1- Raúl Franco Casas está realizando un experimento acerca del peso de las rebanadas de jamón de una marca determinada. Tiene 500 rebanadas de jamón de pierna, con un peso medio de 5.02 gramos y una desviación típica de o.30 gramos cada una. Calcula la probabilidad de que, si Raúl extrae una muestra aleatoria de 100 rebanadas de su población, cada una de ellas tenga un peso: A) entre 4.96 y 5,0 gramos B) más de 5.1 gramos Respuesta Datos: μ=5.02
σ =0.30 n=100
a ¿ 4.96 ≤ x ≤ 5.0 b ¿ x> 5.1
a)
z 2=
z 1=
4.96−5.02 =−2 .03 √ 100
5−5.02 =−0.67 .03 √ 100 P = z2 – z1 = 0.2546 – 0.0228 = 0.2318
b)
z=
5.1−5.02 =2.67 .03 √ 100 P= 1 – z = 1 – 0.9962 = 0.0038
2- En una institución bancaria se han realizado estudios acerca de las cuentas de inversión, y se ha detectado que estas están distribuidas normalmente con una media de $2000.00 y una desviación estándar de $600.00. Si la institución toma una muestra aleatoria de 100 cuentas de inversión. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral este entre $1900.00 y $2050.00? Respuesta Datos: μ=2000
σ =600 n=100
1900 ≤ x ≤2050 z 1=
z 2=
1900−2000 =−1.67 600 √ 100
2050−2000 =0.83 600 √ 100 P= z2 – z1= 0.7967 - 0.0475 = 0.7492
3-En la sala de belleza unisex “La princesa Azteca”, se ha observado que en días de quincena asiste un promedio de 148 personas a arreglarse el pelo, con una desviación típica de 6 personas. (Recuerda que se está hablando de datos muéstrales) . Considerando que la distribución de muestreo es normal: A) ¿Qué porcentaje de las medias de la muestra estará entre 155 y 161 personas? B) ¿Qué porcentaje de los valores medios de la muestra será mayor o igual de 170 personas? Respuesta Datos: μ=148
σ =6 n=1
a ¿ 155 ≤ x ≤161 b ¿ x ≥ 170
a)
z 2=
z 1=
155−148 =1.16 6 √1
161−148 =2.16 6 √1 P= z2 – z1= 0.9846 - 0.8770 = 0.1076
b)
z=
170−148 =3.66 6 √1
P= 1 – z = 1 – 1 = 0
4-Se cuenta con 300 cajas que contienen libros de Probabilidad, cada caja tiene un peso medio de 5.02kg y una desviación típica de 0.3 Kg. A) Encuentre la probabilidad de que en una muestra de azar de 100 cajas el peso promedio de cada caja este comprendido entre 4.96 y 4.98 kg. Respuesta Datos: μ=5.02 σ =0.30
n=100 4.96 ≤ x ≤ 4.98
z 1=
4.96−5.02 =−2 0.30 √ 100
z 2=
4.98−5.02 =−1.33 0.30 √ 100
P= z2 – z1= 0.0918 - 0.0228 = 0.0690
Distribuciones muestrales de proporciones. 5- En la zona centro de la Ciudad de México, se observó que en un 20 % de las familias, uno de sus integrantes o más, presentan problemas de salud debido a la contaminación ambiental. Una muestra aleatoria de 150 familias dio una proporción del 27% de familias con la característica señalada. Si suponemos que el valor del 20% es correcto, ¿cuál será la probabilidad de obtener una proporción mayor o igual a la observada (es decir respecto al 27%)? Respuesta: Datos: P=0.20 q=0.80 n=150 p=0.27 z=
0.27−0.20 =2.14 ( 0.2∗0.8 ) 150
√
P= 1 - z = 1 – 0.9838 = 0.0162
6- Un estudio llevado a cabo en el municipio de Nezahualcóyotl, Estado de México, dio como resultado que, el 70 % de una población de 100 niños de primaria asistió a consulta con el médico general, por lo menos una vez en su vida. A) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción de los niños que asistió a consulta con el médico general, por lo menos una vez en su vida este entre 0.65 y 0.75? B) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción sea mayor que 0.75? Respuesta: Datos: P=0.70 q=0.30 n=100 a) 0.65 ≤ p ≤ 0.75 b) p ≥ 0.75 z 1= a)
z 2=
0.65−0.70 =−1.09 ( 0.7∗0.3 ) 100
√
0.75−0.70 =1.09 ( 0.7∗0.3 ) 100
√
P= z2 – z1= 0.8621 - 0.1379 = 0.7242 z= b)
0.75−0.70 =1.09 ( 0.7∗0.3 ) 100
√
P= 1 – z= 1 - 0.8621 = 0.1379
