Unidad 10

10

Soluciones a las actividades de cada epígrafe Pág. 1

PÁGINA 208 En este juego hay que conseguir que no queden emparejadas dos bolas del mismo color. Por ejemplo:

G ANA

PIERDE

G ANA

PIERDE

PIERDE

¿Cuál es la probabilidad de ganar si caen las bolas al azar? Para hallar esta probabilidad, razonemos bola a bola. 1 Supongamos que la primera bola ha sido roja. ¿Cuál es la probabilidad de que la bola que se le empareje nos permita ganar? Si la primera bola es roja, nos quedan una roja, dos azules y dos verdes. Por tanto, para ganar no debe salir sali r roja. Es decir:

P [no

roja] = 4 5

2 ¿Cuál es la probabilidad de que en e n esta situación el juego “acabe bien”? bien”? Para que el juego “acabe bien”, no debe salir la roja, porque entonces acabarían juntas las dos verdes (y perderíamos). Por tanto:

P [no

roja] = 2 3

“ buena”. Para Para 3 Después de la primera bola, en los 4/5 de los casos la 2.a bola es “buena”. la 3.a , vale cualquiera. Para la 4.a , hay tres posibilidades, dos de las cuales son “buenas”. ¿Cuál es la probabilidad de que el juego “acabe bien”? bien”? 4 ·1· 2 ·1·1= 8 P [ganar] = 1 · 5 3 15

PÁGINA 209 ANTES DE COMENZAR, RECUERDA

1 En una urna hay bolas de cinco colores: rojo (R), verde (V), azul (A), negro (N) y blanco (B). La experiencia consiste en extraer una bola y anotar el resultado. a) ¿Es una experienc experiencia ia aleatoria? aleatoria? ¿Por ¿Por qué? b) Descr Describe ibe el espacio espacio muestral. muestral.

Unidad 10. Cálculo de probabilidades

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c) Di cinco cinco suceso sucesoss no elemen elementales. tales. a) Sí que lo es, porque el resultado depende del azar. azar. b) E = {R, V, A, N, B} c) Respuesta abierta. Cualquier Cualquier suceso con más de un elemento es no elemental.

2 En los siguientes sucesos, di cuáles corresponden a experiencias regulares y asígnales probabilidad: a) Obtener un 3 al lanzar un dado correcto. correcto. b)Obtener un 3 al lanzar un dado chapucero. c) Extra Extraer er una carta carta de OROS de una baraja española. d)Extraer una bola roja de un bote cuya composición desconocemos. e) Que un cierto asegurado de una compañía compañía de seguros tenga un accidente en el próximo año. a) Regu Regular lar.. P [3] = 1 b) Irregular Irregular.. 6 c) Regu Regular lar.. P [OROS] = 10 = 1 d) Irregular Irregular.. 40 4 e) Irr Irregular egular..

PÁGINA 210 1 Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola y anotar su número. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b)Conside b) Consideramos ramos los suceso sucesos: s: A = “obtener número primo” B = “obtener múltiplo de 3” Escribe los sucesos : A B

A' B'

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} b) A = {2, 3, 5, 7} A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10} B = {3, 6, 9} B' = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} A « B = {2, 3, 5, 6, 7, 9} A » B = {3} A « A' = E A » A' = Ö


A«B A»B

A « A' A » A'

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c) Di cinco cinco suceso sucesoss no elemen elementales. tales. a) Sí que lo es, porque el resultado depende del azar. azar. b) E = {R, V, A, N, B} c) Respuesta abierta. Cualquier Cualquier suceso con más de un elemento es no elemental.

2 En los siguientes sucesos, di cuáles corresponden a experiencias regulares y asígnales probabilidad: a) Obtener un 3 al lanzar un dado correcto. correcto. b)Obtener un 3 al lanzar un dado chapucero. c) Extra Extraer er una carta carta de OROS de una baraja española. d)Extraer una bola roja de un bote cuya composición desconocemos. e) Que un cierto asegurado de una compañía compañía de seguros tenga un accidente en el próximo año. a) Regu Regular lar.. P [3] = 1 b) Irregular Irregular.. 6 c) Regu Regular lar.. P [OROS] = 10 = 1 d) Irregular Irregular.. 40 4 e) Irr Irregular egular..

PÁGINA 210 1 Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en extraer una bola y anotar su número. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b)Conside b) Consideramos ramos los suceso sucesos: s: A = “obtener número primo” B = “obtener múltiplo de 3” Escribe los sucesos : A B

A' B'

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} b) A = {2, 3, 5, 7} A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10} B = {3, 6, 9} B' = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} A « B = {2, 3, 5, 6, 7, 9} A » B = {3} A « A' = E A » A' = Ö


A«B A»B

A « A' A » A'

10


2 Lanzamos tres veces una moneda.

a) Escribe todos los sucesos sucesos element elementales ales (C , C , C ), (C , C , +), (C , +, +, C )… b)Indica cuáles de estos sucesos componen el suceso S = “la primera vez salió cara”. c) Escribe un suceso que sea incompatible incompatible con S . a) {C, C, C}, {C, C, +}, {C, +, C}, {+, C, C}, {C, +, +}, {+, C, +}, {+, +, C}, {+, +, +} b) S = {{C, C, C}, {C, C, +}, {C, +, C}, {C, +, +}} c) S' : ”la primera vez salió cruz”.

PÁGINA 211 3 Halla la probabilidad de los sucesos A = {3, 4, 5, 6} y A' , tanto en el caso del dado correcto como en el del dado defectuoso del ejemplo anterior. Dado correcto 4 = 2 ; P [ A' ] = 1 – P [ A ] = 1 P [ A ] = 6 3 3 Dado defectuoso P [ A ] = P [3] + P [4] + P [5] + P [6] = 0,15 + 0,15 0,15 + 0,1 + 0,1 = 0,5 P [ A' ] = 1 – P [ A ] = 0,5

PÁGINA 213 1 Lanzamos un dado con forma de octaedro, con sus caras numeradas del 1 al 8. Evalúa estas probabilidades: a) P [múltiplo de 3] c) P [número primo] a) P [{3, 6}] = 2 = 1 8 4 b) P [<5] = P [{1, 2, 3, 4}] = 4 = 1 8 2 c) P [primo] = P [{2, 3, 5, 7}] = 4 = 1 8 2 • • d) P [no 3] = 1 – P [3] = 6 = 3 8 4


b) P [menor [menor que 5] d) P [no [no múltiplo de 3]

10


2 Lanzamos dos dados y anotamos la menor de las puntuaciones . a) Escribe el espacio muestral y asígnale probabilidad a cada uno de los casos. b)Halla la probabilidad del suceso “la menor puntuación es menor que 4” = “< 4”. c) Halla P [no < 4]. Dado

1

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

2

2

2

2

3

1

2

3

3

3

3

4

1

2

3

4

4

4

5

1

2

3

4

5

5

6

1

2

3

4

5

6

Dado 2

a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 11 9 P [1] = P [2] = 36 36 5 3 P [4] = P [5] = 36 36

= 7 36 1 P [6] = 36 b) P [< 4] = P [1] + P [2] + P [3] = 27 = 3 36 4 c) P [no < 4] = 1 – P [< 4] = 1 – 3 = 1 4 4 P [3]

PÁGINA 214 1

Lanzamos un dado y, después, sacamos una bola de la bolsa. Estas dos experiencias, ¿son dependientes o independientes?

