Penyelesaian soal Dinamika Struktur

KUIS DINAMIKA STRUKTUR  Dikerjakan oleh : Sarwo Edhi 24 Januari 2015

▌ SOAL 1 Diketahui : Struktur tergambar dengan data-data sebagai berikut: m1=10 ki!det 2"in # m2=15 ki!det 2"in# m$=20 ki!det 2"in k 1= 400 ki!s"in# k 2=%00 ki!s"in# k $=1200 ki!s"in m1 v 1 k 1 m2

v 2 k 2

m3

v 3 k 3

Ditanya: - &itung 'rekuensi alami dari struktur tersebut Jawab : (edasarkan gambar kita da!at menulis :

−(k $ + k 2) u$+ k 2 u 2= M $  ¨u$ k 2 u$−( k 2 + k 1 ) u 2+ k 1 u 1= M 2  ¨u$ k 1 u2−k 1 u1= M 1 u¨$

 jadi matrik keseluruhan keseluruhan di!eroleh :

[

m$

0

0

0

m2

0

0

0

][ ] [ u¨$ u¨2

m $ u¨$

+

k $ + k 2 − k 2 −k 2 k 2 + k 1 0

−k 1

0

−k 1 k 1

][ ] [ ] u$ u2 u1

=

0 0 0

dengan memasukkan nilai dari )ariabel m dan k dida!at :

[

2*0 0 0

0 0 1*5 0 0 1*0

][ ] [

][ ] [ ]

u¨$ u$ 2000 −%00 0 0 u¨2 + −%00 1200 − 400 u2 = 0 −400 400 u1 0 0 u¨$

+ntuk mem!eroleh nilai 'rekuensi alami dilakukan dahulu dengan !eme,ahan nilai eigen :

[ K −ω2 M ] φ= 0

[ [

[

2000 −%00 0 −%00 1200 −400 − 400 400 0 2000 −%00 0 −%00 1200 −400 − 400 400 0 2

2000 −2*0 ω 0

|

u$ 2*0 ω u2 − 0 u$ 0

−%00 2 1200 −1*5 ω −400

−%00

det

] [ ][ ] [

2000 −2*0 ω −%00 0

2

][ ] [ ] ][ ] [ ] ][ ] [ ]

u$ 2*0 0 2 u2 −ω 0 1*5 0 0 u$ 2

0 φ  33 0 0 φ 22 = 0 1*0 φ 11 0

0 2 1*5 ω 0

0

−400 2 400 −ω

φ  33 φ 22 φ 11

0 0

ω2

φ  33 φ 22 φ 11

0 = 0 0

0

=

0 0

|

−%00 0 2 −400 =0 1200 −1*5 ω 2 −400 400 −ω

selesaikan !ersamaan determinan tersebut

(2000− 2 ω 2)( 1200 −1*5 ω 2)( 400 −ω 2 )+ 0 + 0− 0−( 2000−2 ω 2)(−400 )(−400 ) −( 400−ω 2)(−%00 )(−%00 )=0 dari !ersamaan diatas disederhakan : 

4

ω  −2200 ω 

+ 1200000 ω 2−12%000000 =0 2

dengan mengangga!  x =ω   jadi: $

2

 x −2200 x + 1200000 x −12%000000 = 0 .en/elesaikan !ersamaan kubik di atas sehingga dida!at : 2

ω 1=141*

2

ω 2=42*4

2

ω $=141-*

 jadi 'rekuensi sirkular alami: ω 1=$*-1 rad"det

3

ω 2=25*$5 rad"det

ω $=11*% rad"det

▌ SOAL 2 Diketahui: Struktur tergambar di bawah ini

m

u5

 p 2(t )

u6 EI

h

EI

EI 2m

u3

 p1(t )

u4 2EI

h

u2

u1

2EI

2EI

L = 2h

Ditanya: - ari natural 'rekuensi struktur dan mode dari struktur di atas jika

h=m

Jawab :  .atrik massa :

