Asignatura: Estática. Tema: Unidad 2. Análisis del cuerpo rígido.
Catedrático: Ing. Eduardo Hernández Solís
Alumnos: Baltazar Roldan Aguilar. (2.1-2.2
!orge Saturnino Hernández Hernández. (2."-2.# !os$ %&ar '$rez illal)a. (2.*-2.+ ,o$ anzano Huerta. (2.-2./ 0arlos Eduardo 0astillo Rodríguez. (2. Carrera: Ing. Electro&ecánica Electro&ecánica Ciclo escolar: 21*-21+
Zacatlán, Pue; 3 de junio del 2016
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2.1 uer!as e"ternas e internas. 3as 4uerzas 4uerzas 5ue act6an act6an so)re los cuerpos cuerpos rígidos rígidos se pueden pueden di7idir di7idir en dos grupos8 • •
9uerzas e:ternas. 9uerzas internas.
18 3as 4uerzas e:ternas representan la acci;n 5ue e
as partes ta&)i$n se de4inen co&o 4uerzas internas. 3a 4uerza es todo agente capaz de &odi4icar la cantidad de &o7i&iento o la 4or&a delos cuerpos &ateriales. 9uerza= es el no&)re con el 5ue se deno&ina a la interacci;n &ecánica entre dos cuerpos= las cuales pueden ser de contacto directo o gra7itacionales= al punto de contacto se lla&a punto de aplicaci;n de la 4uerza= la línea de acci;n de una 4uerza concentrada es la línea 5ue pasa por el punto de aplicaci;n ? es paralela a la 4uerza. 3a 4uerza es cual5uier acci;n o in4luencia 5ue puede &odi4icar el estado de&o7i&i ento o de reposo de un cuerpo. Esto 5uiere decir 5ue una 4uerza puede dar aceleraci;n un cuerpo= &odi4icando la 7elocidad= la direcci;n o el sentido de su &o7i&iento. @e acuerdo a su posici;n= las 4uerzas se di7iden en las siguientes8 9uerza e:terna8 @ado un cuerpo o siste&a de cuerpos se deno&inan 4uerzas e:ternas a las 4uerzas 5ue realizan otros cuerpos o siste&as so)re el cuerpo o siste&a analizado. 3as 4uerzas e:ternas entre dos siste&as o cuerpos son sie&pre iguales ? de sentidos opuestos de acuerdo con la reciprocidad indicada por la " 3e? 3e? de ,et ,eton on.. 9uer 9uerza za Inte Intern rna8 a8 @ado @ado un cuer cuerpo po o sist siste& e&a a de cuer cuerpo poss se deno&inan deno&inan 4uerzas internas a las 4uerzas 5ue &utua&ente &utua&ente se e
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2.1 uer!as e"ternas e internas. 3as 4uerzas 4uerzas 5ue act6an act6an so)re los cuerpos cuerpos rígidos rígidos se pueden pueden di7idir di7idir en dos grupos8 • •
9uerzas e:ternas. 9uerzas internas.
18 3as 4uerzas e:ternas representan la acci;n 5ue eas partes ta&)i$n se de4inen co&o 4uerzas internas. 3a 4uerza es todo agente capaz de &odi4icar la cantidad de &o7i&iento o la 4or&a delos cuerpos &ateriales. 9uerza= es el no&)re con el 5ue se deno&ina a la interacci;n &ecánica entre dos cuerpos= las cuales pueden ser de contacto directo o gra7itacionales= al punto de contacto se lla&a punto de aplicaci;n de la 4uerza= la línea de acci;n de una 4uerza concentrada es la línea 5ue pasa por el punto de aplicaci;n ? es paralela a la 4uerza. 3a 4uerza es cual5uier acci;n o in4luencia 5ue puede &odi4icar el estado de&o7i&i ento o de reposo de un cuerpo. Esto 5uiere decir 5ue una 4uerza puede dar aceleraci;n un cuerpo= &odi4icando la 7elocidad= la direcci;n o el sentido de su &o7i&iento. @e acuerdo a su posici;n= las 4uerzas se di7iden en las siguientes8 9uerza e:terna8 @ado un cuerpo o siste&a de cuerpos se deno&inan 4uerzas e:ternas a las 4uerzas 5ue realizan otros cuerpos o siste&as so)re el cuerpo o siste&a analizado. 3as 4uerzas e:ternas entre dos siste&as o cuerpos son sie&pre iguales ? de sentidos opuestos de acuerdo con la reciprocidad indicada por la " 3e? 3e? de ,et ,eton on.. 9uer 9uerza za Inte Intern rna8 a8 @ado @ado un cuer cuerpo po o sist siste& e&a a de cuer cuerpo poss se deno&inan deno&inan 4uerzas internas a las 4uerzas 5ue &utua&ente &utua&ente se e
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#lustraci$n 1
%jercicios:
1.- @eter&ine el &o&ento producido por la 4uerza 5ue se &uestra en la 4igura respecto al punto %. E:prese el resultado co&o un 7ector cartesiano. 3a 4uerza cartesiano.