Son independientes, porque el resultado de sacar una bola de la bolsa no depende de qué haya salido en el dado.

A

2

B R P A

Lanzamos un dado. Si sale par, extraemos una bola de la bolsa A. Si sale impar, de la B. Las experiencias, ¿son dependientes o independientes?

IMPAR

Son dependientes, porque al ser los contenidos de las bolsas distintos, el resultado depende de qué bolsa se saque, que depende del valor obtenido al lanzar el dado.


10


PÁGINA 215 1 Se extraen 3 cartas con reemplazamiento. Halla: a) P [ AS en 1.a y FIGURA en 2.a y 3.a ] b) P [3 ASES] c) P [un AS y dos FIGURAS] d) P [ningún AS] a) P [ AS en 1.a y FIGURA en 2.a y 3.a ] = P [ AS] · P [FIGURA ] · P [FIGURA ] = = 4 · 12 · 12 = 1 · 3 · 3 = 9 40 40 40 10 10 10 1000 3 b) P [3 ASES] = P [ AS] · P [ AS] · P [ AS] = 4 · 4 · 4 = 1 = 1 40 40 40 10 1000

( )

c) P [un AS y dos FIGURAS] = 3 · P [ AS en 1.a y FIGURA en 2.a y 3.a ] = =3·

9 = 27 1000 1000

3 d) P [ningún AS] = 36 · 36 · 36 = 9 = 729 40 40 40 10 1000

( )

2 Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de: a) 5 caras b) alguna cruz 1/2

1/2

C 1/2

1/2

C

+

1/2

1/2

C 1/2

+ 1/2

+

C

+

C 1/2

1/2 1/2

1/2 1/2

1/2

C

1/2

1/2 1/2

1/2

C 1/2 1/2

+ 1/2 1/2

1/2

C 1/2 1/2

1/2

C 1/2

+ 1/2 1/2

1/2

C

+

1/2 1/2

1/2

+

1/2

1/2 1/2

2-ª MONEDA

+

1/2

+ 1/2

1/2

C

1/2

1/2

1-ª MONEDA

+

1/2

1/2

C 1/2 1/2

1/2

C 1/2

+ 1/2 1/2

1/2

C

+

1/2 1/2

3-ª MONEDA

+

1/2

1/2 1/2

1/2

C 1/2 1/2

1/2

4-ª MONEDA

+ 1/2 1/2

1/2

C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C+ C +

5-ª MONEDA

a) P [CINCO CARAS] = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1 2 2 2 2 2 32 b) P [ ALGUNA CRUZ] = P [0 CARAS Y 5 CRUCES] + P [1 CARA Y 4 CRUCES] + + P [2 CARAS Y 3 CRUCES] + P [3 CARAS Y 2 CRUCES] + + P [4 CARAS Y 1 CRUZ] = 1 – P [5 CARAS] = 1 – 1 = 31 32 32


10


3 Lanzamos 3 monedas. Calcula: a) P [tres caras] b) P [ninguna cara] c) P [alguna cara] a) P [3 caras] = 1 · 1 · 1 = 1 2 2 2 8 b) P [ninguna cara] = 1 · 1 · 1 = 1 2 2 2 8 c) Hay 3 formas de que salga una sola cara: {C, +, +}, {+, C, +}, {+, +, C}. De la misma forma, hay 3 de que salgan dos caras. P [alguna

cara] = 3 · P [una cara] + 3 · P [dos caras] + P [tres caras] = =3· 1 +3· 1 · 1 = 7 8 8 8 8

4 Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en ambas monedas y seis en el dado? ¿Cuál, la de obtener cruz en las monedas y par en el dado? Hacemos el diagrama en árbol: DADO 2ª MONEDA 1ª MONEDA

1/2

C

C 1/2

1/2

1/2

1/2

P [C, C,

6] = 1 · 1 · 1 = 1 2 2 6 24

P [+,

6

5/6

No 6

1/6

6

5/6

No 6

1/6

6

5/6

No 6

1/6

6

5/6

No 6

+

C

+ 1/2

1/6

+

+, (2, 4, 6)] = 1 · 1 · 1 = 1 2 2 2 8

PÁGINA 217 1 Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea un REY y la segunda un AS? En la baraja española hay 40 cartas de las cuales 4 son reyes y 4 son ases. P [REY Y AS] = P [REY ] · P [ AS SUPUESTO QUE LA 1ª FUE REY ] = = 4 · 4 = 4 = 2 40 39 390 195


10


2 Completa el diagrama en árbol del ejercicio resuelto de esta página y sobre él halla P [NINGÚN AS]. 3.ª EXTRACCIÓN

2.ª EXTRACCIÓN 1.ª EXTRACCIÓN

4/40

36/40

AS

3/39 Quedan 39 cartas. De ellas, 3 ases 36/39

4/39 NO AS

P [NINGÚN AS]

Quedan 39 cartas. De ellas, 4 ases 35/39

Quedan 38 cartas. De ellas, 2 ases

AS

NO AS



AS

NO AS


2/38 36/38 3/38 35/38 3/38 35/38 4/38 34/38

AS NO AS AS NO AS

AS NO AS AS NO AS

= 36 · 35 · 34 = 357 40 39 38 494

3 Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos tres bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean blancas? ¿Y negras? N 8 bola negra; B 8 bola blanca 1-a EXTRACCIÓN 2-a EXTRACCIÓN

4/7

5/8

3/8

5/7

P [3 BLANCAS] P [3 NEGRAS]

=3·2·1= 1 8 7 6 56

=5·4·3= 5 8 7 6 28


N

3/6 4/6

B N

2/6

B

4/6

N

3/6 5/6

B N

1/6

B

B

N

B 2/7

3/6

N

N 3/7

3-a EXTRACCIÓN

B

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4 Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja. ¿Cuál es la probabilidad de obtener BASTOS las tres veces? a) Supón que se extraen con reemplazamiento. b) Supón que se extraen sin reemplazamiento. a)

