Trigonometría
..Dpto. Pedagógico TRILCE ..Derechos de Edición Asociación Educativa TRILCE Tercera Edición, 2007. Todos los Derechos Reservados. Esta publicación no puede ser reproducida, ni en todo ni en parte, ni registrada en, o transmitida por, un sistema de recuperación de información, en ninguna forma y por ningún medio, sea mecánico, fotoquímico, electrónico, magnético, electroóptico, por fotocopia, o cualquier otro, sin el permiso previo de la editorial.
Trigonometría INTRODUCCIÓN La Trigonometría es una parte de las Matemáticas que trata de relacionar los ángulos y los lados de un triángulo; fue iniciada por Hiparco, aproximadamente el año 150 a. C. Tiempo después, Tolomeo siguió con estos estudios, basándose en sus estudios y de otros personajes de la Astronomía, para crear su sintaxis Matemática l lamada Almagesto. Hoy en día, los ingenieros y los físicos ocupan muchas de estas herramientas trigonométricas en su diario actua r, sin quizás conocer quién las crea y cuál es su historia, la cual vamos a presentar a continuación. Este texto de Trigonometría describe, en general, los temas que constituyen un cur so de Trigonometría plana de nivel preuniversitario. Supone el conocimiento, por parte del estudiante, de los principios básicos de Geo metría Elemental, Álgebra y Aritmética. Este libro responde a una necesidad que hemos sentido agudamente todos los que n os avocamos a la enseñanza de las Matemáticas en las aulas de la academia o colegio de TRILCE. La experiencia nos ha demostrado que el aprendizaje de las matemáticas, requiere no solamente de conocimientos teóricos, sino fundamentalmente de la capacidad de resolver situaciones matemáticas, denominadas, ejercicios o problemas. La práctica constante de resolver ejercicios y problemas es la única manera de profu ndizar y cimentar los conceptos teóricos bien aprendidos, es por ello que en el desarrollo del libro, ustedes debe rán tener en cuenta las sugerencias planteadas y analizarlas. En cuanto a su estructura, el libro se desdobla en capítulos y en todos ellos, pri mero se aborda la parte teórica, la cual se da en forma de tabla o cuadro sinóptico, y un resumen de formulas y resultados est rechamente relacionados. Una larga experiencia ha convencido a los autores de que para los estudiantes es una gran ayuda el uso de tales resúmenes ya que resulta, a inicios, un tanto difícil el manejo sistemático de todas las fórmulas . Cada capítulo contiene 60 problemas, los cuales están dosificados de menor a mayor g rado de dificultad, los primeros 20 son ejercicios de aplicación directa, dados con la intención de afianzar el uso de l os conceptos teóricos, los siguientes 20 problemas son preguntas de exámenes de admisión planteadas en las diversas universidades del m edio (UNI, UNMSM, UNAC y PUCP) y los 60 problemas restantes son de mayor grado de dificultad que requieren en algunos casos de algunos conceptos de Álgebra o Geometría. De esta manera el libro se hace didáctico y motivará al alumno los deseos d e aprender, yendo de lo más simple a lo más complejo. Comenzamos por tratar el uso de las unidades angulares, y sus equivalencias, par a poder aplicarlas al cálculo de una longitud de arco de circunferencia, como también el área de un sector circular y alg unos casos más, como es la determinación de la
cantidad de vueltas que gira una rueda o dos poleas o más que están trabajando en un sistema. Después, nos introducimos a la columna vertebral de la Trigonometría que es el estud io de las razones trigonométricas; primero para un ángulo agudo y luego para un ángulo que posea cualquier medida, dete rminaremos dentro de ellos los valores de cada una de ellas por medio del estudio analítico y su representación mediante segme ntos de recta dirigidos en la circunferencia trigonométrica Esta parte es fundamental ya que los temas siguientes tratarán sobre las diversas identidades que las relacionan, las cuales por cierto son muy numerosas, y que sólo con la constancia en la práctica se podrán do minar, porque un mal entendimiento de los primeros temas conducirá, inevitablemente, a dificultades continuas en las partes más avanzadas. Dentro de las identidades, clasificaremos a aquellas que son imprescindibles, a las cuales llamaremos, identidades básicas, y otras que son menos importantes; pero se dan con el fin que nos permita resolver situaciones matemáticas de un modo mucho mas breve. Seguidamente, le daremos uso a todo el bloque de las identidades en el estudio d e las funciones trigonométricas ya sea en las funciones directas e inversas: al hacer el cálculo de sus dominios y rangos , al resolver una ecuación e inecuación trigonométrica o al resolver problemas de figuras geométricas, tan solo con el uso de las razones trigonométricas que relacionan sus elementos. Finalmente, culminaremos con los temas de: vectores, la línea recta, cónicas (circun ferencia, parábola, elipse e hipérbola), en sus posiciones horizontal y vertical. Para el estudio de éstas, en su posición ob licua, abordaremos el tema de la transformación de coordenadas. Y terminamos con la aplicación de los números complejos a la Trigono metría. Tenga presente que el objetivo en el estudio de las Matemáticas no es mecanizarse, sino en saber aplicar correcta y lógicamente una determinada definición, propiedad o teorema a cada problema que se e sté resolviendo. Solo así, el estudiante encontrará en las Matemáticas una recreación amena y ágil .
TRILCE 9 Capítulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 1 DE UN ÁNGULO AGUDO - I DEFINICIÓN: Son los resultados que se obtienen al dividir los lados de un triángulo rectángulo. En el triángulo adjunto, tenemos: A B C b a c a y c : catetos b : hipotenusa B : recto A y C : s agudos a2 . c2 . b2 A + C = 90º A los resultados así obtenidos se les asigna un nombre asociado a uno de los ángulos agudos del triángulo. Así en el gráfico; para A tenemos: a : cateto opuesto (CO) b : hipotenusa (H) c : cateto adyacente (CA) Luego se definen : b a H SenA . CO . b c H CosA . CA . c a CA TanA . CO . a b CO CscA . H . c b CA SecA . H . a c CO CotA . CA . Por ejemplo: 13 5 12 . 5 ; Cot 12 13 Cos 12 12 ; Tan 5
13 Sen 5 . . . . . . . . * TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE ÁNGULOS NOTABLES: Son aquellos triángulos rectángulos en los c uales conociendo las medidas de sus ángulos agudos se pude establecer la proporción en la que se encuentran los lados de dicho triángulo. Dos de los más usados son : 45º 45º 1 1 2 30º 60º 1 2 3 Mientras que uno aproximado, pero reconocido por sus diversas aplicaciones es el de 37º y 53º. 37º 53º 5 3 4
Trigonometría 10 A partir de estos se determinarán otros adicionales como: 22º30' 67º30' 1 4 + 2 2 2 +1 15º 75º 6 - 2 4 6 + 2 18º30' 71º30' 1 10 3 26º30' 63º30' 1 5 2 8º 82º 1 7 16º 74º 7 25 24 5 2 No olvide además: 30º 37º 45º 53º 60º Sen 2 1 5 3 2 2 5 4 2 3 Cos 2 3 5 4 2 2 5 3 2 1 Tan 3 3 4 3 1 3
4 3 Cot 3 3 4 1 4 3 3 3 Sec 3 2 3 4 5 2 3 5 2 Csc 2 3 5 2 4 5 3 2 3 * PROPIEDADES: I. Las razones trigonométricas de un ángulo; dependerán de la medida de dicho ángulo y n o de los lados del triángulo rectángulo en que se ubique. Por ejemplo: . A Q M P N B C Iguales AC Sen BC AN Sen MN AQ Sen PQ . . . . . . . . . . . . . . . II. R. T. Recíprocas: Se nota claramente, de las definiciones de las razones trigo nométricas de un ángulo agudo, que existen tres parejas que son una la recíproca inversa de la otra, por lo que su pr oducto es siempre igual a 1. Estas parejas son las siguientes: Sen.Csc. . 1 Cos.Sec. . 1 Tan.Cot. . 1 Note que los ángulos agudos, deben ser iguales. Por ejemplo si nos dicen que : Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1; para calcular "x" diremos : Tan(3x - 10º) . Cot(x + 30º) = 1 . 3x - 10º = x + 30º . x = 20º III. R. T. de Ángulos Complementarios: Cuando se calculan las razones trigonométrica s de los 2 ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se puede notar que existen ciertas parejas de éstas que to man el mismo valor. Esta característica la vamos a indicar de la siguiente manera:
TRILCE 11 Si: son agudos; tales que: + = 90º entonces: . . . . Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc . . . . . . Por ejemplo: Sen10º = Cos80º Tan20º = Cot70º Sec40º = Cos 50º Cos24º = Sen 66º Tan = Cot (90º ) Sen( + 10º) = Cos (8 ) . ... . 0º ... Si: son agudos; tales que: entonces: . . . ....= 90º Sen = Cos Tan = Cot Sec = Csc . . . . . . Por ejemplo: hallar "x", si: Sen (2x + 10º) = Cos3x 2x + 10º + 3x = 90º 5x = 80º x = 16º Otro ejemplo; hallar "x" si: Tan (2x + y) = Cot (x - y) o 2x + y + x . y = 90º 3x = 90º x = 30º
Trigonometría 12 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Si " . " es la medida de un ángulo agudo y se cumple que: 3 Tg. . 2 ; calcular: T . 13Sen. .12Cot. a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 02. En un triángulo rectángulo ABC recto en "C" se cumple que: 4SenA=7SenB; calcular: E . 65Sen2A . 42TgB a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 03. El perímetro de un triángulo rectángulo es 150u y la cosecante de uno de los ángulos agudos es 2,6. Calcular la longitud del mayor cateto. a) 20 u b) 30 u c) 40 u d) 50 u e) 60 u 04. Del gráfico mostrado, calcular: "Cot..Cot." . . A B E C F 2a a a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3/2 05. Del gráfico mostrado, calcular: " Tg. . Tgw" , si: ABCD es un cuadrado. A B C D E . 2a 3a w a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 06. Del gráfico, calcular: "Cot." , si: Cot. . 2,4 A B C E D . . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 07. Del gráfico, calcular: " Tg." , si: 12 Tgw . 5 w . a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5 08. Calcular: 3 3Cos 6 6Sen
4 E . 4Tg . . . . . a) 5,5 b) 6,5 c) 7,5 d) 8,5 e) 9,5 09. Calcular: 2Tg 30º Sec 45º E Cot 30º.Sec60º.Cot45º 2 2 2 . . a) 2 b) 2,25 c) 2,5 d) 2,75 e) 3 10. Del gráfico, calcular: Cot. . A O B E F 37º a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 11. Si ABC es un triángulo equilátero, calcular: " Tg." A B C M 8 N 2 . a) 5 3 b) 5 2 3 c) 7 3 d) 7 2 3 e) 7 3 3
TRILCE 13 12. Del gráfico mostrado, calcular: 11Tan. A B C E D . F 45º 37º a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 13. Del gráfico mostrado, calcular: "Cotw" . a 4a w 45º a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 14. Del gráfico mostrado, calcular: " Tg." , si: ABCD es un cuadrado. A B C D . E F 37º a) 3/4 b) 3/7 c) 4/7 d) 3/5 e) 3/8 15. Si se cumple que: Sen2x = Cos3x para "x" agudo, calcular: E = 4Tg(2x+1º)+3Tg(3x-1º). a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 16. Si se cumple que: Sen(3x-17º)Csc(x+13º) = 1 Calcular: E = Csc2x+Cot3x+Sec4x a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 17. Calcular: E = (3Tg10º+8Cot80º)Cot10º a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 18. Calcular: E = (5Sen20º+3Cos70º)(5Csc20º-2Sec70º) a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 19. Sabiendo que: Tg(3x-10º)Tg40º = 1 Calcular: E = 3Sec3x+5Sen(2x-3º) a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 20. Si: SenxSecy = 1, con x e y agudos. Calcular: ).Tgx.Tgy 3 ).Cot(x y 2 E . Tg(x . y . a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 21. En un triángulo rectángulo, los lados menores miden 3 cm y 5 cm. Si el menor ángulo agudo de dicho triángulo mide " . ". Halle el valor de: W . 17Sen2. .1 a) 1,5 b) 2,5 c) 3,5 d) 4,5 e) 5,5
22. En un triángulo ABC, recto en C, se sabe : 3 2 SecB SecA . Calcular : E . 13 .CosA . 3 .CtgB a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 23. En un triángulo rectángulo, el Coseno de uno de sus ángulos agudos es 0,96. Si su hipotenusa mide 50 m. Hallar el perímetro de dicho triángulo. a) 112 m b) 224 m c) 96 m d) 52 m e) 412 m 24. Calcule el área de la región triangular ABC . Donde: AC = 36m; si, además CscA . 17 . CscC . 26 a) 72 m2 b) 144 m2 c) 108 m2 d) 18 m2 e) 360 m2 25. El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los ángulos agudos es 2,4. ¿Cuánto mide el cateto menor? a) 13 m b) 33,8 m c) 50 m d) 56,33 m e) 55 m
Trigonometría 14 26. De la figura, hallar (Tan. . 2)2 . m n 2 mn a) 1 b) 4 c) 2 d) 3 e) 0 27. Determinar la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que la suma de sus catetos es 6 m y el producto de los Senos de los ángulos agudos es 0,22. a) 3 m b) 4 m c) 5 m d) 6 m e) 7 m 28. Del gráfico, calcule : Tan. . Si: BN = 2AN A N B C 45º . M a) 0,25 b) 0,5 c) 0,6 d) 0,8 e) 0,75 29. Si en el gráfico : AB = BC. Calcule: Tan. A B C . 53º M a) 9 2 b) 9 4 c) 3 2 d) 3 1 e) 5 2 30. Del gráfico, obtener Tan. M 37º A O B . a) 3 4 b) 4 3 c) 4 5 d) 3 2 e) 5 4 31. Si: n 1 2 Cos 2n
Tan 3n f Csc (x) . . . . . . . . Calcular: f(2) a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 0 32. Si en el triángulo ABC, equilátero, M, N y P son puntos medios de AB, BC y AC, respectivamente. Además: NQ = 2QP Calcular: . . . . . Tan K 7Tan 5Tan A P C B M N . Q . . a) 3 b) 4 c) 6 d) 8 e) 14 33. Si: 2 x . . . . y (Tanx) 2 1 Sen 3 . .. El valor de "q" es: 1 Ctg x q 1 Tan x 2 2 . . . a) 2 b) 3 2 c) 3 d) 2 1 e) 3 1 34. Del gráfico, calcular: Cot. Si: ABCD: cuadrado. A B C D 37º . a) 6 b) 12 c) 9 d) 18 e) 14
TRILCE 15 35. Si: Sen 3x . Cscy = 1 Tan(2x + 20º) = Ctg(y + 10º) Determinar "y - x" a) 12º b) 18º c) 20º d) 24º e) 32º 36. Si: Tgx . Tgy = 1 Determinar: .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . 3 Sec2 x y 3 Tan x y 2 E Sen x y a) 3 6 b) 6 6 c) 1 d) 3 5 e) 6 2 37. Calcular: E = 4Sen20º (Csc20º + 2Sec70º) a) 12 b) 10 c) 8 d) 6 e) 16 38. Calcule el valor de la expresión: Csc10º Csc20º Csc30º ... Csc80º W Sec10º Sec20º Sec30º ... Sec80º . . . . . . . . . a) 1 b) 2 c) 2 d) 3 e) 3 . 2 39. Hallar los ángulos agudos . y . tales que: Tan(3. . 35º ) . Ctg(90º..) 2. . . . 15º a) 11º y 10º b) 15º y 13º c) 20º y 17º30' d) 35º y 25º e) 17º y 16º 40. Siendo: Sen(2x+y) . Sen(x-y+10º) = Cos (x+2y) . Cos (80º x + y)
Calcule: K = Cot(x+y) . Cot(5x-2y) . Cot(5y-2x) a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 e) 3 3 41. Se tiene dos circunferencias tangentes exteriormente con radios R y r. Calcular el cuadrado de la cotangente del ángulo formado por la recta tangente a ambas circunferencias y la recta que une los centros. a) (R r)2 4Rr . b) (R r)2 4Rr . c) (R r)2 2Rr . d) (R r)2 2Rr . e) (R r)2 Rr . 42. Se tiene un triángulo rectángulo con catetos a y b. Hallar su área en términos de "m" si: 6 2Sen 3 a . t2 . tSec . . . 3 2Cos 6 b . t2 . tCsc . . . 2 m2 4 Tan mt 2 t . .. . .. . . . a) m2 .1 b) 2 2 2 m 1 . . . . . . . . . c) 2 2 2 m 1 . . . . . . . . .
d) 2 (m2 .1)2 e) m2 . 1 43. En la figura, calcular el valor de x, si se cumple la siguiente condición: Tan(30º..) . Ctg(30º.3.) . 0 20m . . x a) 10 2 m b) 10 m c) 5 3 m d) 5 m e) 10 3 m 44. Una semicircunferencia de radio (1 . 3) cm. se divide en treinta arcos iguales. Calcular la proyección del arco comprendido entre la quinta y décima división sobre el diámetro horizontal en centímetros. a) 4 1 b) 2 1 c) 1 d) 4 5 e) 2 45. Si para un observador en la Tierra, el Sol aparece bajo un ángulo de 32' y si la distancia del observador a la superficie de Sol es 150 millones de kilómetros. Determinar el radio del Sol en millones de kilómetros sabiendo que: Sen16' = 0,00465
Trigonometría 16 a) 0,70 b) 0,819 c) 1,395 d) 2,629 e) 1,402 46. En un triángulo isósceles, las medianas trazadas de sus vértices de ángulos iguales se intersecan perpendicularmente. Entonces, el Coseno de uno de los ángulos iguales es: a) 3 1 b) 2 1 c) 2 3 d) 10 1 e) 2 3 1 47. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P" en direcciones que forman un ángulo " . " uno a 5 km/h y el otro a 12 km/h. Calcular el Cos. sabiendo que al cabo de 1 hora la distancia desde el punto "P" al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km. a) 8 5 b) 16 7 c) 80 3 d) 40 9 e) 25 13 48. En el trapecio ABCD : BC // AD. Si: AB = BC = 8; CD = 15 y AD = 25 y la medida del ángulo D A D C . ; el valor de: K = CscD + CtgD ; es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 49. En un triángulo rectángulo ABC ) º 90 B ( . señale el equivalente de: .. . .. . . . .. . .. . . . . 1 2 1 TanA Cot A 2 K TanA Tan A a) Sen2A b) Cos2A c) Tan2A d) Cot2A e) Sec2A 50. Si: 3. es un ángulo agudo, tal que:
5 Cot3. . 2 Calcule: K . 5Csc. . 6Cos2. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 51. Si los triángulos ABC, CDE y EFG son equiláteros. Calcule: Tany Tanx Si: 2 EG 3 AC . CE . A B C D E F M N x y G a) 66 35 b) 77 65 c) 72 55 d) 11 13 e) 7 5 52. Del gráfico, hallar: Tan. m n . A B C D E F p a) n m n p . . b) n p n m . . c) m n m p . . d) m p m n . . e) p n p n . .
53. Si: Tan(x+10º)+Tan(y+10º)=Cot(x+10º)+Cot(y+10º) 2 Sen(100º 4y) Cos(x y) Cos(4y 10º ) . . . . . Calcular: Cos(x y 10º ) K Sec (x 10º ) Sec 3y 2 2 . . . . . a) 4 b) 8 c) 16 d) 24 e) 32 54. Del gráfico, calcular: K . 2 3Cot. . 5Tan. Si: CD se dibuja con centro en "E" 60º . . B C A D P Q E a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 10
TRILCE 17 55. En el cuadrado ABCD; calcular: K . 3Tan. . 9Tan. . . B C A D E 8º a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 56. Sabiendo que: Tan(40º+x) . Sen(50º-x) = Cos(10º+x) ..... (1) Tan(2x-5º) . Tany = Tan1º . Tan2º . Tan3º ...... Tan 89º Calcule: W . Sec2(2x . 5º ). Tan2(y . 5º ) . Csc2 (y . x . 5º ) a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 57. En el cuadrado ABCD, calcular: W . 2 2Cos. . 5Cos. Si: AE = AF; CM = CN y CF = 3FD M A B C D . F . N E a) 11 b) 13 c) 4 6 d) 19 e) 17 58. Sabiendo que: .. . .. . . . . . 2y 2 Sen(2x y 20º ) Cos 3x 3y 1 4 3y Tan x 2 Tan x . .. . .. . . .. . .. . . Calcule: W . Csc2(x . y) . Csc23y a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 5 59. Del gráfico calcular: W . (Csc. . 1)(Csc. .1)(Csc. . 1)(Csc. . 1) O1 O2 O3 . . . .
a) 4 b) 9 c) 16 d) 81 e) 100 60. Del gráfico calcule: W . (Sec. .1)(Sec. .1). Cos. . Cos. Siendo "A" centro del arco BD. . . D T O A C B a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 2 3
Trigonometría C CCl lla aav vve ees ss 01. 02. 03. 04. . b 06. 07. 08. 09. . b 11. 12. 13. 14. . c 16. 17. 18. 19. . c 21. 22. 23. 24. . d 26. 27. 28. 29. . e
e d e c
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
c d e b d a a a e d a d b c a d d d
e c d b d c b c a b c e c e a a d c e b
49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 18
e c b a c e d d e c c c
TRILCE 19 Capítulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 2 UN ÁNGULO AGUDO - II * CÁLCULO DE LADOS: Es el procedimiento mediante el cual se determinan los lados f altantes de un triángulo rectángulo, en términos de un lado que sí se conoce; y de un ángulo agudo que también se c onoce. Criterio: R.T.( conocido) Lado conocido Lado desconocido . . Casos: 1. . A B C L . Tan. . BC . L BC . . AC . L AC I) II) 2. . A B C L . Cot. . AB . L AB . . AC . L AC I) II) 3. . A B C L . Sen. . BC . L BC . . . L AB I) II)
Trigonometría 20 * SUPERFICIE DE UN TRIÁNGULO: La superficie de un triángulo se puede calcular como e l semiproducto de las medidas de dos de sus lados, multiplicados por el Seno del ángulo que forman dicho s lados. a b c A B C h 2 S b h ABC . . 2 S b aSenC ABC . . Sabemos: pero: h = aSenC luego: SenC 2 S ab ABC . SenB 2 S ac ABC . SenA 2 S bc ABC . Análogamente
TRILCE 21 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Hallar el área del triángulo, de la figura mostrada: . K a) K2Sen..Cos. b) (K2 / 2)Sen..Cos. c) (K2 / 3)Sen..Cos. d) (K2 / 4)Sen..Cos. e) (K2 / 5)Sen..Cos. 02. En un triángulo isósceles ABC (AB=BC) se sabe que los ángulos congruentes miden " . " mientras que el lado desigual mide "L". Hallar uno de los lados congruentes. a) Sec. 2 L b) Csc. 2 L c) Tg. 2 L d) Ctg. 2 L e) Cos. 2 L 03. Obtener "x", en: . m a) mSen . b) mCos . c) mSec . d) mCsc . e) mTg . 04. Obtener "x" A B O R . H x a) R(1 . Sen.) b) R(Sec. .1) c) R(1 . Cos.) d) R(Csc. .1) e) R(1 . Tg.) 05. En la figura, halla "x". A B C m n . x . a) mSen. . nCos. b) mCos. . nCos. c) mCos. . nSen. d) mSec. . nSec. e) mSen. . nSec. 06. Halla "x" en: A C B D x m
. a) mSec.Tg. b) mCos.Csc. c) mCos.Ctg. d) mSen.Cos. e) mTg. 07. Halla "x": m . . x a) mSen..Cot. b) mSen..Tan. c) mSen..Sen. d) mCos..Cot. e) mCos..Tan. 08. Hallar "x": B A D m C H x . a) mSen2. b) mCos 2. c) mSen.Cos. d) mSen.Tg. e) mSec.Csc.
Trigonometría 22 09. Hallar "x", de la figura: x m . a) mSen..Cos. b) Sen..Cos. c) mSen. d) mCos. e) mTg. 10. Del gráfico, hallar: AC . B C A m n x y a) mSenx+nSeny b) mCosx+nSeny c) nSenx+mCosy d) mCosx+nCosy e) mSeny+nCosx 11. Del gráfico, hallar "x", si: ABCD es cuadrado. A B D C . x m a) m(1 . Sen.) b) m(1 . Cos.) c) m(1 . Tg.) d) m(1. Ctg.) e) m(Tg. . Ctg.) 12. Obtener "AB": A C B R O . a) R(Csc. . Ctg.) b) R(1 . Ctg.) c) R(1 . Csc.) d) R(1 . Sen.) e) 2R+1 13. Hallar "x", siendo "O" centro del sector AOB. A B O R . x a) RSen. b) RCos. c) R(1 . Sen.) d) R(1 . Cos.) e) R(1 . 2Cos.) 14. Hallar "x". m . x . a) mSen.Sen. b) mSen.Cos. c) mCos.Cos. d) mCos.Sen. e) mTg.Ctg. 15. Hallar la distancia mínima del punto "P" a la circunferencia: P 2. R a) RCsc. b) R(Csc. .1)
c) R(Tg. .1) d) R(Ctg. .1) e) R(Csc. .1) 16. Determine "x" en: . A C D B . m x a) mSen..Cos. b) mSen..Sec. c) mSen..Ctg. d) mCos..Ctg. e) mCos..Tg.
TRILCE 23 17. Hallar "x". A B C D . a b x a) Sen. . aCos. b) bSen. . Cos. c) bSen. . aCos. d) aSen. . bCos. e) aSec. . bTg. 18. Determine el perímetro del triángulo ABC. A . B C m a) m(1. Sen. . Cos.) b) m(1. Sec. . Tg.) c) m(1 . Csc. . Ctg.) d) m(1 . Sec. . Csc.) e) m(1. Tg. . Ctg.) 19. Hallar: "x" en: . m x a) mCtg.Cos. b) mTg..Cos. c) mTg.Sen. d) mTg. e) mSen. 20. Del gráfico, hallar: "Ctgx". x . a) . . . . Sen 2Sec Cos b) . . . . Sen Sen Cos c) . . . . Sen Sec Cos d) . . . . Cos Csc Sen e) . . . . Sen Sec Cos 21. Del gráfico, determine "x". . m x a) m. Sen. b) m.Cos. c) m. Sec. d) m.Csc. e) m.Tan.
22. Determinar CD . . . A B C D m a) mTan. . Sen. b) mCtg. .Cos. c) mTan. .Cos. d) mTan..Csc. e) mCtg. . Sen. 23. Del gráfico, hallar "x". . m 45° x a) Tan 1 m . . b) Ctg 1 m . . c) 1 . Ctg. m d) 1 . Tan. m e) m(1 . Tan.) 24. Determine "x" en : . . m x a) m. Sen. . Sen. b) m. Sen. .Cos. c) m. Sen.. Sec. d) m.Cos. . Sec. e) m.Cos.. Sen.
Trigonometría 24 25. Determine "x" en: . m x a) m. Sec2. b) m.Cos2. c) m. Sen2. d) m.Csc2. e) m. Sec. .Csc. 26. Si ABCD es un cuadrado, determine "x". A B C D x L . a) L . Sen2. b) L .Cos2. c) L .(Sen. . Cos.) d) L . Sen2. .Cos. e) L . Sen. .Cos2. 27. Del gráfico, hallar "x": m x . . a) m.(Sec2. .1) b) m.(Csc2. .1) c) m.(Tan2. .1) d) m.(Ctg2. .1) e) m.(Tan2. .Ctg2.) 28. Del gráfico, hallar "x", si ABCD es un cuadrado. . n A B D C x a) nSen. b) nCos. c) nTan.Csc. d) nCsc. e) nCtg. 29. Del gráfico, hallar: ED. . A B C D E m . a) mCtg. b) mSec. c) mSec2. d) mCtg 2. e) mTan2. 30. En el gráfico, hallar MP, en términos de " . " y " . "; " . " y " . ". . . M N R P b a a) (a . b .Cos.). Sec. b) (a . b .Cos.).Csc. c) (a . b . Tan.) .Ctg. d) (a . bSec.) . Tan. e) (a . bSen.) .Csc. 31. En un triángulo BAC, recto en A; la mediana BM y el cateto AC forman un ángulo agudo x. Luego Tanx es
igual a: a) 2TanC b) TanB + TanC c) 2TanB d) TanC + CtgC e) 2(TanC + TanB) 32. En la figura el área del triángulo ACD es igual al área del triángulo ABC. El valor de . será: . . A B C D a) .. . .. . 2 1 ArcTan b) .. . .. . 2 ArcCtg 1 c) . .. . . .. . 2 ArcTan 1 d) . . . . . . . . 2 ArcCtg 1 e) ArcTan 2
TRILCE 25 33. En la región limitada por una circunferencia de radio R y dos tangentes a ésta; se quiere inscribir otra circunferencia (de radio menor que R). Si las tangentes se intersectan en un ángulo de 2a radianes, ¿A qué distancia de la intersección de éstas, debe encontrarse el centro de la circunferencia inscrita? a) .. . .. . . . 1 Sena 1 Sena Sena R b) .. . .. . . . 1 Sena 1 Sena Sena R c) .1 Sena. R Sena . d) .1 Sena. Sena R . e) .1 Sena. Sena R . 34. En la figura, expresar OB y BC, en términos de x, y, . . O A B C OA = x AC = y a) OB . xCos. . ySen. BC . xSen. . yCos. b) OB . xCos. . ySen. BC . ySen. . xCos. c) OB . xCos. . ySen. BC . xSen. . yCos. d) OB . xCos. . ySen. BC . yCos. . xSen. e) OB . xCos. . ySen. BC . xSen. . yCos. 35. En la figura: ABCD es un rectángulo inscrito en la circunferencia de centro O, ARD . .; RS // AB , AB=a. Hallar el radio de la circunferencia. O A B C D
S R a) a . 2Cos. b) 2Cos. a c) 2Sen. a d) aSen. e) . Cos. 2 a 1 36. Dado el cuadrado ABCD, se tiene que las áreas de los triángulos FAE, EDC y CBF son iguales, luego Sen. es: A B D C E F . a) 6 3 . 5 b) 6 3 . 5 c) 6 . 3 . 5 d) 6 3 . 5 e) 6 3 . 5 37. En la figura mostrada, son conocidos: . , . y h. Entonces los valores de x e y son dados por: y h . . x a) . . . . . . . . . Tan Tan ; y h Tan Tan Tan x h 2 2 b) . . . . . . . . . Tan Tan ; y hTan Tan Tan x h c)
. . . . . . . . . 2 2 2 2 2 2 2 Tan Tan ; y h Tan Tan Tan x h d) 2 2 2 2 2 (Tan Tan ) ; y h Tan (Tan Tan ) x h . . . . . . . . . e) x . hTan.Tan. ; y . h2Tan.Tan. 38. En la siguiente figura, hallar (x + y) si: AB = 3 y 16 AC . 27 . . . . . x y A B C a) 5,14 b) 5,19 c) 5,29 d) 4,19 e) 3,19
Trigonometría 26 39. De la figura hallar: CtgxTanyTanz F . 6Tanz . 3Tany y z k k x a) 3,15 b) 2,35 c) 4,30 d) 3,00 e) 3,20 40. En un triángulo rectángulo BAC, se cumple que 4 CosBCosC . 2 . Hallar la altura relativa a la hipotenusa sabiendo que esta mide 6 2m . a) 2 m b) 3 m c) 3 m d) 5 m e) 7 m 41. La figura muestra un cuadrado cuya área es 64m2 y tal que PC = BP'. Hallar: AM Si: AP = 6 m M P P' A B C D 6m O a) 12 5 m b) 3 m 5 12 c) 3 m 5 16 d) 5 m 5 12 e) 12 3 m 42. En la siguiente figura, G es el baricentro del triángulo ABC, AD = BD y 3Sen. .Cos. . 3 Hallar la tangente del ángulo DCG. G A B D C . a) 3 b) 3 2 c) 3 1 d) 2 3 e) 2 1 43. En la figura mostrada, calcular: E = Tanx Ctgy Si: AB = AD = 1 ; DC = 2 A D B
C x y a) 2 1 b) 3 1 c) 2 d) 4 1 e) 1 44. En la figura mostrada, ¿a qué distancia se encuentra el globo respecto del lago? H Lago Imagen Globo . a) HCos 2. b) HSen2. c) HSec2. d) HCsc2. e) HCtg 2. 45. En la figura: DC = 2AB = 2. Calcular el área del triángulo EFG. G A B E F C D . a) Tan. 18 1 b) Ctg. 45 2 c) Tan. 45 2 d) (Tan Ctg ) 18 1 . . . e) (Tan Ctg ) 9 1 . . . 46. En un sector circular, cuyo ángulo central es . , está inscrito un cuadrado de lado L. El radio de la circunferencia correspondiente es: a) 2 1 2 5 2 Ctg 2 Ctg 2 L .. .
.. . . .. . .. . . . .. . .. . .
TRILCE 27 b) 2 1 2 5 2 2Ctg 2 Ctg 2 L .. . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . c) 2 1 2 5 2 4Ctg 2 Ctg 2 L .. . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . d) .. . .. . . .. . .. . . 2 2 Ctg 2 L e) 2 1
2 2 Ctg 2 L .. . .. . . .. . .. . . 47. Se tiene un triángulo ABC en el que se conocen el lado AC (opuesto al vértice B, de longitud b), y la bisectriz de longitud w relativa al vértice B. Hallar el área del triángulo ABC. a) .. . .. . . . 3 Cos A C 3 b w b) .. . .. . . . 2 Cos A C 2 b w c) .. . .. . . . 2 Cos A C 3 b w d) .. . .. . . . 3 Cos A C 2 b w e) .. . .. . . . 4 Cos A C 2 b w 48. Se tiene una poligonal ABCD tal que los ángulos ABC y BCD miden 6 5.
y 4 3. , respectivamente. Hallar la longitud del radio de la circunferencia tangente a los tres segmentos de la poligonal si cumple que : m 8 Ctg 3 12 Ctg 5. . . . y BC = n a) m 2n b) m n c) 2m n d) n m n m . . e) nm 49. En la figura, el triángulo NST es isósceles de base 6, KH es el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero de lado 6. Hallar el radio R. R K N H T S . 2 L a) .. . .. . . . . 4 Ctg 3 2 b) .. . .. . . . . 4 2 3Tan c) .. . .. . . . . 3 Tan 3 2 d) .. . .. . . . . 4 4 3Tan e) .. . .. . . . . 3 2 3Ctg 50. En la figura mostrada se tiene un cuadrado ABCD con
uno de sus vértices en el origen de coordenadas cuyo lado tiene la longitud a unidades. Si el segmento DM divide al cuadrado en un triángulo y en un trapecio cuyas áreas están en la relación de 1 : 4. Calcule la tangente del ángulo MDC. M . A B D C a) 4 1 b) 5 2 c) 3 1 d) 4 3 e) 5 3 51. Dado un polígono regular convexo de n lados, se trazan dos circunferencias, la primera de radio r que es tangente a todos los lados del polígono, y la segunda de radio R que pasa por todos sus vértices. El valor de la razón R r es : a) n Sen . b) 2n Sen . c) n Sen 2. d) n Sen 2 1 . e) n Cos . 52. Un cuadrado MNPQ cuyos lados miden 2 . 2. , está inscrito en una circunferencia. Calcular la distancia del punto Q al punto medio del arco MN. a) 0,5. b) 1. c) 1,5. d) 2. e) . 2 2
Trigonometría 28 53. En la siguiente figura: A B C c r . O La relación 2 2 c 4r es equivalente a: a) .. . .. . . . 2 2 1 Cos b) 2 .1 . Cos.. c) . . . . Sen 1 2 d) .. . .. . . . 2 2 1 Cos e) 2 (1- Cos.)(1- Sen.) 54. La siguiente figura es un cuadrado, donde Q es punto medio del lado AB. Determine Csc. . A B C D Q a) 2 b) 4 5 c) 3 d) 4 e) 2 5 55. En la figura, hallar "x": . k x a) kSec5. . Sen. b) kSec6. . Tan. c) kCtg..Sec7. d) kTan. .Cos6. e) kSec5. .Cos. 56. En el cuadrado ABCD, las áreas de los triángulos OAP, PDC y CBO son iguales. Luego Csc. es: A B C D O P . a) 3 5 6 . b) 5 3 6 .
c) 3 5 6 . d) 3 5 6 . e) 3 5 6 . 57. En la figura hallar el valor de "h" en función de . , . y . . Si : c . . , . . A , . . B h A B C D a) . . . . Ctg Ctg b) . . . . Tan Tan c) . . . . . Sen Sen Sen d) . . . . Ctg Ctg e) . . . . Cos Sen 58.En un triángulo ABC, recto en B, la mediana CM y el cateto BA forman un ángulo agudo . . Entonces, Tg. es: a) 2 TanA b) 2 CtgA c) 2TanC d) TanA + TgC e) 2(TanC + CtgA) 59. En la semicircunferencia mostrada, halle: . . . Sen2 K Sen2 1 3 A B C Q O . . P a) 2 b) 3 c) 4 d) 4 1 e) 3 1
TRILCE 29 60. Del gráfico, hallar Tan. Si: n PB m AP . M . A O B P N a) n(2m n) m . b) m(2m n) n . c) m(2n m) n . d) 2n m 2m n . . e) 2m n 2n m . .