e:pr e:pre esada co&o un 7ector
'or lo tanto8
% )ien8 2.- @os 4uerzas act6an so)re la )arra en la 4igura. @eter&ine el &o&ento resultante 5ue generan con respecto al soporte en %. E:prese el resultado co&o un 7ector cartesiano.
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2.2 Princi&io de transmisi'ilidad. El principio de trans&isi)ilidad esta)les 5ue las condiciones de e5uili)rio o de &o7i&iento de un cuerpo rígido per&anecerían in alteradas si una 4uerza 9 5ue 4
act6a en un punto dado de ese cuerpo se ree&plaza por una 4uerza 9 5ue tiene la &is&a &agnitud ? direcci;n pero 5ue act6a en un punto distinto pero 5ue act6a en un punto distinto sie&pre ? cuando las dos 4uerzas tengan la &is&a línea de acci;n. 3as dos 4uerzas tienen el &is&o e4ecto so)re el cuerpo rígido ? se dice 5ue son e5ui7alentes. Este principio esta)lece 5ue la acci;n de una 4uerza puede ser tras&itida a lo largo de su línea de acci;n= lo cual está )asado en la e:periencia e:peri&ental. 3a 4uerza es una &agnitud 4ísica 5ue &ide la intensidad del interca&)io de &o&ento lineal entre dos partículas o siste&as de partículas (en lenguaa)la de interacci;n. 0uerpos Rígidos Un cuerpo rígido se de4ine co&o un cuerpo ideal cu?as partes (partículas 5ue lo 4or&an tienen posiciones relati7as 4iacer girar al cuerpo se &ide con una &agnitud 4ísica 5ue lla&a&os &o&ento de la 4uerza. 'rincipio de Crans&isi)ilidad Este principio esta)lece condiciones de e5uili)rio o &o7i&iento de un cuerpo rígido. Una 4uerza 9 puede ser ree&plazada por otra 4uerza 9D 5ue tenga la &is&a &agnitud ? sentido= en Un distinto punto sie&pre ? cuando las dos 4uerzas tengan la &is&a línea de acci;n.
%jercicios:
1.- @eter&ine el &o&ento de la 4uerza 5ue se &uestra en la 4igura #-1/a respecto del punto %.
5
2.- 3a 4uerza 9 act6a en el e:tre&o de la &$nsula de la 4igura #-1a. @eter&ine el &o&ento de la 4uerza con respecto al punto % .
'or lo tanto el &o&ento es8
2.3 (iagrama de cuer&o li're. 3as ecuaciones de e5uili)rio re5uieren de una especi4icaci;n co&pleta de todas las 4uerzas e:ternas conocidas ? desconocías 5ue act6an so)re un cuerpo. 3a &e
6
)elaciones en so&ortes.
