TUGAS ANALISA NUMERIK
ANALISA NUMERIK Diajukan sebagai salah satu syarat untuk mengikuti Mata Kuliah Anaisa Numerik Program Studi eknik Si!il
"leh # DEWI SARTIKA 16171019P
PR"$RAM SUDI SU DI EKNIK E KNIK SIPIL S IPIL %AKUL AKULAS EKNIK EKNIK UNI&ERSIAS 'INA DARMA PALEM'AN$ ()*+
1. Sebuah balok beton bertulang terjepit kolom di kedua sisinya. 'eban merata
L
Panjang bentang L = 3 m = 300 cm.Beban merata termasuk berat sendiri q = 1 tm = 10 !gcm. "enggunakan ilustrasi pada gambar. y
2 2 y,
3 Momen Lentur
M
M 0 M3
L
Diketahui momen jepit kiri " #!iri$ =%&000 kg.cm 'an momen jepit kanan " # kanan$ = 3&000 kg.cm Persamaan momen lentur balok adalah M ( x )= y =f ( x )
Sebagaimana persamaan (
A = (−1 )
() 1 2
1
q (−1 )= q 2
dengan ) = #*1$ #1+$ q #*1$ = 1+ q y ( x = L )− y ( x =0 ) ¿ 1 q l B = #*1$ B =(−1 )¿ + $, [ ¿¿ L }
- =#*1$ [ y ( x =0 )] 'imana
y ( x =0 )= M #kiri$ yaitu momen jepit kiri
y ( x = L )= M
#!anan$ yaitu momen jepit kanan
"aka Persamaan "omen lentur menjadi (
2
y = A x + B x + C f ( x ) =5 x −1700 x + 95000 2
Diminta :
-arilah posisi momen lentur balok yang sama dengan nol yang terletak di antara ujung kiri dan sepertiga bentangan balok dengan menggunakan metode dua potongan dengan toleransi = +00 kg.cm untuk momen lentur f ( x ) .
Penyelesaian :
Permasalahan pada soal ini menjadi pencarian akar persamaan f ( x ) =5 x −1700 x + 95000 dalam satuan !g.cm/ yang berada 0 2
x 100 cm/ dengan metode dua potongan.
terasi pertama #i = 1$ 2a = 0/ 2b = 100 f ( x a ) =f ( 0 ) =5 ( 0 ) −1700 ( 0 ) + 95000 = 95000 kg.cm 2
2
f ( x b ) =f ( 100 )=5 ( 100 ) − 1700 ( 100 ) + 95000 =−25000 kg.cm f ( x a )∗f ( x b ) < 0 / maka paling sedikit dijumpai satu akar
'engan
persamaan arga ditengah*tengah ( x t =
x a + x b 2
)tau x t =( 0 + 100 )/ 2=50
f ( x ) = f ( 50 )=22500 kg.cm→|f ( x t )|> ε
terasi kedua #i = +$ f ( 50 ) ∗f ( 100 ) < 0 /dipasang x a= x t =50 cm
!emudian (
x t =
x a + x b 2
4aitu (
x t =(50 +100 )/ 2= 75 cm f ( x t ) = f ( 75 ) =−4375 kg.cm→|f ( xt )|> ε
terasi ketiga #i = 3$ f ( 50 ) ∗f ( 75 ) < 0 /dipasang x b= x t =75 cm
!emudian (
x t =
x a + x b 2
4aitu (
x t =(50 +75)/ 2=62,5 cm f ( x t ) = f ( 62,5 )=−8281 kg.cm→|f ( x t )|> ε
5abel 6ingkasan hasil operasi tahap iterasi #i$ dengan metode dua potongan i
x ai
x bi
f ( x ai )
f ( xbi )
x ti
f ( xti )
ε x
# -m $ 100/00
#kg.cm$ %&000
#kg.cm$ *+&000
# -m $ &0/00
#kg.cm$ ++&00
#7$
1
# -m $ 0/00
+
&0/00
100/00
++&00
*+&000
8&/00
*938&
33/3
3
&0/00
8&/00
++&00
*938&
&+/&0
:+:1
+0/0
9
;+/&0
8&/00
:+:1
*938&
;:/8&
18&:
%/1
&
;:/8&
8&/00
18&:
*938&
81/::
*13&8
9/9
;
;:/8&
81/::
18&:
*13&8
80/31
1::
+/+
8
80/31
81/::
1::
*13&8
81/0%
*&::
1/1
:
80/31
81/0%
1::
*&::
80/80
*+01
0/;
%
80/31
80/80
1::
*+01
80/&1
*8
0/3
10
80/31
80/&1
1::
*8
80/91
%1
0/1
5erlihat sampai dengan iterasi keenam # i = ;$
|f ( x )|=188 kg.cm < ε =200 kg.cm t 6
"aka iterasi dihentikan dan momen lentur sama dengan nol berada posisi x = x t 6=70,31 cm
5oleransi dengan kesalahan relati
¿ ( 70,70−71,07 ) /70,70
¿ 0,6 < 1,00 5oleransi dengan kesalahan mutlak #absolute error$ 1/00 7 untuk momen lentur/ sehingga operasi numerik dihentikan pada iterasi ke tujuh/ i =7 dengan hasil akar persamaanmomen lentur sama dengan nol pada posisi x = x t 7=70,70 cm / 'engan perhitungan( ε x =|( x t 8− x t 7 )|−|( x t 8 )|
¿|( 71,07 −70,31 )|
L
¿ 0,76 cm < 1,00 cm +.
Perhitungan panjang lengkungbusur jalan dengan parameter parameter ( P- = titik kur
Kur4a mem!unyai + elemen #
I
*5 (5 L 75 M P= 95 P I R :5 ubungan antara lengkungdan jari*jari (<5 R +5
E
Radius kur4a6 R Sudut lengkung5 I 8arak tangensial6 Panjang kur4a6 L Panjang busur6 L; "rdinat tengah6 M 8arak Luar6E
R=
Lc ( R + E )
650 ( R + 195 )
2 √ 2 ℜ+ E
2 √ 390 R + 38025
= 2
>unakan metode 2 = g#2$ dalam hal ini ( 6 = g#6$ 6
ε
> #6$
&00 9;8.%19% 9&:.:01% 9&;.1:; 9&&.93+: 9&&.+1&: 9&&.1&3+ 9&&.13&+ 9&&.13 9&&.1+:& 9&&.1+:1 9&&.1+8%
9;8.%19% 9&:.:01% 9&;.1:; 9&&.93+: 9&&.+1&: 9&&.1&3+ 9&&.13&+ 9&&.13 9&&.1+:& 9&&.1+:1 9&&.1+8% 9&&.1+8%
*;.:&803 *1.%:;+; *0.&8393 *0.1;&3: *0.098;: *0.0138& *0/003%; *0.00119 *0.00033 *%.&?*0& *+.8?*0&
'iperoleh nilai 6 = 9&&/1+8% mm Lc R= 90 ° L 2sin π ∗455,1279
(
¿ 2sin
(∗
)
90 ° L
π 455,1279
)=
1,428169972
@ika diselesaikan akan didapatkan L = 8+3/%911;;3 m =8+3/%91+ m 3.
Diketahui : "odel struktur bangunan tiga lantai yang mendapat
beban akibat pengaruh goncangan gempa secara horiAontal sebagaimana pada gambar berikut ( d7 .7 k7 k*
dd* (
.(
Beban gempa . * dianggap bekerja pada lantai ke k(
i / perhitungan
beban gempa tersebut sudah berdasarkan kemungkinan beban .* ekstrim yang terjadi saat goncangan hebat terjadi. )ntar lantai ada
sekelompok kolom yang berangkai secara jepit dengan balok*balok yang membentuk suatu system struktur bangunan tersebut. Pada sebuah tingkat antar lantai ke i / sekelompok kolom tersebut mempunyai kekakuan tingkat
ki . Bangunan tersebut berdiri
berdampingan dengan gedung kembarannya di sebelah kanan dan kirinya. Hitunglah :
Berapa jarak minimum antar bangunan agar antar bangunan kembar tersebut tidak terjadi benturan atap #pounding$ terjadi saat tergoncang gempa hebat melalui proses hitungan simpangan lantai di/apabila nilai*nilai
ki dan
fi
.
