1. Jika ̅ dan ̅ vektor-vektor tak kolinear dan A = ( x + 4y ) ̅ + ( 2x + y + 1 ) ̅ dan B = ( y – 2x + 2 ) ̅ + ( 2x – 3y -1) ̅ , maka carilah nilai x dan y sehingga 3A = 2B. Penyelesian: 3A = 2 B 3(x + 4y ) ̅ +3 ( 2x + y + 1 )b = 2( y – 2x + 2 ) ̅ +2 ( 2x – 3y -1) ̅ (3x + 12y -2y + 4x - 4 ) ̅ + ( 6x + 3y + 3 - 4x +6y + 2) ̅ = 0 (7x + 10y – 4 ) ̅ + (2x + 9y + 5 ) ̅ = 0
Karena a dan b tak kolinear maka 7x + 10y – 4 = 0 . . . . (1) 2x + 9y + 5 = 0 . . . . . (2) Eliminasi (1) dan (2) 14x + 20y = 8 14x + 63y = -35 -43y = 43 y = -1 substitusi ke pers (2) 2x + 9y = -5 2x – 9 = -5 2x = 4 x=2 Sehingga x = 2, y = -1
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P (x1,y1,z1) dan R (x2,y2,z2) seperti yang ditunjukkan pada gambar. Z
P Q R
O
X
Y 1
Penyelesaian: Diketahui: vektor posisi :
⃗⃗⃗⃗⃗ = x1i + y1j + z1k ⃗⃗⃗⃗⃗ = x2i + y2j + z2k
Karena ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ segaris, maka berlaku : ⃗⃗⃗⃗⃗ = m ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
=(xi + yj + zk) – ( x1i + y1j + z1k) =(x-x1)i +(y-y1)j + (z-z1)k ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
= (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k sehingga ; (x-x1)i + (y-y1)j + (z-z1)k = m [(x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k] x – x1 = m (x2 – x1) → m =
x x1 x 2 x1
y - y1 = m (y – y1) → m =
y y1 y 2 y1
z - z1 = m (z – z1) → m =
z z1 z 2 z1
Jadi persamaan garis lurus yang melalui titik P dan R adalah
y y1 x x1 z z1 = = x 2 x1 y 2 y1 z 2 z1 2
3. misalkan vector-vektor kedudukan dari titik-titik P dan Q relative terhadap sebuah titik asal O masing-masingnya diberikan oleh p dan q. jika R adalah sebuah titik yang membagi garis PQ kedalam bagian-bagian yang perbandingannya m : n, maka perlihatkan bahwa vector kedudukan R diberikan oleh: dan vector ini tak bergantung pada titik asal. Penyelesaian: Ilustrasi:
n
m P
R
⃗
⃗
Q
⃗
O
Diketahui:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Dan
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
PR : RQ = m : n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Sehingga
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
) ⃗
(
)
⃗
(terbukti)
4. buktikan bahwa kedua diagonal jajar genjang berpotongan ditengah –tengah (bisec). Ilustrasi: ⃗
B
C
E
A
D A
3
Penyelesaian: ⃗
⃗⃗⃗ Maka : ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗)
(
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Maka: ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
( )
) . . . .(2) ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Diperoleh juga :
Dari (1) dan (2) diperoleh : ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗)
(⃗
⃗
⃗
( Karena dan ⃗
)
⃗(
)
)
maka :
Sehingga dengan menggunakan eliminasi diperoleh :
⃗⃗⃗⃗⃗ Dan ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(terbukti)
4
5. Jika ABCDEF adalah titik-titik sudut dari sebuah segi-enam beraturan, maka carilah resultan dari gaya-gaya yang dinyatakan oleh vektor-vektor AB, AC, AD, AE, dan AF. Penyelesaian: B
ilustrasi:
C
A
D
F
E
Diketahui: |⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Karena ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ (searah dan sama panjang), maka : ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Diketahui bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗ (searah dan sama panjang), maka :
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Karena ⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ , maka :
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Jadi: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(sifat komutatif)
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ 5
6.