[

2 0 0  M =m 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

]

.atrik kekakuan bedasarkan !en/elesaian ,ontoh soal  buku  Dynamics of Structures 6 7nil 8 ho!ra

$

 K = EI / h

masukkan h =  m

[

2 −24

−24 24

-h -h

-h

-h

1- h

−- h −- h

-h

2h

-h

0

-h -h 2

2

2h

2

-h

2

0

2

h 2 -h

2h 2

h

-h

2

-h

0 2h

−- h −- h 2

]

[

−2

−2 EI  $  K = 21- $ −$ −$

$ $ 4% 0

2 $ $ $ $

−$ − $

$ $ 4% 0 -

$ 0 1% $

$ 0 $ 1%

]

9ersamaan kesetimbangan dinamisn/a :

[

2 0 0 m 0 0 0

tamsilkan nilai 2

λ 

=

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

 EI 

21- m

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

][ ] [ u¨1 u¨2 u¨$ u¨4 u¨5 u¨-

−2

−2 EI  $ + 21- $ −$ −$

$ $ 4% 0

2 $ $ $ $

$ $ 4% 0 -

][ ] [ ]

−$ −$ u1 $ 0 1% $

$ 0 $ 1%

u2 u$ u4 u5 u-

λ  untuk !eme,ahan nilai eigen :

dengan nilai

21 m 2 ω   jadi :  EI 

[ K −λ  M  ]φ =0 masukkan nilai matrik

[ [

 −2 −2 2 $ $ $ $ −$ $ −$ $ 2

 − 2 λ  −2 $ $ −$ −$

−2 2 2−λ  $ $ $ $ 2

-− 2 λ 

det

][

$ −$ −$ $ $ $   0 − λ 2 4% 0  0 1% $  $ 1%

$ $ 4%   0

2 0 0 0 0 0

$ −$ − $ $ $ $   0 4% 0  0 1% $  $ 1%

$ $ 4%   0

−2

−2 2 2− λ 

$

$

$ 4%

$ −$ −$

$ $ $

0

0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

][ ] [ ] φ 1 φ 2 φ $ φ 4 φ 5 φ 

0 0 = 0 0 0 0

−$ −$

$

$ $ -

$ -

$ 0

4% 0 -

0 1% $

$ 1%

=0

0 0 0 0 0 0

][ ] [ ]

0 0 0 0 0 0

φ 1 φ 2 φ $ φ 4 φ 5 φ 

0 0 = 0 0 0 0

 p 1  p2

=

0 0 0 0

determinankan matrik sehingga :

(  −2 λ 2)( 2−λ 2)( 44 )+ 0 +(− 4% )+ 0 +(−21 )+ 0 −21 −15552 (  −2 λ 2 )−0 −5%$2 ( 2− λ 2)−2 −%4 =0 !en/ederhaann/a* 4

2

14224 λ  −42%024 λ  + %545 = 0 buat dalam !ersamaan kuadrat dengan tamsil

2

 x = λ 

 :

2

14224 x −42%024 x + %545= 0 dengan rumus ab,

−b ±√ b2− 4 ac −4$%024 ±√ 4$%0242 −41422%545 =  x = 2a

21422

dida!at  x 1=$*044-  dan

 x 2=1*$0

 jadi* 2

λ 1 =$*044 21- m  EI 

2

ω  = $*044-

ω =±0*11

√

EI  m

dan 2

λ 2 =1*$0 ω =±0*04

√

 EI  m

 Mode 1  jika

[

2

λ 1 =$*044 maka :

−0*0%2 −2 −2 −1*044 $ $ −$ −$

$ $ $ $

$ $ 4%   0

$ −$ − $ $ $ $   0 4% 0  0 1% $  $ 1%

][ ] [ ] 0 1 φ 2 0 φ $ = 0 φ 4 0 φ 5 0 φ  0