Trigonometría C CCl lla aav vve ees ss 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
b a c c b d a a a d c c d b b c c c c a b e b c d c d c d e
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
a a c b d b e b b d c d c a c b b b
49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 30
b b e b e b b d a a c c
TRILCE 31 ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano vertical que, en la práctica, son formados por una línea visual (o línea de mira) y una línea horizontal, como resultado de haberse efectuado una observación. Estos r esultados se clasifican en: ángulos de elevación y ángulos de depresión. (ver gráficos). Línea Horizontal Línea Visual . h . : Ángulo de Elevación H . Línea Horizontal Línea Visual . : Ángulo de Depresión . Consideración: En el gráfico adjunto, " " es el ángulo bajo el cual se divisa la torre. Note que deben trazarse las dos visuales; una hacia la parte alta y la otra hacia la parte baja. Luego " " es el ángulo formado por las dos visuales. . . ÁNGULOS HORIZONTALES Son aquellos ángulos ubicados en un plano horizontal que, en la práctica, los vamos a ubicar en la Rosa Náutica. Rosa Náutica: (compás marino), es un instrumento de orientación que permitirá localizar una ciudad, persona o punto; respecto de una referencia, mediante el uso de las direcciones : Dirección Dirección Dirección B A C P Referencia Oeste (O) Este (E) Norte (N) Sur (S) 42º 40º 30º Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes principales ciertos ángulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones. Por ejemplo: "A" se halla el E30ºN de "P" "B" se halla al O40ºN de "P" "C" se halla al S42ºO de "P" Capítulo ÁNGULOS VERTICALES 3 ÁNGULOS HORIZONTALES
Trigonometría 32 Note que dichas direcciones en este caso para A; B y C; forman con los ejes prin cipales ciertos ángulos; con quienes se van a denotar dichas direcciones. Por ejemplo: "A" se halla el E30ºN de "P" . "B" se halla al O40ºN de "P" . "C" se halla al S42ºO de "P" . 30º 66º 24º 10º Q N P O E S S R . . . Está al E66ºN de "R" Está al N24º E de "R" P . . . Está al de "R" Está al O30ºN de "R" Q . . . Está al de "R" Está al S10ºE de "R" S Ahora bien, algunas direcciones tienen la particularidad de obtenerse trazando b isectrices sucesivas, a partir de los ejes principales; por lo que su notación será también particular. Indicaremos lo que ocurre entre el Norte y el Este, y usted concluye los restantes por analogía. E E E E O O O O S S S S N N N N . . . . NE 4 N1 NNE N 4 NE 1 NE E 4 NE 1
ENE NE 4 E 1 En cualquiera de los casos : . . 11º15' ó rad 16 . . .
TRILCE 33 SITUACIONES COMBINADAS Cuando los enunciados de los problemas mencionan ángulos verticales (de elevación o de depresión) y ángulos horizontales (uso de direcciones, generalmente), al mismo tiempo, la rosa náutica a emplear asu me una posición más real; es decir, ubicada en un plano horizontal. Por ejemplo, grafiquemos la siguiente situación: "Desde un punto en tierra, se divisa al Norte lo alto de un poste con un ángulo de elevación " . ". Si luego nos desplazamos hacia el N60ºE, hasta ubicarnos al Este del poste, el ángulo de elevación para su part e más alta sería " . ". Ahora, note la representación gráfica: . . 60º N60ºE
Trigonometría 34 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Desde un punto de tierra se observa lo alto de un edificio con ángulo de elevación 37º, si la visual mide 30 m, determinar la altura de edificio. a) 3 m b) 12 c) 15 d) 18 e) 24 02. Una persona de 2 m de estatura divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º. Si la altura del poste es de 20 m. ¿A qué distancia de el se halla la persona? a) 18 b) 20 c) 22 d) 24 e) 32 03. Desde un punto ubicado a 24 m de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 24 b) 36 c) 32 d) 42 e) 48 04. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si la altura del poste es de 30 m. ¿A qué distancia del poste se encuentra el punto de observación? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 05. Desde dos puntos separados 42 m se observa la parte alta de un farol que se encuentra entre ellos con ángulos de elevación 37º y 45º. Determinar la altura del farol. a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13 06. Desde un muro de 6 m de altura se observa la parte alta y baja un poste con ángulos de elevación y depresión 60º y 30º respectivamente. Determine la altura del poste. a) 15 m b) 24 c) 30 d) 36 e) 48 07. Desde un punto en tierra se ve lo alto de una torre con un ángulo de elevación " . " (Tg . =1/4). ¿A qué distancia de la torre se halla el punto de observación, si la altura de la torre es 7 m? a) 14 b) 28 c) 56 d) 21 e) N.A. 08. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 37º. Si nos acercamos una distancia igual a la altura del poste, el ángulo de elevación es " . ". Calcular: "Tg . ". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 09. Desde un punto ubicado a 15 m de un poste se ve su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Caminamos 3 m en dirección al poste y el ángulo de elevación para su parte más alta es " . ". Calcular: "Ctg . ". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 10. Una hormiga observa la copa de un árbol con un ángulo de elevación de 37º, luego se acerca 7 m y observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 53º. Calcular la altura del árbol.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 20 11. Desde dos puntos separados 52 m se observa lo alto de un poste con ángulos de elevación 53º y . .. . .. . . . 5 Tg 2 . Si el poste se encuentra entre los dos puntos. Determine su altura. a) 12 m b) 16 c) 18 d) 9 e) 11 12. Se observa un poste con ángulo de elevación " . " nos acercamos "L" y el ángulo de elevación es 45º. Si la altura de poste es "2 L". Determinar: Tg . . a) 1/3 b) 2/3 c) 1 d) 1/2 e) 3/2 13. Desde un edificio de 12 m de altura se observa un automóvil con ángulo con ángulo de depresión " . " .. . ... . . 3 Tg 1 . Luego se observa una señal más cerca del edificio con ángulo de depresión 45º. Determine la distancia entre la señal y el automóvil. a) 12 m b) 18 c) 24 d) 36 e) 10 14. Desde un punto en tierra se divisa lo alto de un poste con un ángulo de elevación de 45º, y desde otro punto ubicado en la mitad de la distancia que hay entre el primer punto y el poste, el ángulo de elevación es " . ". Calcular: "Tg . ". a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 16 15. Desde un punto ubicado a 30 m de una torre se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación " . " (Tg . =1/3). Si nos alejamos una distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de elevación es " . ".
TRILCE 35 Calcular: "Ctg . ". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 16. Desde las partes superiores del primero, segundo y tercer piso de un edificio se observa lo alto de otro edificio con ángulos de elevación . , . , . , respectivamente. Si: Tg . -Tg . = 0,1 y Tg .=2,7. ¿Cuántos pisos tiene el segundo edificio? a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 17. Desde lo alto de un edificio de 8 pisos, se ve un punto en tierra con un ángulo de depresión de 45º. Cuánto mide cada piso del edificio, si el punto observado se halla a 24 m del mismo? a) 2 b) 2,5 c) 3 d) 3,5 e) 4 18. Desde un punto ubicado a 36 m de un edificio de 28 m de altura, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación de 53º. Señale la distancia de un punto a la base del edificio. a) 20 b) 21 c) 35 d) 32 e) 49 19. Desde el puesto del vigía de un barco que tiene 48 m de altura se observa que el ángulo de depresión de un bote es de 30º. Calcular la distancia a la que esta el barco. a) 48 b) 48 3 c) 12 d) 24 e) 6 3 20. Desde el pie de un poste se observa la parte más alta de una torre con un ángulo de elevación de 45º, el mismo punto es observado desde la parte más alta del poste con un ángulo de elevación de 37º. Calcular la longitud del poste si la distancia entre el poste y la torre es de 120 m. a) 10 b) 15 c) 20 d) 30 e) 40 21. Desde un punto en Tierra se ve lo alto de un poste con un ángulo de elevación " . " ) 6 (Tan. . 1 ; y si nos acercamos 30 m el ángulo de elevación es de 45º. ¿Cuál es la altura del poste? a) 5 m b) 6 m c) 4 m d) 8 m e) 12 m 22. Un móvil se desplaza hacia una torre con una velocidad de 4 m/min; y en un primer momento, observa su parte más alta con un ángulo de elevación de 37º. Si la torre mide 192 m, ¿después de qué tiempo el ángulo de elevación tiene como tangente 8? a) 29 min b) 48 min c) 1h 12 min d) 1h 18 min e) 58 min 23. Un niño observa los ojos de su padre con un ángulo de elevación . , y su padre observa sus pies con un ángulo de depresión (90º..) . Obtener la relación entre sus alturas. a) 1 . Tan2. b) 1 . Tan2. c) 1 . Cot2. d) 1 . Cot2.
e) Tan2. .1 24. Se tiene una torre en el borde de un acantilado; cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con ángulos de elevación " . " y " . ", respectivamente (3Tan. . 4Tan.) . La altura del acantilado es de 212,31 m. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 141,54 m b) 28,308 m c) 159,2325 m d) 70,77 m e) 35,385 m 25. Subiendo por un camino inclinado, de ángulo " . " respecto a la horizontal; se observa lo alto de una torre con un ángulo de elevación " 2. "; verificándose que la torre mide 3 m y la visual 7 m. ¿Cuál es el valor de " Tan. "? a) 7 3 b 7 6 c) 14 3 d) 7 4 e) 7 2 26. Desde dos puntos ubicados al Sur y al Oeste de una torre de 24 m de altura, se ve su parte más alta con ángulo de elevación de 45º y 37º respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre los puntos de observación? a) 32 m b) 36 m c) 56 m d) 48 m e) 40 m 27. Desde dos puntos ubicados al Sur y Oeste de un poste, se divisa su parte más alta con ángulos de elevación " . " y " 90º.. ", respectivamente. Si la distancia entre los puntos de observación es el doble de la altura del poste, calcular: P . Tan. . Cot. a) 3 b) 2 3 c) 6 d) 2 6 e) 3 2
Trigonometría 36 28. El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60º a 72 metros de ella. Estando el ojo del observador a 3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente. a) 72 m b) 73 3 m c) 71 m d) 73 m e) 72 3 m 29. Desde el pie de un poste el ángulo de elevación de la parte más alta de un campanario es 45º. Desde la parte superior del poste que tiene 9 m de altura, el ángulo de elevación es de 30º. ¿Cuál es la altura del campanario? a) 2 9 3 b) 1 2 7 2 . c) 3 1 5 3 . d) 3 1 9 3 . e) 3 1 9 3 . 30. Un niño está volando su cometa soltándole cuerda, la misma que se mantiene tensa y haciendo un ángulo . con la horizontal. A 120 m detrás del niño hay un hombre. Cuando la cometa se encuentra a 20 m de altura, el hombre la observa con un ángulo . respecto a la horizontal. ¿A cuántos metros de altura se encontrará la cometa para que sea observada por el hombre con un ángulo 2. ? Considere : 3 Tg. . 1 a) 23 637 b) 17 1285 c) 13 1080 d) 19 1561 e) 13 637 31. Una balsa se aproxima hacia un faro. En un determinado instante, el faro es observado por el tripulante de la balsa con un ángulo de elevación de 12 .
. Al recorrer 36m adicionales vuelve a observar, encontrando esta vez un ángulo de 6 . . Encuentre la altura del faro (desprecie la altura del tripulante que hizo la observación) a) 10 m b) 15 m c) 12 m d) 14 m e) 18 m 32. Desde lo alto de un edificio se observa a un automóvil con un ángulo de depresión de 37º. Dicho automóvil se desplaza con velocidad constante. Luego que avanza 28 m acercándose al edificio es observado con un ángulo de depresión de 53º. Si desde esta posición tarda en llegar al edificio 6 segundos, calcular la velocidad del automovil. a) 3 m/s b) 6 m/s c) 7 m/s d) 12 m/s e) 4 m/s 33. Un avión se encuentra volando horizontalmente a 180 km/h. En cierto instante, el piloto ve una señal en tierra con un ángulo de depresión de 30º. Dos minutos después, estando sobre la señal, el piloto observa a una distancia de 1000 metros un aerostato con un ángulo de elevación de 60º. ¿A qué altura está volando el aerostato en ese instante? a) 2 3 km b) 2,5 3 km c) 3 3 km d) 3,5 3 km e) 4 3 km 34. Un barco y un avión viajan en la misma dirección y en el mismo sentido. En la primera observación desde el barco se ve al avión adelante con un ángulo de elevación de 53º, marcando con una boya dicho lugar. En la segunda observación se le ve con un ángulo de 37º, si la velocidad del avión es 8 veces la del barco. Calcular la cotangente del ángulo con la que el avión en la segunda posición observa la boya. a) 12 17 b) 11 15 c) 17 11 d) 4 3 e) 7 5 35. Dos puntos están ubicados en un mismo nivel del suelo. Desde uno de ellos se observa el extremo superior de un poste con un ángulo de elevación . y desde otro punto se observa el punto medio del poste con un ángulo de elevación . . Si la suma de las distancias del poste a cada uno de los puntos es d, calcular la altura del poste. a) dTan. . 2dTan. b) 2Ctg. . Ctg. 2d c) 2dCtg. . dCtg. d) 2Tan. . Tan. 2d e) d(Tan. . 2Tan.) 36. Dos autos parten simultáneamente desde un punto "P" en direcciones que forman un ángulo " . " uno a 5 km/h y el otro a 12 km/h. Calcular el Cos. sabiendo que al cabo de una hora la
distancia desde el punto "P" al punto medio del segmento que separa ambos autos es de 7 km. a) 8 5 b) 16 7 c) 80 3 d) 40 9 e) 25 13
TRILCE 37 37. Un niño de estatura "h" está parado sobre la banca y observa los ojos de su padre; de estatura "H", con un ángulo de elevación " . " y sus pies con un ángulo de depresión " . ". Si el padre divisa los pies de su hijo con un ángulo de depresión " . ". Hallar: h H a) . . . . . . Tan Tan Tan Tan b) . . . . . . Tan Tan Tan Tan c) . . . . . . Tan Tan Tan Tan d) . . . . . . Tan Tan Tan Tan e) . . . . . . Tan Tan Tan Tan 38. Desde la parte superior del tercer piso de un edificio de 9, se ve un momento de menor altura, con un ángulo de elevación "x", su parte más alta y un ángulo de depresión "y" su base. Si desde lo alto del edificio, la tangente del ángulo de depresión con la que se ve la base del monumento, es sextuplo de la tangente del ángulo con que se ve la parte más alta. Calcular: E = 4Coty · Tanx a) 2 b) 4 c) 5 d) 8 e) 6 39. Desde lo alto de un edificio se ven tres puntos en Tierra, a un mismo lado, con ángulos de depresión . , 45º y 90º.. (. . 45º ) . Si el punto intermedio dista del más alejado, el doble del más cercano, calcular: N . 6Tan. . Cot2. a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 40. Un poste, una persona y una torre están ubicados del modo que se mencionan y sus alturas están en la proporción 3; 1; 5. Si de lo alto del poste se divisa lo alto de la persona con un ángulo de depresión " . "; mientras que la persona divisa lo alto de la torre con un ángulo de elevación . , desde lo alto de la torre se ve la base del poste con un ángulo de depresión " . ". Si se verifica que: Cot. . mCot. . nCot. Calcular: K = m + 2n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 41. Se tiene un poste PQ ("P" en el suelo) y tres puntos en
la superficie horizontal A, B y C, perfectamente alineados; desde los cuales se ve "Q" con ángulos de elevación . , . y . respectivamente. Si BP es bisectriz del ángulo C P A que mide 60º, calcular: . . . . . Tan J Tan Tan a) 2 b) 2 3 c) 3 d) 3 e) 3 3 42. Desde la parte más alta de un árbol de 5 metros de altura se observa a otros dos de 1 metro y 4 metros de altura con ángulos de depresión . y (90º..) , si estos están al Este y al Sur del árbol más alto, respectivamente. Calcular: " Tan. ", si además desde la parte más alta del árbol más pequeño, se observa la parte más alta del árbol de 4 metros con un ángulo de elevación de (90º..) a) 4 2 1 b) 2 1 c) 4 2 d) 2 e) 2 2 43. Un barco se encuentra al Sur de un helicóptero, el barco permanece inmóvil; pero el helicóptero avanza cierta distancia hacia el Este. Desde el barco se observa al helicóptero en la segunda posición con un ángulo de elevación " . ". Si el ángulo de elevación en la primera posición es de 45º y el helicóptero avanzó 2km, calcular " . ", si además el helicóptero se encuentra a una altura de 2km . a) 2 ArcTan 1 b) 3 ArcTan 1 c) 4 ArcTan 3 d) 30º e) 45º 44. Se tienen tres puntos en tierra A, B y C (AB = BC); y un poste PQ ("Q" en el suelo, al interior del triángulo ABC), desde los cuales se ve lo alto del poste con ángulos de elevación . , . y . respectivamente. Si : y C Q B x B Q A . . . Señale el equivalente de: . . . . . . . Cot2 Cot2 J Cot Cosx Cot Cosy a) Tan. b) 2Tan. c) 2Cot. d) Cot. 2 1 e) Tan. 2 1
45. Luciano observa a Luciana en la dirección NE y a 18 2 m de distancia; a su vez Luciana observa a Lucio en la dirección E37ºS. Determine la distancia que separa a Luciano y a Lucio, si Lucio se encuentra al Este de Luciano.
Trigonometría 38 a) 41 m b) 40 m c) 24 m d) 18 m e) 42 m 46. Desde una ciudad "A" se divisan a otras dos "B" y "C" en las direcciones O80ºN y E40ºN, respectivamente. Además desde "B" se divisa a "C" al E50ºS a una distancia de 173 km. ¿Cuál es la distancia entre "A" y "B"? a) 100 km b) 200 km c) 150 km d) 273 km e) 300 km 47. ¿Cuál es la dirección de la bisectriz del menor ángulo formado por las direcciones N20ºE y S80ºO? a) N10ºO b) N20ºO c) N30ºO d) N40ºO e) N50ºO 48. Calcular el menor ángulo que forman la bisectriz de SO y S 4 SO 1 con la bisectriz de SE y S 4 SE 1 a) 50º b) 78º45' c) 77º d) 67º30' e) 90º 49. Se tiene una torre en el borde de un acantilado, cuyas partes alta y baja son vistas desde un punto de la superficie horizontal con ángulos de elevación " . " y " . " respectivamente (3Tan. . 4Tan.) . La altura del acantilado es de 212,31 m. ¿Cuál es la altura de la torre? a) 141,54 m b) 28,308 m c) 159,2325 m d) 70,77 m e) 35,385 m 50. Una persona camina 5 2 (aprox.) al norte de su casa, luego 13 m en la dirección S.E , si ahora se encuentra en la dirección NE de su casa. Hallar: Csc. a) 5 13 b) 17 13 2 c) 13 17 d) 13 10 2 e) 17 13 51. Desde dos puntos A y B, situados al Oeste y al Norte de una torre, se observa la parte más alta de ésta con ángulos de elevación . y . , respectivamente; y desde el punto medio de AB, el ángulo de elevación es " . ". Calcular: Tan. .Cot. a) 2 3 b) 1 c) 3 d) 2 e) 2 3 52. Un niño sostiene dos globos. El ángulo de elevación
que tiene en la mano derecha es de 21º y la cuerda mide "a" metros. El ángulo de elevación del globo que sostiene en la mano izquierda es de 24º y la cuerda mide a 2 metros. ¿Cuál es la distancia que hay entre los globos? a) (1 . 2) a metros b) (2 . 2) a metros c) 2a 5 a metros d) a 5 a metros e) ( 2 . 5)a metros 53. "Moshé" divisa los ojos de su padre con un ángulo de elevación " . " y sus pies con un ángulo de depresión " . "; mientras que su padre divisa los pies de "Moshé" con un ángulo de depresión " . ". Sabiendo que las estaturas de "Moshé" y su padre son "h" y "H" respectivamente, señale el equivalente de: H h h J . H . a) . . . Cot2 Cot Cot b) . . . Cot Cot Cot2 c) . . . Cot Cot Cot d) . . . Cot Cot Cot e) . . . Tan Tan Tan 54. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de un poste, con un ángulo de elevación de 10º. Nos acercamos una distancia " d1 " y el ángulo de elevación es de 40º; y si nos desplazamos una distancia " d2 " hasta ubicarnos al otro lado del poste, el ángulo de elevación es de 20º. Calcular: 2 1 d d (Sug. Cos10º = 0,9848) a) 1,137 b) 1,232 c) 1,321 d) 0,957 e) 0,352 55. Un observador divisa un poste vertical bajo un ángulo " . " notando que sus visuales son iguales. Se acerca una distancia igual a las dos terceras partes de la distancia que inicialmente lo separaba del poste y divisa a éste. ahora bajo un ángulo " . ". Calcular "n" en la igualdad.
2 Sen 2 nSen Sen Sen 2 2 . . . . . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
TRILCE 39 56. Una persona camina, por un camino inclinado que forma un ángulo "x" con la horizontal y observa la parte superior de una torre con un ángulo de inclinación "2x". Luego de caminar una distancia de 15 veces la altura de la torre, observa nuevamente su parte superior con un ángulo de elevación de "3x". Calcular: E = Cscx - 15 a) 10 b) 20 c) 12 d) 15 e) 25 57. Se tiene una torre y dos puntos A y B ubicados en lados opuestos de ella. Desde "A" se divisa un punto de la torre con un ángulo de elevación " . "; notándose que la distancia de dicho punto observado a lo alto de la torre es igual a la visual trazada para dicha observación; mientras que, desde "B", se divisa un punto ubicado 1 m, más abajo que al anterior con un ángulo de elevación " . " . Notándose que la visual trazada es igual a la distancia del nuevo punto observado a lo alto de la torre, hallar la altura de la torre. a) . . . . . . . Tan Tan (Tan 1)(Tan 1) b) . . . . . . . Sen Sen (Sen 1)(Sen 1) c) . . . . . . . Sen Sen (1 Sen )(1 Sen ) d) . . . . . . . Cos Cos (Cos 1)(Cos 1) e) . . . . . . . Tan Tan (Tan 1)(Tan 1) 58. Desde cuatro puntos colineales de la superficie A, B, C y D se divisa lo alto de una torre PQ ("Q" en el piso) con ángulos de elevación . , . , . y . respectivamente. Si: º 10 D Q C C Q B B Q A . . . y Sen10º . 0,173648 . Calcular: . . . . . . . . . . . Tan Tan Tan
Tan Tan Tan J Tan Tan a) 1,1983 b) 2,2343 c) 1,7124 d) 2,5783 e) 2,8794 59. Desde un punto del suelo, ubicado al O30ºS de una torre, se divisa su parte más alta con un ángulo de elevación 53º. De esta ubicación nos desplazamos al S30ºE hasta ubicarnos al Sur de la torre. Observaríamos su parte más alta con un ángulo de elevación " . ". Calcular: Tan. a) 3 1 b) 3 2 c) 4 3 d) 2 3 e) 4 1 60.Un reflector situado al ras del suelo ilumina un monumento bajo un ángulo de 30º. Si trasladamos el reflector 2 m más cerca del monumento, éste se ve bajo un ángulo de 45º. ¿Cuál es la altura (y) del monumento y cuál es su distancia (x) al segundo lugar de iluminación? a) 3 3 ; x 2 3 3 3 y 2 3 . . . . b) 3 3 ; x 2 3 3 3 y 2 3 . . . . c) 3 3 ; x 2 3 3 3 y 2 3 . . . . d) 3 3 ; x 2 3 3 3 y 2 3 .
. . . e) y . 3 . 3 ; x . 3 . 3
Trigonometría C CCl lla aav vve ees ss 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
d a c d e b b c a b b b c a d b c e b d b e b b a e c b d c
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
e b b a b c b e d c c c d e e b d b
49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 40
d b c d c a c d b e b c
TRILCE 41 Capítulo SISTEMA COORDENADO 4 RECTANGULAR SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR Denominado también cartesiano, en honor al matemático René Descartes (1596-1650). Se determina trazando dos rectas numéricas perpendiculares entre sí que se intersect an en un punto "O" y divide al plano en cuatro semiplanos denominados cuadrantes. * La recta horizontal se llama eje "x" o eje de abscisas. * La recta vertical se llama eje "y" o eje de ordenadas. * El punto "O" se denomina origen de coordenadas. Cuadrante II Cuadrante I Cuadrante III Cuadrante IV y O (0;0) x y1 x1 y2 x2 Q(x ;y ) 2 2 P(x ;y ) 1 1 Distancia entre dos puntos del plano cartesiano Sean P1(x1; y1) y P2(x2; y2) dos puntos del plano cartesiano, entonces la distancia "d" entre los puntos P1 y P2 está dada por: 2 2 1 2 d . (x2 . x1) . (y . y ) d P (x ;y ) 1 1 1 P (x ;y ) 2 2 2 y2 y1 x1 x2 x y * Radio Vector Es la distancia del origen de coordenadas a un punto cualquiera del plano cartesiano. Si: P(x0;y0) es un punto del plano cartesiano el radio vector se calcula así: 2 0 2 r . x0 . y y0 x y x0 r P(x ;y ) 0 0
Trigonometría 42 División de un segmento en una razón dada: Sea P0(x0; y0) un punto cualquiera sobre un segmento de extremos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) tal que: (razón) b a P P P P 0 2 1 0 . Las coordenadas de P0 son: a b ay by y a b ax bx x 2 1 0 2 1 0 . . . . . . Punto Medio de un Segmento Las coordenadas del punto medio M del segmento de extremos P1(x1; y1) y P2(x2; y2) se calcula así: y 2 x x x 0 1 2 0 . . . 2 y1 . y2 Coordenadas del baricentro de un triángulo: En el triángulo cuyos vértices son A(x ; y ) 1 1 ; B(x ; y ) 2 2 y C(x ; y ) 3 3 , las coordenadas del baricentro están dadas por: . . . . . . . . . . . . 3 y y y ; 3 x x x G 1 2 3 1 2 3 G: baricentro x
y a b P (x ;y ) 0 0 0 P (x ;y ) 1 1 1 P (x ;y ) 2 2 2 x y M(x ;y ) 0 0 P ( ;y ) 1 1 1 x P ( ;y ) 2 2 2 x x y G A(x ;y ) 1 1 B(x ;y ) 2 2 C(x ;y ) 3 3 Área de una región triangular: Para calcular el área "S" de una región triangular, se colocan las coordenadas de un o de los vértices y seguimos el sentido antihorario hasta cerrar la figura y volver a colocar el primer vértice escogido, finalmente, se procede como a continuación se indica. x y A(x ;y ) 1 1 B(x ;y ) 2 2 C(x ;y ) 3 3 S A x y x y x y x y x y x y x y B x y x y x y 3 1 2 3 1 2 1 1 3 3 2 2 1 1 1 3 3 2 2 1 . . .. . .. . . .. . .. . . Luego :
2 S . A . B
TRILCE 43 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Determine el radio vector de (2,-3). a) 5 b) 11 c) 13 d) 17 e) 19 02. Determinar el radio vector de ( 2,. 7) a) 3 b) 10 c) 3 d) 4 e) 5 03. Determinar el radio vector del punto medio del segmento formado al unir los puntos (3,1) y (7,9). a) 5 b) 2 5 c) 5 2 d) 10 e) 15 04. Si: (-1,2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos, (-3,-1) y (a,b). Determinar: "a+b". a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 05. Del gráfico, calcular: "d". d (3,5) (5,2) (-11,1) a) 37 b) 41 c) 53 d) 61 e) 82 06. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (-7,3) y (-1,-5), determine su perímetro. a) 60 b) 40 c) 20 d) 12 3 e) 15 2 07. Se tiene una circunferencia de centro (-3,7) que pasa por (2,-5), determinar su diámetro. a) 13 b) 15 c) 26 d) 30 e) 35 08. Si: (4,2) es el punto medio del segmento formado al unir los puntos (a,-3) y (5,b). Determinar: E . b . a a) 2 b) 3 c) 2 d) 3 e) 5 09. Determine el producto de las coordenadas del punto del segmento formado al unir los puntos (-7,3) y (1,5). a) 6 b) -6 c) 12 d) -12 e) 15 10. Al unir los puntos A(-5,1), B(-1,7) y C(5,-1). Se forma un triángulo ABC. Determine la longitud de la mediana AM , (M en BC ). a) 47 b) 51 c) 53 d) 57 e) 61 11. Determine las coordenadas del baricentro de un triángulo que se forma al unir los puntos. A(-1,5); B(3,9) y C(7,1). a) (3,2) b) (-7,3) c) (3,5) d) (5,3) e) (-3,5) 12. En el gráfico, hallar "x+y": A(-2;3) B(10;6) K 2K P a) (2,3) b) (2,4) c) (1,3) d) (-1,2) e) (-2,4) 13. Según el gráfico, halle "p":
2S 3S A(1;9) B(-2;5) C(8;10) a) (1,8) b) (2,7) c) (3,5) d) (3,7) e) (4,6) 14. Los vértices de un triángulo son A(3,1); B(9,1) y C(3,7). Determine su área. a) 36 .2 b) 18 .2 c) 24 .2 d) 16 .2 e) 9 .2 15. Los vértices de un triángulo son A(1;2), B(3;6) y C(-1,0). Calcular la longitud de la mediana relativa al lado AB . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Trigonometría 44 16. Determine en el eje "x" un punto que tenga una distancia de 5 unidades del punto (2,4). a) (-1,0) b) (1,0) c) (5,0) d) (6,0) e) a y c 17. Si ABCD es un paralelogramo donde A(3,2), B(1,5), C(-2,3). Halle el punto D. a) (0,0) b) (1,7) c) (-1,3) d) (-2,2) e) (-5,1) 18. Los puntos A(4,-2); B(1,2) y C(5,5) son los vértices de un triángulo: a) Isósceles. b) Equilátero. c) Rectángulo. d) Rectángulo Isósceles. e) Oblicuángulo. 19. Hallar en el eje de ordenadas un punto A cuya distancia hasta el punto B(-8,13) sea igual a 17. a) (0,-1) b) (0,-2) c) (1,2) d) (2,8) e) (0,-28) 20. Si P(a;a+1) es un punto que equidista de A(2,1) y B(-6,5). Hallar el valor de "a". a) 6 b) -6 c) 0 d) 1 e) -1 21. Se tienen dos vértices opuestos de un cuadrado (-5,8) y (1,2); determinar su centro de gravedad. a) (-1,3) b) (-2,3) c) (-2,5) d) (-1,5) e) (1,3) 22. El centro de una circunferencia es (-4, 5 ), determinar su área si pasa por el origen de coordenadas (usar: ) 7 (. . 22 . a) 2 .2 b) 3 .2 c) 44 .2 d) 66 .2 e) 81 .2 23. Si P es punto medio de MN ; M y N son puntos medios de AC y BC respectivamente, determine el radio vector del punto P; siendo A(-4,5); B(2,5) y C(6,-3). a) 7 b) 10 c) 2 3 d) 3 2 e) 15 24. Si (-5,3) es punto medio entre (x,0) y (0,y); calcular: E . y . x . a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 25. Hallar las coordenadas de un punto "A" cuya distancia al origen es igual a 13u; sabiendo además que su ordenadas tiene 7u más que su abcisa. (Dar la suma de coordenadas). a) 17 b) 16 c) -17 d) a y b e) a y c 26. Si (2,3) es el punto medio del segmento AB siendo A(-3,5) y B(a,b). Calcular: a+b. a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 27. El segmento que une A=(-2,1) con B=(2,2) se prolonga hasta C sabiendo que BC=3AB. Hallar las coordenadas de C. a) (14,11) b) (11,14) c) (1,7) d) (14,-11) e) (-14,11) 28. Si un vértice de un triángulo ABC, es A=(1,3) y el
baricentro del triángulo es G=(3,1). ¿Cuál es la suma de coordenadas del punto medio "M" opuesto al vértice "A"? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 29. Dados dos vértices consecutivos de un cuadrado A(3 ; .7) y B(.1 ; 4), calcule su área. a) 127.2 b) 137.2 c) 147.2 d) 81.2 e) 100.2 30. Señale las coordenadas del punto "P" ubicado en el eje de abscisas que equidista de A(1 ; 5) y B(7 ; 3) a) .. . .. . ; 0 3 7 b .. . .. . ; 0 3 8 c) .. . .. . ; 0 3 4 d) .. . .. . ; 0 2 11 e) .. . .. . ; 0 4 11 31. En un triángulo ABC, los vértices son A(3 ; .1), B(1 ; 5) y C(.1 ; .3). Calcule la longitud de la mediana relativa al lado BC. a) 5 b) 7 c) 2 3 d) 13 e) 15 32. Si tres vértices consecutivos de un paralelogramo son A(.1 ; 1) , B(1 ; 5) y C(9 ; 7). Halle la suma de coordenadas del cuarto vértice "D" opuesto a B. a) 5 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12
TRILCE 45 33. Se traza un segmento desde A(1;1) hasta B(3;5). ¿Hasta qué punto "C" será necesario prolongarlo para que 5 BC 6 AC . ? (Señale la suma de coordenadas de "C") a) 35 b) 38 c) 42 d) 23 e) 27 34. En un triángulo ABC se sabe que A(3 ; 5) y el baricentro es G(1 ; .3). Hallar la suma de coordenadas del punto medio de BC. a) . 3 b) . 5 c) . 7 d) 5 e) 7 35. Del esquema mostrado, determine las coordenadas del punto M. Si: ABCD es un paralelogramo. y x M N B C(4 ; 9) A(.8 ; 5) D(6 ; 1) a) .. . .. .. ; 8 2 11 b) (. 6 ; 5) c) .. . .. .. ; 5 2 9 d) (. 6 ; 4) e) (. 5 ; 7) 36. Se tiene el triángulo formado por los vértices A(1;9), B(6 ; 8) y C(.2 ; 4), calcule la superficie del triángulo. a) 35.2 b) 28.2 c) 14.2 d) 24.2 e) 40.2 37. Si A(-1;3) , B(3;1) y C(2;4), calcule el Seno del ángulo CAB. a) 10 3 b) 10 10 c) 5 5 d) 5 2
e) 2 2 38. Del gráfico, halle : S2 . S1 . (10 ; 1) (5 ; 8) (6 ; .2) (.3 ; .1) S2 S1 a) 10.2 b) 10,5.2 c) . 6.2 d) 11,5.2 e) 12.2 39. Los puntos P(-4;0); Q(5 ; 3 3) , R(x;0) son los vértices de un triángulo rectángulo recto en Q, la suma de los valores que indican el perímetro y el área del triángulo es: a) 18 3 . 24 b) 18 . 18 3 c) 18 . 24 3 d) 12 . 12 3 e) 12 6 . 6 40. La base mayor de un trapecio isósceles une los puntos (-2;8) y (-2;-4). Uno de los términos de la base menor tiene por coordenadas (3;-2). La distancia o longitud de la base menor es: a) 8 b) 6 c) 9 d) 12 e) 10 41. Un cuadrilátero tiene sus vértices en los puntos coordenados : A(0;0) , B(2;2) , C(7;2) y D(5;0) PROPOSICIÓN 1: Si sólo los valores de las abscisas se multiplican por 2 entonces este cuadrilátero es semejante al original. PROPOSICIÓN 2: Si los valores de las abscisas y ordenadas se multiplican por un mismo número, entonces este cuadrilátero es semejante al original. PROPOSICIÓN 3: Si los valores de las abscisas se multiplican por 2 y las ordenadas por 3 entonces el área de este nuevo cuadrilátero es 5 veces mayor que el original. a) FVV b) FFV c) VFF d) FFF e) VVF
Trigonometría 46 42. Los vértices de un cuadrado son A(0 ; -3); B(b ; b ) 1 2 , C(3;4), D(d ; d ) 1 2 . Calcular el área del rectángulo cuyos vértices son los puntos B, P, D, Q donde P(d1 ; b2) y Q(b1 ; d2) . a) 58 b) 29 c) 25 d) 21 e) 19,5 43. En la figura mostrada las coordenadas del punto R son (6 3 ; 8) . Hallar la distancia del baricentro de la región triangular MON al punto R. y x M 30º O N R a) 2 21 b) 21 c) 4 21 d) 21 e) 2 42 44. Si A(-3;4), B(4;5), C(1;-4) son los vértices de un triángulo. Calcular las coordenadas del circuncentro del triángulo. a) (1 ; 1) b) (1 ; -1) c) (2 ; -1) d) (-3 ; -1) e) (-1 ; -1) 45. Sean los puntos del plano cartesiano: A(3 ; 10), B(13 ; 2) , C(0 ; a) y D(b ; 0). Hallar los valores de a y b de tal forma que la suma de las longitudes de los segmentos AC, CD y DB sea lo menor posible y dar como respuesta el valor de 12ab. a) 961 b) 828 c) 780 d) 1020 e) 605 46. Sean los puntos del plano cartesiano A(1;2) B(10;0) y C(8;4). Desde el punto C se baja la perpendicular CP al segmento AB, entonces las coordenadas de P son : a) .. . .. . .. . .. . .. . .. . . 7 ; 2 - 2 6 7 1 9 6 b) .. . .. . .. . ..
