MODUL MATA KULIAH ANALISA NUMERIK
Disusun Oleh:
Candra Mecca Sufyana
1
Daftar Isi Kata Pengantar ............................................................................................................ 2 Daftar isi......................................................................................................... 3 Daftar Gambar.............................................................................................. 5 Daftar Tabel................................................................................................... 6 Deskripsi Mata Kuliah………….……………………………….………….. 7 Tujuan Mata Kuliah Umum...….……………………………….…………..7 Tujuan Mata Kuliah Khusus.….……………………………….………….. 7 BAB I
PENDAHULUAN 1.1 1.2 1.3
BAB II
Definisi analisa numerik..................................................... 8 Tahap penyelesaian secara numerik......................................10 Galat (Kesalahan)………………………………………….11
SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR 2.1 Metode Tertutup 2.1.1 Metode tabel..………………………………………….. 13 2.1.2 Metode grafik….………………………………………. 15 2.1.3 Metode bisection...…………………………………….. 16 2.1.4 Metode regulasi falsi………………………………… ...17 2.2 Metode Terbuka 2.2.1 Metode iterasi………………………………………….. 19 2.2.2 Metode Newton Rapshon…..…………………………. 20 2.2.3 Metode secant… ...…………………………………….. 23
BAB III INTERPOLASI 3.1 Interpolasi Linear… ……………………….………………... 29 3.2 Interpolasi Kuadratik……………………………..………… 30 3.3 Interpolasi Polinomial………………………….……….…… 31 3.4 Interpolasi Lagrange………………………….……….…… 32
BAB IV INTEGRASI NUMERIK 4.1 Dasar pengintegralan numerik…………….………………... 35 4.2 Metode Reimann…………….…………………..………… 38 4.3 Metode Trapesium…………………………….……….…… 39 4.4 Metode Simpson 1/3…………………….……….………… 40 4.5 Metode Simpson 3/8………………………….……….…….. 42 4.6 Metode Integrasi Gauss………………….……….………… 43 4.7 Penerapan Integrasi Numerik………………….……….…….. 44
2
BAB V
PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN 5.1 Eliminasi Gauss… ……………………….………………... 5.2 Eliminasi Gauss Jordan…………………………..………… 5.3 Dekomposisi LU………………………….……….…… 5.4 Iterasi Gauss-Seidel………………………….……….……
50 56 58 62
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 67
3
Daftar Gambar Gambar 1.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 5.1 5.2
Nama gambar Bagan Metode Analisa Numerik
Grafik akar persamaan kuadrat Metode Grafik Bisection Daerah akar fungsi Regulasi Falsi Newton Rapshon Penyelesaian dengan Newton Rapshon Metode Secant Grafik fungsi metode secant Flowchart Metode Secant Grafik Interpolasi Interpolasi Linear Interpolasi kuadratik Dasar pengintegralan numeric Pendekatan solusi integrasi numeric Grafik Linear dan kuadratik Grafik kubik dan polinomial Grafik polynomial data Grafik luas dengan integral Metode Reimann Grafik Solusi reimann Metode Trapesium Metode Simpson 1/3 Pembagian h metode simpson 1/3 Metode Simpson 3/8 Solusi sitem persamaan linear Flowchart system persamaan linear
Halaman 8 10 15 16 17 18 20 20 23 24 25 28 29 30 36 36 37 37 37 38 38 39 40 41 42 42 48 55
4
Daftar Tabel Tabel 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
Keterangan Metode tabel Contoh metode tabel Penentuan metode bisection Iterasi Iterasi Newton Rapshin Perbandingan Metode system persamaan linear
Halaman 14 15 18 20 25 26
5
A. Deskripsi Mata Kuliah Pada mata kuliah ini disajikan beberapa analisa numerik. Pertama-tama diberikan beberapa definisi, teorema yang berhubungan dengan analisa numerik, termasuk penyajian bilangan, galat dan beberapa konsep dasar yang terkait. Selanjutnya dibahas penyelesaian persamaaan non linear dengan menggunakan metode grafik, tabel, Bisection, Newton Raphson, Secant, dan Modifikasi metode Newton untuk Polinomial. Pembahasan Sistem Linear meliputi aljabar matriks, metode penyelesaian Sistem Linear dengan metode iterasi Jacobi, Gauss Seidel dan penyelesaian sistem linear tridiagonal. Sementara metode numerik untuk aljabar matriks dibahas mengenai menghitung determinan dan invers matriks. Untuk Interpolasi dibahas Interpolasi Polinomial yang meliputi Interpolasi Linear dan Kuadrat, Interpolasi Beda terbagi Newton, dan Interpolasi Lagrange, Integral numerik yang meliputi Konsep dasar Integral Numerik, Diantaranya Metode Reimann dan Trapezoid juga Metode Newton-Cotes termasuk Aturan Simpson 1/3 dan Aturan Simpson 3/8. Ditambah pengenalan tentang differensiasi numeric seperti konsep finite difference dan berbagai analisa numerik tersebut diaplikasikan dalam bahasa pemograman
B. Tujuan Kompetensi Umum Setelah mengikuti mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan dapat menggunakan dan menginterpretasikan beberapa analisa numerik beserta algoritmanya kepada berbagai masalah yang berhubungan dengan masalah numerik.
C. Tujuan Kompetensi Khusus • • • • • •
Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan, pemilihan metode aritmetika dan konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan metode numerik Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya Menentukan determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta algoritmanya Menentukan suatu interpolasi dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya Menghitung integral secara numerik dengan beberapa metode.
6
BAB I PENDAHULUAN
A. Tujuan Kompetensi Khusus • Mahasiswa dapat mengetahui dan memahami pengertian dan maksud pembelajaran analisa numerik dan mampu mengetahui perbedaanya dengan metode analitik dan metode empirik • Menjelaskan penyajian bilangan, analisis kesalahan (galat), pemilihan metode aritmetika dan konsep-konsep dasar yang berhubungan dengan metode numeric B. Uraian Materi 1.1 Definisi Analisa Numerik Dalam metode penyelesaian permasalahan di berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, matematika atau ekonomi, atau pada persoalan di bidang rekayasa (engineering), seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro, dan sebagainya, diantaranya pada umumnya harus diformulasikan dalam notasi matematika sebelum dianalisa secara kualitatif baik secara analitik (secara eksakta) ataupun secara numerik, walaupun ada beberapa pula yang menggunakan metode penyelesaian secara empiris (melalui percobaan).
Metode Penyelesaian
Analitik
Numerik
Empirik
Gambar 1.1. Bagan Metode Penyelesaian Metode analitik adalah metode sebenarnya yang dapat memberikan solusi sebenarnya (exact solution) atau solusi sejati artinya metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim) dan solusi yang dihasilkan memiliki galat atau error = 0. Namun metode analitik hanya unggul pada sejumlah persoalan matematika yang terbatas. Padahal persoalan yang muncul dalam dunia nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinya cara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiah berarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Dari penjelasan tersebut terdapat dua hal mendasar mengenai perbedaan antara metode numerik dengan metode analitik yaitu pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selalu berbentuk angka sedangkan metode analitik umumnya menghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsi matematik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentuk angka. Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi 7
sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan (approxomation), namun solusi pendekatan dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidak tepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Sebagai contoh ilustrasi, tinjau sekumpulan persoalan matematik di bawah ini. (1) Tentukan akar-akar persamaan polinom: 7.77 x 7 − 1.24 x 6 + 99 x 4 + 38 x 3 − 14.2 x 2 − x + 666 = 0 (2) Selesaikan sistem persamaaan lanjar (linear)
(3) Tentukan nilai maksimum fungsi tiga matra (dimension):
(4) Hitung nilai integral-tentu berikut
(5) Diberikan persamaan differensial biasa (PDB) dengan nilai awal:
Hitung nilai y pada t = 1.8! Untuk menyelesaikan soal-soal seperti di atas dengan metode analitik, sangatlah sulit. Soal (1) misalnya, biasanya untuk polinom derajat dua masih dapat mencari akar-akar polinom dengan rumus abc, grafik atau difaktorkan. Sedangkan untuk polinom berderajat banyak seperti diatas memerlukan bantuan numerik. Soal (2) pun sama, untuk menyelesaikan persamaan linear dengan banyak peubah juga sulit untuk diselesaikan secara analitik, begitupun dengan soal lainya. Dari Ilistrusi diatas dapat disimpulkan mengenai alasan menggunakan MetodeNumerik • Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah. • Dibutuhkan metode yang menggunakan analisis-analisis pendekatan persoalan non linier untuk menghasilkan nilai yang diharapkan. • Kesulitan menggunakan metode analitik untuk mencari solusi exact dengan jumlah data yang besar, diperlukan perhitungan komputer, metode numerik menjadi penting untuk menyelesaikan permasalahan ini • Pemakaian metode analitik terkadang sulit diterjemahkan kedalam algoritma yang dapat dimengerti oleh komputer. Metode numeric yang memang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaian persoalan-persoalan perhittungan yang rumit. 8
Beberapa kriteria penyelesaian perhitungan matematika • Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau ada theorem analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis (metodeanalitik) adalah penyelesaian exact yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan. • Bila persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin diselesaiakan secara matematis (analitik) karena tidak ada theorem analisa matematik yang dapat digunakan, maka dapat digunakan metode numerik. • Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numeric pun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi. 1.2 Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik Ada enam tahap yang dilakukan dakam pemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu 1. Pemodelan Ini adalah tahap pertama. Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaan matematika (lihat contoh ilustrasi pada upabab 1.2) 2. Penyederhanaan model Model matematika yang dihasilkan dari tahap 1 mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkan banyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks model matematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapa andaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan.Contohnya, faktor gesekan udara diabaikan sehingga koefisian gesekan di dalam model dapat dibuang. Model matematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebih sederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh. 3. Formulasi numerik Setelah model matematika yang sederhana diperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secara numerik, antara lain: a. menentukan metode numerik yang akan dipakai bersama-sama dengan analisis galat awal (yaitu taksiran galat, penentuan ukuran langkah, dan sebagainya). Pemilihan metode didasari pada pertimbangan: - apakah metode tersebut teliti? - apakah metode tersebut mudah diprogram dan waktu pelaksanaannya cepat? - apakah metode tersebut tidak peka terhadap perubahan data yang cukup kecil? b. menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih. 4. Pemrograman Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritma ke dalam program computer dengan menggunakan salah satu bahasa pemrograman yang dikuasai. 5. Operasional Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum data yang sesungguhnya. 6. Evaluasi Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yang sesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasi meliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik, dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untuk memperoleh hasil yang lebih baik.
