U1-Conducción en estado estable.docx

Unidad 1. Conducción en estado estable

Melo Guerrero Javier Alejandro 08320405

TRANSFERENCIA DE CALOR UNIDAD 1. CONDUCCIÓN EN ESTADO ESTABLE 1.1 Mecanismo físico de la conducción

El calor se define como la forma de energía que se puede transferir de un sistema a otro como resultado de la diferencia de temperatura. La transferencia de calor es la ciencia que trata de determinar las velocidades de las transferencias de energía de un cuerpo a otro por medio de una diferencia de temperaturas. El calor se puede transferir en tres modos diferentes: conducción, convección y radiación. La conducción es la transferencia de energía de las partículas más energéticas de una sustancia hacia las adyacentes menos energéticas, como resultado de interacciones entre esas partículas. Puede tener lugar en los sólidos, líquidos y gaseosos. En los gases y líquidos la conducción se debe a las colisiones y a la difusión de las moléculas durante su movimiento aleatorio. En los sólidos se debe a la combinación de las vibraciones de las moléculas en una retícula y al transporte de energía de los electrones libres. La velocidad de la conducción de calor a través de un medio depende de la configuración geométrica de éste, su espesor y el material de que está hecho, así como de la diferencia de temperatura a través de él. La velocidad de la conducción de calor a través de una capa plana es proporcional a la diferencia de temperatura a través de ésta y al área de transferencia de calor, pero inversamente proporcional al espesor de esa capa; es decir:

En donde la constante de conductividad k es la conductividad térmica del material, que es una medida de la capacidad de un material para conducir calor. En el caso del límite de Δx→0, la ecuación anterior se reduce a la forma diferencial



La cual se llama Ley de Fourier de conducción de calor. 1.2 Ley de Fourier de conducción de calor.

Ésta es la ley de Fourirer de la conducción de calor, en honor de J. Fourier, quien la expresó por primera vez en 1822. Aquí, dT/dx es el gradiente de temperatura, el cual es la pendiente de la curva de temperatura en un diagrama T-x (la razón de cambio de T con respecto a x), en la ubicación x. La relación antes dada indica que la velocidad de conducción de calor en una dirección es proporcional al gradiente de temperatura en esa dirección. El calor es conducido en la dirección de la temperatura decreciente y el gradiente de temperatura se vuelve negativo cuando esta última decrece al crecer x. El signo negativo en la ecuación 1-22 garantiza que la transferencia de calor en la dirección x positiva sea una cantidad positiva. El área A de transferencia de calor siempre es normal (o perpendicular) a la dirección de esa transferencia. Por ejemplo, para la pérdida de calor a través de una pared de 5 m de largo, 3 m de alto y 25 cm de espesor, el área de transferencia de calor es A = 15m2. Note que el espesor de la pared no tiene efecto sobre A (figura 1.23).



1.3 Conductividad térmica

La conductividad térmica de un material se puede definir como la velocidad de transferencia de calor a través de un espesor unitario del material por unidad de área por unidad de diferencia de temperatura. La conductividad térmica de un material es una medida de la capacidad del material para conducir calor. Un valor elevado para la conductividad térmica indica que el material es un buen conductor del calor y un valor bajo indica que es un mal conductor o que es un aislante. En la tabla 1-1 se dan las conductividades térmicas de algunos materiales comunes a la temperatura ambiente. Por ejemplo: La conductividad térmica del cobre puro a la temperatura ambiente es de k = 401 W/m∙°C, lo cual indica que una pared de cobre de 1m de espesor conducirá el calor a razón de 401 W por m2 de área por °C de diferencia de temperatura a través de ella. A la capacidad de un material para almacenar energía térmica se le llama calor específico o C p. Por ejemplo: C p = 4.18 kJ/kg∙°C, para el agua y C p = 0.45 kJ/kg∙°C, para el hierro, a la temperatura ambiente, indica que el agua puede almacenar casi 10 veces más energía que el hierro por unidad de masa. Del mismo modo, la conductividad térmica k es una medida de la capacidad de un material para conducir calor. Por ejemplo, k = 0.608 W/m∙°C, para el agua, y k = 80.2 W/m∙°C, para el hierro, a la temperatura

ambiente, indica que el hierro conduce el calor más de 100 veces más rápido que el agua. Por tanto, se dice que el agua es un medio excelente para almacenar energía térmica.



