EJERCICIOS 1. Una Una refi refine nerí ría a produ produce ce gaso gasolilina na Corri Corrien ente te,, Extr Extra a y AC! C! para para las las cual cuales es a est esta"lecido un prec recio de #enta nta de $%&& %&&&, $%' $%'&& y $%1&& por gal(n respecti#a)ente. ara la producci(n de estos co)"usti"les, la co)pa*ía cuenta con una disponi"ilidad de '&&& galones de petr(leo crudo y +&&& galones de petr(leo refinado. Ade)s se a esta"lecido -ue el costo de gal(n de petr(leo crudo es &&& y el refinado a '&&. or re-ueri)ientos de calidad, se sa"e -ue la gasolina corriente de"e contener %&/ de petr(leo crudo y 0&/ de petr(leo refinado la gasolina extra de"e contener &/ de petr(leo crudo y +&/ de petr(leo refinado )ientras -ue el AC! de"e contener '&/ de a)"os petr(leos. lantee el )odelo de progra)aci(n lineal con el fin de o"tener el "eneficio de la e)presa. 222222222222222
. CRU3O
CORRIE59E E:9RA AC! 3ISO5I;I8I3 A3 RECIO67A8O 5
%&/ &/ '&/ '&&& galones $&&&
. RE4I5A3 O 0&/ +&/ '&/ +&&& galones $'&&
RECIO67A8 O5 $%&&& $%'&& $%1&&
2<8o pri)ero -ue =ace)os es definir las #aria"les a usar en el )odelo de progra)aci(n lineal> :1? 7al(n de gasolina corriente : @? 7al(n de gasolina extra : ? 7al(n de AC! :%? 7al(n de petr(leo crudo : '? 7al(n de petr(leo refinado. 2
B)ax? %&&&:1%'&&:@%1&&:2D&&&:%'&&:' 2 son> RES9RICCIO5 3E ORCE59AJE 3E . CRU3O> R1? &.%:1&.:@&.': G '&&& RES9RICCIO5 RES9RICC IO5 3E ORCE59AJE 3E . RE4I5A3O> RE4I5A3O > R@? &.0:1&.+:@&.': G +&&&
RES9RICCIO5ES 3E OSI9IHI3A3> :1,:@,:,:%,:' G & @. Una co)pa*ía de petr(leo produce tres tipos de gasolina Sper, 5or)al y Euro. Se o"tienen por la )ecla de tres calidades de crudo -ue contienen tres co)ponentes A, ; y C. 8a participaci(n de esos co)ponentes en la fa"ricaci(n de cada crudo es>Restricciones> CRU3O A ; C
1 K&/ %'/ &/
@ 1&/ &/ %&/
'/ @&/ @'/
8as especificaciones de los tres tipos de gasolina son> 9IO 3E 7ASO8I5A SUER 5OR!A8 EURO
A
;
C
L0&/ L'&/ G%&/
G@'/ G&/ L'/
L1&/ G1'/ L@&/
8os costos por "arril de crudo A, ; y C es de $0'&, $'&& y $%'& respecti#a)ente. El presupuesto diario de co)pras es de $'& )illones la disponi"ilidad diaria de crudo ; y C se li)ita respecti#a)ente a &&& y +&&& "arriles. Ciertos acuerdos o"ligan co)prar al )enos @'&& "arriles de A por día. 8as de)andas de las gasolinas Sper y 5or)al son de @&&& y @'&& "arriles diarios respecti#a)ente, -ue de"en satisfacerse. 8a co)pa*ía desea )axi)iar la producci(n de gasolina Euro. 3E4I5I!OS
8AS
HARIA;8ES>
:i?< i? 9ipo de crudo? MA, ;, CN ?9ipo de gasolina? MS, 5, EN en unidades de "arriles. F co)o ayuda tene)os de #aria"le C, con respecto a cada co)ponente de los crudos. 2<5uestra funci(n o"eti#o es, teniendo en cuenta -ue la e)presa desea )axi)iar la producci(n de gasolina Euro> B)ax?
