Error en Estado Estable en Función de la Constante Proporcional (K) Ana M. Rodríguez González, Gonzalo Efrén Medrano Reyes, José Luis Báez Muñoz, Jesús Ángel Aragón Morales. División de Ingeniería Mecatrónica Instituto Tecnológico Superior de Atlixco Prolongación Prolongación Heliotropo No.1201, Colonia Vista Hermosa, Atlixco, Pue.
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[email protected] Resumen El presente documento presenta el diseño y la implementación de un circuito de estabilidad, haciendo variar la ganancia K (Proporcional) para determinar el error en estado estable, haciendo uso de resistencias, capacitores y dos Amplificadores operacionales, uno en configuración no inversor y segundo en forma diferenciador, se utiliza la técnica de error en estado estable, para calcular los valores de la constante K para ver los diferentes porcentajes de error en estado estable al variar dicho parámetro, también se desarrolló el modelo matemático para calcular teóricamente los parámetro y condicio nes para este tipo de sistema, para después comprobar la respuesta al escalón con el Software MATLAB y además se visualizara la señal de salida del sistema a través del osciloscopio. Palabras clave: Estabilidad, Error en estado estable, función de transferencia y ganancia K.
Donde representa las N integraciones puras del sistema, lo cual define el tipo de sistema de lazo cerrado (Ver Fig. 2) [2]
Fig. 2 Tipos de sistemas de lazo cerrado
I. I NTRODUCCIÓN NTRODUCCIÓN El error en estado estacionario es una medida de la exactitud de un sistema de control para seguir una entrada dada, después de desaparecer la respuesta transitoria transitoria (Ver Fig. 1).
En la imagen anterior se muestra el valor de las contantes de error estático según el tipo de sistema. Las constantes se pueden definir como: posición lim ()() : Constante de posición
→
: Constante de velocidad velocidad lim ()() → velocidad lim ()() : Constante de velocidad → II. DESARROLLO
1. Realizar el modelo matemático que representa el sistema G(s) del siguiente circuito. [3] Fig. 1 Error en estado estable de una entrada escalón
Los errores en un sistema de control, se pueden atribuir a muchos factores. Los cambios en la entrada de referencia provocan errores inevitables durante los períodos transitorios y también pueden producir errores errores en estado estable. estable. [1] A. Clasificación de los sistemas de control Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola, etc. Considere el sistema de control con realimentación unitaria con la siguiente función de transferencia en lazo abierto G(s):
+)(+) +)…(+) () = ((+)( +)( +)(+) +)…(+)
(1)
Figura 3 Diagrama circuito eléctrico
2. Calcular el error en estado estable escalón en el infinito cuando K=1. . 3. Calcular K cuando el error en estado estable escalón en el infinito se del 10%. 4. Una vez obtenido los valores de K, realizar la respuesta al escalón unitario en MATLAB. 5. Recordar que el circuito es de tipo 0 y su contante de error estable es: : Constante de posición lim ()() → 6. Comprobar con el osciloscopio la ganancia del circuito, la frecuencia de oscilación y el periodo.
1 1 ∆=
2
Ecu (7)
∆=12 (ˆ)ˆ ˆ ()() (ˆ)ˆ
∆= () +(++) +
Ecu (8)
CALCULOS
Cuando: R1, R2 y R4=1kΩ R5=10kΩ
Determinante 2.
1 1 ∆ =
() 0
∆ = ()
C1=4.7 ℳF C2=3.3 ℳF
Ecu (9) Ecu (10)
Determinado I2:
2 = ∆∆
1. Determinar G(s), cuando G(s) es:
Ecu (11)
Sustituyendo ecuación 8 y ecuación 10 en la ecuación 11. () ()()
2 =
() () ()
2 =
() 2 = ()+(++) +
Figura 4 Circuito planta G(s)
Ecu (1) Ecu (2)
Impedancias.
11 – 2 =()
Ecu (4) Ecu (5)
Impedancias.
1 2 = 0 Determinar I2. Determinante 1.
