Libro de Razonamiento Matematico Trilce 2(1)

Problemas resueltos 1. Vilma le dice a Julia: "Yo tengo nueve veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 44 años". ¿Cuál es la diferencia entre las edades de estas dos mujeres?



• Si duerme un promedio de 8 horas al día, entonces lo que duerme es 1/3 de lo que vive un día.

Resolución

9n 5n

13n 9n

m at e ww w.

2. Dos autos separados a una distancia de 810 km, salen a encontrarse con velocidades de 45 km/h y 54 km/h. Si el primero sale a las 5:30 h, ¿a qué hora tiene que salir el otro, para llegar al lugar del que salió el primero a la misma hora en que el primero llegue al segundo lugar?

4. Un camino de "A" a "B" consta de una subida y una bajada; un peatón que se dirige de "A" a "B" recorre todo el camino en 13 horas y en el camino de regreso demora una hora menos. Si a la subida va a 2 km/h y a la bajada, a 3 km/h, ¿cuál es la longitud del camino?

Resolución



Graficando el camino de "A" hacia "B" 6A km

Resolución • Al que viaja a 45 km/h le toma 810÷45=18 horas llegar a su destino.





B

De los datos: • Para ir de "A" → 6A + 6B = 13 → 3A+2B=13 2 3 hacia "B"

Es decir, el segundo debe salir tres horas después.

• Para volver 2A+3B=12

Rpta.: 8:30 h

3. Si Lucas tuviese 27 años menos, el tiempo que habría permanecido durmiendo sería la quinta parte del tiempo que hubiese permanecido despierto si es que tuviese 27 años más. Si en el transcurso de su vida duerme un promedio de 8 horas diarias, ¿cuántos años lleva durmiendo?

Longitud : 6(A+B) total

6B km

A



• En cambio, al otro solo le toma 810÷54=15 horas.

Duerme: 1 ×63=21 3

Rpta.: 21 años

M

Rpta.: 8



om

5n n

1.c

Fut

n - 27 = 1 2 (n + 27) → n=63 E ; 3 5 3

ic a

Pres



at

Pas

Del dato: 13n+9n=44 n=2 Piden: 4n



Duerme= Vida 3 Despierto= 2 Vida 3

• Si asumimos que tiene "n" años, se obtiene:

Usando un cuadro tenemos: Vilma Julia

Resolución



→

6A + 6B = 12 3 2

Resolviendo: A+B=5



Finalmente: 6(A+B)<>30



Rpta.: 30 km

→

5. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista a 90 km. Si el tiempo que emplea en recorrer 5 km a favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h?

Resolución



Sea: VR: velocidad del remero



Del dato: 5=(VR+VC)×t



3=(VR - VC)×t

VR=4VC

90 + 90 = 24 → V =2 C VR - VC VC + VrR



Luego:



Rpta.: 2 km/h

VC: velocidad de la corriente del río

Problemas para clase nació, tendría 28 años más; esto quiere decir que mi papá tiene...".

om

34 años más que tú 34 años más que yo 22 años más que tú 17 años más que yo 15 años más que tú

1.c

a) b) c) d) e)

Una persona nacida en la segunda mitad del siglo XX tendrá "n" años en el año "n2". Dicha persona nació en:

m

b) a-3b+3 c) a+3b+3 + + a 3 b 3 e) 3

at e

a) a+3b-3 d) a-3b-3

at

ic a

1. Jennifer tuvo su primer hijo a los 17 años y cuatro años después tuvo su segundo hijo. Si en 1996 las edades de los tres sumaban 49 años, ¿en qué año nació Jennifer? a) 1970 b) 1969 c) 1968 d) 1967 e) 1966 2. La edad de Cecilia es el triple de la edad de Marco. Si hace tres años la edad de ella era (a+3b), 7. ¿dentro de cuántos años la edad de Cecilia será el doble de la edad de Marco?

a) 1999 d) 1975

b) 1991 e) 1990

c) 1980

ww w.

