Tugas Bu Wido Latihan 3[1].3

TUGAS KELOMPOK ANALISIS REAL LATIHAN LATIHAN 3.3 Dosen Pengampu: Dr. Widowati, M.Si

Nama Kelompok 3;

1.

Rini Wulandari

(41015000!"

#.

Dian $ata ataria %&ta'iani (41015000"

.

Mu)ammad Pra*ito

(41015000+"

PENDIDIKAN MATEMATIKA MATEMATIKA PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2008

.

Dipun*ai (an" -arisan nai&, (-n" -arisan turun, dan asumsi&an -a)wa a n ≤ bn

,

∀ n ∈  N  .

un/u&&an -a)wa lim(a n " ≤ lim(bn " .(petun/u&:eorema

#..1 dari teorema ..#" Penyelea!an"

(an" -arisan nai&, (-n" -arisan turun. •

pa&a) (an" -arisan nai& *ang ter-atas Dan apa&a) (- n" -arisan turun *ang ter-atas 2erdasar&an teorema #..1 (si3at inter'al -ersarang" -a)wa /i&a n  6an,-n7, n ∈ N  merupa&an -arisan tersarang dari inter'al ter-atas tertutup, ma&a terdapat -ilangan ξ  ∈  R  se)ingga ξ  ∈  In , untu& setiap n ∈ N  . Dan  -erdasar&an asumsi -a)wa a n

≤ bn

ma&a -n merupa&an suatu -atas atas

dari 8 a n n ∈ N 9 . ni artin*a, -arisan (an" dan (-n" ter-atas. •

arena (an" -arisan nai& *ang ter-atas ma&a lim (a n"  sup8 a n n ∈ N 9 Dan (-n" -arisan turun *ang ter-atas ma&a lim (- n"  in3 8 bn n ∈ N 9 . (eorema ..#".

•

ni -erarti Sup8 a n n ∈ N 9 ≤   n3 8 bn n ∈ N 9 ( karena bn merupakan  suatu batas atas dari { a n n ∈ N 9 ).

•

!.

&i-atn*a lim (an" ≤  lim (-n".

Dipun*ai  adala) su- -arisan ter-atas di R *ang -atas atasn*a adala) u  Sup . 2u&ti&an -a)wa -arisan nai& ( n" dengan n sedemi&ian )ingga u  lim ( n". #$k%!"

∈  A, ∀n ∈  N 

Misal&an  

8t  t 

8an an ≤ t 9 ⊆ A9 . ma&a

u−

u−

1 an

1

; an -ilangan -ulat dengan a n ≤ t,

2angun )inpunan 8u  −

∈  A .

an

≤ u9

1 an

9 . arena u −

1 an

Misal&an (n" -arisan *ang di-angun ole)

" ma&a n ∈ A ,

∀ n ∈  N    ma&a

< u,

u−

∀ n ∈  N 

1 an

 *aitu (

∀ n ∈  N  .

ulis   8..., a k  , a k  1 ,..., a( , a # , a1 ,...9 . −

sumsi&an : u ≥ ... > −

... < (u −

1

>−

a k 

1 a1

u ≥ ... > a k  > a k −1 > ... > a > a# > a1 > ...

1 a k −1

" < (u −

1 a#

>

... > −

1 a

>−

" < ... < (u − 1

Se)ingga -arisan ( n"  ( u −

an

1 a k 

1 a#

>−

1 a1

> ...

" < ... ≤ u

" adala) -arisan monoton nai& dan ter-atas

ole) u, -era&i-at lim ( n" ada. =adi, lim (n"  lim ( u − A&'" ?im (

 Karena

1 an

1 an −

1 an

"  lim (u" > lim (

1 an

"

"0

0

≤

1 n

lim (n"  lim (u" > lim (  u>0 ?im (n"  u =adi, lim(n"  u.

1

; n ∈  N   dan lim ( " = 0  berakibat; n

1 an

"

+.

 x n =

Dipun*ai

1

+

1#

1 ##

+ .... +

1 n

, ∀n ∈  N  . 2u&ti&an -a)wa (n" adala)

#

 -arisan nai& dan ter-atas, dan sedemi&ian )ingga &on'ergen. (petun/u&: /i&a k  ≥

1

#maka

k 

1

≤

#

k (k  − 1"

=

1 (k  − 1"

−

1 k 

".

#$k%!" ( xn " =

•

1

1

+

#

1

#

#

+ .... +

1 n

#

(n" < #,

∀ n ∈  N   ma&a

•

dt: (n" monoton nai&.

 x n =

1 #

1

 x n+1 =

1

+

#

1

+

1#

1

n

#

+

1 

+ ... +

1 n

<

#, ∀n ∈ N  . arena

(n" ter-atas.

#

+ .... +

##

1

1

+ .... +

#

< 1+

1 (n + 1" #

Ma&a;  x n +1 − x n

 (



1 #

1

+

1 #

1 (n + 1" #

#

+ .... +

≥

1 ( n + 1"

#

"  @ (

1 1#

+

1 ##

+ .... +

1 n

#

"

0

&i-atn*a -arisan (n" monoton nai&. esimpulan; arena (n" ter-atas dan monoton nai&, sedemi&ian )ingga &ongruen.