:AE:;E:CE
2 &.KC1 &.1C@ &.&'CL &.0 D: AS:;S:CS &.%'C1 &.C@ &.@CG &.@' D: AS:;S:CS &.C1 &.%C@ &.@'CL &.1 D: AS:;S:CS &.KC1 &.1C@ &.&'CL &.' D: A5:;5:C5 &.%'C1 &.C@ &.@CG &. D: A5:;5:C5 &.C1 &.%C@ &.@'CG &.1' D: A5:;5:C5 &.KC1 &.1C@ &.&'CG &.% D: AE:;E:CE &.%'C1 &.C@ &.@CL &.' D: AE:;E:CE &.C1 &.%C@ &.@'CL &.@ D: AE:;E:CE 2 0'& D: AS: A5: AE'&& D:;S:;5:;E%'& D:CS:C5:CE G '& )illones 2 :;S:;5:;E G &&& "arriles. :CS:C5:CE G +&&& "arriles.
2 D: AS:;S:CS L @&&& "arriles D: A5:;5:C5 L @'&& "arriles 2 D: AS: A5: AE L @'&& "arriles. 2 :iL& i? 9ipo de crudo? MA, ;, CN ?9ipo de gasolina? MS, 5, EN.
. Una co)pa*ía produce "i"liotecas y escritorios para los cuales a esta"lecido un precio de #enta por unidad de $P&&& y $1&&&& respecti#a)ente. ara la producci(n de dic=os artículos, la co)pa*ía cuenta con una disponi"ilidad )ensual de +&& )etros de )adera, K&& )etros de tu"o y P&& pliegos de papel de lia. Qu cantidad de "i"liotecas y escritorios se de"en fa"ricar )ensual)ente, si se sa"e -ue una "i"lioteca consu)e + )etros de )adera, 1& )etros de tu"o y 0 pliegos de papel de lia )ientras -ue el escritorio consu)e 1& )etros de )adera, K )etros de tu"o y 1' pliegos de papel de liaT 3eter)ina)os pri)ero -ue todo, nuestras #aria"les -ue son> :1? 5)ero de "i"liotecas : @? 5)ero de escritorios.
A=ora, la funci(n o"eti#o es>
Zmax=9000X1+10000X2 Restricciones>
Restricci(n de cantidad de )adera a e)plear> +:11&:@ G +&& )
Restricci(n de cantidad de tu"o a e)plear> 1&:1K:@ G K&& ) Restricci(n de cantidad de papel de lia a e)plear> 0:11':@ G P&& pliegos Restricci(n de positi#idad> :1, :@ L &
%. Una co)pa*ía de petr(leo produce tres tipos de gasolina Sper, 5or)al y Euro. Se o"tienen por la )ecla de tres calidades de crudo -ue contienen tres co)ponentes A, ; y C. 8a participaci(n de esos co)ponentes en la fa"ricaci(n de cada crudo es> CRU3O A ; C
1 K&/ %'/ &/
@ 1&/ &/ %&/
8as especificaciones de los tres tipos de gasolina son>
'/ @&/ @'/
9IO 3E 7ASO8I5A SUER 5OR!A8 EURO
1
1
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8os costos por "arril de crudo A, ; y C es de $0'&, $'&& y $%'& respecti#a)ente. El presupuesto diario de co)pras es de $'& )illones la disponi"ilidad diaria de crudo ; y C se li)ita respecti#a)ente a &&& y +&&& "arriles. Ciertos acuerdos o"ligan co)prar al )enos @'&& "arriles de A por día. 8as de)andas de las gasolinas Sper y 5or)al son de @&&& y @'&& "arriles diarios respecti#a)ente, -ue de"en satisfacerse. 8a co)pa*ía desea )axi)iar la producci(n de gasolina Euro.
3E4I5I!OS 8AS HARIA;8ES> : i?< i? 9ipo de crudo? MA, ;, CN ?9ipo de gasolina? MS, 5, EN en unidades de "arriles. F co)o ayuda tene)os de #aria"le C, con respecto a cada co)ponente de los crudos. 5uestra funci(n o"eti#o es, teniendo en cuenta -ue la e)presa desea )axi)iar la producci(n de gasolina Euro>
Zmax= XAE+XBE+XCE 2 &,K&:AS&,%':;S&,&:CS L &,0&D:AS:;S:CS &,1&:AS &,&:;S&,%&:CS G &,@'D:AS:;S:CS &,&':AS&,@&:;S&,@':CS L &,1& D:AS:;S:CS &,K&:A5&,%':;5&,&:C5 L &,'&D:A5:;5:C5 &,1&:A5 &,&:;5&,%&:C5 G &,&D:A5:;5:C5 &,&':A5&,@&:;5&,@':C5 G &,1' D:A5:;5:C5 &,K&:AE&,%':;E&,&:CE G &,%&D:AE:;E:CE &,1&:AE &,&:;E&,%&:CE L &,'D:AE:;E:CE &,&':AE&,@&:;E&,@':CE L &,@&D:AE:;E:CE
2 0'& D: AS: A5: AE'&& D:;S:;5:;E%'& D:CS:C5:CE G '& )illones 2
:;S:;5:;E G &&& "arriles. :CS:C5:CE G +&&& "arriles.