M

3. Una persona nació en el año 19ab y en 1980 tuvo 8. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía el doble de la edad que tuviste cuan(a+b) años. ¿En qué año tendrá (5a+3b) años? do yo tuve la dieciseisava parte de la edad que a) 2005 b) 2030 c) 2015 tú tienes. Si dentro de 10 años nuestras edades d) 2018 e) 2028 sumarán 175, ¿dentro de cuántos años cumpliré 90 años? 4. Patricia le dice a Alexandra: tengo cuatro veces la edad que tú tenías cuando yo tenía el doble a) 15 b) 10 c) 18 de la edad que tú tienes. Cuando tengas las 3/4 d) 20 e) 22 partes de mi edad, nuestras edades sumarán 75 años. ¿Qué edad tiene Patricia? 9. Karen le dice a Rosa: "La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad a) 36 b) 28 c) 32 que tenías cuando yo tenía el triple de la edad d) 30 e) N.A que tuviste cuando yo nací". ¿Dentro de cuántos años la edad de Karen será el doble de la 5. La edad que tú tienes es la edad que yo tenía edad que tiene Rosa? cuando él tenía la octava parte de lo que tendré. Cuando tú tengas lo que yo tengo, él tendrá seis a) 18 b) 26 c) 24 años más de lo que tuve. Si lo que tuve es seis d) 20 e) 25 años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste, ¿qué edad tengo? 10. Pedro le dice a Calín: "Cuando tú tengas lo que yo tengo, es decir, el triple de lo que tenías a) 24 b) 30 c) 36 cuando yo tenía cuatro años menos de los años d) 40 e) 32 que tienes, nuestras edades sumarán 68 años". Calín a su vez, le dice a Pepe: "Cuando tengas 6. José le dice a su hermano mayor: "Si tú hubielo que yo tengo, yo tendré cinco veces lo que ras nacido cuando yo nací, tendrías seis años tenías cuando yo tenía lo que tú tienes". ¿Cuánmenos, y si yo hubiera nacido cuando mi papá

ra encuentra malogrado al otro a las 14 horas. ¿A qué hora se malogró el ómnibus que sale de Lima?

tos años tendrá Pepe cuando Pedro tenga el triple de lo que tiene actualmente? c) 58



a) 6:00 h d) 9:00

11. Un motociclista, viajando a 100 km/h, llegaría a su destino a las 19 horas; en cambio, si viaja a 150 km/h llegaría a las 17 horas. Si desea llegar a las 18 horas, ¿a qué velocidad debe ir? a) 90 km/h d) 120

b) 100 e) 130

c) 110



12. Un tren emplea seis segundos en pasar delante de un observador y 26 segundos en recorrer un puente de 400 m. Hallar la longitud del tren. a) 100 m d) 150

b) 120 e) 200

c) 140



18. Dos coches partieron al mismo tiempo: uno de "A" en dirección de "B", y el otro, de "B" en dirección de "A". Cuando se encontraron, el primero había recorrido 36 km más que el segundo. A partir de este momento (en que se encontraron), el primero tardó una hora en llegar a "B", y el segundo cuatro horas en llegar a "A". Hallar la distancia entre "A" y "B".

at

m

at e

c) 3

M

b) 2 e) 4



ww w.

a) 3/4 d) 1/2

14. Un estudiante aborda todos los días un microbús para llegar a su clase a las 15:00 horas. Pero hoy perdió el microbús. Si esperó el siguiente y este pasó 15 minutos después y arribó en los 4/3 del tiempo normal, llegando a las 15:25, ¿a qué hora abordó el microbús? a) 14:30 d) 14:25

b) 14:45 e) 14:28

c) 14:20

15. Dos móviles separados 100 m parten simultáneamente al encuentro con velocidades de 3 m/s y 2 m/s. Hallar el tiempo en que estarán separados 50 m por segunda vez. a) 20 s d) 35

