TUGAS 2 DINAMIKA KISI (FISIKA ZAT PADAT) CHAIRATUL UMAMAH (1108100002 (1 108100002))
1. PerbedaandanperumusanPendekatan gelombang panjang dan gelombang pendek pada penjalaran gelo gelom mbang elast lastik ik da dalam lam zat padat akan kan menghasilkan nghasilkan perbed rbedaan hub hubungan ungan di spe spersif rsi f kisi. Ja J awab : Pendekatangelombangpanjang yakni apabila gelombang yang digunakan memilki panjang gelombang yang lebih besar dari pada jarak antar atom. Kisi akan nampak malar (kontinue) sebagai suatu media perambatan gelombang. Jumlahragamgelombanguntuksetiapsatuan volume disebutrapatkeadaanatauditulisg(q) dq. Rapat keadaan diungkapkan sebagai frekuensi sudut ω, yaitu g(ω)dω yang menyatakan jumlah ragam gelombang elastik persatuan volume dengan frekuensi antara ωdan ω+dω (dalam interval dω). Dipihak lain q dan ω berhubungan berhubungan satu sama lain melelui hubungan dispersi dispersi yaitu bahwa ω berbanding lurus terhadap q u ntuk kisi 2 malar ω = Vs .Dengan q adalahbilangangelombang. Hubungan dispersi linier untuk kisi malar ini dapat dijelaskan pada gambar berikut ini :
GambarHubungandispersi linier untukkisi malar (pendekatangelombangpanjang)
Pendekatan gelombangpendek yakni yakni apabila gelombang yang digunakan memiliki panjang gelombang yang lebih kecil dari pada jarak antar atomnya. Dalam keadaan ini gelombang akan melihat bahwa kristal merupakan susunan atom diskrit, sehingga pendekatan ini sering disebut pendekatan kisi diskrit. Menurut hukum kedua newton , persamaan gerak atom ke – n dapat diungkapkan sebagai berikut :
− 2
2
= (
+1
+
1
+2
)
Dimana m adalah massa atom, C tetapan elastik antar atom dan t menyatakan waktu. Terhadap persamaan gerak itu dapat diambil penyelesaian berbentuk :
− =
exp[ (
)]
Dengan A amplitudo dan xn adalah posisi atom ke – n terhadap pusat-pusat koordinat sembarang dan dapat dituliskan :
=
Dengan n bilangan bulat dan a tetapan kisi, diatasdenganmenggunakanhubunganeuler diperoleh solusi ω :
dari
substitusi
persamaan-persamaan
=
Dengan
1/2
= ±2
Hasil ini menunjukkan hubungan antara ω dan q adalah hubungan dispersi yang dala m kasus ini bersifat sinusoida,karena medium “tampak” sebagaideretan atom-atom diskritsehingga dapat dikatakan bahwa pendekatan gelombang pendek , hubungan dispersinya sinusoida (tidak linier). Dapat dinyatakan pada grafik dibawah ini :
Hubungandispersi, ω vs q, sinusoidadarikisidiskrit (pendekatangelombangpendek).
2. Gelombang Ultrasonik dijalarkan pada batang pejal sepanjang L . a. Buktikan bahwa gelombang mekanik di dalm batang tersebut merambat dengan dengan laju : Vs = 1/2 (E/ρ) dimana E dan ρ masing - masing menyatakan modulus elastisitas dan rapat maebye ini ssa batang. b. Tunjukkan pula bahwa bilanga gelombang q akan terkuantisasi menurut : q = (2π /L)n dengan n = 0,1,2,3,... Jawab : a.
