b = BC ne zavisi od poloˇzaja taˇcaka A,B, C . Zaista, ako je A ′ ma koja druga taˇcka, a B ′, C ′ ta− → → ˇcke takve da je − a = A′ B ′ i b = −−′ →′ B C , orijentisane duˇzi AB i A ′ B ′ , odnosno BC i B ′ C ′ biće istosmerne podudarne (slika 6.24). Na osnovu toga sledi da su podudarne i istosmerne orijentisane duˇzi AC i A′ C ′ , jer je −→ −−→ −−→ −−→ −−→ AC = AB + BC = A′ B ′ + B ′C ′ −−→ = A′ C ′ . Neka od najvaˇ znijih svojstava operacije sabiranja vektora mogu se iskazati narednom teoremom, koju Slika 6.24. navodimo bez dokaza: → → − → Teorema 6.4.1. Za svaka tri vektora − a, b ,− c vaˇze sledeće jednakosti:

→ − − → → − → a + b = b +− a ; → − → − → → → → (ii) − a +( b +− c ) = (− a + b ) + − c ; → − − → → → → (iii) − a + 0 = 0 +− a = − a ; − → → → (iv) − a + (−− a ) = 0 . (i)

Sem, operacije sabiranja, na skupu vektora moˇze se definisati i operacija mnoˇzenja vektora brojem (skalarom).

→ Definicija 6.4.7. Neka je − x proizvoljan vektor i k ∈ R. Proizvod vektora → − − → → ce uslove: x brojem k jeste vektor y = k − x koji zadovoljava slede´ → (i) Intenzitet vektora − y jednak je proizvodu iz apsolutne vrednosti broja − → k i intenziteta vektora a , tj. |y | = | k| · |x|. → → (ii) Vektor − y je kolinearan sa vektorom − x , pri ˇcemu su ova dva vektora istog smera ako je k > 0 , odnosno suprotnog smera za k < 0 . Na osnovu definicije operacije mnoˇzenja vektora brojem neposredno sledi

94

− → → Teorema 6.4.2. Neka su − a i b proizvoljni vektori i k, k1 , k2 ∈ R realni brojevi. Tada je

(i) (ii)

→ − → − → → k(− a + b ) = k − a + k b ; → → → (k + k )− a = k − a +k − a ; 1

2

1

2

− → (iii) (k1 k2 )→ a = k 1 (k2 − a ); → − − → (iv) 1 · a = a .

6.5

Konstrukcije lenjirom i ˇ sestarom

Posbno mesto u gometriji zauzimaju konstruktivni zadaci , tj. problemi gde se zahteva da se pomoću lenjira i ˇsestara konstruiˇsu geometrijske figure koje zadovoljavaju neke unapred zadate osobine. Svaka konstrukcija sastoji se od niza jednostavnijih, tzv. osnovnih konstrukcija koje neposredno slede na osnovu dobro poznatih geometrijskih ˇcinjenica. Osnovne konstrukcije, u principu, moˇ zemo podeliti na dve grupe:

• Osnovne konstrukcije koje mogu realizovati lenjirom , gde spadaju 1. konstrukcija prave kroz dve razne zadate taˇ cke; 2. konstrukcija poluprave sa zadatom poˇcetnom i joˇs jednom svojom taˇckom; 3. konstrukcija duˇzi kojoj su date krajnje taˇcke.

• Osnovne konstrukcije koje se realizuju ˇsestarom su 1. konstrukcija kruga kome je zadat centar i polupreˇcnik; 2. konstrukcija kruˇznog luka kome su dati centar i dve krajnje taˇcke. Pored osnovnih, postoje neke jednostavnije konstrukcije koje takod¯e smatramo poznatim, pa ne proveravamo formalno njihovu ispravnost, ve´ c ih koristimo pri reˇsavanju konstruktivnih zadataka. Takve konstrukcije nazivamo elementarnim i od znaˇcajnih navodimo sledeće:

• konstrukcija simetrala (duˇzi i uglova); • konstrukcija paralelnih pravih, p olupravih i duˇzi; • konstrukcija normalnih pravih, polupravih i duˇzi;

95

• konstrukcija duˇzi (ugla) podudarne datoj duˇzi (uglu); • konstrukcija trougla kome se dati oni njegovi elementi koji su navedeni u stavovima o podudarnosti dva trougla. Opisaćemo sada naˇcin na koji se reˇsavaju problemi konstrukcije sloˇzenijih geometrijskih figura. Primetimo da sve konstruktivne zadatke, u formalnom smislu, moˇzemo opisati iskazom: Konstruisati figuru Φ koje zadovoljava uslove A.