Estos son los tipos de relaciones 5ue ocurren en soportes ? puntos de contacto entre cuerpos so&etidos a siste&as coplanares de 4uerza= a continuaci;n se presentan las reglas generales. •
•
Si un soporte e7ita la traslaci;n de un cuerpo en una direcci;n dada= entonces se desarrolla una 4uerza so)re el cuerpo en esa direcci;n. Si se e7ita una rotaci;n= se e
Un &$todo es por &edio de un rodillo o cilindro. 0o&o este soporte solo e7ita 5ue la 7iga se traslade en direcci;n 7ertical= el rodillo puede e
#lustraci$n 2
3a 7iga puede ser soportada de una 4or&a &ás restricti7a con un pasador= el pasador liso atra7iesa un ori4icio localizado en la 7iga ? en dos placas 5ue están 4i
#lustraci$n 3
3a &anera &ás restricti7a de soportar la 7iga sería con un soporte 4i
el caso del pasador= la 4uerza se suele representar &ediante sus co&ponentes rectangulares Fx ? Fy.
%tros tipos cuerpos so&etidos a siste&as #lustraci$n *
co&unes de soportes para coplanares de 4uerzas. (En todos los
casos se supone 5ue se conoce el ángulo.
uer!as internas.
3as
4uerzas
internas 5ue act6an
entre
partículas
ad?acentes en un cuerpo sie&pre se presentan en pare
Ilustración 5
e:terno so)re el cuerpo. 'or esta raz;n= las 4uerzas internas no de)en incluirse en el diagra&a de cuerpo li)re si se to&a en cuenta todo el cuerpo. Peso + centro de graedad.
0uando un cuerpo está so&etido a un ca&po gra7itatorio= cada una de sus partículas tiene un peso especí4ico Procedimiento &ara el análisis
El diagra&a de cuerpo li)re de un cuerpo rígido o cual5uier grupo de cuerpos considerados co&o un solo siste&a= de)en darse los siguientes pasos8 -uestre todas las uer!as + momentos de &ar.
Identi4icar todas las 4uerzas e:ternas conocidas ? desconocidas ? los &o&entos de par 5ue act6an so)re el cuerpo. 3as 5ue por lo general se encuentran se de)en a cargas aplicadas reacciones 5ue ocurren en los soportes o en puntos de contacto con otros cuerpos ? el peso del cuerpo. 'ara to&ar en cuenta todos estos e4ectos= puede ser7ir >acer trazos so)re los lí&ites= ? sealar cuidadosa&ente cada 4uerza o &o&ento de par 5ue act6a en el cuerpo.
#dentii/ue cada carga + las dimensiones dadas.
3as 4uerzas ? los &o&entos de par 5ue se conocen de)en &arcarse con sus propias &agnitudes ? direcciones. Se usan letras para representar las &agnitudes ? los ángulos de direcci;n de 4uerzas ? &o&entos de par 5ue sean desconocidos.
%jercicios:
1.- Crace el diagra&a de cuerpo li)re de la 7iga uni4or&e= la cual tiene una &asa de 1Fg 9
0o&o el diagra&a de cuerpo li)re de la pared e
3a palanca está unida >olgada&ente al )astidor del ca&i;n en A por &edio de un perno. 3a )arra en B está articulada en sus e:tre&os ? act6a co&o un esla);n corto. El soporte de pasador en A e
so)re la palanca. El esla);n en B e
Ks 20
l'7&ulg 1.8 &ulg5 30 l'.
9inal&ente= el zapato del operador aplica una 4uerza 7ertical so)re el pedal. ".-Crace el diagra&a d cuerpo li)re de la plata4or&a sin carga 5ue está suspendida del )orde de una torre. 3a plata4or&a tiene una &asa de 2 Fg.
Se considerará en dos di&ensiones ?a 5ue= la carga ? las di&ensiones son si&$tricas con respecto a un plano 7ertical 5ue pasa por su centro. Se considera 5ue la cone:i;n en A es un pasador ? 5ue el ca)le soporta la plata4or&a en B. 5uedando co&o resultado8 200.415n 162
3as co&ponentes de 4uerza A: ? A?