El mecanismo de conducción del calor en un líquido se complica por el hecho de que las moléculas están más cercanas entre sí y ejercen un campo de fuerzas intermoleculares más intenso. Las conductividades térmicas de los líquidos suelen encontrarse entre las de los sólidos y las de los gases. Normalmente, la conductividad térmica de una sustancia alcanza su valor máximo en la fase sólida y el mínimo en la fase gaseosa. A diferencia de los gases, las conductividades térmicas de la mayor parte de los líquidos decrecen al incrementarse la temperatura, constituyendo el agua una notable excepción. Como los gases, la conductividad de los líquidos disminuye el aumentar la masa molar. Los metales líquidos como el mercurio y el sodio presentan conductividades térmicas elevadas y resultan muy apropiados para usarse cuando se desea una gran velocidad de transferencia de calor hacia un líquido, como en las plantas nucleares de generación eléctrica. En los sólidos la conducción de calor se debe a dos efectos: las ondas reticulares de vibración inducidas por los movimientos de vibración de las moléculas, colocadas en posiciones más o menos fijas de una manera periódica conocida como red cristalina, y la energía transportada por medio del flujo libre de electrones en el sólido (figura 1-27).



La conductividad térmica de un sólido se obtiene al sumar la componente reticular y la electrónica. Las conductividades térmicas más o menos elevadas de metales puros se deben principalmente a la componente electrónica. La componente reticular de la conductividad térmica depende con intensidad de la manera en que las moléculas están dispuestas. Por ejemplo, el diamante, que es un sólido cristalino intensamente ordenado, tiene la conductividad térmica conocida más elevada a la temperatura ambiente. A diferencia de los metales, los cuales son buenos conductores de la electricidad y el calor, los sólidos cristalinos, como el diamante y los semiconductores como el silicio, son buenos conductores del calor pero malos conductores eléctricos. Como resultado, esos materiales encuentran un uso muy amplio en la industria electrónica. A pesar de su precio más elevado, se usan sumideros de calor de diamante en el enfriamiento de componentes electrónicos sensibles debido a la excelente conductividad térmica del mismo. Los aceites y selladores de silicio son de uso común en el empaque de componentes electrónicos porque proporcionan tanto un buen contacto térmico como un buen aislamiento eléctrico. Los metales puros tienen altas conductividades térmicas y se podría pensar que las aleaciones metálicas deberían tener la misma propiedad. Se esperaría que una aleación hecha de dos metales de conductividades térmicas k 1y k 2 tenga una conductividad k entre k 1 y k 2. Pero éste resulta no ser el caso. La conductividad térmica de una aleación de dos metales suele ser mucho más baja que la de cualquiera de los dos metales, como se muestra en la tabla 1-2. Incluso pequeñas cantidades de moléculas “extrañas” en un metal puro, que son por sí mismas buenas conductoras, perturban seriamente el flujo de calor en ese metal. Por ejemplo, la conductividad térmica del acero, que apenas contiene un 1% de cromo, es de 62 W/m∙°C, en tanto que las conductividades térmicas del hierro y el cromo son de 83 y 95 W/m∙°C, respectivamente.

Las conductividades térmicas de los materiales varían con la temperatura (tabla 1-3). La variación de la conductividad térmica sobre ciertos rangos de temperatura es despreciable para algunos materiales, pero significativa para otros, como se muestra en la figura 1-28. Las conductividades térmicas de ciertos sólidos exhiben incrementos sorprendentes a temperaturas cercanas al cero absoluto, cuando estos sólidos se convierten en superconductores. Por ejemplo, la conductividad del cobre alcanza un valor máximo de alrededor de 20 000 W/m∙°C a 20 K, la cual es alrededor de 50 veces mayor a la



correspondiente a la temperatura ambiente. En las tablas A-3 a A-16, se dan las conductividades térmicas y otras propiedades térmicas de diversos materiales.