2 D: AS:;S:CS L @&&& "arriles D: A5:;5:C5 L @'&& "arriles
2 D: AS: A5: AE L @'&& "arriles.
2 :iL& i? 9ipo de crudo? MA, ;, CN ?9ipo de gasolina? MS, 5, EN.
'. RO9RAC, produce dos líneas de )a-uinaria pesada. Una de sus líneas de productos, lla)ada e-uipa de exca#aci(n, se utilia de )anera pri)ordial en aplicaciones de construcci(n. 8a otra línea, deno)inada e-uipo para la sil#icultura, esta destinad a la industria )aderera. 9anto la )a-uina )as grane de la línea de e-uipo de exca#aci(n DEP, co)o la )ayor de toda la línea de sil#icultura D4P son fa"ricadas en los )is)os departa)ento y con el )is)o e-uipo. E)pleando las proyecciones econ()icas correspondientes al siguiente )es, el gerente de )ercadotecnia de RO9RAC =a considerado -ue durante ese periodo ser posi"le #ender todas las EP y 4P -ue la co)pa*ía sea capa de producir. 8a gerencia tiene -ue reco)endar a=ora una )eta de producci(n pare le )es pr(xi)o. Es decir, QCuntas E2P y 42P de"ern fa"ricar si la direcci(n de RO9RAC desea )axi)iar la contri"uci(n del )es entrante a las gananciasT
Se to)a en cuenta los siguientes factores i)portantes> •
El )argen de contri"uci(n unitaria de RO9RAC es de $ '&&& pro cada E2P #endida y de $%&&& por cada 42P.
•
•
•
•
•
Cada producto pasa por las operaciones de )a-uinado, tanto en el departa)ento A co)o el ;. ara la producci(n correspondiente al )es pr(xi)o, estos dos departa)entos tienen tie)pos disponi"les de 1'& y 10& =oras, respecti#a)ente. 8a fa"ricaci(n de cada E2P re-uiere 1& =oras de )a-uinado en el departa)ento A y @& =oras en el departa)ento ;, )ientras -ue la de cada 42P re-uiere 1' =oras en el departa)ento A y 1& en el ;. ara -ue la ad)inistraci(n cu)pla un acuerdo concertado con el sindicato, las =oras totales de tra"ao in#ertidas en la prue"a de productos ter)inados del siguiente )es no de"en ser )as all de 1&/ inferior a una )eta con#enida de 1'& =oras. Estas prue"as es lle#an a ca#o en un tercer departa)ento y no tiene nada -ue #er con las acti#idades de los departa)entos A y ;. Cada E2P es so)etida a prue"as durante & =oras y cada 42P durante 1&. 3ado -ue el 1&/ de 1'& es 1', las =oras destinas a las prue"as no pueden ser )enores -ue 1'. Con el fin de )antener su posici(n actual en el )ercado, la lata gerencia =a decretado co)o política operati#a -ue .de"er construirse cuando )enos una 42P por cada tres E2P -ue sean fa"ricadas. Uno de los principales distri"uidores =a ordenado un total de cuando )enos cinco E2P y 42P para el pr(xi)o )es, por lo cual tendr -ue producirse por lo )enos esa cantidad. Entonces to)a)os co)o nuestras #aria"les> :? V )-uinas EP F? V )-uinas 4P. 5uestra funci(n o"eti#o ser>
Zmax= 5000X + 4000Y. Restricciones>
1&: 1'F G 1'&. @&: 1&F G 10&. &: 1&F L 1'. :6F G . : F L '. :, F L &.