9
1.3 Galat (Kesalahan) Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis. Ada 3 macam kesalahan dasar; 1. Galat bawaan 2. Galat pemotongan 3. Galat pembulatan Galat bawaan (Inheren) Yaitu Galat dalam nilai data dan terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum fisik dari data yang diukur. Contoh : Pengukuran selang waktu 2,3 detik : • Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik. • Beberapa batas yg mungkin pada galat inheren diketahui : • Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg beberapa prosedur numerik. Galat Pemotongan (Truncation Error) • Berhubungan dengan cara pelaksanaan prosedur numerik • Contoh pada deret Taylor tak berhingga : x3 x5 x7 x9 sin x = x − + − + − ........ 3! 5! 7! 9! • Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x dalam radian • Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam deret, karena deretnya tak berhingga • Kita berhenti pada suku tertentu misal x9 • Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat • Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting Galat Pembulatan • Akibat pembulatan angka • Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa angka tertentu misal; 5 angka : • Penjumlahan 9,2654 + 7,1625 hasilnya 16,4279 Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan menjadi 16,428 C. Rangkuman • Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). • metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yang menghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakan juga solusi pendekatan (approxomation), • Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yaitu pemodelan, penyederhanaan model, pemograman, operasional, evaluasi • Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis, yaitu Galat bawaan, Galat pemotongan, Galat pembulatan
10
D. Tugas Buatlah sebuah kajian literatur tentang manfaat analisa numeric di berbagai bidang baik sains, rekayasa, maupun informatika! E. Evaluasi 1. Apa perbedaan dari metode analitik, metode empirik, dan metode numerik? 2. Apa yang dimaksud pemodelan dan model matematika? 3. Jelaskan tahapan-tahapan penyelesaian secara numerik dan dimanakah peran orang informatika dalam tahapan tersebut? 4. Mengapa dalam konsep analisa numerik ada yang dinamakan galat? 5. Jelaskan definisi dan berbagai jenis-jenis galat? 6. Apa yang dimaksud ketidakpastian dalam proses fisis dan pengukuran? 7. Sebutkan manfaat apa saja yang akan kalian dapat dalam mempelajari analisa numerik?
11
BAB II SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR
A. Tujuan Kompetensi Khusus • •
Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode pengurung dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya Menyelesaikan persamaan non linear dengan beberapa metode terbuka dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya
B. Uraian Materi Pada umumnya untuk mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model persoalan nyata di berbagai bidang, sering solusi yang harus dicari berupa suatu nilai variabel x sehingga f(x) =0 artinya nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Atau dalam arti lain kita menentukan akar-akar persamaan non linier tersebut. Beberapa metoda untuk mencari akar yang telah dikenal adalah: Dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner. Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan x2 – 2x − 8 = 0 ruas kiri difaktorkan menjadi (x−4) (x+2) = 0 sehingga diperoleh akar persamaannya adalah x = 4 dan x = -2. Penyelesaian persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat dihitung dengan menggunakan rumus ABC. − b ± b 2 − 4ac x12 = 2a Akar persamaan f(x) adalah titik potong antara kurva f(x) dan sumbu X.
Gambar 2.1 Grafik akar persamaan kuadrat Penyelesaian persamaan linier mx + c = 0 dimana m dan c adalah konstanta, dapat dihitung dengan : mx + c = 0 , sehingga, x = - c m 12
Akan tetapi, akar persamaan akan sulit dicari jika persamaan tersebut tidak dapat difaktorkan menjadi bilangan bulat yang bukan pecahan dan cara-cara analitik diatas. Sebagai contoh adalah akar dari persamaan polinom derajat tiga atau lebih. Sehingga terdapat metode-metode secara numerik untuk menyelesaikan kasus-kasus persamaan nonlinear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka.. 2.1.
Metode Tertutup (Akolade atau Bracketing Methods) Mencari akar pada range [a,b] tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal. Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen Yang termasuk meode tertutup antara lain: Metode Tabel dan Grafik Metode Bisection Metode Regulasi Falsi
2.1.1
Metode Tabel
Dimana untuk x di antara a dan b dibagi sebanyak N bagian dan pada masingmasing bagian dihitung nilai f(x) sehingga diperoleh tabel : Tabel 2.1 Metode Tabel
X
f(x)
x0=a
f(a)
x1
f(x1)
x2
f(x2)
x3
f(x3)
……
……
xn=b
f(b)
Algoritma Metode Tabel:
13
Contoh: Selesaikan persamaan : x+ex = 0 dengan range x = [− 1,.0,] Untuk mendapatkan penyelesaian dari persamaan di atas range x = 10 bagian sehingga diperoleh : Tabel 2.2 Contoh metode tabel X
f(x)
-1,0
-0,63212 0,63212
-0,9
-0,49343 0,49343
-0,8
-0,35067 0,35067
-0,7
-0,20341 0,20341
-0,6
-0,05119 0,05119
-0,5
0,10653
-0,4
0,27032
-0,3
0,44082
-0,2
0,61873
-0,1
0,80484
0,0
1,00000
[− 1,0] dibagi menjadi
Dari table diperoleh penyelesaian berada di antara –0,6 dan –0,5 0,5 dengan nilai f(x) masingmasing masing -0,0512 0,0512 dan 0,1065, sehingga dapat diambil keputusan penyelesaiannya di x=-0,6. x= dibagi 10 maka diperoleh f(x) terdekat dengan nol pada x = -0,57 dengan F(x) = 0,00447
Kelemahan Metode Tabel Metode table ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier. Tetapi metode ini digunakan sebagai taksiran awal wal mengetahui area penyelesaian yang benar sebelum menggunakan metode yang lebih baik dalam menentukan penyelesaian
.2.1.2 Metode Grafik Selain metode table dapat pula melalui pendekatan grafik, dengan membuat grafik fungsi untuk memperoleh taksiran akar persamaan f(x) = 0 yaitu mengamati dimana letak dia memotong sumbu x. Titik ini untuk menyatakan f(x) = 0, memberikan suatu pendekatan kasar ar dari akar tersebut. Misalkan kita akan menyelesaikan persamaan f ( x) = x 3 − x 2 + 4 x − 1 maka grafik tersebut dilukiskan: 12 10 8 6 4
y = 1x3 - 1x2 + 4x - 1
2 0 -1.5
-1
-0.5
-2 2 0
0.5
1
1.5
2
2.5
-4 4 -6 6 -8 8
x -1 -0.75
y -7 -4.9843
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2
-3.375 -2.0781 -1 -0.0468 0.875 1.8593 3 4.3906 6.125 8.2968 11
Gambar 2.2 Metode grafik Jadi terlihat bahwa f(x) = y = 0, terletak diantara sumbu x : 0.25-0.5. 0.25 14
2.1.3
Bisection (METODE BAGI DUA)
Prinsip: Ide awal metode ini adalah metode tabel, dimana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval. Atau periksa apakah benar bahwa f(a) . f(b) < 0
Gambar 2.3 Bisection Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru, c diperoleh dari : c =
a+b 2
15
Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi: o Jika z merupakan akar fungsi, maka f(x < z) dan f(x > z) saling berbeda tanda. o f(a)*f(c) negatif, berarti di antara a & c ada akar fungsi. o f(b)*f(c) positif, berarti di antara b & c tidak ada akar fungsi
Gambar 2.4 Daerah akar fungsi Langkah 4 : Menentukan kapan proses pencarian akar fungsi berhenti: Proses pencarian akar fungsi dihentikan setelah keakuratan yang diinginkan dicapai, yang dapat diketahui dari kesalahan relatif semu.