2.* -omento de una uer!a . 0onsid$rese una 4uerza 5ue act6a so)re una cuerpo rígido= la 4uerza está representada por un 7ector 5ue de4ine la &agnitud ? su direcci;n. Sin e&)argo el 11
e4ecto de la 4uerza so)re el cuerpo rígido ta&)i$n depende de su punto de aplicaci;n A la posesi;n de A puede de4inirse de &anera con7eniente por &edio del 7ector r 5ue une al punto de re4erencia 4i
El &o&ento de con respecto a % se de4ine co&o el producto 7ectorial de r ? 8 -o r "
El &o&ento -o de)e ser perpendicular al plano 5ue contiene el punto % ? la 4uerza . El sentido de -o está de4inido por el sentido de rotaci;n 5ue aria al 7ector r correspondiente con el 7ector K esta rotaci;n tiene sentido contrario a las &anecillas del relo<. %tro 4or&a de de4inir este sentido de -o se logra por &edio de la regle de la &ano derec>a ? &ant$ngala de &anera 5ue sus dedos en el &is&o sentido de rotaci;n 5ue le i&partiría al cuerpo rígido alrededor de un e
sen Ɵ Fd
@onde d representa la distancia perpendicular desde % >asta la línea de acci;n de .En 7irtud de 5ue la tendencia de la 4uerza a >acer girar al cuerpo rígido al redor de un eo easta la línea de acci;n de la 4uerza de)e ser igual al cociente de las 12
&agnitudes de -o ? = esto de)e ser igual a oJ9. El sentido de -o deter&ina si la línea de acci;n de)e trazarse del lado de del lado del punto %. @os 4uerzas ? 9 son e5ui7alentes si ? solo si= son igualdades (es decir= tienen la &is&a &agnitud ? la &is&a direcci;n ? ade&a tienen &o&entos iguales con respecto al punto %. 9
? -o -9o
Si las relaciones se cu&plen para cierto punto %= ta&)i$n de cu&plirán para cual5uier otro punto.
%jercicios:
1.-Una 4uerza de / , act6a so)re una &$nsula= co&o se &uestra en la 4igura. @eter&ine el &o&ento de la 4uerza con respecto a B.
El &o&ento -B de la 4uerza con respecto a B se o)tiene a tra7$s del producto 7ectorial8 -B r AJB
@esde r AJB es el 7ector trazado desde B >asta A. Al desco&poner a r AJB ? a en sus co&ponentes rectangulares se tiene 5ue8 r AJB -(.2& i L (.1+& j F
(/, cos +M i L (/, sen +M j
(#, i L (+", j -B r AJB " N-(.2& i L (=1+& jO : N(#, i L (+", jO
-(1"/.+ ,.& -(+#. ,.& -(22.+ ,.& 13
2" ,.& 2.-Una 4uerza de " I) act6a so)re el e:tre&o de una placa de " 4t. @eter&ine el &o&ento de la 4uerza con respecto a O.
3a 4uerza se ree&plaza por dos co&ponentes= una co&ponente P en la direcci;n de %A ? otra co&ponente < perpendicular a %A. 0o&o % se encuentra en la línea de acci;n de P con respecto a % es igual a cero ? el &o&ento dela 4uerza de " I) se reduce al o&ento de < 5ue tiene el sentido de las &anecillas del relo< ?= por consiguiente se representa por un escalar negati7o. < (" I) sen 2M 1.2+ I) -o -G (" 4t - (1.2+ I) (" 4t -o "./ I).4t
".-Una 4uerza P de / I) se aplica a una palanca de ca&)ios. @eter&ine el &o&ento de P alrededor de = cuando a es igual a 2*M -= r "
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(/ in i (22in j 1+ in / I) cos 2*M .2* I) i / -=
I) sen 2*M -"."/ I) j N(/ in i (22 in jO N(.2* I) i (-"."/ I) jO L (-2.#I).in P (1*.*I).in L -= -1/+.*# I).in
2.8 (escom&osici$n de una uer!a en sus com&onentes Se >a 7isto 5ue dos o &ás 4uerzas 5ue act6an so)re una partícula pueden sustituirse por una sola 4uerza 5ue produce el &is&o e4ecto so)re la partícula. @e la &is&a &anera= solo una 4uerza 5ue act6a so)re una partícula puede re&plazarse= por dos o &ás 4uerzas 5ue produzcan
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#lustraci$n 6
Se conoce la línea de acci;n de cada una de las co&ponentes. 3a &agnitud ? el sentido de las co&ponentes se o)tiene al aplicar la le? del paralelogra&o ? trazando líneas= por la punta de = paralelas a las líneas de acci;n dadas. @e esta 4or&a se o)tienen dos co&ponentes )ien de4inidas P ? <= 5ue pueden deter&inarse grá4ica&ente o por trigono&etría aplicando la le? de los senos. (E
#lustraci$n ?