1-a EXTRACCIÓN

2-a EXTRACCIÓN

10/40

3-a EXTRACCIÓN

BASTOS 30/40

10/40

10/40

30/40

P [TRES BASTOS]

BASTOS

30/40

NO BASTOS

10/40

BASTOS

30/40

NO BASTOS

10/40

BASTOS

30/40

NO BASTOS

10/40

BASTOS

30/40

NO BASTOS

NO BASTOS

BASTOS

NO BASTOS 30/40

10/40

BASTOS

NO BASTOS

= P [BASTOS] · P [BASTOS] · P [BASTOS] = 10 · 10 · 10 = 1 40 40 40 64

b) P [TRES BASTOS] = P [BASTOS] · P [BASTOS] · P [BASTOS] = 10 · 9 · 8 = 3 40 39 38 247

5 Una urna A tiene tres bolas blancas y una negra. Otra B tiene una bola negra. Sacamos una bola de A y la echamos en B. Removemos y sacamos una bola de B. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea blanca? Hacemos un diagrama en árbol: 1/2

B

B 1/2

3/4

0

1/4

N

B

N 1

P [BLANCA ]

= 3 · 1 + 1 ·0= 3 4 2 4 8


N

10


PÁGINA 219 1 Explica el significado de los números 120, 168, 12, 45 y 40 de la tabla del ejercicio resuelto anterior. 120 8 Número de alumnos de 1.°. 168 8 Número de alumnos con NINGUNA actividad extraescolar. 12 8 Número de alumnos de 1.° con actividad extraescolar CULTURAL. 45 8 Número de alumnos de 2.° con NINGUNA actividad extraescolar. 40 8 Número de alumnos de 4.° con actividad extraescolar DEPORTIVA .

2 Explica lo que significa, para la tabla del ejercicio resuelto anterior, cada una de las expresiones siguientes y da su valor: P [1.°] P [CULTURAL ] P [4.°/CULTURAL ] P [1.°] 8

P [CULTURAL /4.°]

Probabilidad de que, elegido al azar, un alumno sea de 1.°. 120 = 0,3 P [1.°] = 400

P [CULTURAL] 8

Probablidad de elegir a un alumno con actividad extraescolar CULTURAL. 72 = 0,18 P [CULTURAL] = 400

P [4.°/CULTURAL] 8

Probabilidad de que habiendo elegido un alumno con actividad CULTURAL, este resulte ser de 4.°. 24 = 0,375 P [4.°/CULTURAL] = 72

P [CULTURAL/4.°] 8

Probabilidad de elegir a un alumno con actividad CULTURAL entre todos los de 4.°. 24 = 0,3 P [CULTURAL/4.°] = 80

3 Queremos analizar, partiendo de los datos de la tabla del ejercicio resuelto anterior, la evolución del absentismo (falta de participación) en actividades extraescolares cualesquiera, al aumentar la edad. Calcula las proporciones que convenga y compáralas. Debemos observar la probabilidad de los que no hacen ninguna actividad en cada uno de los cursos, es decir: 72 = 0,6 45 = 0,45 P [NINGUNA /1.°] = P [NINGUNA /2.°] = 120 100 35 = 0,35 16 = 0,2 P [NINGUNA /3.°] = P [NINGUNA / 4.°] = 100 80 Por tanto, según pasan los cursos, cada vez hay menos alumnos que no hacen ninguna actividad extraescolar.


10


4 En una bolsa hay 40 bolas huecas, y dentro de cada una hay un papel en el que pone SÍ o NO. La distribución de bolas según colores y SÍ y NO está en la tabla.

TOTAL

S Í NO TOTAL

15 5 20

4 4 8

1 20 11 20 12 40

a) Describe los sucesos SÍ , NO, , /SÍ , SÍ / y calcula sus probabilidades. b) Hemos sacado una bola roja. ¿Qué probabilidad hay de que haya SÍ en su interior? ¿Y si la bola es azul? c) Se ha sacado una bola y dentro pone SÍ . ¿Cuál es la probabilidad de que sea , o ? a) SÍ 8 sacar una bola al azar y que sea SÍ . NO 8 sacar una bola al azar y que sea NO. 8 sacar una bola al azar y sea roja. /SÍ 8 de entre dos bolas que dicen SÍ , sacar una roja. SÍ / 8 de entre las bolas rojas, sacar una que dice SÍ . 20 = 1 1 P [SÍ ] = P [NO] = 1 – P [SÍ ] = 40 2 2 P [

] = 20 = 1 40 2

P [SÍ /

] = 15 = 3 20 4

b) P [SÍ / ] = 15 = 3 20 4 P [SÍ /

]= 1 12

c) P [ /SÍ ] = 15 = 3 20 4 P [

/SÍ ] = 4 = 1 20 5

P [

/SÍ ] = 1 20


P [

/SÍ ] = 15 = 3 20 4

10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 1

PÁGINA 220 P RACTICA Relaciones entre sucesos

1

En un sorteo de lotería observamos la cifra en que termina el “gordo”. a) ¿Cuál es el espacio muestral? b) Escribe los sucesos: A = MENOR QUE 5; B = PAR . c) Halla los sucesos A « B , A » B , A' , B' , A' » B' .

a) El espacio muestral es: E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} b) A = “MENOR QUE 5” = {0, 1, 2, 3, 4} B = “PAR ” = {0, 2, 4, 6, 8} c) A « B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} A » B = {0, 2, 4} A' = {5, 6, 7, 8, 9} B' = {1, 3, 5, 7, 9} A' » B' = {5, 7, 9}

2

Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en una ficha y las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar. a) Escribe los sucesos elementales de este experimento. ¿Tienen todos la misma probabilidad? b)Escribe el suceso “obtener vocal” y calcula su probabilidad. c) Si la palabra elegida fuera SUERTE, ¿cómo responderías a los apartados a) y b)?

a) Los sucesos elementales son: {P}, {R}, {E }, {M }, {I }, {O}. Todas tienen la misma probabilidad, porque todas aparecen una sola vez. b) V = “obtener vocal” 8 V = {E, I, O} P [V] = 3 = 1 6 2 c) Los sucesos elementales son: {S}, {U}, {E}, {R}, {T} P [V] = 3 = 1 6 2 En este caso el suceso elemental {E} tiene más probabilidad que el resto, por aparecer dos veces. 3