Tada se sam postupak reˇsavanja konstruktivnih zadataka sastoji iz sledeće ˇcetiri etape: I Analiza Opisivanje mogućnosti da se dod¯e do reˇsenja zadatka, odnosno svih potrebnih uslova koji će biti koriˇscéni u njegovom reˇsavanju. U ovoj etapi smatramo da je zadatak reˇsen, tj. da postoji figura Φ koja zadovoljava uslove A. Ove uslove najˇceˇsće transformiˇsemo u skup uslova B koji omogućavaju konstrukciju figure Φ, a da pritom vaˇ zi A =⇒ B . II Konstrukcija Ovde, kao ˇsto smo već naveli, polazeći od zadatih elemenata i primenom konaˇcnog broja elementarnih konstrukcija crtamo traˇzenu geometrijsku figuru. Pritom, sam postupak konstrukcije, odnosno svaki od njenih ”koraka”, treba detaljno obrazloˇziti. III Dokaz Ovo je etapa u kojoj treba formalno pokazati da konstruisana geometrijska figura Φ zadovoljava uslove B , odnosno uslove A koji su dati u zadatku. Dakle, na formalan i logiˇcki strog naˇcin pokazujemo da je taˇcna implikacija A =⇒ B . IV Diskusija Razmatramo sve moguće pretpostavke koriˇscéne u samoj konstrukciji. Samim tim, precizno navodimo sve uslove pod kojima zadatak ima reˇ senja (i koliko njih), odnosno uslove kada zadatak nema reˇsenja. Naravno, sama egzistencija i broj reˇsenja datog problema prevashodno zavisi od zadatih

96 uslova A . Kao ilustraciju prethodno opisanog postupka reˇ savanja konstruktivnih problema i zadataka, navodimo nekoliko karakteristiˇcnih primera. Primer 6.5.1. Iz proizvoljne taˇcke A koja je izvan kruga k = K (O, r) konstruisati tangente na dati krug. Reˇ senje: I Analiza: Pretpostavimo da su iz taˇcke A konstruisane tangente t1 i t2 na kruˇznicu k. Neka su, dalje, P i Q taˇcke dodira ovih tangenti sa krugom, a S srediˇste duˇzi OA (slika 6.25). Kako su ∡ OP A i OQA pravi uglovi, njihova temena pripadaju krugu l ca centrom u taˇcki S i polupreˇcnikom 1 OA. (Zaˇsto?) Dakle, dodirne taˇcke P, Q tangenti predstavljaju taˇcke pre2 seka krugova k i l, pa su prave t 1 , t2 jednoznaˇcno odred¯ene parovima taˇcaka P, A, odnosno Q, A.

Slika 6.25.

II Konstrukcija: Na jpre konstruiˇsemo medijatrisu s duˇzi OA, pri ˇcemu sa S oznaˇcimo presek medijatrise sa datom duˇzi. Zatim konstruiˇsemo krug l = K (S, 21 OA) i sa P , Q oznaˇcimo preseˇcne taˇcke krugova k i l (ukoliko one postoje). Najzad, kroz taˇcke P , A konstruiˇsemo pravu t 1 , a kroz taˇcke Q, A pravu t 2 . III Dokaz: Za duˇz OA, prema teoremi 4.4.2 postoji jedinstvena medi jatrisa s, kao i srediˇste S . Kako je taˇcka A izvan kruga k, to je r < OA, pa za zbir polupreˇcnika krugova k i l vaˇzi 1 1 r + OA < 2 OA = OA. 2 2

97 Odavde sledi (videti zadatak 5.11) da krugovi k i l imaju taˇcno dve preseˇcne taˇcke P i Q. Stoga kroz taˇcku A postoje taˇcno dve prave t1 , t2 koje sadrˇze ove taˇ cke. Najzad, na osnovu analize i konstrukcije sledi da su ∡ OP A i OQA pravi uglovi, tj. prave t1 i t2 zaista predstavlja ju traˇzene tangente koje zadovoljavaju uslove zadatka. IV Diskusija: Na osnovu prethodnog dokaza jasno je da, pri zadatim uslovima, zadatak uvek ima jedinstveno reˇsenje. ✷

