Kelompok 2
A. Suat Suatu u bang bangun unan an dari dari kons konstru truks ksii beto beton n 2 lant lantai ai sepe seperti rti gamb gambar ar meng mengala alami mi gaya gaya harmonic sinusoidal seperti gambar. Diminta : 1. Bentuk Bentuk model model matematis matematis dan persamaan persamaan gerakan gerakan bangun bangunan an akibat akibat gaya harmon harmonis is 2. Hitung Hitung nilai nilai eigen Vector dan waktu getar alami alami bangunan bangunan.. . Hitung Hitung dan gambarkan gambarkan perpinda perpindahan han lantai lantai dengan metode metode analisis analisis superposi superposisi si modal dalam waktu 2 perioda gaya harmonic !. Hitung Hitung gaya gaya lateral lateral eki"al eki"alen en pada setiap setiap lantai lantai serta total total gaya geser dasar dasar # Base Base Shear $ dengan S%SS
E Beton = 2 x 104 Mpa, P=40KN G = 10 m/sec. Damping ratio ζ = !
Typ e 2
K1 (cm) bxh 3 0x 3 0
Penyelesaian
K2 (cm) bxh 25x 2 5
B1(c m) bxh 25x45
B2(c m) bxh 30x55
W1(kN/ m)
W2(kN/ m)
L(m )
H( m)
25
30
7
4
W (rad/sec ) 18
Kelompok 2 1. Bentuk Bentuk model model matematis matematis dan persamaan persamaan gerakan gerakan bangun bangunan an akibat akibat gaya harmon harmonis is Lump mass model
Model matematis :
Free body diagram :
´ 1−k 2 ( u2−u 1 )−c 2 ( u´ 2−u´ 1 ) =0 m 1 . u´ 1 + k 1 .u 1+ c1 . u ´ 1−k 2 u2 + k 2 u1− c2 ´u2 + c 2 u´ 1 =0 m 1 . u´ 1 + k 1 .u 1+ c1 . u m 1 . u´ 1 + ( k 1 + k 2 ) u 1+ ( c 1+ c2 ) u´ 1− k 2 u 2−c 2 u´ 2=0 m 2 . u´ 2 + k 2 ( u2−u 1) + c 2 ( u´ 2−u´ 1 )= 0 m 2 . u´ 2 + k 2 u2− k 2 u1 + c 2 ´u2−c 2 ´u1=0
´ } }+ C { ´U } + K { { U }= P ( t ) {U M {
[ ]
[ M ] = m
1
0
0
m2
[
[ C ] = c + c −c 1
−c2
2
2
c2
]
Kelompok 2
[
[ K ] = k + k −k 1
2
2
−k 2
k 2
]
[ ]{ } [ m1
0
0
m2
]{ } [
]{ } { }
u´ 1 c + c −c2 u´ 1 k 1 + k 2 −k 2 u1 + 1 2 + = 0 Psinwt −c2 −k 2 u´ 2 c 2 u´ 2 k 2 u2
&'assa (antai 1 :
w1
) *#
w2
γ beton
+ ($,#
+ ( + B 2$- + 2
) *# kg/m + 0m$,#2!kg/m + 0m + m + m$- + 2 ) #21 , 2002$ + 2 ) !0!! kg
m1
w1 )
47544
)
g
) !0!.! kg s 2/m
10
&'assa (antai 2 :
w2
) *#
w1
γ beton
+ ($,#
+ ( + B 1$- + 2
) *#2 kg/m + 0m$,#2!kg/m + 0m + 2m + !m$- + 2 ) #10 , 134$ + 2 ) 303 kg
m2
w2 )
g
38780
)
10
) 303 kg s 2/m
&5ekakuan lantai 1 : 6 kolom )1/12 bh ) 1/12 #$#$ ) 70 + 1 8! m! ) 70 + 1 3 mm!
k 1
4
12 EI
)
h3
)
8
3 x 12 x 2 x 10 x 6,75 x 10 4000
3
) 040 9/mm ) 040 kg/m
&5ekakuan lantai 2 : 6 kolom )1/12 bh ) 1/12 #2$#2$ ) 2 + 1 8! m! ) 2 + 1 3 mm!