Lanzamos un dado rojo y otro verde. Anotamos el resultado. Por ejemplo, (3, 4) significa 3 en el rojo y 4 en el verde. a) ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral? b)Describe los siguientes sucesos:


10


A: la suma de puntos es 6; A = {(5, 1), (4, 2), …} B : En uno de los dados ha salido 4; B = {(4, 1), …} C : En los dados salió el mismo resultado. c) Describe los sucesos A « B , A » B , A » C . d)Calcula la probabilidad de los sucesos de los apartados b) y c). e) Calcula la probabilidad de A' , B' y C' .

a) Como tenemos dos dados, cada uno con 6 caras, tenemos 6 resultados en uno para cada uno de los 6 resultados del otro. Es decir, en total, 36 elementos en el espacio muestral. b) A = {(5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5)} B = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (1, 4), (2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)} C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

c) A « B 8 En uno de los dados ha salido un 4 o la suma de los dos es 6. A » B 8 Habiendo salido un 4, la suma de los dos es 6, es decir, {(4, 2), (2, 4)}. A » C 8 Habiendo salido dos números iguales, la suma es 6, es decir, {(3, 3)}. d) P [ A ] = 5 36

P [B ] = 11

P [C ] = 6 = 1

36

P [ A « B ] = 14 = 7

36

18

36

P [ A » B ] = 2 = 1

36

18

6 P [ A » C ] = 1 36

e) P [ A' ] = 1 – P [ A ] = 31 36 P [B' ] = 1 – P [B ] = 25 36 P [C' ] = 1 – P [C ] = 5 6 4

El juego del dominó consta de 28 fichas. Sacamos una al azar y anotamos la suma ( x ) de las puntuaciones. a) ¿Cuál es el espacio muestral? Di la probabilidad de cada uno de los 13 casos que pueden darse. b) Describe los sucesos: A: x es un número primo. B : x es mayor que 4. A « B , A » B , A' c) Calcula las probabilidades de los sucesos descritos en el apartado b).

a) E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12} P [0] = 1 ; P [1] = 1 ; P [2] = 2

28

28

28

P [3] = 2 ; P [4] = 3 ; P [5] = 3

28

28


28

10


P [6] = 4 ; P [7] = 3 ; P [8] = 3

28

28

28

P [9] = 2 ; P [10] = 2 ; P [11] = 1 ; P [12] = 1

28

28

28

28

b) A = {2, 3, 5, 7, 11} A « B = {2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A' = {1, 4, 6, 8, 9, 10, 12}

B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A » B = {5, 7, 11}

c) P [ A] = P [2] + P [3] + P [5] + P [7] + P [11] = 11 28 P [B ] = 19

P [ A « B ] = 23

P [ A » B ] = 7 = 1

P [ A' ] = 1 – P [ A] = 17

28

28

28

4

28

Probabilidades sencillas

5

En la lotería primitiva se extraen bolas numeradas del 1 al 49. Calcula la probabilidad de que la primera bola extraída : a) Sea un número de una sola cifra. b)Sea un número múltiplo de 7. c) Sea un número mayor que 25.

a) P [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] = 9 49 b) P [7, 14, 21, 28, 35, 42, 49] = 7 = 1 49 7 c) P [26, 27, 28, …, 49] = 24 49 6

Se extrae una carta de una baraja española. Di cuál es la probabilidad de que sea: a) REY o AS. b) FIGURA y OROS. c) NO SEA ESPADAS.

a) P [REY O AS] = 8 = 1 40 5 b) P [FIGURA Y OROS] = P [FIGURA DE OROS] = 3 = 1 40 10 c) P [NO SEA ESPADAS] = 30 = 3 40 4


10


7

En una bolsa hay bolas de colores, pero no sabemos cuántas ni qué colores tienen. En 1 000 extracciones (devolviendo la bola cada vez) hemos obtenido bola blanca en 411 ocasiones, bola negra en 190, bola verde en 179 y bola azul en 220. Al hacer una nueva extracción, di qué probabilidad asignarías a: a) Sacar bola blanca. b)No sacar bola blanca. c) Sacar bola verde o azul. d)No sacar bola negra ni azul. Si en la bolsa hay 22 bolas, ¿cuántas estimas que habrá de cada uno de los colores?

Como se han hecho 1000 extracciones: P [BOLA BLANCA ] = 411 = 0,411 P [BOLA VERDE] = 179 = 0,179 1000 1000 P [BOLA NEGRA ] = 190 = 0,19

P [BOLA AZUL] = 220 = 0,22

1000

1000

a) P [BOLA BLANCA ] = 0,411 b) P [NO BOLA BLANCA ] = 1 – 0,411 = 0,589 c) P [BOLA VERDE O AZUL] = 0,179 + 0,22 = 0,399 d) P [NO BOLA NEGRA NI AZUL] = 1 – (0,19 + 0,22) = 0,59

8

Si hay 22 bolas: • El 41% son blancas • El 19% son negras • El 18% son verdes

8

22 · 0,41 = 9 bolas blancas. 22 · 0,19 = 4 bolas negras. 22 · 0,18 = 4 bolas verdes.

• El 22% son azules

8

22 · 0,22 = 5 bolas azules.

8 8

Ana tira un dado y su hermana Eva lo tira después. ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación de Eva sea superior a la de Ana? ANA

1

2

3

4

5

6

1

1–1

1–2

1–3

1–4

1–5

1–6

2

2–1

2–2

2–3

2–4

2–5

2–6

3

3–1

3–2

3–3

3–4

3–5

3–6

4

4–1

4–2

4–3

4–4

4–5

4–6

5

5–1

5–2

5–3

5–4

5–5

5–6

6

6–1

6–2

6–3

6–4

6–5

6–6

EVA

P [PUNTUACIÓN DE EVA SUPERIOR A LA DE ANA ] = 15 = 5

36


12

10


9

Lanzamos dos dados y anotamos la puntuación del mayor (si coinciden, la de uno de ellos). a) Completa la tabla y di las probabilidades de los seis sucesos elementales 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

1 2

2 5

b)Halla la probabilidad de los sucesos:

4

6

A: n.° par, B : n.° menor que 4, A » B . 6

a) 1 2 3 4 5 6

2 2 3 4 5 6

3 4 5 6 3 4 5 6 3 4 5 6 4 4 5 6 5 5 5 6 6 6 6 6

P [1] = 1 ; P [2] = 3 = 1 ; P [3] = 5

36

36

12

36

P [4] = 7 ; P [5] = 9 = 1 ; P [6] = 11

36

36

4

36

b) P [ A ] = 3 + 7 + 11 = 21 = 7 36 36 36 36 12 P [B ] = 1 + 3 + 5 = 9 = 1

36

36

36

36

4

P [ A » B ] = P [2] = 1

12

PÁGINA 221 Experiencias compuestas

10

a) Tenemos dos barajas de 40 cartas. Sacamos una carta de cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figuras (sota, caballo o rey)? b) Tenemos una baraja de 40 cartas. Sacamos dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean un 7? ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean figura?

a) P [7 y 7] = 4 · 4 = 1 40 40 100 P [FIGURA y FIGURA ] = 12 · 12 = 9

40 40


100

10


b) P [7 y 7] = 4 · 3 = 12 = 1 40 39 1560 130 P [FIGURA y FIGURA ] = 12 · 11 = 132 = 11

40 39

11

1560

130

Lanzamos tres dados. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres puntuaciones sean menores que 5? P [las tres menores que 5] = P [menor que 5] · P [menor que 5] · P [menor que 5] =

=4·4·4= 8 6 6 6 27 12

Sacamos una bola de cada urna. Calcula:

a) La probabilidad de que ambas sean rojas. b)La probabilidad de que ambas sean negras. c) La probabilidad de que alguna sea verde.

a) P [ROJA y ROJA ] = 3 · 2 = 6 5 5 25 b) P [NEGRA y NEGRA ] = 2 · 2 = 4 5 5 25 c) P [alguna VERDE] = P [VERDE] + P [VERDE] = 0 + 1 = 1 5 5 13

Sacamos dos bolas. Calcula: a) P [2 rojas] b) P [2 verdes]

a) P [2 ROJAS] = 3 · 2 = 3 5 4 10 14

b) P [2 VERDES] = 2 · 1 = 1 5 4 10

Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una de B. Calcula:

A


B

10


a) P [1.a roja y 2.a roja]

b) P [1.a roja y 2.a verde]

c) P [2.a roja / 1.a verde]

d) P [2.a roja / 1.a roja]

e) P [2.a roja]

f ) P [2.a verde]

☞

e) Para calcular esta probabilidad, ten en cuenta el diagrama.

3 5

—

2 3

—·—

1 3

—·—

3 2 5 3

—

A

B

—

2 5

2 1 5 3

— B

a) P [1.a roja y 2.a roja] = 3 · 2 = 2 5 3 5 b) P [1.a roja y 2.a verde] = 3 · 1 = 1 5 3 5 c) P [2.a roja / 1.a verde] = 1 3 d) P [2.a roja / 1.a roja] = 2 3 e) P [2.a roja] = 3 · 2 + 2 · 1 = 8 5 3 5 3 15 f ) P [2.a verde] = 3 · 1 + 2 · 2 = 7 5 3 5 3 15

Tablas de contingencia

15

En un centro escolar hay 1 000 alumnos y alumnas repartidos así: Llamamos: A 5 chicas, O 5 chicos, G 5 tiene gafas, no G 5 no tiene gafas. Calcula:

CHICOS

CHICAS

U S AN G A FA S

147

135

N O U SA N G AF A S

368

350

a) P [A], P [O], P [G], P [no G] b) Describe los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: A y G, O y no G, A/G, G/A, G/O.

a) P [A] = 135 + 350 = 485 = 0,485 1000 1000 P [O] = 1 – P [A] = 1 – 0,485 = 0,515


10


P [G] = 147 + 135 = 282 = 0,282

1000 1000 P [no G] = 1 – P [G] = 1 – 0,282 = 0,718 b) A y G

Chica con gafas.

8

P [A y G] = 135 = 0,135

O y no G

1000 Chico sin gafas

8

P [O y no G] = 368 = 0,368

A/G

8

1000 De los que llevan gafas, cuántas son chicas.

P [A/G] = 135 = 0,479

G/A 8

282 De todas las chicas, cuántas llevan gafas.

P [G/A] = 135 = 0,278

G/O

8

485 De todos los chicos, cuántos llevan gafas.

P [G/O] = 147 = 0,285

515

16

En una empresa hay 200 empleados, 100 hombres y 100 mujeres. Los fumadores son 40 hombres y 35 mujeres. a) Haz con los datos una tabla de contingencia. b)Si elegimos un empleado al azar, calcula la probabilidad de que sea hombre y no fume: P [H y no F]. c) Calcula también: P [M y F], P [M / F], P [F / M]

a) HOMBRE

MUJER

FUMADOR

40

35

N O F UM A DO R

60

65

b) P [H y no F] = 60 = 0,3 200 c) P [M y F] = 35 = 0,175 200 P [M/F] = 35 = 0,467

75

P [F/M] = 35 = 0,35

100


10


17

Los 1000 socios de un club deportivo se distribuyen de la forma que se indica en la tabla. HOMBRES

MUJERES

J U EG A N A L B AL O NC E ST O

147

135

N O J UE GA N A L B AL ON CE ST O

368

350

Si se elige una persona al azar, calcula la probabilidad de que: a) Sea un hombre. b)Sea una mujer. c) Juegue al baloncesto. d)Sea una mujer que practique baloncesto. e) Sea un hombre que no practique baloncesto. f ) Juegue al baloncesto, sabiendo que es hombre. g) Sea mujer, sabiendo que no juega al baloncesto.

a) P [H] = 147 + 368 = 515 = 0,515 1000 1000 b) P [M] = 1 – P [ H] = 0,485 c) P [B] = 147 + 135 = 282 = 0,282 1000 1000 d) P [M y B] = 135 = 0,135 1000 e) P [H y no B] = 368 = 0,368 1000 f ) P [B/H] = 147 = 0,285 515 g) P [M/no B] = 350 = 0,487 718

PÁGINA 222 P IENSA Y RESUELVE 18

Una urna contiene 100 bolas numeradas así: 00, 01, 02 … 99 Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades del número que tiene cada bola. Se extrae una bola al azar. Calcula la probabilidad de que: a) x = 3

b) y = 3

c) x ? 7

d) x > 5

e) x + y = 9

f ) x < 3

g) y > 7

h) y < 7


10

Soluciones a los ejercicios y problemas Pág. 10 U N I D D A D E C E S E N A S

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 5 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 6 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 7 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 8 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 9 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

a) x = 3

8

P [ x = 3] = 10 = 1

b) y = 3

8

P [ y = 3] = 10 = 1

c) x 7

8

P [ x ≠ 7] = 90 = 9

d) x > 5

8

P [ x > 5] = 40 = 2

≠

e) x + y = 9

19

100

100

100

100

8

10

10 10 5

P [ x + y = 9] = 10 = 1

100

f ) x < 3

8

P [ x < 3] = 30 = 3

g) y > 7

8

P [ y > 7] = 20 = 1

h) y < 7

8

P [ y < 7] = 7 = 7

100

100

100

10

10 5

10

Sacamos dos fichas de un dominó. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas la suma de sus puntuaciones sea un número primo (2, 3, 5, 7 u 11)? 4 + 3 = 7 es primo