. . .. . .. . . 85 ; 2 2 59 85 1 9 59 c) .. . .. . .. . .. . .. . .. . . 85 ; 2 - 2 59 85 1 9 59 d) .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . 13 ; 2 2 6 13 1 9 6 e) .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . 13 ; 2 2 6 13 1 9 6 47. Las coordenadas de los vértices A y B de un rectángulo ABCD son (12 ; 3) y (4 ; 9), respectivamente. Si el área de la región rectangular es 80u2 , determinar la suma de las abscisas de los vértices C y D. a) 25 b) 5 126
c) 26 d) 5 127 e) 5 128 48. Si los puntos (1 ; 6) y (5 ; 2) son los vértices opuestos de un cuadrado, entonces el área del cuadrado es: a) No se puede determinar. b) 50 c) 4 d) 16 e) 8 49. Los puntos A(-2 ; 2), B(0 ; 4), C(C ; C ) 1 2 son los vértices de un triángulo equilátero. Si C está en el segundo cuadrante, entonces 3(C1 . C2) vale: a) - 9 b) - 8 c) - 6 d) - 5 e) 2 3 50. Dados los puntos A(-2;-3) , B(2;1), C(4;-9) y M punto medio de BC , la distancia de M al segmento AC es: a) 2 b) 2 2 c) 4 d) 4 2 e) 6 51. En la gráfica, si AC = 5, la suma de las coordenadas de C es: x y A(1;2) B(4;2) C(x;y) O a) 4 b) 10 c) 8 d) 6 e) 9
TRILCE 47 52. Los extremos de la base de un triángulo son los puntos A(0 ; 0) y B(3 ; 0). Determinar la ordenada del vértice opuesto .. . .. . ; y 2 C 1 de tal manera que la medida del ángulo CAB es igual al doble de la medida del ángulo CBA. a) 15 b) 2 15 c) 4 15 d) 6 15 e) 8 15 53. A(a ; b), B(a ; -b), C(-a ; -b), D(-a ; b) son los vértices de un rectángulo. Si: P(x;y) cumple que DP . 6. , CP . 7. y BP . 5. , entonces el valor de AP es: a) 5. b) 2 3. c) 3. d) 4. e) 3 2. 54. En el gráfico: BD = 3AD y EC = 2BE. Calcule: 1 2 3 h h h W . . x y A(1;1) C(8;2) B(5;5) h3 h1 E h2 D a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 3 2 55. Del gráfico, calcule "x" si " . " es máximo. x y (1;1) (3;3) P(x;0) . a) 2 b) 2 2 c) 3 d) 2 3 e) 6
56. A partir del gráfico, calcule: . . . . . 2 2 2 Sen W Sen Sen . . . B(3;9) C(5;7) A(1;3) a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 2 e) 2 3 57. Del gráfico, halle la suma de coordenadas del punto "P". Si : 5 DC 3 BD . 7S S A(2;0) C(7;5) B(3;9) D P a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 e) 7 58. De todos los puntos del plano cuya suma de distancia a los puntos A(1;5) y B(7;5) es igual a 10. Señale la suma de coordenadas de aquel punto de ordenada máxima. a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 59. Señale las coordenadas del vértice C, del triángulo ABC, si las coordenadas de los vértices del triángulo formado al unir los puntos medios de sus lados son: AM(.1 ; 0) , BM(.2 ; 3) y CM(6 ; 7) C A B x y BM AM CM a) (-9 ; -4) b) (-7 ; - 2) c) (-10 ; -5) d) (-8 ; -5) e) (-6 ; -7)
Trigonometría 48 60. Si ABCD es un paralelogramo, halle: S1 . S2 x y S1 S2 A(-5;-5) B(2;-1) C(x;y) D(-3;2) a) 2 4 41 . b) 2 2 41 . c) 2 2 21 . d) 2 4 21 . e) 41.2
TRILCE 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
c c c d e b c c d c c b b b d e a d a b c d b c e d a d b b
49 ClavesClaves 31. d 32. d 33. b 34. c 35. a 36. c 37. e 38. c 39. c 40. a 41. a 42. d 43. a 44. a 45. a 46. c 47. e 48. d 49. e 50. b 51. b 52. b 53. b
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
c e a b d a b
TRILCE 51 Capítulo RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO 5 EN POSICIÓN NORMAL Definiciones Previas: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado también en posición canónica o stándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértic cide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cua drantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante. Lado Final Lado Inicial Vértice . (+) x y Del gráfico : * . : es un ángulo en posición normal * . . IIC ; . . 0 Lado Final Vértice Lado Inicial (-) x y . * . : es un ángulo en posición normal * . . IIIC ; . . 0 Definición de las Razones Trigonométricas: Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un p unto P(x0;y0) perteneciente a su lado final. x y P(x ;y ) o o r xo yo . . ' Se define: o o o o x y Tan r x Cos r y Sen . . . . . . o
o o o y Csc r x Sec r y x Cot . . . . . . * 2 o 2 o r . x . y * .' : se denomina ángulo de referencia
Trigonometría 52 Signo de las R.T. en los cuadrantes Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto. Cosecante y Seno (+) Cotangente y Tangente (+) positivas son Todas (+) Secante y Coseno (+) Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales . radianes . (grados) Sen . Cos . Tan . Cot . Sec . Csc . 0 . 2. 0 0 1 0 N. D. 1 N. D. 2 . 90º 1 0 N. D. 0 N. D. 1 . 180º 0 - 1 0 N. D. - 1 N. D. 2 3. 270º - 1 0 N. D. 0 N. D. - 1 Nota: N.D. no definido Ángulos Coterminales: Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicia l y final. Ejemplo: . Vértice Lado inicial Lado final i) ii) P(x ;x ) o o x y Se tiene que : * . y . : son coterminales * . y . : son coterminales (están en P. N.) Propiedades: Si . y . son coterminales se cumple que: I. II. . - . = 360ºn ; n Z R.T. (.) = R.T.(.)
TRILCE 53 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Del siguiente gráfico, calcular: E . 10Sen. .12Cot. x y . (1;-3) a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 02. Por el punto P(.2; 5) pasa el lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es " . ". Calcular: Cos . . a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/3 e) -3/2 03. Si: 3 Sen. . . 2 y . . IIIC. Calcular: E . 5(Tan. . Sec.) a) -1 b) -2 c) -3 d) 2 e) 3 04. Indicar el signo de cada expresión: I. Sen200ºTan240º II. Cos120ºTan100º III. Sen150ºCos340º a) +, +, + b) ., ., . c) ., +, + d) +, ., . e) +, ., + 05. ¿A qué cuadrante pertenece " . ", si: Tan. . 0 y Cos. . 0 . a) IC b) II c) IIIC d) IV e) IC y IIC 06. De la figura, calcular: "Tan." x y . 17 (1-x;2x) a) 1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 07. Calcular: 2abCsc270 E (a b) Sec360º (a b) Cos180 . 2 . . 2 . a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 08. Si: x .IVC y 0 6 |Cscx |.4Sen . . Calcular: E = Senx + 3 Cosx a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2 09. Si: Cos 0,3 . . . y . . IIC Calcular: E . Tan2. . Sec. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 10. Si: f(x)=2Sen2x+3Cos3x+4Tan4x. Calcular: ) 2
f(. a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 11.Una raíz de la ecuación: x2 . 2x . 3 . 0 es un valor de "Tan . ", si: . .IIIC . Calcular: E . 10(Sen. . Cos.) a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 12. Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x. Calcular: ) 2 f(. a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 13. Si: . y . son medidas de ángulos coterminales y se cumple que: Tan . <0 y |Cos . |=-Cos . . ¿A qué cuadrante pertenece " . "? a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) IC y IIC
Trigonometría 54 14. Calcular: E . 25Sen. . Tan. , a partir de la figura mostrada: x y . . (24;7) (-4;-8) a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 15. Por el punto P(. 2;. 7) pasa por el final de un ángulo en posición normal cuya medida es " . ". Calcular: 7Csc. . a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 16. Calcular: E . Senx . Cosx .1 a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2 17. Si: . .IV , determine el signo de: . . . . . . . Sen Cos E Tan (1 Cos ) a) + b) - c) + ó d) - y + e) Todas son correctas 18. Con ayuda del gráfico mostrado, calcular: ) 2 3Sen( ) Sen( ) 6 3Cos( E . . . . . . . . . . . . . a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 19. De la figura, calcule: "Tan . " x y . 37º a) -3/7 b) -4/7 c) -5/7 d) -6/7 e) -7/4 20. Del gráfico, calcule: " Tan." . x y (2;-3) . a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 21. De acuerdo al gráfico calcular: K . 5Cos. . Cos. y x
(-24;7) (-4;-3) . . a).. 2 b) . 3 c) . 4 d) 2 e) 4 22. Si el punto Q(8; 5) pertenece al lado final de un ángulo canónino " . ". Calcular: R . Csc. . Cot. a) 0,4 b) . 0,4 c) 0,6 d) . 0,6 e) . 0,3 23. Simplificar: 2 bCos 2 aSen 3 (a b) Cos 2 (a b) Sen L 2 2 3 2 5 . . . . . . .. . .. . . . . a) 2a b) . 2a c) 4a d) . 4a e) . 4b 24. Señale los signos de: Tan300º Tan260º M . Sen140º.Cos140º y Cos248º Sen348º R Tan160ºCos217º Tan116º . . . a) (.) No se puede precisar. b) (+) ; (+) c) (+) ; (.) d) (.) ; (.) e) (.) ; (+)
TRILCE 55 25. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda en: I. Si: Sen. . 0 . Cos. . 0 , entonces ..IV . II. Si: Tan. . 0 . Sec. . 0 , entonces ..IIIC . III. Si: Csc. . 0 . Cot. . 0 , entonces ..IIC . a) VVF b) VVV c) VFV d) FFV e) FVV 26. Sabiendo que: Sen. . 0 Tan. Sec. . 0 ¿A qué cuadrante pertenece el ángulo canónico . ? a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) No se puede precisar. 27. Señale el cuadrante al que pertenece " . " si: Cos. . Tan. . . a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) No se puede precisar 28. Señale Verdadero (V) o Falso, según corresponda en: I. Si: .. 90º ; 180º , entonces ..IIC . II. Si: ..IIC , entonces .. 90º ; 180º . III. Si: ..IIIC , es positivo y menor que una vuelta, entonces .. 180º ; 270º . a) VVF b) VFV c) VFF d) FVV e) VVV 29. Sabiendo que: 3 Tan. . . 2 . . IIC Calcular: Q . Sen. . Cos. a) 13 1 b) 13 . 13 c) 13 . 5 d) 13 5 13 e) 13 3 30. Si el lado final de un ángulo canónico " . " pasa por los puntos P(m+n; n) y Q(n;m.n), Calcular: K . Cot2. . Tan2. a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 31. Sabiendo que " . " es un ángulo positivo menor que una vuelta perteneciente al IIIC señale el signo de: 5 Tan 3 3 Cos 2 2 Sen Q . .. . .. . . . . . a) (+) b) (.) c) (+) o (.) d) (+) y (.) e) No se puede precisar.
32. Del gráfico, calcular : E . 3Tan. .1 y x 53º . a) 0 b) 1 c) . 1 d) 2 e) . 2 33. Tomando 5 . 2,236 y sabiendo que: Ctgx = - 0,5 y que x .IVC . ¿Cuál es el valor de Cscx? a) . 2,236 b) 2,236 c) . 0,4472 d) 1,118 e) . 1,118 34. Los cuadrantes en los que el Coseno y Tangente tienen el mismo signo son: a) 1º y 2º b) 1º y 3º c) 2º y 3º d) 2º y 4º e) 1º y 4º 35. Se tienen dos ángulos coterminales tales que el mayor es al menor como 23 es a 2. Su suma está comprendida entre 2820º y 3100º. ¿Cuál es la medida del mayor? a) 2540º b) 2760º c) 2820º d) 2420º e) 3000º 36. Siendo: 130 1 70 1 28 1 4 Sen 1 5 4 . . . . . Cos. . .Cos. Calcular: K . 2Sen. . 3Cos. a) 1 b) . 1 c) 2 d) . 2 e) . 3 37. El valor numérico de la expresión: Sen180º+2Cos180º+3Sen270º+4Cos270º- 5Sec180º-6Csc270º es: a) . 4 b) 12 c) 6 d) .16 e) 8
Trigonometría 56 38. Indicar los signos de las siguientes expresiones en el orden F. G. H. Csc 215ºCtg338º Sec285ºTan 138º Sen210º F 3 2 3 . 2 3 2 3 Csc195ºTan336º Sen 260ºCtg 115ºCos116º G . 3 3 Tg135º Sec298º Sen195ºCtg340ºCsc128º H . a) . , + , . b) . , . , + c) . , . , . d) + , . , . e) + , + , + 39. Si: f(.) . Cos(3.) . 1 . Sen2(2.) . Cos2. Calcular: 1 3 f 3 f . .. . .. . . . .. . .. .. . a) 2 b) 2 2 . 3 c) 5 d) 3 . 2 3 e) 2 2 . 3 3 40. Determinar el signo de S en cada uno de los cuadrantes (I, II, III, IV). S = Ctgx + Senx - Cscx I II III IV a) + + + + b) + . + + c) + . + . d) . + . + e) + + . . 41. Determinar el signo de: Sen3QSec5QCtg4Q a) . ; si Q pertenece al IC. b) + ; si Q pertenece al IIC. c) + ; si Q pertenece al IIIC. d) + ; si Q pertenece al IVC. e) . ; si Q pertenece al IIC. 42. Dado: 2 2
2 2 p q Cosx p q . . . . ; p > q > 0 Calcular Tgx, con x en el segundo cuadrante. a) q2 p2 2pq . . b) 2 2 q p 2pq . c) 2 2 q p 2 pq . . d) 2 q2 p 2 pq . e) 2 2 2 2 q p q p . . 43. Sabiendo que: 4 CosQ . 1 270º < Q < 360º Calcular el valor de la expresión: 1 CtgQ SecQ CscQ . . a) 0,25 b) 0,50 c) 2,50 d) 4,00 e) 4,50 44. Si . es un ángulo del tercer cuadrante, tal que: 1 . Ctg2. . 8 Calcular: (8Sec.)3 a) 83 63 b) 63 83 . c) 63 83 d) 3 63 83 . e) 63 63 86 . 45. Si el ángulo x es positivo, pertenece al cuarto cuadrante y es tal que: 0 . x . 2. . Entonces, hallar el signo de las siguientes expresiones trigonométricas. I. .. . ... .. .
.. . .. . .. . 4 Co sec x 2 Sen x 4 Tan x II. .. . .. . .. . .. . ... .. . 5 Cos x 4 Sec 3x 3 Cot x III. .. . .. . .. . .. . .. . .. . 4 Sec 3x 3 Tan 2x 3 Sen x a) (+) (+) (+) b) (.) (.) (.) c) (+) (+) (.) d) (.) (.) (.) e) (.) (.) (+) 46. Hallar el signo de las expresiones trigonométricas, en el orden dado: 3 Cos 25 3 Sen 52. . ; 3 Cot 22
5 Sen 32. . ; 10 Cot 73 3 205 Sen . .. . .. . . . a) (+) (+) (.) b) (.) (+) (.) c) (.) (+) (+) d) (.) (.) (+) e) (+) (.) (+)
TRILCE 57 47. Si . es un ángulo en el primero cuadrante y Sen. . 0,25 . ¿Cuál es el valor de Csc. . Ctg2. ? a) 15 b) 19 21 c) 15 19 d) 21 19 e) 19 48. Si Tg. . 1,5 , siendo . un ángulo en el III cuadrante, el valor de la expresión: (Sec Csc ) 13 M . 1 . . . es : a) 6 . 1 b) 6 . 1 c) 6 1 d) 6 . 5 e) 6 1 49. Calcular el Coseno del ángulo . del segundo cuadrante, tal que 5 Sen. . 3 . a) 5 4 b) 5 3 c) 3 . 2 d) 5 . 4 e) 3 . 1 50. Si 3 Tan. . . 1 y . está en el segundo cuadrante. Hallar : . . . . . 2Ctg K 3(Cos 5Sen ) a) 10 b) 10 . 10 c) 10 10 d) 5 2 10 e) 5 . 2 10 51. En la figura adjunta, hallar: V . 5Sen. .15Cos. . Tan. 24 - 7 0
. x y a) 35 141 b) 7 29 c) 35 99 d) 7 39 e) 4 1 52. Indicar la alternativa correcta para el signo de las siguientes expresiones: I. Sen(361º) . Cos(455º) II. .. . .. . . . .. . .. . . 4 Cos 3 4 Sen 3 III. Sec(315º ) 4 Tan 5 . .. . .. . . a) + ; . ; + b) + ; + ; . c) . ; . ; + d) + ; . ; . e) + ; + ; + 53. Sea . un ángulo del tercer cuadrante. Indicar la alternativa correcta al simplificar: . . .. . . .. . E . 1 . 1. Sen2. Cos a) 2 . Sen2. b) . Sen2. c) 1 . Cos2. d) Sen2. e) Cos2. 54. Si: Senx = 0,6, ¿cuál es el valor de Cosx, sabiendo que x es un ángulo del segundo cuadrante? a) Cosx = 0,8 b) Cosx = 0,6 c) Cosx = . 0,7 d) Cosx = 0,9 e) Cosx = . 0,8 55. Si " . " y " . " son ángulos cuadrantales, positivos y menores que una vuelta, tales que: Cot. . Cos. Calcule: . . . . . . . Cos 2 Sen 2
Cos Sen K a) 2 . 2 b) 2 .1 c) 2 .1 d) 2 . 2 e) 1 56. Si . y . son ángulos positivos, que no son agudos; Cos. . 0 ; Tan. . 0 ; (. . . . 360º ) Sean: a = . Sen(. . .) b = .Sen2. c = Sen2. Entonces, son positivas. a) a y b. b) a y c. c) a , b y c. d) a. e) b y c.
Trigonometría 58 57. Si: 3 2 b Tanx a .. . .. . . Calcular el valor de: ; x IC aCosx b bSenx E . a . . a) 3 3 1 3 1 3 1 3 1 a b b a . . . . . . . . . . . . . b) a b b a . c) 2 1 2 2 2 2 a b b a . . . . . . . . . d) 2 3
3 2 3 2 3 2 3 2 a b b a . . . . . . . . . . . . . e) 3 1 3 3 3 3 a b b a . . . . . . . . . 58. Hallar todos los valores que puede tomar el ángulo . del primer cuadrante, cuyo ángulo doble está en el segundo cuadrante, su ángulo triple está en el tercer cuadrante y su cuádruple en el cuarto cuadrante; pero inferior a 2. a) 4 2 . . . . . b) 3 2 . . . . . c) 12 2 5. . . . . d) 8 2 3. . . . . e) Faltan datos 59. Si: ..IIC y 3 4 Sen2. . (Sen.).Cos. Calcular: Tg. . Sen. a) 143 12 . 11 b) 143 12 13 c) 143
12 . 13 d) 143 12 9 e) 143 12 11 60. Se tiene dos ángulos que se diferencian en un múltiplo de 360º. Se sabe que el cuádruple del menor es a la suma del ángulo menor más el triple del mayor de los ángulos, como 4 es a 5. Hallar el menor de los ángulos, si se sabe que está comprendido entre 1080º y 3240º. a) 1280º b) 2160º c) 3200º d) 3210º e) 3230º
TRILCE 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
b b a c d d e a e a d b b e d a a e b b c c e d a b d b b c
59 ClavesClaves 31. b 32. c 33. e 34. a 35. b 36. d 37. c 38. a 39. c 40. c 41. c 42. b 43. d 44. e 45. c 46. b 47. e 48. a 49. d 50. b 51. d 52. e 53. d
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
e a e d d c b
TRILCE 61 Capítulo 6 REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE OBJETIVO: El objetivo del presente capítulo es: * Calcular las razones trigonométricas de un ángulo que no es agudo, en función de otr o que sí lo sea; reconociendo previamente el caso en que nos ubicamos y el criterio a utilizar. * Simplificar correctamente expresiones del tipo: ; n Z 2 n . T . R . .. . .. . . . . * Reconocer y aplicar correctamente las propiedades de ángulos cuya suma de medida s es 180º ó 360º CASOS I. Ángulos cuyas medidas están en <90º ; 360º>: En este caso, el ángulo original " . " se descompone como la suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º ; 180º ; 270º ó 360º) con un ángulo que sea agud ara luego aplicar : Co R.T.( ) 220 90 R R.T.( ) 360 180 R RT( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donde el signo (.) que deberá anteponerse al resultado dependerá del cuadrante al qu e pertenezca el ángulo original " . " Por ejemplo; calculemos: * 2 Sen120º Sen(90º 30) Cos30º 3 ( ) . . . . . . ..... * 2 Cos120º Cos(180º 60º) Cos60º 1 ( ) . . . . . . . .....
* Tan 240º Tan(270º 30º ) Cot 30º 3 ( ) . . . . . . ..... * Csc330º Csc(360º 30º ) Csc 30º 2 ( ) . . . . . . . ..... * S..en.17..0º . Sen( ) . * C..os.20..0º . Cos( ) . * T.a.n.26..0º . Tan( ) . * S.e.n.32..0º . Sen( ) . II. Ángulo cuya medida es mayor que 360º: En este caso, se procede de la siguiente m anera: R.T. (.) = R.T. (.) ; donde . 360º .......q Residuo
Trigonometría 62 Por ejemplo, calculemos: * 2 Sen2580º . Sen60º . 3 * Tan 3285º = Tan45º = 1 2580º 360º 2520º 7 60º 3285º 360º 3240º 9 45º * Sec1200º = Sec120º = Sec(90º + 30º) = . Csc30º = . 2 1200º 360º 1080º 3 120º ....... (.) * Sen 3180º = Si el ángulo estuviese expresado en radianes, se procede de la siguiente manera: * 133 4 132 33 1 127 6 126 21 1 1 2 Sen 1 2 Sen133 . . . . 2 1 3 Cos 1 3 Cos127 . . . . * Es decir, si fuese: ; a 2b b a . T . R . .. . .. . . Se divide: a 2b q r este residuo reemplaza al numerador "a" * 1315 8 51 164 35 3 1345 3 Sen 1345 . 4 * Tan 3 4
Tan1315 . . . III. Ángulos de medida negativa: Se procede de la siguiente manera: Sen(-x) = -Senx Csc(-x) = -Cscx Cos(-x) = Cosx Sec(-x) = Secx Tan(-x) = - Tanx Cot(-x) = - Cotx Por ejemplo, calculemos: * 2 Sen(.45º ) . .Sen45º . . 2 * 2 Cos(.60º ) . Cos60º . 1 * Tan( 120º ) Tan120º Tan(90º 30º ) ( Cot30º ) 3 ( ) . . . . . . . . . . . ..... * Cos (- 200º) = IV. Ángulos relacionados: 1. .. .. . . . . . . . . Tanx Tany Cosx Cosy Senx Seny Si : x y 180º 2.
TRILCE 63 .. .. . . . . . . . . Tanx Tany Cosx Cosy Senx Seny Si : x y 360º Por ejemplo, calculemos: 7 Cos 6 7 Cos 5 7 Cos 4 7 Cos 3 7 Cos 2 7 C . Cos . . . . . . . . . . . En esta expresión note que: 7 Cos 6 7 Cos 7 6 7 . . . . . . . . . . 7 Cos 5 7 Cos 2 7 5 7 2. . . . . . . . . . 7 Cos 4 7 Cos 3 7 4 7 3. . . . . . . . . . Luego: 7 Cos 6 7 Cos 5 7 Cos 4
7 Cos 4 7 Cos 5 7 C . . Cos 6. . . . . . . . . . . Reduciendo, quedaría C = 0
Trigonometría 64 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Señale el valor de: Sen120º a) 1/2 b) -1/2 c) 2 3 d) 2 . 3 e) 2 2 02. Hallar: Cos330º a) 1/2 b) -1/2 c) 2 3 d) 2 . 3 e) 2 2 03. Calcule: E = Tg150º.Sen315º a) 4 6 b) 4 . 6 c) 6 6 d) 6 . 6 e) 4 . 2 04. Hallar el valor de: Sen1680º a) 1 b) -1 c) 1/2 d) -1/2 e) 2 . 3 05. Determinar el valor de: Cos1200º a) 1 b) 0 c) 1/2 d) -1/2 e) 2 3 06. Hallar: E . Cos(.60º ) . Tg(45º ) a) 1/2 b) -1/2 c) 0 d) 1 e) 2 07. Hallar: E = Sen(-30º)+Tg(-53º) a) 11/6 b) 6/11 c) -11/6 d) 0 e) 1 08. Señale el equivalente de: Cos(180º+x) a) Cosx b) -Cosx c) Senx d) -Senx e) -Secx 09. Determinar el equivalente de: Sen(360º-x) a) -Senx b) Senx c) Cosx d) -Cosx e) Cscx 10. Determina el equivalente de: 2
Sen ]32 ]. . a) 1 b) -1 c) 0 d) 1/2 e) -1/2 11. Hallar el valor de: Cos1741 . a) 1 b) -1 c) 0 d) 1/2 e) -1/2 12. Hallar: 3 Tg17. . a) 1 b) -1 c) 3 d) . 3 e) 3 . 3 13. Del gráfico, calcule: Tg . A C B M 45º . a) 1 b) 2 c) -1 d) -2 e) 3/4 14. Del gráfico, hallar: Tg . A C 37º B D . a) 3/4 b) -3/4 c) 3/7 d) -3/7 e) -4/7 15. Hallar el equivalente de: Cos(x 90º ) M Sen(x 180º ) . . . a) 1 b) -1 c) Tgx d) Ctgx e) -Tgx
TRILCE 65 16. Si: Sen(-x) + 2Cos(-x) = 2Senx ; x es agudo Calcular: M = Sec(-x) + Csc(-x) a) 2 5 b) 2 . 5 c) 6 13 d) 6 . 13 e) 5 . 5 17. Reducir: Cos(180º x)Sec(360º x)Cot(180º x) A Sen(90º x)Tan(180º x)Csc(270º x) . . . . . . . a) 1 b) ..1 c) Tan2x d) Cot2x e) . Tan2x 18. Simplificar: Tan( ) 2 Sen( )Cot(2 )Sec 3 C . . . .. . .. . . . . . . . . . . . a) Tan2. b) .Tan2. c) Ctg2. d) .Ctg2. e) 1 19. Simplificar: .. . .. . . . . . .. . .. . . . . . . x 2 Tan( x)Cos 3 x 2 Sen( x)Tan 3 C a) Cotx b) Cot2x c) .Cot2x d) - Cotx e) Cot3x 20. Si : 2 0 . A . .
Evaluar: .. . .. . .. . . . . .. . .. . . . . A 2 A Cos( A) Tan 3 2 F Sen A Ctg(2 A) Csc( A) 2 Sec . . . . . . .. . .. . . . . a) 2 SenA b) . 2SenA c) 2CscA d) . 2CscA e) . 2SecA 21. Calcular: 3Tan240º 4Tan315º 1 M 2Sec120º 1 . . . . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) ..2 22. Calcular: Cos210º Cos300º C Sen135º Sen240º Tan150º . . . a) 3 6 b) 3 . 6 c) 3 2 6 d) 3 . 2 6 e) 3 . 2 23. Calcular: 2Cos4920º 1 U (2Sec3000º 1)(2Sen3383º 1) . . . . a) 2 1 b) 2 . 1 c) 4 1 d) 4 . 1 e) 4 . 3
24. Marque Ud. la afirmación correcta: a) . Sen (. 750º) = . 0,5 b) . Cos(.1110º ) . .0,5 3 c) 3 . Tan(1830º ) . . 3 d) . Ctg(.3270º ) . . 3 e) + Sen2534º = Cos14º 25. Hallar el valor numérico de: Tan 780º Tan 330º Ctg 225º F Sen 225º Tan 330º Sen 780º 2 2 2 2 2 2 . . . . . a) 12 31 b) 20 33 c) 44 1 d) 20 . 33 e) 12 . 31 26. Simplificar las expresiones: Sen( ) Sen(360º ) Cos(180º ) a Cos( ) .. . .. .. . .. . . .. .. . .. Sen Cos(90º ) Cos( ) b Sen(90º ) a) a = 0 y b = . 2 b) a = . 1 y b = . 2 c) a = . 2 y b = 2 d) a = 0 y b = 0 e) a = . 1 y b = 2 27. Si: x + y = 180º . y + z = 270º Calcule el valor de: Ctgz Tany Seny J . Senx .
Trigonometría 66 a) 1 b) 0 c) - 3 d) 2 e) - 5 28. Si: Tanx + Ctgy = 2 ; x . y . . Hallar: Ctgx a) . 2 . 1 b) 1. 2 c) 2 . 2 .1 d) 2 1 . 2 e) . 2 . 1 29. Simplificar la expresión: Cos(540º )Sen(450º )Tan(360º ) E Sen(180º )Cos( 90º )Tan(2160º ) .. .. .. . .. . . .. Sabiendo que : Sec2. . 2 Entonces E es igual a : a) 2 b) 1 c) . 1 d) . 2 e) 0 30. El valor de la expresión: .. . .. . . . . .. . . . . . .. . .. . . . . . .. . . .. . .. .. . . . 2 Ctg(2 ) Sec( ) Csc 6 Cos( ) Tan 2 Sen 3 E Cuando : 6 . . . es: a) 1 b) . 1 c) 0 d) 2 e) . 2 31. Calcular el valor de: Cos10º+Cos30º+Cos50º+.... +Cos170º a) 2 1 b) 0 c) 2 3 d) 1 e) 4 3 32. Calcular: ................... 20 términos 30 ... Cos 29
30 Cos 3 30 Cos 2 30 T . Cos . . . . . . . . a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) - 2 33. El valor de la siguiente expresión: .. . .. . . .. . .. . . . .. . .. . . ... .. . . 12 Cos 7 12 Sen 12 Cos 12 Sen 7 Es igual a: a) 0 b) 1 c) - 1 d) 2 e) - 2 34. Simplificar: Cos(5 )Csc(7 )Ctg(9 ) 2 Sec 9 2 Sen 7 2 Tan 5 K ... ... . .. .. . .. . . .. .. . .. . . .. .. . .. . . .. . a) 0 b) . 1 c) 1
d) . 2 e) 2 35. En un triángulo ABC se cumple: Sen (B + C) = CosC Dicho triángulo es : a) Escaleno b) Rectángulo c) Isósceles d) Acutángulo e) Equilátero 36. En un triángulo ABC, se cumple que: Cos (A + B) = CosC Entonces el valor de A + B es : a) 4 . b) 3 . c) 3 2. d) 6 . e) 2 . 37. Calcular: Cos2A . Sen2B Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios. a) . 1 b) 2 . 1 c) 0 d) 2 1 e) 1 38. Si A y B son ángulos complementarios, al simplificar: Cos(2A B)Tan(4A 3B) E Sen(A 2B)Tan(2A 3B) . . . . . Se obtiene: a) 3 b) 2 c) . 2 d) .1 e) 1 39. En un triángulo ABC, cuales de las siguientes proposiciones se cumplen: I. SenA = Sen(B+C) II. CosA = Cos(B+C) III. SenB = -Sen(A+2B+C) a) VVV b) VFV c) VFF d) FVF e) FFF 40. Si : 2 a . b . c . . y Sen(a + b) = - Senc ¿Cuál de los siguientes resultados es verdadero? a) 0 4 c 4 2 Cos . .. . .. . . .
