Una Fábrica de Muebles Calcula Que El Costo Semanal de Producir x Reproducciones Terminadas a Mano de Un Escritorio Colonia

1 Una fábrica de muebles calcula que el costo semanal de producir x reproducciones terminadas a mano de un escritorio colonia, está dado por C(x)=

 x 3−3 x2 −80 x +500 . Cada escritorio producido se vende en $ 28 (d!lares). "#u producci!n mensual rendirá las máximas utilidades%, "Cuál es la ma&or 'anancia posible por semana%

Solución: Como el in'reso que se obtiene al vender x escritorios es 28x, la funci!n de in'resos  está dada por  x = al alor or 3eto435m 3eto435mero ero de escrito escritorios rios (x)= 28x *a funci!n de utilidades P es la diferencia entre la función de ingreso R

y la función de costo C, es decir:

Utilidad = Ingreso total- Costo total P(x)= R(x)-C(x)

 x −(¿ ¿ 3 −3 x 2−80 x + 500 ) +(x)= 2800 x −(¿ ¿ +(x)=

+ara evaluar la 'anancia máxima se deriva & +(x)=

−3 x 2 + 6 x + 2880 ’

=

*os puntos cr-ticos de + son las soluciones de

 x 2−2 x −960= 0  x −32 ) ( x  x + 30 ) =0 ( x  x =32

 x =−30

Como las soluciones ne'ativas no tienen sentido, basta considerar x =32 *a se'unda derivada de la funci!n de utilidades + es P’’(x)= +or lo tanto, +(x)=

−6 (32 )+ 6

+(x)=

−176

−176 < 0 ntonces, por el Criterio de la /e'unda 0erivada, la máxima 'anancia se obtiene si se  producen & se venden vende n 12 escritorios semanalmente. se manalmente. *a 'anancia máxima por semana se mana es

3

+ (12)=

2

− x +3 x + 2880 x −500

+(x)=

−( 32 )3 + 3 ( 32 )2 + 2800 ( 32 )−500 + 12 = $ 9D

2 Una bode'a rectan'ular tendrá dos cuartos rectan'ulares separados por una  pared interior & el piso deberá tener 6. metros cuadrados (m2) de área (fi'ura77.). l costo de las paredes exteriores es de $ 6 por metro lineal, & el costo de las paredes interiores es de $ 9 por metro lineal. :allar las dimensiones de la bode'a menos costosa.

Solución.- /ea la lon'itud x m & el anc;o y m, con la pared interior de x m de lar'o. ntonces x4 y= 6. m (área total) & la cantidad que se deberá minimi (valor a pa'ar)4( paredes interiores) C = 64(24x > 24&) > 94x n trminos de x 5nicamente x4&= 6. 5.000 &=  x C = 64?24x > 24(

5.000 )@ > 94x  x

10.000 C = 64?24x > ( )@ > 94x  x

2∗( x ) + 10.000 2

C = 64?(

 x

300∗( x ) + 1500.000

)@ > 94x

2

C=(

C=?

 x

300∗( x

 x

2

)

@>?

)@ > 94x

1 500.000

@ > 94x

 x

C = 194x >  6. xA

Criterio de la priera deri!ada C = 194x >  6. xA

d C = 19 dx (x) B  6.

d dx

(x)A

C= 19 B  6. xA2 +ara ;allar los valores que permitirán minimi
1 500.000

(( x )2)

 = 19

194x2 =  6. 1 500.000 2 x = 390 x= A √ 5 / 13 x2=  √ 5 / 13 Enálisis de los valores cr-ticos F

+ara el valor cr-tico ne'ativo obtenido (x= A √ 5 / 13  ), no se lo

FF

tomara como respuesta. (0ebido a que no existen distancias ne'ativas) l valor cr-tico que nos permitirá ;allar la bode'a menos costosa es x2 =  √ 5 / 13  & para y2 = 6 √ 13 / 5

Criterio de la segunda deri!ada Comprobaci!n de un G-nimo f(x) H  C= 19 B  6. xA2 C=

d d 1500.000 A2 (19) A dx dx  (x) C = 1 .4xA1

Cumple que C H . +or ende se obtuvo un valor m-nimo.

