Unidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones 1. Introducción. Ta nto en las c ien c ia s c om o en las ing en iería ería s se d e sa rrollan m od elos matemáticos para comprender mejor los fenómenos físicos. Generalmente, estos modelos producen una ecuación que contiene a lguna s de riva d a s d e una función inc inc óg nita nita . Esta e c uac ión rec rec ib e el nomb re de ecuación diferencial . La s e c ua c io ne s d ife re nc ia les no solo se se utili utiliza n e n la s c ie nc ia s e ingenierías, sino en otros campos del conocimiento humano como: la me d ic ina , la ec ono mí mía a , la inves investi tiga ga c ión d e o p erac ione s y la la p sic olog ía. Definición. Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes, con respecto a una o más variables ind ep en d ien te s, es una ecuación diferencial (E.D) .
2. Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Clasificación por el tipo . Si una e c ua c ión c ontiene solo solo d eriva eriva d a s ordinarias de una o varias variables dependientes con respecto a una variab variab le indep end iente se dice q ue es una ecuación ordinaria (E.O.D). Una e c uac ión d iferenc ia l ordina ordina ria p ued e ser ser esc esc rita c om o: dy dx
3 y
d 2 y dy dy dy se,nx 2 7 y0 y 8 dx dx dx dt
2
x 2 ~y(1)
Una ecuación con derivadas parciales de una o más variables d ep end iente s d e d os o má s varia varia b les ind ep end iente s se llam a ecuación diferencial parcial (E.D.P) . Por Por ejem p lo,
2 2 2 u 2u u u u 0 , 2 y ~ (2 (2) u 2 v 2 x 2 y 2 y t x son e c ua c ion es d iferenc ia les p a rc iales. iales.
Seg ún e l ord ord en . El orden de una ecuación diferencial es el orden de la de rivada de má ximo orde orde n que ap a rec e e n la la ec uación difer diferencial encial.. Ejemplo: 2
d y dx
2
dy dx
7 y 0 es una e c uac ión d e seg seg undo o rde n
Una ec uac ión d iferenc ial ord ord ina ria d e n-és n-ésiimo o rd en de una va ria b le de pe ndiente, pued e expres expresars arse e me diante la forma g eneral n F ( x, y, y ', ..., y ) 0 ~ (3)
Donde
F
es una función de valores reales de
n 2 variables:
x, y, y ', ..., yn . Por co nvenienc nvenienc ia p rá c tica la e c uac ión (3) (3) suele suele e sc rib irse d e la forma : n1 dy d y f x, y, , ..., n1 ~ (4) n dx dx dx n
d y
De a c uer uerd d o a la lilinea lid a d . Una ecuación diferencial ordinaria de orden
n
n
es lineal si F es lineal en x, y, y ', ..., y . Esto significa que una
E.D.O D.O d e orde n
n
es linea linea l cua nd o (3) (3) es
n n an ( x ) y an 1 ( x ) y 1 ... a1 (x ) y ' a0 (x ) y g (x ) 0 o b ien
an ( x) y n an 1 ( x ) y n 1 ... a1 ( x ) y ' a 0 ( x ) y g (x ) ~ (5) Dos casos especiales de (5) son las E.D.O de primer orden y segundo orden: a1 ( x)
dy dx
a0 ( x) y g ( x) y a2 ( x)
d2y dx 2
a1 ( x)
dy dx
a0 ( x) y g( x) ~ (6) .
La s d os p rop ied a d es c a ra c te rístic tic a s d e una E.D.O .D.O line line a l son son :
La variab variab le de pe ndiente
y y tod a s sus d eriva eriva d a s son d e p rim er
grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y e s uno .
Los coeficientes a0 , a1 , a2 , ..., an depende solo de la variable independiente
x .
Una ec uac ión d iferenc ia l ordinari ordinaria a no linea linea l es simp leme nte una q ue no es lineal. Las siguientes ecuaciones son no lineales: 2
y
dy dx
5 y ln x,
2
d y dx
2
tanh y x y 2
3
d y dx
3
y5 0
3. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales y los problema problem a s de va valor lore e s in inicia icialle s. Solución d e una ec uac ión d iferenc ia l ordinar ordinariia . Definición. Cualquier función , de fini finid d a en un intervalo intervalo
I y con al
me nos d eriva eriva da s c ont inuas en I , que al sustituirse en una E.D.O de n-ési n-ésimo o rd en red red uc e la la ec uac ión en una una id id entida d , se c onsi onsid era intervalo. valo. solución de la ec uac ión e n el inter Intervalo de definición. Es el intervalo donde la ecuación tiene su solución. Curva soluc ión . La La g rá fic fic a de una solución d e una E.D. .D.O se lla lla ma c urva urva solución. Com o es una func ión diferenc diferenc ia b le, es c ontinua ontinua en su inte inte rva lo d e d efinic efinic ión .