Primer 6.5.2. Konstruisati ∆ABC ako su poznati sledeći njegovi elementi: α - ugao kod temena A, hb - visina iz temena B , tc - teˇziˇsna duˇz iz temena C ;

Reˇ senje:

I Analiza: Na slici 6.26 prikazan je trougao ABC sa zadatim elementima. Primetimo da se dati ugao ∡ A = α moˇ ze konstruisati. S druge strane, teme B nalazi se na rastojanju hb od stranice AC , tj. pripada pravoj m koja je paralelna sa AC i takod¯e se nalazi na istom rastojanju hb od prave AC . Najzad, teme C pripada krugu k ˇciji je centar srediˇste S duˇzi AB, a polupreˇcnik zadata duˇz tc . Na osnovu ovih elemenata moguće je konstruSlika 6.26. isati traˇzeni trougao. II Konstrukcija: Konstruiˇsimo na jpre ∡ pAq = α, kao i pravu n upravnu na polupravu Aq u taˇcki A. Na polupravoj An, s one iste strane prave q s koje se nalazi poluprava Ap, konstriuˇsemo duˇz AD = hb . Zatim, kroz taˇcku

98

D konstruiˇsemo pravu m  q koja mora seći pravu p u neko j taˇcki B. (Zaˇsto?) Sada moˇzemo konstruisati srediˇste S duˇzi AB , a zatim i krug k = K S, t2 . Sa C oznaˇ cimo neku od preseˇcnih taˇcke kruga k i poluprave Aq (ukoliko one postoje). Na ovaj naˇcin, konstruisan je ∆ABC , kao na slici 6.27.

  c

Slika 6.27.

III Dokaz: Neposredno sledi na osnovu analize i konstrukcije, pa ga ostavljamo ˇcitaocu za samostalan rad. IV Diskusija: Da bi zadatak imao reˇsenja neophodno je da ugao α bude manji od opruˇzenog ugla. Ukupan broj reˇsenja tada zavisi od veliˇ cina duˇzi tc i AB . (Opiˇsite detaljno sve moguće sluˇcajeve koji ovde nastaju.) ✷

6.6

Zadaci za veˇ zbu

Zadatak 6.1. Dokazati da se izometrijskom transformacijom paralelne prave preslikavaju u paralelne prave. Zadatak 6.2. Ako su p, q,r prave jedne iste ravni takve da je p  q i r⊥ p, dokazati da je tada r⊥q . Zadatak 6.3. Dokazati da srediˇsta stranica bilo kojeg ˇcetvorougla predstavljaju temena nekog paralelograma ili se nalaze na jednoj pravoj. Zadatak 6.4. Neka je H ortocentar trougla ABC i K,L,M,N redom sdrediˇsta AB, AC, HB, HC . Dokazati da je tada ˇcetvorougao KLMN pravougaonik.