"

l comit de campaIa de cierto pol-tico que aspira a la 'ubernatura de una entidad del  pa-s reali t2 > 1t > 8)K de los votantes para  L t L 2

/i la elecci!n es el 2 de Mulio, "Cuándo deber-a anunciar el pol-tico su candidatura si necesita más de 6K de los votos para ser electo% /oluci!n /e trata de ;allar el máximo absoluto de la funci!n (t) en el intervalo  L t L 2, ra 2t > 1) O resolvemos la ecuaci!n N(t) =  J29(A1t2 > 2t > 1) =  t2 > Dt A 2 =  (t A P)(t > 1) =  t = P t2 = A1 Como t debe ser positivo, el 5nico punto cr-tico que nos interesa anali
Calculamos las imá'enes de la funci!n en los extremos del intervalo t = , t =2 & en el valor cr-tico t = P () = 8J29K = 1P.2DK (2) = 11.62K (P) = 6.PK

#

l porcentaMe ma&or lo alcan
Una empresa productora de sillas opera en el mercado con las si'uientes funciones de costos totales CR = 9A16x> xS2, si el precio de venta en el mercado es de $ 26 por unidad, responda "Cuál es el nivel de producci!n que maximi xS2 costo de producir x n5mero de sillas 26x dinero percibido por la venta de x sillas U(x) utilidad, en funci!n de x 0e tal manera que Utilidad = Fn'reso B Costo U(T) = 26x A (9A16x> xS2) U(T) = A xS2>xA9 0erivamos U(x) = A 2x >  sta i'ualamos a  con la intenci!n de lo'rar sacar ptos. Cr-ticos A2x >  =  A2T = A T = 11 Comprobaci!n l criterio de la se'unda derivada te indica /i la c!ncava va ;acia arriba se tendrá un minimo, U(x) H  (>) /i la c!ncava va ;acia abaMo se tendra un maximo, U(x)   (A) +or lo tanto U(T) = A2 A2   Comprobando que ese pato critico ;allado si comprueba el punto máximo de la funci!n /ustitu&endo el punto en la funci!n ori'inal para su respuesta será U(11) = A〖11〗S2>(11)A9 U(11) = 8 pta *a ma&or utilidad la recibe la empresa si produce 11 sillas. *a utilidad es de $ 8

Como &a calculamos, que el n5mero de unidades optimo es de 11 sillas, & el 16K de 11 es (16411)J=6.6 11 > 6.6 = DD6.6 producci!n por encima del 16K del n5mero optimo /ustitu&endo este valor en la utilidad, se obtiene que U(DD6.6) = A〖(DD6.6)〗S2>(DD6.6)A9 = 9D69.P6 pta n caso de producir un 16K más de sillas que el n5mero !ptimo, solo se obtendr-a una utilidad de $99P6

$ Una tipo'raf-a utili
Solución: /ea x =n5mero de resmas de papel en cada pedido. n este problema de control de inventarios se ;an ;ec;o las suposiciones  2

*a utili
stas dos suposiciones llevan a intuir que en el almacn existe en promedio x J 2 resmas de papel al aIo. +or eMemplo si se ;acen 2 pedidos al aIo. Cada pedido es de 1. resmas. l d-a que lle'a un pedido ;a& 1. resmas de papel, Musto lle'an cuando se acaban las anteriores & el 5ltimo d-a ;a&  resmas. n promedio ;a& .6 resmas en el almacn en cada periodo & durante el aIo. Renemos entonces que

(

)(

COSTO DE ALMACENAMIENTO= COSTO DE ALMACENAMIENTO ∗ NUMERO MEDIO DE  POR RESMA  RESMAS ALMACENADOS

()

COSTO DE ALMACENAMIENTO=( 1 )

 x

2

6000

/i el tamaIo del pedido es x entonces el n5mero de pedidos es

 x

. +odemos

entonces obtener 

COSTO TOTAL POR ENVIOS=( NÚMERO DE PEDIDOS )∗( COSTO DE UN ENVÍO)

COSTO TOTAL POR ENVIOS = Winalmente

6000

 x

∗30

)

