Facultad de Ingeniería Escuela de Industrias Ingeniería Civil Industrial
ICI2212 Modelos Estocásticos Profesor Claudio C. Araya Sassi Unidad 3: Proceso de Poisson
Agradecimientos al Dr. Pablo Miranda (PUCV)
Curso Período Verano, Enero de 2015
Distribución Exponencial Definición
,>0 − 0
Una v.a. continua se dice que posee una distribución exponencial con parámetro , si su función de densidad de probabilidad (fdp) está dada por:
<0 ≥0
La función de distribución acumulada (fda) dada por:
()
de una v.a. exponencial esta
()≤ − − − 1− ≥0 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Distribución Exponencial Definición
−
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Distribución Exponencial Esperanza
∞ −∞ ∞ −
Integrando por partes: Regla nemotécnica Una Vaca Vestida De Uniforme
,− , −−
Haciendo
y por lo tanto,
Finalmente, reemplazando y calculando queda:
∞ ∞ 1 − − Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Distribución Exponencial Función generadora de momentos La función generadora de momentos
()
de la distribución exponencial está dada por
∞ − < ()= 2 2 () =
Todos los momentos de anterior, por ejemplo:
pueden ahora ser obtenidos diferenciando la ecuación
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Distribución Exponencial Varianza La varianza de la fdp exponencial esta dada por:
() 2 1 1
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Distribución Exponencial Propiedades
> > > , ≥ 0
Una v.a. se dice que es sin memoria si
Si pensamos que es el tiempo de vida de algún instrumento, entonces la ecuación anterior establece que la probabilidad que el instrumento viva por al menos horas dado que ha sobrevivido horas es la misma que la probabilidad inicial que viva por al menos horas. En otras palabras, si el instrumento esta vivo al tiempo , entonces la distribución de la cantidad remanente de tiempo que sobrevive es la misma que la distribución del tiempo de vida original; esto es, el instrumento no recuerda que ya ha estado en uso por un tiempo .
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Distribución Exponencial Propiedades La condición en la ecuación anterior es equivalente a
o
>,> > > > > >
−(+) −−)
Puesto que la última ecuación es satisfecha cuando está distribuida exponencialmente (para , sigue que las variables aleatorias distribuidas exponencialmente son sin memoria.
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Distribución Exponencial Ejemplo Suponga que la cantidad de tiempo que uno gasta en un banco está exponencialmente distribuido con media 10 minutos, esto es,
1/10
.
a) ¿Cuál es la probabilidad que una cliente gastará más de 15 minutos en el banco?. b) ¿Cuál es la probabilidad que una cliente gastará más de 15 minutos en el banco dado que ella está aún en el banco después de 10 minutos?.
Solución
a) Si representa la cantidad de tiempo que la cliente gasta en el banco, entonces la primera probabilidad es sólo
> 15 − −/ ≈0,22 b)
> 5 − −/ ≈0,604 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Procesos de Conteo
,≥
Un proceso estocástico se dice que es un proceso de conteo si representa el número total de “eventos” que ocurren hasta el tiempo .
Ejemplos:
a) Si = número de personas que entran a una tienda en particular en o previo al tiempo , entonces es un proceso de conteo en el cual un evento corresponde a una persona que entra en la tienda. Note que si hiciéramos = número de personas en la tienda en el tiempo , entonces no sería un proceso de conteo (¿por qué no?).
,≥0
,≥0 ,≥0 ,≥0
b) Si decimos que un evento ocurre cada vez que un niño nace, entonces es un proceso de conteo cuando es igual al número total de personas que nacieron hasta el tiempo .
c) Si = número de goles que un jugador de fútbol dado marca hasta el tiempo , entonces es un proceso de conteo. Un evento de este proceso ocurrirá cada vez que el jugador de fútbol marque un gol. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Procesos de Conteo Por lo tanto, un proceso de conteo
i.
ii.
≥ 0. <, ≤ <, (,
debe satisfacer:
es un número entero.
iii. Si
entonces
Es decir,
i.
,≥0
Para intervalo
.
es un proceso no decreciente en el tiempo
es igual al número de eventos que ocurren en el
].
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Procesos de Conteo
,≥0
Si por ejemplo, denota el número total de llamadas recibidas en una central telefónica hasta el instante , para todo , una realización posible del proceso estocástico puede ser:
>0
Nt
6
Número de llamadas
5 4 3 2 1 0
Tiempo
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Procesos de Conteo Proceso de conteo con Incrementos Independientes
,≥0
Un proceso de conteo posee incrementos independientes si el número de eventos que ocurren en intervalos de tiempo disjuntos son independientes.