1.4 Ecuación de conducción de calor.

La transferencia de calor tiene dirección así magnitud . La velocidad de la conducción del calor en una dirección específica es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es el cambio en la temperatura por unidad de longitud en esa dirección. En general, la conducción del calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo. Es decir, T = T(x,y,z,t) y la temperatura en un medio varía con la posición así como con el tiempo. Se dice que la conducción del calor en un medio es estable cuando la temperatura no varía con el tiempo, y es no estable o transitoria cuando sí varía. Se dice que la conducción del calor en un medio es unidimensional cuando la conducción se realiza significativamente sólo en una dirección y es despreciable en las otras dos dimensiones, bidimensional cuando la conducción en la tercera dimensión es despreciable y tridimensional cuando la conducción en todas las dimensiones es significativa.

Aun cuando la transferencia de calor y la temperatura están íntimamente relacionadas, son de naturaleza diferente. A diferencia de la temperatura, la transferencia de calor tiene dirección así como magnitud, y por tanto, es una cantidad vectorial (figura 2-1). Por consiguiente se debe especificar tanto la dirección como la magnitud con el fin de describir por completo la transferencia de calor en un punto. Por ejemplo, al decir que la temperatura en la superficie interior de una pared es de 18°C, se describe en su totalidad la temperatura en ese lugar. Pero se dice que el flujo de calor sobre esa superficie es de 50W/m2, de inmediato se propone la pregunta: “¿en qué dirección?” Se responde a esta pregunta al

decir que la conducción de calor es hacia el interior (indicando ganancia de calor) o hacia el exterior (con lo que se indica pérdida de calor). Con el fin de evitar esas preguntas, se recomienda trabajar con un sistema de coordenadas e indicar la dirección con los signos más o menos. La convección en general aceptada es que la transferencia de calor en la dirección positiva de un eje de coordenadas es positiva y en la dirección opuesta negativa.



Por lo tanto, una cantidad positiva indica la transferencia de calor en la dirección positiva y una cantidad negativa indica transferencia de calor en la dirección negativa (figura 2-2). La fuerza impulsora para cualquier forma de transferencia de calor es la diferencia de temperatura, y entre mayor sea esa diferencia, mayor es la velocidad de la transferencia. En algunos problemas de transferencia de calor en ingeniería se requiere la determinación de la distribución de temperatura (la variación de la temperatura) de uno a otro lado del medio para calcular algunas cantidades de interés, como la velocidad local de transferencia de calor, la expansión térmica y el esfuerzo térmico, en algunos lugares críticos en momentos específicos. La especificación de la temperatura en un punto en un medio requiere en primer lugar la determinación de la ubicación de ese punto. Esto se puede hacer al elegir un sistema adecuado de coordenadas, como las rectangulares, cilíndricas o esféricas, dependiendo de la configuración geométrica que intervenga, y un punto conveniente de referencia (el origen). La ubicación de un punto se especifica como ( x, y, z ), en coordenadas rectangulares, como (r, Φ, z ), en coordenadas cilíndricas, y como (r, Φ, θ ), en coordenadas esféricas, en donde las distancias x, y, z y r , y los ángulos Φ y θ son como se muestran en la figura 2-3.

Entonces, la temperatura en un punto ( x,y,z) en el instante t , en coordenadas rectangulares, se expresa como T ( x, y, z, t ). El mejor sistema de coordenadas para una configuración geométrica dada es la que describe mejor las superficies en dicha configuración. Por ejemplo, un paralelepípedo se describe de la mejor manera en coordenas rectangulares, ya que cada una de las superficies se puede describir por un valor constante de las coordenadas x, y o z. Un cilindro es lo más apropiado para las coordenadas cilíndricas, ya que su superficie lateral se puede describir por un valor constante del radio. De modo análogo, toda la superficie exterior de un cuerpo esférico se puede describir del mejor modo por un valor constante del radio en coordenadas esféricas. Para un cuerpo con forma arbitraria, lo normal es usar coordenadas rectangulares, ya que es más fácil tratar con distancias que con ángulos. La notación que acaba de describirse también se usa para identificar las variables que intervienen en un problema de transferencia de calor. Por ejemplo, la notación T ( x, y, z, t ) implica que la



temperatura varía con las variables espaciales x, y, y z, así como con el tiempo. Por otra parte, la notación T ( x ) indica que la temperatua varía solo en la dirección x y no se tiene variación con las otras dos coordenadas espaciales o con el tiempo. La ley de Fourier de la conducción del calor en forma unidimensional se expresa como:

