Jefatura de Personal Dirección de Enseñanza Naval EE Antonio de Escaño Departamento ENPRO
MINISTERIO DE DEFENSA
CURSO DE ACCESO PARA PARA LA INCORPORACIÓN INCORPORACIÓN A LA ESCALA DE SUBOFICIALES DEL CUERPO GENERAL GENERAL DE LA A RMADA ESPECIALIDAD DE ENERGÍA Y PROPULSIÓN (62011 6ST41) CIRCUITOS ELÉCTRICOS.
TÍTULO DE LA UNIDAD EL TEOREMA TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA TRANSFERENCIA DE POTENCIA. POTENCIA.
INTRODUCCIÓN/GENERALIDADES En circuitos de baja energía, tales como como generadores o amplificadores, la cantidad cantidad de energía transferida a la carga es más importante que la eficiencia (rendimiento) total del sistema. Por consiguiente, este tema tiene como objetivo, capacitar al Alumno CAES de la Especialidad ENPRO para analizar y comprender el teorema de la máxima transferencia de potencia y su aplicación en circuitos eléctricos de c.c. y c.a. OBJETIVOS Objetivos Intelectivos Analizar el teorema de la máxima transferencia de potencia en circuitos eléctricos de corriente continua y corriente alterna. Objetivos Procedimentales. Aplicar el teorema de la máxima transferencia de potencia a la resolución de problemas de circuitos eléctricos c.c. y c.a. RECURSOS DIDÁCTICOS Aula, pizarra. Libro de texto: Teoría de Circuitos. Publicación PE-EYP.615 (A). ESTRATEGIAS/PROCEDIMIENTOS - Analizar el teorema de la máxima transferencia de potencia con el objetivo de determinar aquellos valores valores de resistencia o impedancias de de carga que dan lugar lugar a la transferencia de un máximo de potencia en los terminales de un circuito activo. - Técnicas a utilizar: expositiva y activa. CONTENIDOS/Epígrafes CONTENIDOS/Epígrafes para el desarrollo del tema Índice o esquema de contenidos
Circuitos Eléctricos
EL TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA. INFLUENCIA DE LA IMPEDANCIA DE LA CARGA PARA OBTENER LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA Desarrollo de los contenidos intelectivos y procedimentales. 1.
EL TEOREMA DE LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA
Este teorema establece que para obtener la máxima transferencia de potencia de una fuente a una carga, la resistencia de la carga debe ser igual a la resistencia de la fuente. Este teorema puede explicarse con ayuda de la figura 1 a y b, en la cual se muestra un generador que entrega potencia a una resistencia de carga variable. La corriente total del circuito serie hacia la carga es:
I =
E Rg + R
La potencia demandada por la resistencia de carga, R, es
P = I 2 . R , o también:
2
⎡ E ⎤ E 2 × R P=⎢ ⎥ × R ⇒ ( Rg + R) 2 Rg R + ⎣ ⎦
Figura 1. (a) Un generador que entrega potencia a una resistencia variable, (b) curva potencia resistencia de la carga.
La gráfica (b) indica que la máxima potencia entregada ocurre con un valor de resistencia de carga de 20 Ω igual a la resistencia del generador Rg=20Ω. Si representamos la curva de potencia para distintos valores de R, la curva aumentará para distintos valores de R, y luego cae con el aumento de valores de R, véase figura 1b. el valor de resistencia cuando la pendiente es cero, se puede obtener derivando al ecuación de la potencia respecto a la resistencia de carga R, igualándola a cero y despejando R. vu`−uv` Derivada de un cociente f `= 2 v
2
Circuitos Eléctricos
P=
E 2 . R
( Rg + R) 2
⇒
dP dR
=
E 2 × ( Rg + R) 2 − E 2 R × 2( Rg + R)
[( Rg + r ) ]
2 2
E 2 × ( Rg + R) 2 − E 2 R × 2( Rg + R)
= 0⇒
[( Rg + r ) ]
2 2
E 2 × ( Rg + R) 2 − E 2 R × 2( Rg + r ) = 0 E 2 .( Rg + R) 2 = E 2 R.2( Rg + r )
( Rg + R) = R × 2 ⇒
Rg + R = 2 R ⇒
Rg + R − 2 R = 0 ⇒ Rg − R = 0
2.