Tenemos: A = {(1, 1), (2, 0), (1, 2), (3, 0), (1, 4), (2, 3), (5, 0), (6, 1), (5, 2), (3, 4), (5, 6)} P [ A ] = 11

28 Por tanto: P [ en ambas la suma es un primo] = 11 · 10 = 110 = 0,146

28 27 756


10


20

Después de tirar muchas veces un modelo de chinchetas, sabemos que la probabilidad de que una cualquiera caiga con la punta hacia arriba es 0,38. Si tiramos dos chinchetas, ¿cuál será la probabilidad de que las dos caigan de distinta forma? 1-ª CHINCHETA

0,38 0,62

HACIA ARRIBA HACIA OTRO SITIO

2-ª CHINCHETA 0,38

HACIA ARRIBA

0,62 0,38

HACIA OTRO SITIO

0,62

HACIA OTRO SITIO

HACIA ARRIBA

P [DISTINTA FORMA ] = 0,38 · 0,62 + 0,62 · 0,38 = 0,47

21

En una clase hay 17 chicos y 18 chicas. Elegimos al azar dos alumnos de esa clase. Calcula la probabilidad de que: a) Los dos sean chicos. b) Sean dos chicas. c) Sean un chico y una chica. 1-ª ELECCIÓN 17/35

CHICO

18/35

CHICA

2-ª ELECCIÓN 16/34

CHICO

18/34

CHICA

17/34

CHICO

17/34

CHICA

a) P [DOS CHICOS] = 17 · 16 = 8 35 34 35 b) P [DOS CHICAS] = 18 · 17 = 9 35 34 35 c) P [UN CHICO Y UNA CHICA ] = 17 · 18 + 18 · 17 = 18 35 34 35 34 35 22

Extraemos una tarjeta de cada una de estas bolsas.

I

S S

N

O O

a) Calcula la probabilidad de obtener una S y una I, “SI”. b)¿Cuál es la probabilidad de obtener “ NO”? c) ¿Son sucesos contrarios “SI” y “NO”?


10


Resuélvelo rellenando esta tabla. S

S

N

SI

I O

SO

O

S

S

N

I

SI

SI

NI

O

SO

SO

NO

O

SO

SO

NO

a) P [SÍ ] = 2 b) P [NO] = 2 9 9 c) No, no son sucesos contrarios, porque P [SÍ ] ? 1 – P [NO]. 23

En un laboratorio se somete un nuevo medicamento a tres controles. La probabilidad de pasar el primero es 0,89, la de pasar el segundo es 0,93 y la de pasar el tercero es 0,85. ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo producto pase las tres pruebas?

Las tres pruebas son independientes una de otra. P [PASAR EL PRIMER CONTROL] = 0,89 P [PASAR EL SEGUNDO CONTROL] = 0,93 P [PASAR EL TERCER CONTROL] = 0,85 P [PASAR LOS TRES CONTROLES] = 0,89 · 0,93 · 0,85 = 0,703

24

Se extraen dos bolas de esta bolsa. Calcula la probabilidad de que ambas sean del mismo color. 4/7 3/7

AZUL

1/2

AZUL

1/2

ROJA

2/3

AZUL

1/3

ROJA

ROJA

P [ AZUL Y AZUL] = 4 · 1 = 2

7 2

7

P [ROJA Y ROJA ] = 3 · 1 = 1

7 3

7

P [ AMBAS DEL MISMO COLOR ] = 2 + 1 = 3

7


7

7

10


25

En una bolsa tenemos las letras S, S, N, I, I, O. Sacamos dos letras. ¿Cuál es la probabilidad de que con ellas se pueda escribir SI? 2 6

1 6

—

—

1 6

2 6

—

S 1 5 1 — 5

—

S

N

—

N 1 — 5 2 — 5

I

2 5

—

O

S

I 2 5 1 — 5

1 5

2 — 5

I

I

1 — 5 1 — 5

—

—

S

N

1-ª EXTRACCIÓN

O

I

2 5

—

O

S

1 5

—

N

2 5

—

I 2-ª EXTRACCIÓN

SI

P [“SI”] = 2 · 2 = 2

6 5

26

15

Javier tiene en su monedero 4 monedas de cinco céntimos, 3 de veinte y 2 de un euro. Saca dos monedas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos? a) Que las dos sean de cinco céntimos. b)Que ninguna sea de un euro. c) Que saque 1,20 €.

En el diagrama de árbol, las monedas aparecen en céntimos. 1 € = 100 cent. 1-ª MONEDA

2-ª MONEDA

5

3/8 3/8

5 2/8

4/9

20 100 5

4/8

3/9

2/8

20 2/8

20 100

2/9

5

4/8 3/8

100 1/8

20 100

a) P [DOS DE 5 CENT.] = 4 · 3 = 1 9 8 6 b) P [NINGUNA DE 1 €] = 4 3 + 3 + 3 4 + 2 = 7 · 6 = 7 9 8 8 9 8 8 9 8 12

(

) (

)

c) P [SACAR 1,20 €] = P [100, 20] = 2 · 3 + 3 · 2 = 1 9 8 9 8 6


10


27

En una bolsa hay 4 bolas, dos de ellas están marcadas con un 1 y las otras dos con un 2. Se hacen tres extracciones y se anotan los resultados en orden. Calcula la probabilidad de que el número formado sea el 121, suponiendo que: a) La bola se reintegra a la bolsa. b)La bola no se devuelve a la bolsa.

a) 1-ª EXTRAC.

2-ª EXTRAC.

1 1/2

1/2 1/2

1 2

1/2 1/2 1/2 1/2

1/2

2

1/2 1/2

1 2

1/2 1/2 1/2 1/2

3-ª EXTRAC.

b) 1-ª EXTRAC.

1 2

2-ª EXTRAC.

1

1 2

1/2

1 2

1/2

2/3

2

1 2

1/3

2/3 1/3

1 2 1 2

0 1 1/2 1/2 1/2 1/2 1 0

3-ª EXTRAC.