b) 25 e) 40

c) 30



16. Todos los días sale de Piura un ómnibus con dirección a Lima, a una velocidad de 100 km/h. Este se cruza diariamente a las 12 horas con un ómnibus que viene de Lima con velocidad de 50 km/h. Cierto día el ómnibus que sale de Piu-

c) 8:00

17. Un muchacho escapó de su casa, contigua a una carretera. Luego de dos horas sale el padre en su busca, y cinco horas después sale la madre al encuentro de los dos. Padre, madre e hijo caminaron a razón de 6, 6 y 4 km/h, respectivamente. En el momento en que el padre alcanzó al hijo, vuelve con él a su casa andando a razón de 4 km/h. ¿A qué distancia de su casa encontraron a la madre? a) 4 km b) 3 c) 12 d) 10 e) N.A.

ic a

13. Fulano y Mengano se encuentran de espaldas el uno al otro al momento de comenzar el duelo. Al darse la señal, empiezan a alejarse el uno del otro en sentidos opuestos. Fulano camina a una velocidad de 3 m/s, mientras que Mengano camina a una velocidad de 4m/s. Al cabo de 10 segundos ambos se dan vuelta y disparan el uno en dirección del otro. La velocidad de cada una de las balas es 140 m/s (se supone que la velocidad de las balas es fija). ¿Después de cuántos segundos llegarán ambas balas a su destino?

b) 7:00 e) 10:00

om

b) 85 e) 72

1.c

a) 44 d) 74

a) 98 km d) 107

b) 106 e) 100

c) 108



19. En un corral rectangular de 30 m x 20 m se encuentran un vaquero (V) y un caballo (C) como indica la figura: S

V 20m

C 30m



En el mismo instante ambos comienzan a correr hacia la salida (S); el caballo recorre 4 m por cada 3 m que recorre el vaquero. ¿Cuál es la mínima longitud en metros que ha de tener el lazo del vaquero para enlazar al caballo? a) 12 d) 14

b) 15 e) 9

c) 10

20. Por debajo de un poste, cuyo foco está a una altura "H", pasa caminando un hombre de estatura "h", con rapidez "V": Si el hombre camina por un llano, ¿cuál es la rapidez de su sombra? a) Vh/(H+h) c) HV/(H-h) e) HV/(2H-h)

b) Vh/(HV+h) d) (H+V)/(H-V)

Tarea domiciliaria 1. Augusto nació en el año 19xy y en 1993 tuvo (x+y) años. ¿En qué año tendrá (3x+y) años? c) 2003

2. Un tren demora en pasar delante de un observador 20 s y en cruzar un túnel, 30 s. ¿En cuánto tiempo cruzará el tren un puente que tiene el cuádruple de la longitud del túnel? a) 40 s d) 49

b) 60 e) 35

c) 50



3. Un remero tarda en total 24 horas en ir y volver hasta un puerto que dista 135 km. Si el tiempo que emplea en recorrer 5 km favor de la corriente es el mismo que emplea en recorrer 3 km contra la corriente, ¿cuál es la velocidad de la corriente del río en km/h? b) 2 e) 3

c) 2,5



b) 12 e) 13

a) 21 d) 28

b) 24 e) 30

c) 15



6. La velocidad de Juan es 10 km/h mayor que la de Beto. Si Juan en 16 horas recorre lo mismo que Beto en 20 horas, ¿en cúanto tiempo se encontrarían, si salieran en sentidos contrarios desde dos ciudades distantes 450 km? a) 3 h d) 5

b) 9 e) 7

c) 4



7. ¿A qué hora alcanza Jan a Nena, si estando separados por 40 km, Jan la busca con una rapidez de 90 km/h, después de cinco horas que Nena emprendió viaje a la velocidad de 20 km/h? (Se sabe que Jan partió a las 11:07 a.m.). a) 2:05 p.m. d) 7:49 p.m.

a) 21 años d) 20

m

at e

M

ww w.

b) 18 e) 19

b) 1:56 p.m. e) 1:35 p.m.