6. Problema de Dieta El pro"le)a de la dieta fue uno de los pri)eros so"re opti)iaci(n. Se trata"a =allar la )anera )s econ()ica de ali)entar al eercito pero asegurando al )is)o tie)po unos deter)inados ni#eles nutricionales. Este tipo de pro"le)a se puede plantear en distintas for)as tales co)o )ini)iar los gastos de la co)pra, dieta para el ganado, una dieta adelgaante -ue cu)pla unos deter)inados ni#eles de calorías, proteínas, =idratos de car"ono, etc. Eem!lo
Nos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la más económica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos y N. !a cantidad, en gramos, de cada componente por "ilo de estos piensos #iene dada en la tabla siguiente$
" $
A 1&& #
B # 1&&
C 1&& @&&
D @&& 1&&
!a dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos %.&'g del componente A, %.('g del componente B, )'g del componente C, y *.+'g del componente D. El compuesto cuesta %.)-'g y el compuesto N %.%-'g. /0u1 cantidades de piensos y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el menor posible2
%ol&'i() Se deter)inan las #aria"les de decisi(n y se representan alge"raica)ente. En este caso> • •
•
• • • •
• •
:1> cantidad de pienso ! en Wg :@> cantidad de pienso 5 en Wg Se deter)ina la funci(n o"eti#o> !ini)iar B ? &.@:1 &.&K:@ Se deter)inan las restricciones y se expresan co)o ecuaciones o inecuaciones de las #aria"les de decisi(n. 3ic=as restricciones se deducen de la co)posici(n re-uerida para la dieta diaria Den Wg> En el co)ponente A> &.1:1 &:@ L &.% En el co)ponente ;> &:1 &.1:@ L &.0 En el co)ponente C> &.1:1 &.@:@ L @ En el co)ponente 3> &.@:1 &.1:@ L 1.+ Se expresan todas las condiciones i)plícita)ente esta"lecidas por la naturalea de las #aria"les> -ue no puedan ser negati#as, -ue sean enteras, -ue solo puedan to)ar deter)inados #alores, ... En este caso, la nica restricci(n es -ue las cantidades de pienso -ue for)an la dieta no pueden ser negati#as> :1 L & :@ L & *. ra),!orte de tro!a, 3n destacamento militar 4ormado por 5% soldados ingenieros, 6( 7apadores, )) de las 4uer7as especiales, y *)% soldados de in4anter8a como tropa de apoyo, ha de transportarse hasta una posición estrat1gica importante. En el parque de la base se dispone de & tipos de #eh8culos A, B, C, y D, acondicionados para transporte de tropas. El n9mero de personas que cada #eh8culo puede transportar es *%, +, (, y :, de la 4orma en que se detalla en la siguiente tabla$
A B C D
-)e)iero,
Za!atero,
1 @
@ 1 1 @
/&era, e,!e'iale, 1 @ @
-)a)tera % 1 1
El combustible necesario para que cada #eh8culo llegue hasta el punto de destino se estima en *(%, %, &%, y *)% litros respecti#amente. ;i queremos ahorrar combustible, /cuántos #eh8culos de cada tipo habrá que utili7ar para que el consumo sea el m8nimo posible2
•
• • • •
•
• • • •
• •
Se deter)inan las #aria"les de decisi(n y se representan alge"raica)ente. En este caso> :i> n)ero de #e=ículos de cada tipo -ue se usen :1> n)ero de #e=ículos de tipo A :@> n)ero de #e=ículos de tipo ; :> n)ero de #e=ículos de tipo C :%> n)ero de #e=ículos de tipo 3 Se deter)ina la funci(n o"eti#o> !ini)iar B ? 10&:1 K&:@ %&: 1@&:% Se deter)inan las restricciones y se expresan co)o ecuaciones o inecuaciones de las #aria"les de decisi(n. 3ic=as restricciones se deducen de los soldados -ue de"en ser transportados> Ingenieros> :1 :@ @: :% L '& Bapadores> @:1 :@ : @:% L 0 4ueras especiales> :1 @:@ @: :% L @@ Infantería> %:1 :@ : :% L 1@& Se expresan todas las condiciones i)plícita)ente esta"lecidas por la naturalea de las #aria"les> -ue no puedan ser negati#as, -ue sean enteras, -ue solo puedan to)ar deter)inados #alores, ... En este caso las restricciones son -ue la cantidad de #e=ículos no puede ser negati#a y de"e ser ade)s un n)ero entero> :i L & :i son enteros 3. ra),!orte de mer'a)'a, ara este tipo de pro"le)as, aun-ue pueden ser resueltos por el )todo del Si)plex, existe un )todo específico de )s fcil resoluci(n> el )todo del transporte o )todo si)plificado del Si)plex para pro"le)as de transporte. Este )todo a=orra "astante tie)po y clculos frente al )todo del Si)plex tradicional. Sin e)"argo el pro"le)a se )odela de la )is)a for)a. Eem!lo