1 2 1 2 1 2 1 2

a) P [121] = 1 · 1 · 1 = 1 2 2 2 8 b) P [121] = 1 · 2 · 1 = 1 2 3 2 6 28

Un jugador de baloncesto suele acertar el 75% de sus tiros desde el punto de lanzamiento de personales. Si acierta el primer tiro, puede tirar de nuevo. Calcula la probabilidad de que: a) Haga dos puntos. b) Haga un punto. c) No haga ningún punto. P [ ACERTAR ] = 0,75 1–er TIRO

0,75 0,25

0,75

ACIERTA

0,25

NO ACIERTA

ACIERTA

NO ACIERTA

a) P [DOS PUNTOS] = 0,75 · 0,75 = 0,56 b) P [UN PUNTO] = 0,75 · 0,25 = 0,19 c) P [NO HAGA NINGÚN PUNTO] = 0,25


2-º TIRO

10


29

Matías y Elena juegan con una moneda. La lanzan tres veces y si sale dos veces cara y una vez cruz o dos veces cruz y una vez cara, gana Matías. Si sale tres veces cara o tres veces cruz, gana Elena. Calcula la probabilidad que tiene cada uno de ganar. 1–er LANZAMIENTO

3–er LANZAMIENTO

2-º LANZAMIENTO

C

1/2

C 1/2

+

1/2

C

1/2 1/2

+ 1/2

+

1/2

C

1/2

+

1/2

C

1/2

+

1/2

C

1/2

+

1/2

C

1/2

+

P [GANE MATÍAS] = P [C, C, +] + P [C, +, C] + P [+, C, C] + P [+, +, C] +

+ P [+, C, +] + P [C, +, +]= 1 · 1 · 1 · 6 = 6 = 3 2 2 2 8 4 P [GANE ELENA ] = P [C, C, C] + P [+, +, +] = 2 = 1

8

4

PÁGINA 223 P ROFUNDIZA 30

En cierto lugar se sabe que si hoy hace sol, la probabilidad de que mañana también lo haga es 4/5. Pero si hoy está nublado, la probabilidad de que mañana lo siga estando es 2/3. Si hoy es viernes y hace sol, ¿cuál es la probabilidad de que el domingo también haga sol? Para resolverlo completa el diagrama y razona sobre él: Viernes

S·b a do

Doming o

… 4 5

—

… 1

1 5

1 15

1 2 5 3

2 15

3

—·—=—

2

—·—=—

— —

3


1 1 5 3

—

10


Hacemos un diagrama en árbol: VIERNES

S BADO N

1/5 S 4/5

S

DOMINGO 2/3

N

1/3

S

1/5

N

4/5

S

P [DOMINGO SOL] = P [VIERNES S, SÁBADO N, DOMINGO S] +

+ P [VIERNES S, SÁBADO S, DOMINGO S] = = 1 · 1 + 4 · 4 = 1 + 16 = 53 = 0,7 5 3 5 5 15 25 75 31

Esto es un plano de parte de la red de cercanías de una ciudad. En cada nudo es igual de probable que el tren continúe por cualquiera de los caminos que salen de él. A 1 B

8

C E

7 6

D

2

3 4

5

Un viajero sube a un tren en A sin saber adónde se dirige. a) ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a la estación 5? b) Calcula la probabilidad de llegar a cada una de las estaciones. A 1/2 8

1/2

B

1/2

1/2

7

1/2

C 1/3

1/3 E 6 1/3

5

a) P [5] = 1 · 1 · 1 = 1 2 3 3 18 b) P [1] = P [2] = 1 · 1 · 1 = 1 2 3 2 12 P [3] = 1 · 1 = 1

2 3

6

P [4] = P [5] = P [6] = 1

18

P [7] = P [8] = 1 · 1 = 1

2 2

4


1/3 1/3

3 1/3

4

D

1 1/2

2

10


32

Se hace girar la flecha en cada una de estas ruletas, y gana la que consiga la puntuación más alta. A

B

Calcula la probabilidad de que gane A y la de que gane B . A 2

B

3 9

33

1

7

8

1-2 1-3 1-9

7-2 7-3 7-9

8-2 8-3 8-9

P [GANE A] = 4

9

P [GANE B] = 5

9

En una urna marcada con la letra A hay una bola roja y una negra. En otra urna, que lleva la letra B, hay una bola azul, una verde y una blanca. Se lanza un dado; si sale par, se saca una bola de la urna A, y si sale impar, de la urna B. a) Escribe todos los resultados posibles de esta experiencia aleatoria. b) ¿Tiene la misma probabilidad el suceso PAR y ROJA que el IMPAR y VERDE? c) Calcula la probabilidad de todos los sucesos elementales y halla su suma. ¿Qué obtienes?

a) El espacio muestral es: E = {(PAR , ROJA ), (PAR , NEGRA ), (IMPAR , AZUL), (IMPAR , VERDE), (IMPAR , BLANCA )} £ § 1 1 1 b) P [PAR , ROJA ] = · = § ¢ 2 2 4 § 8 Son distintas § 1 1 1 P [IMPAR , VERDE] = · = ° 2 3 6 £ § § c) P [PAR , ROJA ] = 1 § 4 § § 1 1 1 § P [PAR , NEGRA ] = · = § 2 2 4 § ¢ 1 1 1 § 8 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 = 1 P [IMPAR , AZUL] = · = § 2 3 6 6 6 6 4 4 2 2 § § § Se obtiene P [E ] = 1 P [IMPAR , VERDE] = 1 § 6 § § 1 1 1 P [IMPAR , BLANCA ] = · = °

2 3


6

10


34

¿Cuál es la probabilidad de obtener bola blanca al elegir al azar una de estas bolsas y extraer de ella una bola? A

B

C

3

3 Bla nca 1— · — = 1— 3 6 6

—

6

A 1

No bla nca

—

3

1

Bla nca …

—

3

B No bla nca

1

Bla nca …

—

3

C No bla nca 3/6

BOLSA 1 1/3 1/3

1/3

4/6

BOLSA 2

5/6

BOLSA 3

BLANCA BLANCA BLANCA

P [BLANCA ] = 1 · 3 + 1 · 4 + 1 · 5 = 1 + 2 + 5 = 12 = 2

3 6

35

3 6

3 6

6

9

18 18

3

Lanzamos tres dados y anotamos la mayor puntuación. Calcula la probabilidad de que sea 5.

Para que la mayor puntuación sea un 5, no tiene que salir ningún 6. Y en uno de ellos debe salir un 5. Es decir: P [5] = P [un 5] · P [? 6] · P [? 6] = 1 · 5 · 5 = 25 6 6 6 216 36

Lanzamos tres dados y anotamos la puntuación mediana. Calcula la probabilidad de que sea 5.