TRILCE 67 b) 0 4 c 4 Cos . .. . .. . . . . c) 0 2 c 4 Cos . .. . .. . . . d) 0 4 c 4 Cos . .. . .. . . . e) Cos(4c . .) . 0 41. Calcule el valor de: 4 Sec 175 4 R . Tan 37. . . a) .1 . 2 b) 2 2 c) . 2 d) . 2 e) 1. 2 42. El valor que asume la expresión: .. . .. . .. . .. . . .. . .. . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . 6 Sec( ) Csc 2 Ctg 3 Cos(2 ) Tan( ) 2 Sen Cuando : 3 . . . es: a) 13 3 3 .1 b) 13 1 . 3 3 c) 3 3 3 .1
d) 3 3 3 . 1 e) 3 1 . 3 3 43. Sabiendo que: 1 2 Cos 77 2 55 Sen m . .. . .. . . . . .. . .. . . . . Calcular: E . Tan. . Ctg. en términos de m. a) m2 b) .m2 c) 2m d) . m e) m 44. Si : . . (1 . k)360º.1035º , k .Z El valor de : Sen(. . 22,5º ) será: a) 2 2 . 3 b) 2 2 . 3 c) 2 . 2 . 2 d) 2 2 . 2 e) 2 2 . 2 45. Qué relación existe entre a y b sabiendo que: 0 4 Ctg 6 3a 2b 8 Tan 2a 3b . .. . .. . . . . . .. . .. . . a) 2 1 b) 3 1 c) 4 1 d) 5 1 e) 6
1 46. Si : SenA . 2CosA = 0 Entonces el valor de: Sen(360º A)Csc(180º A)Cos(180º A) E Tan(90º A)Sec(180º A)Ctg(270º A) . . . . . . . es: a) . 5 b) 5 c) 4 5 d) 4 . 5 e) . 4 47. Hallar . sabiendo que está en el tercer cuadrante, es positivo, mayor que una vuelta y menor que dos vueltas y: 11 Cos. . .Sen . a) 22 75. b) 22 73. c) 22 71. d) 22 69. e) 22 67. 48. Si . es la medida de un ángulo agudo tal que: Cos1996º . .Sen. Calcular el valor de: E . Csc15. . Sen15. a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 49. Sabiendo que: ; k Z 2 k Tan M . .. . .. . . . . . . . Z n ; (-1) n Csc N n . .. . .. . . . . . Calcular: MN E M N 2 . 2 . a) Tan.Sen. b) .Tan.Sen. c) Ctg.Cos. d) .Ctg.Cos. e) .1
Trigonometría 68 50. Del gráfico. x b a y Determinar: Cosa Cosb 6 6Cos a b Sena Senb 3 3Sen a b K . . .. . .. . . . . .. . .. . . . a) 2 . 1 b) 3 . 1 c) 4 . 1 d) 2 1 e) 3 1 51. Sabiendo que: . . . . . . 56 n 2 Tan(n! ( 1)nx) 2Cotx Donde: x .IC Calcule: W = Secx . Tanx a) 2 3 b) 6 c) 3 2 d) 2 6 e) 6 6 52. Si : ABCD: cuadrado Calcule: W . Tan. . Tan. 26º30' P B C A D . . N M a) 2 b) 1 c) - 2 d) . 1 e) 2 . 3 53. Del gráfico calcule: W . 3Cot. . 55 Si: OA = OB
A O B 2 3 4 . a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 54. Del gráfico, hallar "Cot. " en función de " . ". Si: AB = BC . . B C A x y a) Tan. .1 b) Tan. .1 c) .Tan. .1 d) .Cot. . 1 e) Cot. . 1 55. Del gráfico, calcule: Cos. . r R a) 2R r b) 2R . r c) 2r R d) 2r . R e) 4r . R 56. En un triángulo ABC, se sabe que: Sen(A . B) . 2Cos(B . C) . SenC Calcular: 1 Sen4A Sen4B Sen4C W 1 Cos2B Cos2C Cos2A . . . . . . . a) 1 b) 2 c) 4 d) . 1 e) 2 1
TRILCE 69 57. ¿Cuál es la medida del mayor ángulo " . " que cumple: . . .Cos. 7 Sen 2 Si es mayor que 3 vueltas, pero menor que 4 vueltas. a) 14 97. b) 14 101. c) 14 103. d) 14 95. e) 14 99. 58. De acuerdo al gráfico, calcule: .. . .. .. . . . . .. . .. . .. . . . . .. . .. .. .. . . . 6 Tan 4 Cos 3 3 Sen 2 K . . . . y x a) 12 6 b) 12 3 c) 12 . 6 d) 12 . 3 e) 6 . 6 59. Reduzca: .. .
.. . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . . . 2 4Sen(82 ) 5Cos 79 2 2Tan(57 ) 3Cot 57 G a) Sec. 9 5 b) . Sec. 9 1 c) 5Sec. d) .Csc. e) . Csc. 9 2 60. Señale el signo de cada una de las expresiones: 11 1 Tan 12 7 Cos 36 7 Sen 20 R . . . . . . 8 Cot 21 7 Csc 27 8 H . Sen 25. . . . . 5 Sec 9 9 G . Csc 44. . . a) (+) ; (.) ; (.) b) (+) ; (.) ; (+) c) (+) ; (+) ; (+) d) (.) ; (.) ; (+) e) (.) ; (+) ; (+)
Trigonometría C CCl lla aav vve ees ss 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
c c c e d b e b a a b d d d b d e d b d d b a c c c d e b d
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
b a a c b e e e b b e a e d c a a b
49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 70
a a b d b e b b d c c b
TRILCE 71 Capítulo 7 CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA DEFINICIÓN Es aquella circunferencia canónica; es decir, con centro en el origen del sistema cartesiano; y con radio igual a la unidad del sistema. En el gráfico adjunto, destacaremos los siguientes elementos: A (1; 0) : origen de arcos B (0; 1) : origen de complementos de arcos A' (-1; 0) : origen de suplementos de arcos B' (0; -1) : anónimo El punto A(1;0) se denomina origen de arcos, ya que a partir de él se van a dibuja r arcos orientados, con un signo asociado, tan igual que en el caso de los ángulos trigonométricos; por ejemplo, en e l gráfico: . : es un arco positivo (sentido antihorario) . : es un arco negativo (sentido horario) Ahora bien, los puntos "M" y "N" se denominan extremos de arco; y dichos arcos se denominarán arcos en posición nomal. Si observamos en la siguiente C.T., notaremos que entre el arco y el ángulo centra l correspondiente, se cumple que numéricamente son iguales; lo cual permitirá establecer una relación entre los números r eales y el ángulo central correspondiente, en radianes. En el sector circular AOM; por longitud de un arco: AOM = .rad, esto es: AOM (en rad) = AM (numéricamente) Debido a esta relación, a cada arco le corresponde un ángulo central del mismo valor , pero expresado en radianes. y B x A' A B' R=1 C.T. 1 x 2 + y 2 =1 O y x M B A' A . . B' N 1 O . . y x
C.T. A' O 1 A M N 1 .rad .rad B B'
Trigonometría 72 Así mismo, podemos establecer: R.T. ( . rad) = R.T. ( . ) ; . . R Con lo cual queda claro que las Razones Trigonométricas (R.T.) de un número real, so n calculables al asociarles un ángulo cuya medida está expresada en radianes, numéricamente igual considerado. Es decir; por ejemplo: Sen 2 = Sen 2 rad Tan 3 = Tan 3 rad Cos (-1) = Cos (-1 rad) LÍNEAS TRIGONOMÉTRICAS Son segmentos dirigidos (de medida positiva o negativa) que van a representar el valor numérico de una Razón Trigonométrica de un cierto número (expresado graficamente como un arco); así como también permitirán a nalizar las variaciones de estas R.T., así como su comportamiento. Para comenzar con el análisis, se recomienda tener en cuenta las siguientes observ aciones para la ubicación de arcos. a) Para arcos representados por números enteros: x y O C.T. 1,57=.2 3,14=. 2.=6,28 O 4,71=3 2 . 1 y x 2 1 3 4 5 6 b) Para arcos con extremos en A, B, A' ó B' ( n . Z ) 2 n 2 (2n 1) 2 B':(4n 3) 2 B:(4n 1) n A':(2n 1) A:2n . . . . . . . . . . . . . .. . .. .
. . . . . . . . . . . I. Línea Seno.Representación: Variación : .. 2 0 . . .. . 2 2 3 . .. . . . 2 2 3 Sen . 0 . 1 1 . 0 0 . -1 -1 . 0 Esto es: .1 . Sen. . 1 ; . . . R . . . . . mínimo : 1 máximo: 1 Sen y x A; 0; 2.; 4.; ... B': ..., 3...... A' 3 2 . .. 2 ... 2 ; ; ; .... B: .2 .. 2 .. 2 ; ; ; .... y x M N A' A B B' -1 1
C.T. (+) (-) (-) Sen. (+) Sen. . .
TRILCE 73 II. Línea CosenoRepresentación: Variación : .. 2 0 . . .. . 2 2 3 . .. . . . 2 2 3 Cos.. 1 . 0 0 . -1 -1 . 0 0 . 1 Esto es: .1 . Cos. . 1 ; . . . R . . . . . mínimo : 1 máximo: 1 Cos Observación: Si consideramos el extremo de un arco cualquiera, notaremos que por ser un punto del plano cartesiano, tiene sus propias componentes: Por ejemplo, para "M" se nota que: abscisa = Cos.. ordenada = Sen . Luego: M = (Cos ..; Sen .) De manera similar, las componentes de N son (Cos .; Sen .) III. Línea Tangente.Representación: Variación : . 2 0 . . .. . 2 2 3 . .. . . . 2 2 3 Tan . 0 . .. .. . 0 0 . .. .. . 0 Esto es: .. < Tan . < .. No hay máximo, ni mínimo (-) Cos.
(+) Cos. . . x y M N B' B A' A C.T. 1 -1 (-) (+) . . y x M N A' A B' B Cos. Cos. Sen. Sen. Sen. Cos. C.T. T P A' C.T. B' N . . B y x (+) (-) A Tan . M Tan . O Consideración: La L.T. tangente no está definida para arcos cuyo extremo esté en B ó B'; lo cual sign ifica que la R.T. tangente no se define para todo arco de la forma: ; n Z 2 (2n . 1) . .
Trigonometría 74 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Poner el signo en: I. Cos80º ( ) Cos 100º II. Cos200º ( ) Cos 300º III. Cosx ( ) Cos(x+20º) x ; agudo a) < ; < ; > b) > ; > ; < c) > ; < ; > d) > ; < ; = e) < ; > ; < 02. Poner el signo > ; < o = en: I. Sen20º ( ) Sen80º II. Cos10º ( ) Cos40º III. Sen200º ( ) Sen300º a) > ; > ; < b) < ; < ; < c) > ; > ; > d) < ; > ; > e) > ; < ; < 03. Indicar con "V" lo verdadero y I. Tg50º > Tg200º II. Tg100º > Tg300º III. Tg135º = Tg315º a) VVV b) VFV c) FFV d) FVF e) FFF 04. Determine el área de la región A O A B B . y x a) Sen . b) -Cos . c) Sen . /2 d) -Cos . e) -Cos . /2 05. Determine el área de la región A O A B B . y x a) 2 . Sen. b) 2 . Cos. c) 2 Cos. d) 2 Sen. e) 2 . Sen..Cos. 06. Determine el área de la región A O A B B . y x L a) Tg . b) 2 Tg. c) -Tg .
con "F" lo falso:
sombreada en la C.T.
sombreada en la C.T.
sombreada en la C.T.
d) . 2 Tg. e) -Tg2 . 07. Determine la variación de: E . 4Sen. .1 a) [.3;3] b) [.4;4] c) [3;5] d) [.5;3] e) [2;5] 08. Determine la variación de: A . 2Cos2. . 3 a) [3,5] b) [1,5] c) [-3,5] d) [-1,3] e) [-3,3] 09. Sabiendo que ..IIC . ¿Cuál es la variación de : L . 3Sen. .1? a) 0 ; 2 b) .1 ; 2 c) 0 ; 3 d) .1 ; 1 e) .. 4 ; 2. 10. Sabiendo que . . IIIC ; sabiendo la variación de: L . 2Cos. . 1 a) ..1 ; 3. b) .1 ; 3 c) .1 ; 1 d) 0 ; 3 e) . 2 ; 2 11. Calcular el producto del máximo y mínimo valor de: f(. , . , .) . 2Sen2. . 3|Cos.|.Sen. Siendo . , . y . independientes entre sí. a) 0 b) 4 c) 8 d) . 8 e) . 12
TRILCE 75 12. Hallar el área de y x C.T. 150º a) 2 4 1 4 3 . . .. . . .. . . b) 2 4 3 1 . .. . .. . . . c) 2 2 1 6 . .. . .. . . . d) 2 2 1 2 . .. . .. . . . e) 2 2 1 3 . .. . .. . . . 13. Sabiendo que: 4 ; 4 x . . . . ; señale la L . 3Tan2x .1 a) 0 ; 1 b) .0 ; 1 c) d) .1 ; 4 e) .2 ; 4 14. Sabiendo que: . .
la región sombreada en la C.T.
variación de: 1 ; 4 x . 2.
¿Cuál es la variación de : 1? 2 L . 3Cos x . a) .. 4 ; 2. b) . 4 ; 2 c) . 4 ; 1 d) . 4 ; .1 e) .. 4 ; 1. 15. Siendo 24 ; 5 8 x . . . Señale la variación de: 1 4 2Sen 2x L 4 . .. . .. . . . . a) 1 ; 2 b) 1 ; 4 c) 2 ; 4 d) 3 ; 6 e) 4 ; 8 16. Sabiendo que .. . .. . . . . 8 ; 7 24 x 17 Señale la variación de: 3 12 x 2 Cos 4 L . .. . .. . . . . a) .1 ; 3. b) ..1 ; 3. c) .1 ; 5. d) .. 3 ; 3. e) .3 ; 6. 17. Señale Verdadero (V) o falso (F), según corresponda en: I. Si: 2 0 x x1 2 . . . . . Tanx1 . Tanx2 II. Si: . . . . . 1 2 x x 2 . Tanx1 . Tanx2 III. Si: . . x . x . 2. 2 3 1 2 . Tanx1 . Tanx2 a) VVV b) VVF c) FFV d) VFV e) VFF 18. Hallar todos los valores que debe tomar "K" para que la igualdad no se verifique: 5 Sec. . 2K . 3
a) K . .1 . K . 4 b) .1 . K . 4 c) .1 . K . 4 d) K . .1. K . 4 e) K . .1. K . 4 19. En la C.T. calcular un valor de: K . Sen. . Cos. y x x2+y2=1 L1: y-2x+1=0 . a) 5 3 b) 5 4 c) 5 7 d) 5 1 e) 1 20. Sabiendo que: 12 x 35 12 11 . . Señale la variación de; 1 2 8 x Cos 4 C . .. . .. . . . . . a) [. 3 ; 2] b) [. 3 ; 3] c) [. 2 ; 3] d) [. 5 ; 6] e) [. 3 ; 5] 21. Si: 2 . . . . . ; . . . . . 2 ; . . . . 2. Calcular la suma del máximo y mínimo valor de : E . 2Sen. . 3Cos. . 4Sen.
Trigonometría 76 a) 1 b) 2 c) 0 d) . 1 e) . 2 22. De las cuatro proposiciones, indicar dos que son imposibles: I. 3Sen2x . 2 II. (m2 . n2)Cosx . 2mn , m. n.R III. (m2 . n2)Cscx . m2 . n2 ; m . n . 0 IV. Secx . 3 a) I y II b) I y III c) II y IV d) II , III e) III , IV 23. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los siguientes enunciados: I. La función Seno y Coseno son negativos en el tercer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante. II. No existe función trigonométrica alguna de un ángulo del segundo cuadrante que sea positivo y aumente a medida que el ángulo crece. III. Sólo existe una función que puede tomar el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante. a) FFF b) VFF c) VFV d) VVV e) VVF 24. Cuando el ángulo "x" aumenta de 90º a 180º. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) El Seno aumenta. b) El Coseno aumenta. c) El Cosecante aumenta. d) La Secante disminuye. e) La Cotangente aumenta. 25. En un círculo trigonométrico se tiene: . . . . . x1 x2 2 De las siguientes proposiciones: I. Senx1 . Senx2 II. Cosx2 . Cosx1 III. Cosx2 . Cosx1 Es o son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Las 3 son correctas 26. En la circunferencia trigonométrica, se pide indicar el valor de OC.DB , en función del ángulo " . " O A B C D . a) Sec. . Tan. b) Sec. . Tan. c) . . . Sen 1 Cos d) . . . Sen
1 Cos e) Sec. . Csc. 27. En el círculo trigonométrico, calcular el área de la región sombreada. O . a) (Sen Cos 1) 2 1 . . . . b) (Sen Cos 1) 2 1 . . . . c) (1 Sen Cos ) 2 1 . . . d) (1 2Cos ) 2 1 . . e) (1 2Sen ) 2 1 . . 28. Calcular BQ en el círculo trigonométrico adjunto en función de " . " O . B Q a) 1 . Sen. b) 1 . Sen. c) 2(1 . Sen.) d) 2(1 . Sen.) e) 2(1 . Cos.)
TRILCE 77 29. Evaluar: Sen(k.) . Cos(k.) . Tan(k.) k: número entero no negativo. a) .1 b) 2 c) 1 d) (.1)k e) . 1 30. Si . es un arco del segundo cuadrante, positivo menor que una vuelta. Hallar la extensión de: Cos(. . .) Si : 6 4 . . . . . a) 2 Cos( ) 1 2 . 1 . . . . . b) 2 .1 . Cos(. . .) . . 1 c) 2 Cos( ) 1 2 . 2 . . . . . . d) 2 .1 . Cos(. . .) . . 3 e) 2 Cos( ) 2 2 . 3 . . . . . . 31. De las siguientes proposiciones: I. Si : x x 0 2 1 2 . . . . . entonces: Sen x1 . Sen x2 II. Si : x x 0 2 1 2 . . . . . entonces: 2 1 Senx . Senx III. Cosx Ctgx Senx Tanx . . Es positivo en el primer y tercer cuadrante y negativo en el segundo y cuarto cuadrante. Son verdaderas: a) Sólo I b) Sólo I y II c) Sólo II y III d) Sólo III e) I , II y III 32. El mínimo valor de la función: f Tg2x (x) . ; .. . .. . .. . 6 ; 5 3 x es : a) 0 b) 3
1 c) 3 d) No existe mínimo f e) 1 33. Si: .. . .. .. . . . 3 ; 6 para que valores de "x" se cumple que: (x .1)Sen2. . 3x . 2 a) .. . .. .. . 14 ; 9 9 14 b) .. . .. .. . 13 ; 9 9 13 c) .. . .. .. . 16 ; 9 9 16 d) .. . .. .. . 11 ; 9 9 11 e) .. . .. .. . 10 ; 9 9 10 34. En la figura mostrada, halle el área de la región triangular OQP. y Q O . x P (0;1) (1;0)
a) 4 . Sen.Cos. b) 8 . Sen.Cos. c) 16 . Sen.Cos. d) 2 . Sen.Cos. e) .Sen.Cos. 35. En la figura siguiente, calcular el área de la región sombreada. y . x x2+y2=1 3 1 3 y . x . a) .Cos(.).2 b) Cos( ) 2 2 . 1 . . c) Cos( ) 2 3 . 1 . . d) Cos( ) 2 2 1 . . e) Cos( ) 2 2 1 . . 36. En el círculo trigonométrico mostrado, halle el área de la región sombreada. y O A x B C D .
Trigonometría 78 a) 2 Sen2. b) 2 Tan2. c) 2 Tan.Sen. d) 2 Tan2.Sen. e) 2 Tan.Sen2. 37. Según la figura, sólo una de las siguientes afirmaciones es Verdadera para: 2 0 . x . . y O A x B C D x C.T. a) Tanx 2 Sen2x . x . b) SenxCosx . 2x . Tanx c) Senx . x . Cosx d) Cosx . x . Senx e) SenxCosx . x . Tanx 38. Señale la variación de: Sen 1 4 Tan 4 M 3 . .. . .. . . . . a) [.5 ; 4] b) [.4 ; 5] c) [.3 ; 3] d) [.6 ; 4] e) [.3 ; 5] 39. Señale la variación de: Sen x Senx 2 M Sen x Senx 1 2 2 . . . . . a) .. . .. . 2 ; 3 7 3 b) ..
. .. . 4 ; 3 7 3 c) .. . .. . 7 ; 4 7 2 d) .. . .. . ; 1 7 3 e) .. . .. . 4 ; 3 7 1 40. Señale Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda en: I. 1 2 / x1 x2 2 . x ; x . 0 ; . . y Sen(Tanx ) Sen(Tanx ) 1 2 . II. 1 2 / x1 x2 2 . x ; x . 0 ; . . y Tan(Senx ) Tan(Senx ) 1 2 . III. 1 2 / x1 x2 2 . x ; x . 0 ; . . y Cos(Tanx ) Cos(Tanx ) 1 2 . a) VFV b) VVF c) FFV d) FFF e) FVF 41. En la C.T. mostrada: 2 1 S S y x S1 S2 A' A B B' . a)
Tan (Sec Tan 1)2 2 . 1 . . . . . b) Cos (Sec Tan 1)2 2 . 1 . . . . . c) Tan (Sec Tan 1)2 2 1 . . . . . d) Tan (Sec Tan 1)2 2 . 1 . . . . . e) Cos (Sec Tan 1)2 2 . 1 . . . . . 42. En la C.T. mostrada: 17 15 S S 2 1 . Calcular: "S" y x S1 A' A B B' S O Q N S2 T S a) 2 7 15 . b) 2 17 12 . c) 2 17 14 . d) 2 17 16 . e) 2 17 20 .
TRILCE 79 43. Señale Verdadero (V) o Falso (F) en: I. Cos(Sen1) < Cos(Sen2) II. Sen(Cos2) > Sen(Cos3) III. |Tan(Sen4)| > |Tan(Sen5)| a) VVF b) VFV c) FFV d) FVF e) FVV 44. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda en: I. Sec (Sen1) > Sec(Sen2) II. Sec(Cos1) > Sec(Cos2) III Si : . . . . . . Sec. . Tan. 2 a) FFF b) FFV c) VFV d) FVF e) VVF 45. Del gráfico mostrado, hallar las coordenadas de P. y x . x +y =1 2 2 P a) .. . .. . . . . . . . 1 Tan ; Tan 1 Tan Tan b) .. . .. . . . . . . . 1 Tan ; Tan 1 Tan 1 c) .. . .. . . . . . . . 1 Tan ; Tan 1 Tan 1 d) .. . .. . . . . .
. . 1 Tan ; Tan 1 Tan 1 e) .. . .. . . . . . . 1 Tan ; Tan 1 Tan 1 46. Sabiendo que: Cot. . 2Cot. . Tan. Señale la variación de: L . 3|Sen.|.1 a) [0 ; 2] b) [1 ; 2] c) .1 ; 2 d) 1 ; 2. e) 1 ; 3. 47. Sabiendo que: . . . . . . 2. 2 3 Señale Verdadero (V) o Falso (F), según corresponda en: I. Tan. . Tan. II. Tan.Sen. .. Tan.Sen. . III. Tan(2 . Cos.) . Tan(2. Cos.) a) FVF b) VVF c) FFV d) FFF e) FVV 48. En la circunferencia trigonométrica mostrada, hallar el área de la región sombreada, si MN // AB y A' A x B' B C.T N M . a) Vers.Cov. b) Vers.Cos. 2 1 c) Vers.Cov. 2 1 d) Cov.Sen. 2 1 e) Vers.Cos. 4 1 49. En la C.T. mostrada, calcular: M . (2S . .)Ctg. S: área de la región sombreada. S x y x2+y2=1 .
O A B a) 4 1 b) 2 1 c) 2 d) 1 e) 3 2
Trigonometría 80 50. Siendo x un arco perteneciente al intervalo (.. ; 0) Además: 2 .1 . Senx . . 3 Hallar la variación de: 1 2 6 x Tan 3 K . .. . .. . . . . a) 1 ; 2 b) 2 ; 2 c) ; 2 2 1 d) ; 1 2 1 e) 2 ; 3 2 2 51. Dado: .. .. . . . 6 ; 11 6 Calcular la variación de: T . Cos2. . Cos. a) . .. . . .. . . 4 0 ; 3 2 3 b) . .. . . .. . . . 4 ; 3 2 3 4 1 d) . .. . . .. . . . 4 ; 3 3 2 1 d) . .. . . .. . . 2 ; 1 4 3 3
e) .. . .. . 2 0 ; 1 52. Si: . . . . 2. Además: 4 Cos 15 4 . 7 . . . Hallar la extensión de: Tan2. a) ; . 7 9 b) .. . ; . 15 1 c) .15 ; . d) . 7 ; . e) .7 ; . 53. Calcular el valor de Tan. , para el cual: . Csc. . Tan. 2y 3x , toma su valor máximo, siendo x e y las coordenadas del punto P. Además : 2AP = 3TP y x . x2+y2=1 A P T a) . 6 b) 3 . 6 c) 4 . 6 d) 2 . 6 e) 3 . 2 6 54. Sabiendo que: 24 ; 5 24 x . . . . Señale la variación de : 2x 1 4 3 Csc 2 L . .. . .. . . . . a) 2 ; 4. b) .1 ; 4 c) 1 ; 4. d) 1 ; 3. e) .1 ; 3 55. En la C.T. mostrada, las áreas de las regiones sombreadas
son iguales. Calcular: L . Tan. . Tan3. y x . A B' M N Q S P A' a) . 2 b) . 4 c) . 3 d) . 6 e) . 8 56. En la C.T. mostrada, hallar: Tan. Si : MP es una vertical de longitud igual al diámetro de la C.T. y además OQ = 0,5 y x A B' A' C.T. O Q B M P . a) 10 3 2 b) 10 2 3 c) 10 4 3 d) 10 5 3 e) 10 5 2
TRILCE 81 57. Si en la C.T. mostrada, el área de la región sombreada es igual a 2.2 . Calcular: L . Sec2. . Cos2. y x B' M S A' O A . B a) 16 b) 8 c) 6 d) 18 e) 24 58. Del gráfico, hallar MN : y O x C.T. . . M N a) . . . . . . Cos Cos Sen Sen b) . . . . . . Sen Cos Sen Sen c) . . . . . Cos Cos Cos Cos d) . . . . . . Sen Sen Cos Cos e) . . . . . . . Sen Sen Sen (Cos Cos ) 59. De la figura, "G" es el baricentro del triángulo OPQ. Calcular la ecuación de la recta que pasa por G y por el origen del sistema de coordenadas, en términos de . y . . y x x2+y2=1 O Q P . . a) x 2 Tan y . .. . .. . . . . .
b) x 2 Tan y . .. . .. . . . . . c) y . Tan (. . .). x d) x 2 Cot y . .. . .. . . . . . e) y . Ctg(. . .). x 60. Si "S" representa el área de la región sombreada, reduzca: E . Sen2(S . Cos3.) . Sen2. y O x C.T. . y=x2 a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 2 1
Trigonometría C CCl lla aav vve ees ss 361. 362. 363. 364. 365. 366. 367. 368. 369. 370. 371. 372. 373. 374. 375. 376. 377. 378. 379. 380. 381. 382. 383. 384. 385. 386. 387. 388. 389. 390.
c d b a b b d a b c e a d d c c d c c b a b b c e c b c d b
391. 392. 393. 394. 395. 396. 397. 398. 399. 400. 401. 402. 403. 404. 405. 406. 407. 408.
a b d e c e e e b d a b d d e d e a
409. 410. 411. 412. 413. 414. 415. 416. 417. 418. 419. 420. 82
d a b b d e a c d e b b
TRILCE 83 Capítulo IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 8 DE UNA VARIABLE * DEFINICIÓN: Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una varia ble; las cuales se verifican para todo valor de la variable en que la razón trigonométrica que interviene se encuentra definida. * CLASIFICACIÓN: I. I. T. RECÍPROCAS: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; n Z 2 ; x R n Tanx TanxCotx 1 Cotx 1 ; n Z 2 ; x R (2n 1) Cosx CosxSecx 1 Secx 1 ; x R {n ; n Z} Senx SenxCscx 1 Cscx 1 II. I. T. POR DIVISIÓN: . . . . . . . . . . . . ; n.Z 2 ; x R (2n 1) Cosx Tanx Senx ; x R {n ; n Z} Senx Cotx . Cosx . . . . . III. I. T. PITÁGORAS: .. .. . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . .
. . . . Cot Csc Csc Tan Sec ; n 2 Sec Cos Sen Sen 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
. x x x x x Z
. Csc Cot Cot Sec Tan
x x x x
Tan x 1 Sen 1 Cos Cos x
x x x x x
1 1 1 ; x R n ; n Z 1 1 1 ; x R (2n 1) x x 1 ; x R
Trigonometría 84 IV. I. T. AUXILIARES: ; x R n ; n Z m Cscx Cotx m Cscx Cotx 1 Si : ; n Z 2 ; x R (2n 1) n Secx Tanx n Secx Tanx 1 Si : c Cosx b c Senx a Entonces : aSenx bCosx c c a b Si : (1 Senx Cosx) 2(1 Senx)(1.Cosx ) ; x R Sen x Cos x 1 3Sen xCos x ; x R Sen x Cos x 1 2Sen xCos x ; x R ; n Z 2 Sec x Csc x Sec xCsc x ; x R n ; n Z 2 Tanx Cotx SecxCscx ; x R n 2 2 2 6 6 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. . . . . . . . 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
TRILCE 85 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Reducir: E = (1+Cosx)(Cscx-Ctgx) a) 1 b) Senx c) Cosx d) Secx e) Cscx 02. Simplificar: Ctgx Tgx Secx Cosx Cscx E . Senx . . a) 1 b) Sec2x c) Csc2x d) Secx e) Cscx 03. Simplificar: Senx.Cosx E (Senx Cosx) 1 . 2 . . a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 0 04. Determinar "k" en: k 2 1 Senx Cosx 1 Senx Cosx . . . . a) Cos2x b) SenxCosx c) Senx d) Cosx e) Sen2x 05. Reducir: E . [Tgx(Ctgx . 1). Ctgx(1. Tgx)]Senx a) 1 b) Ctgx c) Cosx d) Tgx e) Secx 06. Simplificar: 1 Cosx 1 1 Cosx E 1 . . . . a) 2 b) 2Secx c) 2Cscx d) 2Sec2x e) 2Csc2x 07. Simplificar: Tgx Secx Tgx E 1 . . . a) Secx b) Cosx c) Cscx d) Ctgx e) 2Tgx 08. Simplificar: (x IC) Senx E . 1 . 2SenxCosx . Senx . a) Senx b) Cosx c) 1 d) Tgx e) Ctgx
09. Reducir: Senx E . Secx.Cscx . Ctgx a) 1 b) Senx c) Cosx d) Secx e) Cscx 10. Simplificar: Sen x Cos 1 E Sen x Cos x 1 6 6 4 4 . . . . . a) 5/3 b) -1 c) 2/3 d) 3/4 e) 1/3 11. Reducir: E . 3(Sen4x . Cos4x). 2(Sen6x . Cos6x) a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2 12. Eliminar "x" a partir de: Senx = m, Cosx = n a) m2 . n2 . 1 b) m2 . n2 . 5 c) m2 . n2 . 3 d) m2 . n2 . 7 e) N.A. 13. Si: Senx+Cosx = m Calcular: E = (1+Senx)(1+Cosx) a) 2 1. m2 b) 2 1.m2 c) 2 (1. m)2 d) 2 (1.m)2 e) 1+m 14. Si: Tgx+Ctgx = 3 Calcular: E = Secx+Cscx a) 3 b) 9 c) 11 d) 15 e) 17 15. Reducir: E = (Tgx+Ctgx)Cosx a) 1 b) Senx c) Cosx d) Secx e) Cscx 16. Determinar "x" para que la igualdad: x 1 Cot 1 Tan 1 Cos 1 2 2 2 . . . . . . Sea una identidad
a) Sen2. b) Cos2. c) Tan2. d) Secx e) Cscx 17. Reducir: Tgx 1 Senx E Cosx . . . a) Senx b) Cscx c) Secx d) Tgx e) Ctgx
Trigonometría 86 18. Si la igualdad es una identidad Calcular: M+N M 4Ctg x Cscx Ctgx Cscx Ctgx Cscx Ctgx Cscx Ctgx . . N . . . . . a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 19. Hallar A en la siguiente identidad: Cscx 1 A 1 Senx 1 Senx . . . . a) Sen2x b) Cos2x c) Tg2x d) Ctg2x e) Sec2x 20. Eliminar "x" a partir de: Tgx + Ctgx = a Tgx - Ctgx = b a) a2 . b2 . 3 b) a2 . b2 . 3 c) a2 . b2 . 4 d) a2 . b2 . 4 e) a2 . b2 . 8 21. Si: 6 Senx . Cosx . 7 Calcular : C = Senx Cosx a) 7 1 b) 6 1 c) 14 1 d) 12 1 e) 9 1 22. Si: Tanx . Cotx . 3 2 Calcular: C . Sec2x . Csc2x a) 9 b) 12 c) 16 d) 18 e) 36 23. Simplificar: CosxCotx Senx C SenxTanx Cosx . . . a) 1 b) Tanx c) Cotx d) Tan2x e) Cot2x 24. Reducir:
Senx Cosx C Sen x Cos x 4 4 . . . a) 1 b) Senx c) Cosx d) Senx + Cosx e) Senx - Cosx 25. Simplificar: C . (1. Tan2x)Cos4x . (1. Cot2x)Sen4x a) 1 b) Sen2xCos2x c) Sen2x d) Cos2x e) 2 26. Simplificar: C = (Secx Cscx - Cotx) (Secx Cscx - Tanx) a) 1 b) Tan2x c) Cot2x d) SenxCosx e) Secx Cscx 27. Si: 9 Sen4x . Cos4x . 7 Calcular: C . Sen6x . Cos6x a) 3 1 b) 3 2 c) 9 1 d) 9 2 e) 9 4 28. Eliminar "x" de: Senx + Cosx = m ; Tanx + Cotx = n a) n(m2 .1) . 2 b) m(n2 .1) . 2 c) n(m2 .1) . 1 d) n2(m2 .1) . 4 e) n2(m2 .1) . 2 29. Demostrar las siguientes igualdades: 1.1 Senx Cotx + Cosx Tanx = Senx + Cosx 1.2 Sen2xCotx . Cos2xTanx . 2SenxCosx 1.3 (Sec2x .1)(1. Sen2x). (Csc2x .1) (1. Cos2x) . 1 1.4 1 Cotx 1 Senx Cosx Tanx 1 Senx Cosx 2 2 . .. . .. . . . . .. . .. . . . 1.5 Cotx Cosx Cos x Senx Sen x 3
3 . . . 30. Reducir: 3 Cscx Senx W Secx Cosx . . . a) 2 Cotx b) Secx c) Cscx d) Tanx e) Senx 31. Si: 2 Sen2a . Cos2a . 1 Entonces : Tana + Cota es: a) 3 10 b) 3 4 3 c) 2 10 13
TRILCE 87 d) 4 3 3 e) 13 2 10 32. Si: (1. Senx . Cosx)2 . A(1. Senx)(1. Cosx) Calcular: "A" a) 1 b) 2 c) . 1 d) . 2 e) 4 33. Hallar el valor numérico de la expresión: T = (Tan35º + Tan55º) (Sen35º + Sen55º + 1) (Cos35º + Cos55º - 1) a) 1 b) 2 c) . 2 d) 2 e) . 2 34. Si: 2 Sena . Csca . 5 Calcular : E = Cota + Cosa a) 3 3 b) 2 3 c) 2 3 3 d) 3 2 3 e) 3 3 35. Si: . . . . Cos. 4 Sen Entonces el valor de: . . . . . . . . . . . . Tan Cot Tan 1 2 , es : a) . 1 b) 1 c) 3 d) . 3 e) 3 3 36. Calcular: Cos2A . Sen2B Si se sabe que A y B son ángulos suplementarios a) . 1 b) 2 . 1 c) 0 d) 2 1 e) 1 37. Si: f (Tan2x . Cot2x) . Sec4x . Csc4x Calcular: f (2) + f (3)
a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 38. Si: Sec2x . Csc2x . 7 Calcular: C . (Sec2x . Tan2x)(Csc2x . Cot2x) a) 13 b) 14 c) 22 d) 16 e) 15 39. Si: 2 1 Sen Cos 1 2Cos2 . . . . . . Entonces el valor de: E . Sen.Cos. , es: a) 4 1 b) 8 1 c) 8 3 d) 4 3 e) 2 1 40. Reducir: C . (Sen6x . Cos6x .1)(Tanx . Cotx) a) SenxCosx b) 3SenxCosx c) - 3SenxCosx d) - 3 e) 3 41. Si: Tanx + Cotx = 2 y Tanx Cotx Tannx Cotnx Tannx Cotnx E Tannx Cotnx . . . . . . Siendo "n" potencia de 2; entonces el valor de E2 es : a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 42. Si: Senx . Cosy = 0,5 Hallar : P . Cos2x . Cos2y . Cosy a) 4 5 b) 4 3 c) 2 1 d) 2 3 e) 4 1 43. Calcular: Tan. Si: ; a b a b
aCos4 bSen4 . . . . . a) b a b) a b c) b . a d) b . a e) ab 44. Dado: 1 . 2Tanx . 1 . 2Tany . Calcular: E a) 2 2 b) 2 .1 c) 2 3 2 d) 3 2 e) 2 .1
ab .