3n 4abricante desea despachar #arias unidades de un art8culo a tres tiendas <*, <), y <6. Dispone de dos almacenes desde donde reali7ar el en#8o, A y B. En el primero dispone de 5 unidades de este art8culo y en el segundo *%. !a demanda de cada tienda es de , 5, y ) unidades respecti#amente. !os gastos de transporte de un art8culo desde cada almac1n a cada tienda están e=presados en la tabla$
A B
1 1
2 @ @
% 1
/Cómo ha de reali7ar el transporte para que sea lo más económico posible2
•
%ol&'i() Se deter)inan las #aria"les de decisi(n, en este caso> :i> n)ero de unidades transportadas desde cada al)acn a cada tienda :1> n)ero de unidades transportadas desde el al)acn A =asta la tienda
•
91 :@> n)ero de unidades transportadas desde el al)acn A =asta la tienda
•
9@ :> n)ero de unidades transportadas desde el al)acn A =asta la tienda
•
9 :%> n)ero de unidades transportadas desde el al)acn ; =asta la tienda
•
91 :'> n)ero de unidades transportadas desde el al)acn ; =asta la tienda
•
9@ •
•
• • • • •
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:0> n)ero de unidades transportadas desde el al)acn ; =asta la tienda 9 Se deter)ina la funci(n o"eti#o> !ini)iar B ? :1 @:@ %: :% @:' :0 Se deter)inan las restricciones y se expresan co)o ecuaciones o inecuaciones de las #aria"les de decisi(n. 3ic=as restricciones se deducen de la disponi"ilidad de unidades -ue =ay en cada al)acn así co)o de la de)anda de cada tienda> 3isponi"ilidad en el al)acn A> :1 :@ : ? ' 3isponi"ilidad en el al)acn ;> :% :' :0 ? 1& 3e)anda de la tienda 91> :1 :% ? K 3e)anda de la tienda 9@> :@ :' ? ' 3e)anda de la tienda 9> : :0 ? @ Se expresan todas las condiciones i)plícita)ente esta"lecidas por la naturalea de las #aria"les> -ue no puedan ser negati#as, -ue sean enteras, -ue solo puedan to)ar deter)inados #alores, ... En este caso las restricciones son -ue la cantidad de unidades no puede ser negati#a y de"e ser ade)s un n)ero entero> :i L &
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:i son enteros 9. rbole, r&tale, 3n agricultor tiene una parcela de (&%m> para dedicarla al culti#o de árboles 4rutales$ naranjos, perales, man7anos y limoneros. ;e pregunta de qu1 4orma deber8a repartir la super4icie de la parcela entre las #ariedades para conseguir el má=imo bene4icio sabiendo que$ cada naranjo necesita un m8nimo de *(m>, cada peral &m>, cada man7ano m> y cada limonero *)m>. dispone de :%% horas de trabajo al a?o, necesitando cada naranjo 6% horas al a?o, cada peral 5 horas, cada man7ano *% horas, y cada limonero )% horas. a causa de la sequ8a, el agricultor tiene restricciones para el riego$ le han asignado )%%m@ de agua anuales. !as necesidades anuales son de )m@ por cada naranjo, *m@ por cada peral, *m@ por cada man7ano, y )m@ por cada limonero. los bene4icios unitarios son de 5%, )5, )%, y 6% por cada naranjo, peral, man7ano y limonero respecti#amente.
Se deter)inan las #aria"les de decisi(n y se representan alge"raica)ente. En este caso> :1> n)ero de naranos :@> n)ero de perales :> n)ero de )ananos :%> n)ero de li)oneros Se deter)ina la funci(n o"eti#o> !axi)iar B ? '&:1 @':@ @&: &:% Se deter)inan las restricciones y se expresan co)o ecuaciones o inecuaciones de las #aria"les de decisi(n. 3ic=as restricciones se deducen de las necesidades de cada r"ol de terreno, =oras de tra"ao anuales, y necesidades de riego> 5ecesidades de terreno> 10:1 %:@ K: 1@:% G 0%& 5ecesidades de =oras anuales> &:1 ':@ 1&: @&:% G P&& 5ecesidades de riego> @:1 :@ : @:% G @&& Se expresan todas las condiciones i)plícita)ente esta"lecidas por la naturalea de las #aria"les> -ue no puedan ser negati#as, -ue sean enteras, -ue solo puedan to)ar deter)inados #alores, ... En este caso las restricciones son -ue el n)ero de r"oles no puede ser negati#o y ade)s de"e ser un n)ero entero> :i L & :i son enteros 10. A,i)a'i() de !er,o)al 3na empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar & puestos de trabajo en dicha empresa. !os puestos de trabajo consisten en manejar & máquinas di4erentes un trabajador para cada máquina. !a empresa puso a prueba a los 5
trabajadores en las & máquinas, reali7ando el mismo trabajo todos ellos en cada una de las máquinas, obteniendo los siguientes tiempos$
Candidato 1 Candidato @ Candidato Candidato % Candidato '
!a-uina 1 1& K K P K
!a-uina @ 0 + 0 + +
!a-uina 0 0 ' + 0
!a-uina % ' 0 0 0 '
Determinar qu1 candidatos debe seleccionar la empresa y a qu1 máquinas debe asignarlos.