⇒
Rg = R
INFLUENCIA DE DE LA IMPEDANCIA DE LA CARGA PARA OBTENER LA MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCA EN CIRCUITOS DE C.A.
2.1 ESTUDIAREMOS LOS SIGUIENTES CASOS: Caso 1º: Cuando la carga es resistiva variable, se da la máxima potencia cuando : Rl = Zi = Ri + Xli 2
2
(*) Caso que también se conoce como carga resistiva acoplada en base a su magnitud.
Ejemplo 1. Hallar el valor de Rl que da lugar a la transferencia de máxima potencia. Calcular además, el valor de la potencia máxima. Caso 1º: Rl = Zi = Ri 2 + Xli 2 Rl = 5 + J 10 = 11,18∠63,43º ⇒ Rl = 11,18Ω
I =
100∠0º (5 + J 10) + (11,18 + J 0)
=
100∠0º 16,18 + J 10
2 2 W i = I . Rl = (5,26) × 5 = 138,34W
=
100∠0º 19∠31,68º
= 5,26∠ − 31,68º A.
2 2 Wl = I . Rl = (5,26) ×11,18 = 309.3W
Caso 2º: Cuando la carga es una impedancia Zl con resistencia y reactancia variables, se da la máxima potenci a cuando:
3
Circuitos Eléctricos
Zl = Z i ⇒ Zl Complejo conjugado de Zi *
(*) Este método puede enunciarse como carga acoplada en base a su conjugada.
Ejemplo 2. En el circuito de la figura la carga es una impedancia Zl, variable en Rl Xl. Calcular el valor de Zl para el cual la fuente suministra la potencia máxima a la carga. Calcular además, el valor de la potencia máxima.
Zl = (10 − J 20) ⇒ Z T = (10 + J 20) + (10 − J 20) = 20Ω
I =
Wl = I . Rl = (2,5) ×10 = 62,5W
W i = I . Rl = (2,5) × 10 = 62,5W 2
50∠0º = 2,5∠0º A. ⇒ 20∠0º
2
2
2
Caso 3º: La carga es una impedancia Zl con resis tencia variable y reactancia fij a, se da la máxima potencia cuando: Rl = Z i + JX T
Ejemplo 3.En el circuito de la figura la carga está formada por una reactancia capacitiva de 15 Ω y una resistencia variable. Calcular el valor de Rl para el cual la potencia transferida es máxima. Calcular además, el valor de la potencia máxima.
Rl = Ri + jXli + JXl L ⇒ Rl = (10 + J 10 − J 15) = (10 − J 5) = 11,18∠ − 26,56º Ω
I =
100∠0º 100∠0º 100∠0º = = = 4,6∠13,28º A. ⇒ (10 + J 10) + (11,18 − J 15) 21,18 − J 5 21,76∠ − 13,28º
Wi = I . Rl = (4,6) ×10 = 211,6W 2
3.
2
Wl = I . Rl = (4,6) ×11,18 = 236,6W 2
2
PROBLEMAS RESUELTOS.
En el circuito de la figura la carga es una resistencia Rl, variable. Calcular el valor de 4
Circuitos Eléctricos
Rl para el cual la fuente suministra la potencia máxima a la carga, calcular además esa potencia. Caso 1º: La carga es una resistencia variable, se da la máxima potencia cuando: 2
Rl = Zl = Ri + Xli
2
Z i = (10 + J 20) = 22,4∠63,43º ⇒ Rl = 22,4Ω I =
50∠0º 50∠0º = = 1,31∠ − 31,7º A. (10 + J 20) + 22,4 38∠31,7º
W = I . Rl = (1,31) × 22,4 = 38,5W 2
2
En el circuito de la figura determinar la impedancia de la carga para que el generador transfiera la máxima potencia. Calcular además, la potencia aparente, activa y reactiva demandadas por la carga. Zl = (4 − J 6) ⇒ Z T = ( 4 + J 6) + (4 − J 6) = 8Ω
I =
El =
160∠30º×( 4 − J 6)
=
160∠30º 8∠0º
160∠30º×7,21∠ − 56,1
Z T
8∠0º
=
= 20∠30º A. ⇒
1153,6∠ − 26,1º 8∠0º
= 144,2∠ − 26,1º V .