c) 27



10. La suma de las edades de Cristina y Alonso es 68 años. Al acercarse Lorena, Cristina le dice: "Cuando tú naciste, yo tenía seis años, pero cuando Alonso nació, tenías cuatro años". ¿Cuál es la edad de Lorena?

b) Setiembre c) Noviembre e) Julio

5. Un microbús debía cubrir una cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era novato, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la velocidad normal y llegó con un retraso de cuatro horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente? a) 12 h d) 16



9. Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 63 años. ¿Cuántos años tengo?

at

4. Una persona, en el mes de agosto, suma a los meses que ha vivido los años que tiene y obtiene 270. ¿En qué mes nació dicha persona? a) Octubre d) Junio

c) 10

om

a) 1,8 d) 1,5

a) 8 km d) 11

1.c

b) 2007 e) 2014

ic a

a) 2012 d) 2010

8. Un tren sale de una estación con una velocidad de 36 km/h. A los cinco minutos de marcha, obedeciendo a una señal de precaución, disminuye su velocidad a 20 km/h, recorriendo con esta 2 km y volviendo a marchar con la velocidad primitiva hasta la estación inmediata, a la que llega a los 21 minutos de haber partido. ¿Qué distancia hay entre las dos estaciones?

c) 1:07 p.m.

b) 33 c) 24 e) 29



11. Los móviles mostrados se mueven con velocidades constantes. ¿Después de qué tiempo "1" distará de "B" lo mismo que "2" dista de "A"? 36 km/h 1 A

a) 96 s d) 60

54 km/h 2 1200 m

b) 100 e) 120

B c) 240



12. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas 4/3 de la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 72 años. ¿Cuántos años tendré dentro de 12 años? a) 36 d) 30

b) 24 e) 32

c) 28



13. Una liebre y una tortuga parten simultáneamente en un mismo punto. La tortuga recorre en cada minuto 10 m y la liebre, 100 m. Ambas se dirigen hacia un mismo punto, y la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta

Pared

la meta y así, sucesivamente, hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga recorrió 1 km, ¿cuánto recorrió la liebre? a) 10 km d) 1

b) 100 c) 1000 e) 120

14. Ana María tuvo en el año 1988, tantos años como el producto de las dos últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de cifras de la edad que tenía en el año 1980? a) 6 d) 7

b) 4 e) 8

c) 5

20 m a) 2 cm/s d) 5

b) 3 e) 6

30 m c) 4





ww w.

M

at e

m

at

ic a

1.c

om

18. Cuando yo tenía la edad que él tiene, tú tenías la tercera parte de la edad que tienes ahora, y cuando yo tenga la edad que tú tienes él tendrá 15. Dos móviles parten de un mismo punto en senla tercera parte de lo que tú tienes y tú tendrás 4 tidos opuestos, dirigiéndose respectivamente a años más de lo que yo tengo. Entonces, la suma "P" y a "Q". Luego de llegar a su destino emde las edades de los tres es: prenden el retorno. ¿A qué distancia de "Q" se a) 15 b) 16 c) 19 vuelven a encontrar? d) 18 e) 24 3 m/s 2 m/s P Q 19. Conversando, Rosa y María, esta le decía a aquella: "Dentro de 10 años la suma de nuestras 60 m 140 m edades será de 57 años", a lo que Rosa respon de: "Así es, aunque hace tres años la diferencia a) 20 m b) 30 c) 15 de nuestras edades era de tres años". ¿Cuántos d) 10 e) 25 años tiene actualmente Rosa, si ella es la mayor? 16. Rosario le dice a Beatriz: "Yo tengo el doble de a) 12 b) 15 c) 17 la edad que tú tenías cuando yo tenía la quinta d) 20 e) 24 parte de la edad que tienes; y cuando tú tengas el doble de mi edad, en ese entonces la suma de nuestras edades será de 90 años. ¿Cuál es la 20. Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tuviste cuando yo tuve edad actual de Beatriz? la novena parte de la edad que tengo ahora. Si a) 25 b) 30 c) 35 nuestras edades suman 57 años, ¿cuántos años d) 40 e) 45 tengo? 17. Si en el instante mostrado se enciende la vela, ¿qué rapidez posee el extremo de la sombra en la pared si la vela se consume a razón constante de 2 cm/s?

