RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES En mate matemá máti tica cas, s, se llam llama a núme númerro raci racion onal al a todo todo núme númerro que que ued uede e reresentarse como el cociente de dos números enteros !más recisamente, un ente entero ro " un natu natura rall osi ositi ti#o #o $% es deci decir, r, una una &rac &racci ci'n 'n comú común n a() a() con con numerador a " denominador ) distinto de cero* El t+rmino racional- alude a &racci'n o arte de un todo* El con.unto de los números racionales se denota or / !o )ien, en ne0rita de i1arra% que deri#a de cociente- !/uotient en #arios #arios idioma idiomas s euro euroeos eos%* %* Este con.un con.unto to de númer números os inclu" inclu"e e a los número números s enteros !%, " es un su)con.unto de los números reales !%* 2a escritura decimal de un número racional es, o )ien un núme úmero decimal 3nito, o )ien eri'dico* Esto es cierto no solo ara números escritos en )ase )ase $4 !siste !sistema ma decima decimal%, l%, tam)i+ tam)i+n n lo es en )ase )ase )inari )inaria, a, 5e6ade 5e6adecim cimal al o cualquier otra )ase entera* Rec7rocamente, todo número que admite una e6ansi'n 3nita o eri'dica !en cualquier )ase entera%, es un número racional* 8n número real que no es racional, se llama número irracional9 la e6ansi'n deci decima mall de los los núme número ros s irra irraci cion onal ales es,, a di&e di&ere renc ncia ia de los los raci racion onal ales es,, es in3nita no:eri'dica* En sentido estricto, número racional es el con.unto de todas las &racciones equi equi#a #ale lent ntes es a una dada dada99 de toda todas s ella ellas, s, se toma toma como como rer reres esen enta tant nte e can'nico can'nico de dic5o dic5o número número racional racional a la &racci'n &racci'n irreduci irreduci)le* )le* 2as &racciones &racciones equi equi#a #ale lent ntes es entr entre e s7 ;núme ;número ro raci racion onal al son son una clas clase e de equi equi#a #ale lenc ncia ia,, resultado de la alicaci'n de una relaci'n de equi#alencia so)re* N8
?4% no se ueden e6resar mediante una &racci'n de dos enteros con denominador no nulo9 tienen in3nitas ci&ras
decimales eri'dicas, tales como@ el número real lo0, cu"a trascendencia &ue mentada or Euler en el si0lo BIII* 2os números reales ueden ser descritos " construidos de #arias &ormas, al0unas simles aunque carentes del ri0or necesario ara los ro'sitos &ormales de matemáticas " otras más comle.as ero con el ri0or necesario ara el tra)a.o matemático &ormal* Durante los si0los BI " BII el cálculo a#an1' muc5o aunque carec7a de una )ase ri0urosa, uesto que en el momento no se considera)a necesario el &ormalismo de la actualidad, " se usa)an e6resiones como equeo-, l7mite-, se acerca- sin una de3nici'n recisa* Esto lle#' a una serie de arado.as " ro)lemas l'0icos que 5icieron e#idente la necesidad de crear una )ase ri0urosa ara la matemática, la cual consisti' de de3niciones &ormales " ri0urosas !aunque ciertamente t+cnicas% del conceto de número real*F En una secci'n osterior se descri)irán dos de las de3niciones recisas más usuales actualmente@ clases de equi#alencia de sucesiones de Cauc5" de números racionales " cortaduras de DedeGind* CONCEPTO Y C2ASI=ICACION DE =RACCION DECI
reresenta
cualquier
número
=racci'n comuesta@ &racci'n cu"o numerador o denominador !o los dos% contiene a su #e1 &racciones* Se0ún la escritura del denominador@ =racci'n equi#alente@ la que tiene el mismo #alor que otra dada@ =racci'n 5omo0+nea@ &racciones que tienen el mismo denominador@ =racci'n 5etero0+nea@ &racciones que tienen di&erentes denominadores@ =racci'n decimal@ el denominador es una otencia de die1@ con a un entero ositi#o " n un natural* =racci'n continua@ es una e6resi'n del tio@ Se0ún la escritura del numerador@ =racci'n unitaria@ es una &racci'n común de numerador $* =racci'n e0icia@ sistema de reresentaci'n de las &racciones en el Anti0uo E0ito en el que cada &racci'n se e6resa como suma de &racciones unitarias* =racci'n 0radual@ Otras clasi3caciones@ =racci'n como orcenta.e@ 8n orcenta.e es una &orma de e6resar un número como una &racci'n de $44, utili1ando el si0no orcenta.e H*=racci'n como ra1'n@ #+ase roorcionalidad " re0la de tres ara la relaci'n que mantienen un ar de números que ueden ro#enir de una comaraci'n* =racci'n arcial@ #+ase m+todo de las &racciones arciales ara reducir un cociente de olinomios* =racci'n irracional@ la que resenta al0ún radical en el denominador@ =racciones Equi#alentes 2as =racciones Equi#alentes tienen el mismo #alor, aunque are1can di&erentes* Estas &racciones son en realidad lo mismo@ $ K LPor qu+ son lo mismoM Porque cuando multilicas o di#ide a la #e1 arri)a " a)a.o or el mismo número, la &racci'n mantiene su #alor* 2a re0la a recordar es@ 2o que 5aces a la arte de arri)a de la &racci'n tam)i+n lo tienes que 5acer a la arte de a)a.o Por eso, estas &racciones son en realidad la misma@ $K Y en un di)u.o se #e as7@ $( ( (K Aqu7 5a" más &racciones equi#alentes, esta #e1 di#idiendo@ QFQ
$K $ F $ QFQ Si se0uimos di#idiendo 5asta que no odamos más, 5a)remos simli3cado la &racci'n !la 5emos 5ec5o la más simle osi)le%* Imortante@ 2as artes de arri)a " a)a.o de la &racci'n siemre de)en ser números enteros* 2as oeraciones que odemos 5acer son multilicar " di#idir !siemre las dos artes a la #e1%* Si sumamos o restamos un número arri)a " a)a.o, no tendremos una &racci'n equi#alente* El número que eli.as ara di#idir las dos artes no de)e de.ar nin0ún resto en las di#isiones*
