CAPITULO 4 Conducción en 2D en Estado Estable
Conducción 2D en Estado Estable • •
En muchos muchos proble problemas mas necesi necesitam tamos os consid considera erarr la la tran transf sfere erenci ncia a de de calo calorr en en dos dos dimensiones La solu solució ción n de este este tipo tipo de de probl problema emas s requi requiere ere la solu solució ción n de una ecuac ecuación ión difere diferenci ncial al parcial
∂ 2T ∂ 2T q& + 2 + =0 2 k ∂ x ∂ y
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Esta Esta ecuac ecuación ión se pued puede e reso resolve lverr analí analític tica a (solu (solució ción n exact exacta), a), gráfic gráfica a o numé numéric ricame amente nte (soluciones aproximadas) Los mét método odos s analí analític ticos os requ requier ieren en seri series es y fun funcio ciones nes mat matemá emátic ticame amente nte compli complicad cadas. as. – Solución exacta – Solam Solament ente e puede pueden n resol resolver verse se cier cierto to tipo tipo de prob problem lemas as Método Mét odos s num numéri éricos cos propor proporcio cionan nan result resultado ados s apro aproxim ximado ados s en en punt puntos os discre discretos tos del volumen de control. – A me menud nudo o son el el único único medi medio o para para resolv resolver er un prob problem lema a pue pues s se adapt adaptan an a geometrías complejas y a todo tipo de Condiciones de Frontera (CF) – Amplia pliam mente nte uti utiliza lizado dos s – Gran cantidad cantidad de softwa software re disponib disponible le e en n el merca mercado: do: Fluent Fluent,, Algor, Algor, CFX, CFX, StarCD, StarCD, flexPDE, etc En este capitulo nos vamos a concentrar en el método numérico conocido como Method) ) Diferencias Finitas (Finite Difference Method
El Método de Diferencias Finitas
Es un método aproximado (que puede ser muy exacto) para encontrar la distribución discreta de temperatura del sistema de estudio. Una vez encontrada la distribución de temperatura discreta se puede calcular los flujos de calor aplicando Fourier.
Procedimiento: • Repre presentar el el si sistema fí físico po por una red de nodos. • Utilizar el el ba balance de de en energía para obtener la ecuación en diferencias finitas para cada nodo • Resolver el sistema de ecuaciones algebraicas resultante para las temperaturas desconocidas de cada nodo.
Red Nodal La red nodal consiste en crear pu punt ntos os di disc scre reto tos s donde la temperatura es desconocida y utilizar las letras m,n para designas su localización.
Aproximación por Diferencias Finitas
La aproximación por diferencias finitas es utilizada para representar los gradientes de temperatura al interior del dominio de cálculo
x
Forma de la Ecuación del Calor en Diferencias Finitas Considerando una profundidad unitaria, estado estable y que todos los flujos se dirigen hacia el nodo de interés
& + E & =0 E in g & = q& ( ∆ x ⋅ ∆y ⋅1) E g
& =q E in ( m −1,n )→( m ,n ) + q( m +1,n )→( m ,n ) 4
+ q( m,n +1)→( m,n ) + q( m,n −1)→( m,n ) =
∑q
( i ) →( m , n )
i =1
i hace referencia a los nodos vecinos
Transformamos el sistema de ecuaciones diferenciales parciales en un sistema algebraico de ecuaciones
Forma de la Ecuación del Calor en Diferencias Finitas Consideremos una superficie plana con convección
1era ley de la termodinámica en E.E:
∑ q − ∑W = 0
q ( m −1, n )→( m , n ) + q ( m , n+1)→( m , n ) + q( m , n−1)→( m , n ) + q conv m,n+1 y
m-1,n
m,n
T , h
0
0⎛ ∆ x
⎞ & + q gen ⎜ ⋅ ∆y ⋅ 1⎟ = 0 ⎝ 2 ⎠
q ( m −1, n )→( m , n ) = k (∆ y ⋅ 1)
T m −1, n − T m , n
∆ x
⎛ ∆ x ⎞ (T m , n −1 − T m ,n ) ⋅ 1⎟ ∆ y ⎝ 2 ⎠
q ( m , n−1)→( m , n ) = k ⎜
⎛ ∆ x ⎞ T m , n +1 − T m ,n ⋅ 1⎟ q ( m , n+1)→( m , n ) = k ⎜ m,n-1 ∆ y ⎝ 2 ⎠ x h ⎛ h ⎞ (T m ,n −1 + T m ,n +1 + 2T m −1, n ) + 2 ∆ xT ∞ − 2⎜ ∆ x + 2 ⎟T m , n = 0 k ⎝ k ⎠ Ver Tabla Tabla 4.2 Resumen Resumen de las ecuaciones ecuaciones nodales nodales en diferencias diferencias finitas para diferentes configuraciones
Solución de las Ecuaciones en Diferencias Finitas • Inversión de Matrices : Sistema de N ecuaciones ecuaciones en diferencias finitas finitas para N tempera temperaturas turas nodales nodales desconocid desconocidas: as:
[ A ][ ][T ] = [C ]
Coeficientes Matriz (NxN)
Vector Solución Vector de Constantes (T1,T2, …TN) (C1,C2…CN)
[T ] = [ A ]− 1 [C ]
Solución
La Inversa de la Matriz de Coeficientes
• Método Iterativo de Gauss-Seidel : Cada ecuación en diferencias finitas se debe escribir de forma explicita, tal que que las temperat temperaturas uras nodales nodales desconocida desconocidas s aparezcan solas en el lado izquierdo de la ecuación : T i
( k )
=
C i a ii
i −1
−∑ j =1
a ij a ii
T j
( k )
−
N
a ij
∑a
j = i + 1
T j
ii
( k −1 ) (4.55)
donde i = 1, 1, 2,…, N y k es el número de la iteración. Se debe iterar hasta que se satisfaga el criterio de convergencia escogido ( k ) ( k −1 ) para todos los nodos:
T i
− T i
≤ ε
• Que medidas deben tomarse para asegurar que una solución en diferencias finitas arroje predicciones correctas del campo de temperatura?
Verificación Ts=500K
q1(1) q2
q1(2) q3 q5 q7(1) q7(2)
q8
Ecuaciones en DF Tabla 4.2