(

)(

COSTOTOTAL =( COSTO DE ALMACENAMIENTO ) + COSTOTOTAL + COSTO TOTAL PORCOMPR  POR ENVÍOS  DE 6000 RESMAS  x

()(

)

()(

)

C ( x )=

C ( x )=

+ 180000 + ( 6000∗10,5 )  x 2

 x

+ 180000 + ( 6300 )  x 2

Xuscamos primero los puntos cr-ticos dentro del intervalo, para ello derivamos &  planteamos donde la derivada se anula 1 180000 0= − 2  x 2 2

 x −360000 0= 2 x 2

2

0 = x − 360000 0 = ( x + 600 ) ( x −600 )

*as soluciones de esta ecuaci!n son x = ±. /!lo tomamos la soluci!n positiva. +ara clasificar usamos el criterio de la se'unda derivada.

C (x)= {360000} over {{x} ^ {3}} C (600)= {360000} over {{x} ^ {3}} >0 0,0016 … > 0

Es- en x= se alcan
%

:allar la distancia x a la cual un observador deber-a colocarse desde un aviso de 2 metros de altura, montado D metros por encima del nivel visual, de tal modo que el án'ulo subtendido por el oMo del observador con el aviso sea máximo.

Solución: *a cantidad que deber-a ser maximi
θ

, como aparece en la fi'ura.

Cateto opuesto= 12+ 4 = 1 /e ;alla as- una expresi!n para

θ



tan ( θ > α  ) =

θ >θ α  = = arctan arctan

16

 x

(  ) 16  x

cuaci!n 

θ

+ara expresar

α 

 en trminos de una variable, es necesaria una ecuaci!n que relacione x &

  4

tan ( α  ) =  x

α   = arctan cuaci!n 2

eempla
θ

= arctan

(  ) 16  x

 A

α 

θ = arctan

16

 !

θ



cuaci!n del án'ulo

θ *a restricci!n sobre x es x H . ntonces se buscan los puntos cr-ticos, para lo cual necesitamos

θ 

encontrar la primera derivada la cuaci!n del án'ulo

16  x

θ ' ( x )

=

¿ ¿ ¿2 1 +¿

(

−16  x2

=

−16  x 2 + 162

1 16

1+

)A

 x

 4 (

2

−4 ¿  x 2

1

¿

θ ' ( x )

 A

−4  x 2 + 16

−16 ( x + 16 ) + 4 ( x + 16 ) ( x + 16 )( x + 16 ) 2

θ ' ( x ) =

2

2

θ ' ( x ) =

2

2

2

2

2

( − 64−3 x ) ( x + 16 )( x + 16 ) 4 16 2

2

2

θ ' ( x ) = Esi,

θ ' ( x )

D A

 x 2

= cuando

=

(8 B x)(8 > x)= 

x=

x=

 x 2+ 16  x 2

 = 

= A

√ −16

x= ∅

+or su puesto que, x + &, as- que x = , es el punto cr-tico. /i &  x  ,, entonces

θ ' ( x ) +&. /i

x+,, entonces θ ' ( x ) &. +or lo tanto, x = , es la ubicaci!n de un máximo relativo. 0ebido a que este es el 5nico punto cr-tico, es el máximo absoluto. n consecuencia, el observador deber-a ubicarse a , metros de distancia del aviso.

 /Para 0u ngulo 3 el trape4oide isósceles de la 5igura 6.. 7iene rea xia8

h∗(b 1 +b 2 ) E trapecio=

2

a∗senα ∗(a + a + 2 a cos α ) 2

E trapecio=

a∗senα ∗(2 a +2 a∗cos α ) E trapecio=

2

( a )∗( senα )∗(2 a )∗( 1+ cos α ) E trapecio=

2

E trapecio= a2 4(sen Y> sen Y cos Y)

Criterio de la priera deri!ada E trapecio= a2 4(sen Y> sen Y cos Y) E= a2 4? 2

E= a 4 ?