'ueden encontrarse &uc>os otros casosK por e
2.6 >istemas e/uialentes de uer!as En la secci;n anterior se 7io 5ue cual5uier siste&a de 4uerzas 5ue act6a so)re un cuerpo rígido puede reducirse a un siste&a 4uerza-par actuando en un punto dado %. Este siste&a e5ui7alente 4uerza-par caracteriza co&pleta&ente el e4ecto del 16
siste&a de 4uerzas dado so)re el cuerpo rígido. 'or tanto= dos siste&as de 4uerzas son e5ui7alentes si pueden ser reducidos al &is&o siste&a 4uerza-par en un punto dado %. Recu$rdese 5ue el siste&a 4uerza-par en % se de4ine por &edio de las relaciones= se esta)lece 5ue dos siste&as de 4uerzas 1= 2= 3... ? 91= 92, 93@ 5ue act6an so)re el &is&o cuerpo rígido son e5ui7alentes si ? solo si= respecti7a&ente= las su&as de las 4uerzas ? las su&as de los &o&entos con respecto a un punto dado % de las 4uerzas de los dos siste&as son iguales. E:presadas en 4or&a &ate&ática= las condiciones necesarias ? su4icientes para 5ue los dos siste&as de 4uerzas sean e5ui7alentes son las siguientes8
∑ F =∑ F ´ Y ∑ M =∑ M ´ O 0
%)s$r7ese 5ue para de&ostrar 5ue dos siste&as de 4uerzas son e5ui7alentes= la segunda de las relaciones se de)e esta)lecer con respecto a un solo punto %. Sin e&)argo= esta se cu&plirá con respecto a cual5uier punto si los dos siste&as de 4ueras son e5ui7alentes. Al desco&poner las 4ueras ? los &o&entos en sus ele&entos rectangulares= pueden e:presarse las condiciones necesarias ? su4icientes para la e5ui7alencia de dos siste&as de 4uerzas 5ue act6an so)re un cuerpo rígido de la siguiente &anera8
∑ F X =∑ F ´ X ∑ F y =∑ F ´ y ∑ F 2=∑ F ´ 2 ∑ M X =∑ M ´ X ∑ M y =∑ M ´ y ∑ M =∑ M ´ 2
2
Estas ecuaciones tienen una interpretaci;n 4ísica si&pleK e:presan 5ue dos siste&as de 4uerzas son e5ui7alentes si tienden a i&partirle al cuerpo rígido= la &is&a traslaci;n en las direcciones de X, Y ? Z así co&o la &is&a rotaci;n alrededor de los e
1.-3as dos 9uerzas P ? < act6an so)re el perno A. @eter&ine su resultante.
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Soluci;n8 @i)u
Ca&)i$n puede usarse la regla del triángulo. 3as 9uerzas P ? < se di)u
2.-Un lanc>;n es arrastrado por dos re&olcadores. Si la resultante de las 4uerza de *= l). @irigida a lo largo del e;n= deter&ine8 3a tenci;n del e;n •
3a tensi;n en cada una de las cuerdas sa)iendo 5ue
•
El 7alor de
∝
∝
#*M
tal 5ue la tensi;n en la cuerda 2 sea &íni&a.
18
Soluci;n8 Cenci;n para
∝
#*M (Soluci;n gra4ica
Se e&plea la le? del paralelogra&oK la diagonal (resultante se sa)e 5ue es igual a *= l). Q 5ue está dirigida >acia la derec>aK los lados se di)uace a escala puede &edirse. T 1 =3,700 lb.T 2=2,600 lb .
Soluci;n trigono&$trica8 'uede usarse la regla del triángulo. %)s$r7ese 5ue el triángulo &ostrado representa la &itad del paralelogra&o 5ue se presenta antes. Si se e&plea la le? de los senos se escri)e8 T 1 sen 45 °
=
T 2 sen 30 °
=
5,000 lb .
sen 105 °
0on la calculadora= pri&ero se calcula ? se al&acena el 7alor del 6lti&o cociente. Al &ultiplicar este 7alor sucesi7a&ente por sen 45° ? sen 30°= se o)tiene8 T 1 =( 500 lb . ) sen 30 °=2,500 lb.