Tip o s d e so so luc io ne s. So luc ió n e xpli xplic c ita : Una Una func ión ( x ) ta l que a l sustituir ustituirla la e n ve z d e en la ecuación diferencial satisface la ecuación para toda intervalo
x
y
en el
I .
Ejemplo 1. 1. Compruebe que la función dada es una solución de la ec uac ión d iferenc ferenc ial. dy
2y 25,
dx Derivamos a y : dy
y 5tan5 x
sec 2 5 x 25 se
dx Ahora sustituímos a y y su derivada en la ecuación diferencial :
25 sec 2 5 x (5 tan 5 )x2 25 ~ ( )a 25 sec 5 x 25 tan 5 x 25 ~ ( )b 2
2
Sabemos que : tan 5 x sec 5 x 1 ~ (c) 2
2
Sustituyendo (c ) en (b ) tenemos :
25 sec 2 5 x 25(sec 2 5 x 1) 25 25 sec 2 5 x 25 sec 2 5 x 25 25 25 25
So luc ió n imp lí líc c ita : Una Una rela c ión G ( x, y ) 0 es una soluc ión im p líc líc ita d e una ecuación diferencial en un intervalo
I , siempre que exista al
menos una función ( x ) que satisface tanto la relación como la ec uac ión d iferenc ferenc ial en
I .
Ejemplo 2. 2. Verifique que la relación dada es una solución de la ec uac ión d iferenc ferenc ial. dy dx
2 xy y 1
, y ln y x2 1
Derivando la relación tenemos que: dy dx
1 dy y dx
2 x ~ (a)
Despejando a
1y y
dy dx
:
dy
2 x seobtiene la ecuación dada dx
dy2
xy
dx 1y
Fa m ililia a s d e so luc io ne s.1 Una solución ( x )
algunas veces se denomina integral de la
ecuación, y su gráfica se llama curva integral. Al resolver una ecuación diferencial de primer orden F ( x, y, y ') 0 , por lo común se ob tiene tiene una solución solución q ue c ontiene parámetro
una co nsta nsta nte arbitr arbitra a ria o
c.
Una solución solución q ue c ontiene una c onsta onsta nte a rb itra tra ria representa un conjunto G ( x, y ) 0 de soluciones al que se le llama
familia uniparamétrica de soluciones. Cuando se resuelva una ecuación diferencial de n-ésimo orden F ( x, y , y ', ..., y ) 0 , s se e b usc usc a n
una familia no paramétrica de soluciones G ( x, y , c1 , c2 , c3 , ..., cn )
0.
Esto sign ific fic a q ue una ec uac ión d iferenc ia l pue d e p osee osee r un núme ro infini nfinito to d e soluciones soluciones que c orres orresp p ond en a l núme ro ili ilimitad mitad o d e elec c ione s p a ra el (los (los)) pa rá me tro tro (s). (s). Una solución d e una ec uac ión q ue e stá lib lib re d e p a rá me tro tro se se lla lla ma solución particular. Una ecuación diferencial posee una solución que no es miembro de una fam ilia lia d e soluciones soluciones d e la e c uac ión, es d ec ir, una una soluc ión que no se puede obtener al especificar algunos de los parámetros de la
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Prepa rad o p or: Prof. Prof. Gil San dro G óm ez. ez.
familia de soluciones. Esta clase de solución extra se llama solución singular.
Pro b le m a s d e va lo re s inic ia le s Defini Definic c ión. Por Por un p rob lem a c on va lores lores inic nic ia les p a ra una ec uac ión diferenci diferencial al d e orden n n
d y dx
n
f x, y, y ', ... yn 0
Se e ntiend ntiend e, halla halla r una solución d e la e c uac ión d iferenc ia l en un intervalo I q ue sa tisfa tisfa g a x 0 en las
n
condiciones iniciales
y( x0 ) y0 , dy dx
( x0 ) y1 ,
d
n 1
y
yn 1 , dx do nd e x0 I y y 0 , y1 , ..., y n 1 s on con stan tes d adas. n 1
Pre pa ra do po porr: Pr Prof. Gil Sa Sa ndr ndro o Gó Góme mez. z.