Ejemplo: •
10
El número de eventos que ocurren hasta el tiempo 10 (esto es, ) debe ser independiente del número de eventos que ocurren entre los tiempos 10 y 15 (esto es, ).
15 10
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Procesos de Conteo ¿El supuesto de incrementos independientes es razonable para los ejemplos anteriores a), b) y c) ? i.
Ejemplo a) razonable
ii.
Ejemplo b)
Cuando
≈ muy grande ⇒
≈ grande
existe mucha gente viva en el tiempo
⇓ ⇓
(N° nuevos nacimientos entre el tiempo y el tiempo
No parece razonable que
sea independiente de
⇓
, ≥ 0 no posee incrementos independientes
)
en el ejemplo b)
iii. Ejemplo c) debería ser justificado si creyéramos que las oportunidades del jugador de fútbol de anotar un gol hoy no dependen de “cómo le está yendo”. No debería ser justificado si creyéramos que esta en “alza” o tiene un “bajón”. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Procesos de Conteo Proceso de conteo con Incrementos Estacionarios Un proceso de conteo
,≥0
posee Incrementos Estacionarios si:
La distribución del número de eventos que ocurren en cualquier intervalo de tiempo depende sólo de la longitud del intervalo de tiempo.
En otras palabras, el proceso tiene incrementos estacionarios si: •
( , ( )) ( , ()) < >0
El número de eventos en el intervalo ] (esto es, tiene la misma distribución que el número de eventos en el intervalo ] (esto es, para todo ,y .
Esta distribución no depende del instante en que este intervalo comience o termine.
No depende de la ubicación exacta del intervalo en el tiempo.
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Procesos de Conteo Proceso de conteo con Incrementos Estacionarios
, ≅ ,
El proceso es estable a lo largo del tiempo (distribuciones)
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Definición de Proceso de Poisson Definición I de Proceso de Poisson El proceso de conteo , si:
,>0 0 0.
,≥0
se dice que es un Proceso de Poisson con tasa
i.
ii.
El proceso posee incrementos independientes.
iii. El número de eventos en cualquier intervalo de longitud esta distribuido Poisson con media . Esto es, para todo
, ≥0 − ! , ,,…
Note que sigue desde la condición (iii) que un proceso Poisson posee incrementos estacionarios y también que:
Que explica por qué es llamada la tasa del proceso. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Definición de Proceso de Poisson Definición La función
∙
se dice que es
ℎ 0 lim → ℎ (ℎ)
En otras palabras,
ℎ (función cero)
si
ℎ
se va a cero más rápido que .
Ejemplo 1
(ℎ) ℎ ℎ lim ℎ lim → → ℎ lim → ℎ 0 (ℎ) ℎ lim ℎ lim 1 1 ≠ 0 lim → ℎ → ℎ →
i.
La función
es
ii.
La función
no es
puesto que
puesto que
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Definición de Proceso de Poisson
Ejemplo 1
∙ (ℎ) g ∙ (ℎ) ∙ g ∙ ℎ (ℎ) lim (ℎ) lim (ℎ) 0 0 0 lim → ℎ → ℎ → ℎ ∙ (ℎ) g ∙ ∙ ℎ (ℎ) lim ℎ lim → → ℎ ∙ 0 0
iii. Si es puesto que
y
iv. Si
, entonces también lo es
v.
es
es
, entonces también lo es
. Esto se deduce
. Esto se deduce puesto que
Desde (iii) y (iv) se deduce que cualquier combinación lineal de funciones, cada una de las cuales es , es .
(ℎ) (ℎ)
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Definición de Proceso de Poisson Definición II de Proceso de Poisson El proceso de conteo , si:
,≥0
,>0 0 0. ℎℎ ≥ 12 ℎ ℎ (ℎ) i. ii.
iii. iv.
se dice que es un Proceso de Poisson con tasa
El proceso posee incrementos estacionario e independientes.
Propiedad de orden: Se asume que no tiene lugar de manera simultánea la llegada u ocurrencia de dos o más eventos.
… para intervalos de tiempo pequeños, la probabilidad de que ocurra un evento está dominada por un término lineal con h (con λ la tasa promedio de llegadas o de ocurrencias).