Contoh : Carilah salah satu akar persamaan berikut: xe-x+1 = 0 disyaratkan bahwa batas kesalahan relatif (εa) =0.001, dengan menggunakan range x=[−1,0] Dengan memisalkan bahwa : (xl) = batas bawah = a (xu) = batas atas = b (xr) = nilai tengah = x a+b maka diperoleh tabel biseksi sebagai berikut Χ ⇒ 2 16
Tabel 2.3 Tabel Penentuan Metode Bisection
Pada iterasi ke 10 diperoleh x = -0.56738 dan f(x) = -0.00066 Untuk menghentikan iterasi, dapat dilakukan dengan menggunakan toleransi error atau iterasi maksimum. perkiraanakhir − perkiraanawal Catatan : εa = × 100 perkiraanawal Dengan menggunakan metode biseksi dengan tolerasi error 0.001 dibutuhkan 10 iterasi, semakin teliti (kecil toleransi errornya) maka semakin bear jumlah iterasi yang dibutuhkan. 2.1.4 Metode Regula Falsi o Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. o Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier. o Dikenal dengan metode False Position
Gambar 2.5. Grafik Regulasi Falsi
17
f (b) − f (a ) f (b) − 0 = b−a b−x x =b−
f (b)(b − a ) f (b) − f (a )
x=
af (b) − bf (a ) f (b) − f (a )
Algoritma Metode Regulasi Falsi:
2.2 Metode Terbuka Diperlukan tebakan awal xn dipakai untuk menghitung xn+1 Hasil dapat konvergen atau divergen 2.2.1 Metode Iterasi Sederhana Bentuk lain metode penentuan akar persamaan adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini, mulai x0 (perkiraan awal), x1, x2, …., xk, akhirnya konvergen pada Ω, yaitu xn cukup dekat pada Ω menurut tingkat kecermatan yang diinginkan, dapat ditulis sebagai berikut: f(x) = x – g(x) = 0, sehingga Ω = g(Ω). Bentuk iterasi satu titik ini dapat dituliskan dalam bentuk: x(n+1)=g(xn), Dimana n=0,1,2,3,.... , Contoh: x 3 − 3 x − 20 = 0
menyusun kembali persamaan tersebut dalam bentuk Ω = g(Ω). (i) x = 3 (3x + 20) x 3 − 20 3 ( iii ) x = 20 x2 − 3 ( iv) x = (3 + 20 ) x
( ii )
x=
x( n +1) = 3 (3 xn + 20)
Dari rumusan pertama dapat dinyatakan persamaan iterasinya sebagai dengan n = 1,2,3,....., Jika diambil dari nilai xo = 1, maka: 18
x1 = 3 (3 ×1 + 20) = 2.843867 x2 = 3 (3 × 2.843867 + 20) = 3.055686 Dan seterusnya. Hasilnya dapat ditabelkan sebagai berikut Tabel 2.4. Tabel Iterasi iterasi
x
g(x)
1
1
4.795832
2
4.795832
2.677739
-79.1
3
2.677739
3.235581
17.24086
4
3.235581
3.030061
-6.78272
5
3.030061
3.098472
2.207889
6
3.098472
3.074865
-0.76773
7
3.074865
3.082913
0.26104
8
3.082913
3.080158
-0.08944
9
3.080158
3.081099
0.030566
10
3.081099
3.080777
-0.01045
Algoritma program dengan metode Iterasi a). Tentukan X0, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. b). Hitung Xbaru= g(X0). c). Jika nilai mutlak (Xbaru X0) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan;jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. d). Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. e). X0 = Xbaru, dan kembali ke langkah (b).
Ea
2.2.2 Newton Rapshon Salah satu metode penyelesaian akar-akar persamaan non linier f(x), dengan menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi, dengan rumus: f ( xi ) Grafik Pendekatan Metode Newton-Raphson xi +1 = xi − f ' ( xi )
f ( xi )
Kemiringan
f ' ( xi )
f (x)
xi+1
f (xi1+)
Kemiringan
f ' ( xi + 1 )
f ( xi )
f ( xi+1 ) 0
xi + 2
xi+1
xi
x
xi − xi+1 Gambar 2.6. Grafik Newton Rapshon 19
Gambar 2.7 Penyelesaian metode newton-rapshon newton rapshon Pernyataan Masalah: Gunakan Metode Newton-Raphson Newton untuk menaksir akar dari : f(x) = e-x-x , menggunakan sebuah tebakan awal x0= 0. Langkah 1: Turunan pertama dan kedua dari fungsi f(x) = e-x-x , dapat dievaluasikan sebagai :
Langkah 2: Lakukan uji syarat persamaan
20
Langkah 3: Lakukan Iterasi dengan : x = x − f ( xi ) i +1 i f ' ( xi ) Akar x akan semakin akurat, jika nilai f(x) semakin mendekati 0 Tabel 2.5 Tabel Iterasi Newton Rapshon
Contoh f(x) = x3 - 3x - 20, maka f1(x) = 3x2- 3 Dengan demikian x k+1 = xk - (x3k - 3xk - 20) / (3x2k - 3). Perkiraan awal xo = 5 Maka: f(5)=53-3.(5)-20 20 =90 f'(5)=3(5)2-33 =72 xbaru=5-(90/72)=3.75 (90/72)=3.75 iterasi Xk Xk+1 f(xk) f'(xk)
F(xk+1)
1
5
3.75
90
72
21.484375
2
3.75
3.201754
21.48438
39.1875
3.216661132
3
3.201754
3.085854
3.216661
27.75369344
0.127469447
4
3.085854
3.080868
0.127469
25.5674865
0.000229985
5
3.080868
3.080859
0.00023
25.47525192
7.53268E-10
Kelemahan Metode Newton-Raphson Newton 1. Jika fungsi f(x) mempunyai beberapa akar (titik) penyelesaian, akar akar-akar penyelesaian tersebut tidak dapat dicari secara bersamaan. 2. Tidak dapat mencari akar kompleks (imajiner). 3. Tidak bisa mencari akar persamaan yang tidak memenuhi persyaratan persamaannya, meskipun ada akar penyelesaiannya. 4. Untuk persamaan non linier yang cukup kompleks, pencarian turunan pertama dan kedua f(x) akan menjadi sulit. 21
Algoritma Tentukan Xo, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum. Hitung Xbaru = x - f'(x0)/f(X0). Jika nilai mutlak (Xbaru - X0) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan; jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. X = Xbaru, dan kembali ke langkah (b). 2.2.3 Metode Secant Masalah yang didapat dalam metode Newton Newton-Raphson Raphson adalah terkadang sulit mendapatkan turunan pertama, yakni f’(x). Masalah potensial dalam metode Newton-Raphson Newton adalah ’ evaluasi turunan f (xi), sehingga turunan dapat dihampiri oleh beda hingga terbagi. Sehingga dengan jalan pendekatan f ' ( x ) = f ( xi −1 ) − f ( xi ) , i xi −1 − xi didapat: xi +1 = xi −
f ( xi )( xi −1 − xi ) f ( xi −1 ) − f ( xi )
metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x.
Gambar 2.8 Metode Secant
22
Contoh: Selesaikan Persamaan: Berdasarkan gambar grafk didapatkan akar terletak pada range [0.8, 0.9], maka X0 = 0.8 dan x1 = 0.9, sehingga:y0 = F(x0) = -0.16879y1 = F(x1) = 0.037518 Iterasi Metode Secant adalah sbb:
Gambar 2.9 Grafik fungsi
untuk range [-1,1}
Algoritma Metode Secant : 1. Definisikan fungsi F(x) 2. Ambil range nilai x =[a,b] dengan jumlah pembagi p 3. Masukkan torelansi error (e) dan masukkan iterasi n 4. Gunakan algoritma tabel diperoleh titik pendekatan awal x0 dan x1 untuk setiap range yang diperkirakan terdapat akar dari : F(xk) * F(xk+1)<0 maka x0 = xk dan x1=x0+(b-a)/p . Sebaiknya gunakan metode tabel atau grafis untuk menjamin titik pendakatannya adalah titik pendekatan yang konvergensinya pada akar persamaan yang diharapkan. 23
5. Hitung F(x0) dan F(x1) sebagai y0 dan y1 6. Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |F(xi)|≥ e
Hitung yi+1 = F(xi+1) 7. Akar persamaan adalah nilai x yang terakhir
Gambar 2.10. Flowchart Metode Secant 24
Perbandingan Berbagai Metode. Dari berbagai metode, baik metode tertutup maupun terbuka, maka dapat disimpulkan seperti disajikan dalam tabel berikut ini: Tabel 2.6 Perbandingan berbagai metode system persamaan non-linear Metode
Stabilitas
Akurasi Luas aplikasi
Upaya Komentar program
Langsung
Tebakan Laju awal konversi relatif -
-
-
-
-
Grafik
-
-
-
Kurang
Sangat terbatas Akar sesungguhnya
-
Bagidua
2
Perlahan
Selalu Baik konvergen
Mudah
Regula Falsi
2
Sedang
Selalu Baik konvergen
Mudah
-
Iterasi satu 1 titik Newton1 Raphson
Perlahan
Bisa divergen Bisa divergen
Baik
Akar sesungguhnya Akar sesungguhnya Umum
Memakan waktu lebih banyak daripada metode numerik -
Mudah
-
Modifikasi 1 NewtonRaphson
Cepat bagi akar berganda; sedang bagi akar tunggal Sedang hingga cepat
Bisa divergen
Baik
Bisa divergen
Baik
Umum, Mudah dibatasi jika f’(x)=0 Umum, Mudah didesain khusus bagi akar berganda Umum Mudah
Sedang hingga cepat
Bisa divergen
Baik
Umum
Secant
2
Modifikasi 1 Secant
Cepat
Baik
Mudah
Memerlukan evaluasi f’(x) Memerlukan evaluasi f’’(x) dan f’(x)
Tebakan awal tak harus mengurung akar -
25
C.
Rangkuman
1.
Metode-metode secara numerik untuk menyelesaikan kasus-kasus persamaan nonlinear yang kompleks dan rumit yaitu metode tertutup dan terbuka.. 2. Metode Tertutup (Akolade atau Bracketing Methods) • Mencari akar pada range [a,b] tertentu juga dibutuhkan dua tebakan awal. • Dalam range [a,b] dipastikan terdapat satu akar • Hasil selalu konvergen disebut juga metode konvergen 3. Yang termasuk meode tertutup antara lain: • Metode Tabel dan Grafik • Metode Bisection • Metode Regulasi Falsi 4. Metode tabel ini secara umum sulit mendapatkan penyelesaian dengan error yang kecil, karena itu metode ini tidak digunakan dalam penyelesaian persamaan non linier. 5. Metode bisection ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. 6. Metode Regula Falsi yaitu metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. 7. Metode Terbuka • Diperlukan tebakan awal • xn dipakai untuk menghitung xn+1 • Hasil dapat konvergen atau divergen 8. Yang termasuk metode terbuka adalah: • Metode Iterasi Sederhana • Metode Newton-Raphson • Metode Secant. 9. metode iterasi adalah dengan memulai suatu perkiraan harga akar persamaan yang kemudian dengan serangkaian nilai perkiraan ini 10. Newton-Rapshon menentukan satu nilai tebakan awal dari akar yaitu xi, dengan rumus: x = x − f ( xi ) i +1 i f ' ( xi ) 11. metode secant memerlukan dua taksiran awal untuk x D. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan persamaan non-linear diatas, kemudian cobalah membuat programnya dengan menggunakan bahasa MATLAB! E. Evaluasi Gunakan Metode Bisection dan Newton Rapshon untuk memperkirakan akar dari f(x) =0. Yang ada diantara titik a dan b berkut ini. f ( x) = x 4 + x − 3 , a = 1 dan b = 2.