d dx

d dx (sen Y) >sen Y4

(sen Y> sen Y cos Y)@

d dx

d (cos Y) > (cos Y) dx 4(sen Y)@

E= a2 4(cos Y A sen2 Y > cos2 Y) +ara maximi cos2 Y) =  (cos Y A sen2 Y > cos 2 Y) =  ? cos Y B (A cos2 Y) > cos2 Y @ =  2 cos2 Y > cos2 Y B  =  (2cos α + 2)( 2cos α −1 )  =  2 (cos Y > )( 24cos Y A ) =  cos Y = A 1 cos Y = 2  Enálisis de los valores cr-ticos F

/e debe despe'ar Y & anali<ársela para la respuesta a ser considerada cos Y = A Y = cosA(A) Y = 8 FF Claramente el cos Y = A produce que Y = π   radianes, o 8Z, lo cual dar-a ; =  & E trapecio = . 1 cos Y = 2

1 Y = cosA? 2 @

Y = Z l área máxima proviene entonces del cos Y =

1 2

o Y = Z

Criterio de la segunda deri!ada Comprobaci!n de un Gáximo f(x)   E= a2 4(cos Y A sen2 Y > cos2 Y) E= a24?

d dx  (cos Y) A

d 2 dx  (sen  Y) >

d 2 dx  (cos  Y) @

d

d

E= a24[Asen Y B ?(24sen Y)4 dx  (sen Y)@ > ?(24cos Y)4 dx  (cos Y)@ \ E= a24[(A sen Y) B (2 4 sen Y 4 cos Y) > ?24 cos Y 4 (Asen Y)@\ E= a24?(A sen Y) B (D 4 sen Y 4 cos Y)@ Y = Z /iendo ]a^ cualquier n5mero (no ;a& distancias ne'ativas) E= a24?(A sen ) B (D 4 sen  4 cos )@ E= a24[

−3 [ ( 3 ) 1 / 2 ] 2

\

Cumple que E  . +or ende se obtuvo un valor máximo.

, Un silo consta de un cilindro con una parte superior ;emisfrica, como se ilustra en la fi'ura. :allar las dimensiones del silo con un volumen fiMo de = D_J1 que tiene la menor área de superficie. Fncl5&ase el piso. /oluci!n /e necesitarán las ecuaciones estáticas de los vol5menes de un ;emisferio & de un cilindro, & para las áreas de superficie de cada uno. Una esfera de radio r tiene un volumen de s = DJ1(_r1) & área de superficie Es = D_r2. Un cilindro de r & altura ; tiene volumen de c = _r2; & área de superficie Ec = 2_r; > _r2. +or consi'uiente el volumen del silo está dado por  = 2J1(_r1) > _r2; O el área de superficie por  E= 2_r2 > 2_r; > _r2 = 1_r2 > 2_r; = _(1r2 > 2r;)

/e busca minimi _r2; ; = DrA2J1 B 2rJ1 /ustituimos en E E = _?1r2 > 2r(DrA2J1 B 2rJ1)@ E = _(1r2 > 8rAJ1 B Dr2J1) E = _( 6r2J1 > 8rAJ1) Oa que representamos a E como una funci!n, se buscan sus puntos cr-ticos EN = _(rJ1 A 8rA2J1) Es- EN =  cuando rJ1 A 8rA2J1 =  r1J1 A 8J1 =  r1 = 8 r=2 bserve que ENN = _(J1 A rA1J1) Es-, ENN(2) H . +or lo tanto la prueba de la se'unda derivada verifica que r = 2 produce el valor m-nimo de E.

l

 problema pre'unta por las dimensiones del silo por  consi'uiente volvemos a la expresi!n para ; en trminos de

r para

;allar la expresi!n que minimi
9 :allar las dimensiones de un cono circular recto de volumen m-nimo que se  puede circunscribir en una esfera de radio   /abemos que el volumen de un cono circular es

r ¿ ¿ 1  = ( π )¿ 3

0eMaremos al volumen en trminos conocidos

r ¿ ¿ 1  = ( π )¿ 3

 3uestra ecuaci!n de volumen la tendremos que deMar en funci!n &a sea de T o &a sea de O EXC

 ADE

 x ! + R = 2 2  R √  ! − R  R ( ! + R )  x = 2 2 √  ! − R

eempla
r ¿ ¿ 1  = ( π )¿ 3

 R ( ! + R )