Penyelesaian :
"engacu pada gambar diatas/ matriks kekakuan struktur ! dan matriks gaya gempa disusun sebagai berikut ini(
!=
[
k 1+ k 2 −k 2 0 −k 2 k 2 + k 3 −k 3 −k 3 k 3 0
]
{
f 1 F = f 2 f 3
Simpangan lantai di dicari dengan persamaan kekakuan struktur !d=
'imana matriks simpangan lantai (
{
d1 d= d 2 d3
)panila
=[ d 1 d 2 d 3 ]
T
'engan memasukan nilai*nilai kekakuan tingkat dan gaya gempa pada persamaan kekakuan struktur !d = dan menggunakan metode eleminasi >auss persamaan
( E j−( a ji / aii ) E j) → ( E j) 'engan mengikuti langkah*langkah untuk mendapatkan matriks segitiga baCah #loCer triangle matri2$ dimuka/Sampingan lantai diperoleh ( d
=[ d 1 d 2 d 3 ]
T
'engan memasukkan nilai nilai kekakuan tingkat dan gaya gempa dan menggunakan metode eliminasi >auss dengan mengikuti langkah*langkah untuk mendapatkan matriks segitiga baCah #loCer triangle matri2$ di muka/ simpangan lantai diperoleh ( d =[ 0,060 1,20 T
]
1,70 cm
Dntuk menjamin tidak ada benturan dengan gedung disebelahnya pada saat goncangan gempa hebat terjadi/ maka dianggap gedung kembarannya sebelah kiri bergerak maksimum ke kanan saat gedung ini bergerak ke kiri pada atapnya sejauh
d 3=1,70 cm / dan
gedung sebelah kanan nya dianggap bergoyang maksimum ke kiri saat
gedung
ini
bergerak
kekanan
pada
atapnya
sejauh
d 3=1,70 cm .
"aka @arak antar gedung kembar tersebut minimum sebesar ( 2 d 3= 3,40 cm
Calaupun asumsi keadaan ekstrim semacam itu
kemungkinan terjadinya sangat kecil.
9. Sebuah kolom beton bertulang dengan dimensi 30 2 &0 cm yang diberi tulangan ;E+&/ yaitu 3 pada masing*masing sisi yang kecil. 'engan 5egangan leleh baja direncanakan Fy = 9000 kgcm+/ sedangkan tegangan tekan beton FcG = 300 kgcm+. @arak tepi luar beton ke inti tulangan adalah & cm. Diminta : -arilah akar Fungsi gaya dalam normal P#c$ yang bekerja pada
penampang beton dengan "etode bisection dan metode secant /sehingga dapat ditenntukan letak garis netral penampang kolom #c$/ selanjutnya harga c tersebut digunakan untuk membuat diagram interaksi kolom. Setelah dikalkulasikan/ jarak garis netral #c$pada penampang tersebut adalah ;9.%&% mm
>ambar Penampang kolom/ 6egangan dan 5egangan 'iagram nteraksi !olom Beton Bertulang Penyelesaian :
'iketahui/ notasi*notasi yang dipakai adalah( P ( gaya dalam normal yang bekerja pada penampang #H$ " ( momen lentur yang bekerja pada penampang #Hmm$ terhadap plastic centroid