99 Zadatak 6.5. Dokazati da u proizvoljnom trouglu srediˇsta stranica, podnoˇzja visina i srediˇsta duˇzi odred¯enih ortocentrom i temenima tog trougla pripadaju jednom istom krugu.4 Zadatak 6.6. Ako su P i Q srediˇsta stranica BC i CD paralelograma ABCD, dokazati da duˇzi AP i AQ dele dijagonalu BD datog paralelograma na tri podudarne duˇzi. Zadatak 6.7. Neka su P, Q, R srediˇsta stranica AB, BC, CD paralelograma ABCD. Ako prave DP i BR seku duˇz AQ u taˇckama K i L, dokazati da 2 je K L = AQ. 5 Zadatak 6.8. Ako su M i N srediˇsta krakova AD i BC trapeza ABCD (AB > CD), a P i Q srediˇsta njegovih dijagonala dokazati da su taˇcke M,N,P,Q kolinearne, kao i da je P Q = 21 (AB − CD). Zadatak 6.9. Neka je P srediˇste osnovice BC jednakokrakog trougla ABC i Q podnoˇzje normale iz taˇcke na krak AC tog trougla. Ako je S srediˇste duˇzi P Q, dokazati da je AS ⊥BQ. Zadatak 6.10. Ako je H ortocentar trougla ABC , dokazati da su polupreˇcnici krugova opisanih oko trouglova HBC , HAC i HAB med¯usobno jednaki. Zadatak 6.11. Ako je CD visina nad hipotenuzom pravouglog trougla ABC , a M i N srediˇsta duˇzi CD i B D, dokazati da je AM ⊥CN . Zadatak 6.12. U jednakostraniˇcnom trouglu ABC iz proizvoljne taˇcke M ∈ BC povuˇcene su paralele MP  AB do preseka P ∈ AC , kao i MQ  AC do preseka Q ∈ AB. Dokazati da je AP + AQ = BC . Zadatak 6.13. Neka je S centar kruga upisanog u ∆ABC . Ako je s prava koja sadrˇzi taˇcku S , paralelna je sa pravom BC i seˇce stranice AB i AC tog trougla redom u taˇckama M i N , onda je B M + CN = M N . Dokazati. Zadatak 6.14. Neka su P,Q,R proizvoljne taˇcke na stranicama BC , AC i AB trougla ABC . Dokazati da se krugovi opisani oko trouglova AQR, P BR i P QC seku u jednoj taˇcki (Mikelova taˇcka). Zadatak 6.15. Dokazati da podnoˇzja normala iz proizvoljne taˇcke opisanog kruga trougla na prave odred¯ene stranicama tog trougla pripadaju jednoj pravoj.5 4 5

caka. Ovaj krug naziva se Ojlerov krug ili krug devet taˇ Ova prava naziva se Simpsonova prava.

100 Zadatak 6.16. U pravouglom trouglu ABC nad katetom AC kao preˇcnikom konstruisan je krug koji seˇ ce hipotenuzu AB u taˇcki E . Ako tangenta kruga u taˇcki E seˇce katetu BC u taˇcki D, dokazati da je trougao BDE jednakokrak. Zadatak 6.17. Ugao izmed¯u dve seˇ cice koje se seku van kruga jednak je polurazlici centralnih uglova nad tetivama odred¯enih krakovima tog ugla. Dokazati. Zadatak 6.18. Ugao izmed¯u dve tangente nekog kruga jednak je polurazlici centralnih uglova nad lukovima odred¯enih krakovima tog ugla. Dokazati. Zadatak 6.19. Neka su D i E proizvoljne taˇcke p olukruga konstruisanog nad duˇzi AB kao preˇcnikom. Ako je F presek pravih AD i B E , a G presek pravih AE i B D, dokazati da je F G⊥AB. Zadatak 6.20. U taˇcki P konstruisane su tangente P B i P D kruga k(0, r) sa dodirnim taˇckama B i D. Ako prava P O seˇce krug k u taˇckama A i C tako da je B (P,A,C ), dokazati da je ∡ BC D = ∡ P BD, kao i da je poluprava BA bisektrisa ugla ∡ P BD. Zadatak 6.21. Ako je ABCD tetivni ˇcetvorougao, E ortocentar trougla ABD i F ortocentar trougla ABC , dokazati da je ˇcetvorougao CDEF paralelogram. ˇ Zadatak 6.22. Cetvorougao cki ABCD upisan je u krug sa centrom u taˇ O. Ako su dijagonale AC i BD tog ˇcetvorougla med¯usobno normalne i M 1 podnoˇzje normale iz taˇcke O na pravu AD, dokazati da je OM = BC . 2 Zadatak 6.23. Neka su A1 , B1 , C 1 srediˇsta stranica BC , AC , AB trougla ABC . Dokazati sledeće jednakosti: −−−→ −−→ (a) 2B1 A1 = AB (teorema o srednjoj liniji trougla); −−→ −−→ −−→ − → (b) AA1 + BB 1 + CC 1 = 0 ; −−→ −−→ −−→ −−−→ −−−→ −−−→ (c) MA + MB + MC = MA1 + MB1 + MC 1 , ako je M proizvoljna taˇcka. Zadatak 6.24. Neka je O centar opisanog kruga, a H ortocentar trougla ABC . Dokazati da vaˇ zi: −→ −−→ −−→ −−→ (a) OA + OB + OC = OH (Hamiltonova teorema); −→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ (b) 2(OA + OB + OC ) = AH + BH + CH .