a) 27 d) 30

b) 28 e) 31

c) 29



Problemas resueltos 1. Un quinto de la población de cierto pueblo vive del cultivo de flores; 1 del resto vive del 4 cultivo de árboles frutales y los restantes 2100 habitantes trabajan fuera del pueblo. ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo en mención?

Resolución Sea: Total de la población: 20 k <> 3500



•

4. Se distribuyeron 63 litros de agua en tres depósitos por partes iguales. El primero se llena hasta sus 2/5 partes y el segundo, hasta sus 2/7 partes. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es el doble de la suma de las capacidades de los dos primeros?



Sea: Total de aves: 48 k <> 144 • Primera venta: 5 (48k)=40k 6 • Segunda venta: 1 (40k)=5k 8 Finalmente: 3k=9 → k=3 Rpta.: 144





•

Saqué:5k



•

Dejé: 16k

14243

Resolución Analizando los datos:

Devolvi: k No devolvi:4k



3. De un recipiente que inicialmente estaba lleno, saqué los 5/16 de lo que dejé y luego devolví la cuarta parte de lo que no devolví. ¿Qué fracción de lo que hay debería sacar para dejar una cantidad igual a los 3/4 de lo que quedó luego de mi primera extracción?



5. Federico puede hacer una obra en 12 días y Américo puede hacer la misma obra en 10 días. Federico empieza la obra durante cuatro días, luego recibe la ayuda de Américo, terminando juntos la obra. ¿En qué tiempo terminaron la parte que faltaba de la obra?

Luego de devolver, en el depósito quedan 17k

Resolución Obra total=60k Federico=5k En 1 Américo=6k día Luego: 60 K La parte que falta = 40k = 40 = 3 7 20 K 40 K 11 11 la harán 5k + 6k Federico juntos en por 4 días 123

Resolución

21= 2 ×C1 → C1= 105 5 2 2 147 63 21= ×C1 → C1= 7 2 21 105 Pero: C3=2(C1+C2)→C3= c + 147 m.2=252 2 2 Piden: De los 252 litros que tiene el tercer depósito solo se llenarán 21 litros. Es decir: 21 <> 1 252 12 Rpta.: 1 12

at

ww w.

M

at e

m

2. Un granjero vendió primero los 5 de las aves de su 6 granja; más tarde, una parte igual a 1 de lo anterior 8 y le quedan nueve aves. ¿Cuántas aves tuvo?

Resolución

ic a



1.c

om

Cultivo de flores: 4k • Cultivo de árboles: 1 (16k)=4k 4 • El resto: 12 k=2100 4k=700 Rpta.: 3500



• Debo dejar una cantidad que es 3 de 16k 4 <> 12k • Entonces, de 17k debo sacar 5k<>5/17 Rpta.: 5/17

Rpta.: 3 7 11

Problemas para clase 1. Si a una fracción propia la convertimos en impropia invirtiendo sus términos, y sumamos estas fracciones, resultaría el producto de estas dos fracciones, más el resultado de la suma del numerador al cubo y el denominador al cubo de esta fracción. Hallar el producto de la suma de los términos de la fracción con el producto de estos mismos términos. c) 3