26
BAB III INTERPOLASI
A. Tujuan Kompetensi Khusus • •
Menentukan suatu Interpolasi linear dan kuadratik dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya. Menentukan suatu polinomial dari barisan data dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya
B. Uraian Materi Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui. Kegunaan dari interpolasi itu sendiri sangat penting karena Data yang sering dijumpai di lapangan sering dalam bentuk data diskrit yang umumnya disajikan dalam bentuk tabel. Sebagai gambaran, sebuah eksperimen di laboratorium fisika dasar mengenai hubungan antara jarak tempuh benda yang jatuh bebas terhadap waktu tempuh menghasilkan data seperti disajikan dalam tabel berikut: Tabel 3.1 Tabel data interpolasi y (meter) t (detik)
10 20 1.45 2.0
30 2.4
40 2.85
50 3.0
60 3.5
70 3.75
80 4.0
90 4.2
100 4.52
Permasalahan yang sering ditemui pada data di atas adalah menentukan suatu nilai di antara titik-titik tersebut yang dapat diketahui tanpa melakukan pengukuran kembali. Misalkan kita ingin mengetahui berapa jarak tempuh benda ketika waktu tempuhnya 7,5 detik? Pertanyaan ini tidak secara langsung dapat dijawab, karena fungsi yang menghubungkan variabel t dan y tidak diketahui. Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titiktitik dalam tabel di atas. Pendekatan semacam ini disebut pencocokan kurva (curve fitting) dan fungsi yang diperoleh dengan pendekatan ini merupakan fungsi hampiran. Tentu saja nilai fungsi yang diperoleh juga merupakan nilai hampiran (hasilnya tidak setepat nilai eksaknya), tetapi cara pendekatan ini dalam praktek sudah mencukupi karena formula yang menghubungkan dua variabel atau dua besaran fisika sulit ditemukan. Bila data yang diketahui mempunyai ketelitian yang sangat tinggi, maka kurva pencocokannya dibuat melalui titik-titik, persis sama apabila kurva fungsi yang sebenarnya diplot melalui setiap titik-titik yang bersangkutan. Di sini kita dikatakan melakukan interpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi (Gambar disamping) Gambar 3.1 Grafik interpolasi Interpolasi memegang peranan yang sangat penting dalam metode numerik. Fungsi yang tampak sangat rumit akan menjadi sederhana bila dinyatakan dalam polinom interpolasi. Sebagian besar metode integrasi numerik, metode persamaan difrensial biasa dan metode 27
turunan numerik didasarkan pada polinom interpolasi sehingga banyak yang menyatakan bahwa interpolasi merupakan pokok bahasan yang fundamental dalam metode numerik. Ada beberapa jenis interpolasi diantaranya: Interpolasi Linier Interpolasi Kuadratik Interpolasi Polinomial Interpolasi Lagrange 3.1 Interpolasi Linear Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misalkan dua buah titik, ( x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus berbentuk:
Gambar 3.2 Grafik Interpolasi Linear Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1(x1,y1) dan P2(x2,y2) dapat dituliskan dengan:
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linier sebagai berikut:
Algoritma Interpolasi Linier : (1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x1,y1) dan (x2,y2) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dengan :
(4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)
28
Contoh: Diketahui data sebagai berikut : x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
9
4
1
0
1
4
9
16
25
36
49
Tentukan harga y pada x = 6,5 ! Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 dan x=7, sehingga dengan menggunakan rumus:
y = yk +
x − xk ( yk + 1 − yk ) , didapat: xk + 1 − xk
(6,5 − 6) y = 36 + (49 − 36) = 42,5 Alternatif 2(7: −x 6=) 6,5 terletak antara x=1 dan x=7, dengan rumus yang sama, didapat: (6,5 − 1) (5,5) y = 1+ (49 − 1) = 1 + (48) = 45 (7 − 1) ( 6) Jika kita bandingkan kedua kedua hasil tersebut yakni: Karena hubungan. x dan y adalah y = x2 maka untuk harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25 Kesalahan mutlak (E), untuk : y = 42.5 |42.5 – 42.25| = 0.25 = 25 % Sedangkan untuk y = 45 |45 – 42.25| = 3.25 = 325 % Terlihat bahwa y = 42.5 lebih akurat, jadi dapat disimpulkan bahwa Semakin kecil interval antara titik data, hasil perkiraan interpolasi akan semakin baik. 3.2 Interpolasi Kuadratik Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda cukup besar dari fungsi linier. Untuk itu digunakan polinomial lain yang berderajat dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati fungsinya. Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.
Gambar 3.3 Grafik Interpolasi Kuadratik 29
Untuk memperoleh titik Q(x,y) digunakan interpolasi kuadratik sebagai berikut:
Algoritma Interpolasi Kuadratik: (1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) (2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari (3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi kuadratik:
(4) Tampilkan nilai x dan y 3.3 Interpolasi Polinomial Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1: Masukkan nilai dari setiap titik ke dalam persamaan polynomial di atas dan diperoleh persamaan simultan dengan n persamaan dan n variable bebas:
Penyelesaian persamaan simultan di atas adalah nilai-nilai a0, a1, a2, a3, …, an yang merupakan nilai-nilai koefisien dari fungsi pendekatan polynomial yang akan digunakan. Dengan memasukkan nilai x dari titik yang dicari pada fungsi polinomialnya, akan diperoleh nilai y dari titik tersebut. Algoritma Interpolasi Polynomial : (1) Menentukan jumlah titik N yang diketahui. (2) Memasukkan titik-titik yang diketahui Pi = xi yi untuk i=1,2,3,…,N (3) Menyusun augmented matrik dari titik-titik yang diketahui sebagai berikut:
(4) Menyelesaikan persamaan simultan dengan augmented matrik di atas dengan menggunakan metode eliminasi gauss/Jordan. (5) Menyusun koefisien fungsi polynomial berdasarkan penyelesaian persamaan 30
simultan di atas. (6) Memasukkan nilai x dari titik yang diketahui (7) Menghitung nilai y dari fungsi polynomial yang dihasilkan
(8) Menampilkan titik (x,y)
3.4 Interpolasi lagrange Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:
Algoritma Interpolasi Lagrange : (1) Tentukan jumlah titik (N) yang diketahui (2) Tentukan titik-titik Pi(xi,yi) yang diketahui dengan i=1,2,3,…,N (3) Tentukan x dari titik yang dicari (4) Hitung nilai y dari titik yang dicari dengan formulasi interpolasi lagrange
(5) Tampilkan nilai (x,y) Contoh: Nilai yang berkorespondensi dengan y = 10log x adalah : X
300
304
305
307
10
2,4771
2,4829
2,4843
2,4871
log x
Carilah 10log 301 ? Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas menjadi x0 = 300
x1 = 304
x2 = 305
x3 = 307
y0 = 2,4771
y1 = 2,4829
y2 = 2,4843
y3 = 2,4871
Dengan menggunakan interpolasi lagrange y (x) =
(301 − 304)(301 − 305)(301 − 307) (301 − 300)(301 − 305)(301 − 307) 2,4771 + 2,4829 + (300 − 304)(300 − 305)(300 − 307) (304 − 300)(304 − 305)(304 − 307) (301 − 300)(301 − 304)(301 − 307) (301 − 300)(301 − 304)(301 − 305) 2,4843 + 2,4871 (305 − 300)(305 − 304)(305 − 307) (307 − 301)(307 − 304)(307 − 305) = 1,2739 + 4,9658 − 4,4717 + 0,7106
y ( x) = 2,4786
31
Contoh 2 : Bila y1 = 4, y3 = 12, y4 = 19 dan yx = 7, carilah x ? Karena yang ditanyakan nilai x dengan nilai y diketahui, maka digunakan interpolasi invers atau kebalikan yang analog dengan interpolasi Lagrange. x=
(7 − 4)(7 − 12) (7 − 12)(7 − 19) (7 − 4)(7 − 19) ( 4) (1) + (3) + (19 − 4)(19 − 12) (4 − 12)(4 − 19) (12 − 4)(12 − 19)
x=
1 27 4 + − = 1,86 2 14 7
Nilai sebenarnya dari x adalah 2, karena nilai-nilai atau data diatas adalah hasil dari polinom y(x) = x2 + 3. Adapun untuk membentuk polinom derajat 2 dengan diketahui 3 titik, dapat menggunakan cara yang sebelumnya pernah dibahas dalam hal mencari persamaan umum polinomial kuadrat. C. 1. 2.
Rangkuman Interpolasi adalah teknik mencari harga suatu titik diantara 2 titik yang nilai fungsi pada ke-2 titik tersebut sudah diketahui Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis lurus. Misalkan dua buah titik, ( x1 , y1 ) dan (x2 , y2 ). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus
3.
Interpolasi Kuadratik digunakan untuk mencari titik-titik antara dari 3 buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3) dengan menggunakan pendekatan fungsi kuadrat.
4.
Interpolasi polynomial digunakan untuk mencari titik-titik antara dari n buah titik P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial pangkat n-1:
5.