Kelompok 2 4
12 EI
k 2
)
)
h3
8
3 x 12 x 2 x 10 x 3,255 x 10 4000
) 77130 9/mm ) 77130 kg/m
3
2. 'enghitung igen"alue ;roblem n2 m? ϕn ) det @ k = > n2 m@ ) maka : k = >n2 m
=
=
=
[
k 1 + k 2 −k 2
−k 2 k 2
]
[ ]
2 n
– ω
[
759375 + 366187,5 −366187,5
[
1125562,5 − 4754,4 ωn
m1
0
0
m2
−366187,5
−366187,5
366187,5
2
]
2 n
– ω
[
4754,4 ω n
−366187,5 2 366187,5 −3878 ω n
0
2
0 3878 ωn
2
]
]
@ k = > n2 m@ ) #11272= !0!! > n2$#77130 8 303 > n2$ = #8 77130$2 ) !1210 + 1 11 = !7!410 > n2 = 10!113 > n2 , 13!072 > n! = 1!1+1 11 ) 13!072 > n! = 71422 > n2 , 2030+1 11 )
ω n1
2
ω n1
) 03 rad/s
ω n2
2
ω n2
) 177 rad/s
) !1 ) 2077
igen"ector mode 1 >n2 )!1
Kelompok 2
[ [
1125562,5 − 4754,4 ( 54,515 )
−366187,5 366187,5 −3878 ( 54,515 )
−366187,5 866376,384 −366187,5
154778,33
] ( )
ϕ 11 = 77130
377073!
ϕ 11
877130
'isalkan
−36618 7,5
, 1!003
] () ∅11 ∅21
= 0
∅11 ∅21
= 0
ϕ 21 ) ϕ 21
)
ϕ 21 ) 1 ϕ 11
377073!
= 77130 #1$ )
ϕ 11
) !220
igen"ector mode 2 >n2 ) 2077
[ [
1125562,5 − 4754,4 ( 276,653 )
−366187,5 −189756,523 −366187,5 −366187,5 −706672,834
8134072
877130
'isalkan
−366187,5 366187,5 −3878 ( 276,653 )
] ( ) ∅12 ∅22
ϕ 12 = 77130
ϕ 22 )
ϕ 12 = 077023!
ϕ 22 )
ϕ 22 ) 1
= 0
] () ∅12 ∅22
= 0
Kelompok 2
ϕ 12 = 77130 #1$ )
8134072
ϕ 12
) 814243
ϕ 21 ) 1
ϕ 22 ) 1
ϕ 11 ) !220
ϕ 21 ) 814243
Mode 2
Mode 1
ϕ ) 'aka
[
ϕ 11 ϕ12 ϕ 21 ϕ22
] [ )
0,4227 1
−1,9298 1
]
Kelompok 2 .
'enghitung perpindahan dengan Analisa superposisi modal
M 1
M 1
)
ϕ1
T
) #!220
1$
M 1
) #2473
M 1
) !020!4!
M 2
) ϕ 2
M 2
ϕ1
. m .
) #8410!1
M 2
) 21344!
(
0,4227 1
] (
0,4227 1
)
)
ϕ2
. m .
