1) La red Amigos de los Videntes cobra $3 por minuto para conocer los secretos que pueden cambiar su vida. La red sólo cobra por minutos completos y redondea hacia arriba para beneficiar a la compañía. Así, una llamada de 2 minutos 10 segundos cuesta $9. Se da una lista de 15 cobros seleccionados al azar 3 9 15 21 42 30 6 9 6
21 24
32
9 15
12
a) Encuentre la media de la muestra. b) Encuentre una estimación puntual de la varianza de la población. c) ¿Puede esta muestra usarse para estimar la duración promedio de una llamada? Si es así, ¿cuál es la estimación? Si no, ¿qué se puede estimar con esta muestra? (Estimación puntual para la media y la varianza) 3 puntos Solución: 𝑋
𝑋2
3
9
9
81
15
225
21
441
42
1764
30
900
6
36
9
81
6
36
21
441
24
576
32
1024
9
81
15
225
12
144
∑ 𝑋 =254
∑ 𝑋2 = 6064
Primero calculamos el promedio, es decir, 𝑋̅ =
∑ 𝑋 254 = = 15.93 𝑛 15
Y además, 𝑆2 =
∑ 𝑋2 ∑ 𝑋̅ 2 − 𝑛−1 𝑛−1
En este caso 𝑛 = 15, entonces sustituimos los datos respectivos, esto es, 𝑆2 =
6064 15(15.93) − = 433.14 − 17.1 = 416.04 15 − 1 15 − 1 𝑆 2 = 416.04
De donde se obtiene, 𝑆 = √416.04 = 20.4 a) Por tanto hemos obtenido que la media es 𝑋̅ = 15.93 b) La varianza es 𝑆 2 = 416.04 c) No, no se puede. Debido a que el tiempo de entrega es mayor a 3 minutos. Usar estos datos subestimará en forma consistente el promedio del tiempo de entrega.
2) Una muestra aleatoria de 950 votantes probables, fueron encuestados, de los cuales 402 indicaron pensaban votar por el candidato A en la próxima elección. Construya un intervalo de confianza de 90% para la proporción p de votantes probables del candidato A.¿ Se puede concluir que el candidato A ganara las elecciones? (Estimación de intervalo para la proporción) Solución: Primero calculamos la proporción de la muestra de acuerdo con la fórmula 𝑝=
𝑋 𝑛
Esto es, 𝑝=
402 = 0.423 950
Por consiguiente se calcula que el 42.3% de los votantes favorece al candidato A,. Determinemos el intervalo de confianza de 90% con ayuda de la fórmula 𝑝(1 − 𝑝) 𝐼𝛼 = 𝑝 ± 𝑧 √ 𝑛 En este caso para 90% , es decir, 𝛼 = 100% − 90% = 10% = 0.10 tenemos que 𝑧 = 1.645 y además, 𝑛 = 950, por tanto sustituimos en la fórmula anterior, teniendo 0.423(1 − 0.423) 𝐼𝛼 = 0.423 ± (1.645) √ = 0.423 ± (1.645)(0.016) 950 𝐼𝛼 = 0.423 ± 0.026 Es decir, los puntos extremos del intervalo de confianza son 0.397 y 0.449. Así que el punto extremo más alto es menor que el 50%, es decir, es probable que el candidato A no gane las elecciones.
3) American Theaters sabe que cierta película de éxito se exhibió un promedio de 84 días en cada ciudad y que la desviación estándar correspondiente fue 10 días. El administrador del distrito sureste se interesó en comparar la popularidad de la película en su región con la que tuvo en otros cines de Estados Unidos. Eligió 75 salas al azar en su región y encontró que exhibieron la película un promedio de 81.5 días. a) Establezca las hipótesis adecuadas para probar si hubo una diferencia significativa en la duración de la exhibición entre los teatros del sureste y el resto de Estados Unidos. b) Pruebe estas hipótesis para un nivel de significancia del 2% (Prueba de hipótesis para la media) 4 puntos Solución: En este caso 𝑛 = 75 (𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎) ; 𝜎 = 10 (𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟) ; 𝑋̅ = 81.5 ; 𝜇 = 84 a) Se establecen las hipótesis nula y alternativa:
La hipótesis nula es: la media de la población es 84. La hipótesis alternativa es: la media no es 84. Estas hipótesis se expresan de la forma siguiente 𝐻0 ∶ 𝜇 = 84 𝐻1 ∶ 𝜇 ≠ 84 Esta es una prueba de dos colas, puesto que la hipótesis alternativa no indica dirección alguna, el administrador del distrito solo quiere saber si hubo una diferencia significativa. b) Se selecciona el nivel de significancia: Como ya se indicó, se utiliza el nivel de significancia del 𝛼 = 2% = 0.02. Este valor es la probabilidad de cometer el error del tipo I, que es la probabilidad de rechazar una hipótesis nula verdadera. Como se trata de una prueba de dos colas, la mitad de 0.02 es 0.01, la cual se localiza en cada cola. Por consiguiente, el área en la que no se rechaza 𝐻0 , localizada ente las dos colas, 0.98. Así, 0.500 − 0.01 = 0.49 es el área entre 1 y el valor crítico. Localizamos en la tabla y obtenemos que este es 2.33. Por tanto la regla de decisión es: rechazar la hipótesis nula y aceptar la hipótesis alternativa si el valor Z calculado no se encuentra entre −2.33 𝑦 + 2.33 . La hipótesis nula no se rechaza si Z se ubica entre −2.33 𝑦 + 2.33. Calculamos el valor de Z con la fórmula 𝑋̅ − 𝜇 𝑧= 𝜎 √𝑛 Sustituyendo los datos tenemos 81.5 − 84 2.5 𝑧= =− = −0.37 2.58 10/√15 Como −0.37 no cae en la región de rechazo, 𝐻0 no se rechaza. La conclusión es: la media de la población no es distinta de 84, así se informa al administrador del distrito sureste que no hubo diferencia significativa.
Resolver los ejercicios paso a paso manuscritos. Subirlos mediante fotos o escaneados y pegarlos en un solo archivo Disponibles hasta el día jueves 03/03