3os 7alores correspondientes de T 1 ?
∝
son8
T 1 =( 500 lb . ) cos 30° =4,330 lb. =90 ° −30 °
∝
19
2.? uer!as co&lanares. Se entiende por siste&a de 4uerzas a un con
#lustraci$n 4
3a resultante general del siste&a se o)tiene su&ando los 7ectores e5uipolentes de cada una de las co&ponentes del &is&oK esto es8 r n r R F i i 1
3a e:presi;n anterior no per&ite conocer un punto de aplicaci;n del soporte o línea de acci;n de tal 7ector= por lo 5ue R es considerado co&o un 7ector li)re. El &o&ento del siste&a con respecto a cual5uier punto del espacio se puede 7aluar considerando la su&a de los &o&entos de las 4uerzas con respecto al &is&o= general&ente= el punto con respecto al cual el &o&ento es &ás sencillo de calcular= es el origen= ?a 5ue en estas condiciones el &o&ento está dado por la e:presi;n. 3as 4uerzas coplanares= se encuentran en un &is&o plano ? en 2 e
20
#lustraci$n
Co&lanares
Si todas las líneas de acci;n se encuentran contenidas en un &is&o plano= (nor&al&ente el plano xy .
F1 F2 F3
#lustraci$n 10
a) DosFuerzas
A
=
A
FR
RESUL A!EE!EL"U!#DE $!ERSE%%$&! . 'a(*+u,-D*re//* y Se+*,o 'e,*a+e "araeo(rao).
#lustraci$n 11
uer!as concurrentes + co&lanares
arias 4uerzas paralelas no-coplanares
21
Ilustración 10
uer!as concurrentes no co&lanares e n ) 3
FR
A
=
A
' RD
FR
=
D D La Resu+a+e es uauerza:*/aee u+oA ,e *+erse//*.
La Resu+a+e Es+ %oora,a "or UaFuerza U 'oe+o ue Dee,e De "u+oEs/o(*,o. #lustraci$n 11
22
2.4 )eacci$n en los &untos de a&o+o En la pri&era parte de este capítulo se considera el e5uili)rio de una estructura )idi&ensional. Se supone 5ue esta estructura está analizando ? las 4uerzas aplicadas so)re la &is&a están contenidas en el &is&o plano. 3as reaccione eacia el cuerpo li)re o de un ca)le (ale<ándose del cuerpo li)re la reacci;n puede de estar dirigida en u >acia otro sentido. 2. Reacciones e5ui7alentes a una 4uerza de &agnitud ? direcci;n desconocida. 3os apo?os ? las cone:iones 5ue originan reacciones de este tipo son pernos sin 4ricci;n en ori4icios aacia otras direcciones. En el caso de la super4icie rugosa= el co&ponente perpendicular a la super4icie de)e dirigirse ale<ándose de esta. ". Reacciones e5ui7alentes a una 4uerza ? un par. Estas reacciones se origina por apo?os 4i
23
#lustraci$n 12
24
25
26
Puntos de a&o+o.
27
28
29
30
2. %/uili'rio en cuer&os rBgidos sujetos a sistemas de uer!as. 0uando un cuerpo rígido está en reposo o en &o7i&iento rectilíneo a 7elocidad constante= relati7o a un siste&a de re4erencia= se dice 5ue dic>o cuero está e e5uili)rio estático. 'ara tal cuerpo tanto la aceleraci;n lineal de su centro de &asa co&o su aceleraci;n angular relati7a a cual5uier punto son nulas. %)7ia&ente este estado de e5uili)rio estático tiene su 4unda&ento en la pri&era 3e? de ,eton= cu?o enunciado es8 Codo cuerpo en estado de reposo o de &o7i&iento rectilíneo uni4or&e= per&anece en dic>o estado= a &enos 5ue so)re ella act6e una 4uerza. Condiciones de %/uili'rio 3as condiciones para 5ue un cuerpo rígido se encuentre en e5uili)rio son8
'ri&era 0ondici;n de E5uili)rio (E5uili)rio de traslaci;n8 T3a su&a 7ectorial de todas las 4uerzas 5ue act6an so)re el s;lido es igual a cero. Esto ocurre cuando el cuerpo no se traslada o cuando se &ue7e a 7elocidad constanteK es decir cuando la aceleraci;n lineal del centro de &asa es cero al ser o)ser7ado desde un siste&a de re4erencia inercial. V@1 L V92 LV9" L..... L V9, En esta ecuaci;n de e5uili)rio no aparecen las 4uerzas internas ?a 5ue ellas se cancelan &utua&ente en pares de)ido a la tercera 3e? de ,eton. Si las 4uerzas estu7ieran en el espacio= la ecuaci;n anterior >a de ser e:presada por las siguientes relaciones8 91: L 92: L 9": LW. L 9:
91? L 92? L 9"? L..... L 9,?