7- En una investigación realizada entre los habitantes de la Delegación Iztacalco, se ha encontrado que el 18% de ellos, ha tenido problemas de tránsito. Se seleccionó una muestra aleatoria de 100 personas ¿Cuál es la probabilidad de que, entre el 15% y el 25% haya tenido contacto con policías de tránsito? Respuesta: Datos: P=0.18 q=0.82 n=100 a) 0.15 ≤ p ≤ 0.25 z 1=
z 2=
√
0.15−0.18 =−0.78 ( 0.18∗0.82 ) 100
√
0.25−0.18 =1.82 ( 0.18∗0.82 ) 100
P= z2 – z1= 0.9656 - 0.2177 = 0.7479 8.-Se ha encontrado que el 60% del personal ejecutivo de la empresa "El Farolito", realiza con regularidad "la verificación" de su automóvil. Extrayendo una muestra aleatoria de 150 personas de dicho nivel. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté comprendida entre 0.5 y 0.7
Respuesta: Datos: P=0.18 q=0.82
n=100 0.15≤ p ≤0.25
z 1=
z 2=
√
0.5−0.6 =−2.5 ( 0.6∗0.4 ) 150
√
0.7−0.6 =2.5 ( 0.6∗0.4 ) 150
P= z2 - z1 = 0.9938 – 0.0062 = 0.9876
2.11 En el proceso de envasado de los afamados refrescos GUSTO, se presenta una producción promedio en la que el 10 % de las botellas no están completamente llenas. Se selecciona una muestra al azar de 225 botellas de un lote de 625 envases llenos. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral de botellas parcialmente llenas, se encuentre en el intervalo que va de 9 a 11 % ?
Respuesta Datos: P=0.10 q=0.90 n=225 0.09≤ p ≤0.11
z 1=
z 2=
0.09−0.1 =−0.5 ( 0.1∗0.9 ) 225
√
0.11−0.1 =0.5 ( 0.1∗0.9 ) 225
√
P= z2 – z1 = 0.6915 – 0.3085 = 0.3830
DISTRIBUCIONES MUESTRALES DE SUMAS Y DIFERENCIAS DE MEDIAS
9.-La ropa que produce un fabricante F1 tiene una media de 1400 días de duración con una desviación típica de 200 días, mientras que las de otro fabricante F2 tiene , una vida media de 1200 días con una desviación típica de 100 días. Si se toma una muestra de 125 prendas de cada uno de los fabricantes, ¿cuál es la probabilidad de que la ropa que produce el fabricante F1 tenga una vida media que sea al menos de 160 días más de duración que la que produce el fabricante F2?
Respuesta: Datos: μ1=1400 σ 1=200 n1=125 μ2=1200 σ 2=100
n2=125 x 1−x 2 ≥ 160
z=
160−200
√
(200)2 (100)2 + 125 125
=−2
P= 1 - 0.0228 = 0.9772
10.- Las puntuaciones de dos poblaciones están distribuidas normalmente con medias y varianzas ,µ1 = 50, muestra aleatoria de
1= 40, µ2 = 40,
2= 60. Una
tamaño n1=10 se saca de la población "1" y una de tamaño n2=12 de la población "2". ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia entre las medias muestrales esté entre 5 y 15?
Respuesta Datos: μ1=50 σ 21=40 n1=10 μ2=40 2
σ 2=60 n2=12 5 ≤ x 1−x 2 ≤ 160
z 1=
z 2=
5−10
√
40 60 + 10 12
=−1.66
15−10 =1.66 40 60 + 10 12
√
P= z2 – z1 = 0.9515 – 0.0485 = 0.9030 11.- La máquina A produce lámparas fluorescentes con una duración media de 1500 días y una desviación típica de 200 días, mientras que las de la máquina B tienen una duración media de 1200 días con una desviación típica de 110 . Sí se toman al azar 150 lámparas fluorescentes de cada máquina , ¿Cuál es la probabilidad de que las lámparas que proceden de la máquina A tengan una duración media que sea al menos de 250 días más que las de la máquina B?
Respuesta Datos: μ1=1500 σ 1=200 n1=150 μ2=1200 σ 2=110 n2=150 x 1−x 2 ≥ 250
z=
250−300
√
(200)2 (110)2 + 150 150
=−2.68
P= 1 – Z = 1 – 0.0037 = 0.9963
12.-Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza muestral:
a.
Mayor que 9.1
b.
Entre 3.462 y 10.745
=6, tenga una varianza
Datos: n= 25 σ 2=6 2
a)
s >9.1
b)
3.462≤ s2 ≤10.745
x 2=
( 25−1 )∗9.1 =36.4 6
P= 0.05 ( en tabla de chi cuadrada valor aproximado con 24gl = 35.415 α=0.05)
2
x 1=
( 25−1 )∗3.462 =13.848 6
2
x 2=
( 25−1 )∗10.745 =42.98 6
P= 0.95 – 0.01 = 0.94 (en tabla de chi cuadrada valor aproximado en α=0.95 es de 13.848 y en α=0.01 es de 42.98, ambas con 24gl)