Se deter)inan las #aria"les de decisi(n, en este caso> :i> acci(n de -ue el tra"aador i es asignado a la )-uina D& indica -ue el tra"aador no =a sido asignado y 1 -ue sí =a sido asignado Se deter)ina la funci(n o"eti#o> !ini)iar B ? 1&:11 K:@1 K:1 P:%1 K:'1 0:1@ +:@@ 0:@ +:%@ +:'@ 0:1 0:@ ': +:% 0:' ':1% 0:@% 0:% 0:%% ':'% Se deter)inan las restricciones y se expresan co)o ecuaciones o inecuaciones de las #aria"les de decisi(n. 3ic=as restricciones son -ue cada tra"aador de"e ser asignado a una sola )-uina y no de"e -uedar ninguna )-uina sin un tra"aador asignado a ella> Cada tra"aador de"e estar asignado a una sola )-uina o a ninguna si no se selecciona> XY22Zif Ysupport8ists[22< XY22Zendif[22<:11 :1@ :1 :1% G 1 XY22Zif Ysupport8ists[22< XY22Zendif[22<:@1 :@@ :@ :@% G 1 XY22Zif Ysupport8ists[22< XY22Zendif[22<:1 :@ : :% G 1 XY22Zif Ysupport8ists[22< XY22Zendif[22<:%1 :%@ :% :%% G 1 XY22Zif Ysupport8ists[22< XY22Zendif[22<:'1 :'@ :' :'% G 1 En cada )-uina de"e =a"er un tra"aador> :11 :@1 :1 :%1 :'1 ? 1 :1@ :@@ :@ :%@ :'@ ? 1 :1 :@ : :% :' ? 1 XY22Zif Ysupport8ists[22< XY22Zendif[22<:1% :@% :% :%% :'% ? 1 Se expresan todas las condiciones i)plícita)ente esta"lecidas por la naturalea de las #aria"les> -ue no puedan ser negati#as, -ue sean enteras, -ue solo puedan to)ar deter)inados #alores. En este caso las restricciones son -ue las asignaciones de tra"aadores a )-uinas no puede ser negati#a y de"e ser ade)s una #aria"le "ooleana D& no se asigna, 1 se asigna> :i L & :i es "ooleano 11. Cami)o m)imo 8os pro"le)as conocidos co)o pro"le)as del ca)ino )íni)o o ca)ino )s corto, tratan co)o su no)"re indica de =allar la ruta )íni)a o )s corta entre dos •
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puntos. Este )íni)o puede ser la distancia entre los puntos origen y destino o "ien el tie)po transcurrido para trasladarse desde un punto a otro. Se aplica )uc=o para pro"le)as de redes de co)unicaciones. Este tipo de pro"le)as pueden ser resueltos por el )todo del Si)plex, sin e)"argo existen otros )todos )s eficientes co)o por ee)plo el algorit)o de 3i\stra o el de ;ell)an24ord. Eem!lo 3na persona tiene que despla7arse a diario de un pueblo * a otro +. Está estudiando cual es el trayecto más corto usando un mapa de carreteras. !as carreteras y sus distancias están representadas en la 4igura siguiente$
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%ol&'i() Se deter)inan las #aria"les de decisi(n, en este caso> :i> acci(n de desplaarse del pue"lo i al D& indica -ue no =ay desplaa)iento y 1 -ue sí =ay desplaa)iento Se deter)ina la funci(n o"eti#o> !ini)iar B ? 1@:1@ %:1 ':@% :@' @:% 1&:0 ':%@ @:% 1&:%' :'@ 1&:'% @:'+ 1&:0 %:0+ Se deter)inan las restricciones y se expresan co)o ecuaciones o inecuaciones de las #aria"les de decisi(n. 3ic=as restricciones se deducen del "alance entre los posi"les ca)inos -ue parten desde cada pue"lo y los -ue llegan =asta l Do"#iando los ca)inos -ue nos de#uel#an al punto de partida y los -ue pro#engan del punto de destino> ;alance de ca)inos del pue"lo 1> :1@ :1 ? 1 ;alance de ca)inos del pue"lo @> :@% :@' 2 :1@ 2 :%@ 2 :'@ ? & ;alance de ca)inos del pue"lo > :% :0 2 :1 2 :% 2 :0 ? & ;alance de ca)inos del pue"lo %> :%@ :% :%' 2 :@% 2 :% 2 :'% ? & ;alance de ca)inos del pue"lo '> :'@ :'% :'+ 2 :@' 2 :%' ? & ;alance de ca)inos del pue"lo 0> :0 :0+ 2 :0 ? & ;alance de ca)inos del pue"lo +> 2 :'+ 2 :0+ ? 21