2Secy 2Secx = Secx + Secy
Trigonometría 88 45. El valor de "E" en la identidad: Sen3. . ECos2. . Sen. .. . .. .. . . . . 2 ; 2 , es : a) Sen2. b) Cos2. c) Sen. . Cos. d) Cos. e) Sen. 46. Hallar el valor de "B" sabiendo que: . . . . . . . Sen Cos TanA Sen Cos BSenA . Sen. - Cos. a) 1 b) 2 c) 3 d) 2 e) 5 47. Si: m Tana . n Entonces: n (2Cosa + Seca) - 2mSena Es igual a: a) mCosa b) mSeca c) mn d) nSeca e) nCosa 48. Si : a2 . Cos2x . Sec2x . 2 Encontrar el valor de: C = Senx Tanx + 2Cosx a) a2 . 2 b) . a2 . 2 c) a d) . a e) . a 49. Si: Sec2x . nTanx Hallar: 3 3 3 (Senx Cosx) C Sen x Cos x . . . a) n 2 n 1 . . b) n 1 n 2 . . c) n 2 n 1 . . d) n 1 n 2 . . e) n 1
n 2 . . 50. Simplificar la expresión: 1 Senx 1 Cosx 1 Senx K 1 Cosx . . . . . . ; 2 . . x . 3. a) . 2 b) . 2Secx c) 2Secx d) 2Cosx e) . 2Cosx 51. Si: P, Q y R son constantes que satisfacen la relación: Cscx 1 1 1 Senx P QTanRx 1 . . . . . Calcular: P . Q . R a) . 6 b) 2 c) 4 d) 8 e) 12 52. Si: 4 2 . . . . . y 9 Sen4. . Cos4. . 7 Calcular: C . Sen. .Cos. a) 3 b) 5 c) 3 . 3 d) 3 2 e) 3 3 53. Calcular el mínimo valor de: E . Sec4x . Csc4x a) 6 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12 54. Hallar: y = Senx Cosx Si:Tanx - Senx = 1 a) .1 . 2 b) 1. 2 c) 1. 2 d) 2 .1 e) 2 55. Sabiendo que . es un ángulo agudo el cual satisface la ecuación: Ctg. . Csc. . 5 Determine el valor de la expresión : 24Tg. . 26Sen. a) 10 b) 20 c) 15 d) 12 5 e) 13 5
56. Siendo: Calcular: C . Sen4x . a) 3 5 b) 3 7 c) 2 d) 3 e) 3 4 57. Siendo: Hallar: Cscx Cotx 1 Cscx Cotx 1 Secx Tanx 1 C Secx Tanx . . . . . . . . . . a) n 1 2 . b) n 1 2 . c) n 1 2 2 . d) n 1 2 2 . e) n 1 1 .
Tanx . Cotx . 2 Tan2x . Cos4xCot 2x
Senx + Cosx = n
1
TRILCE 89 58. Siendo: Tanx + Cotx = 3 Calcular: Senx Cosx S Sen x Cos x 7 7 . . . a) 27 13 b) 27 19 c) 27 29 d) 27 25 e) 27 31 59. Siendo: Tanx . Cotx . 2 Calcular: Secx Cscx C Sec x Csc x 5 5 . . . a) 3(5 . 6) b) 6(5 . 6) c) 6(3 . 6) d) 3(3 . 6) e) 5(3 . 6) 60. Sabiendo que: Senx . Cosx . n ; x . IVC Reducir: 1 Cosx 1 Cosx 1 Senx C 1 Senx . . . . . . a) n 1 1 . b) n 1 1 . c) n 1 2 . d) n 1 2 . e) n 1 2 2 .
Trigonometría C CCl lla aav vve ees ss 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
b b c d e e a e d c
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
b b b b c e d e c c b b e c e b d e
ba c d e a c d d c d d b d a a b a d
49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 90
c b c e c d b b b c b d
TRILCE 91 Capítulo IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y 9 DIFERENCIA DE VARIABLES I. Para la Suma: 1 Tanx Tany Tan(x y) Tanx Tany Cos(x y) Cosx Cosy Senx Seny Sen(x y) Senx Cosy Seny Cosx . . . . . . . . . . . . . . . II. Para la Diferencia: 1 Tanx Tany Tan(x y) Tanx Tany Cos(x y) Cosx Cosy Senx Seny Sen(x y) Senx Cosy Seny Cosx . . . . . . . . . . . . . . . PROPIEDADES: I. Cos(x y) Cos(x y) Cos x Sen y Sen(x y) Sen(x y) Sen x Sen y 2 2 2 2 . . . . . . . . . . II. Cosx Cosy Tanx Tany Sen(x y) . . . . III. K a b Sen(x ) ; donde : Si : K aSenx bCosx a , b R . . 2 . 2 . . . . . . . . b a a2 + b2 . IV. 2 2 mín 2 2 máx L a b L a b L aSenx bCosx ; a , b , x R Si : . . . . . . . . . Donde : a b : constantes
x : variables
Trigonometría 92 V. Tanx . Tany . Tanx. Tany. Tan(x . y) .Tan( x . y) ó Tanx .Tany . Tanx. Tany. Tan(x . y) . Tan(x . y) IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA TRES ÁNGULOS * Propiedades: I. ii) Ctgx · Ctgy Ctgy · Ctgz Ctgz · Ctgx 1 i) Tanx Tany Tanz Tanx · Tany · Tanz x y z ó n ; n Z Si : . . . . . . . . . . . . . II. ii) Tan x · Tany + Tany · Tanz + Tanz · Tanx = 1 i) Ctgx + Ctgy + Ctgz = Ctgx · Ctgy · Ctgz ; n Z 2 ó (2n 1) 2 x y z : Si . . . . . . . .
TRILCE 93 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Reducir: J = Sen(30º+x)+Sen(30º-x) a) 2Senx b) Cosx c) 2Cosx d) Senx e) 3Senx 02. Reducir: J = Cos(45º+x)+Cos(45º-x) a) Cosx b) Senx c) 2Cosx d) 3Cosx e) 2 2 03. Halle un valor agudo de "x" que verifique: 2 Cos4x.Cosx . Sen4x.Senx . 1 a) 6º b) 12º c) 18º d) 21º e) 24º 04. Halle un valor agudo de "x" para que cumpla: Sen4x.Cosx-Senx.Cos4x = 0,5 a) 5º b) 10º c) 15º d) 20º e) 30º 05. Si: Tgx = 2 . Tgy = 3 Calcular: Tg(x+y) a) 1 b) -1 c) 2 d) -1/2 e) -2 06. Si: 5 ; Tan 2 3 Tan. . 1 . . Calcular: Tan(. . .) a) 1/7 b) -1/7 c) 1/17 d) -1/17 e) -1/19 07. Hallar el valor de: Sen7º a) 10 3 3 . 4 b) 10 3 3 . 4 c) 10 4 . 3 3 d) 5 3 3 . 4 e) 2 3 3 . 4 08. Calcular: Tg8º a) 1/3 b) 1/5 c) 1/7 d) 1/9 e) 1/11 09. Si: 25 y Senz 24 5 Senx . 3 . Calcular: E =Sen(x+z); x . z son agudos. a) 225 127
b) 117 125 c) 222 117 d) 125 117 e) 25 39 10. Simplificar: Sen(30º x) Sen(30º x) M Cos(30º x) Cos(30º x) . . . . . . . a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 3 e) 3 3 11. Sabiendo que: Sen(2x+y)Cos(x-y)+Sen(x-y) Cos(2x+y) = 5 4 Calcular: Ctg3x a) 3/4 b) 4/3 c) 4/5 d) 5/4 e) 3/5 12. Obtener: Sen23º a) 10 3 b) 10 3 3 . 4 c) 10 3 3 . 4 d) 10 4 3 . 3 e) 10 4 3 . 3 13. Del gráfico mostrado, calcular: "x". x 1 4 37º a) 17/13 b) 13/17 c) 51/13 d) 13/51 e) 3 14. Si: Cosx 3 Senx 2 . Calcular: Tg(45º-x) a) 1/4 b) 1/5 c) 5/3 d) 5 e) 3/7
Trigonometría 94 15. Hallar: M . 2Sen(45º.x) a) Cosx-Senx b) Senx-Cosx c) Cosx+Senx d) 2(Cosx-Senx) e) 2 2 16. Simplificar: L=(Sen3x+Cos3x)(Sen2x+Cos2x)-Sen5x a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x d) Cos4x e) Cos5x 17. Reducir: C . Sen50º.2Sen10ºCos40º a) Tan40º b) Tan10º c) Cot10º d) Cot45º e) Sen30º 18. Si: 5Sen(x . 37º ) . 2Cos(x . 45º ) Hallar : Cotx a) Sen37º b) Cos37º c) Sec37º d) Csc37º e) 1 19. Simplificar: . . . . . . . . . . . . . Cos( ) Sen Sen C Sen( ) Sen Cos a) Tan. b) Tan. c) Cot. d) Cot. e) 1 20. Simplificar: Cos40º Sen30º Sen10º J Sen40º Sen10ºCos30º . . . a) 3 b) 1 c) 3 3 e) 2 e) 3 2 3 21. Siendo: x + y = 30º ; x . y = 37º Calcular: J = (Senx + Cosx) (Seny + Cosy) a) 1,1 b) 1,2 c) 1,3 d) 1,4 e) 1,5 22. Del gráfico, calcular: Tan. 37º A B C M . a) 16 3 b) 17 6 c) 19 7 d) 17 12
e) 19 14 23. Del gráfico, calcular: Tan. . 37º A B C D P a) . 4 b) . 8 c) . 16 d) . 9 e) 32 24. Siendo: . . . . 60º Calcular: C . (Cos. . Cos.)2 .(Sen. . Sen.)2 a) 2 . 3 b) 2(2 . 3) c) 3(2 . 3) d) 2 . 3 e) 3 25. Siendo: x + y = 60º ; 4 Tany . 3 Calcular : M . (1. TanxTany)Tan(x . y) a) 28 3 b) 28 5 3 c) 28 3 3 d) 14 3 3 e) 14 5 3
TRILCE 95 26. Señale el valor máximo que toma la expresión: C = (Sen3x + Cos3x) (Sen2x . Cos2x) + Senx a) 1 b) 2.1 c) . 1 d) 4.1 e) 1 3 2 . .. . .. . 27. Sabiendo que: Senx - 5Cosx = 0 ; 2Seny + 3Cosy = 0 Donde: x .IIIC ; y .IIC Calcular: L = Sen(x + y) + Cos(x . y) a) 2 13 3 b) 2 13 6 c) 2 13 . 6 d) 2 13 . 3 e) 2 13 . 5 28. Si: 5 Tan(a . b . c) . 3 y Tanb = 3 Calcular: Tan (a . b + c) a) 7 . 6 b) 7 21 c) 11 27 d) 17 . 29 e) 27 . 11 29. Si: A + B + C = 180º El valor de: E = TanA+ TanB+TanC . TanA TanB TanC a) 1 b) . 1 c) 2 d) 0 e) . 2 30. Si x e y son ángulos complementarios (x > 0º), encontrar el valor de "m" de modo que se verifique la identidad. .. . .. . . . ..
. .. . . 2 1 Tan x 2 1 Tg y m a) 1 b) 2 c) 2 Tan x d) 2 Tan y e) 2 Tan y 2 Tan x 31. Hallar TanA en un . ABC, cuyos ángulos cumplen: SenA = nSenB SenC CosA = nCosB CosC a) n b) n2 c) n . 1 d) n2 . 1 e) n + 1 32. Simplificar: Ctg( ) 1 Tan Ctg( ) Tan 1 P . . . . . . . . . . . a) Tan. . Tan. b) Tan. . Tan. c) Ctg. d) Tan. e) Ctg. 33. Calcular el valor de: Tan13º + Tan32º + Tan13º Tan32º a) 2 . 2 b) 1. 2 c) 2 1 . 2 d) 2 2 e) 1 34. Simplificar la siguiente expresión: Ctg5a Ctg2a 1 Tan5a Tan2a 1 . . . a) Sen3a Cos7a b) Sen7a Cos3a c) Ctg7a d) Ctg3a e) Sen7a Sen3a 35. A partir de la figura, hallar "x". x
7 2 3 30º a) 3 b) 3 c) 4 d) 6 e) 7 36. Calcular: Sen75º + Cos75º a) 2 6 b) 3 2 3 c) 2 6 . 2 d) 3 6 e) 2 6 . 2 37. Si: a b Tan(x y) a b . . . . ; Tan(y . z) = 1 Entonces: Tan(x . z) es igual a: a) b a b) a b c) a b a b . .
Trigonometría 96 d) a b a b . . e) a a . b 38. Los ángulos . , . y . satisfacen la relación: Tan. . Tan. . Tan. . Tan.Tan.Tan. Hallar la suma de: . . . . . (K : Número entero) a) 0 b) 2k. c) . . . k 2 d) . . . k 4 e) k. 39. En la siguiente figura, la medida del lado x es: x 2 6 4 . . . a) 4 6 b) 4 23 c) 4 13 d) 3 17 e) 3 6 40. Hallar el valor de: .. . .. . . . 2 (Cosx Seny) Cos y x Sabiendo que: Rad 12 Rad , y 5 12 x . 7. . . a) 2 . (2 . 6) b) 4 . (3 . 3) c) 0 d) 4 3 . 3 e) 2 3 . 2 41. El valor de la expresión: (Tan80º . Tan10º) Ctg70º es : a) 1 b) . 1 c) 2 d) . 2 e) 0 42. Nos situamos a una distancia de 500 metros de un edificio de 100m de altura, que tiene 25 pisos idénticos. Hallar el valor de la Tangente del ángulo . mostrado. . 10mo. piso
9no. piso 500 a) 3143 5 b) 500 3143 c) 274 1 d) 3143 25 e) 3143 36 43. Si: ; 5 ; Seny x 5 Sen(y . 2t) . 4 . . . y . 2t . . 2 Expresar x en términos de Sen 2t y Cos2t solamente: a) x = 4Cos2t + 3Sen2t b) x = 3Cos2t . 4Sen2t c) x = Cos2t . Sen2t d) x = 2Sen2t . 3Cos2t e) x = 2Cos2t + 3Sen2t 44. En la figura mostrada, se tiene un trapecio isósceles en el que la longitud de la base menor es igual a la de su altura y la longitud de su base mayor es igual a la de su diagonal. Hallar: Tan. . A B C D a) 2 b) 3 4 c) 7 1 d) 4 3 e) 3 1 45. Hallar el valor aproximado de: D . Cos24º.Cos286º a) 10 7 2 b) 10 9 2 c) 10 5 2 d) 10 2 e) 10 3 2
TRILCE 97 46. En un triángulo ABC, se cumple: SenC . 2Sen(A . B) TanB . 3 3 . 2 6 Hallar el valor del ángulo BAC. a) 3 . b) 12 5. c) 6 . d) 10 3. e) 3 2. 47. Si: 2 x 1 14 Tan . .. . .. . . . Hallar: .. . .. . . . x 28 Ctg 5 a) 3 b) 2 c) 1 d) 2 1 e) 3 1 48. Determinar el mayor valor de A y el menor valor de B tal que: A . Senx . 2Cosx . B a) ..3 y 3 b) . 5 y 5 c) . 3 y 3 d) . 2 5 y 2 5 e) . 2 2 y 2 2 49. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, calcular el valor de M. .. . .. . . .. . .. . . .. . .. . . . 2 1 Tan C 2 1 Tan B 2
M 1 Tan A a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 50. En la figura adjunta, la longitud del segmento AB es: 2 4 . . 3 A B C a) 2 3 b) 3 3 c) 4 3 d) 5 3 e) 6 3 51. En la identidad trigonométrica: 2Senx . 3Cosx . kCos(x . .) Determinar: Tan. a) 13 2 b) 3 2 c) 13 3 d) 2 3 e) 3 13 52. En la siguiente figura: y MC MD 8 AB 4 CB 3 MC . . . Calcular: Tgx M A B D C x a) 4 13 b) 7 22 c) 3 8 d) 5 24 e) 9 17 53. Si: Sen. . 2Sen. y Cos. . 3Cos. Hallar el valor de: Cos(. . .) a) 7 . 5 b) 7 . 3 c) 7 3 d) 7 5 e) 7 6
54. En la figura mostrada, calcular: Tan. 2 3 1 . . a) 2 1 b) 2 c) 2 3 d) 2 5 e) 6 1 55. Si : . . . . 60º , el valor de la expresión: A . (Cos. .Cos.)2 . (Sen. . Sen.)2 es a) 2 b) 4 3 c) 1 d) 0 e) 2 1
Trigonometría 98 56. Si: Tan(x + 3y) = 5 y Tan(2y + x) = 4 Entonces el valor de Ctgy es : a) 20 b) 21 c) 18 d) 14 e) 15 57. Si: Tan(2a + b) = 8 y Tan(a + 2b) = 2 Entonces: Tan(a . b) es: a) 17 12 b) 17 4 c) 6 d) 17 6 e) 10 58. Del gráfico calcular el valor mínimo de: Cot. Si: DC 3 ED 2 AE . . . A B C D E a) 6 10 b) 5 3 10 c) 3 2 10 d) 9 2 10 e) 10 3 10 59. Del gráfico, calcular: Tanx A D B C F 1 4 45º x 2 a) 241 17 b) 241 21 c) 241 23
d) 195 17 e) 195 21 60. Siendo: Cos..Cos. . m2 Sen.. Sen. . m ¿Cuál es la variación de "m" para que se cumplan las 2 relaciones anteriores? a) . .. . . .. . . . . 2 ; 5 1 2 5 1 b) . .. . . .. . . . . 2 ; 5 1 2 5 1 c) . .. . . .. . . . . 2 ; 5 1 2 5 1 d) . .. . . .. . . . . 2 ; 5 1 2 5 1 e) . .. . . .. . . . 2 ; 5 2 2 5
TRILCE 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
b c b b b d a c d c a e c b a a e c a c c b e e b a d c d b
99 ClavesClaves 31. e 32. d 33. e 34. d 35. b 36. a 37. a 38. e 39. a 40. b 41. c 42. d 43. a 44. c 45. a 46. a 47. a 48. b 49. e 50. e 51. b 52. b 53. d
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
a c b d d b d
TRILCE 101 Capítulo IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 10 DE LA VARIABLE DOBLE 1 Tan x Sen2x 2SenxCosx Cos2x Cos x Sen x Tan 2x 2Tanx Seno de 2x Coseno de 2x Tangente de 2x 2 2 2 . . . . . También : Cos2x . 1 . 2Sen2x Cos2x . 2Cos2x .1 * Fórmulas de Degradación : 2Cos x 1 Cos2x 8Cos x 3 4Cos2x Cos4x 2Sen x 1 Cos2x 8Sen x 3 4Cos2x Cos4x 2 4 2 4 . . . . . . . . . . * Propiedades : I. Cotx . Tanx . 2Csc2x Cotx . Tanx . 2Cot2x Sec2x . Csc2x . 4Csc22x II. (Senx Cosx) 1 Sen2x (Senx Cosx) 1 Sen2x 2 2 . . . . . . III. 1 Sen2x Senx Cosx 1 Sen2x Senx Cosx . . . . . . IV. Sec2x 1 Tanx Tan 2xTanx . Sec2x . 1 Tan 2x . .
Trigonometría 102 * Triángulo del Ángulo Doble : . . . . . . . . . . . 2 2 2 1 Tan Cos2 1 Tan 1 Tan Sen2 2Tan 1. Tan 2. 2Tan. 1 . Tan 2. 2. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA VARIABLE MITAD 1 Cosx 1 Cosx 2 Tan x 2 1 Cosx 2 Cos x 2 1 Cosx 2 Sen x 2 Tangente de x 2 Coseno de x 2 Seno de x . . . . . . . . . . Donde el signo (.) dependerá del cuadrante en el que se ubique 2 x Cscx Cotx 2 Cscx Cotx Cot x 2 Tan x 2 Cotangente de x 2 Tangente de x . . . .
TRILCE 103 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Si " . " es un ángulo agudo y 3 Sen. . 2 . Calcular: " Sen2. ". a) . 5 9 4 b) 5 9 2 c) 5 9 1 d) 5 4 9 e) 4 5 02. Simplificar: E . 8Sen..Cos..Cos2..Cos4. a) Sen2 . b) Sen8 . c) Sen16 . d) Sen4 . e) Sen32 . 03. Si: 5 Sen. . 2 , calcular: Cos2. a) 2/5 b) 3/5 c) 4/5 d) -3/5 e) -4/5 04. Si: 3 Cos. . 1 , calcular: Cos2. a) -1/3 b) 1/3 c) 2/3 d) -2/3 e) 3 3 05. Si: 2 Tg. . 1 , calcular: Tg2. . a) 1/3 b) 2/3 c) 4/3 d) 5/3 e) 7/3 06. Si: 2 Tg. . 3 , hallar: Sen2 . a) 11/13 b) 12/13 c) 14/15 d) 13/15 e) 11/15 07. Si: 5 Tg. . 1 , determinar: Cos2. a) 1/3 b) -1/3 c) 2/3 d) -2/3 e) 3/4 08. Si: 90º 180º 25 Sen. . 7 . . . . Calcular: Sen2. a) 625 336 b) 625
236 c) 625 . 236 d) 625 . 336 e) 625 . 436 09. Si: 180º 270º 13 Cos. . . 5 . . . . Calcule: Sen2. a) 169 . 120 b) 169 120 c) 169 . 60 d) 169 60 e) 169 . 140 10. Si: Tgx+Ctgx = n ¿A qué es igual Sen2x? a) 2/n b) n/2 c) 2n d) 1/2n e) 1/n 11. Si: 90º x 180º 3 Cosx . 2 . . . Calcule el valor de: Sen 2 x a) 6 6 b) 6 . 6 c) 12 6 d) 12 . 6 e) 3 2 6 12. Si: 180º 270º 25 Sen. . . 7 . . . . Calcule el valor de: 2 Sen . a) 10 2 b) 10 3 2 c) 10 5 2 d) 10 7 2 e) 10
. 5 2 13. Si: 90º 180º 4 Cos. . . 3 . . . . Calcule el valor de: 2 Cos . a) 2 2 b) 3 2 c) 4 2 d) 3 . 2 e) 4 . 2
Trigonometría 104 14. Si: 3 1 2 Cos . . , calcule: Cos. a) 1/3 b) 2/3 c) 3/4 d) -1/3 e) -2/3 15. Si: 90º x 180º 3 Cosx . . 1 . . . Calcular el valor de: Tg 2 x a) 3 2 b) 2 c) -3 2 d) - 2 e) 5 2 16. Si: 180º 270º 21 Tg. . 20 . . . . Calcule: 2 Tg . a) -5/4 b) -5/2 c) 3/4 d) -3/4 e) 1 17. A qué es igual: 4 Ctg x 4 E . Csc x . a) 2 Tg x b) 2 Ctg x c) 8 Tg x d) 8 Ctg x e) 8 .Ctg x 18. ¿A qué es igual: Ctg8º? a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 19. Reducir: E = Sec40º-Tg40º a) Tg25º b) Ctg25º c) -Tg25º d) -Ctg25º e) 1 20. Si: 4 Cos 3 2 . . . . . . . . . Calcule: 2 Cos 2 E . 7.Sen . . . a) 0 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2 21. Reducir : H = (Tanx + Cotx) Sen2x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 2 3 22. Si : 3
Sen2x . 2 Calcule : E . Sen4x . Cos4x a) 9 7 b) 9 . 7 c) 9 2 d) 9 . 2 e) 7 . 2 23. Si : 16 3 Sec Csc Sen Cos 1 2 2 6 6 . . . . . . . . . , el valor de Sen2. es : a) 2 3 b) 2 3 . 1 c) . 1 d) 1 e) . 1 24. Simplificar la función f definida por : . . . . x . . 2 f Sec2x Csc 2x ; (x) a) 2Sec2x b) . 2Sec2x c) 2Csc2x d) Secx + Cscx e) . 2Csc2x 25. Indique la expresión simplificada de : ; K Z 2 ; K 1 Cos4 M 1 Cos2 . . . . . . . . . a) 4Cos2. b) Cos2. 2 1 c) Sen2. 2 1 d) Csc2. 4 1 e) 4Sen2. 26. Si : 13 Cos. . . 5 ; 2
. . . . 3. Halle : 2 Cos . a) 13 2 b) 13 . 3 c) 13 . 2 d) 13 3 e) 26 . 5
TRILCE 105 27. Señale el valor de 8 Cos . a) 2 2 . 2 b) 2 2 . 2 c) 2 2 .1 d) 2 2 .1 e) 2 4 . 2 28. Reducir : 2 2 1 1 Cos24º H . . . a) Cos6º b) Sen6º c) Sen3º d) Cos3º e) Sen12º 29. Si : y 180º 270º 5 Cos. . . 4 . . . , hallar : 2 Tan . a) 3 b) 5 4 c) . 3 d) 4 . 5 e) 1 30. Si : n 2 Tan x . , donde x . .. , entonces cuál de las siguientes alternativas es la correcta. a) 2 2 2 1 n ; Cosx 2n 1 n Senx 1 n . . . . . b) 2 2 2 1 x ; Cosx 2x
1 x Senx 1 x . . . . . c) 2 2 2 1 n ; Cosx 1 n 1 n Senx 2n . . . . . d) 2 2 2 1 x ; Cosx 1 x 1 x Senx 2x . . . . . e) 2 2 2 1 n ; Cosx 2n 1 n Senx 1 n . . . . . 31. Sabiendo que : 3Sen2x . 7Cos2x . a . bCos2x Halle el valor de : M = 3a . 2b a) 9 b) 15 c) 13 d) 11 e) 7 32. Reducir : M = Csc2x + Csc4x + Csc8x + Cot8x a) Tanx b) Cotx c) 2 Tan x d) 2 Cot x e) 4 Cot x 33. Reducir : 1 2 CscxTan x 1 2 CscxCot x R
. . . a) 2 Tan2 x b) 2 . Tan2 x c) 2 Cot2 x d) 2 . Tan x e) 2 .Cot2 x 34. Si se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B con A ángulo menor, la relación de catetos es 7 5 . Se tiene la relación : E = 7Cos2A + 5Sen2A Determinar el valor de E. a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 35. Encontrar aproximadamente el valor de : 24 Tan 25. a) 2 3 3 1 . b) 6 2 5 . 1 . c) 1 3 1 2 3 . . . d) 2 3 2 2 3 . . . e) 2 . 3 . 2 . 6 36. Sea : a . b . c . . Simplificar la siguiente expresión : Sen(3a + 2b + 2c) Sen(a + 2b + 2c) + Cos(b + c) Cos(b + 2a + c) a) . 1 b) 0 c) 1 d) Cos2a e) Cos2b 37. Si A, B y C son los ángulos internos de un triángulo y Sen(A + B) Cos(A + B) = 2 . 1 ¿Cuánto vale 1 + TanC? a) 0 b) 1 c) 2 d) . 1 e) 2 1
Trigonometría 106 38. . . . . . . . . . .. . .. . . . SenA 2 Sen A 2 U SecA Cos A 2 . . . . . . . . . .. . .. . . . 2 Sen A 4 Sen A 4 N SenA Cos A 2 . . . . . . . . . .. . .. . . . K Sen A 2K Sen A 2K I CosA Cos A 2 K . 1 Simplificar la expresión : CosA U . N . I . 1 a) SenA . CosA b) K
Cos A K Sen A . c) K 1 . Sen A d) CosA . SenA e) K Cos A K Sen A . 39. Hallar la suma de los valores máximos y mínimos de la siguiente expresión : BCosx 2 E ACos2 x . .. . .. . . A, B son constantes reales. a) B b) A c) 2 B d) 2 A e) 0 40. Si : 5 Sen2x . 3 ; 4 x . 0 ; . , calcular : Cos4x . Sen4x a) . 1 b) 5 4 c) 5 . 3 d) 1 e) 5 3 41. Halle el valor de la expresión : Sen40ºCos40º W . Sen20º. 3Cos20º a) 2 b) 4 c) 1 d) 2 1 e) 4 1 42. Halle "m" en la identidad : m x Sen(mx) 4 x Sen 4 xSen 2 Sen . .. . .. . . . .. . .. . . .
a) 2 b) 4 c) 8 d) 6 e) 3 43. El valor de : (Cosa .Cosb)2 .(Sena . Senb)2 En función de .. . .. . . 2 Sen a b es: a) .. . .. . . 2 b a Sen 2 b) .. . .. . . 2 4Sen2 a b c) .. . .. . . 2 Sen a b d) .. . .. . . 2 Sen2 a b e) .. . .. . . 2 2Sen2 a b 44. Si : Tanx + Cotx . 2 = Sen2y ..A 2 2 2 2 (Seny Cosy) (Seny Cosy) A (Seny Cosy) (Seny Cosy) . . . . . . . , hallar : S . Tan4x . Cot4x a) 4 b) Sen4 2y c) Sen2y d) 1 e) 2 45. Sabiendo que : . ; x . y . . 4 SenxSeny 3 , hallar : Cos2(x . y) a) 4 1 b) 4 . 1 c) 2 . 1 d) 8 . 7 e) 8
7 46. Si : 2 Cos 2 KSen . . . Siendo : Sen. . 0 . . . . . . Csc Sen P 2 1 Sen 2 Será : a) (K2 . K.2) b) K . K.1 c) K . K.1 d) K . K.1 e) K . K.1
TRILCE 107 47. Expresar en función de Tanx, la expresión: Sec 2x Tan 2x Cot2x E . 2(Tan2x . Sec2x) . 2 . 2 a) 2 1 Tanx 1 Tanx .. . .. . . . b) .. . .. . . . 1 Tanx 1 Tanx c) 1 . 2Tanx d) Tanx + 1 e) 1 . Tanx 48. Si : ; n 0 n Tan. . m . , entonces el valor de nCos2. . mSen2. es : a) m + n b) 2m + n c) 2m . n d) m e) n 49. Si : Y . Tan2xSec2x . 3Sec2x . 3Csc2x . Cot2xCsc2x , entonces : a) y . 16Csc4x b) y . 16Csc4 2x c) y . Csc16x4 d) y . 16Cscx4 e) y . Csc4 2x 50. Sea la ecuación : p 0 2 nCos x 2 mSen x . . . ¿Bajo cuál de las siguientes relaciones entre m, n y p, el valor de 4 Tan x es único? a) m2 . n2 . p2 b) m2 . p2 . n2 c) n2 . p2 . m2 d) m2 . n2 . 2p e) m2 . n2 . p 51. Si x es un ángulo en el primer cuadrante y 2 1 b a Tanx .. . ..
. . ; encontrar el valor de la siguiente expresión : b 1 a Cscx Senx x 2 Sen E . .. . .. . . . a) a b 2a . b) a b b . c) a 2b 2b . d) 2a b 2a . e) a b ab . 52. El valor de X al simplificar la expresión : .. . .. . . . . . .. . .. . . . . . . 1 Sen2 1 Sen2 1 Tan X 1 Tan 2 a) 1 . Sen2. b) 1 . Sen2. c) 1 d) . 1 e) Sen2. 53. Si : a 1 Tan(A 45º ) a 1 . . . . , hallar : Sen2A a) 2 1 a 2a . b) a 1 2a 2 . c) 2 1 a a .
d) 2 1 a 2a . e) a 1 a 2 . 54. Si : Tan(x + 45º) = n ; n . 0 , calcular : E = Sec2x . Tan2x a) n.1 b) 2n c) n.2 d) 2n.1 e) n2 55. La expresión : . . . 1 Sen Cos es equivalente a: a) ... .. .. . . 4 Tan b) .. . .. .. . . 4 Tan c) .. . .. .. . . 4 Tan 2 d) .. . .. . . . . 2 4 Tan e) .. . .. . . . . 2 4 Tan 56. Hallar el valor de : 4 Tan2A . Tan2B . Tan 5. Sabiendo que : TanA . TanB = 1 Sen2A . .2 . 4Sen2A a) ..2 b) ..1 c) 0 d) 1 e) 2 57. Reducir la expresión : Sen Sen ( 150º ) Sen ( 150º ) 2 S . 1 . 2. . 2 . . . 2 . . a) Cos(30º.2.) b) Sen(30º.2.) c) Sen2. d) Cos2. e) Sen(60º.2.)
Trigonometría 108 58. Calcular : 8 Cos 2 1 16 Sen 3 16 E . Sen4 . . 4 . . . . 8 Cos 3 2 1 . a) 2 2 b) 2 . 2 c) 4 3 d) 2 . 1 e) 2 3 59. La siguiente suma : ...... 2 Tan x 2 1 2 Tan x 2 F 1 2 2 . . .. . . .. . . .. . .. . . . .. . . .. . . n 2n Tan x 2 .... 1 Es igual a : a) Cotx 2 Cot x 2 1 n n . . .. .