… las llegadas u ocurrencias se generan “uno a uno”
… la probabilidad de que ocurra más de un evento en un intervalo de tiempo pequeño es despreciable comparado con la probabilidad de que ocurra sólo uno. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Propiedades Proceso Poisson
Si un proceso de conteo {N(t), t ≥0} posee incrementos independientes, incrementos estacionarios y la propiedad de orden (con una constante o tasa λ), entonces el proceso es denominado un Proceso Poisson. Se puede demostrar que:
Recordemos que si una variable aleatoria posee una distribución Poisson, de parámetro α , entonces satisface:
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Propiedades Proceso Poisson
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Ejemplo Proceso Poisson Sea un sistema bancario con un proceso de llegadas que cumplen la propiedad de incrementos independientes y la propiedad de orden. • Entre 9:00 y 10:30 de la mañana llegan en promedio 200 personas por hora. • Entre 10:30 y 12:30 llegan 100 personas por hora. • Entre 12:30 y 14:00 llegan 300 personas por hora. • ¿podemos modelar el proceso de llegada como un Proceso Poisson?
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Ejemplo Proceso Poisson
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Ejemplo Proceso Poisson
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Distribuciones de Tiempo entre Llegadas y Espera 6 Número de eventos
Nt
5 4 3 2 1 0 T1
T2
T4
T3
T5
Tiempo (t)
S1 S2 S3 S4 S4 Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Distribuciones de Tiempo entre Llegadas
1 é
Considere un proceso de Poisson, y sea el tiempo del primer evento
Además, para sea el evento.
La secuencia llegadas.
Por ejemplo, si y , entonces el primer evento del proceso de Poisson habría ocurrido en el tiempo 5 y el segundo en el tiempo 15.
>1, é
el lapso de tiempo entre el
,1,2,…
.
y
es llamada la secuencia de tiempos entre
5 10
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Distribuciones de Tiempo entre Llegadas
Queremos determinar ahora la distribución de
Para realizar esto, primero notamos que el evento toma lugar si y solo si ningún evento del proceso de Poisson ocurre en el intervalo y así,
Por lo tanto,
Sin embargo,
.
> [0,] − − − > 0 ! 0! 1/ > > > 0 (, ] 0 (,] − 1/ tiene una distribución exponencial con media
. Ahora,
Incrementos independientes Incrementos estacionarios
Por lo tanto, concluimos que es también una variable aleatoria exponencial con media y, además, que es independiente de . Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Distribuciones de Tiempo entre Llegadas Proposición
,1,2,……
son variables aleatorias continuas exponencial independientes e idénticamente distribuidas con media . El proceso no tiene memoria .
1/
Intuitivamente, dada la pérdida de memoria (incrementos independientes), el tiempo entre dos eventos consecutivos posee la misma distribución que el tiempo hasta que ocurre el primer evento.
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Distribuciones de Tiempo entre Llegadas Ejemplo 2
()
Supongamos que es un proceso de Poisson que cuenta el número de veces que se ha remplazado la ampolleta de cierta lámpara. Si la primera ampolleta que se instaló en la lámpara lleva unidades de tiempo funcionando correctamente, ¿Cuánto tiempo más funcionará correctamente la ampolleta? Sea Y esta variable aleatoria.
> > / > > ∧ >> > > −(+) − − Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Distribuciones de Tiempo entre Llegadas Ejemplo 2 La probabilidad de que la ampolleta falle en las próximas
< ≤ ≤ / > > − − 1()
unidades de tiempo es:
En general, si es una v.a. que mide la vida de un cierto sistema, y asumimos que tiene una función de distribución acumulada (fda) de y función de densidad de probabilidad (fdp) , la probabilidad de que falle en las próximas unidades de tiempo es:
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Tasas de Falla Definición
de falla () Para una v.a.
(que mide la vida de un sistema), con como:
y
se define la tasa
1() .
En el caso de la distribución exponencial
Casos en que la tasa es variable
Proceso con desgaste o envejecimiento: tasa de falla creciente (Ejemplos)
Proceso de aprendizaje: tasa de falla será decreciente (Ejemplos)
¿Existen casos en que puede ser decreciente en un cierto rango y creciente en otros?
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Tasas de Falla Si la tasa de fallas durante la infancia y la vejez del equipo pueden ser aproximada por funciones lineales, y constante durante la madurez:
1 bt (t ) c(t t t ) b u
para 0 t tb para tb t tu para t tb tu
Donde:
t b
a b
c tan
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Tasas de Falla Analizar la evolución de la tasa de falla permite identificar la distribución a considerar para un proceso específico. Por ejemplo veamos la distribución Weibull (una generalización de la exponencial):
f (t ) t
1
e
t
, ,
0, t 0
La función tasa de falla es:
r (t ) t 1
Casos: 1. 2. 3.
1 ⇒ ⇒ ⟹ tasa de falla función exponencial > 1 ⇒ ⇒ 0 < < 1 ⇒ ⇒ Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Tasas de Falla Función tasa de falla para la Distribución Weibull con
1
.