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Se expresan todas las condiciones i)plícita)ente esta"lecidas por la naturalea de las #aria"les> -ue no puedan ser negati#as, -ue sean enteras, -ue solo puedan to)ar deter)inados #alores, ... En este caso las restricciones son -ue las #aria"les de"en ser "ooleanas D& no se to)a el ca)ino, 1 se to)a, y por lo tanto no pueden ser negati#as> :i L & :i es "ooleano 12. o'alia'i() 3na empresa tiene la e=clusi#a para la distribución de un producto en & poblaciones. En un estudio de mercado se ha determinado la demanda potencial, seg9n se muestra en la siguiente tabla$
Pobla'i() 1 &&& Unidades
Pobla'i() 2 @&&& unidades
Pobla'i() @'&& unidades
Pobla'i() 4 @+&& unidades
;e sabe que los costes de transporte son de %.%) por 'm y unidad transportada. !a distancia en 'm e=istente entre los pueblos es la que 4igura en la tabla siguiente$
Pobla'i() 1 Pobla'i() 2 Pobla'i() Pobla'i() 4
Pobla'i() 1 2 @' ' %&
Pobla'i() 2 @' 2 @& %&
Pobla'i() ' @& 2 &
Pobla'i() 4 %& %& & 2
ara abaratar los costes de transporte se decide instalar un almac1n con capacidad para (%%% unidades en dos de estas cuatro poblaciones. Determinar en qu1 poblaciones se deben instalar los almacenes.
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%ol&'i() Se deter)inan las #aria"les de decisi(n, en este caso> :i> cantidad en#iada del al)acn i a la po"laci(n Fi> al)acn situado en la po"laci(n i D& indica -ue no =ay ningn al)acn y 1 -ue sí lo =ay Se deter)ina la funci(n o"eti#o> !ini)iar B ? &.':1@ &.+:1 &.K:1% &.':@1 &.%:@ &.K:@% &.+:1 &.%:@ &.0:% &.K:%1 &.K:%@ &.0:% Se deter)inan las restricciones y se expresan co)o ecuaciones o inecuaciones de las #aria"les de decisi(n. 3ic=as restricciones se deducen de la siguiente )anera> 8as unidades -ue se en#ían a cada po"laci(n desde los al)acenes de"en cu)plir con la de)anda de dic=a po"laci(n> :11 :@1 :1 :%1 L &&& :1@ :@@ :@ :%@ L @&&& :1 :@ : :% L @'&& :1% :@% :% :%% L @+&& Solo se crearn dos al)acenes>
XY22Zif Ysupport8ists[22 :11 :1@ :1 :1% G 0&&&F1 :@1 :@@ :@ :@% G 0&&&F@ :1 :@ : :% G 0&&&F :%1 :%@ :% :%% G 0&&&F% Se expresan todas las condiciones i)plícita)ente esta"lecidas por la naturalea de las #aria"les> -ue no puedan ser negati#as, -ue sean enteras, -ue solo puedan to)ar deter)inados #alores, ... En este caso las restricciones son -ue las unidades en#iadas desde cada al)acn no pueden ser negati#as y ade)s la #aria"le -ue deter)ina si se crear o no un al)acn de"e ser "ooleana D& no se crea, 1 se crea> :i L & Fi es "ooleano 1. -)7er,i() e) bol,a •