kolom ? ( modulus elastisitas baja #= +00000 "Pa$ b ( lebar penampang #mm$ h ( tinggi penampang #mm$ c ( lokasi garis netral dari serat atas #mm$ dcs ( jarak tulangan tekan dari serat atas #mm$ dts ( jarak tulangan tarik dari serat atas #mm$ ecs ( regangan tulangan tekan ets ( regangan tulangan tarik ey ( regangan leleh baja #0.00+$ a ( kedalaman stress block #mm$ -c (gaya tekan yang disumbangkan penampang beton #H$ -s (gaya tekan yang disumbangkan tulangan tekan #H$ 5s (gaya tekan yang disumbangkan tulangan tarik #H$ )cs ( luas tulangan tekan #mm+$ )ts ( luas tulangan tarik #mm+$ lcc ( jarak titik berat stress block ke plastic centre penampang #mm$ lcs ( jarak tulangan tekan ke plastic centre penampang #mm$ lts ( jarak tulangan tarik ke plastic centre penampang #mm$ Fy ( tegangan leleh tulangan #"Pa$ FcG ( tegangan karakteristik penampang #"Pa$ >aya dalam P dan " pada penampang dapat diturunkan sebagai Fungsi dari c. !omponen komponen yang menyumbangkan
P dan " berasal dari gaya tekan beton serta gaya tulangan tekan dan tarik. Secara umum perumusannya adalah P = -c , -s , 5s " = -cIlcc , -sIlcs , 5sIlts !omponen -c/ -s/ 5s dan lcc merupakan Fungsi dari c/ sedangkan lcs dan lts merupakan konstanta/ sehingga persamaan tersebut dapat juga ditulis( P = -c # c $ , -s # c $ , 5s # c $ " = -c # c $Ilcc # c $ , -sIlcs , 5sIlts
)sumsi*asumsi yang dipakai pada kondisi batas adalah( 1. 6egangan tekan batas adalah 0.003 +. ukum Ha
P?H-)6)H )!)6 '?H>)H "?5'? BS?-5H , 6?>DL) )LS
P# c $ = ;&0+ c , # c * &0 $c I #::+000$ * ;+&9:& PM# c $ = ;&0+ c , 99100000 cN+ "# c $ = #;&0+ c * 38:9&$# +&0 * 0.:&c+$ , # c&0$c I #::+000$I#+00$ * #&::+00$I#+00$
P?H-)6)H )!)6 '?H>)H "?5'? H?O5H 6)PSH , S?-)H5 P# c $ = ;&0+ c , # c * &0 $c I #::+000$ ;+&9:& PM# c $ = ;&0+ c , 99100000 cN+ "# c $ = #;&0+ c * 38:9&$ +&0 * 0.:&c+$ , # c&0$c I #::+000$I#+00$ * #&::+00$I#+00$ c = ;9.%&% mm "#c $ = +93.:1; kHm
5abel 1 pencarian akar dengan metode bisection
5abel + Pencarian akar dengan metode bisection , regu Falsi
Setelah terdeFinisinya komponen komponen -c#c$/ 5s#c$/ -s#c$ dan lcc#c$ sebagai Fungsi c/ maka P#c$ dan "#c$ dapat dideFinisikan sebagai Fungsi c. "asing*masing komponen mempunyai pernyataan Fungsi yang inter
'ari Formulasi berdasarkan inter
3
2
&. Diketahui: y = x + 4 x −10 -arilah nilai akar persamaan yang mendekati 1 atau +/ yaitu dicoba dengan xo =1 #titik bantu$ dan x 1=2 #titik coba aCal$ Penyelesaian : 3 2 y = f ( x ) = x + 4 x −10
terasi pertama Sudah ditentukan dalam soal x 0=1 danntk i =1 adala! x1 =2 / "aka( f ( x 0 ) =1 + 4 ( 1 ) −10 =−5 3
2
3
2
f ( x 1 )=2 + 4 ( 2 ) − 10 =14
!esalahan relatiFenya (
|1−2| 100 =50 |2|
ε x 1=
)kar persamaan pada iterasi ke
i+ 1=2,
dihitung dengan persamaan( x x f (¿¿ i −1 )− f (¿¿ i )
¿ f ( x i )( x i−1− x i) x i+1= xi− ¿ 'engan demikian akar persamaan pendekatan pada iterasi kedua/ x i+1= x 2 akan
diperoleh ( x x f (¿¿ 0 )−f (¿¿ 1)
¿ f ( x 1)( x 0− x 1 ) x 2= x 1− ¿ iterasi kedua