Ejemplo 3. Enc uentre la soluci solución ón a l prob prob lem a d e va lor inic nic ia l da d o
x
y c1 e c2 e
d2y
y 0, y( 0) 1, y '(0) 2 dx 2 Deri Deriva vamo moss (1) resp respeecto de x: x
~ (1),
y ' c1 e x c2 e x ~ ( 2) y '' c1 e x c2 e x ~ (3) Sust. (1) y (3) en la ec . d diif . para verificar si es la solución : c1e x c2 e x c1e x c2 e x 0
00 Igualamos (1) y (2) a las condiciones iniciales : c1e 0 c2e 0 1 c1e 0 c2 e 0 2 c1 c2 1
~ ( 4) c1 c2 2 solvemos el sist. de ecuacion ecuaciones es (3) : Re solvemos c1 3 y
2
3e x 2
y c2 1 , entonces : 2
c2 e x
2
4. Te or ore e ma . Exi Exis stenc tencia ia y unic unic ida d d e la solu oluc c ión 2 Dado el prob prob lem a c on valor ini inic c ial
dy dx
f ( x, y)),,
y( x0 ) y0 ,
supó ng ase ase que f y
f son func ion es c on tinuas e n un rec rec tá ng ulo ulo y
R ( x, y) : a x b, c y d
2
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que contiene al punto ( x0 , y0 ) . Entonces el problema de valor inicial
tiene
una
única
solución
( x )
en
algún
intervalo
x0 x x0 , dond e 0 . Del teorema anterior podemos sacar las siguientes dos conclusiones: 1. Cuando una ecuación satisface las hipótesis del teorema de existencia y unicidad, tenemos la seguridad que existe una solución a l problem a d e valor ini inic c ia l. 2. Si se se sa tisfa tisfa c e n la s hipó te sis, existe existe una únic a so luc ió n d e l problema con valor inicial. Esta unicidad nos dice que si podemos determinar una solución, entonces ésta es la única solución p a ra el problem a c on va lor inic nic ia l.
Ejemplo 4. Determine si el teorema de existencia y unicidad implica que el problema de valor inicial dado tiene una solución única.
dy x3 y3 , dx Despejamos a
y(0) 6. dy : dx
dy nces tenemos que que: x3 y3 , entonce dx f ( x, y) x3 y3 f 3 y2 y
f son funciones continuas uas en (0, 6) 6), por y tan to la EDO tiene una única solución en (0 - , 0 ), donde
Com Como pode odemos obs obser var f ( x, y) y
5. Ca mp mpo o de dir dire e c c ion ione e s y el e l método de d e las isoc ocllina nas s Una técnica útil para visualizar las soluciones de una ecuación diferencial de primer orden consiste en bosquejar el campo de direcciones de la ecuación. Para describir el método, necesitamos una observación general: una ecuación de primer orden
dy dx
f ( x, y)
espe espe cifi cifica ca una pe ndiente ndiente en c ad a punto de l plano xy d o n d e
f
está definida. En otras palabras, proporciona la dirección que de be tener una sol soluci ución ón d e la ec uac ión en c ad a p unt unto. o. Preparador por: Prof. Gil Sandro Gómez.
Definición. Un bosquejo con pequeños segmentos de recta 3trazados en diversos puntos del plano xy para mostrar la p end iente de la c urva urva solución en e l punto c orres orresp p ond iente es un campo de direcciones de la e c uac ión d iferenc ferenc ial.
Ec uac ión d ifer ferenc enc ia l d e p rime r or ord d en a utónom a Definición. Una ecuación diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece de manera explícita es
autónoma . Si Si el e l sí sím b o lo
x
denota la variable independiente,
entonc es una e c uac ión d iferenc ferenc ial de prime prime r orden a utónom a se p ued e e sc rib ir c om o f ( y, y') 0 o e n forma forma normal normal co mo
dy f ( y ) ~ (1) dx Se a sume q ue la func ión f en (1) (1) y su su d erivad a f ' son funciones c ontinuas d e en algún interval intervalo o I .
Ejemplo 5. Dig Dig a si las sig uient e s e c ua c io ne s so n a utó no m a s.
dy seny y 0 dx dy xytan y 2. dx
dy 4 y 2 y3 ln y dx dy cos y y e 4. x dx
1.
3.
La s ec ua c ion es 1 y 3 son son a utó no m a s y las ec ua c ion es 2 y 4 no .