Gelombang mekanik
∈
DapatdituliskanRegangan pada batang : =
(1)
KarenaTegangan σ yang memenuhi hukum Hooke sebagai berikut :
∈ =
(2)
Dengan E menyatakan modulus elastisitas.Menurut hukum kedua Newton, tegangan yang bekerja pada elemen batang dx menghasilkan gaya sebesar :
− = {
+
}(3)
− 2
2
= {
+
} (4)
Penjabaranruaskananpersamaan 2.4
=
= =
(5)
2
=
2
Substitusikan persamaan (5) ke persamaan (4), sehingga diperoleh :
2
2
2
=
2
2
.
2
2
=
2
Dibandingkan dengan persamaan gelombang umum :
2
=
2
2
1
2
2
Sehingga dapat diperoleh :
=
1 2 1/2
=
Dengan E adalah modulus elastisitas, ρ rapat massa dan Vs adalah kecepatan gelombang elastik.
b. Bentuk persamaan dari persamaan gelombang bidang yakni :
− =
exp (
)
Dengan q bilangan gelombang (2π/λ), ω frekuensi sudut dan λ adalah panjang gelombang. Bila fungsi tidak bergantung pada waktu , maka fungsi gelombang bidang dapat ditulis sebagai berikut :
=
exp (
)
Dengan menganggap panjang batang L, fungsi gelombang harus memenuhi syarat periodik yaitu nilai pada ujung kiri (x=0) sama dengan ujung kanan (x=L), sehingga persamaan menjadi :
0
Ini berarti,
=
exp (
exp
)
=1
=
2
;
=
2
Dimana n adalah bilangan bulat yakni n=0, ±1, ±2,±3 . . . . Hal ini menunjukkan bahwa gelombang merambat dalam batang yang panjangnya L bilamana memiliki harga keli patan bulat (0,1,2,3,..) dari 2π/L.
3. Pandang kisi satu dimensi yang terdir i dari N buah atom sejenis. Jarak antar atom yang berdekatan a dan tetapan elastik pada ikatan antar atom adalah C. a. Mulailah dengan menuliskan persamaan gerak atom menurut hukum I I Newton lalu dapatkan hubungan dispersi : ω(q) dari kristal tersebut. b. Tentukan kecepatan fasa dan kecepatan grup bagi gelombang elastik yang menjalar pada kisi tersebut. Jawab :
a.
− − − − − = (
Jadi :
= (
+1
+
+1
1
)
2
+ (
1
)
)
(1)
Persamaan gerak bidang kristal ke-n adalah Hukum II Newton : ∑F = ma Hukum Hooke : F = c.∆X Dari kedua persamaan diatas diperoleh :
∆ − − = .
2
2
= (
+
+1
2
1
)
(2)
Solusi dari persamaan gerak ini tergantung pada waktu, dinyatakan oleh :
− =
Karena persamaan(2) merupakan turunan hanya terhadap waktu maka :
− − − 2
2
2
=
=
2
2
Jadi :
= − 2
2
(3)
2
Sehingga persamaan (2) dapat ditulis :
− − − − − 2
Solusi :
− =
= (
+1
dapat ditulis sebagai berikut :
Dimana Xn = n.a, maka :
=
, karena itu :
+
=
1
2
)
(4)
− ±1
=
( ±1)
.
−
=
.
.
±
(5)
Persamaan (5) dan (4) dapat ditulis :
− − − 2
− − − − 2
= (
+
±
Karena :
= cos
+
Maka :
2)
= (
+
2
)
(6)
± sin
= 2 c os
Sehingga persamaan (6) menjadi :
2
2
− =
2
(1
cos
)1/2
− − − −
=
=
(2 cos
2
(1
2)
cos
)
(7)
Solusi persamaan (7) menjadi :
2
=2
sin
1 2
=
sin
1 2
2
2
(2
1 2
)
(8)
Dimana :
=
= ±2
(9)
Jadi hasil hubungan diatas antara ω dan q menyatakan hubungan dispersi yang dal am kasus ini berbentuk/ bersifat sinusoida.