M 2
0 3878
303$
T
) #814243
[
4754,4 0
[
1$
4754,4 0
(−
303$
0 3878
− ( ]
1,9298 1
1,9298 1
)
)
k 1
ω n1
2
! M 1 "54#515$"4727#4%4$ 25771%#335
k 2
ω n2
2
! M 2 "27&#&53$"21583#%%4$ 5%7127&#&%2
[] [
ϕ 11 ϕ12 ϕ 21 ϕ22
[] [
0,4227 −1,9298
P1 P 2
P1 P 2
[] [ ] P1 P 2
4000 4000
] [ T
]
0 4000sin 18t
] [
1 1
si' 18t
]
0 4000sin 18t
Kelompok 2 Faktor (erbesara' )i'amis " *
Rd n
$
Mode 1 1
Rd1
√ ( ( ) ) ( ( )) ω ωn1
1−
2 2
+
ω 2 . ϥ. ωn1
2
1
Rd1
Rd1
*
√( ( ) ) ( 2 2
18
1−
+ 2 . 0,05 .
7,383
(
))
2
18 7,383
0#202
Mode 2 1
Rd2
√(
( ) ) ( ( ))
ω 1− ωn2
2 2
+ 2 . ϥ. ω ω n2
2
1
Rd2
Rd2
(√ −( 1
) ) +( 2 2
18 16,633
2 . 0,05 .
(
18 16,633
4#%3% P n
q n( t )
"
k n P n
q n ( 0)
U i ( t )
k n ϕ ij
C n
si' +t ,
Dn
!
qi ( t )
4000
257719,335
! Rd2 !
! #22$ . #!220$ ,
14243$
U 1
-os +t$
! Rd n
'aka dengan analisis modal absolute sum : P2 P1 U 1 Rd1 ϕ 11 , k 2 k 1 ! !
U 1
))
2
) 12 , #873$
ϕ 12
4000 5971276,692
! #!44$ . #8
Kelompok 2 U 1
U 2
U 1
8 7
P1
Rd1
!
k 1
4000
257719,335
P2
ϕ 21
!
,
k 2
! #22$ . #1$ ,
U 1
) 1 , 4
U 1
7!!!
! Rd2 ! 4000 5971276,692
ϕ 22
! #!44$ . #1$
ambar ;erpindahan
'enghitung gaya geser tiap lantai
q1
*
P1 )
k 1
Rd1
!
4000
257719,335
! #22$ ) 1
'ode 1
11
)
ω n1
11
) #!1$ #!0!!$ #!220$ #1$
11
) !!3 kg
21
)
21
) #!1$ #303$ #1$ #1$
ω n1
2
2
.
.
m1
m2
.
.
ϕ 11
ϕ 21
.
.
q1
q1
Kelompok 2 21
q2
*
) 772073 kg
P2 )
k 2
Rd2
!
4000
5971276,692
! #!44$ ) 17 .1 8!
'ode 2
12
)
12
) #2077$ #!0!!$ #814243$ #17 .1 8!$
12
) 8!!14! kg
22
)
22
) #2077$ #303$ #1$ #17 .1 8!$
22
) 1!!3 kg
ω n2
2
ω n2
2
m1
.
m2
.
.
.
ϕ 12
.
ϕ 22
.
Superposisi 'etode S%SS
√ 11 + 12 2
1
)
1
)
1
) !3727 kg
2
)
1
)
1
) 703!0 kg
2
√ (343,485 ) +(−344,194 ) 2
√ 21 + 22 2
2
2
√ (662,768 ) +( 145,480 ) 2
aya eser Dasar #V base$
2
q2
q2
Kelompok 2 V base )
1
,
2
) !3727 , 703!0 ) 117!31 kg B. Bila gaya yang bekera di lantai 1 adalah gaya akibat ledakan maka diminta 1. Hitung dan gambarkan time history perpindahan dan percepatan setiap lantai dengan metode superposisi modal dan dengan metode 9ewmark8Beta. 2. Hitung dan gambarkan gaya geser dasar kedua metode tersebut.
Penyelesaian
a. 'etode Superposisi 'odal Dari bangunan pertama telah didapatkan waktu getar alami bangunan #C n$ yaitu :
Kelompok 2
. Bila bangunan tersebut ditambah 1 lantai menadi lantai dimana lantai 2 dan lantai tiga mempunyai ukuran dan beban tetap yang sama dan terletak pada daerah gempa dengan response spektra sperti gambar maka diminta: 1. Hitung perpindahan setiap lantai dan base shear total dengan cara S%SS ABS ;'S bila struktur dianggap memiliki daktail parsial.