. .. . b) Cotx 2 Cot x 2 1 n . . .. . . .. . c) Cotx d) Cotx 2 Cot x 2 1 n . . .. . . .. . e) 2nCot(2nx) . Cotx 60. Si : Cos. . Tan1º.Tan2º Cos. . Tan1º.Tan4º Cos. . Tan1º.Tan6º Halle : 2 Tan 2 Tan 2 R . Tan . . . a) Sen1º Sen7º b) Cos1º Cos7º c) Tan1º Tan7º d) Sen2º Sen9º e) Cos3º Cos7º
TRILCE 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
a a a d a b b a a a a a d b b c b b d a d d a c d c e d c b
109 ClavesClaves 31. e 32. c 33. a 34. b 35. c 36. c 37. a 38. b 39. d 40. d 41. a 42. b 43. d 44. c 45. c 46. b 47. e 48. c 49. b 50. e 51. c 52. a 53. a
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
c b a b e b e
TRILCE 111 Capítulo IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 11 DE LA VARIABLE TRIPLE 1 3Tan x Tan 3x 3Tanx Tan x 2 3 . Sen3x . 3Senx . 4Sen3x Cos3x . 4Cos3x . 3Cosx . . Seno de 3x Coseno de 3x Tangente de 3x FÓRMULAS ESPECIALES: .. . .. . . . . . . . . 2Cos2x 1 Sen3x Senx(2Cos2x 1) Cos3x Cosx(2Cos2x 1) Tan 3x Tanx 2Cos2x 1 DEGRADACIONES: 4Sen3x . 3Senx . Sen3x 4Cos3x . 3Cosx . Cos3x PROPIEDADES : Tanx . Tan(60º.x)Tan(60º.x) . Tan 3x Cos3x 4 Cosx .Cos(60º.x)Cos(60º.x) . 1 Sen3x 4 Senx . Sen(60º.x)Sen(60º.x) . 1 Tanx + Tan(60º+x) + Tan(120º+x) = 3Tan3x
Trigonometría 112 EJERCICIOS PROPUESTOS 01.Señala el equivalente de la expresión: Cos x Cos x Sen3x Sen x 3 3 3 . . a) Tgx b) Secx c) Cscx d) Ctgx e) N.A. 02. Simplificar: E = (Tg2A+TgA)(Cos3A+CosA)Csc3A a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 03. La expresión que da Cos3x en términos de Cosx es: a) 3Cosx+4Cos3x b) 4Cosx3Cos3x c) 3Cosx-4cos3x d) 4Cos3x-3Cosx e) 3Cos3x-4Cosx 04. El valor de la expresión: Cosa Cos3a Sena Sen3a . es: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 05. Si: 11 Tgx . 1 . Calcular: Tg3x. a) 3,07 b) 0,27 c) 3,27 d) 32 e) 0,21 06. Sen2a = Cos3a, 0
Sen Sen Sen3 Cos Cos3 Cos3 3 a) Cos . b) Sen . c) 1 d) 3 e) 0 10. Del gráfico mostrado, hallar: "x". A E D C B . . . x 4 3 a) 4 b) 7 c) 17 d) 8 e) 2 7 11. Simplificar: Cos20º Cos40º Cos320º Cos340º . . a) 3 b) 4 c) 4/3 d) 3/4 e) 3/2 12. Reducir: 2Cos6x . Sen3x + Sen3x a) Sen6x b) 3Sen6x c) Sen9x d) Cos9x e) 3Cos6x 13. La siguiente igualdad es una identidad: . . . . . . . 2KCosK Cos Cos3 Sen Sen3 Hallar: "K". a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 3 14. Calcular: Sen318º.Cos336º a) 2 5 b) 8 5 c) 4 5 d) 6 5 e) . 4 5 15. Calcular: Cot18º(4Cos18º-3Sec18º)
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
TRILCE 113 16. Calcular: Tan9º+Cot9º-Tan27º-Cot27º a) 2 b) 4 c) 6 d) 0 e) 8 17. Calcular: Cos85º(1+2Sen80º) a) 2 3 b) 2 1 c) 4 6 . 2 d) 4 6 . 2 e) 4 5 .1 18. Simplificar: Tan3 . (2Cos2 . -1)-(2Cos2 . +1)Tan . a) Tan . b) Cot . c) 0 d) Tan3 . e) Cot3 . 19. Calcular: 3Cos210º.Sec250º.Sec270º a) 64 b) 9/64 c) 1/64 d) 192 e) 64/9 20. Calcular: 9 8Cos 2 9 Sec 2. . 2 . a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 21. Siendo : Cot. . 2 2 ; " . " agudo. Calcular : Sen3. a) 9 7 b) 9 . 7 c) 27 23 d) 27 . 23 e) 27 17 22. Si : 3 Cos2x . 1 , hallar : Cos6x a) 27 22 b) 27 23 c) 27 . 22 d) 27 17
e) 27 . 23 23. Hallar : Sen 111º a) 125 8 b) 125 108 c) 125 117 d) 125 107 e) 125 9 24. Sabiendo que : Cot. . .2 2 ; . .IIC , calcular : C . Sen3.Sec. a) 36 17 2 b) 36 . 17 2 c) 36 23 2 d) 36 . 23 2 e) 36 . 7 2 25. Siendo : 3 Sen. . 2 Calcular : . . . Cos C Cos3 a) 3 1 b) 9 2 c) 9 . 7 d) 3 . 1 e) 9 . 2 26. Sabiendo que : 3 2 Cos. . 1 , calcular : P . Sen3.Csc. a) 9 2 b) 9 4 c) 9 . 7 d) 9 . 2 e) 9 . 4
27. Señale el valor de "Senx", si : Sen2x = Cos3x a) 4 5 .1 b) 4 . 5 .1 c) .1 d) a y c son respuestas. e) a, b y c son respuestas. 28. Reducir : Cosx Cos3x Senx A . Sen3x . a) Cosx b) Sen2x c) Sen4x d) 4Cos2x e) 2
Trigonometría 114 29. Siendo : 3 Sen. . 1 , calcular : . . . Cos L Cos3 a) 3 11 b) 2 7 c) 3 . 11 d) 2 e) 9 5 30. Reducir : C = (Cos3x + 2Cosx) Tanx a) Sen3x Cosx b) Tan3x c) Sen3x d) Cos3x Senx e) Cot3x 31. Si : Sen3x = 0,25 Senx, calcule : K . 5Tan2x . 1 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 32. Si : Tan3x = 5Tanx, calcule : |Tan2x| a) 7 b) 14 c) 5 2 d) 3 7 e) 5 33. Al calcular el valor de : Cos10º 3 Sen10º F . 1 . , obtenemos : a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 4 34. El valor de : E = Cos80º Cos20º Cos40º es: a) 2 b) 4 3 c) 4 d) 2 1 e) 8 1 35. Simplificar : 1 3Sen20º E Sen20º . . a) 2Tan20º b) Tan40º c) 2Tan40º
d) Tan20º e) Sec20º 36. Simplificar : Cos3x C . Sen3x . 2Senx a) ..Tanx b) Tanx c) Cotx d) ..Cotx e) . Tan2x 37. Siendo : 3 1 Cos3x Cos x Sen3x Sen x 3 3 . . . , calcular : L = Tan3x Cotx a) 13 6 b) 13 . 3 c) 13 . 12 d) 13 3 e) 13 . 6 38. Calcular el máximo valor de : M . Tan3x . Cot3x ; 2 x . 0 ; . a) 17 .12 2 b) 17 . 12 2 c) 12 . 17 2 d) 12 .17 2 e) 5 . 2 39. Si : 4 Sen18º . 5 .1 , hallar el valor de M, si : MSec15º Sec9º = Sen15º Sen9º a) 8 5 8 1 . b) 5 1 8 . c) 4 5 4 1 . d) 8 5 .1 e) 4. 5 .1. 40. Al simplificar la expresión : E = Sen6º Sen54º Sen66º Obtenemos : a) Sen12º b) 2Sen6º c) Sen18º d) 2Sen12º e) 4 Sen18º
41. Calcular el valor aproximado de la expresión : S = Csc27º . Sec27º a) 3 . 5 b) 3 . 5
TRILCE 115 c) 2(3 . 5) d) 5 . 5 e) 2 3 . 5 42. El valor de : 3 x . 1 . 4Cos20º Es igual a : a) Cot10º b) Tan10º c) Cot20º d) Tan20º e) 2Tan10º 43. Calcular el valor de ,. 2 2 2 (Sen Cos ) Sen3 Cos Sen Cos3 Sen Cos . . . . . . . . . a) 1 b) . 1 c) 2 d) . 2 e) 2 1 44. En el triángulo de la figura, hallar el ángulo . , para que a sea doble de b. x y z a a b b . . . a) 2 ArcCos 3 b) 3 ArcCos 2 c) 4 ArcCos 1 d) 2 ArcCos 1 e) 4 ArcCos 3 45. Calcule: Sen17º Cos13º M Sen 17º Cos 13º 3 3 . . . a) 2 1 b) 4 3 c) 8 3 d) 2 3 e) 4 1 46. Si : Sen3x Cscx + Cos3x Secx = K Cosp . x,
calcular : K + p a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 47. Si : Cos39º = nCos13º, halle : Tan213º en términos de "n" a) 1 n 3 n . . b) 1 n 2 n . . c) 1 n 3 n . . d) 1 n 2 n . . e) 3 n 1 n . . 48. Si : n 1 n 1 Tanx Tan3x . . . , halle : Sen3x Senx en términos de "n" a) n + 1 b) (n .1).1 c) n 2 d) n . 1 e) (n .1).1 49. Sabiendo que : n Senz Sen3z Seny Sen3y Senx Sen3x . . . , hallar : Cosz Cos3z Cosy Cos3y Cosx L . Cos3x . . a) n + 3 b) n . 3 c) n + 6 d) n . 6 e) 2n . 6 50. Del gráfico, hallar la medida del ángulo " . " . a 4a 43º 17º
13º a) 39º b) 17º c) 36º d) 51º e) 48º 51. El valor de : 2Sec210º Sec250º Sec270º es : a) 3 128 b) 64 9 c) 64 1 d) 192 e) 9 64 52 El valor de : G = Cot24º Cot57º . Cot24º Cot33º a) 2 b) 3 c) . 2 d) ..1 e) 1
Trigonometría 116 53. Hallar el valor de la expresión : M . Tan220º.Tan240º.Tan280º a) 12 b) 9 c) 21 d) 24 e) 33 54. En el gráfico : 84 95 S S 2 1 . , calcular " . " S1 S2 3. 2. A B D C a) 7 ArcCos 6 b) 9 ArcCos 8 c) 10 ArcCos 9 d) 11 ArcCos 10 e) 6 ArcCos 5 55. Del gráfico, calcular : Sen3. A C D E F 4 2 3 2. . 2. a) 4 3 b) 8 3 c) 3 1 d) 3 2 e) 6 1 56. Desde un punto en tierra, se divisa lo alto de una torre; con un ángulo de elevación " . ". Si nos acercamos una distancia igual a la altura de la torre, el ángulo de
elevación es " 90º.2. ". Calcular el valor de : L . Sec2. . Tan. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 57. Calcular : L = Tan130º Tan10º + Tan70º Tan130º Tan10º Tan70º a) 3 b) . 3 c) 2 d) 2 e) 6 58. Del gráfico, hallar : y x A B 5º 45º 80º 20º C x D E y a) 2Csc5º b) 2Csc10º c) Csc5º 2 2 d) Csc10º 2 2 e) Csc5º 4 2 59. Del gráfico, hallar : x 2. . A B C D m n x a) m m n 2 m . b) m m n 2 n . c) m m n 2 n . d) n m n 2 n . e) n m n 2 m . 60. Del gráfico, hallar la longitud de CD 24º 36º 16 A B C
D E 6º a) 1,23 b) 2,23 c) 1,36 d) 3,23 e) 2,32
TRILCE 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
a b d d b b e c d d d c c c b b d c a e c e c d c c a e e c
117 ClavesClaves 31. c 32. d 33. e 34. e 35. b 36. b 37. d 38. a 39. a 40. e 41. c 42. c 43. c 44. e 45. b 46. d 47. e 48. b 49. d 50. a 51. a 52. c 53. e
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
a a a a e c a
TRILCE 119 Capítulo TRANSFORMACIONES IDENTIDADES PARA CASO I : Para la .. . .. . . .. . .. . . . . .. . .. . . .. . .. . . . . .. . .. . . .. . .. . . . . .. . .. . . .. . .. . . . . 2 Sen A B 2 CosB CosA 2Sen A 2 Cos A B 2 CosA CosB 2Cos A 2 Cos A B 2 SenA SenB 2Sen A 2 Cos A B 2 SenA SenB 2Sen A Demostración : Conocemos : . .. . .. .
12 TRIGONOMÉTRICAS LA SUMA Y PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS suma o diferencia de dos Senos o Cosenos a producto.
B
B
B
B
. . . . . . . . . . . . Cos(x y) CosxCosy SenxSeny .......... ........ (4) Cos(x y) CosxCosy SenxSeny .......... ........ (3) Sen(x y) SenxCosy CosxSeny .......... ........ (2) Sen(x y) SenxCosy CosxSeny .......... ........ (1) Si sumamos (1) + (2) obtenemos : Sen(x + y) + Sen(x - y) = 2Senx Cosy ........... (*) Hacemos un cambio de variable : Sea: . . . . . . . x y B x y A obtenemos : 2 y A B 2 x . A . B . . . Luego en (*) : .. . .. . . .. . .. . . . . 2 Cos A B 2 SenA SenB 2Sen A B Las restantes identidades pueden verificarse en forma análoga. CASO II Para el producto de dos términos, Senos y/o Cosenos a suma o diferencia. Siendo : x . y 2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x . y) 2 Seny Cosx = Sen(x + y) . Sen(x . y) 2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x . y) 2 Senx Seny = Cos(x . y) . Cos(x + y)
Trigonometría 120 SERIES TRIGONOMÉTRICAS : Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos están en progresión aritmética. .. .. . .. . . . .. . .. . .. . .. . . . . . n K 1 .. .. . .. . . . .. . .. . .. . .. . . . . . n K 1 2 Cos P U 2 Sen r 2 Sen nr Cos( (K 1)r) 2 Sen P U 2 Sen r 2 Sen nr Sen( (K 1)r) Donde : n : # de términos r : razón de la P.A. P : primer ángulo U : último ángulo Propiedad . n . Z. 2 1 2n 1 .... Cos 2n
2n 1 Cos 6 2n 1 Cos 4 2n 1 Cos 2 . . . . . . . . . . . . . 2 1 2n 1 .... Cos (2n 1) 2n 1 Cos 5 2n 1 Cos 3 2n 1 Cos . . . . . . . . . . . . . . . Productorias . n . Z. 2 2n 1 2n 1 ....Sen n 2n 1 Sen 3 2n 1 Sen 2 2n 1 Sen n 2n 1 2n 1 ....Tan n 2n 1 Tan 3 2n 1 Tan 2 2n 1 Tan . . . . . . . .
. . 2 1 2n 1 ....Cos n 2n 1 Cos 3 2n 1 Cos 2 2n 1 Cos n . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TRILCE 121 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Reducir: Cos2x E . Sen5x . Senx a) 2Sen3xCos2x b) 2Sen3x+1 c) 2Sen3x d) 2 e) 2Cos3x 02. Reducir: Sen3xCosx E . Sen4x . Sen2x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 03. Reducir: Cos10º E . Sen40º.Sen20º a) 1 b) 1/2 c) 1/4 d) 2Sen10º e) Cos10º 04. Reducir: Cos2x.Cosx E . Cos3x . Cosx a) 1 b) 2 c) Sen3x d) Sen2x e) Cosx 05. Reducir: Sen6xCosx E . Sen7x . Sen5x a) 1 b) 2 c) 3 d) Senx e) Cosx 06. Reducir: 2Cos4xCosx E . Sen5x . Sen3x a) 1 b) 2 c) Senx d) Tanx e) Cotx 07. Reducir: 2Sen7º Sen10º E . Sen17º.Sen3º a) 1 b) 2 c) Tan10º d) Cot10º e) Tan3º 08. Reducir: Sen80º E . Sen20º.Cos50º a) 1 b) -1 c) 2 d) -2 e) 3 09. Reducir: Cos20º Cos80º E Sen80º Sen20º . . . a) 1 b) 2 c) Tan50º d) 3 e) 3 3 10. Reducir: E = (Sen70º+Cos70º).Sec25º a) 1 b) 2 c) 2 2 d) 1/2 e) 2
11. Simplificar: Cos3x Cosx E Sen3x Senx . . . a) Tanx b) Cotx c) Tan2x d) Cot2x e) 2 12. Simplificar: Cos3x Cos7x E Sen7x Sen3x . . . a) Tan2x b) Cot2x c) Tan4x d) Cot4x e) 1 13. Simplificar: Sen2x E . Cosx .Cos3x a) Senx b) -Senx c) 2Senx d) -2Senx e) Cos2x 14. Simplificar: Cosx Cos3x Cos5x E Senx Sen3x Sen5x . . . . . a) Tanx b) Tan2x c) Tan3x d) Tan4x e) Tan5x 15. Transformar a producto: E = Sen2x + Sen4x + Sen6x + Sen8x a) Sen5xCos2xCosx b) 4Sen5xCos2xCosx c) 4Cos5xCos2xCosx d) Cos5xCos2xCosx e) 4Sen2xCos3xCosx 16. Reduzca: Cos70º Cos10º G Sen70º Sen10º . . . a) Tan40º b) Cot40º c) 3 d) 3 3 e) Tan20º
Trigonometría 122 17. Reduzca : Cosx Cos7x H Sen7x Senx . . . a) Tan3x b) Cot3x c) Tan4x d) Cot4x e) . Cot4x 18. Simplifique : Cos10º Cos30º Cos50º G Sen20º Sen40º Sen60º . . . . . a) 3Sen40º b) Sen40º 2 3 c) Sen40º 3 2 d) 2Sen40º e) Sen40º 4 3 19. Transforme a producto : R = Sen3x + Sen5x + Sen9x + Sen11x a) 4 Cosx . Cos3x . Sen7x b) 2 Cosx . Cos3x . Sen7x c) 4 Cos2x . Cos3x . Sen7x d) 2 Cos2x . Cosx . Sen7x e) 2 Cos2x . Cos3x . Sen7x 20. En un triángulo ABC; reducir : Sen(A B) L Sen2A Sen2B . . . a) 2CosC b) . 2CosC c) 2SenC d) . 2SenC e) . CosC 21. La expresión : Cosx Cosy Senx Seny . . Es igual a : a) .. . .. . . 2 Tan x y b) .. . .. . . 2 Sen x y c) .. . .. . . 2
Cos x y d) .. . .. . . 2 Cot x y e) Cos(x y) Sen(x y) . . 22. La expresión : Sen2x Sen4x Senx Sen3x . . es igual a : a) Sen6x Sen4x b) 1 c) Sen3x Cos2x d) Sen3x Sen2x e) Sen2x 23. La expresión : Senx + Sen3x + Sen5x + Sen7x es igual a : a) Sen4x + Sen12x b) Sen16x c) 4Senx Sen2x Cos4x d) Sen4x e) 4Cosx Cos2x Sen4x 24. Transformar en producto la siguiente expresión : Cos4x . Cos8x . 2 . 4Sen2x a) Cos2x Cos3x b) 4Cos2xSen23x c) 2Cos2xSen22x d) 4Cos2xCos23x e) 4Cos4xCos22x 25. Transformar en producto la expresión : E = SenA + Sen2A + Sen3A a) CosA 2 Cos A 2 4Sen 3A b) 2 SenACos 3A c) 2 SenASen A 2 2Cos 3A d) 2 SenASen A 2 4Cos 3A e) Cos2ACosA 2 3Cos 3A
26. La expresión : Cosx TanxSenx CosxSenx Senx Sen4x Sen 2x 2 . . . es igual a : a) Tanx b) Cos2x Cos3x c) 2Senx Cos3x d) Sen2x Sen3x e) 2Sen3x Cosx 27. Reducir: E = 2Sen3xCos2x - Senx a) Senx b) Sen3x c) Sen4x d) Sen5x e) Sen6x
TRILCE 123 28. Simplificar: E = 2Sen5xCos3x-Sen8x a) Senx b) Sen2x c) Sen3x d) Sen4x e) Sen5x 29. Reducir: E = 2SenxCos3x+Sen2x a) 1 b) -1 c) Sen2x d) Sen4x e) Cos2x 30. Reducir: E = 2Sen5xCosx-Sen6x a) Sen2x b) Sen4x c) 0 d) 1 e) Senx 31. Reducir: E = 2Cos40ºCos20º-Sen70º a) 1 b) 1/2 c) 2 3 d) 3 e) 0 32. Reducir: E = 2sen4xCos2x-Sen6x a) Senx b) Sen2x c) Sen3x d) Sen5x e) Sen4x 33. Reducir: A = 2Cos5xCosx-Cos6x a) Cos2x b) Cos3x c) Cos4x d) Cos5x e) Cos8x 34. Reducir: E = 2Sen5xSen3x+Cos8x a) Sen2x b) Cos2x c) Cos3x d) Cos4x e) Cos6x 35. Reducir: E = 2Cos50ºCos10º-Cos40º a) 1/2 b) 2 3 c) 1 d) 3 e) 2 3 36. Reducir: E = 2Sen3xSenx+Cos4x a) Cosx b) Cos2x c) Cos3x d) Cos4x e) Cos6x 37. Calcular: 2Sen2x cos 4x Sen6x E 2Sen3xCosx Sen4x . . . a) 1 b) -1 c) 0 d) Sen6x e) Sen4x 38. Calcular: 2Cos80º E . 1. 4Cos80º Sen70º a) -1 b) 1/2 c) 1 d) -1/2 e) 0 39. Simplificar: . . . . . . . Sen2 E Cos4 Cos3 Cos5 Cos2 a) Sen2 . b) Sen . c) Cos . d) Cos2 . e) Sen4 . 40. Reducir: 2Sen4x.Cosx Sen3x
E 2Sen2x.Cos3x Senx . . . a) 1 b) -1 c) Sen5x d) Senx Sen5x e) Cosx 41. Reduzca : 2Cos5xCos4x Cos9x H 2Sen3xCosx Sen4x . . . a) 2Senx b) 2Cosx c) Senx d) Cosx e) Cosx 2 1 42. Si : P(x) = Sen3x Cos2x + Sen3x Cos4x . Senx Cos6x Calcule : .. . .. . . 30 P a) 1 b) 2 1 c) 2 d) 3 e) 2 3 43. Halle el valor de la expresión : 2Cos35º Cos10º Cos25º R 2Sen40º Cos20º Sen20º . . . . . a) 4 2 b) 4 3 c) 2 6 d) 3 6 e) 6 2
Trigonometría 124 44. Si se define la función : .. . .. . . . . .. . .. . . . . x 9 x Cos 9 f Cos 2 (x) , halle : f (x) máx a) 1 b) 2 1 c) 2 3 d) 4 3 e) 4 1 45. Del gráfico, calcule "x" (Cos40º = 0,766) 50º 10º A B C D 4 x a) 2,532 b) 3,156 c) 2,216 d) 3,108 e) 2,748 46. Si el ángulo A mide rad 13 . , hallar el valor de : Cos2A Cos4A F CosACos10A . . a) 1 b) 2 . 1 c) 3 2 d) 2 1 e) 2 . 3 47. Dada la expresión Cos2x 2 x Sen 2 .. . .. . , indicar si es igual a : a) .. . ..
. . .. . .. . 2 Sen 3x 2 Sen 5x b) .. . .. . . .. . .. . 4 Sen 3x 4 Sen 5x c) ... .. . . .. . .. . 2 Sen 3x 2 Sen 5x d) .. . .. . . .. . .. . 4 Sen 3x 4 Sen 5x e) .. . .. . . .. . ... 4 Cos 3x 4 Cos 5x 48. Cuál de las siguientes expresiones equivale a : 2Cos6x Senx a) Cos7x + Sen5x b) Cos7x + Senx c) Sen7x + Sen5x d) Sen7x + Cosx e) Sen7x . Sen5x 49. La suma de los senos de tres arcos en progresión aritmética de razón 3 2.
es : a) 1 b) 0 c) . 1 d) 3 2 e) No se puede determinar. 50. Si : Sen. . Sen. . a Cos. . Cos. . b (a2 . b2 . 0) Calcular : Cos(. . .) a) 2 2 a b 2ab . b) 2 2 a b 2ab . c) 2 2 2 2 a b a 3b . . d) 2 2 2 2 b a b a . . e) 2ab b2 . a2 51. Si : Senx + Seny = a Cosx.. Cosy = b calcular : a Sen(x y) aCos(x y) M 1 aSen(x y) Cos(x y) . . . . . . . . . a) 1 a b . b) ab c) b a . d) a . b e) b a 52. Si : Sen2x + Sen2z = 0 y 4 z . x . . , los valores de Cos2z . Cos2x serán : a) 2 2 . 2 , 2 2 .1 b) 2 .1. 2 , 2 1. 2
c) 2 1. 2 , 1. 2
TRILCE 125 d) 2 1. 2 , 1. 2 e) 2 1. 2 , 2 2 . 2 53. Transforme a producto : Cos2( ) W Cos2 Cos2 Cos2 . . . . . . . . . . . . a) 2Cos(. . .)Cos(. . .)Cos(. . .) b) 4Cos(. . .)Cos(. . .)Cos(. . .) c) 2Sen(. . .)Cos(. . .)Cos(. . .) d) 4Cos(. . .)Sen(. . .)Cos(. . .) e) 4Cos(. . .)Cos(. . .)Cos(. . .) 54. Si : Cos2x Cos4x Cos8x = 0,5, calcule : Tan9x A . Tan7x a) 0,6 b) 0,8 c) 1,6 d) 1,8 e) 2,4 55. Calcular el valor de la siguiente expresión: Sec80º 2Sen70º 2 1 . a) Tan10º b) Cot10º c) . 1 d) 1 e) Cot10º 2 1 56. La función trigonométrica : Cosx Cos2x f(x) Tanx Tan2x . . . es equivalente a : a) (Cosx Cos2x)(CosxCos2x) SenxSen2x . b) (CosxCos2x) x 2 Sen 3 .. . .. . c) .. . .. . .. .
.. . 2 CosxCos2xCos x x 2 Sen 3 d) x 2 Sen 3 2 Cos2xCosxCos x .. . .. . .. . .. . e) Cosx Cos 2x Sen2xCos 2x . 57. Si : Seny = 2Sen(2x + y), entonces : Tan (x + y) es igual a : a).. 2Tanx b) . 4Tanx c) . 5Tanx d) . 3Tanx e) . Tanx 58. Si : 2Sen5x = 3Sen3x, hallar : M . 25Cot24x . Cot2x a) . 2 b) . 1 c) 2 d) 1 e) 0 59. Simplificar : 1 3Sen20º E Sen20º . . a) 2Tan20º b) Tan40º c) 2Tan40º d) Tan20º e) Sec20º 60. Calcular el valor aproximado de la expresión : S = Csc27º . Sec27º a) 3 . 5 b) 2 .3 . 5 . c) 2 3 . 5 d) 3 . 5 e) 5 . 5
Trigonometría C CCl lla aav vve ees ss 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
c b a b b d d a d b a b c c b a d c a b a d e d a e d b d b
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48.
b b c b a b b c b a a b c d a b c e
49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 126
b d d e b a d c d e b b
TRILCE 127 Capítulo FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS REALES 13 DE VARIABLE REAL INTRODUCCIÓN Dentro del análisis matemático, el concepto de función es materia de un largo estudio debido a su flexibilidad para representar vía modelos matemáticos una cierta realidad que se desea investigar, ya sea para prevenir u optimizar. En ese contexto las funciones trigonométricas, debido a sus características de perio dicidad, juegan un rol importante en la representación de fenómenos periódicos, como las transmisiones radiales por ejemplo; p or ello su estudio es imprescindible. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA F.T. = {(x ;y) / y = R.T. (x) ; x . D(F.T.)} Por ejemplo : F.T.(Tangente) . {(x;y) / y . Tanx ; x . D(Tan)} Si queremos algunos pares ordenados : . . . . . . .. . .. . . . .. . .. . . .. . .. . . . ; 3 , ... 3 ; 3 , 2 3 ; 1 , 4 F.T.(Tangente) (0 ; 0) , CONSIDERACIÓN I : Para el análisis de cada una de las funciones trigonométricas, tendremos que recorda r las representaciones, en la circunferencia trigonométrica, de las Razones Trigonométricas, así como algunas propiedades adicional es. Sen. Sen. Sen. Sen. A A x B B y Cos. Cos. Cos. Cos. A A x B
B y A A x B B y . . . . . . . . . . Tan. Tan. Cuadro de Variaciones I Tan 0 0 0 0 Cos 1 0 0 1 1 0 0 1 Sen 0 1 1 0 0 1 1 0 2 2 3 2 3 2 2 0 . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometría 128 Además, no olvide que en la C.T. mostrada, los arcos con extremo en : ; n Z 2 B' es de la forma : (4n 3) A' es de la forma : (2n 1) ; n Z ; n Z 2 B es de la forma : (4n 1) A es de la forma : 2n ; n Z . . . . . . . . . . . A A B B x y Pero si debido a alguna condición; puede estar ubicado en : A o A' ; es de la forma : n. ; n.Z B o B' ; es de la forma : 2 (2n . 1) . ; n.Z A,A' ; B o B' ; es de la forma : 2 n. ; n.Z Por ejemplo : si nos pidiesen hallar " . " que cumple : Sen. . 0 . " . " tiene su extremo en A o A' . . . n. ; n. Z Sen. . 1 . " . " tiene su extremo en B . 2 . . (4n . 1) . ; n.Z Cos. . 0 . " . " tiene su extremo en B o B' . 2 . . (2n . 1) . ; n.Z Cos. . .1 . " . " tiene su extremo en A' . . . (2n .1). ; n. Z Sen2. . 0 . " 2. " tiene su extremo en A o A' . 2. . n. ; 2 . . n. ; n.Z ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS I. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO F.T.(Sen) = {(x ;y) / y = Senx ; x . D(Sen)} Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos : 2 x 1 x 2 Senx 1 Senx 2 5. 2 3. 2 . . . 1 0 2 . . 2. 3. x
y 1 Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar :
TRILCE 129 * D(Sen) = R * R(Sen). [.1 ; 1]. .1 . Senx . 1 mín máx * Es una función continua en R. * Es una función creciente y decreciente. * Es una función periódica : T . 2. (periodo principal) * Es una función impar : Sen(.x) = . Senx * No es inyectiva. II. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO F.T.(Cos) = {(x ;y) / y = Cosx ; x . D(Cos)} Por lo visto en la representación y de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos : 2 x 1 x 2 Cosx 1 Cosx 2 5. 2 3. 2 . . . 1 0 2 . . 2. 3. x y 1 Gráfica que recibe el nombre de cosinusoide; desde el cual podemos afirmar : * D (Cos) = R * R(Cos). [.1 ; 1]. .1 . Cosx . 1 mín máx * Es una función continua en R. * Es una función creciente y decreciente. * Es una función par : Cos(.x) = Cosx * Es una función periódica : T . 2. (periodo principal) * No es inyectiva. III. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE F.T.(Tan) = {(x ; y) / y = Tanx ; x . D(Tan)} De acuerdo a la representación en la C.T. y el cuadro de variaciones; y con el det alle adicional que la tangente no se define para todo arco cuyo extremo coincide con B o B', (en la C.T.), es decir, los arcos de la forma , n Z 2 (2n . 1) . . no pertenecen al dominio de la función. 2 5. 2 3. 2
. . 0 2 . . 2. x y Tan. Tan. . . 3. Asíntotas
Trigonometría 130 A la curva se le va a denominar tangentoide; y de allí podremos afirmar : * . . . . . . . . . . ; n.Z 2 D(Tan) R (2n 1) * R(Tan) . R . . . . Tanx . .. * No se define en 2 (2n . 1) . ; n.Z * Es una función creciente en cada cuadrante. * Es una función impar : Tan(.x) = . Tanx * Es una función periódica : T . . (período principal) * No es inyectiva. CONSIDERACIÓN II : A A x B B y A A x B B y . . . . Sec. Sec. . . . . . . . Cot. Cot. Csc. Csc. A A x B B y . . Nótese de los gráficos, aparte de las representaciones de las R.T.; que la cotangent e, secante y cosecante no se definen respectivamente, para arcos cuyo extremo coincide con : A y A' . n. ; n.Z B y B' . 2 (2n . 1) . ; n.Z A y A' . n. ; n.Z Cuadro de variaciones II : 0 Csc Sec 1 1 1 Cot 0 2 2
3 2 3 2 2 0 . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. 1 . . 1 .. . . ... 0 0 .. . .. . 1 . . .1 .1. IV. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE F.T.(Cot) . {(x ; y) / y . Cotx ; x . D(Cot)}
TRILCE 131 De acuerdo a lo visto en la representación y en el cuadro de variaciones, tendremo s : 2 3. 2 . . 0 2 . . x y Cot. Cot. . . 2. Asíntotas ... Curva que recibe el nombre de cotangentoide; de donde podemos afirmar : * D(Cot) . R . {n. ; n. Z} * R(Cot) . R . .. . Cotx . .. * No se define en n. ; n. Z * Es una función decreciente en cada cuadrante. * Es una función impar : Cot(.x) = . Cotx * Es una función periódica : T . . (periodo principal) * No es inyectiva. V. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SECANTE F.T.(Sec) . {(x ; y) / y .Secx ; x .D(Sec)} Según la representación y variación, tendremos : 2 0 3. 2 . . x y 2. Asíntota 2 . . . 1 1 2 5. 3. Curva denominada secantoide, de donde afirmamos : * . . .. . . . . . . ; n.Z 2 D(Sec) R (2n 1) * R(Sec) . . . ; .1...1 ; . . . Secx . .1 o Secx . 1 * No se define en ; n Z 2 (2n . 1) . . * Es una función creciente y decreciente * Es una función par : Sec(.x) = Secx * Es una función periódica : T . 2. (período principal) * No es inyectiva.
Trigonometría 132 VI. FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSECANTE F.T(Csc) . . (x ; y) / y .Cscx ; x . D(Csc) . 2 3. 0 2 . . x y 2. Asíntota 2 . . . 1 1 2 ... 5. Curva a la que se denomina cosecantoide, de la cual afirmaremos : * D(Csc) . R . {n. ; n. Z} * R(Csc) . . . ; .1...1 ; . . . Cscx . .1 o Cscx . 1 * No se define en n. ; n . Z * Es una función creciente y decreciente * Es una función par : Csc(.x) = . Cscx * Es una función periódica : T . 2. (periodo principal) * No es inyectiva.
TRILCE 133 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Halle la suma del máximo y mínimo valor de la función: f(x) = 3+Senx a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 02. Indique el mínimo valor que asume la función: g(x) = 4-Cos2x a) 1 b) 3 c) 5 d) 6 e) 7 03. Determine el dominio de la función: 2 Senx f(x) . 4 . a) / n Z} 2 R . {n. . b) R c) R - {0} d) R .{n. / n . Z} e) / n Z} 3 R . {(2n . 1) . . 04. Determine el dominio de la función: ) x H(x) . 4Cos(1 a) R b) R - {0} c) R - {1} d) R .{n. / n . Z} e) R - {2} 05. Graficar la función: y = F(x) = 2Senx; x .[0;2.] a) b) y x -1 1 ./2 3./2 2. y x -1 1 . 2. c) d) y x -2 2 . 2. y x -2 2 2. e) y . 2. x 1 0 06. Graficar: y=f(x) = |Senx|; x .[0;2.] a) b)
y x -1 1 2. y x 1 0 . 2. c) d) y x 2. y x -1 1 . 2. . 0 e) N.A. 07. Dadas las funciones f y g definidas por: f(x)=2Cosx y g(x) = 1+Cosx. Hallar un intervalo donde f(x) < g(x) a) <0; 2 . > b) <0;.> c) <.;2.> d) < 2 . ; 2 3. > e) <0;2.> 08. Determine el rango de la función: H(x)=3+3Cos2x a) [2,5] b) [2,4] c) [3,6] d) R e) [0,3] 09. Determine el rango de la función: F(x)=4-2Sen2x a) [1,2] b) [2,4] c) [3,7] d) [-1,1] e) R 10. Determine el rango de: g(x)=8Sen2x-1 a) [-2,5] b) [-1,7] c) [2,4] d) [-3,3] e) R 11. Determine el periodo de: y=f(x)=4Cos3x+7 a) 2. b) 3 2. c) 3. d) 2 3. e) .
Trigonometría 134 12. ¿Cuál es el dominio de la función: f definida por: f(x) . 2Sen( x ) .1 ? a) R b) R-{1} c) [-1;1] d) R-{0} e) [0;+.> 13. ¿Cuál es el dominio de la función g definida por: ) 2 x g(x) . 3Cos( 1 . ? a) R b) R+.{0} c) [-1;1] d) R-{1} e) <0;+.> 14. Determine el rango de la función f definida por: f(x) . .2Cos2x . Cosx .1 . a) ] 8 [.2; 9 b) ] 16 [.2; .7 c) ] 8 [.4; .7 d) ] 4 [.4; .7 e) ] 8 ; 7 2 [. 3 . 15. Si f es una función definida por: 2 f(x) . Sen2x . 2Senx . 5 Determine el valor de: E . 2fmáx . 4fmín a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 16. Graficar: y = |Sen4x| Indicar su periodo. a) 8 . b) 4 . c) 2 . d) . e) 2. 17. Determine la extensión de la función: Tanx H(x) . CosxTanx . Senx a) [-2;2] b) [-1;1] c) [1;2] d) [-1;5] e) R 18. Si: Sen x 1 |Senx| 1 F(x) 2 . . . . Determine el rango de F. a) <- . ;-1] b) <-1;1> c) [0;1> d) <1;+.> e) R-{0} 19. Si: g(x) . 2.|Cosx | . Determine el rango de g. a) [0; 2] b) [ 2;2] c) [ 2; 3] d) [-1;1] e) [1; 3] 20. Hallar el rango de la función f definida por: ; x [0;2 ] Senx 3 f(x) Senx 2 . .