P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), …, PN(xN,yN) dengan menggunakan pendekatan fungsi polynomial yang disusun dalam kombinasi deret dan didefinisikan dengan:
D. Tugas Carilah sebuah data di lapangan (x,y) dan kemudian lakukan interpolasi pada saat x tertentu!
32
E. Soal 1.
Cari nilai y untuk titik x =2.5 yang berada diantara titik (1,5), (2,2) dan (3,3) dengan menggunakan interpolasi kuadratik !
2.
Diketahui data berikut: x 10
log
100
110
120
130
2
2.0413
2.0791
2.1139
x Carilah 10log 115 dengan menggunakan Interpolasi Lagrange dari data diatas.. N
y = ∑ yi ∏ i =1
3.
j ≠1
(x − x j ) ( xi − x j )
Hitunglah interpolasi dari data yang diketahui berikut ini: a) Jika dari data-data diketahui bahwa ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513 maka tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi linear sampai 5 angka dibelakang koma. b) Diberikan data ℓn (8,0) = 2,0794, ℓn (9,0) = 2,1972 dan ℓn (9,5) = 2,2513. Tentukanlah nilai ℓn (9,2) dengan interpolasi kuadratik
33
BAB IV INTEGRASI NUMERIK
A. Tujuan Kompetensi Khusus •
Menghitung integral secara numerik dengan beberapa metode persegi panjang dan trapezium Menghitung integral secara numerik dengan aturan simpson 1/3 dan aturan simpson 3/8
•
B. Uraian Materi Di dalam kalkulus, terdapat dua hal metode penting untuk menyelesaikan permasalahan matematis yaitu integral dan turunan (derivative). Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Kita lihat contoh berikut: Fungsi yang dapat dihitung integralnya secara analitik : ax n+1 +C n +1 e ax ax ∫ e dx = a + C ∫ sin(ax + b)dx = − 1 a cos(a + b) + C ∫ cos(ax + b)dx = 1 a sin(a + b) + C 1 ∫ x dx = ln | x | +C n ∫ ax dx =
∫ ln | x |dx = x ln | x | − x + C Fungsi yang rumit misalnya :
3
2 + cos(1 + x 2 ) 0.5 x ∫0 1 + 0.5 sin x e dx 2
Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral semisal menghitung luas dan volume-volume benda putar dan juga yang lainya. 4.1
∫
b
a
Dasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi n
f ( x)dx ≈ ∑ ci f ( xi ) i =0
= c0 f ( x0 ) + c1 f ( x1 ) + ... + cn f ( xn )
34
Gambar 4.1 Dasar Pengintegralan Numerik
Melakukan penginteralan pada bagian-bagian bagian bagian kecil, seperti saat awal belajar integral yaitu penjumlahan bagian-bagian. bagian Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.
Gambar 4.2 Pendekatan solusi Perhitungan integral menggunakan Formula Newton-Cotes Newton Cotes yaitu berdasarkan pada b
b
a
a
I = ∫ f ( x)dx ≅ ∫ f n ( x)dx
Nilai hampiran f(x) dengan polynomial:
f n ( x) = a0 + a1 x + L + an −1 x n −1 + an x n f n dapat berupa fungsi linear, kuadrat, kubik, ataupun polynomial yang lebih tinggi. Dan juga polinomial dapat didasarkan pada data.
35
Gambar 4.3 Linear dan kuadartik
Gambar 4.4 Kubik dan polynomial yang lebih tinggi
Gambar 4.5 Polinomial dapat didasarkan pada data 36
Integrasi secara numeric merupakan proses menghitung integral berdasarkan sejumlah nilai numerik integran (fungsi yang diintegrasi). Jika fungsi yang diintegrasikan diintegrasika mempunyai satu variabel, proses disebut QUADRATUR MECHANIC, dan bila fungsi mempunyai dua variabel bebas, proses disebut CUBATURE MECHANIC. Menyelesaikan secara numeric dapat dilakukan dengan menyatakan f(x) dalam rumusan interpolasi dalam fungsi perbedaan daan yang diintgrasikan antara [ a,b]. Luas (L) = b ∫ f (x )dx a
Gambar 4.6 Grafik Luas Integrasi Contoh : Hitung luas daerah di atas sumbu x yang dibatasi oleh kurva y = x2, antara x = 0 dan 4 x = 4. 4 2 Solusi: L = ∫ ( x ) dx = 13 x 3 = 13 (4) 3 - 13 (0) 3 = 64 3 = 21.33 satuan luas 0 0
4.2
Metode Pendekatan Persegi Panjang ( Integral Reimann ) Bagi interval a sampai b atas n sub-interval h = b - a
(
n
)
Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung ujung sub-interval interval tersebut → f (xk ) Hitung luas tiap-tiap tiap persegi panjang tersebut → Pk = h * f (xk ) Jumlahkan semua luas persegi panjang tersebut
h
L = ∑ h . f(xk ) k =1
Gambar 4.7 Metode Reimann Selain mengambil tinggi persegi panjang ke-k, ke sama dengan f (xk ) yaitu nilai fungsi pada ujung kanan sub-interval interval ke-k ke k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan f (xk-1 ) yaitu nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval, sub ataupun juga pada : f((x + x ) / 2) k -1 k Contoh: Cari luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4
37
1 x**2
0.8
0.6
0.4
0.2
0 0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Gambar 4.8 Grafik Solusi Metode Reimann Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel : Tabel 4.1. Perhitungan integral dengan metode Reimann 10
L = h.∑ f ( xi ) i =0
= 0.1(0 + 0.01 + 0.04 + 0.09 + 0.16 + 0.25 + 0.36 + 0.49 + 0.64 + 0.81 + 1.00 ) = (0.1)(3,85) = 0,385
1
1 Secara kalkulus : L = ∫ x 2 dx = x 3 |10 = 0,3333..... 3 0 Terdapat kesalahan e = 0,385 - 0,333 = 0,052 Algoritma Metode Integral Reimann: Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas atas integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N a)/N N Hitung L = h.∑ f ( xi ) i =0
4.3 Metode Trapesium Bagi interval (a, b)) menjadi n sub-interval yang sama → h = ( b n- a ) Hitung nilai fungsi pada ujung ujung-ujung sub-interval tersebut → f (xk ) Hitung luas trapesium → Pk = h * f (xk ) Luas trapesium ke-1 = t1 = ½ ( f(x0) + f(x1) ) * h = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) ke-2 = t2 = ½ ( f(x1) + f(x2) ) * h = h/2 ( f(x1) + f(x2) ) ……………. ke-n = tn = ½ ( f(xn-1) + f(xn) ) * h = h/2 (f(xn-1) + f(xn) ) Luas Total = t1 + t2 + ……. + tn = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) + h/2 ( f(x1) + f(x2) ) + ……. + h/2 (f(xn-1) + f(xn) ) n −1 h = f(x 0 ) + 2 ∑ f(x k ) + f(x n ) 2 k =1 38
Gambar 4.9 Grafik Metode Trapesium
Hitung luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi: Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, sub n = 4 → h = (4 - 0)/4 = 1 xk 0 1 2 3 4 f(xk)
0
1
4
9
16
Luas total: =
1 (0 + 2 (1 + 4 + 9) + 16) = 22 2
3 h f(x 0 ) + 2 ∑ f(x k ) + f(x 4 ) 2 k =1 Algoritma Metode Integrasi Trapezoida • Definisikan y=f(x) • Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) • Tentukan jumlah pembagi n • Hitung h=(b-a)/n • Hitung n −1 h L = f 0 + 2∑ f i + f n 2 i =1
=
4.4 Aturan Simpson 1/3 Perumusan Aturan Simpson 1/3 diaproksimasi dengan fungsi parabola:
∫
b
a
2
f ( x)dx ≈ ∑ ci f ( xi ) = c0 f ( x0 ) + c1 f ( x1 ) + c2 f ( x2 ) i =0
=
h [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] 3
39
Gambar 4.10 Grafik Metode Simpson 1/3 Perumusan tersebut didapat dari penurunan berikut ini:
L( x) = +
( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x0 )( x − x2 ) f ( x0 ) + f ( x1 ) ( x0 − x1 )( x0 − x2 ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x2 ) ( x2 − x0 )( x2 − x1 )
a+b 2 dx b−a x − x1 h= ,ξ = , dξ = h h 2 x = x0 ⇒ ξ = −1 x = x1 ⇒ ξ = 0 x = x ⇒ ξ = 1 2 x 0 = a , x 2 = b, x 1 =
let
L(ξ ) =
∫
b
a
ξ (ξ − 1) 2
f ( x0 ) + (1 − ξ 2 ) f ( x1 ) +
ξ (ξ + 1) 2
f ( x2 )
h 1 ξ (ξ − 1)dξ −1 2 ∫−1 1 h 1 + f ( x1 )h ∫ ( 1 − ξ 2 )dξ + f ( x2 ) ∫ ξ (ξ + 1)dξ 0 2 −1 1
f ( x)dx ≈ h ∫ L(ξ )dξ = f ( x0 )
1
1
h ξ3 ξ2 ξ3 = f ( x0 ) ( − ) + f ( x1 )h(ξ − ) 2 3 2 −1 3 −1 1
h ξ3 ξ2 + f ( x2 ) ( + ) 2 3 2 −1
∫
b
a
f ( x )dx =
h [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] 3
40
Gambar 4.11. 4.11. Grafik pembagian h pada metode simpson 1/3 Atau penurunan perumusan tersebut dapat pila didapat dari Polinom interpolasi NewtonNewton Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tersebut. Algoritma: a) Definisikan fungsi integran b) Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap) c) Hitung : h = (b-a)/n a)/n d) Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h) e) Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1 n dengan gan indeks pertambahan sama dengan 2 sum = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h) f) Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b)) g) Tulis hasil perhitungan 4.5 Aturan Simpson 3/8 Aturan Simpson 3/8 diaaproksimasi dengan fungsi kubik
∫
b
a
3
f ( x)dx ≈ ∑ ci f ( xi ) = c 0 f ( x 0 ) + c1f ( x1 ) + c 2 f ( x 2 ) + c3f ( x 3 ) i =0
3h = [ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 )] 8
Gambar 4.12 Grafik Metode Simpson 3/8 41
Error Pemenggalan 3 5 ( 4) (b − a ) 5 ( 4) b−a h f (ξ ) = − f (ξ ) ; h = 80 6480 3 Algoritma: a) Definisikan fungsi integran b) Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus kelipatan 3) c) Hitung : h = (b-a)/n d) Inisialisasi sum = F (a) + 3 x F (a+h) + 3 x F (a+2h) e) Hitung untuk i = 3 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 3 sum = sum + 2 x F (a+ih) + 3 x F (a+(i+1)h) + 3 x F (a+(i+2)h) f) Hitung nilai integral I = 3h/8 x (sum + F(b)) Tulis hasil perhitungan Et = −