4.0
3.5
3.0
2.5 a l l a f e d a s a T
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Tiempo Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Tasas de Falla Función tasa de falla para la Distribución Gamma con
1
.
0.9 0.8 n
0.7 0.6 n
a l l a f e d a s a T
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0
1
2
3
4 5 Tiempo
6
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7
8
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Distribuciones de Tiempos de Arribo o Espera
,1,2,……
é
es el tiempo de arribo del evento, también llamado tiempo de espera hasta el evento. Se puede ver que
é , n ≥ 1 =
Y por lo tanto, se deduce de la proposición anterior y de la suma de v.a. exponenciales que posee una distribución gamma con parámetros y .
Esto es, la densidad de probabilidad de
− () − 1 ! ,
esta dada por
≥0
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Distribuciones de Tiempos de Arribo o Espera
é
Esto es,
Por lo tanto,
La ecuación anterior puede también ser derivada notando que el evento ocurrirá previo a o en el tiempo si y sólo si el número de eventos que ocurren hasta el tiempo son al menos .
≥ ⟺ ≤
∞ () ≤ () ≥ − ! = Lo cual, diferenciando produce ∞ ∞ − () () − − ! 1 ! = = ∞ ∞ − − () () () − − − 1 ! 1 ! ! =+ = − () −
1!
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Distribuciones de Tiempos de Arribo o Espera Ejemplo 3 Suponga que gente que inmigra dentro de un territorio a una tasa Poisson día.
1
por
a) ¿Cuál es el tiempo esperado hasta que el décimo inmigrante llegue? b) ¿Cuál es la probabilidad que el lapso de tiempo entre el décimo y el undécimo arribo exceda los dos días?
Solución a)
b)
10 í > 2 − − ≈0.133. Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Otras propiedades de los Procesos de Poisson Propiedad de Agregación
, ,…., , 1,2,…,, Sea
, ⋯ , ( ⋯ )
procesos de Poisson independientes a tasas cada uno de estos procesos cuenta el número de eventos del tipo que ocurren hasta el tiempo t . Si definimos un nuevo proceso de conteo proceso también es Poisson a tasa eventos de cualquier tipo que ocurre hasta el tiempo t .
este y contará el número de
⋮⋮ Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Otras propiedades de los Procesos de Poisson Propiedad de Desagregación
() ,1,2,…,
= 1
Sea un proceso de Poisson a tasa tal que los eventos pueden clasificarse en k categorías mutuamente excluyentes. Con probabilidad el evento es del tipo , de modo tal que: . A partir del proceso se pueden definir procesos cada uno de estos procesos es también Poisson a tasa , y contará el número de eventos del tipo que ocurren hasta el tiempo t .
, ,1,2,…, ,…, ,
De las propiedades de agregación y desagregación, podemos rápidamente deducir que:
⋯
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⋮⋮
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Descomposición de Procesos de Poisson
Supongamos que una etapa de un proceso productivo está constituida por dos máquinas en paralelo.
Los productos llegan a esta etapa de acuerdo a un proceso de Poisson a tasa .
Al llegar, un producto con probabilidad se va a la máquina 1 y con probabilidad se va a la máquina 2.
Se asume que cada producto se asigna a alguna de las dos máquinas de acuerdo a estas probabilidades y en forma independiente de los demás productos.
Sea
y la llegada de productos a la máquina 1 y a la máquina 2 respectivamente.
1
() () ()
el proceso de conteo de las llegadas de productos al sistema,
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Descomposición de Procesos de Poisson
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Descomposición de Procesos de Poisson
Nos interesa caracterizar los procesos estocásticos
¿Cómo son los procesos N1(t) y N2(t)?
¿Qué distribución posee cada proceso?
() y
MÁQUINA 1
1-
MÁQUINA 2
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Descomposición de Procesos de Poisson Proposición
−() !
() ∞ /
Para demostrar esta proposición condicionemos en
:
=
La probabilidad de que de ellos se hayan asignado a la máquina 1 corresponde a una distribución binomial.
/ (1)− Profesor MSc. Claudio Araya Sassi
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Suma de Procesos Poisson
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Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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48
Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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50
Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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52
Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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Ejemplos
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Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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Distribución Condicional de Tiempos entre Eventos
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Extensiones del Proceso Poisson
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Extensiones del Proceso Poisson
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60
Extensiones del Proceso Poisson
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Extensiones del Proceso Poisson
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Extensiones del Proceso Poisson
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Extensiones del Proceso Poisson
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Extensiones del Proceso Poisson
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