. . . a) [0,1/ 2] b) [1/ 2,3 / 4] c) R d) [0,2] e) [.1,1] 21. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda en : I. La función : y = f(x) = Senx, posee un máximo en 0 ; . II. La función y = f(x) = Senx, es inyectiva en 2 ; 2 . . . III. La función : y = f(x) = Senx, es impar. a) VVV b) VVF c) FVV d) VFV e) VFF 22. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda en : I. La función : y = f(x) = Cosx, es inyectiva en . ; 2. II. La función : y = f(x) = Cosx, es creciente en 0 ; . III. La función : y = f(x) = Cosx, es par. a) VVV b) VFV c) VVF d) VFF e) FVV 23. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda en : I. La función : y = f(x) = Tanx, tiene dominio : . . . . . . . . . ; n. Z 2 R (2n 1) II. La función : y = f(x) = Tanx, es creciente en 2 ; 3 2 . . III. La función : y = f(x) = Tanx, es impar. a) VVV b) VVF c) FVV d) VFV e) VFF 24. Se define la función : y = f(x) = Tan2x + 1 ¿Cuál será su dominio? a) . . . . . . . . ; n. Z 2 R n b) R . .(2n . 1). ; n. Z. c) . . . . . . . . . ; n.Z 4 R (2n 1) d) R . .n. ; n . Z.
TRILCE 135 e) R . .2n. ; n . Z. 25. Señale el dominio de la función : ; (n Z) Cosx 1 y g(x) Senx 1 . . . . . a) R b) . . . . . . . . . 2 R (2n 1) c) R . .n.. d) R . .(2n . 1).. e) . . . . . . . . 2 R n 26. Señale el rango de la función : y . h(x) . 2Sen2x . 3Cos2x a) [0 ; 2] b) .. 3 ; 13 . c) .0 ; 13 . d) [2 ; 3] e) .2 ; 13 . 27. Determine el rango de "F". F(x) = 3 + SenxCosx a) [2 ; 4] b) [3 ; 4] c) .. . .. . 2 ; 7 2 5 d) .. . .. . 2 ; 5 2 3 e) [5 ; 7] 28. Dada la función : h(x) . Cos2x . Senx Determine su rango a) .. . .. . 2 ; 7 2 3 b) ..1 ; 2. c) ..
. .. . 2 2 ; 7 d) .. . .. . 2 ; 7 4 5 e) .. . .. .. 4 1 ; 5 29. Se define la función : y=f(x) = 2Csc3x . 1 ¿Cuál es su dominio? a) R . .3n. ; n . Z. b) . . . . . . . . ; n. Z 3 R n c) . . . . . . . . ; n. Z 6 R n d) . . . . . . . . . ; n. Z 3 R (2n 1) e) . . . . . . . . . ; n. Z 6 R (2n 1) 30. ¿Cuál es el máximo valor que puede tomar la función : f(x) = Sen(x . 90º) en el intervalo [0 ; 72º]? a) Sen (. 20º) b) . 1 c) 2 . 1 d) . 0,55 e) . Sen 18º 31. Si consideramos M el valor máximo que asume la función : f(x) = (3 ..Senx) (3 + Senx) y N el valor mínimo que asume la función: .. . .. . . ..
. .. . . . 3 Cosx 1 3 g(x) Cosx 1 Luego : M . N resulta : a) 8 b).. 8 c) 1 d) . 1 e) 0 32. Para qué valores de x, 0 . x . 2. se cumple Senx > Cosx a) 4 0 . x . . b) 4 0 . x . 3. c) 4 0 . x . 5. d) 4 0 . x . 7. e) 4 x 5 4 . . . . 33. Si f es la función definida por : 1 SenxCosx f(x) 2SenxCosx 1 . . . ; 0 2 x . . . entonces el rango de f es : a) 3 . . ; . 4 b) ; 1 3 . 5 . c) . ; . . 3 4 d) .. . . 3 1 ; 4 e) .. .. .; 1 3 4 34. ¿Cuál o cuáles de las funciones dadas son inyectivas? I. f(x) = Senx 0 . x . . II. g(x) = Cosx 0 . x . . III. h(x) = Cotx 0 . x . . a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) II y III e) I y II
Trigonometría 136 35. Si f(x) = aSen(kx) ; g(x) = aCos(kx) son funciones cuyas gráficas se muestran en la siguiente figura. Calcular las coordenadas del punto P. f(x) g(x) P . 2 2 2. 3 a) .. . .. . . ; . 2 3 b) .. . .. . . ; . 2 12 5 c) . .. . . .. . . . 2 ; 2 3 d) . .. . . .. . . . 2 ; 2 12 5 e) .. . .. . . ; . 2 3 5 36. Determinar el dominio máximo de la función : 4 f(x) . 2 . Sen2x . Sen4x . 1 a) . . . . . . . . . ; n.Z 4 n b) . . . . . . . . . ; n.Z 2
n c) . . . . . . . . . ; n.Z 4 n d) . . . . . . . . ; n.Z 4 (2n 1) e) . . . . . . . . ; n.Z 2 (2n 1) 37. Dadas las proposiciones : I. La función Senx es creciente en 0 ; . II. La función Cosx es decreciente en 0 ; . III. La función Tanx es creciente en 2 0 ; . ¿Cuáles de ellas son verdaderas? a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 38. El valor máximo que toma la función : f(x) . 3Sen2x . 4Cos2x , x .R , es : a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 39. El mayor valor que toma la función : f(x) = Cos2x + 3Sen2x + 2 es : a) 2 . 10 b) 6 c) 3 . 10 d) 1 . 10 e) 5 40. Hallar el mínimo valor de : M . 10 . 9Cos2x . Senx a) 18 17 b) 36 35 c) 28 27 d) 46 45 e) 24 23 41. Hallar el rango de f(x) = | Cotx| Senx a) .1 ; 1 b) ..1 ; 1. c) .1 ; 1. d) ..1 ; 1 e) R . .1 ; 1 42. Si m y M son los valores mínimo y máximo respectivamente, de la función : f(x) . Sen6x . Cos6x Entonces m + M es : a) 2 1 b) 1 c) 2
3 d) 2 e) 4 5 43. Si P = (x ; 1.a) es un punto que pertenece a la gráfica de la función Seno, hallar : A = Senx (1 . Senx) (Cscx) a) 1 . a b) 2 a c) a 1 d) a e) a . 1 44. El mínimo valor de la función : .. . .. . . . . . 6 ; 5 3 f(x) Tan2x ; x a) 0 b) 3 1 c) 3 d) No existe el mínimo valor de f e) 1
TRILCE 137 45. Dadas las funciones : y = f(x) = Sen2x |Senx| + Cos2x |Cosx| y = g(x) = Senx Se afirma : I. En 2 0 ; . , sus gráficas se intersectan en 1 punto. II. En 2 . ; 3. , sus gráficas se intersecan en 1 punto. III. En . ; 2. 2 3 , sus gráficas se intersectan en 2 puntos. IV. El periodo principal de "f" es . . ¿Cuántas son verdaderas? a) 1 b) 2 c) 3 d) Todas e) Ninguna 46. Dada la función : h(x) . Senx . Cosx ; n.Z Señale el dominio. a) .2n. ; (2n . 1).. b) .. . .. . . . ; (2n .1). 2 (4n 1) c) .. . .. . . . ; 2n. . 2. 2 (4n 3) d) .. . .. . . . . 2 2n ; (4n 1) e) .. . .. . . . . . 2 ; (4n 3) 2 (4n 1) 47. Señalar cuál es la proposición falsa: . e) Secx R R d) Cosx R [ 1 ; 1] c) Cotx R n R R 2 b) Tanx R (2n 1) 1] ;
Senx R [ 1 a) FUNCIÓN DOMINIO RANGO . ... . . . . . . . . . . . ( n.Z ) 48. En el intervalo [0 ; 2.] el siguiente gráfico corresponde a : . 3 2 . 2 3 3. 2 2. x y a) Senx + 2Cosx b) 4Cosx + 3Senx c) 2(Senx + Cosx) d) 3Senx + 2Cosx e) 3(Senx + Cosx) 49. La diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la función : f(x) = |Senx| + |Cosx| Es aproximadamente igual a : a) 0,41 b) 0,42 c) 0,44 d) 0,46 e) 0,91 50. Hallar el máximo valor de : Senx Cosx E Senx Cosx . . . Para : .. . . . . . 4 ; 4 x a) . 2 b) . 1 c) 0 d) 1 e) 2 51. Si : f(x) = 1 . Sen|x| Indicar Verdadero (V) o Falso (F) para las siguientes proposiciones: I. f(x) es creciente en 2 ; 3 2 . . II. f(x) es decreciente en 2 ; 2 . 3. . . III. f(x) tiene como rango [0 ; 2] a) VFF b) VFV c) VVF d) VVV e) FVV 52. Si R es el rango de la función f y
2Senx f(x) . Cos6x . Cos4x . Cos2x . Sen7x Entonces, podemos afirmar : a) R . 0 ; 1 b) R . .1 ; 0 c) .. . .. . . 2 R 0 ; 1 d) .1 ; 1 . R e) 0 ; 1 . R
Trigonometría 138 53. Hallar el valor de : máx mín E . f . f Si : f(x) = 2Cosx (Cosx - Senx) - 1 .. . .. . .. . 8 ; 5 2 x a) . 2 2 b) . 1 c) 2 d) 2 2 e) 1 54. Hallar los valores x en el intervalo 0 ; . para los cuales existe f, si : 1 Senx 2Cos x f(x) 1 . . 2 . a) .. . .. . . . 3 ; 2 3 b) .. . .. . . . 6 ; 5 6 c) 3 ; 2 3 . . d) 6 ; 5 6 . . e) 6 ; 5 3 . . 55. Señale : Rf .Rg , si : f(x) . Sen.Senx . 3Cosx. g(x) . Cos.Senx . 3Cosx. a) [Sen2 ; 1] b) [.1 ; Sen2] c) [Cos2 ; 1] d) [.1 ; Cos2] e) [Cos2 ; Sen2] 56. Determine el rango de la función f definida por: f(x)=|Senx|+|Cosx|. a) [0; 2] b) ; 2] 2 [1 c) [1; 2]
d) [0;1] e) ;1] 2 [1 57. Dada la función f definida por: f(x)=Sen2x+|Senx+Cosx| Hallar: fmáx + fmín a) 2 b) 2 2 c) 2 3 2 d) 3 e) 2(1. 2) 58. Determinar el periodo de: 4 Sen x 3 Sen x 2 f(x) . Sen x . . a) 12. b) 18. c) 24. d) 48. e) 52. 59. Si f es una función definida por: f(x) . Senx . Cosx . Tanx . Cotx ; halle el dominio de dicha función, .k .Z . a) R b) [.1;1] c) R { / k Z} 2 . k. . d) R .{2k / k . Z} e) [0;1] 60. Dada la función : g(x) = Senx (Cosx + |Cosx|) Señale su gráfico. a) x y b) x y c) x y d) x y e) x y
TRILCE 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
b c d b c b d c b b b e e a d b a a c b a b a c d d c e b e
139 ClavesClaves 31. d 32. e 33. e 34. d 35. b 36. d 37. e 38. b 39. a 40. b 41. a 42. e 43. d 44. b 45. c 46. d 47. e 48. d 49. a 50. c 51. d 52. b 53. e
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
d c c b c c b
TRILCE 141 Capítulo FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 14 INVERSAS OBJETIVO El objetivo del presente capítulo es analizar las funciones inversas de las funcio nes trigonométricas básicas; así como familiarizarnos con las notaciones ArcSenx, ArcCosx, ArcTanx, etc; de modo que l as interpretemos y operacionalicemos correctamente según las propiedades que se darán convenientemente. INTRODUCCIÓN Según el análisis de funciones; la condición suficiente para que una función posea inver sa, es que debe ser inyectiva : y x y x y x f f no es inyectiva g no es inyectiva h si es inyectiva g h Las funciones trigonométricas; debido a su carácter periódico no son inyectivas : y x y . x 2 . . 2 0 . 1 .1 3. 2 y=Senx . 2 . . 2 0 . 3. 2 y=Tanx Según este comentario, las funciones trigonométricas no poseen inversa. Sin embargo; es posible redefinir la función trigonométrica, restringiendo su dominio (sin alterar su rango), a un intervalo do nde sea inyectiva y en consecuencia se pueda obtener su inversa. OBTENCIÓN Y ANÁLISIS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS I. F.T. SENO INVERSO O ARCO SENO De la función : y = Senx Tomamos el dominio : ... .. .. . . 2 ; 2 El rango no cambia : ..1 ; 1. Luego para hallar la inversa; hacemos en : x Seny
y Senx . . . . Esto es : "y es un ángulo arco o número cuyo Seno vale x". Lo cual se denotará : y = ArcSenx Finalmente, como el dominio y rango se intercambian con el de la función original; tendremos :
Trigonometría 142 .. . .. .. . . . . . . .. . .. .. . . . . 2 ; 2 Rang * : Dom* : 1 ; 1 y f *(x) ArcSenx Rang : 1 ; 1 2 ; 2 Dom : y f(x) Senx f f * Cumpliéndose : ArcSen(.x) = . ArcSenx II. F.T. COSENO INVERSO O ARCO COSENO De la función : y = Cosx Tomamos el dominio : .0 ; .. Sin cambiar el rango : ..1 ; 1. Luego para hallar la inversa procedemos igual que en el caso del "ArcSenx"; obte niéndose : . . . . . . Rang * : Dom* : 1 ; 1 y f *(x) ArcCosx Rang : 1 ; 1 Dom : y f(x) Cosx f f * 0 ; . 0 ; . Cumpliéndose : ArcCos(.x) = ... ArcCosx III. F.T. TANGENTE INVERSO O ARCO TANGENTE De la función : y = Tanx, tomamos el dominio : 2 ; 2 . . . sin cambiar el rango : .. ; . . Luego, para hallar la inversa de la función Tangente, procedemos igual que en los casos anteriores, obteniéndose : . . . . Rang * :
Dom* : y f *(x) ArcTanx Rang : Dom : y f(x) Tanx f f * . . . . . . . ; 2 ; 2 . . ; . . . . . 2 ; 2 Cumpliéndose : ArcTan(.x) = . ArcTanx IV. F.T. COTANGENTE INVERSA O ARCO COTANGENTE . . . . Rang * : Dom* : y f *(x) ArcCotx Rang : Dom : y f(x) Cotx f f * . . ; . . . . ; . . 0 ; . 0 ; .
TRILCE 143 Cumpliéndose : ArcCot(.x) = ... ArcCotx V. F.T. SECANTE INVERSA O ARCO SECANTE . . . . Rang * : Dom* : y f *(x) ArcSecx Rang : Dom : y f(x) Secx f f * . . . . . . . . . 2 0 ; . . . . . . . . . 2 . . ; .1 . 1 ; . . 0 ; . . ; .1 . 1 ; . . Cumpliéndose : ArcSec(.x) = ... ArcSecx VI. F.T. COSECANTE INVERSA O ARCO COSECANTE . . . . Rang * : Dom* : y f *(x) ArcCscx Rang : Dom : y f(x) Cscx f f * {0} 2 ; 2 . .. . .. .. . . {0} 2 ; 2 . .. . .. . . ; .1. .1 ; . . .. . . . . ; .1. .1 ; . . PROPIEDADES 1. F.T. .Arc F.T. (n).. n ; n. Dom(Arc F.T.) Esto es : . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Csc(ArcCsc(n)) n , n ; 1 1 ; Sec(ArcSec(n)) n , n ; 1 1 ; Cot(ArcCot(n)) n , n R Tan(ArcTan(n)) n , n R Cos(ArcCos(n)) n , n 1 ; 1 Sen(ArcSen(n)) n , n 1 ; 1 Por ejemplo : 3 1 3 Sen ArcSen 1 . .. . .. . Tan(ArcTan4) = 4 2. Arc F.T. .F.T. (.).. . ; . .. Rang(Arc F.T.) Esto es : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . .... . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . . . .. . .. . .. . . . . .... . . {0} 2 ; 2 Csc(ArcCsc ) , 2 ArcSec(Sec ) , 0 ; ArcCot(Cot ) , 0 ; 2 ; 2 ArcTan(Tan ) , ArcCos(Cos ) , 0 ; 2 ;
2 ArcSen(Sen ) ,
Trigonometría 144 Por ejemplo : 5 5 Sen ArcSen . . .. . .. . . ; pues : 2 5 2 . . . . . . ArcCos(Cos1) = 1 ; pues : 0 . 1 . . 2 ) 2 Tan ( ArcTan . ; pues .. . .. . .. . . 2 ; 2 2 En este caso, se le busca un equivalente a "Tan2" en el intervalo correspondient e al rango del ArcTan, asi : MA' = NA = . . 2; entonces : AN = 2 ... Note que : Tan2 = Tan(2....) luego : ArcTan(Tan2) = ArcTan[Tan(2... . )] ArcTan(Tan2) = 2.... ya que : 2 2 2 . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . ; ; 1 1 ; 2 ArcSecx ArcCscx ; R 2 ArcTanx ArcCotx ; 1 ; 1 2 ArcSenx ArcCosx x x x 4. .. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . .
Si : xy 1 , x 0 ; n 1 Si : xy 1 , x 0 ; n 1 Si : xy 1 ; n 0 n 1 xy ArcTanx ArcTany ArcTan x y 5. .. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . .. . . . . . Si : xy .1 , x 0 ; n 1 Si : xy .1 , x 0 ; n 1 Si : xy . 1 ; n 0 n 1 xy ArcTanx ArcTany ArcTan x y
TRILCE 145 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Calcule : 2 ArcCos 2 2 E . ArcSen 3 . a) 12 5. b) 12 7. c) 9 . d) 8 . e) . 02. Calcule: . .. . . .. . . 2 E Sen ArcSec 5 a) 2 1 b) 3 2 c) 5 5 d) 5 2 5 e) 10 5 03. Halle el valor de: .. . .. . 3 Cos2 ArcTan 2 a) 5 2 b) 5 3 c) 13 5 d) 13 12 e) 8 15 04. Halle "x", si : 4ArcSenx = ArcCosx a) 2 1 b) 4 1
c) 2 3 d) 4 5 .1 e) 4 5 . 1 05. Resolver : 2 ArcSec x x 1 ArcTan x 2 . . . a) 1 b) 2 c) 0 d) . 1 e) . 2 06. Si : 3 ArcCosy . ArcSenx . 2. , calcule: M = ArcSeny + ArcCosx a) 2 . b) 3 . c) 4 . d) 5 . e) 6 . 07. La suma de : . .. . . .. . 2 ArcSen 3 , . .. . . .. . 2 ArcSen 2 , ArcTan0 y . . . . . . . . 3 ArcSec 2 es : a) 0 b) 4 3. c) 2 3 d) 3 2 2
2 2 3 . . e) 3 4. 08. Reducir: M . Sec2(ArcTan3). Csc2(ArcCot4) a) 7 b) 13 c) 15 d) 27 e) 12 09. El resultado de : . .. . . .. . . . . .. . . .. . . 2 ArcSen 3 2 1 2 ArcCos 3 es : a) 120º b) 150º c) 60º d) 30º e) 240º 10. Calcular : Sec(Arc Tanb) a) b.1 b) 2b c) No se puede determinar d) 2 b e) 1 . b2 11. Determinar el valor de la expresión : . . . . . . .. . .. . . .. . .. . . 3 ArcTan 1 5 P Cos ArcSen 1 a) 5 10 4 5 .1 b) 6 10 5 5 . 1 c) 6 10 5 5 .1 d) 5 10 6 6 . 1 e) 5 10 6 6 .1
12. La expresión trigonométrica ArcCosu=z significa Cosz = u. Suponiendo : z .[0 ; .] . Hallar : .. . .. . 2 2Sen ArcCos 1 a) 2 1 b) 4 3 c) 3 d) 3 2 3 e) 3 3
Trigonometría 146 13. Dada la ecuación: ArcTan(x+1).ArcTan(x.1)=ArcTan1 Indicar la suma de las soluciones a) . 2 b) . 1 c) 0 d) 1 e) 2 14. Si: ArcTan3 2 ArcTan3. . ArcTan 3. . , entonces : a) 9.2 . 3. . 2 b) 3 . . 1 c) 9.2 . 3. . 2 d) 3 ó 1 3 . . 2 . . . e) 3 ó 1 3 . . . 2 . . 15. Si : Tan(ArcTan2x) + Cot(ArcCotx) = 6, calcule : . . . . . . . . x 1 K Tan ArcCos x a) 2 b) 2 2 c) 4 2 d) 3 2 3 e) 2 3 16. Dada la función : .. . .. . . . 3 ArcSen 2x 1 3 g(x) 2 , halle : g Dom a) . . 3 ; 2 . b) .. . .. . ; 2 2
1 c) .. . .. .. 2 1 ; 1 d) ..1 ; 2. e) ..2 ; 1. 17. Dada la función : .. . .. . . . 7 ArcCos 6x 5 6 h(x) 5 , halle : Domh a) .. . .. .. 3 1 ; 4 b) .. . .... 2 ; 3 1 c) .. . .. .. 3 2 ; 1 d) .. . .. . ; 2 6 5 e) .. . .. .. 6 ; 5 3 1 18. Dada la función : . . . 2 g(x) 2ArcSen x , halle : g Rango a) ... ; 3.. b) ... ; .. c) ..2. ; 0. d) .. . .. .. . . 2
; 3 2 e) .0 ; 2.. 19. Dada la función : 4 ArcCos4x 3 4 h(x) . 1 . . , halle : Rangoh a) .. . .. . . 4 ; 0 b) .. . .. . . ; . 4 3 c) .. . .. . . . 8 ; 7 8 5 d) .. . .. . . ; . 2 e) .. . .. . . . 2 ; 3 4 5 20. Graficar : y . 4ArcSen(x .1) . . a) y x b) y x c) y x d) y x e) y x 21. Grafique la función : 4 y . 2ArcCosx . .
a) y x b) y x c) y x d) y x
TRILCE 147 22. Calcule : . .. . .. . . . .. . .. . . . . 6 ArcSen Sen 5 6 ArcSen Sen .. . .. . . 6 ArcSen Sen 7 a) 0 b) 6 . . c) 6 . d) 3 . e) 2 . 23. Calcule: . . ArcCos(Cos2) . ArcCos(Cos4) a) 2. .1 b) 2. . 1 c) 2(. . 1) d) 2(. .1) e) 2(. . 2) 24. Calcular el valor de: 2 ArcTan 1 2 1 x ArcTan 2 1 . . . . a) 22º30' b) 45º c) 67º30' d) 30º e) 60º 25. Hallar x, sabiendo que: ArcSenx 3 ArcCos 8 . . .. . . .. . a) 30º b) 9 8 c) 2 1 d) 3 1 e) 15º 26. El valor o valores que verifican : 2 Cos(ArcSenx). Sen(ArcCosx) . 3 Son : a)
4 y 7 4 5 b) Sólo 4 7 c) 4 y 7 4 7 . d) 4 . 7 e) 4 y 5 4 5 . 27. Hallar : x ArcCscx 5 2ArcCot2 ArcCos 3 . .. . .. . . a) 0 b) 5 4 c) 5 24 d) 25 7 e) 24 25 28. Señale el rango de la función : y = f(x) = ArcSenx+ArcCosx+ArcTanx a) .. . .. . . . 2 ; 3 2 b) .. . .. . . . 4 ; 3 4 c) 2 ; 3 2 . . d) 4 ; 3 4 . . e) 0 ; . 29. Calcule : .. .
.. . . . . .. 85 ArcSen 13 5 ArcSen 3 17 ArcSen15 a) 4 . b) 2 . c) 4 3. d) 6 5. e) . 30. Al resolver la ecuación : 0 ) 2 ArcTan ( Sen x 1 ArcSen Tan 2 . . . .. . . .. . . , tenemos : a) 3 x . . 5 b) x no existe. c) 5 x . . 5 d) x = 1 e) 65 x . 33 31. Si : 1 2 ArcSen 1 1 ArcSen 2 . . .. . .. . . . . . . . .. . . .. . . . . , el valor de " . " es : a) . . 1 ; . . 0 b) 3 . . 2 c) 0 . . . 1 d) . . 1 ; . . 2 e) . . 1 32. Evaluar la expresión : . .. . . .. . . ..
. . .. . . . 4 2ArcTan 27 11 11 Sen 3ArcTan 1 a) 0 b) 1 c) 3 d) 11 e) 27 33. Calcular el valor de la siguiente expresión: .. . .. . .. . .. . . 12 Sen 2ArcCot(4) ArcTan 5
Trigonometría 148 a) 100 9 b) 200 19 c) 221 21 d) 0 e) 10 1 34. Si 0 . x . 1 , entonces, podemos afirmar que ArcCos(2x2 .1) es igual a : a) Arc Cosx b) Arc Senx c) 2Arc Senx d) 2 Arc Cosx e) Arc Cos2x 35. Resolver la ecuación: 3 ArcSen2x . ArcSenx . . a) 7 3 2 x . 1 b) 7 3 2 x . . 1 c) 1 d) 7 3 3 x . . 1 e) 7 3 3 x . 1 36. Si : x . ArcCot Sec. . ArcTan Sec. y Cosx > 0, el valor de Senx es : a) 2 Tan2 . b) .. . .. . . . 2 Cot2 c) 2 . Tan2 . d) Tan2. e) .. . .. . . 2 Cot2 37. Calcular el valor de "m", para que se cumpla la siguiente igualdad: Sen(ArcTanm) = Tan(ArcSenm) a) 1 b) 0 c) . 1 d) 2 e).. 2 38. Resolver: 2 3 2 ArcCosx ArcCos x 1
2 1 x ArcCos . . ... .. . . . . .. . .. . . a) .0. b) ..1 ; 0 ; 1. c) .0 ; 1. d) . . . . . . 4 0 ; 1 e) . . . . . . . 4 ; 0 ; 1 4 1 39. Si : . . a . b . c , halle : ab ArcTan c ac ArcTan b bc . . ArcTan a. . . . . a) 0 b) 4 . c) 6 . d) 3 2. e) . 40. Reduzca: . .. . . .. . . . . . 1 x2 2ArcTanx ArcSen 2x Para : x . . . ; .1. a) . b) 2ArcTanx c) 4ArcTanx d) .. e) 0 41. Señale el número de raíces de la ecuación: .. . .. . . . . . . . . 2 2 2 x 2 6 x 2ArcCos x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Ninguna 42. Acerca de la función: . .. . . ..
. . . f(x) ArcSen 1 3 x2 Podemos afirmar que : I. Dom : .0 ; 2 2. f II. .. . .. . . 2 Ran : 0 ; f III. "f" es decreciente . x . 0 ; 1 Luego, es correcto : a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) I y II e) II y III 43. Si : .. . .. . . . 2 ; 1 2 x 3 , determine el rango de la función: . . . . 6ArcCosx g(x) 3 a) . . 2 ; 1 b) .. . .. . ; 1 2 1 c) .. . .. . ; 3 7 3 d) .. . .. . 2 ; 3 2 1 e) .. . .. . 2 ; 3 5 3 44. Calcular el valor de : .. . ..
. . . 4 ArcSen 1 2 1 2 Cos a) . .. . . .. . . . 4 5 3 b) . .. . . .. . . . 4 5 3
TRILCE 149 c) 4 5 . 3 d) 4 5 . 2 e) . .. . . .. . . . 4 5 2 45. Señale el dominio de la función : .. . .. . . . 4 ArcCos 3x |x | 4 h(x) 1 a) ..2 ; 2. b) ..1 ; 1. c) ..1 ; 2. d) ..2 ; 1. e) .0 ; 3. 46. Obtenga el valor de la expresión : ArcCot 2x 1 ArcCsc x 1 A ArcSen(x 2) ArcCosx ArcTan x 2 . . 2 . . . . . . a) 0 b) 3 . 2 c) 3 5 d) 3 . 1 e) 5 . 3 47. Reduzca : . .. . . .. . . . . 12 ArcSen 2 15 5 3 J ArcSen 2 a) 6 ArcSen 1 b) 5 ArcSen 2 c) 4 ArcSen 1 d) 7 ArcSen 2 e) 3 ArcSen 1
48. Halle el valor de la expresión : . .. . . .. . . . . . .. . . .. . . . . 3 ArcSen 2 4 Cos 3 ArcCos 1 4 N Sen3 3 a) 18 7 6 b) 18 5 6 c) 9 7 3 d) 9 5 2 e) 4 7 2 49. Si: ArcSenx + ArcSeny + ArcSenz = . , calcule: xy 1 z zx 1 y yz H 1 x 2 2 . 2 . . . . . a) 1 b) 2 c) ..2 d) 4 e).. 4 50. Calcule : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 ArcTan 2 2 1
3 1 3 ArcTan 2 1 2 1 3 3 a) 10 . b) 18 . c) 36 . d) 40 . e) 72 . 51. Resolver : 6 5 x ArcTan 1 x 1 x ArcTan x . . .. . .. . . . .. . .. . . a) 3 5 3 b) 4 4 3 c) 4 6 d) 4 5 4 e) 3 2 52. Al resolver la ecuación : x3 . 3x .1 . 0 , se obtiene como raíces : 1 x , 2 x , 3 x Calcule el valor de : .. ... .. 3 . k 1 k x 2 ArcSen 1 a) 9 . . b) 10 . c) 18 . d) 9 13. e) 9
26. 53. Del gráfico mostrado, halle : a + 3b ..c y 2 x 2 y=a+b.ArcCos(cx) y=ArcSenx a) 12 . b) 6 . c) 4 . d) 3 . e) 12 7. 54. Se define la función : f(x) . ArcTan2x . 4ArcTanx . 3 Halle el dominio de dicha función :
Trigonometría 150 a) . . ; Tan1. b) .Tan1 ; . . c) R d) ..Tan1 ; Tan1. e) .0 ; Tan1. 55. Qué valor de "x" maximiza : y . f(x) . (ArcSenx)5(ArcCosx) a) 2 3 . 1 b) 2 3 .1 c) 4 6 . 2 d) 4 6 . 2 e) 3 6 56. Del gráfico, calcular : K . Tan. . Tan. y x . . y=ArcCosx y=2ArcSenx a) 2 1 b) 4 1 c) 2 d) 4 e) 4 3 57. Dada la función "f" definida por : f(x) . ArcSenx . ArcCotx , halle : .. . .. . . 2 fmáx fmín a) 4 . . b) 2 . . c) 0 d) 4 . e) 2 . 58. Calcule : . .. . . .. . . .
Csc10º 1 M ArcTan 3 a) 10 . b) 9 . c) 5 . d) 18 . e) 20 . 59. Graficar : . .. . . .. . . . . 1 x2 y f(x) ArcSen 2x a) y 1 x .1 . 2 . . 2 b) y x c) y x 1 .1 . 2 . . 2 60. Si : Tan(2ArcTan Cos2.) . Sen(ArcCsc Sec2.) . mCscn. . p Calcule : W = m + n . p a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
TRILCE 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
b c c d b b b d a e e c c b b d b c b c b c d b d c e b b a
151 ClavesClaves 31. a 32. a 33. c 34. d 35. a 36. a 37. b 38. a 39. e 40. d 41. a 42. c 43. b 44. c 45. c 46. d 47. c 48. a 49. b 50. c 51. b 52. c 53. b
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
a d a b b a c
TRILCE 153 Capítulo ECUACIONES E INECUACIONES 15 TRIGONOMÉTRICAS ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Son igualdades condicionales donde la variable (x) o arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados de algún operador trigonométrico como el seno, coseno, etc. Es de la forma : F.T. (ax + b) = N ............... (*) Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o arco (ax + b) definido en e l "rango" de la función trigonométrica inversa. De (*) : Vp = Arc F.T. (N) Además N debe pertenecer al dominio de la función trigonométrica; a y b son constantes reales con a . 0 . Ejemplo : De las ecuaciones trigonométricas elementales, con sus respectivos valor es principales : * 2 3 Vp ArcSen 3 2 Sen3x 3 . . . .. . . .. . . . . * 3 2 2 Vp ArcCos 1 2 1 4 x 2 Cos . . .. . .. . . . . .. .. . .. . . . * 4 1 Vp ArcTan( 1) 5 8 Tan 3x . . . . . . . . .. . .. . . . EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA ECUACIÓN SOLUCIÓN Si : Senx . N . x . K. . (.1)K Vp ; . k . Z Obs : Vp = ArcSen(N) ECUACIÓN SOLUCIÓN Si : Cosx . N . x . 2K ..Vp ; . K . Z Obs : Vp = ArcCos(N)
Trigonometría 154 ECUACIÓN SOLUCIÓN Si : Tanx . N . x . K. . Vp ; . K . Z Obs : Vp = ArcTan(N) INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS Inecuación Trigonométrica : Es una desigualdad condicional que involucra funciones t rigonométricas por lo menos una. Ejemplos : * Sen2x > Cosx * Tan2x + Cot2x > Cscx * 4 Sen3xCosx . SenxCos3x . 1 * 3 Sen2x . 1 Inecuación Trigonométrica Elemental : Una inecuación trigonométrica se llamará elemental, cuando es de la forma : incógnita : x a , ) Kx .( T . F .. . . Ejemplos : * 2 Senx . 1 * 2 Cos2x . 3 * Tan3x . 1 Resolución de una Inecuación Trigonométrica Elemental : Se estila seguir dos métodos : Resolver : 2 Senx . 1
TRILCE 155 Método I : En la circunferencia trigonométrica, ubicamos todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores que 2 1 , así : 2n ; n Z 6 2n ; 5 6 x 2n ; n Z 6 2n x 5 6 6 x 5 2 6 Senx 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El conjunto solución general será : 2 1 y 5. 6 . 6 x2+y2=1 Método II : Graficamos en un mismo sistema coordenado las funciones : 2 f(x) . Senx . g(x) . 1 Los puntos de intersección en un periodo del Senx : osea en .0 ; 2.. , se obtienen con : 2 f(x) . g(x). Senx . 1 6 x 5 6 . x . . . . . 2 1 y 5. 6 . 6 .1 1 2. x 2 g(x) . 1 f(x)=Senx
Trigonometría 156 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. Sume las dos primeras soluciones positivas de: 2 Sen2x . 1 a) 180º b) 360º c) 90º d) 270º e) 135º 02. Sume las dos primeras soluciones positivas de : 2 Cos3x . 1 a) 120º b) 240º c) 300º d) 260º e) 270º 03. Sume las dos primeras soluciones positivas de : Tan(2x . 30º ) . 3 a) 170º b) 180º c) 200º d) 210º e) 150º 04. Si : 1 x y x2 son los dos primeros valores positivos de "x" que verifican : 2Sen2x . Cosx . 1, calcule : Sen(x x ) 2 1 . , si : x1 . x2 a) 2 3 b) 2 1 c) 1 d) 2 . 1 e) 2 . 3 05. Resolver : (Sen4x+Cos4x)(Senx+Cosx)=1+Sen5x Indique la suma de los tres primeros valores positivos de "x" a) 2. b) 3. c) . d) 3 7. e) 4. 06. Sume las tres primeras soluciones positivas de la ecuación : Sen5x . Sen3x . 3(Cos5x . Cos3x) a) 135º b) 180º c) 165º d) 160º e) 210º 07. Señale la suma de las dos menores soluciones positivas de la ecuación : Sen2x . Sen4x . Cos4x . 1 a) 90º b) 180º c) 270º d) 225º e) 135º 08. Resolver : 1 Cot x 1 Tan x 2 Sen x 1 Cos x
1 2 2 2 2 . . . . Luego, señale la suma de las dos primeras soluciones positivas. a) 90º b) 135º c) 180º d) 225º e) 270º 09. Al resolver la ecuación : . . 2Cos. Sen2x Sen4x Cos2x Cos4x Luego, señale la menor solución positiva. a) 4 . b) 6 . c) 3 . d) 8 . e) 12 . 10. Resolver : 5 SenxCosy . 4 ........... (1) 5 SenyCosx . 1 ........... (2) Para : x , y . 0 ; 90º a) x = 63º30' ; y = 26º30' b) x = 53º ; y = 37º c) x = 71º30' ; y = 18º30' d) x = 67º30º ; y = 22º30' e) x = 60º ; y = 30º 11. Resolver : 2 Cos(2ArcCosx) . 1 a) . . . . . . . 2 1 b) . . . . . . . 2 3 c) . . . . . . . . 2 ; 3 2 1 d) . . . . . . . .