4.6 Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik 2 data diskrit, dengan batasan h sama dan Luas dihitung dari a sampai b, mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar. Oleh karena itu, diperlukan metode Integrasi Gauss. Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik: 1 −1 )+ f ( ) 3 3 −1 Algoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik: • Definisikan fungsi f(x) • Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) • Hitung nilai konversi variabel : 1 1 x = (b − a )u + (b + a ) 2 2 • Tentukan fungsi g(u) dengan: 1 g (u ) = (b − a ) f ( 12 (b − a )u + 12 (b + a ) ) 2 1 1 • Hitung L = g − + g 3 3 1
∫ f ( x)dx = f (
42
4.7 Beberapa Penerapan Integrasi Numerik Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar
Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. Pada gambar di atas, mulai si sisi si kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:
Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode: Dengan menggunakan metode integrasi Reimann 16
L = h∑ yi = 73.5 i =0
Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida 15 h L = y0 + y16 + 2∑ yi = 73.5 2 i =1 Dengan menggunakan metode integrasi Simpson h L = y0 + y16 + 4 ∑ yi + 2 ∑ yi = 74 3 i = ganjil i = genap Menghitung Luas dan Volume Benda Putar Luas benda putar:
L p = 2π ∫ f ( x)dx
Volume benda putar: Contoh :
b
a
b
V p = π ∫ [ f ( x)] dx 2
a
43
Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian • bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi bagi kembali ruangnya, • bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali. Bagian I: LI = 2π (4)(7) = 56π
2 dan VI = π (4)(7) = 196π
Bagian II: LII = 2π (12)(12) = 288π dan VII = 2π (12 )(12 ) = 3456π Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh: 2
Pada bagian II dan IV: LII = LIV dan VII = VIV Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh: LII ( LIV ) = 2π
4 h y + y + 2 yi = 108π ∑ 0 5 2 i =1
VII (= VIV ) = π
4 h 2 2 y + y + 2 yi2 = 1187.5π ∑ 0 5 2 i =1
Luas permukaan dari botol adalah: L = LI + LII + LIII + LIV = 56π + 108π + 288π + 108π = 560π = 1758.4 Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah: V = VI + VII + VIII + VIV = 196π + 1187.5π + 3456π + 1187.5π = 6024π Volume = 18924.78 cm3
Rangkuman 1. Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. 2. Metode Pendekatan Persegi Panjang ( Integral Reimann ) h
L = ∑ h . f(xk ) k =1
3.
Metode Trapesium
L=
n −1 h f(x 0 ) + 2 ∑ f(x k ) + f(x n ) 2 k =1
44
4.
Perumusan Aturan Simpson 1/3 diaproksimasi dengan fungsi parabola:
∫
2
f ( x)dx ≈ ∑ ci f ( xi ) = c0 f ( x0 ) + c1 f ( x1 ) + c2 f ( x2 )
b
a
i =0
h [ f ( x0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x2 )] 3 Aturan Simpson 3/8 diaaproksimasi dengan fungsi kubik =
5.
∫
b
a
3
f ( x)dx ≈ ∑ ci f ( xi ) = c 0 f ( x 0 ) + c1f ( x1 ) + c 2 f ( x 2 ) + c3f ( x 3 ) i =0
=
3h [ f ( x0 ) + 3 f ( x1 ) + 3 f ( x2 ) + f ( x3 )] 8
C. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan integral secara numerik diatas, kemudian coba aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman menggunakan bahasa pemograman MATLAB! D. Evaluasi Perbandingkan berbagai metode dengan metode Reimann, Trapezoid, dan aturan simpson untuk menghitung integral di bawah ini!
∫
2
0
x 4 dx ,
n=4
45
BAB V PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
A. Tujuan Kompetensi Khusus • •
Menyelesaikan Sistem Linear dengan beberapa metode dan menginterpreasikan hasilnya beserta algoritmanya. Menentukan Determinan dan invers matriks dan menginterpretasikan hasilnya beserta algoritmanya
B. Uraian Materi Kasus-kasus persamaan linier akan banyak ditemui dalam masalah rekayasa atau science baik dari cara analisis maupun hitungan rumusan model matematika permasalahan. Kasus yang terpenting adalah jika jumlah besaran atau variabel yang dicari sama jumlahnya dengan jumlah persamaan atau lazim disebut persamaan linear simultan. Terdapat beberapa metode yang akan dipelajari guna menyelesaikan persamaan linear simultan ini. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersamasama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:
dimana: aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan simultan xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan Penyelesaian persamaan linier simultan adalah penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Permasalahan persamaan linier simultan merupakan permasalahan yang banyak muncul ketika berhubungan dengan permasalahan multi-variabel dimana setiap persamaan merupakan bentuk persamaan linier atau dengan kata lain setiap variabel berpangkat paling besar satu. Persamaan linier simultan di atas dapat dinyatakan sebagai bentuk matrik yaitu :
atau dapat dituliskan:
46
Matrik A dinamakan dengan Matrik Koefisien dari persamaan linier simultan, atau ada yang menamakan dengan matrik Jacobian. Vektor x dinamakan dengan vektor variabel (atau vektor keadaan) dan vektor B dinamakan dengan vektor konstanta. Augmented Matrix ( matrik perluasan ) dari persamaan linier simultan adalah matriks yang merupakan perluasan matrik A dengan menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan dituliskan: Augmented (A) = [A B] Sehingga secara detail, augmented matrik dari persamaan linier simultan dapat dituliskan:
Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi: Tidak mempunyai solusi Tepat satu solusi Banyak solusi
Gambar 5.1 Grafik solusi persamaan linear
Contoh permasalahan 1: Seorang pembuat boneka ingin membuat dua macam boneka yaitu boneka A dan boneka B. Kedua boneka tersebut dibuat dengan menggunakan dua macam bahan yaitu potongan kain dan kancing. Boneka A membutuhkan 10 potongan kain dan 6 kancing, sedangkan boneka B membutuhkan 8 potongan kain dan 8 kancing. Permasalahannya adalah berapa buah boneka A dan boneka B yang dapat dibuat dari 82 potongan kain dan 62 kancing ? Permasalahan ini dapat dimodelkan dengan menyatakan : x = jumlah boneka A dan y = jumlah boneka B. Untuk setiap bahan dapat dinyatakan bahwa: Potongan kain 10 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 82 Kancing 6 untuk boneka A + 8 untuk boneka B = 62 47
Atau dapat dituliskan dengan : 10 x + 8 y = 82 6 x + 8 y = 62 Penyelesaian dari permasalahan di atas adalah penentuan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan di atas. Contoh permasalahan 2 : Diketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitu pada sisi luar. Bila ditentukan bahwa aliran panas bergerak secara laminar dan panas pada sebuah titik adalah rata-rata panans dari 4 titik tetangganya, maka dapat dihitung panas pada titik T1 dan T2 sebagai berikut:
Persamaan panas pada titik T1 dan T2 dapat dihitung dengan:
Persamaan linier simultan dari permasalahan di atas adalah:
Penyelesaian permasalahan di atas adalah nilai T1 dan T2 yang memenuhi kedua persamaan . Theorema 4.1. Suatu persamaan linier simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syaratsyarat sebagai berikut. 1) Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar, dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variable bebas. 2) Persamaan linier simultan non-homogen dimana minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol atau ada bn ≠ 0. 3) Determinan dari matrik koefisien persamaan linier simultan tidak sama dengan nol. Untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan persamaan linier simultan dapat dilakukan dengan menggunakan metode-metode analitik seperti pemakaian metode grafis, aturan Crammer, atau invers matrik. Metode-metode tersebut dapat dilakukan dengan mudah bila jumlah variabel dan jumlah persamaannya di bawah 4, tetapi bila ukurannya besar maka metode-metode di atsa menjadi sulit dilakukan, sehingga pemakaian metode numerik menjadi suatu alternatif yang banyak digunakan. Metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linier simultan antara lain: (1) Metode Eliminasi Gauss (2) Metode Eliminasi Gauss-Jordan (3) Metode Iterasi Gauss-Seidel
48
5.1 Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkan atau mengurangi jumlah variabel sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas. Untuk menggunakan metode eliminasi Gauss ini, terlebih dahulu bentuk matrik diubah menjadi augmented matrik sebagai berikut : a11 a12 a21 a22 ... ... an1 an 2
... a1n ... a2 n ...
...