pada iterasi sebelumnya nilai pada iterasi kedua ini ( i = 1 dan
x x
i −1
/
digunakan dengan persamaan/
f (¿¿ 0 )−f (¿¿ 1)
¿ f ( x 1)( x 0− x 1 ) x 2= x 1− ¿
( 14 ) ( 1−2 ) −14 ¿ 2− =2 − =1,26316 −19 (−5 )−( 14 ) arga persamaan nya adalah ( f ( x 2 )= f ( 1,26316 )=1,26316 + 4 ( 1,26316 ) −10 3
2
= *1/;0++: !esalahan relatiFnya adalah ( ε x 2=
| x − x | |2−1,26313| 100 = 8,3333 x 100 = |1,26313| | x | 2
1
2
Iterasi ketiga
digunakan persamaan yang sama dengan proses iterasi kedua( x x f (¿¿ 1)− f (¿¿ 2)
¿ f ( x 2)( x 1− x 2 ) x 3= x 2− ¿ ¿ 1,26316 −
(−1,60228 ) ( 2 −1,26316 ) =1,33883 (14 )−(−1,60228 )
arga persamaan nya adalah ( f ( x 3 )=−0,43036
!esalahan relatiFnya adalah ( ε x 2=
|1,26316−1,3383| 100 =5,652 |21,33883|
iterasi keempat dan seterusnya (
dapat
diperoleh
dengan
cara
serupa
pada
iterasi
proses
sebelumnya/ seperti yang ada pada tabel berikut ( 6ingkasan hasil operasi dengan metode sekan atau metode modiFikasi HeCton*6aphson x i−1 = xt
i
1 + 3 9 & ;
x i= x t
1/00000 +/00000 1/+;31; 1/33::3 1/3;;;+ 1/3;&+1
+/00000 1/+;31; 1/33::3 1/3;;;+ 1/3;&+1 1/3;&+3
x
¿ i −1 ¿¿ f ¿ ¿
x x = x (¿¿ n −1) (¿¿ i−1 )= dy ¿ dx " f ¿
*&/00000 19/00000 *1/;0++: *0/9303; 0/0++%1 *0/00030
19/00000 *1/;0++: *0/9303; 0/0++%1 *0/00030 *0/00000
;. ubungan antara debit air penampang saluran terbuka berbentuk trapeAium terhadap parameter geometri penampang adalah (
[
]
2
( b + $y ) y 3 12 #= . % . ( b + $y ) y n b + 2 y √ 1+ $ 1
'engan ( b = lebar dasar penampang y = ketinggian air A = kemiringan dinding S = kemiringan saluran H = angka "anning @ika S = 0/00%/ n = 0/0+&/ A = 0/1&/ b = &0 cm dan m3det Hitung besarnya yQ Penyelesaian : 2 ( b + $y ) y 3 12 1 #= . % . ( b + $y ) y n b + 2 y √ 1+ $
[
]
rencana
= 0/:3
ε x ()
&0/00 &:/33 &/;& +/03 0/10 0/00
Subsitusikan nilai*nilai yang diketahui ke dalam persamaan
tersebut(
y =
0,83=
1 0,025
[
[
]
2
( 0,5 +0,15 y ) y 3 . √ 0,009 . ( 0,5 + 0,15 y ) 0,5+ 2 y √ 1+ 0,15
00,02075
]
2
( 0,5 + 0,15 y ) y 3 ∗0,09486832981∗( 0,5 + 0,15 y ) 0,5 + 2,144761059 y >unakan metode 2 = g#2$ dalam soal ini y = g #y$ y 1 0.:&8;+: 0.%+&;08 0.:%1;; 0.%0:+91 0.%000&9 0.%0908& 0.%0+0%& 0.%030;: 0.%0+&:% 0.%0+:+& 0.%0+80% 0.%0+8;; 0.%0+83: 0.%0+8&+ 0.%0+89& 0.%0+89: 0.%0+898 0.%0+89: 0.%0+898
g #y$ 0.:&8;+: 0.%+&;08 0.:%1;; 0.%0:+91 0.%000&9 0.%0908& 0.%0+0%& 0.%030;: 0.%0+&:% 0.%0+:+& 0.%0+80% 0.%0+8;; 0.%0+83: 0.%0+8&+ 0.%0+89& 0.%0+89: 0.%0+898 0.%0+89: 0.%0+898 0.%0+898
ε( )
*1;.;008 8.399+8 *3.:081& 1.:+&;03 *0.%0%;9 0.99988& *0.+1%& 0.108:3& *0.0&31 0.0+;119 *0.01+:& 0.00;3++ *0.00311 0.001&3 *0.0008& 0.00038 *0.0001: :.%8?*0& *9.9?*0&
"aka diperoleh ketinggian air #y$ = 0/%0+898 m & 0,9 m