√  ! 2− R2 ¿ ¿ 1  = ( π )¿ 3

2

" + R ¿ 2  R (¿ ¿  ! 2− R2 )( ! + R )

¿

1  = ( π )¿ 3

3

" + R ¿ 2  R (¿ ¿  ! 2− R2 )

¿ 1  = ( π )¿ 3

0erivamos  R

 R ¿ ¿  ! + R ¿3

¿ ¿ 3  ! + R ¿ ¿ 2 (¿  ! − R2 ¿ ) ¿ d 1 = ( π )¿

1 ( π )((¿ ¿ ! 2− R2) ¿ 2 ¿ ) 3

d d =  ¿ d! d!

d!

 R ¿ ¿  !  ! + R ¿ ( 2 ! ) ¿  ! ¿ (¿ 2− R ¿ ¿ ¿) ¿  ! + R ¿ −¿ (¿ ¿ 2− R )3 ¿ ¿ ¿ d 1 = ( π )¿ d! 3 3

2

2

2

2

 R ¿ ¿  !  ! ¿ (¿ 2 − R ¿ ¿ ¿) ¿ (¿ ¿ 2− R ) 3−( ! + R )( 2 ! ) ¿ ¿  ! + R ¿ ¿ d 1 = ( π )¿ d! 3 2

2

2

2

3

 R ¿ ¿  ! ¿ (¿ 2− R2 ¿2 ¿ ¿) ¿ 2 2 2 3 ! − 3 R −(2 ! + 2 !R ) ¿ " + R ¿2 ¿ d 1 = ( π )¿ d! 3  R ¿ ¿  ! −3 R −2 !R ¿ ¿  ! ¿ (¿ 2− R ¿ ¿ ¿) ¿ " + R ¿ ¿ d 1 = ( π )¿ d! 3 2

2

2

2

2

F'ualamos a cero para encontrar el m-nimo

 R ¿ ¿  ! −3 R −2 !R ¿ ¿  ! ¿ (¿ 2− R ¿ ¿ ¿)=0 ¿ " + R ¿ ¿ 2

2

2

2

2

1 3

( π )¿

no ;a'an  a la funci!n

+ara ;allar los puntos cr-ticos descartamos los valores que

 ! + R ¿2 ¿

 ! 2−3 R2−2 !R ¿ ¿  ! ¿ 2 2 (¿ 2− R ¿ ¿ ¿)=0 ¿ ¿

F'ualmente eliminamos el denominador pero sin olvidar los valores que ;a'an  al mismo, &a que estos tambin pueden representar puntos m-nimos de la funci!n (& # A 

 ! # R )

∧

" + R ¿2 ( ! 2−3 R2−2 !R )= 0 ¿ 2

(& >   ¿

3

(& >   ¿ & = 1

 (&A 1) (& > ) =   (&A 1) =  ∧  !

=− R

Comprobando

 R ¿ ¿  ! −3 R −2 !R ¿ ¿  ! ¿ (¿ 2− R ¿ ¿ ¿) ¿ " + R ¿ ¿ d 1 = ( π )¿ d! 3 2

2

2

A



1 

2

2

>>>> >>>>  ntonces se puede ase'urar que 1 es un m-nimo E;ora, no podemos olvidar Eltura = & >  = = 1 >   = D  O la base de

AAAAAAA

AAAAAAA

 R ( ! + R )  x = 2 2 √  ! − R

 x =

 x =

 x =

R ( 3 R + R ) √ ( 3 R )2 − R 2 4 R

2

√ 8 R2 2 R

√ 2

= radio del cono

1& Calcular la máxima distancia que debe tener la varilla para que esta no cai'a del t5nel  al t5nel 2. sta a su ve< representará la m-nima distancia que debe tener el t5nel  & el t5nel 2.