2. A cada término de una fracción propia, que son consecutivos, se le añaden dos unidades. Esta nueva fracción excede en 1/12 a la original. Hallar la fracción original. a) 2/3 d) 3/4

b) 1/3 e) 5/6

c) 2/5

a) 1/8 d) 2/5

b) 23/34 e) 17/18

c) 22/31

5. Un tanque puede ser llenado por un primer caño en 3 h, por un segundo caño en 4 h y un desagüe puede desalojar todo su contenido en 12 h. ¿En cuántas horas se llenaría el tanque, si funcionan a la vez los dos caños y se abre el desagüe? a) 3 d) 1,5

b) 1 e) 3,5

c) 2



6. Se tiene un tonel lleno de 324 l de vino puro. Se saca 1/3 del contenido y se completa con agua. ¿Cuántas veces más se debe repetir esta operación para que al final queden 260 l de agua? a) 4 d) 6

b) 3 e) 7

c) 5



b) 1/4 e) 2/7

c) 1/3



9. "A", "B" y "C" pueden hacer una obra en 4 días, "A" y "B" trabajando juntos, pueden hacerla en 12 días, "B" y "C", en 4 1/2 días. ¿En qué tiempo la haría "A" trabajando solo? a) 28 d d) 32 d

ic a

ww w.

M

4. Se tiene un recipiente lleno de vino, del cual se extraen 2/5 de su contenido para luego ser reemplazados por agua: De la mezcla resultante se extraen 2/3 para ser reemplazados por agua. Por último se extrae 1/7 de la nueva mezcla. ¿Qué parte del volumen inicial quedará con agua? a) 12/23 d) 24/35



b) 36 d e) 24 d

c) 30 d

10. Pamela hace una obra en ocho días y Marlene hace la misma obra en 10 días. Pamela empieza la obra y dos días después recibe la ayuda de Marlene, terminando juntas la obra. ¿En cuántos días hicieron toda la obra?

at

c) 24 l

m

b) 23 l e) 70 l

at e

a) 50 l d) 56 l

c) 20

8. Del dinero que tenía, gasté 1/2 de lo que no gasté, luego perdí 1/3 de lo que no perdí, en seguida regalé 1/4 de lo que no regalé. ¿Qué parte del total aún me queda?



3. Se tiene un recipiente que contiene una mezcla de leche, alcohol y agua en la relación de 3, 4 y 5, respectivamente. Se extraen de la mezcla 2/5, 1/3, 5/7 y 5/12 de lo que iba quedando, resultando el volumen final de leche igual a dos litros. Hallar el volumen inicial de agua.

b) 45 e) 32

om

b) 2 e) -2

a) 25 d) 30

1.c

a) 1 d) -1

7. Un albañil y su ayudante pueden hacer una obra en 12 días. Después de haber trabajado juntos durante seis días, se retira el ayudante y el albañil termina lo que falta de la obra en 10 días. ¿En cuántos días puede hacer el ayudante toda la obra trabajando solo?

a) 5 1/3 d) 6 8/13

b) 5 2/3 e) 5 11/17

c) 4 7/9

11. Un depósito tiene dos dispositivos de desagüe, uno ubicado al fondo que deja vacío el depósito en seis horas, mientras que el otro dispositivo se ubica a la mitad de la altura y desocupa lo que le corresponde en cinco horas. Si estando lleno el depósito se abren ambos dispositivos, ¿en cuántas horas quedará vacío el depósito? a) 4 6/7 d) 5 4/7

b) 3 4/5 e) 6 7/9

c) 4 7/8

12. Tengo un vaso lleno de alcohol. Bebo la sexta parte, luego bebo 1/4 de lo que queda. ¿Qué fracción de lo que queda debo volver a beber para que aún sobren los 3/8 del vaso? a) 2/3 d) 1/3

b) 2/5 e) 1/5

c) 1/6



13. Manolo tiene cierta suma de dinero que gasta de la siguiente manera: en cinco chocolates, 5/8 de lo que tiene; en tres refrescos; 1/3 de lo que

b) Solo III c) I y II e) Solo II

14. Si te pago lo que te debo, me sobraría tanto como me faltaría. Si quisiera pagarle a él lo que le debo, ¿qué fracción del total de mi deuda es lo que yo tengo? a) 1/3 d) 1/4