PVA = El. I = 144,2 × 20 = 2884V . A W = I 2 . Rl = ( 20) 2 × 4 = 1600W
PVAR = I 2 . Xl = (20) 2 × 6 = 2400VAR
,6º −30º ) = 2884. cos(−56,1º ) = 1600W PW = El. I . cosθ = 144,2 × 20. cos(−21 PVAR = El. I .senθ = 144,2 × 20.sen( −21 ,6º −30º ) = 2884.sen( −56,1º ) = −2400VAR en adelanto.
Un generador cuyo voltaje e impedancia son 300 ∠60º V y (5+j10)Ω, respectivamente, está conectado a una carga cuyos componentes son tales que entrega la máxima transferencia de potencia. Dibuje el circuito y determine (a) la 5
Circuitos Eléctricos
impedancia de la carga en forma polar (b) la potencia activa consumida por la carga. Z F = 5 + j10 ⇒ 11 ,18 ∠ 63 , 43 Ω
Z C = 5 − j10 ⇒ Z C = 11,18∠ − 63,4º Ω
Z T = ( R + jX L ) + ( R − jX C ) = 10 ± j 0 = 10∠0º Ω
I =
V Z
=
300∠60º = 30∠60º A. 10∠0º
302.5 = 4500W PW = I 2 . R L =
Determine (R,L,C) requeridos para que una carga maximice la potencia transferida desde una fuente de 120 V 60 Hz. La impedancia de la fuente es 5 ∠30. Z F = 5∠30º = 4,33 + j 2,5 ⇒
Z C = 4,33 − j 2,5 ⇒ Z T = 8,33 + j 0
Z C = R − jX C = 4,33 − j 2,5
R = 4,33Ω
X C =
1 1 ⇒ C = = 0,001061F . 2π fC 2.π .60.2,5
C = 1061 F .
En el circuito de la figura Ri es variable entre 2 y 55 ohmios. Con qué valor de Ri se obtiene la máxima transferencia de potencia a la carga Rl En el circuito dado, la resistencia de carga es fija. Por tanto no son aplicables, los teoremas de transferencia de máxima potencia. Es obvio que la corriente será máxima cuando la Ri sea mínima. Haciendo Ri= 2⇒ I =
V Z T
=
100∠0º 13∠22,6º
Z T = ( Ri + jX L ) + ( Rl ) = ( 2 + J 5) + 10 = 12 + J 5 = 13∠22,6º Ω
= 7,7∠ − 22,6º A.
PW = I 2 . R L = (7,7) 2 .10 = 593W
En el circuito de la figura la carga conectada entre los terminales A-B está formada por una resistencia variable Rl, y una reactancia capacitiva Xc que puede variar entre 2 y 8 ohmios. Hallar los valores de Rl y Xc que da lugar a la transferencia de
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Circuitos Eléctricos
máxima potencia. Calcular la potencia máxima suministrada a la carga. Circuito equivalente de Thevenin en A-B
E A− B =
Z TH =
50∠45º×( 2 + j10) Z T
3∠0º×( 2 + j10) Z T
=
=
50∠45º×10,2∠78,7 º (3 + J 0) + ( 2 + J 10)
3∠0º×10,2∠78,7 º (3 + J 0) + (2 + J 10)
=
=
510∠123,7º 5 + J 10
30,6∠78,7º 11,18∠63,43º
=
510∠123,7 º 11,18∠63,43º
= 45,6∠60,3º V .
= 2,74∠15,27 º ⇒ Z I = (2,64 + J 0,72)Ω.
Como el condensador solo es variable entre 2 y 8 ohmios, nos encontramos con el caso de que el circuito consta de una reactancia de -j2 ohmios (mínima para obtener máxima corriente en la carga) y una resistencia variable.
Z i + JX T = Rl
Rl = 2,64 + J 0,72 − J 2 = 2,64 − J 1,28 = 2,93Ω Z T = (2,64 + J 0,72) + ( 2,93 − J 2) = 5,57 − J 1,28 = 5,71∠ − 13º Ω
I =
50∠0º Z T
=
45,6∠60,3º 5,71∠ − 13º
= 8∠73,3º A.
W = I 2 . Rl = (8) 2 × 2,93 = 187,52W
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