Donde k es la conductividad térmica del material, que es una medida de la capacidad del material para conducir el calor y dT/dx es el gradiente de temperatura, es decir, la pendiente de la curva de temperatura sobre un diagrama T-x (figura 2-7). En general, la conductividad térmica de un material varía con la temperatura. Pero se pueden obtener resultados suficientemente exactos al usar un valor constante para la conductividad térmica a la temperatura promedio. El calor es conducido en la dirección de la temperatura decreciente y, por tanto, el gradiente de temperatura es negativo cuando el calor es conducido en la dirección positiva de x. El signo negativo en la ecuación 2-1 garantiza que la transferencia de calor en la dirección positiva de x sea una cantidad positiva. Con el fin de obtener una relación general para la ley de Fourier de la conducción del calor, considere un medio en el cual la distribución de temperatura es tridimensional. En la figura 2-8 se muestra una superficie isotérmica en ese medio. El vector de flujo de calor en un punto P sobre esta superficie debe ser perpendicular a ella y debe apuntar en la dirección de la temperatura decreciente. Si n es la normal a la superficie isotérmica en el punto P , la velocidad de la conduciión de calor en ese punto se puede expresar por la ley de fourier como

En coordenadas rectngulares el vector conducción del calor de puede expresar en términos de sus componentes como



En donde son las magnitudes de las velocidades de transferencia de calor en las direcciones x, y y z , las cuales una vez más se pueden determinar a partir de la ley de Fourier como

Aquí, Ag, Ay y Az son las áreas de conducción del calor normales a las direcciones x, y y z , respectivamente (figura 2-8). La mayor parte de los materiales de ingeniería son de naturaleza isotrópica y, por tanto, tiene las mismas propiedades en todas direcciones. Para esos materiales no es necesario preocuparse por la variación de las propiedades en todas direcciónes. Para esos materiales no es necesario preocuparse por la variación de las propiedades con la dirección. Pero en los materiales anistrópicos, como los fibrosos o compuestos, las propiedades pueden cambiar con la dirección. Por ejemplo, algunas de las propiedades de la madera a lo largo de la fibre son diferentes de aquellas en la dirección normal a ésta. En esos casos puede ser que se necesite expresar la conductividad térmica como una cantidad tensorial, para tomar en cuenta la variación con la dirección.

1.5 Conducción unidireccional en estado estable 1.5.1 Pared plana.

Considere un elemento delgado de espesor Δ x en una

pared plana grande, como se muestra en la figura 213. Suponga que la densidad de la pared es ρ, el calor específico es C y el área de la pared perpendicular a la dirección de transferencia de calor es A. Un balance de energía sobre este elemento delgado, durante un pequeño intervalo de tiempo Δt , se puede expresar

como

o bien,



Peor el cambio en el contenido de energía interna del elemento y la velocidad de generación de calor dentro del elemento se pueden expresar como

Al sustituir en la ecuación 2-6, se obtiene

Al divir entre AΔ x da

Al tomar el límite cuando Δ x→0 y Δt →0 se obtiene

Por la definición de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conducción del calor,

Dado que el área A es constante para una pared plana, la ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio en una pared de ese tipo queda

Conductividad variable:

En general, la conductividad térmica k de un material depende de la temperatura T (y, por lo tanto, de x) y, por consiguiente, no se puede extraer de la derivada. No obstante, en la mayor parte de las aplicaciones prácticas se puede suponer que la conductividad térmica permanece constante en algún valor promedio. En ese caso la ecuación antes dada se reduce a



Conductividad constante:

Donde la propiedad α = k/ρC es la difusividad térmica del material y representa la velocidad con

que se propaga el calor a través del mismo. Ésta se reduce a las formas siguientes en condiciones específicas (figura 2-14):

Note que se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de conducción unidimensional y estable de calor, ya que son idénticas cuando dicha función depende de una sola variable [T = T(x), en este caso]. 1.5.2 Cilindros.