2 1 ; 3 e) . . . . . . . 2 2 12. Resolver : 9 Sen2x . Cos . ; n.Z
TRILCE 157 a) . . . . . . . . . . 18 n ( 1) 5 b) . . . . . . . . . . 36 ( 1) 7 2 n n c) . . . . . . . . . . 18 n ( 1)n 7 d) . . . . . . . . . . 9 2n ( 1)n e) . . . . . . . . . . 18 ( 1) 5 2 n n 13. Resolver : 2Cos5x . Cosx - Cos6x = 1 ; n.Z a) .2n.. b) .4n.. c) . . . n d) . . . . . . . 2 n e) . . . . . . . 4 n 14. Resolver : Secx = 6Senx ; n.Z a) .. .. . .. .. . . . . 6 ArcSen 1 2 n ( 1) n
b) .. .. . .. .. . . . . 6 ArcSen 1 2 ( 1) 2 n n c) .. .. . .. .. . . . . 3 ArcSen 1 2 n ( 1) n d) .. .. . .. .. . . . . 3 ArcSen 1 2 ( 1) 2 n n e) .. .. . .. .. . . . . 3 ArcSen 2 2 ( 1) 2 n n 15. Resolver en el intervalo de .0 ; 2.. la inecuación : 2 Senx . 1 a) .. . .. 6 ; 5 6 b) .. . .. . . . 6 ; 5
6 c) .. . . . 6 ; 5 6 d) .. . .. . . . 3 ; 2 3 e) .. . .. 3 ; 2 3 16. Resolver en el intervalo de 0 ; 2. la inecuación : 2 Cosx 1 2 . 1 . . a) 3 ; 5 3 4 3 ; 2 3 . . . .. . .. . . . b) .. . . .. .. . . . 6 ; 11 6 7 6 ; 5 6 c) .. . . . . .. . . . 3 ; 5 3 4 3 ; 2 3 d) 6 ; 11 6 7 6
; 5 6 . . . .. . .. . . . e) .. . . . . .. . . . 3 ; 5 6 7 3 ; 2 6 17. Resolver Tan2x . Tanx a) 2 ; 4 . . b) 4 0 ; . c) . . . . . . . . . . 2 ; 4 d) . . ; 2 e) . . . . . . . . . . 4 2 ; 3 4 18. Resolver 0 2Senx Cosx 7 2Cosx 1 . . . . Para : x ..0 a) 4 ; 3 2 . . b) .. . ; .. 4 c) .. . ; .. 4 3 d) .. . . 4 0 ; e) 4 ; 3
en el intervalo de 0 ; . la inecuación : . 0
:
; ..
4 . . 19. Resolver : 4 1 2 Cos x 2 Sen x 2 Cos x 2 Sen3 x . 3 . en el intervalo de 0 ; 2. a) 6 ; 5 6 . . b) 3 ; 2 3 . . c) .. . .. . . . 6 ; 5 6 d) .. . .. . . . 3 ; 2 3 e) .. . .. . . . . .. . . ; 6 5 6 0 ;
Trigonometría 158 20. Resolver en 0 ; 2. Sen2x > Cosx a) 2 ; 6 . . b) 2 ; 3 6 5. . c) . ; 2. 6 7 d) a.b e) a .c 21. Dada la ecuación : Cosx + Cos2x + Cos3x = 0, hallar la suma de todas las soluciones de dicha ecuación, si estas soluciones están comprendidas entre 0 y 2. (radianes). a) . b) 2. c) 4. d) 3. e) 6. 22. Al resolver el sistema : .. .. . . . . . 6Senx Tany 2 3 2Senx 3Tany 4 3 , se obtiene que la solución en el primer cuadrante es : a) x = 45º , y = 45º b) x = 60º , y = 30º c) x = 30º , y = 60º d) x = 60º , y = 45º e) x = 60º , y = 60º 23. Al resolver la ecuación : Sen2x . Cos2x .TanxCscx , calcular la diferencia entre dos de dichas soluciones : a) 3 2. b) 6 . c) 12 . d) 15 2. e) 4 3. 24. Resolver la siguiente ecuación : 2SenxCos2x . 2Cos2x . Senx .1 . 0 a) 8 , 12 , 2 . . . b) 4
, 6 , 2 . . . c) 12 , 6 , 2 . . . d) 6 , 5 6 , 2 . . . e) 12 , 5 12 , 2 . . . 25. Hallar "x" en : Sen40º Senx = Cos40º Cosx - 2Cos20º Cosx a) 130º b) 150º c) 60º d) 135º e) 120º 26. Al resolver la ecuación 3Tan2. . 1 donde 0 . . . 2. , la suma de todas sus soluciones es : a) 2. b) 3. c) 4. d) 5. e) 6. 27. La suma de las soluciones, en el intervalo [0º ; 360º] de la ecuación : 2Sen2x . Senx . Cosx es : a) 450º b) 495º c) 600º d) 945º e) 1170º 28. La afirmación que cumple con la siguiente inecuación: 3Senx . 2Cosx . 3 a) .. . .. . . 5 x Arc Sen 1 b) 6 5 Cosx . 2 c) 3 Senx . 2 d) . . .. . .. . . . . 2 5 x Arc Sen 1 e) 4 . . x . 9. 29. Si x1 y 2 x son dos soluciones de la ecuación : 5Cosx
. 4Senx = 4, entonces el valor de : 1 2 1 2 Senx . Senx . Senx Senx es : a) 0 b) ..1 c) 1 d) 1. 2 e) 2 .1. 2 30. Dada la función f cuya regla de correspondencia es : f(x) = Cosx . Sen2x En la que x varía : . . . x . 2. El número de intersecciones de la función y = f(x) con el eje de abscisas es : a) 3 b) 4 c)5 d) 6 e) 7 31. Resolver la desigualdad : Sen2x > Senx , 0 . x . . a) .. . . 3 ; 0 b) .. . .. . . 3 0 ; c) 3 ; 0 . d) .. . . 3 0 ;
TRILCE 159 e) 0 ; . 32. Calcular la suma de las soluciones de la ecuación trigonométrica, si .. . .. . .. . . 2 ; 2 x .. . .. . . . .. . .. . . . . 2 x 4 Cos 2 x 4 3Cosx 2Sen a) 2 . b) 2 . . c) 3 . . d) 3 . e) . 33. Resolver la ecuación : Tan2x . Cotx . 8Cos2x NOTA : K es un número entero. a) 3 ( 1) 4 K. . . k . b) 6 ( 1) 4 K. . . k . c) 12 ( 1) 4 K. . . k . d) 24 ( 1) 4 K. . . k .
e) 48 ( 1) 4 K. . . k . 34. Hallar el menor ángulo en el intervalo .. . .. . . . 3 ; 11 3 7 que satisface la ecuación : 2Tan2x . 3Secx . 0 a) 3 10. b) 3 2. c) 3 4. d) 0 e) 3 8. 35. Determinar la suma de todas las soluciones de la ecuación : Senx 1 1 2 Sen x 1 . . .. . .. . . . Que se encuentran en el intervalo [0 ; .] a) 2 . b) 4 . c) 3 . d) 0 e) . 36. Resolver la ecuación : Sen2x + 5Senx + 5Cosx + 1 = 0 a) k ; k Z 4 . . . . b) 2k ; k Z 4 . . . . . c) 2k ; k Z 4 3. . . . d) k ; k Z 4 . . . . . e) k ; k Z 4
. 3. . . . 37. Resolver la ecuación : Sen4x + 3Sen2x = Tanx a) ; k Z 3 k. . b) 2k. ; k . Z c) ; k Z 3 k . .. . .. . . . . d) ; k Z 6 k. . e) ; k Z 4 k. . 38. Resolver e indicar el número de soluciones en 0 ; 2. de la ecuación : Cosx = (2 . Tanx) (1 + Senx) a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) No existen soluciones. 39. Si k es un número entero, las soluciones de la ecuación: SenxSec x 4 x Sen 2 2 . .. . .. . . . son : a) 4 k. . . b) 4 k. . . c) 3 k. . (.1)k . d) 6 k. . (.1)k . e) 6 2k. . . 40. El ángulo . en grados, que satisface la ecuación : 1 Cos 6 2 Cos 2 3 . . . . . .. . .. . . Pertenece al intervalo : a) . . 180º ; 240º
Trigonometría 160 b) . . 120º ; 135º c) . . . 300º ; 300º d) .. 90º ; 120º e) .. 240º ; 270º 41. El número de elementos del conjunto : F . .x .[0 ; 2.] / Cos2xSecx . Secx .1 . 0. es : a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 42. Resolver la siguiente ecuación trigonométrica : Senx Cotx 2 Cot x . . a) (2k . 1). 2 1 b) (2k . 1). 3 1 c) (2k . 1). 4 1 d) (4k . 1). 2 1 e) (4k . 3). 2 1 43. Indique una solución general para la ecuación : 4Cosx Cos2x Cos3x = 1 a) 4 k. . . ; . k .Z b) 2 k. . . ; . k .Z c) 3 k. . . ; . k .Z d) 6 k. . . ; . k .Z e) 8 k. . . ; . k .Z 44. Sea : 2 0 . x . . ; 4 0 . y . . Entonces el intervalo en el que x satisface la igualdad : Tany = 2Senx es : a) 6 0 . x . . b) 6 0 . x . . c) 6
0 . x . . d) 6 0 . x . . e) 4 0 . x . . 45. En el intervalo .0 ; 2. , para qué valores de . , se cumple la siguiente desigualdad: Sec. . Tan. a) .. . . . . .. . . 4 ; 7 2 3 2 0 ; b) . . . .. . . ; 2 2 3 2 0 ; c) . ; 2. 2 3 d) 2 ; 3 2 . . e) .. . . .. .. .. . ; 2 2 ; 3 2 46. Para qué valores de x . 0 ; . , se cumple: 0 3 Cos 2x 2 Cos2 x . .. . .. . . .. . .. . a) 0 ; . b) 3 0 ; . c) 2 0 ; . d) 3 0 ; 2. e) . ; . 3 2
47. Calcule la mayor solución negativa de la ecuación : .. . .. . . . .. . .. . . . .. . .. . . . . 6 Tan x 9 Tan x 18 Tanx Tan x a) 9 . . b) 9 . 2. c) 9 . 4. d) 9 . 5. e) 36 . 17. 48. Resuelva : (Tan2x . Cot2x)2.|Tan2x . Cot2x| . 6 k .Z a) . . . . . . . . . 4 8 k b) . . . . . . . . . 2 8 k c) . . . . . . . . . 4 k d) . . . . . . . . . 16 k e) . . . . . . . . . 8 8 k
TRILCE 161 49. Resolver : 2 Sen 3x 2 Sen 9x 2 Cos 3x 2 Cos4 9x . 4 . 4 . 4 k .Z a) . . . . . . . . 2 (4k 1) b) . . . . . . . 6 k c) . . . . . . . . 2 (2k 1) d) . . . . . . . 12 k e) . . . . . . . . 12 (4k 1) 50. Halle el menor valor positivo que resuelve la ecuación trigonométrica : Cos6x . 3 . 4Cos22x a) 15 . b) 12 . c) 5 . d) 4 . e) 6 . 51. Resuelva la ecuación : |Cosx | 9 Cos x 28 3 1 . 2 .
e indique la suma de soluciones en el intervalo de 0 ; 2. a) 5. b) 4. c) 6. d) 2 9. e) 2 7. 52. Si : 14 x Sen 1 . . es una raíz de : f(x) . 8x3 . 4x2 . 4x . n , calcule "n" a) 1 b) 2 c) 7 d).. 1 e) . 7 53. Resolver la ecuación : 2Tan3x . 3Tan2x . Tan22xTan3x n.Z a) . . . . . . . . . 3 n b) . . . . . . . . . 6 n c) . . . . . . . . . 6 2n d) .n.. e) .2n.. 54. Resolver : Tan5x Tanx = Tan2x Tan3x k .Z a) . . . . . . . . . 6 24 k b) . . . . . . . . . 3 18 k c) . . . . . . . . . 3 24 2k d) . . . . . . . . . 3 9 2k e) . . . . . . . . .
2 12 k 55. Si : 1 2 x . x son las dos menores soluciones positivas de la ecuación : 3 . 5Tan2x . Tan25x(5 . 3Tan2x) Tal que : 1 2 x . x , halle : 1 2 x x a) 3 b) 6 c) 4 d) 8 e) 5 56. Resolver : 27 Sen2x . Cos3x . 23 k .Z a) . . . . . . . . 3 2k ArcCos 1 b) . . . . . . . . 3 2k ArcCos 2 c) . . . . . . . . . 3 k ( 1)k ArcSen 2 d) . . . . . . . . . 3 k ( 1)k ArcSen 1 e) . . . . . . . . 3 2k ArcTan 1 57. Resolver : 8Sen4x . Cos4x ; n.Z a) . . . . . . . . 4 n ArcCos 3 b) . . . . . . . . 4 ArcCos 3
2 n 1 c) . . . . . . . . 4 ArcCos 3 2 n
Trigonometría 162 d) . . . . . . . . 4 ArcCos 3 2 1 2 n e) . . . . . . . . 4 ArcCos 3 2 1 4 n 58. Si el determinante de la matriz : . . . . . . . . . . . 1 1 1 Sen2x Sen4x Sen6x Senx Sen3x Sen5x C Es : 0,5Sen2x Hallar "x" ( n.Z ) a) . . . . . . . 2 n b) . . . . . . . . . . 6 n ( 1)n c) . . . . . . . . . . 6 n ( 1)n d) a y b e) a y c 59. Resolver : 13(1 + Senx + Cosx) + Sen2x = 0 n.Z a) . . .
. . . . . . . 4 n ( 1)n b) . . . . . . . . . . 4 n ( 1)n c) . . . . . . . . . . 2 n ( 1)n d) . . . . . . . . . . . . 4 4 n ( 1)n e) . . . . . . . . . . . . 4 4 n ( 1)n 60. Resuelva : 0 4 Sen x 2 Sen2 x . . e indique como respuesta la suma de soluciones en 0 ; 8. a) 12. b) 16. c) 20. d) 15. e) 28.
TRILCE 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.
c a b d e c b c b a b b d d b c c e c d e e a d e c b d b c
163 ClavesClaves 31. c 32. c 33. d 34. e 35. d 36. d 37. a 38. a 39. b 40. c 41. b 42. a 43. c 44. d 45. b 46. c 47. c 48. a 49. b 50. b 51. b 52. a 53. d
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
b c b b c d c
TRILCE 165 Capítulo RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 16 OBLICUÁNGULOS ¿Qué es resolver un triángulo? Dado el triángulo ABC, oblicuángulo; resolverlo significa determinar las medidas de sus elementos básicos; es decir, sus tres lados (a, b y c) y sus tres ángulos (A, B y C); a partir de ciertos datos que defi nan el triángulo. ¿Cómo resolver un triángulo? Una vez que reconocemos los datos del triángulo y verificamos que se encuentra def inido; para resolverlo, se utilizarán algunas propiedades geométricas, relaciones trigonométricas ya conocidas y otras pro pias del capítulo como las siguientes: I. TEOREMA DE LOS SENOS : "En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos" SenC c SenB b SenA a . . A B b C c a De donde : aSenB = bSenA bSenC = cSenB cSenA = aSenC Corolario : "En todo triángulo, las medidas de sus lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos; siendo la constante de proporcionalidad, el diámetro de la circunferencia circunscrita al tr iángulo". SenC c SenB b SenA a . . R : Circunradio De donde : a = 2RSenA b = 2RSenB c = 2RSenC A B C c R a b ...2R II. TEOREMA DE LOS COSENOS :
Trigonometría 166 "En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la s uma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble del producto de los mismos multiplicados por el Coseno del ángulo formado por ellos". A B C a b c a2 = b2 + c2 . 2bc CosA b2 = a2 + c2 . 2ac CosB c2 = a2 + b2 . 2ab CosC De donde podemos deducir fácilmente : 2ab CosC a b c 2ac CosB a c b 2bc CosA b c a 2 2 2 2 2 2 2 . 2 . 2 . . . . . . . III. TEOREMA DE LAS PROYECCIONES : "En todo triángulo, la longitud de un lado es igual a la suma de los productos de cada una de las otras dos longitudes con el Coseno del ángulo que forman con el primer lado": a = bCosC + cCosB b = aCosC + cCosA c = aCosB + bCosA A B b C c a IV. TEOREMA DE LAS TANGENTES : "En todo triángulo se cumple que la suma de longitudes de dos de sus lados, es a s u diferencia; como la Tangente de la semisuma de los ángulos opuestos a dichos lados, es a la Tangente de la semidifere ncia de los mismos ángulos". A B C b a c .. . .. . . .. . .. . . . . . .. .
.. . . .. . .. . . . . . .. . .. . . .. . .. . . . . . 2 Tan C A 2 Tan C A c a c a 2 Tan B C 2 Tan B C b c b c 2 Tan A B 2 Tan A B a b a b ALGUNAS LÍNEAS NOTABLES
TRILCE 167 4m a b 2abCosC 4m a c 2acCosB 4m b c 2bcCosA 2 2 2 c 2 2 2b 2 2 2 a . . . . . . . . . ma : Mediana relativa a a A B M C a ma VA : Bisectriz interior del A A B C 2 Cos C a b V 2ab C . . . 2 Cos B a c V 2ac B . . . 2 Cos A b c V 2bc A . . . D VA VA : Bisectriz exterior del A A B C VA 2 Sen C |a b| V' 2ab C . . . 2 Sen B |a c| V' 2ac B . . . 2 Sen A |b c|
V' 2bc A . . . RADIOS NOTABLES 2 Cos B 2 Cos A 2 r 4RSen C c . 2 Cos C 2 Cos A 2 r 4RSen B b . 2 Cos C 2 Cos B 2 r 4RSen A a . r : inradio ra : Exradio relativo al lado a 2 Sen C 2 Sen B 2 r . 4Rsen A A B C r ra A B C
Trigonometría 168 EJERCICIOS PROPUESTOS 01. En un triángulo ABC: º 30 A . ; º 135 B . y a = 2. Calcular : "c" a) 6 . 2 b) 2 6 . 2 c) 2 6 . 2 d) 4 6 . 2 e) 3 .1 02. En un triángulo ABC : a = 3 ; b = 2 º 60 C . . Calcular : "c" a) 3 2 b) 2 6 c) 6 d) 13 e) 7 03. En un triángulo ABC, se tiene que : 4 SenC 3 SenB 2 SenA . . Halle el valor de : 2 2 2 2 b a J b c . . . a) 12 25 b) 7 25 c) 7 13 d) 5 e) 5 12 04. En un triángulo ABC: 7 c 5 b 3 a . . ¿Cuál es la medida de C ?
a) 60º b) 30º c) 120º d) 150º e) 127º 05. En un triángulo ABC; simplificar : 2 2 2 2 2 2 a b c J a c b . . . . . a) TanA b) CotA c) TanB . TanC d) TanC CotB e) Tan2A 06. En un triángulo ABC, se sabe que : ac 2 a2 . c2 . b2 . 1 Calcular : 2 Cos B a) 0,125 b) 0,625 c) 0,25 d) 0,125 e) 0,625 07. En un triángulo ABC, se cumple : aCotA = bCotB = cCotC ¿Qué tipo de triángulo es? a) Isósceles. b) Equilátero. c) Acutángulo. d) Obtusángulo. e) Rectángulo. 08. En el prisma rectangular mostrado, calcular: Sec. 2 3 . 4 a) 3 5 2
TRILCE 169 b) 15 26 2 c) 29 26 2 d) 13 15 2 e) 11 13 2 09. En un triángulo ABC, reducir : SenC Q . aCosB . bCosA a) R b) 2R c) 2 R d) 4R e) 4 R 10. En un triángulo ABC, reducir : a2 b2 c2 Q abCosC bcCosA caCosB . . . . . a) 1 b) 2 c) 2 1 d) 4 e) 4 1 11. En un triángulo ABC, se cumple : (a ..c) CosB = b (CosC ..CosA) ¿Qué tipo de triángulo es? a) Acutángulo. b) Rectángulo. c) Equilátero. d) Obtusángulo. e) Isósceles. 12. En un triángulo ABC, simplificar : (p : Semiperímetro) . . . . . SenB bSenC cSenB SenA Q aSenB bSenA SenC cSenA . aSenC a) p b) 2p c) 3p
d) 4p e) 8p 13. En un triángulo G = (aCosC + cCosA) bCosA) CosB a) a b) b c) c d) 0 e) a + b + c 14. En un triángulo b c c a SenB SenC G SenA SenB . . . . . . a) 2 1 b) 1 c) a d) b + c e) 1 c a . 15. En un triángulo 2a = 7b . m.C . 60º Halle el valor de : .. . .. . . 2 Tan A B a) 3 5 3 b) 9 5 3 c) 5 9 3 d) 2 7 3 e) 7 2 3
ABC, reduzca : CosC + (aCosB +
ABC, reduzca la expresión
ABC, se tiene que :
Trigonometría 170 16. En un triángulo ABC, se cumple : 2 bc b2 c2 2 a . 3 . . Halle : 2 Tan A a) 7 b) 7 7 c) 2 5 d) 5 5 e) 7 5 17. Si en un triángulo ABC; 3 b aCosC a bCosC . . . Calcular : .. . .. . . . 2 Tan A B 2 Tan C G a) 1 b) 2 c) 4 d) 2 1 e) 4 1 18. En un triángulo ABC : ab 2 a2 . b2 . c2 . 1 Calcular : 2 Tan C a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,5 e) 0,6 19. En el triángulo equilátero ABC; BP = 5AP AN = 2NC. Calcular : Sec. M
P A B C . N a) 9 b) 2 91 c) . 91 d) . 2 91 e) . 2 71 20. Dado el triángulo ABC, hallar el ángulo "B". A B C 30°3 0° 2 3 a) ArcSen3 3 b) ArcTan 3 c) ArcTan3 d) ArcSec3 3 e) ArcTan3 3 21. En la figura, G es el centro del cuadrado ABCD. Hallar la suma de los cuadrados de las distancias de los vértices del cuadrado de la recta XY, si el lado del cuadrado es L. A B D C x 20° y G a) L2 b) 2L2 c) 3L2 d) 4L2 e) 5L2
TRILCE 171 22. El producto Sen2B . Sen2C del triángulo ABC es igual a : A B C 10 15 20 a) 256 . 105 b) 18 15 c) 125 86 d) 256 105 e) 125 . 86 23. Sea el triángulo ABC y sean a, b y c las longitudes de los lados opuestos a los vértices A, B y C, respectivamente. Si se cumple la relación : CosC c CosB b CosA a . . Entonces el triángulo ABC es : a) Acutángulo. b) Obtusángulo. c) Isósceles. d) Equilátero. e) Rectángulo. 24. Las diagonales de un paralelogramo miden "a" y "b", forman un ángulo agudo C. El área del paralelogramo es : a) abSenC b) abCosC c) abCscC 2 1 d) abSenC 2 1 e) abCosC 2 1 25. Hallar el área del triángulo OB'C', si AB=4=BC, 4 M O AB 1 . , AC=6. 1 M y 2 M puntos medios en AC y BC respectivamente AC//OC' y BC // B'C' AO=OC'. A B C O . . M1 M2
B C a) 7 3 29 .. . .. . b) 7 6 29 .. . .. . c) 7 7 29 .. . .. . d) 7 2 29 .. . .. . e) 7 24 29 .. . .. . 26. Si en un triángulo, donde a, b, c son los lados opuestos a los ángulos A, B, C se cumple que : 2 B .C . . y b . c . a 2 Entonces : 2 B . A es igual a : a) 8 . b) 4 . c) 2 . d) 0 e) 3 . 27. En un triángulo ABC, el ángulo C mide 60º y los lados a . 2 3 . 2 y b . 2 3 . 2 . Entonces, la medida del ángulo A es : a) . .. . . .. . . . 2
ArcTan 2 3 2 b) . .. . . .. . . . 2 ArcTan 2 3
Trigonometría 172 c) . .. . . .. . . . 2 2ArcTan 2 3 d) . .. . . .. . . . 2 ArcTan 2 3 2 e) . .. . . .. . . . 2 ArcTan 2 4 28. En un triángulo ABC, se cumple : SenC . 2Sen(A . B) TanB . 3 3 . 2 6 Hallar el valor del ángulo BAC. a) 3 . b) 6 . c) 3 2. d) 12 5. e) 10 3. 29. En un triángulo ABC, se cumple que : m.B . m.C . 90º ; b . c . a 2 Hallar la medida del ángulo B. a) 110º b) 105º c) 127º d) 120º e) 125º 30. Sea el triángulo ABC de lados AB = AC y BC . 2 . Si la bisectriz del ángulo B corta al lado opuesto en D y BD = 1. Entonces, los ángulos A y B son: a) 60º ; 60º b) 90º ; 45º c) 100º ; 40º d) 120º ; 30º e) 150º ; 15º 31. En un triángulo ABC, C = 60º y a = 3b.
Determinar el valor de E = Tan(A . B) a) 4 3 b) 2 3 c) 2 3 d) 3 e) 1 32. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide "c" unidades y la longitud de la bisectriz de uno de los ángulos agudos es 3 c 3 unidades. Hallar el área de la región delimitada por el triángulo rectángulo dado. a) 4 c2 3 b) 8 c2 3 c) 6 c2 3 d) 6 3c2 e) 2 3c2 33. En un triángulo ABC con lados a, b y c, respectivamente; se tiene : 1 2 Tan A . y 4 3 2 Tan B . . Determinar : a b a b . . a) 50 b) 16 c) 49 d) 9 e) 25 34. Una diagonal de un paralelepípedo rectángulo forma con las tres aristas concurrentes a un mismo vértice los ángulos . , . y . . El valor de : Sen2. . Sen2. . Sen2. es : a) 2 3 b) 2 c) 2 5 d) 3 e) 4
TRILCE 173 35. En la figura, se muestra un triángulo en el que se cumple: 2 CosA . CosB . 4Sen2 C Luego el valor de a + b es : A B C a b c a) 3c b) 2 3c c) 2c d) c 3 5 e) c 2 5 36. En la figura mostrada, el triángulo ABC está inscrito en una circunferencia de radio R. Si se cumple que : c2 . a2 . 2R2 y la medida del ángulo B es 30º, los valores de los ángulos A y C son respectivamente: A B C c a R a) 45º y 105º b) 35º y 115º c) 60º y 90º d) 30º y 120º e) 25º y 125º 37. Dos circunferencias de radios 2u y 3u, tienen sus centros separados una distancia igual a 4u. El Coseno del ángulo agudo que forman las tangentes a ambas circunferencias en un punto de corte, es igual a : a) 2 1 b) 2 3 c) 2 1 d) 3 1 e) 4 1 38. En un triángulo ABC, se cumple : a3(b2 . c2). b3(a2 . c2). (a5 . b5) . 2abcR2 Donde : R : Circunradio del triángulo ABC Calcule : P = SenA Sen2A + SenB Sen2B a) 1 b) 2 c) 4 3 d) 2 1
e) 2 3 39. Del gráfico, ABC es un triángulo isósceles recto en "B" y DBE es un triángulo equilátero. Si : AC = 6 Calcular : AP2 . BP2 . CP2 P A D E C B a) 18 b) 19 c) 9 d) 81 e) 27 40. En un triángulo ABC : .. . .. . . . . . . 2 Cot A C 2 4Tan B a c a c Calcular : TanA TanC TanA TanB TanC . . . a) 4 3 b) 3 4 c) 6 7 d) 7 6 e) 5 2 41. En el triángulo equilátero mostrado, calcular : J . Cos(15º.3.)Sec. A B C . 2. 45º
Trigonometría 174 a) 2 6 .1 b) 3 .1 c) 2 3 . 1 d) 2 3 .1 e) 3 2 .1 42. Si en un triángulo ABC : 5 3 b cCosA c bCosA . . . Calcular : 2 Tan A 2 Tan B C L .. . .. . . . a) 5 2 b) 7 3 c) 7 4 d) 5 3 e) 4 1 43. En un triángulo ABC : Cos2A + Cos2B + Cos2C = . n Las distancias del ortocentro a los lados del triángulo son x ; y ; z. Hallar : J . xyz , si el circunradio mide 2 a) 2n . 1 b) 2(n . 1) c) 2(1 . n) d) n ..1 e) 4 2(n .1) 44. Los lados de un cuadrilátero son a = 7; b = 8; c = 9; d = 11. Si su superficie es S = 33, calcular la tangente del ángulo agudo formado por las diagonales. a) 2 b) 2,3 c) 2,4 d) 1,8 e) 1,6
45. Dado un cuadrilátero ABCD, determine el valor de la expresión. 2 2 2 2 (b c) (a d) 2 adCos A 2 bcCos C E . . . .. . .. . . .. . .. . . a) 4 1 b) 12 1 c) 3 1 d) 0 e) 6 1 46. Siendo A, B y C los ángulos internos de un triángulo, para el cual se cumple : 2SenB.. SenA = Sen(A+B+C)+SenC Calcule el valor de : 1 2 Cot C 2 Cot A 1 2 Cot C 2 Cot A A . .. . .. . .. . .. . . .. . .. . .. . .. . . a) . 1 b) 2
. 1 c) 2 1 d) 1 e) 2 47. En un triángulo acutángulo ABC, la circunferencia descrita tomando como diámetro la altura relativa al lado a, intercepta a los lados b y c, en los puntos P y Q respectivamente. Exprese el segmento PQ en función de los ángulos del triángulo y del radio R de la circunferencia circunscrita al triángulo. a) 2RSenA SenB SenC b) R SenA SenB SenC c) R CosA CosB CosC d) 3R CosA CosB CosC e) R TanA TanB TanC 48. En un triángulo ABC, reducir : SenA SenB c Sen(A B) SenC SenA b Sen(C A) SenB SenC P a Sen(B C) 2 2 2 . . . . . . . . . a) SenA SenB SenC b) CosA CosB CosC c) Sen (A + B + C) d) Cos (A + B + C) e) 2Cos (A + B + C)
TRILCE 175 49. En el triángulo ABC, se tiene : AB = 2, AC . 6 Calcular : 'b 'b V V Donde : (V'b y Vb son bisectrices exterior e interior respectivamente, relativo al lado b) 45º A B D C a) 2 . 3 b) 1. 3 c) 2 . 3 d) 3 .1 e) 2 50. Dado un triángulo ABC, si : m.C . 30º y 2 5 b a . Calcular : . . A B 2 1 . a) 30º b) .. . .. . . . . 3 ArcTan c) . ... . .. . . . 3 . 2 7 ArcTan 3 d) . ... . .. . . . 2 . 3 7 ArcTan 3 e) . ... . .. . . 2 . 3 7 ArcTan 3 51. En el cuadrilátero ABCD de la siguiente figura, calcular: Sen. . 2Cos. Si : 2AD = AB = 3AC . A B C D a) 7 1 b) 4
3 c) 2 3 d) 3 2 e) 3 1 52. Los ángulos de un cuadrilátero ABCD están en progresión geométrica de razón 3. Calcular : P = CosA CosB + CosB CosC + CosC CosD + CosD CosA a) 1 b) 2 1 c) 4 1 d) 4 5 e) 2 5 53. En un triángulo ABC, se cumple que : 2b CosA . a . c ; 2c CosB . a . b Calcular : TanA + TanB + TanC a) . 7 b) 2 3 c) 13 d) 11 e) 2 5 54. En la figura R, 1 R , 2 R y R3 son los radios de las circunferencias circunscritas a los triángulos ABC, ABP, BCQ y ACS respectivamente. Hallar "R". R1 1 . ; R2 2 . ; R 4 3 . P Q S B A . C . . a) 2 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4 55. Los lados de un triángulo oblicuángulo ABC, miden : b = (SenA + CosA)u c = (SenA . CosA)u Además : u 2 a . 6 Hallar la medida del mayor valor de A. a) 60º b) 72º c) 54º d) 65º e) 45º
Trigonometría 176 56. En un triángulo ABC, reducir : Sen2ASen2BSen2C M . (c . bCosA)(a . cCosB)(b . aCosC) a) R b) 8R3 c) 4R3 d) R3 e) 6R2 57. En un triángulo ABC, se cumple que : Sen2A . Sen2B . 3Cos(A . B) .. . .. . . . .. . .. . . 2 3Tan A B 2 Tan A B Hallar la medida del ángulo "B" a) 30º b) 5 ArcTan 3 c) 2 ArcTan 3 d) a o b e) a o c 58. En un triángulo ABC, se cumple que : CotA + CotC = 2CotB Luego se cumple que : a) a + c = 2b b) 2b2 . ac c) a2 . c2 . 2b2 d) b2 . a . c e) 4b2 . a2 . c2 59.Siendo ABC un triángulo de lados a, b y c, entonces respecto a"K" podemos afirmar que : .. . .. . . . . . .. . . .. . . . . . . a bCosC a cCosB a b c K a b c2 2 2 2 2 2 a) K = 1 b) K = 2 c) K = 4 d) K . 2 e) K . 4
60. En un cuadrilátero inscriptible ABCD, de lados AB = a, BC = b, CD = c y AD = d. Calcular : SenB R . SenA a) ad bd ab cd . . b) ac bd ab cd . . c) ad bc ab cd . . d) ab cd ac bd . . e) abcd a . b . c . d
TRILCE 01. 02. 03. 04. . d 06. 07. 08. 09. . c 11. 12. 13. 14. . b 16. 17. 18. 19. . e 21. 22. 23. 24. . e 26. 27. 28. 29. . d
a e d c b b e b e d a b a b e b a a d d a b a b
177 ClavesClaves 31. a 32. b 33. c 34. b 35. c 36. d 37. e 38. d 39. e 40. b 41. d 42. e 43. e 44. c 45. a 46. c 47. a 48. c 49. a 50. c 51. d 52. b 53. a
54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.
d b d d c d c
Í NDI CE TRIGONOMETRÍA Primer Bimestre Pág. Capítulo 01 Razones Trigonométricas de un ángulo agudo I ....................................... ...................... 9 Capítulo 02 Razones Trigonométricas de un ángulo agudo II ...................................... ....................... 19 Capítulo 03 Ángulos Verticales -Ángulos Horizontales ........................................... ............................. 31 Capítulo 04 Sistema Coordenado Rectangular ................................................. .................................... 41 Capítulo 05 Razones Trigonométricas de un ángulo en posición normal .............................. ........... 51 Capítulo 06 Reducción al primer cuadrante .................................................... ....................................... 61 Capítulo 07 Circunferencia Trigonométrica .................................................... ..................................... 71 Segundo Bimestre Capítulo 08 Identidades Trigonométricas de una variable ...................................... ............................ 83 Capítulo 09 Identidades Trigonométricas de la suma y diferencia de variables ................. ................ 91
Tercer Bimestre Tercer Bimestre Capítulo 10 Identidades Trigonométricas de la variable doble ................................. ............................ 101 Capítulo 11 Identidades Trigonométricas de la variable triple ................................ ............................. 111 Capítulo 12 Transformaciones Trigonométricas ................................................. ................................... 119 Capítulo 13 Funciones trigonométricas reales de variable real ................................ ............................ 127 Cuarto Bimestre Capítulo 14 Funciones trigonométricas inversas ............................................... ...................................... 141 Capítulo 15 Ecuaciones e inecuaciones trigonométricas ........................................ .............................. 153 Capítulo 16 Resolución de Triángulos Oblicuángulos ............................................... ............................. 165