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3na in#ersora dispone de 5%.%%% para in#ertir entre las cuatro siguientes posibilidades$ bolsa , bolsa , bonos , y bonos , por el periodo de un a?o. 3n má=imo de *%.5%% puede ser in#ertido en bonos , y un má=imo de *%.%%% en bonos . !a in#ersión en la bolsa conlle#a un riesgo considerable por lo que se determina no in#ertir más de un cuarto de la in#ersión total. !a cantidad in#ertida en la bolsa debe ser al menos tres #eces la cantidad in#ertida en la bolsa . Además, la in#ersora requiere que la in#ersión en bonos sea al menos tan grande como la mitad de la in#ersión en las bolsas. !os retornos netos anuales se estiman seg9n se muestra en la siguiente tabla$
Bol,a X @& /
Bol,a Y 1& /
Bol,a X P/
Bol,a Y 11 /
/Cuál es la 4orma óptima de reali7ar la in#ersión para conseguir las má=imas ganancias2
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%ol&'i() Se deter)inan las #aria"les de decisi(n, en este caso> :1> in#ersi(n en "olsa : :@> in#ersi(n en "olsa F :> in#ersi(n en "onos : :%> in#ersi(n en "onos F Se deter)ina la funci(n o"eti#o> !axi)iar B ? &.@:1 &.1:@ &.&P: &.11:% Se deter)inan las restricciones y se expresan co)o ecuaciones o inecuaciones de las #aria"les de decisi(n. 3ic=as restricciones se deducen de las decisiones to)adas por la in#ersora so"re la for)a de in#ertir y de la in#ersi(n )xi)a -ue se puede realiar>
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:1 :@ : :% G '&&&& :1 G 1@'&& : G 1&'&& :% G 1&&&& :1 2 :@ G & &.':1 &.':@ 2 : 2 :% G & Se expresan todas las condiciones i)plícita)ente esta"lecidas por la naturalea de las #aria"les> -ue no puedan ser negati#as, -ue sean enteras, -ue solo puedan to)ar deter)inados #alores, ... En este caso la nica restricci(n es -ue las in#ersiones no pueden ser negati#as> :i L & 14. Elabora'i() de &mo, Una e)presa de ali)entaci(n produce u)os de pera, narana, li)(n, to)ate, )anana, ade)s de otros dos tipos deno)inados ] y 7 -ue son co)"inados de alguno de los anteriores. 8a disponi"ilidad de fruta para el periodo pr(xi)o, así co)o los costes de producci(n y los precios de #enta para los u)os, #ienen dados en la ta"la> 4RU9A 5ARA5JA D5 ERA D 8I!_5 D8 9O!A9E D9 !A5BA5A D!
3ISO5I;I8I3A3 !^:I!A DW7 @&&& @'&&& @1&&& 1K&&& @+&&&
COS9E D9AS6W7 P% K+ + %+ 0K
RECIO HE59A D9AS68 1@P 1@' 11& KK P+
8as especificaciones y precios de #enta de los co)"inados #ienen dados en la ta"la> CO!;I5A3O ESECI4ICACI_5 ] 7
5o )s del '& / de ! 5o )s del @& / de 5o )enos del 1& / de 8 %& / de 5 ' / de 8 @' / de
RECIO HE59A D9AS68 1OO 1@&
8a de)anda de los distintos u)os es grande, por lo -ue se espera #ender toda la producci(n. or cada \g de fruta, se produce un litro del correspondiente u)o.
3eter)inar los ni#eles de producci(n de los siete u)os, de )anera -ue se tengan "eneficio )xi)o en el periodo entrante. SO8UCIO5>
HARIA;8ES :i donde :> cantidad de litros I> D]?1, 7?@ J> Dnarana? 1, pera? @, li)(n?, to)ate?%, )anana ? '
4U5CIO5 O;JE9IHO BD)ax? 1&&:1 1@&:@ 1@PD:11:@1 1@'D:1@:@@ 11&D:1:@ KKD:1%:@% P+D:1':@' ` P%D:11:@1 ` K+D:1@:@@ ` +D:1:@ ` %+D:1%:@% ` 0KD:1':@' BD)ax? 1&&:1 1@&:@ 'D:11:@1 KD:1@:@@ +D:1:@ %1D:1%:@% @PD:1':@'
RES9RICCIO5ES Concentraci(n :1' G &,'& :1 :1@ G &,@& :1 :1 L &,1& :1 :1@ :1 :1' :11 :1% ? :1 :@1 ? &,%& :@ :@ ? &,' :@ :@@ ?&,@' :@ :@1 :@ :@@ :@% :@' ? :@ 3isponi"ilidad :11 :@1 G @&&& :1@ :@@ G @'&&& :1 :@ G @1&&& :1% :@% G 1K&&& :1' :@' G @+&&& ositi#idad :i L & para todo i? 1,@ y ? 1,@,,%,'