... ann
b1 b2 ... bn
Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer).
a11 a 21 a 31 ... a n1
a12 a 22 a 32 ... an2
a13 a 23 a 33 ... an3
... ... ... ... ...
a1n a2n a3 n ... a nn
b1 b2 b3 ... bn
c11 c12 0 c 22 0 0 ... ... 0 0
c13 c23 c33 ... 0
... ... ... ... ...
c1n c2 n c3n ... cnn
d1 d 2 d3 ... d n
Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem yang baru yang mempunyai himpunan solusi yang sama dan lebih mudah untuk diselesaikan. Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut Operasi Baris Elementer 1. Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol 2. Mempertukarkan dua baris 3. Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya. Gauss menyelesaikan persamaan linear simultan melalui proses menghilangkan atau mengganti secara beruntun beberapa besaran yang dicari sampai sistem menjadi satu persamaan dengan satu besaran. Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui disebut persamaan PIVOTAL atau persamaan POROS. Jika telah diketahui nilai satu variabel, maka variabel lainnya diperoleh melalui proses substitusi ke belakang dengan menggunakan persamaan pivotal. Dalam penyelesaian numerik cara Gauss selalu ditentukan terlebih dahulu persamaan pivotal atau persamaan poros bagi variabel, yaitu persamaan yang mempunyai koefisien terbesar dari besaran yang akan dieliminasi. Apabila besaran yang akan dieliminasi secara berturut-turut adalah x1,x2, maka persamaan pivotal pertama diperoleh dari koefisien x1 mutlak yang terbesar. P Persamaan ini dipindahkan posisinya pada susunan baris pertama, sehingga koefisien yang terbesar berada pada lokasi diagonal a11. Persamaan pivotal kedua x2 dari hasil susunan persamaan pivotal pertama dipilih dari koefisien besaran x2 yang terbesar. Demikian seterusnya sehingga tersusun persamaan linear simultan dengan koefisien diagonal dapat ditulis sebagai berikut:
49
Tinjaulah contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan cara Gauss sebagai berikut. Persamaan linear dengan 4 besaran yang tidak diketahui disusun pada empat persamaan:
Besaran yang akan dihilangkan berturut-turut adalah x1, x2, dan x3. Karena koefisien x1 terbesar pada persamaan (3), ini merupakan persamaan pivotal pertama. Nyatakan x1 dari persamaan ini:
Masukkan nilai x1 ini pada persamaan (1), (2), dan (4):
Dari persamaan (6), (7), dan (8) terlihat koefisien terbesar x2 pada persamaan (6), sehingga ini merupakan persamaan pivotal kedua. Nyatakan x2 dari persamaan ini:
Persamaan (10) adalah persamaan pivotal ketiga, sehingga:
Isikan (12) ke (11) sehingga diperoleh:
50
Dengan cara subsitusi ke belakang, besaran x3, x2 dan x1 diperoleh dari persamaan (12), (9) dan (5). Dengan mengisikan nilai x4 ke persamaan (12) diperoleh x3 = 0.22636 dan dengan mengisikan nilai x3 dan x4 ke persamaan (9) didapat x2 = 0.208898, sehingga nilai x1 dapat diperoleh dari persamaan (5) dari x2, x3, da x4 yang telah diketahui, yaitu x1 = 1.038335. Hasil penyelesaian sistem :
Untuk memeriksa kebenaran keempat nilai di atas, masukkan nilai x1, x2, x3, dan x4 pada persamaan (1), (2), (3) dan (4). Terlihat bahwa cara Gauss menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan mengubah sistem persamaan yang diketahui menjadi persamaan pivotal sistem triangulasi. Dalam penyajian matriks, susunan akhir menjadi :
Dengan mudah dari matriks ini dihitung determinan, berupa perkalian nilai koefisien diagonal utama : D = 5.36 x 4.287538 x 1.47564 x (-3.117463) = -105.720. Dengan penjelasan dalam contoh di atas, Algoritma Program mengubah bentuk umum persamaan simultan :
51
Hal ini dilakukan melalui proses me-nol-kan kolom 1 sampai kolom n-1 di bawah posisi diagonal. Untuk tujuan ini dibutuhkan (n-1) tahapan proses. Setiap tahap k, k = 1, 2, ..., n-1 akan menghasilkan nilai 0 pada kolom k tanpa mengubah nilai 0 yang sudah ada pada kolom sebelumnya. Ini berarti bahwa pada setiap tahap dicari suatu pengali mik, dan kemudian dilakukan pengurangan hasil pengali dari baris persamaan pivoting yang ditinjau dengan persamaan dari baris lainnya sedemikian rupa sehingga diperoleh nilai nol. Untuk mendapatkan nilai nol pada kolom pertama di bawah diagonal elemen a11 pada contoh berikut:
Secara umum :
Pada proses perhitungan besaran ini sesungguhnya hanya ditinjau nilai j = k+1, k+2, .., n, karena besaran nol di bawah posisi diagonal tidak memerlukan perhitungan lanjut. Dengan substitusi ke belakang
52
dengan i = n-1, n-2, ..., 2, 1, akan diperoleh besaran variabel yang dicari. Elemen akk yang digunakan menghitung mik disebut elemen PIVOT. Pada tahap akhir penghitungan, determinan dunyatakan sebagai :
Sehingga jika ada pivot bernilai nol, berarti determinan |A| = 0. Ini menunjukkan invers -1 [A] tidak ada, dan tidak ada penyelesaian unik persamaan sebab solusi vektor x dicari dari -1 {x} = [A] {b}. Jika pada proses eliminasi nilai akk bernilai 0, tetapi elemen di bawahnya bukan 0, maka perlu modifikasi susunan baris, dengan pertukaran baris dalam matriks untuk mendapatkan pivot yang bukan bernilai 0. Proses ini disebut proses PIVOTING. Suatu pivot bernilai kecil sekali, dan sistem persamaan mempunyai nilai determinan yang kecil; sistem disebut berkondisi ill (ill conditioned); yang berarti solusi yang akan diperoleh tidak memberikan hasil yang besar. Penjelasan uraian ini dapat dilihat pada solusi dua persamaan berikut
yang dalam penyajiannya secara grafik hampir paralel. Solusi persamaan ini tidak stabil dan hasilnya dengan cara apa pun tidak akan memberikan nilai yang benar. Algoritma yang memberikan sifat tidak stabil harus dicegah dengan menetapkan syarat perlu :
Dengan ketentuan ini, prosedur pivoting perlu dimodifikasi pada tahap ke-k, sebelum dibentuk pengali mik dengan penyusunan baris baru sedemikian rupa untuk memperoleh nilai mutlak terbesar elemen dalam kolom k di posisi diagonal utama. Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan cara eliminasi Gauss : a). Masukkan nilai matriks [A] dan {b} yang membentuk persamaan simultan linear. b). Bentuk matriks gabungan [G] yang merupakan gabungan matriks [A] dan {b}. c). Lakukan eliminasi untuk me-nol-kan bagian segitiga bawah matriks. d). Lakukan substitusi mundur untuk mendapatkan hasil perhitungan. e). Tulis keluaran dan akhiri program.
53
Gambar 5.2 Flowchart Penyelesaian Numerik SistemPersamaan Linear 54
5.2 Metode Eliminasi Gauss Jordan Metode ini merupakan pengembangan metode eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal.
a11 a12 a 21 a22 a31 a32 ... ... an1 an 2
a13 a23 a33 ... an 3
... ... ... ... ...
a1n a2 n a3 n ... ann
1 0 0 ... 0
b1 b2 b3 ... bn
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 1
d1 d 2 d3 ... d n
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau: x1 = d1 , x2 = d 2 , x3 = d 3 ,...., xn = d n Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti metode eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari setiap baris. Contoh 1: Selesaikan persamaan linier simultan: x1 + x2 = 3
1 1 3 2 4 8 2 x1 + 4 x2 = 8 Penyelesaian dengan operasi baris elementer: 1 1 3 B2 − 2b1 0 2 2 1 1 3 B 2 / 2 0 1 1 1 0 2 B1 − B2 0 1 1
Penyelesaian persamaan linier simultan : x1 = 2 dan x2 = 1 Contoh 2: x + y + 2z = 9 2 x + 4 y − 3z = 1 3x + 6 y − 5 z = 0
1 1 2 9 2 4 − 3 1 3 6 − 5 0 9 1 1 2 0 2 − 7 − 17 0 3 − 11 − 27
B2-2B1
½ B2
9 1 1 2 0 2 − 7 − 17 3 6 − 5 0
B3-3B1
9 1 1 2 0 1 − 7 − 17 2 2 0 3 − 11 − 27
B3-3B2
55
1 1 2 0 1 − 7 2 0 0 − 12
9 − 172 − 32
1 0 112 0 1 − 7 2 0 0 1
− 3 35 2 17 2
-2 B3
B2 + 7/2 B3 B1 - 11/2 B3
1 1 2 0 1 − 7 2 0 0 1
9 − 172 3
B1- B2
1 0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3
Solusi x = 1, y=2 dan z=3 Secara umum prosedur me-nol-kan unsur pada posisi atas dan bawah diagonal dilakukan dengan pengali. bagi unsur di bawah pivotal dan dengan i = 2,3, ..., n dan l = k-1, k-2, ....., 1, dan
bagi unsur di atas pivotal,
Dengan hanya unsur diagonal matriks ≠ 0 dapat dilakukan normalisasi pada matriks. Hasil perhitungan langsung didapatkan pada kolom terakhir matriks. Bentuk matriks gabungan setelah normalisasi adalah sebagai berikut :
Algoritma Metode Eliminasi Gauss-Jordan adalah sebagai berikut: (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A (4) Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n (a) Perhatikan apakah nilai ai,i sama dengan nol : Bila ya : pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k,i tidak sama dengan nol, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan
56
(b) Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k dimana k=1 s/d n+1, hitung
(5) Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n Lakukan operasi baris elementer: untuk kolom k dimana k=1 s/d n Hitung c = aj,i Hitung a j,k = a j,k − c.ai,k (6) Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) xi = ai,n+1
5.3
METODE DEKOMPOSISI LU
Dari pembuktian matematika, jika suatu matriks [A] bukanlah singular sifatnya (ada penyelesaian yang unik :
triangular [L] dan [U]. [L] disebut matriks triangular bawah yang elemen matriksnya mempunyai nilai satu pada diagonal dan nilai 0 di atas diagonal, seperti :
[U] disebut matriks triangulasi atas dengan nilai elemen di bawah diagonal sama dengan 0. Dengan demikian : [A] = [L] [U] Bila persamaan linear yang simultan dinyatakan dalam matriks [A]{x} ={b}, maka mengisikan matriks [A] dengan [L] [U] menghasilkan [L][U]{x} ={b} (5.21)
57
Berarti terdapat dua sistem : [L] {z} = {b} untuk mencari {z}, dan [U] {x} = {z} untuk memperoleh {x}. Matriks [U] sama dengan matriks triangulasi yang diperoleh dari metode Gauss. Penyelesaian [U] {x} = {z} dilakukan dengan cara substitusi ke belakang, setelah diketahui nilai {z}, yang diselesaikan dari [L] {z} = {b}. Unsur elemen matriks [L] merupakan pengali dalam proses eleminasi Gauss, sehingga menyimpan pengali ini selama proses eliminasi menjadi dasar pembentukan matriks [L] dan [U]. Metode penyelesaian seperti ini disebut metode dekomposisi LU. Algoritma proses dekomposisi LU: a). Mendapatkan matriks [L] dan [U]. b). Menyelesaikan [L]{z} = {b}. c). Menyelesaikan [U]{x} = {z} Proses ini mempunyai syarat telah memasukkan prosedur pivotal. Selanjutnya, cara dekomposisi ini mempunyai keunggulan dari cara Gauss, yaitu untuk nilai {b} yang berbeda-beda cukup dilakukan satu kali penguraian matriks [A] ke [L][U]. Sebagai contoh, ditinjau proses dekomposisi LU untuk menyelesaikan persamaan 3x1 + 2x2 - 5x3 = 8 5x1 - 2x2 + 3x3 = 5 x1 + 4x2 - 2x3 = 9 Dalam bentuk matriks :
Dari persamaan awal terlihat perlu dilakukan proses pivotal untuk koefisien x1
yang diubah susunannya menjadi
Karena proses dekomposisi LU pada matriks A, cukup ditulis
Proses pertama ialah menghilangkan elemen di bawah a11 menjadi nol. Secara umum:
58
Susunan baru [A] :
Dari susunan unsur tidak ada perubahan pivotal untuk meneruskan proses triangulasi.