101 Zadatak 6.25. Primenom vektora pokazati da su centar opisanog kruga O, teˇziˇste T i ortocentar H trougla ABC kolinearne taˇcke i da vaˇzi H T = 2T O.6 Zadatak 6.26. Ako je ˇcetvorougao ABCD trapez u kome je AB  CD −−→ −−→ −−→ i M, N srediˇsta stranica AD, BC , dokazati da je (AB + DC ) = 2MN (teorema o srednjoj liniji trapeza). Zadatak 6.27. Konstruisati krug k = K (O, r) koji sadrˇzi date taˇcke M i N , a centar mu se nalazi na datoj pravoj p. Zadatak 6.28. Konstruisati zajedniˇcke tangente dva kruga. Zadatak 6.29. Konstruisati skup srediˇsta svih tetiva datog kruga jednakih datoj duˇzi a. Zadatak 6.30. Konstruisati skup temena svih uglova jednakih datom konveksnom uglu α, ˇciji krakovi dodiruju dati krug. Zadatak 6.31. Konstruisati kvadrat ABCD ako su date taˇcke P,Q,R,S koje pripadaju redom stranicama AB,BC,CD, AD tog kvadrata. Zadatak 6.32. Konstruisati trapez ABCD (AB  CD ∧ AB > CD) ako su dati kraci BC = c, AD = d, srednja linija MN = m i razlika osnovica AB − CD = a − b. Zadatak 6.33. Neka su A, B,C tri nekolinearne taˇcke. Konstruisati taˇcku D tako da ˇcetvorougao ABCD bude i tetivan i tangentan. Zadatak 6.34. (”veliki zadatak”) Za proizvoljan ∆ABC (AC > AB) konstruisati: (a) krug k(S, r) upisan u dati trougao koji dodiruje stranice BC = a, CA = b i AB = c redom u taˇckama P,Q, R; (b) krug l(O, ρ) opisan oko ∆ABC ; (c) spolja upisane krugove ki = K (S i , ri ), koji dodiruju prave odred¯ene stranicama i ∈ {a,b,c} redom u taˇckama P i , Q i i R i . Ako je p = 21 (a + b + c) poluobim trougla ABC , pokazati da je tada: (i) AQa = AR a = p; (ii) AQ = AR = p − a; (iii) QQ a = RR a = a; (iv) P P a = b − c;

(v) P b P c = b + c;

(vi) r a + rb + rc = 4R + r;

(vii) Srediˇste duˇzi B C je ujedno i srediˇste duˇzi P P a i P b P c . 6

Prava koja sadrˇzi ove tri taˇcke obiˇcno se naziva Ojlerova prava.

102 Zadatak 6.35. Konstruisati ∆ABC ako su dati sledeći njegovi elementi: (i) ugao ∡ A = α, stranica BC = a i zbir stranica AB + AC = b + c; (ii) ugao ∡ A = α, stranica BC = a i zbir visina h b + hc = d; (iii) stranica BC = a, razlika ostalih dveju stranica b − c (b > c) i polupreˇcnik upisanog kruga r; (iv) stranica B C = a, razlika uglova ∡ B − ∡ C = δ i razlika stranica b − c; (v) razlika uglova ∡ B − ∡ C = δ , razlika stranica b − c i polupreˇcnik upisanog kruga r; (vi) razlika stranica b − c, polupreˇcnik upisanog kruga r i polupreˇcnik spolja upisanog kruga r a ; (vii) stranica a, zbir stranica b + c i polupreˇcnik opisanog kruga ρ; (viii) ugao ∡ A = α, zbir stranica b + c i polupreˇcnik opisanog kruga ρ; (ix) ugao ∡ A = α, stranica BC = a i polupreˇcnik spolja upisanog kruga rb ; (x) zbir stranica b + c i polupreˇcnici spolja upisanih krugova r b i rc ; (xi) ugao ∡ A = α, polupreˇcnik upisanog kruga r i duˇz sA kao deo simetrale ∡ A koji pripada trouglu; (xii) ugao ∡ A = α, polupreˇcnik sp olja upisanog kruga r a i duˇz s A kao deo simetrale ∡ A koji pripada trouglu.

Euklidska Geometrija

Recommend Documents