P;<7;>I<7? @ ;S CU;CI?<S 7?R>; @ PI7AB?R;S $ =$ 1 + $ 2 $ 21=% 2+ ! 2 ∴ $1=√ %2 + ! 2 2

2

$ =n + x

2

∴ $2

2

= √ n 2+ x 2

$ =√ % +  ! + √ n + x 2

2

2

1

2

CU;CI?<S 7RIB?7RIC;S 2

"

tan θ =

% % ∴ ! =  ! tan θ

θ tan ¿( n)  x tan θ = ∴ x =¿ n

R>P;D? @ ;S CU;CI?<S 2 E " < ; CU;CIF< 1 θ tan ¿( n ) ¿ ¿ ¿ n +¿ % + √ ¿ $= % + tan θ 2

√ ( )

2

2

√

 %2 tan2 θ + % 2 + √ n 2 ( tan2 θ + 1 ) $= 2 tan θ tan

%2

(¿¿ 2 θ +1 ) + √ n2 ( tan2 θ + 1 ) 2 tan θ $ =√ ¿

$=

√

2

2

% ( se& θ ) 2

tan θ

$ =%

+ √ n2 (se&2 θ )

( se&θθ )+ n ( se&θ ) tan

( ) 1

$ =%

cos θ sin θ

+ n ( se&θ )

cos θ

$ =%

( )

1 + n ( se&θ ) sin θ

$=% ( &s&θ )+ n ( se&θ )

CRI7RI? @ ; PRI>R; @RIG;@; $' =

d d  % ( &s&θ ) +  n ( se&θ ) dθ dθ

$ ' =% (−&s&θ ) ( cot θ ) + n ( se&θ ) ( tan θ )

PU<7? CRH7IC?  ' ( x )=0 0 =% (−&s&θ ) ( cot θ )+ n ( se&θ ) ( tan θ ) % ( &s&θ ) ( cot θ ) =n ( se&θ ) ( tan θ )

 ( &s&θ ) ( cot θ ) =n ( se&θ ) ( tan θ )

%

( )( ) = n % θ ( θ )( θ ) 1 sin θ

cos θ sin θ

1 cos

sin cos

3

cos sin

3

θ n  = θ %

√ √

√ cot θ = 3

3

θ= cot−

3

1  3

 n %

 n %

CRI7RI? @ ; SBU<@; @RIG;@; $' =% (−&s&θ ) ( cot θ ) +n ( se&θ ) ( tan θ ) $ = !e"t #!e"t (csc {$} ri%&t ) !e"t (cot {$} ri%&t ) !e"t (cot {$} ri%&t ) ' !e"t (csc {$} ri%&t ) ( {csc} ^ {2} {

PU<7? @ I<JIF<    (x)=0

θ &s&2 ¿ se& ¿ θ ¿ ( se&θ ) ( tan θ ) ( tan θ ) + ( se&θ ) ¿ ( &s&θ ) ( cot θ ) ( cot θ )+ ( &s&θ ) ¿+ n ¿ 0=% ¿ 0 = % ( &s&θ ) [ cot θ + &s& θ ]+ n ( se&θ ) [ tan θ + se& θ ] 2

2

2

2

−n = ( &s&θ ) [ cot θ + &s& θ ] % ( se&θ ) [ tan θ + se& θ ] 2

2

2

2

R>P;D? PU<7? CRH7IC? <  PU<7? @ I<JIF<

3

cot θ=

 n %

−cos 3 θ  ( &s&θ ) [ cot2 θ + &s& 2 θ ] = 3 ( se&θ ) [ tan2 θ + se& 2 θ ] sin θ

−1 =

( ) ( θ )[

1 [ cot2 θ + &s&2 θ ]( sin3 θ) sin θ

1 cos

2

2

3

tan θ + se& θ ]( cos θ )

2

2

2

2

2

2

[ cot θ + &s& θ ]( sin θ ) −1 = [ tan θ + se& θ ]( cos θ ) 2

2

2

2

2

2

−[ tan θ + se& θ ]( cos θ )=[ cot θ + &s& θ ]( sin θ )

[

2

]

[

2

]

sin θ 1 cos θ 1 − + ( cos 2 θ )= + ( sin2 θ ) 2 2 2 2 ( cos θ ) ( cos θ ) ( sin θ ) ( sin θ ) 2

θ−1 =¿ cos θ + 1 −sin2 ¿ 2

θ−1 −cos θ−1 =¿ 0 −sin 2 ¿ sin

¿

θ

−¿ ¿ −3 < 0