59
sedangkan [L] ialah
Dekomposisi [A] = [L][U]
Penyelesaian dari persamaan menjadi :
Dari langkah (a), vektor {b} dapat mempunyai nilai yang berbeda, sehingga vektor {z} sebagai vektor antara mendapatkan nilai vektor {x} menjadi fasilitator penyelesaian persamaan bagi berbagai nilai vektor {b}. []{}{}bxA= Metode dekomposisi LU banyak dipakai dalam pemrograman solusi analisis sistem yang baku, yang unsur matriks [A] tetap, tetapi unsur vektor {b} yang terkait dengan pengaruh luar terhadap sistem mempunyai beberapa variasi. Algoritma Program Algoritma penyelesaian persamaan simultan linear dengan metode dekomposisi LU: a). Masukkan nilai matriks [A] dan {b}. b).Lakukan dekomposisi matriks [A] (algoritma diberikan selengkapnya pada Bagan Alir Program program). c). Lakukan substitusi ke depan. d). Lakukan substitusi ke belakang untuk mendapatkan penyelesaian persamaan. e). Tulis keluaran dan akhiri program.
60
5.4 Metode Iterasi Gauss-Seidel Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah. Bila diketahui persamaan linier simultan: a11
x1
+
a21 a31 ... an1
x1 x1 ... x1
+ a22 + a32 ... ... + an 2
a12
x2
+
a13
x2 + a23 x2 + a33 ... ... ... x2 + a n 3
x3
+ ... +
x3 + ... x3 + ... ... ... ... x3 + ...
a1n
+ a2 n + a3 n ... ... + ann
xn
=
b1
xn = b2 xn = b3 ... ... ... xn = bn
Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n) kemudian persamaan linier simultan diatas dituliskan menjadi: x1 =
1 (b1 − a12 x2 − a13 x3 − .... − a1n xn ) a11
x2 =
1 (b2 − a21 x1 − a23 x3 − .... − a2n xn ) a2 2
............................................................... xn =
1 (bn − an1 x1 − an 2 x2 − .... − ann−1 xn−1 ) ann
Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. Untuk mengecek kekonvergenan :
Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini. Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada semua persamaan di diagonal utama (aii).Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi pada diagonal utama. Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar. x1 + x2 = 5 2 x1 + 4 x2 = 14
Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0. Susun persamaan menjadi:
61
Nilai interasi ke-7 sudah tidak berbeda jauh dengan nilai interasi ke-6 maka proses dihentikan dan diperoleh penyelesaian:
Algoritma Metode Iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut: (1) Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n (2) Tentukan batas maksimum iterasi max_iter (3) Tentukan toleransi error ε (4) Tentukan nilai awal dari xi, untuk i=1 s/d n (5) Simpan xi dalam si, untuk i=1 s/d n (6) Untuk i=1 s/d n hitung :
(7) iterasi iterasi+1
62
(8) Bila iterasi lebih dari max_iter atau tidak terdapat ei <ε untuk i=1 s/d n maka proses. proses dihentikan dari penyelesaiannya adalah xi untuk i=1 s/d n. Bila tidak maka ulangi langkah (5) 5.5 Contoh Penyelesaian Permasalahan Persamaan Linier Simultan Contoh 1. Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10 blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1 dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia 80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2. Model Sistem Persamaan Linier : Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap: x1 adalah jumlah boneka A x2 adalah jumlah boneka B Perhatikan dari pemakaian bahan : B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80 B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36 Diperoleh model sistem persamaan linier 10 x1 + 5 x2 = 80 2 x1 + 6 x2 = 36 metode eliminasi Gauss-Jordan Gauss
Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat 6 boneka A dan 4 boneka B. Contoh Kasus 2: Permasalahan aliran panas pada plat baja Diketahui panas beberapa titik pada plat baja yaitu pada sisi luar. Bila ditentukan bahwa aliran panas nas bergerak secara laminar dan panas pada sebuah titik adalah rata-rata rata panas dari 4 titik tetangganya, maka dapat dihitung panas pada titik T1 dan T2 sebagai berikut:
63
Persamaan panas pada titik T1 dan T2 dapat dihitung dengan:
Sistem persamaan linier dari permasalahan di atas adalah:
Penyelesaian dengan menggunakan iterasi Gauss-Seidel, terlebih dahulu ditentukan nilai pendekatan awal T1=0 dan T2=0 dan fungsi pengubahnya adalah :
Diperoleh hasil perhitungan untuk toleransi error 0.0001 sebagai berikut:
Jadi temperatur pada T1=23,3333 dan T2=43,3333
C. Rangkuman 1. Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut:
64
2.
3. 4.
5. 6. 7.
8.
Persamaan Linier Simultan atau Sistem Persamaan Linier mempunyai kemungkinan solusi: • Tidak mempunyai solusi • Tepat satu solusi • Banyak solusi Metode eliminasi gauss, adalah suatu metode dimana bentuk matrik di atas, pada biagan kiri diubah menjadi matrik segitiga atas atau segitiga bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Operasi Baris Elementer • Mengalikan persamaan dengan konstanta kecuali nol • Mempertukarkan dua baris • Menambahkan perkalian suatu baris pada baris lainya. Persamaan yang menyatakan satu variabel yang tidak diketahui disebut persamaan PIVOTAL atau persamaan POROS Suatu pivot bernilai kecil sekali, dan sistem persamaan mempunyai nilai determinan yang kecil; sistem disebut berkondisi ill (ill conditioned); yang berarti solusi yang akan diperoleh tidak memberikan hasil yang besar. Dekomposisi LU
Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah
D. Tugas Pilihlah satu metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear secara numerik diatas, kemudian coba aplikasikan algoritmanya dalam sebuah bahasa pemograman menggunakan bahasa pemograman MATLAB! E. Evaluasi Perbandingkan metode Eliminasi Gauss, Iterasi Gauss-Seidel, dan Aturan Cramers dalam menyelesaikan persamaan linear di bawah ini:
x1 + 2 x 2 + 3 x3 = 14 − 2 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 10 5 x1 − 8 x 2 + 6 x3 = 7
65
DAFTAR PUSTAKA
Numerical Analysis Using Matlab and SpreadSheets. Steven T. Karris. Orchard Publications P. L. DeVries, A First Course in Computational Physics (John Wiley & Sons, Inc., New York, 1994) Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil. Amriyansyah Nasution dan Hasballah Zakaria. Penerbit ITB.2001 Metode Numerik Sebagai Algoritma Komputasi. Slide Nana Ramadijanti Metode Numerik. Diktat ajar Irfan Subakti MODUL 8 Interpolasi dan Regresi. Diktat ajar Zuhair
A. Pustaka Anton, Howard. Dasar-dasar Aljabar Linear Jilid 2 Edisi 7. 2000. Penerbit Interaksara. Jakarta Buku Ajar Aljabar Linear Oleh Yuliant Sibaroni 2002 Aljabar Linier Elementer. Mahmud ’Imrona. 2002 PAUL CALTER, 1979, Theory and Problems of Technical Mathematics, Schaum’s outline, Mc GRAW.HILL BOOK COMPANY Slide: AgusSoft, dll. Gilbert Strang, Linear Algebra and its Applications, second edition, Harcourt Brace Jovanovich, 1980. Evar D. Nering, Linear Algebra and Matrix Theory, second edition, John Wiley, 1970. Serge Lang, Linear Algebra, Addison-Wesley, 1966.
66
