UNIDAD 4. INTRODUCCIÓN AL PANDEO MECÁNICA DE MATERIALES SÉPTIMO SEMESTRE
4.1 INTRODUCCIÓN Al principio de la materia se estableció que la selección de elementos estructurales se basa en tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos de algunos elementos se han estudiado, en esta unidad se tomará en cuestión la posible inestabilidad de los sistemas estructurales.
Como ejemplo intuitivo podemos considerar un popote.
4.1 INTRODUCCIÓN El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de compresión: placas delgadas, completamente capaces de resistir cargas de tensión, resultan muy ineficientes para transmitir compresión; vigas angostas sin arriostramiento lateral, pueden doblarse lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Estos problemas son de primordial importancia para el diseño en ingeniería, además, por lo general los fenómenos de pandeo o arrugamiento que se observan en miembros cargados, ocurren más bien repetinamente.
4.1 INTRODUCCIÓN El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista anterior está fuera del alcance de esta materia. Aquí solo se considerará el problema de la columna. Una columna la podemos definir como un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto de su longitud, para que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperla por aplastamiento.
4.1 INTRODUCCIÓN Esto se diferencia a un poste corto sometido a compresión, el cual, aunque esté cargado excéntricamente, desprecia una flexión lateral despreciable.
Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor. Las columnas se suelen dividir en dos grupos: Largas e intermedias.
4.1 INTRODUCCIÓN Esto se diferencia a un poste corto sometido a compresión, el cual, aunque esté cargado excéntricamente, desprecia una flexión lateral despreciable.
Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor. Las columnas se suelen dividir en dos grupos: Largas e intermedias, aunque en ocasiones a los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo.
4.1 INTRODUCCIÓN La diferencia entre los tres grupos viene determinada por su comportamiento. Las columnas largas se rompen por su pandeo o flexión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo; y las cortas se rompen por aplastamiento.
4.1 INTRODUCCIÓN Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y fabricación, así como la inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga.
4.1 INTRODUCCIÓN La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada e, con respecto al centro de gravedad en una rección cualquiera m-n. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto cargado excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por el esfuerzo sobrepuesto de flexión y compresión.
4.1 INTRODUCCIÓN Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible, con un valor relativamente pequeño de carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande acompañado de un esfuerzo de compresión directo despreciable.
4.1 INTRODUCCIÓN Cuando aumenta la longitud de la columna, disminuye la importancia y efectos de los esfuerzos de compresión directos y aumenta correlativamente el esfuerzo de flexión. Por desgracia en longitudes intermedias no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción en la que cada uno contribuye al esfuerzo total.
4.2 CARGA CRÍTICA Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones. Apliquemos una fuerza horizontal H en su punto medio, de manera que produzcan flexión según la dirección de máxima flexibilidad.
4.2 CARGA CRÍTICA Como los esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentarán variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, y haciendo que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la deflexión δ en el centro no varíe.
4.2 CARGA CRÍTICA En estas condiciones, el momento flexionante en el centro es:
H M 2
L P 2
Y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse:
M PCR
4.2 CARGA CRÍTICA Entonces, como se indica en la figura, PCR es la carga crítica necesaria para mantener la columna deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre este valor crítico hará que aumente la deflexión δ, lo que incrementará M, con lo cual volverá a aumentar δ y así sucesivamente hasta que la columna se rompa por pandeo.
4.2 CARGA CRÍTICA Por el contrario, si P disminuye ligeramente por debajo de su valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace disminuir M, que vuelve a disminuir la deflexión y así sucesivamente, y la columna termina por enderezarse por completo.
4.2 CARGA CRÍTICA Así pues, la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se deforme y quede pandeada.
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS En el año 1757, el matemático Leonhard Euler realizó una análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica. Ahora se sabe que este análisis solamente es válido hasta esfuerzos que alcanzan el límite de proporcionalidad. Cabe mencionar que en tiempos de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad.
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS La figura muestra la línea eje de una columna en equilibrio bajo la acción de la carga crítica P. Se supone que la columna tiene los extremos articulados, de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima δ es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia apreciable entre la longitud inicial y final de la columna.
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial de la elástica de una viga: 2
d y EI 2 M P( y ) Py dx
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS Esta ecuación no se puede integrar directamente, por lo que existen dos métodos para resolverla. 2
d y EI 2 M P( y ) Py dx
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS Aplicando métodos matemáticos, tenemos que la ecuación de Euler para el valor de carga crítica de una columna larga es:
EI Pn L2
2
2
Donde el valor de n, depende de las condiciones de apoyo de la columna.
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS El valor de n=0 no tiene sentido, ya que haría que la fuerz P=0. Para los demás valores de n la columna se pandea en la forma indicada en la figura. De las tres formas presentadas, la más importante es la a), ya que las demás ocurren únicamente cuando la columna tiene sujeciones laterales.