Penyelesaian Diketahui :
m1
) !0!! kg s 2/m
040 kg/m
k 1
)
Kelompok 2 m2
) 303 kg s 2/m
k 2
) 77130 kg/m
m3
) 303 kg s 2/m
k 3
) 77130 kg/m
Model Matematis
Free body diagram
m 1 . u´ 1 + k 1 .u 1+ c1 . ´u1−k 2 u2 + k 2 u1− c2 ´u2 + c 2 u´ 1 =0 m 1 . u´ 1 + ( k 1 + k 2 ) u 1+ ( c 1+ c2 ) u´ 1− k 2 u 2−c 2 u´ 2=0 m 2 . u´ 2 + k 2 u2− k 2 u1 + c 2 ´u2−c 2 ´u1−k 3 u3 + k 3 u2 −c 3 u´ 3 + c3 ´u2= 0 m 2 . u´ 2 + ( k 2+ k 3 ) u2−k 2 u3
−¿
m 3 . u´ 3 + k 3 u3 −k 3 u2+ c 3 u´ 3 −c 3 u´ 2
m1
0
0
0
m2
0
0
0
m3
{} u´ 1 u´ 2 u´ 3
c 2 . u´ 1 +( c 2+ c3 ) u´ 2−¿
c 3 u´ 3
= 0
= 0
c1 + c2 −c 2
+
−¿
k 2 u1
0
−c2 0 c 2+ c3 −c3 −c3 c3
{} u´ 1 u´ 2 u´ 3
+
k 1 + k 2 −k 2 0
−k 2 0 k 2 + k 3 −k 3 −k 3 k 3
{ } {} u1 u2 u3
m =
0 0 0
=
[
4754,4
0
0
0 0
3878 0
0 3878
]
; k =
'enghitung waktu getar alami bangunan : @ k = > n2 m@ )
[
1125562,5
−366187,5
0
−366187,5
732375 −366187,5
−366187,5
0
366187,5
]
Kelompok 2
[
1125562,5 − 4754,4 ωn
2
−366187,5 2 732375 −3878 ωn −366187,5
−366187,5 0
( 1125562,5 −4754,4 ω n
1125562,5 −4754,4 ω n
−366187,5
2
0
−366187,5 2 366187,5 −3878 ω n
) ( 732375− 3878 ω n
2
)(
−366187,5
) ( 366187,5 −3878 ω n
)(
2
2
+ 18437563,2
6
ωn
4
2
- (3,043 .10 13) ω n
- 2 .10
+ (11,575 .10 ) ω n
+ (3,7182 .10 13) ω n
14
4
+ 1,0185 .10 17 = 0
ω n1
) 7 rad/s
ω n2
2
ω n1
) 1237 rad/s
ω n3
2
T n2
) 1072! rad 2/s2
ω n1
) 131! rad 2/s2
)
+ (6,752 .10 12)
2
– (4,9125 .10 15) ω n
) 27 rad 2/s2
ωn1 )
4
= 0
2
)
) -(1,509 .
2
17
ω n1
2 !
2
= 0
Dengan trial and error didapat
T n1
)(
) ( 366187,5 −3878 ω n
14
- (2,873 .10 15) ω n
6
- (7,15 .10 ) ω n 10
-(7,15 .1010) ω n
−366187,5
)–(
)=0
16
2
4
) +0+0-0 – (
2
) – (4,910 .10 – (5,2 .10 ) ω n
14
3,0185 .10 17 – (3,197 .10 15) ω n
ωn
2
2
10 – (6,375 .10 ) ω n 17
=0
) ( 366187,5−3878 ω n
−366187,5
2
ωn
(8,243 .10 11 – 7846935075
]
2 ( 3,14 ) 5,036
2 !