b. Kecepatan fasa (V f ) :
=
Untuk kisi malar, panjang gelombang (λ) besar sedemikian sehingga : λ >> dan
=
menghasilkan q λ
2
0, dari hubungan dispersi secara umum di bawah ini :
≈ =
Oleh karena q
0, maka :
1
sin
2
sin
Sehingga,
=
=
sin
1 2
/
sin
=
=
1 2
2
besar kecepatan grup yang menjalar pada kisi dwi atom satudimensitersebut adalah :
=
sin
1 2
2
=
=
cos
Sehingga dapat diketahui besar kecepatan fasa (Vs) dan kecepatan grup (Vg) pada kisi sati dimensi adalah
=
sin
1 2
2
dan = cos .
4. Ulangi pertanyaan no.3 (a) dan (b) untuk gelombang elastik yang menjalar dalam kisi dwi atom satu dimensi. Jawab :
Persamaan gerak : Massa X percepatan = gaya gesek
− − −− − − =
(
+1
=
2
+1
1)
+
1
Persamaan untun M (n-1) adalah
− −− − − −− − − − − 1
=
(
1
1
=
2
1
+
Penyelesaian untuk semua massa M yaitu :
− =
0
Untuk massa m :
∝ − =
Persamaangerakuntuk atom bernomorganjil :
Persamaangerakuntuk atom bernomorgenap :
0
2)
1
2
Dapatditulisdalambnetukmatrik :
− −− − 2
2
2 2
2 cos
− −− − 2
2
2 cos
2 2
2
1 =0 2
2
=0
Memberikanhasil:
− 2
Untukkisidiskrit, bersangkutanadalah : b
=
1
+
1
±
+
1
2
4
2
1/2
karenahubungandispersinyasinusoidamakakecepatanrambatgelombang
yang
=
=
≠ ≠
1
=
=
Vf Vg VS
Medium yang bersifatsebagaikisidiskritadalahmedium tak-dispersif. Perhatikanungkapanuntukkecepatankelompok, bahwauntuknilai q = ± (π/a) menghasilkankecepatankelompok vg = 0. Bilahaliniterjadiakandapatdiamatibahwagelombang “isi” tetapmerambatsedangkangelombang “sampul” diam ( menghasilkangelombangberdiri ).
5. Debye memodelkan bahwa getaran kisi bersifat kolektif dengan frekuensi yang tersebar antara ω=0 dan ωD
a. Jelaskan apa perbedaan antar model atom debye ini dengan model klasik maupun model E instein b. Jika bentuk ungkapan jumlah ragam gelombang : g(ω)=Vω 2 /(2π Vs 2 ), dengan V=volume kristal dan Vs= kecepatan gelombang elastik, dapatkan ungkapan bagi frekuensi potong Debye ω D
c. Bagaimana hasil rumusan model Debye untuk kapasitas panas zat padat dibangdingkan dengan hasil eksperimen Jawab : a. model debye
Debye mengusulkan teori modifikasi dari panas spesifik dari padatan dengan asumsi sebagai berikut; 1. . Solid adalah sebuah kontinum elastis isotropik dengan atom yang digabungkan elastis satu sama lain. 2. Gerak atom pengaruh dipengaruhi atom yang lain 3. Getaran atom yang digabungkan dan karenanya atom bergetar secara kolektif 4. Getaran kisi memiliki rentang frekuensi yang berbeda. 5. Energi internal solid berada di dalam gelombang berdiri elastis disebarkan melalui kisi kristal. 6. Energi dari gelombang elastis terkuantisasi; gelombang terkuantisasi kisi disebut sebagai "Fonon". 7. Kecepatan gelombang elastis di c (suara) padat tidak tergantung pada frekuensi, ν 8. Kepadatan mode getaran dengan frekuensi dalam kisaran antara
Model Teori K lasik Menurut fisika klasik, getaran atom-atom zat padat dapat dipandang sebagai osilator harmonik. Osilator harmonik merupakan suatu konsep/model yang secara makroskopik dapat dibayangkan sebagai sebuah massa m yang terkait pada sebuah pegas dengan tetapan pegas C. Untuk osilator harmonik satu-dimensi, energinya dapat dirumuskan : = + 1 1 2 2 = + 2 2