91z L 92z L 9"z L..... L 9,z %)7ia&ente en dos di&ensiones (o sea en el plano tendría&os sola&ente dos ecuaciones ? en una di&ensi;n se tendría una 6nica ecuaci;n. Segunda 0ondici;n de E5uili)rio (E5uili)rio de rotaci;n8 T3a su&a 7ectorial de todos los tor5ues o &o&entos de las 4uerzas 5ue act6an so)re el cuerpo= relati7os a cual5uier punto dado= sea cero. Esto ocurre cuando la aceleraci;n angular alrededor de cual5uier e
Vti Vti LVt2i LVt"i L .... L Vtni
Si todas las 4uerzas estu7ieran en el plano XQ= la ecuaci;n de e5uili)rio anterior se reduciría a la si&ple e:presi;n alge)raica8 Vtiz Vt1z LVt2z LVt"z L.... L Vtnz
@onde los &o&entos son paralelos o colineales con el e
@esco&poniendo los 7ectores en sus co&ponentes rectangulares se o)tiene8
Estas ecuaciones independientes son las disponi)les para resol7er pro)le&as de e5uili)rio de cuerpos en tres di&ensiones. En pro)le&as )idi&ensionales las ecuaciones se reducen a tres= n6&ero 5ue corresponde a los grados de li)ertad de un &o7i&iento planoK dos de translaci;n ? uno de rotaci;n. Si por e
@e acuerdo a lo anterior= el &á:i&o n6&ero de inc;gnitas 5ue puede tener un pro)le&a para poder solucionarlo co&pleta&ente= es de seis para situaciones en tres di&ensiones ? de tres para dos di&ensiones. 0uando en un pro)le&a >a? tantas inc;gnitas co&o ecuaciones disponi)les ? se pueden >allar todas= se dice 5ue el pro)le&a es estática&ente deter&inado. Si e:isten &ás inc;gnitas 5ue ecuaciones= el pro)le&a es insolu)le en su totalidad por los &$todos de la estática ? el pro)le&a es estática&ente indeter&inado. @e otra parte= >a? situaciones en las 5ue= a pesar de tener un n6&ero de inc;gnitas igual al de ecuaciones disponi)les no se pueden solucionar. Estas situaciones se presentan por un arreglo especial de los apo?os= >aciendo 5ue el siste&a no est$ co&pleta&ente restringido para un siste&a general de 4uerzas. Cal siste&a es entonces estática&ente indeter&inado ? parcial o i&propia&ente restringido. Un cuerpo parcial&ente restringido puede estar en e5uili)rio para un siste&a particular de carga= pero deorizontal. Si en un siste&a >a? &enos inc;gnitas 5ue ecuaciones disponi)les= $ste es parcial&ente restringido= es decir= no podrá estar en e5uili)rio para un siste&a general de 4uerzas.
Equilibrio
No Equilibrio
Equilibrio
%jercicios:
1.- Z0uál es el &o&ento de torsi;n resultante en torno del pi7ote de la 4igura[ 0onsiderando 5ue el peso de la )arra cur7a es insigni4icante [
2.-Halle el &o&ento de torsi;n resultante en torno al punto A de la 4igura.
".- 0alcular las tensiones 5ue soportan los ca)les en los siguientes siste&as.
=i'liograBas.