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS Por lo tanto, la carga crítica para una columna articulada en sus extremos es:
EI P 2 L
2
Para columnas con otras condiciones de sujeción en sus extremos, se puede expresar la carga crítica en función de la ecuación anterior, ya que es considerada como una ecuación fundamental.
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS Así por ejemplo, en una columna doblemente empotrada, por simetría, los puntos de inflexión están en los cuartos del largo, por lo cual podemos decir que en estos puntos, EL MOMENTO FLEXIONANTE ES NULO.
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS Por lo tanto, si vemos la imagen, podemos deducir que la mitad central de la columna doblemente empotrada equivale a una columna articulada en sus extremos, de longitud Le=L/2. Introduciendo este valor en la ecuación general, la carga crítica para este tipo de columna es: EI 2 EI 2 EI 2 P 4 2 2 L2 Le L 2
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS Sabiendo esto, es posible asegurar que la columna doblemente empotrada es 4 veces más resistente que la doblemente articulada.
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS Otro tipo de columna que puede presentarse es la tipo mástil (empotrada en un extremo y libre en el otro). La carga crítica de este tipo de columna y la de doblemente empotrada son iguales, pero teniendo en cuenta que esta última es 4 veces más larga que la primera tenemos:
EI 2 EI 2 1 EI 2 P4 4 2 2 2 ( 4 L ) 4 L Le
4.3 FÓRMULA DE EULER PARA COLUMNAS LARGAS O ESBELTAS Otro tipo es la empotrada en un extremo y articulada en el otro. El punto de inflexión aparece, como puede demostrarse, a 0.7L del extremo articulado, por lo que introduciendo en la ecuación del caso fundamental esa longitud, da como valor de carga crítica:
EI 2 EI 2 EI 2 P 2 2 2 (0.7 L) L2 Le
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Una columna siempre tenderá a pandearse en la dirección en la cual es más flexible.
Como la resistencia a la flexión varía con el momento de inercia, el valor de I en la fórmula de Euler es siempre el menor momento de la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta.
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus dimensiones y el módulo de elasticidad. Por este motivo, dos barras de idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero suave, se pandearán bajo la misma carga crítica, ya que aunque sus resistencias son muy diferentes tiene prácticamente el mismo módulo elástico. Así pues, para aumentar la resistencia al pandeo lo que realmente debemos aumentar es el momento de inercia de la sección.
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produce en el pandeo no debe exceder el límite de proporcionalidad. Para determinar este esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia I por Ar2, donde A es el área de la sección recta y r el radio de giro mínimo, por lo que tenemos: Cabe señalar que la L adoptará valores EI 2 EAr 2 2 P E 2 según la condición de P 2 P 2 2 L L A (L / r) apoyo de la columna.
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER El valor de P/A es el esfuerzo medio en la columna cargada con su carga crítica, y se llama esfuerzo crítico. Su límite superior es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad. La relación L/r se llama esbeltez mecánica, o simplemente esbeltez de la columna.
P E 2 A (L / r)2
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Por conveniencia, se definen a las columnas largas o muy esbeltas aquellas a las que se puede aplicar la fórmula de Euler. La esbeltez mínima, que fija el límite inferior de la aplicación de la fórmula de Euler, se obtiene sustituyendo en la ecuación anterior los valores conocidos del límite de proporcionalidad y módulo elástico de cada material. Así pues, el límite mínimo de la esbeltez varía con el material.
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Por ejemplo, para un acero que tenga un esfuerzo en el límite de proporcionalidad de 2,040 kg/cm2, y un módulo de elasticidad de 2,040,000 kg/cm2 el límite mínimo de esbeltez mecánica con el que puede aplicarse la fórmula de Euler es: (2,040,000kg / cm 2 ) 2 L 10,000 2 2040kg / cm r L 100 r 2
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Por ejemplo, para un acero que tenga un esfuerzo en el límite de proporcionalidad de 2,040 kg/cm2, y un módulo de elasticidad de 2,040,000 kg/cm2 el límite mínimo de esbeltez mecánica con el que puede aplicarse la fórmula de Euler es: (2,040,000kg / cm 2 ) 2 L 10,000 2 2040kg / cm r L 100 r 2
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER Como se puede ver en la gráfica, en la parte punteada de la curva de Euler el esfuerzo que daría la carga de Euler excedería el límite de proporcionalidad, por lo que para L/r< 100 la fórmula no es aplicable.
4.4 LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER La gráfica muestra también que el esfuerzo crítico en una columna disminuye rápidamente cuando aumenta la esbeltez, por lo que al proyectar una pieza de este tipo, conviene que la esbeltez sea lo menor posible.