=
2
2
+
2 2
dengan v laju getaran osilator, x simpangan osilator, ω frekuensi sudut getaran osilator =
. Persamaan
diatas adalah energi yang dimiliki oleh sebuah osilator harmonik dan karena setiap osilator dalam gerak harmoniknya mempunyai energi yang berbeda-beda, maka dapat ditentukan energi rata-ratanya . Untuk osilator harmonik satu dimensi yang mempunyai dua derajad bebas mempunyai energi rata-rata : 1 1 = + = 2 2
Selanjutnya, karena atom-atom dalam kristal membentuk susunan tiga-dimensi, maka untuk satu mol osilator harmonik tiga-dimensi, energi dalamnya : =3 =3 =3
Dengan demikian kapasitas kalornya :
=
=3
dari hasil ini terlihat bahwa menurut model fisika klasik, kapasitas panas zat padattidak bergantung suhu dan berharga 3R. Hal ini sesuai dengan hukum Dulong-Petit yang hanya berlaku untuk suhu tinggi. Sedangkan untuk suhu rendah jelas teori ini tidak berlaku.
Model E instein Dalam model ini, atom-atom dianggap sebagai osilator-osilator bebas yang bergetar tanpa terpengaruh oleh osilator lain di sekitarnya. Energi osilator dirumuskan secara kuantum (berdasarkan teori kuantum) yang berharga diskrit : = = 0, 1 , 2. dengan ђ= h/2π ; h tetapan Planck. Pada tingkat dasar n = 0, energi osilator є0 = 0. Tingkat berikutnya n = 1, 2 dan seterusnya. Perbedaan energi antar tingkat adalah ђω, lihat gambar
ћ …
Gambar Spektrum energi osilator satu dimensi menurut teori kuantum.
Energi osilator seperti pada persamaan di atas berdasarkan anggapan bahwa setiap osilator terisolasi terhadap osilator lainnya. Kenyataannya, osilator-osilator akan saling “bertukar” energi dengan sekitarnya, sehingga energi osilator akan selalu berubah. Pada keseimbangan termal, energi rata-rata osilator dinyatakan oleh :
− − =0
=
~ =0
faktor (bobot) Boltzmann exp(-єn/kT) menyatakan kebolehjadian keadaan berenergi єn tertempati. Persamaan (2.44) dalam bentuk deret tersebut ekuivalen dengan ungkapan :
ћ ћ − =
/
1
Selanjutnya, untuk satu mol osilator tiga-dimensi memiliki energi dalam :
ћћ− ћ ћ ћ − =3
=3
1
Sehingga kapasitas kalornya:
= 2
/
=3
/
1 2 Dalam model Einstein frekuensi osilator ω biasa ditulis ωE yang disebut frekuensi Einstein. Untuk menyederhana persamaan didefinisikan suhu Einstein (θE) menurut : = dan persamaan (2.4) tereduksi menjadi :
ћ
− 2
Cv= 3R
/
/
1
2
(1)
Cvmenurutpersamaanterakhirinibiladilukiskansebagaifungsi T akanmenghasilakan secarakualitatifmenyerupaikurvaeksperimen. TerutamauntuksuhurendahdimanaCv Padasuhutinggi (T>>) makanilai berikut :
berhargakecil,sehinggaexp
fungsi yang 0 bila T
0K.
dapat diuraikan kedalam deret sebagai
⋯ C = 3R ⋯− ≈ 3R (1 + + ⋯ ) 2
1+
+
v
2
1+
+
1
≈ 3R
Menuruthasilinijelasbahwa model Einstein cocokpadasuhutinggi. Padasuhurendah besar. Hal ini berdampak pada penyebut dalam persamaan (1) yaitu:
∈ − ≈ /
1
(T<<) nilai
Sehinggaungkapankapasitaspanasmenjadi:
− 2
Cv= 3R
= B (T) Dengan B (T) = 3R
2
b. fr ekuensipotongdebye: sepertidalamkasuspenjalarangelombangmekanikdalamzatpadat, olehkarenarambatangelombangtersebut . Batas atom-atom akanbergerakkolektif. Frekuensigetaran atom bervariasidari = 0 samapai = disebut frekuensi potong debye.