Perlihatkan bahwa |
|
| |
| |
| |.
Penyelesaian::
Karena
Sehingga
. . . . .(1)
Karena
Sehingga
Dari persamaan (1) diperoleh
7. Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua buah sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan besarnya separuh dari besarnya sisi ketiga ini ! Penyelesaian: C Q
R
A
B
P
P, Q, R masing-masing merupakan titik-titik tengah dari ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
6
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗ = (⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗
= ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗
Maka ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
Dengan cara yang sama diperoleh: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(terbukti)
8. ABCD adalah sebuah jajaran genjang dengan P dan Q adalah masing-masing titik tengah dari sisi-sisi BC dan CD. Buktikan bahwa AP dan AQ memotong diagonal BD atas tiga bagian yang sama dititik E dan F. A
B F E
D
C
Penyelesaian:
7
=b–a
=x(b–a)
=a+½b
=y(a+
a =y(a+
b)
b) + x ( b – a )
= (x + y )a + ( -x + y) b Karena a dan b tak kolinear sehingga x+y=1 x=1–y 8
-x + y = 0 x= y 1–y=
y
y= sehingga x = Didapat : DE =
dan y = DB, AE =
AQ
=b–a
= m ( b –a )
=b+½a
= n ( b + 1/2a)
b = n ( b + a) + m ( b –a ) =(
n – m)a + ( n + m )b
Karena a dan b tak kolinear sehingga
9
n–m =0 m =
n
n+m =1 n+
n=1 n=
sehingga m =
, dan n =
didapat FB =
DB dan AF =
AP
Sehingga terbukti
9. Buktikan ketiga vektor berikut dapat membentuk sebuah segitiga : [3,1,-2], [-1,3,4], [4,-2,-6]. Tentukan pula panjang garis-garis berat segitiga tersebut! Penyelesaian: Ilustrasi:
a
d
f
c
e b
10
Diketahui: ⃗
,
-
,
-
, ⃗
,
-
=,
,
-
-
= Sehingga, ⃗ Karena ⃗
, maka ketiga vektor tersebut membentuk sebuah segitiga. ( terbukti )
Perhatikan gambar diatas! Panjang verktor-vektor , , dan tersebut. ⃗
⃗ [
]
,
√
| |
merupakan panjang garis-garis berat pada segitiga
,
-
-
√
√
⃗
⃗ ,
-
, | |
√
,
-
√
11
,
-
,
√
| |
[
]
-
√
√
10. Jika A= 4i - 3j + 3k dan B = - 2i + j - 2k carilah vektor satuan yang tegak lurus A dan B Penyelesaian: | , |
|
| (
√
)
√ Vektor satuan =
√
11. Carilah volume sebuah paralelepipedum yang sisinya dinyatakan oleh A = 2i – 3j + 4k, B = i + 2j – k dan C = 3i – j + 2k. penyelesaian: ilustrasi: ̅ ̅ ̅ 12
Volume = Luas bidang alas x t =
xt
t = proyeksi (⃗ |⃗
=
pada (
)
⃗) ⃗|
Sehingga volume = | ⃗ =
|
(⃗ |⃗
.(
⃗) ⃗|
)
= = = (3i – j + 2k) . = 15 + 6 -14 = 7
12. Misalkan
ABCD
adalah
sebuah
=
+
jajaran
genjang.
Buktikan
bahwa
.
Penyelesaian: D
C
A
B ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
Kedua ruas dikuadratkan, diperoleh: (⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
13
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ) . . . . . . . . .(1)
Dan, diperoleh bahwa: ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
Maka: (⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ )
. . . . . . . . . . . (2)
Sehingga dari (1) dan (2) diperoleh:
13. Perlihatkan bahwa
=
+
(
)
(terbukti) (
)
(
)
adalah vektor-vektor
satuan yang saling tegak lurus Penyelesaian: | |
√( )
(
| |
√( )
( )
( )
| |
√( )
( )
(
)
( )
√
√ )
( )
(
)( ) ( )
( )
(
)( ) ( )
√
(A,B,C vektor satuan)
( )
(
)
14
( )
( ) ( )
(
)
Jadi A,B dan C adalah vektor-vektor satuan yang saling tegak lurus.