Ecu (14)
=2∗2
Ecu (15)
() = ()+(++) +
Ecu (16)
= () = () () +(++) +
Ecu (17)
Ecu (3)
Malla 2
1(21) 2(2) 2(2) = 0 1(1) 2(122) = 0
Ecu (13)
Pero necesitamos hallar Vo/V(s), por lo tanto, Vo:
Malla 1
() 1(2) 1(12) = 0 1(11) 2(1) =()
Ecu (12)
Sustituyendo valores
() = .− +,4 + 2. Kp cuando k=1
Ecu (6)
= lim ( ) →
Realizando y haciendo s=0
Ecu (18)
Kp=1
()ó = +
Ecu (19)
= =0.5 ( )ó = +
Ecu (20)
3. Determinado a la ganancia K cuando el error es del 10%
( )ó = .010 ( )ó = + =0.10
Ecu (21) Ecu (22)
Figura 6 Respuesta al escalón unitario cuando K=2 y el error en estado estable es del 33.4% G(s)
=.10 +
= . 1 = 9
Ecu (23)
=9 ( ) =lim = → 1 K=9 La ganancia del potenciómetro tendrá que variar entre 1 a 9 para lograr percibir los erros que se muestran en la simulación de MATLAB.
Figura 7 Respuesta al escalón unitario cuando K=3 y el error en estado estable es del 25% G(s)
1 = = 1
2=(1)(1) Cuando R2 será el valor del potenciómetro que estará variando proporcional a K. R ESULTADOS 4 Comprobación en MATLAB.
Figura 8 Respuesta al escalón unitario cuando K=5 y el error en estado estable es del 16.9% G(s)
Figura 5 Respuesta al escalón unitario cuando K=1 y el error en estado estable es del 50% G(s) Figura 9 Respuesta al escalón unitario cuando K=6 y el error en estado estable es del 16.9% G(s)
Figura 10 Respuesta al escalón unitario cuando K=7 y el error en estado estable es del 12.5% G(s) Figura 13 Grafica obtenida mediante osciloscopio. Cuando el potenciómetro tiene aproximadamente un valor medio.. .
Figura 11 Respuesta al escalón unitario cuando K=8 y el error en estado estable es del 11% G(s)
Figura 14 Grafica obtenida mediante osciloscopio. Cuando el potenciómetro casi llega su mayor valor .
Figura 12 Respuesta al escalón unitario cuando K=9 y el error en estado estable es del 10% G(s) 5.- Señal obtenida a la salida del circuito y vista en el
Osciloscopio.
Figura 15 Grafica obtenida mediante osciloscopio. Cuando el potenciómetro tiene su mayor valor.
III. CONCLUSIONES
Figura 13 Grafica obtenida mediante osciloscopio. Cuando el potenciómetro tiene su menor val or.
A. Ana Maria Rodríguez González Se presentó el diseño e implementación del sistema de lazo cerrado variando el valor de la ganancia (K) de 1-9 verificando la respuesta del sistema, así como el cambio del error en estado estable.
B. Gonzalo Efrén Medrano Reyes En la implementación del circuito se logró observar que mediante la variación de los valores de ganancia (K), el sistema respondía de diferente forma ya que al estar en el límite mostraba un exceso que al final se convertía en estable sin el cambio al variar al mínimo valor de K este presento otro comportamiento. C. Jesús Ángel Aragón Morales Con la práctica anterior se comprobó el comportamiento de la salida de un sistema de lazo cerrado el cerrado, el cual al variar la ganancia OPAM se pudieron observar los diferentes tipos de respuestas y además variar la estabilidad del sistema. Las dificultades que tuvimos fueron en la implementación del circuito, también encontrando la frecuencia adecuada para obtener la señal correcta. Al ocupar un OPAM simétrico y obtener la señal parecida a la señal simulada de MATLAB se implementó offset. D. José Luis Báez Muñoz En esta práctica que se realizó, pudimos visualizar y conocer cómo es la respuesta al escalón unitario sobre este sistema con diferentes tipos de ganancias. Las cuales nos mostraban graficas con un diferente porcentaje de error en estado estable. Al variar el potenciómetro, la ganancia cambiaba por consecuencia la respuesta al escalón daba diferente porcentaje de error. Al ocupar un OPAM simétrico se tuvo que implementar offset para poner valores positivos y se pudiera visualizar las gráficas de MATLAB en el osciloscopio.
IV. R EFERENCIAS [1] A. Hidalgo , “Error en estado estacionario en sistemas de control ”. [Visitado 18-03-17]. En línea: http://dea.unsj.edu.ar/control1b/teoria/error%20estacionario.pdf [2]E. Lara, “Error en estado estacionario” . [Visitado 18-03-17]. En línea: http://gama.fime.uanl.mx/~agarcia/materias/ingco/apclas/06%20%20Error%20e n%20Estado%20Estable%20o%20Estacionario.pdf [3] N. S. Nise, Sistemas de Control para Ingeniería, 4tra ed. México: Patria, 2006.