Menuurut model debyeini, energy total getaran atom padakisidiberikanoleh:
ω ω ω E=
0
(1)
adalah energy rata-rata osilatorsepertipada model Einstein. Sedangkan g
.dalamfrekuensiantara = 0 dan =
,g
memenuhi:
D
g
0
d =3NA
adalahrapatkeadaan
(2)
Jumlahmodagetaransamadenganjumlah 1 molosilatortigadimensi, yang dalamkurvaditunjukkanolehdaerahtrarsir. Frekuensipotong dapat ditentukandengancaramemasukkanpersamaan
g
=
2
2
3
2
(3)
daripersamaan (3) dimasukkankedalampersamaan(2) makadiperolehfrekuensipotongdebye:
=
6
2
1
2
c. hasilperumusan model debyeuntukkapasitaspanaszatdibandingkandenganhasileksperimen.
=
ћ
ћ −1 /
(2.45)
Denganrumusturunanpadapersamaandiatasdiperoleh ; Turunanpertamaterhadapsuhupersamaan (2.45) menghasilkankapasitaskalor:
Penampilanpersamaan (2.55) dapatdisederhanakandenganmendefinisikan :
Dan suhu Debye
sehinggabentuknyamenjadi :
Apakahhasilterakhirinisesuaidenganeksperimen? Padasuhutinggi(T>>θD), batasatasintegral (θD/T) sangatkecil, demikianjugavariabel x.
≅
x Sebagaipendekatandapatdiambil : e 1 + x sehingga integral yang b ersangkutanmenghasilkan :
Masukkanhasilinikepersamaan (2.56)
SesuaidenganhukumDulong-
D
3
Petit,sehinggapadasuhutinggimodelinicocokdenganhasileksperimen.Padasuhurendah(T<<θD), batasintegral padapersamaan(2.56) menujutak berhingga; dan integral tersebutmenghasilkan 4π4/15. Dengandemikian :
6. Apa yang dimaksud dengan istilah beri kut fonon , rapat keadaan fonon, moda vibrasi cabang akustik dan optik, fr ekuensi potong Debye, Debye Cut Off. Jawab:
Fonon dalam
fiska adalah kuantum kuantum moda vibrasi pada kisi kristal tegar, seperti kisi
kristal pada zat padat. Kristal dapat dibentuk dari larutan, uap, lelehan atau gabungan dari
ketiganya. Pembentukan kristal sangat dipengaruhi oleh laju nukl easi dan pertumbuhan. Bila pertumbuhan lambat, kristal yang terbentuk akan cukup besar, disertai dengan penataan atom –atom atau molekul-molekul secara teratur dengan berulang sehi ngga sehingga energi potensialnya minimum. Fisika zat padat sangat berkaitan erat dengan kristal dan elektron di dalamnya.
Rapat keadaan g (ω) didefinisikan, seperti sebelumnya, seperti yang g (ω) dω memberikan sejumlah mode dengan rentang frekuensi (ω, ω + dω). Fungsi ini memainkan peran penting dalam fenomena kebanyakan melibatkan get aran kisi, panas spesifik khususnya.Dengan model Debye panas specifik. Di sini kita akan mendapatkan fungsi appopriate untuk kisi diskrit, dan kemudian menggunakan hasilnya dalam bagian berikut, yang ditujukan untuk teori yang tepat dari panas spesifik. Modavibrasiragamgelombang