14. Untuk harga-harga a yang manakah A = ai – 2j + k dan B = 2ai + aj – 4k saling tegak lurus ? penyelesaian : dua vector saling tegak lurus jika dot product-nya sama dengan nol (0), maka:
(
)(
(
)(
)
)
15. Buktikan bahwa sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah-lingkaran adalah siku-siku! penyelesaian : ilustrasi:
B
A
D
C
akan ditunjukan ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ karena ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka |⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
15
dimiliki bahwa ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
maka ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
Sehingga diperoleh: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ . |⃗⃗⃗⃗⃗ | . |⃗⃗⃗⃗⃗ | 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
|⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) |⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | / |⃗⃗⃗⃗⃗ | / |⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ( searah dan sama panjang), maka:
|⃗⃗⃗⃗⃗ | dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Karena |⃗⃗⃗⃗⃗ |
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ⃗⃗⃗⃗⃗
karena ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
, dimana ⃗⃗⃗⃗⃗ .
|⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗ |
0 = |⃗⃗⃗⃗⃗ ||⃗⃗⃗⃗⃗ | Maka sudut yang dibentuk dalam sebuah setengah-lingkaran adalah siku-siku.
16
16. Misalkan vektor-vektor satuan dalam bidang-xy yang membuat sudut-sudut dengan sumbu x positif. Buktikan rumus trigonometri berikut: ( ) ( ) Penyelesaian: Ilustrasi: y
(
) (
α
(
)
(
)
)
β x
Dari grafik diperoleh: | |
| |
| |
| |
Maka: | |
| |
| |
| |
Karena adalah vector satuan, maka | |=| |
Dari grafik diketahui, | || | ( (
) (
, sehingga diperoleh:
) )
(
) (
)
17
( (
Jadi,
)
)
( terbukti )
Dari hasil sebelumnya diperoleh,
(
)
(
(
))
(
)
(
(
))
Sehingga :
(
(
)
( (
)
)
)
( terbukti )
)( ) ( )( ) ( )( 17. Buktikan bahwa ( penyelesaian: ) ( Menurut sifat ke-2 hasil kali silang, yaitu ( diperoleh: ( )( ) ) ) (( ( )( ) ) (( ) (1) ( )( ) ) ) (( ( ) ( Menurut sifat ke-4 hasil kali silang, yaitu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) ( ) Dari (1) dan (2 ), diperoleh: ( )( ) ) ( ) ) (( ( )( ) ) ( ) ) (( ( )( ) ) ( ) ) (( karena hasil kali titik bersifat komutaif, maka: ( )( ) ) ( ) ) (( ,( ) ,( ) ( )( ) ) ( ) ) (( ,( ) ) ,(
) )
)
(
(
), maka
)
,( ,( ,(
) ) ) -
,( ,( ,(
) ) ) -
,(
) -
,(
) -
,(
) -
,(
) -
Sehingga, diperoleh: (
={
)( ) ,( ) ,( ,(
(
) ) -+
)( ) ( )( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,( ) ,( ,( ) - + * ,( ) ,( ) -+ *
) ,(
) -
18
=0+0+0 =0 (
)(
(terbukti) )
(
)(
)
(
)(
)
18. Carilah luas segitiga yang titik-titik sudutnya pada (3,-1,2), (1,-1,-3), (4,-3,1) ! Penyelesaian: Ilustrasi: D C(4,-3,1)
B(3,-1,2) A(1,-1,-3)
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
(
))
(
(
))
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
(
(
))
(
(
))
Luas daerah jajar genjang ABDC adalah |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
|
|
Maka: |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ |
(
(
))
(
)
(
)
√ √
Jadi, luas daerah segitiga = x luas daerah jajar genjang ABDC = |⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √
19
TUGAS ANALISA VEKTOR ”KUMPULAN SOAL DAN JAWABAN”
Oleh
TRI RENDRA SUTRISNA ( E1R 009 003 )
PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MATARAM 2012 20