2 ( 3,14 )
ωn2 )
13,286
) 12!0 s
) !020 s
) 1037 rad/s
Kelompok 2 T n3
)
2 !
2 ( 3,14 )
ωn3 )
17,836
) 21 s
Dari plot graEik %espon Spectra didapatkan :
s "1
) !1
s "2
)
s "3
)
'enghitung 'ode Shape Bangunan 'ode 1st
[
1004967,144
−366187,5
0
−366187,5
634009,53 −366187,5
−366187,5
0
1004967,144 ϕ 11
8
267822,03
366187,5 ϕ 21
] {} ϕ 11 ϕ 21 ϕ 31
)
−366187,5
ϕ 11 , 634009,53
ϕ 21
−366187,5
ϕ 21 , 267822,03
ϕ 31 )
'isalkan : 'aka :
ϕ 31
= 0
−366187,5
) 1
ϕ 21 ) 01!
F
ϕ 11 ) 277
'ode 2nd
[
286296,7944
−366187,5
0
−366187,5
47814,928 −366187,5
−366187,5 −318372,572
0
286296,794 ϕ 12
8
366187,5 ϕ 22
)
] {} ϕ 12 ϕ 22 ϕ 32
= 0
ϕ 31 )
Kelompok 2 −366187,5
ϕ 12 , !031!423
−366187,5
ϕ2 2
'isalkan : 'aka :
ϕ 22
ϕ32
−366187,5
ϕ2 2 ϕ 32
= 130202
ϕ 32 )
)
) 1
) 8374!
F
ϕ1 2
) 81112
'ode rd
[
−387002,316 −366187,5 0 −366187,5 −501371,92 −366187,5 −366187,5 −867559,42 0
−387002,316 ϕ13
8
366187,5 ϕ 23
ϕ 13
−366187,5
ϕ 23 = 3704!2
'isalkan : 'aka :
ϕ3 3
ϕ 33
) 1
ϕ 23 ) 8274F
ϕ 1 3 ) 22!17
ambar 'ode Shape
'encari aya (ateral Ciap (antai
= 0
)
−501371,92 ϕ 23
−366187,5
] {} ϕ 13 ϕ 23 ϕ 33
−366187,5 )
ϕ 33
)
Kelompok 2 jn m j . ϕ¿
¿ ¿ ¿
m
¿
jn
m j
ϕ
ϕ jn
!
!
(¿¿ jn )2 ¿ j . ¿ ¿ ¿ ¿
!
# $"
n
¿ ∑ = j 1
¿
# $"
# " . I
R
Gntuk Daktisi ;arsial dan %angka Beton Bertulang ;emikul 'omen biasanya menurut S96 empa 22 %) dan 6 ) 1 'ode 1st
# $"
0,401.1
)
) 10
3
1n
m1 . ϕ ¿
¿ ¿ ¿
m
¿
1 n
m1
!
ϕ1n
ϕ !
(¿¿ 1 n )2 ¿ 1 .¿ ¿ ¿ ¿
!
# $"
n
∑= ¿ j 1
¿
11
( 4754,4 ) ( 0,2665 ) + ( 3878 ) ( 0,7314 )+( 3878 )( 1) ) #!0!!$ #277$ ( 4754,4 ) ( 0,2665 )2 + ( 3878 ) ( 0,7314 )2 +(3878 )( 1 )2 #10$
11
( 7981,4168 ) ) #!0!!$ #277$ . ( 6290,1886 ) . 10
Kelompok 2 11
) 21!42 kg
21
( 4754,4 ) ( 0,2665 ) + ( 3878 ) ( 0,7314 )+( 3878 )( 1) ) #303$ #01!$ ( 4754,4 ) ( 0,2665 )2 + ( 3878 ) ( 0,7314 )2 +(3878 )( 1 )2 #10$
21
) #303$ #01!$. #12734$. 10
21
) !3113 kg
31
( 4754,4 ) ( 0,2665 ) + ( 3878 ) ( 0,7314 )+( 3878 )( 1) ) #303$ #1$ ( 4754,4 ) ( 0,2665 )2 + ( 3878 ) ( 0,7314 )2 +(3878 )( 1 )2 #10$
31
) #303$ #1$. #12734$. 10
31
) 7041 kg
'ode 2nd
# $"
12
0,5.1
)
) 170
3
m1
!