Para que la mediana sea un 5, deben salir un 6, un 5 y otro valor menor que 5. Es decir: P [5] = P [un 6] + P [un 5] + P [< 5] = 1 · 1 · 4 = 4 = 1 6 6 6 216 54


10


37

Tenemos tres cartulinas. La primera tiene una cara roja (R), y la otra, azul (A); la segunda A y verde (V), y la tercera, V y R. Las dejamos caer sobre una mesa. ¿Qué es más probable, que dos de ellas sean del mismo color o que sean de colores diferentes?

Hacemos un diagrama en árbol:

1/2

A

R 1/2 1/2 1/2 1/2

V A

A 1/2

V

P [2 iguales] = 6 = 3

8

4

P [Todas distintas] = 2 = 1

8 4 Es más probable que salgan dos colores iguales.


1/2

V

RAU

1/2

R

R A R

1/2

V

R V V

1/2

R

R V R

1/2

V

A A V

1/2

R

A A R

1/2

V

A V V

1/2

R

A V R

10

Soluciones a desarrolla tus competencias Pág. 1

PÁGINA 224 LEE Y COMPRENDE Tarea con trampa

Alberto y Cristina rellenan, para un trabajo de clase, un tablero de 50 casillas del siguiente modo: avanzando de izquierda a derecha y de arriba abajo, se decide a cara o cruz si la casilla se colorea de rojo o de verde. Y estos han sido los cuadros presentados. N A T I S I C R

T O E R B L A

Pero el caso es que uno ha hecho el trabajo concienzudamente, tirando una moneda por cada casilla. Y el otro, con trampa, lo ha rellenado en un momento, caprichosamente. Sin embargo, el profesor ha puesto mala nota al que no ha trabajado. ¿Cómo lo ha descubierto? Este ha sido su razonamiento: Teóricamente, los dos cuadros son posibles. Sin embargo, ten en cuenta que:

— El resultado obtenido en una casilla no depende del obtenido en la casilla anterior. Es decir, en cada casilla: 1 P [CARA ] = P [CRUZ ] = 2 — Y eso equivale a decir que, aproximadamente, el color de una casilla será la mitad de las veces igual que el de la anterior y la otra mitad, diferente. Ahora, observa nuevamente los cuadros de Alberto y Cristina. En ellos, algunas casillas se han señalado con un punto: aquellas que tienen un color diferente a la anterior: N A T I S I C R

T O R E L B A

Cambios de color: 3 8 Cambios posi bles: 49 Frecuencia relativa: 38/49

8

78%

Cambios de color: 26 Cambios posi bles: 49 Frecuencia relativa: 26/49

8

53%

¿Sospechas ahora cuál de los dos ha hecho trampa y, por querer disimularla, ha caído en ella? Ha hecho trampras Alberto, porque su frecuencia relativa (78%) se separa mucho del teórico 50%.


10


PÁGINA 225 APLICA LO QUE HAS APRENDIDO Sorteo dudoso

UNIDADES

En una peña futbolística de 12 amigos, consiguen solo 11 entradas (mala suerte) para la final de la copa, ¡el partido del siglo! Así que se hace un sorteo para decidir quién se queda en casa. A

DECENAS

I S

L E S A

1

1 B

0

2

0 1

2

1 S

I S A

C

6

4

L E 0

3 7

5 8

9

UNIDADES

Para el sorteo se siguen estas reglas: • A cada uno de ellos se le asigna un número del 1 al 12. • El sorteo se realiza utilizando estos tres bombos. Por ejemplo: Si sale

1 en A

0 en B , se queda en casa quien lleve el número 10.

Si sale

0 en A

5 en C , se queda en casa quien lleve el 5.

¿Te parece justo el sorteo? ¿Por qué? 1/2

1/2

0

1

1/10 1/10

0

1

1/3

1/10 1/10

2

1/10

1/10

3

1/10

4

1/10

5

1/10

6

1/10

7

1/3 1/3

8

9

0

1

2

Es claro que el sorteo no es justo, ya que la probabilidad d e obtener un número que empiece por 0 es menor que la de obtener uno que empiece por 1. 1·1=1 =1· 1 = 1 P [12] = 2 10 20 2 3 6 Si la asignación de números se hace al azar, a priori las probabilidades de cada uno coinciden, aunque posteriormente sean distintas. P [05]

Digamos que su suerte está en ese primer sorteo, es decir, 1 de probabilidad por cada 12 uno.


10


UTILIZA TU INGENIO Y tú, ¿qué opinas?

Raquel es una chica de 30 años, bastante enérgica. Estudió Matemáticas y acabó entre los primeros de su promoción. Cuando era estudiante militó en movimientos sociales, especialmente en grupos ecológicos y contra la discriminación. ¿Cuál de estas dos afirmaciones te parece más probable? a) Raquel trabaja en un banco. b) Raquel trabaja en un banco y es una activa militante feminista. A primera vista, y por las condiciones iniciales, parece que b) es la opción más aceptable. pero hemos de observar que b) contiene la condición de a) y otra más. Por tanto, la probabilidad de que ocurra b) siempre será menor que la de a).


10

Soluciones a la autoevaluación Pág. 1

PÁGINA 225 Verifícalo resolviendo ejercicios

1 Tenemos dos bolsas, A y B con estas bolas: A: 7 blancas y 3 negras

B: 1 blanca, 2 negras y 7 rojas

Tirando un dado, si sale 1 o 2 extraemos una bola de A. Si sale 3, 4, 5 o 6, extraemos una bola de B. Calcula la probabilidad de extraer la bola roja. P [roja]

= 0 · P [1 ó 2] + 7 · P [3, 4, 5 ó 6] = 7 · 4 = 28 = 7 10 10 6 60 15

2 1 2

1 3

2

2

1

Extraemos una bola de cada caja. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 5?

1

Como en la última siempre sale 1, el problema se reduce a sacar 4 en las dos primeras. P [4]

= P [2] · P [2] + P [3] · P [1] = 1 · 2 + 1 · 1 = 2 + 1 = 3 = 1 3 3 3 3 9 9 9 3

Así, la probabilidad de sacar 5 entre las tres urnas es 1 . 3

3 Sacamos una bola de A, la echamos en B, removemos y sacamos una bola de B. Calcula la probabilidad de que ambas bolas sean rojas. B

A

2/5

R

R 3/5 3/4

1/4 1/5

N

R

N 4/5

P [R

y R] = 3 · 2 = 6 = 3 4 5 20 10


N

Unidad 10

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