Considere ahora un elemento delgado con forma de casco cilíndrico, de espesor Δr , en un cilindro lardo, como se muestra en la figura 2-15. Suponga que la densidad del cilindro es ρ, el calor específico es C y la longitud es L. El área del cilindro, normal a la dirección de transferencia de calor en cualquier lugar, es A= 2πrL, en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que el área A de la transferencia de calor depende de r en este caso y, por tanto, varía con el lugar. Un balance de energía sobre este elemento delgado con forma de casco cilíndrico, durante un pequeño intervalo de tiempo Δt , se puede expresar como



El cambio en el contenido de energía del elemento y la velocidad de generación de calor dentro del mismo se pueden expresar como

Al sustituir en la ecuación 2-18, se obtiene

Donde A = 2πrL. La ecuación unidimensional de conducción de calor en régimen transitorio en un cilindro es

Conductividad variable:

Conductividad térmica constante: 1.6 Sistemas con generación de calor

La generación de calor suele expresarse por unidad de volumen del medio y se denota por , cuya unidad es W/m3. Por ejemplo, la generación de calor en un alambre eléctrico de radio exterior r 0 y longitud L se puede expresar como



Donde I es la corriente eléctrica y Re es la resistencia eléctrica que presenta el alambre. La temperatura de un medio se eleva durante la generación de calor, como resultado de la absorción del calor generado por el medio durante el periodo transitorio de arranque. A medida que se incrementa la temperatura del medio, también aumenta la transferencia de calor de ese medio hacia sus alrededores. Esto continúa hasta que se alcanzan las condiciones de operación estables y la velocidad de generación de calor es igual a la velocidad de la transferencia de calor hacia los alrededores. Una vez que se ha establecido la operación estable, la temperatura del medio en cualquier punto ya no cambia. La temperatura máxima T máx en un sólido que comprende generación uniforme de calor se tendrá en un lugar lo más alejado de la superficie exterior, cuando ésta se mantiene a una temperatura constante T s. Por ejemplo, la temperatura máxima ocurre en el plano medio de una pared plana, en la línea central de un cilindro largo y en el punto medio en una esfera. En estos casos la distribución de temperatura dentro del sólido será simétrica con respecto al eje de simetría. Las cantidades que interesan más en un medio con generación de calor son la temperatura superficial T s y la temperatura máxima T máx que se presentan en el medio en operación estable. Enseguida se desarrollarán expresiones para estas dos cantidades, en relación con configuraciones geométricas comunes, para el case de generación uniforme de calor ( =constante) dentro del medio. Considere un medio sólido de área superficial A s, volumen V y conductividad térmica constante k , donde el calor se genera a una velocidad constante de por unidad de volumen. El calor se transfiere del sólido al medio circundante que está a T ∞, con un coeficiente constante de transferencia de calor de h. todas las superficies del sólido se mantienen a una temperatura común T s. En condiciones estables el balance de energía para este sólido se puede expresar como (figura 2-55)



Si se descarta la radiación (o se incorpora en el coeficiente de transferencia de calor h), la velocidad de la transferencia de calor también se puede expresar a partir de la ley de Newton del enfriamiento como

Para una pared plana grande de espesor 2 L ( A s = 2 A pared y V = 2 LA pared ), un cilindro sólido largo de radio r 0 ( A s = 2π r 0L y V = π r 20L), y una esfera sólida de radio r 0 ( A s =4 π r 20 y V  =  π r3 0), la ecuación 2-66 se reduce a

Las fórmulas quedan:



1.5.4 Superficies extendidas (Aletas)

Considere un elemento de volumen en una aleta, en la ubicación x, que tiene una longitud Δ x, un área de sección transversal de Ac y un perímetro de p, como se muestra en la figura 3-55. En condiciones estacionarias, el balance de energía sobre este elemento de volumen se puede expresar como







1.6 Sistemas de conducción bidimensionales





U1-Conducción en estado estable.docx

Recommend Documents