Puntos críticos. Los ceros de la función imp ortanc ia . Se d ic e q ue un núme ro rea rea l
f en (1) son de vital
c
es un p unto c rític tic o d e
la ec uac ión d iferenc ia l a utóno ma (1) (1) si si es un ce ro d e f , es decir,
f (c) 0 . Un Un p unto
c rític tic o ta mb ién se lla lla ma punto de equilibrio o
punto estacionario . Podemos observar que si que si sustituimos la
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función constante y( x) c en (1), entonces ambos lados de la ec ua c ión son c ero. Es Esto sig nifi nific ca: Si c es un punto c rítico d e (1), (1), enton c es y( x) c es una soluc ión c onstante onstante de la ec uac ión diferencial diferencial autónoma. Una solución y( x) c de (1) se llama solución de equilibrio ; los e q uilibrios uilibrios so n la s únic a s so luc ione s c o nsta nsta nte s d e (1).
6. Mé todo de Apr Aproxi oxima ma c ión de Eul uler er
4
El método de Euler (o método de la recta tangente) es un procedimiento que permite construir aproximaciones a las soluciones de un problema con valor inicial, para una ecuación d iferenc ia l ord ord ina ria d e p rime r orde n
y ' f ( x, y),
y( x0 ) y0 ~ (1)
Para ser más preciso, supongamos que el problema con valor inicial (1) tiene una única solución ( x ) en cierto intervalo con centro
x0 . S Se ea h
un número positivo fijo (llamado el tamaño del
p a so ) y c on sid eran d o los p unto s eq uid uid ista nte s
xn x0 nh,
n0,1,2,3,...
La construcción de los valores yn que aproximan los valores de la solución ( x ) procede de la manera siguiente: En el punto
( x0 , y0 ) , dy dx
la
pend iente
de
la la
s solu oluc c ión
(1) (1) está está
da da
p or
f ( x0 , y0 ) . Por tanto , la rec rec ta ta nge nte a la c urva urva solución solución en el
p unto ini inic c ia l ( x0 , y0 ) e s
y y0 ( x x0 ) f ( x0 , y0 ) . Usamos esta recta tangente para aproximar ( x) y vemos que pa ra e l punto x1
x0 h
( x1 ) y1 y0 hf ( x0 , y0 ) . Ahora partimos del punto ( x1 , y1 ) para construir la recta con pe ndiente ndiente d ad a p or el ca mp o d e d irec c iones en el punto ( x1 , y1 ) ;
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es decir, con pendiente igual a
f ( x1 , y1 ) . Si se g uimo s e sta rec ta
y y1 ( x x1 ) f ( x1 , y1 ) al pasar de x1 a x2 x1 h , obtenemos la aproximación
( x2 ) y2 y1 hf ( x1 , y1 ) . Al rep etir el proc eso, eso, ob tene mo s
( x3 ) y3 y2 hf ( x2 , y2 ) ( x4 ) y4 y3 hf ( x3 , y3 ), etc 5
Este sencillo procedimiento es el método de Euler y se puede resumir esumir me d ia nte la fó rmula rec urs ursiva
xn 1 xn h~ ( 2) yn 1 yn hf ( xn , yn ) ~ (3), n 0,1, 2, 2, ... Ejemplo 6. Use el método de Euler para aproximar la solución del problema con valor inicial dado, en los puntos
x 0.1,0.2,0.3,0.4 y 0.5 , utili utilic c e un ta ma ño d e p a so h 0.1 . dy dx
y( 2 y),
y(0) 3
imero identifi identificamo camoss a f ( x , y ) y luego aplic aplicamo amoss la fórmula fórmula de recu recurren rrencia cia : Pr imero f ( x, y) 2 y y2 , x0 0, y0 3 y h 0. 0.1 xn 1 xn h yn 1 yn hf( xn , yn ) Para n 0 x1 0 0.1 0.1 2 2 y1 y0 0.1 f( x0 , y0 ) 3 0.1 2 y0 y 0 3 0.1 2(3) 3 2.7 Par Para n 1
y2 y1 0.1 2 y1 ( y1 ) 2 2.7 0.1 2( 2.7) ( 2.7) 2 2.511 Par Para n 2 y3 y2 0.1 2 y2 ( y2 ) 2 2.511 0.1 2( 2.511) ( 2.511) 2 2.3827 Par Para n 3 y4 y3 0.1 2 y3 ( y3 )2 2.3827 0.1 2( 2.3827) ( 2.3827) 2 2.2915 Par Para n 4 2 2 y5 y4 0.1 2 y4 ( y4 ) 2.2915 0.1 2( 2.2915) ( 2.2915) 2.2247
Par Para n 5 2 2 y6 y5 0.1 2 y5 ( y5 ) 2.2247 0.1 2( 2.2247) ( 2.2247) 2.1747
5 Prep a ra do
porr: Pr po Prof. Gil Sa Sa ndr ndro o Góm Góme e z.