ϕ 12
m1 . ϕ 12+ m2 . ϕ22 + m3 . ϕ32 !
2
2
m1 . ϕ12 + m2 . ϕ 22 + m3 . ϕ32
2
!
# $"
1 2
( 4754,4 ) (−1,112 ) + ( 3878 ) ( −0,8694 ) +(3878 )( 1 ) ) #!0!!$ #81112$ ( 4754,4 ) (−1,112 )2+ ( 3878 ) (−0,8694 )2+( 3878 )( 1)2 #170$
1 2
(−4780,426 ) ) #!0!!$ #81112$ . ( 12688,236 ) . 170
1 2
) 27!7 kg
22
( 4754,4 ) (−1,112 ) + ( 3878 ) (−0,8694 ) +(3878 )( 1 ) ) #303$ #8374!$ ( 4754,4 ) (−1,112 )2+ ( 3878 ) (−0,8694 )2+( 3878 )( 1)2 #170$
22
(−4780,426 ) ) #303$ #8374!$. ( 12688,236 ) . 170
22
) 2121! kg
Kelompok 2 3 2
( 4754,4 ) (−1,112) + ( 3878 ) (−0,8694 ) +(3878 )( 1 ) ) #303$ #1$ ( 4754,4 ) (−1,112 )2+ ( 3878 ) (−0,8694 )2+( 3878 )( 1)2 #170$
3 2
(−4780,426 ) ) #303$ #1$. ( 12688,236 ) . 170
3 2
) 82!! kg
'ode rd
# $"
12
0,5.1
)
) 170
3
m1
!
ϕ 12
m1 . ϕ 12+ m2 . ϕ22 + m3 . ϕ32 !
2
2
m1 . ϕ12 + m2 . ϕ 22 + m3 . ϕ32
2
!
# $"
12
( 4754,4 ) ( −1,112 ) + ( 3878 ) ( −0,8694 ) +(3878 )( 1 ) ) #!0!!$ #81112$ ( 4754,4 ) (−1,112 )2+ ( 3878 ) (−0,8694 ) 2+( 3878 )( 1)2 #170$
12
(−4780,426 ) ) #!0!!$ #81112$ . ( 12688,236 ) . 170
12
) 27!7 kg
22
( 4754,4 ) (−1,112 ) + ( 3878 ) (−0,8694 ) +(3878 )( 1 ) ) #303$ #8374!$ ( 4754,4 ) (−1,112 )2+ ( 3878 ) (−0,8694 )2+( 3878 )( 1)2 #170$
22
(−4780,426 ) ) #303$ #8374!$. ( 12688,236 ) . 170
22
) 2121! kg
32
( 4754,4 ) (−1,112 ) + ( 3878 ) (−0,8694 ) +(3878 )( 1 ) ) #303$ #1$ ( 4754,4 ) (−1,112 )2+ ( 3878 ) (−0,8694 )2+( 3878 )( 1)2 #170$
32
(−4780,426 ) ) #303$ #1$. ( 12688,236 ) . 170
32
) 82!! kg
Kelompok 2
Kelompok 2
D. Bila bangunan pada bagian mengalami percepatan tanah maka diminta 1. Hitung dan gambarkan time history perpindahn dan percepatan pada lantai atas. 2. Hitung dan gambarkan time history gaya geser dasar.
Gro"p 1,2,# gempa $oma prieta