b) 2/3 e) 2/7

c) 1/2



15. Se sacaron nueve litros de un barril que estaba lleno de vino, reemplazándolos por agua. Se sacaron nueve litros de la mezcla que fueron sustituidos por agua. La cantidad de vino que quedó en el barril y la de agua están en la relación de 16 a 9. Calcular la capacidad del barril. c) 40



c) 245



18. Giselle gasta su dinero del modo siguiente: 2/5 de su dinero más tres soles en un pantalón, 3/8 de lo que queda más siete soles en una blusa, y la mitad del resto más un sol en un par de zapatos. ¿Cuánto gastó en la blusa, si al final se quedó con tres soles? a) S/. 45 d) 32

b) 16 e) 19

c) 18



19. En un depósito se mezclan 30 litros de agua y 50 litros de leche, luego se extraen 16 litros de la mezcla y se la reemplaza por la misma cantidad de agua. Si de la nueva mezcla se vuelven a extraer 48 litros, ¿cuántos litros de leche salen de esta última extracción? a) 32 d) 24

ic a

b) 45 e) 30

b) 350 e) 465

b) 28 e) 30

c) 25



20. ¿Cuántos litros de vino hay que agregar a un barril donde hay cinco litros de vino por cada cuatro litros de agua para que resulte una mezcla de 180 litros, en la que, por cada nueve litros de mezcla haya siete litros de vino?

at

a) 50 litros d) 35

a) 215 d) 345

om

a) Solo I d) II y III

17. De un depósito que contiene vino se vende su contenido de la siguiente manera: se venden los 2/5, luego los 3/7 de lo que quedaba y por último, se venden los 2/3 de lo que quedaba. Si todavía quedan 60 litros. ¿Cuántos litros se vendieron?

1.c



queda; y en cuatro galletas 4/9 del resto. Si aún le quedan 10 soles, entonces: I. Por un chocolate, un refresco y una galleta pagó 14 soles. II. Gastó en total 62 soles. III. No es cierto que después de comprar refrescos le quedan 18 soles. Son ciertas:

ww w.

M

at e

m

16. Una persona demora 80 segundos en llegar al segundo nivel del aeropuerto, subiendo por la escalera mecánica detenida. Si la escalera estuviera en movimiento y la persona detenida demorara 48 segundos, ¿cuánto demoraría si caminara sobre la escalera en movimiento? a) 15 s d) 30

b) 45 e) 10

c) 20



a) 60 d) 80

b) 100 e) 90

c) 70

Tarea domiciliaria 1. Yo poseo los 3 de una hacienda llamada 5 "Paraíso". Si vendo 5 de mi parte, ¿cuáles son 8 correctas? I. Me quedan 9 de la hacienda. 40 II. Me quedan los 5 de mi parte. 8 III. Vendí menos de 1 del total de la hacien4 da. a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) II y III

c) Solo III

2. Se distribuyeron 300 l de gasolina entre tres depósitos, en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3 y el segundo hasta los 3 . ¿Qué 5 4

fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros? a) 1 3 d) 11 15

b) 2 5 e) 1 4

c) 27 20

3. Se tiene un barril lleno de vino. Se sacan nueve litros y se reemplazan por agua, luego se sacan nueve litros de la nueva mezcla y también se reemplazan por agua. Si finalmente la relación entre la cantidad de vino y agua es como cuatro es a cinco, hallar la capacidad del barril. a) 21 l d) 30 l

b) 24 l e) 27 l

c) 18 l

quedaron 15 litros de agua, ¿qué capacidad del

4. Si un depósito que está lleno 1 de lo que no 3 está lleno, se vacía 1 de lo que no se vacía, 8 ¿qué parte del volumen del depósito quedará con líquido? c) 1 7

5. ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 250 existen, tal que su numerador sea de tres cifras? a) 60 d) 30

b) 45 e) 70

c) 10



c) 300



ww w.

M

at e

7. Tres tuberías "A", "B" y "C" funcionando juntas, pueden llenar la mitad de un tanque en cuatro horas. Si funcionan solo "A" y "B", pueden llenar todo el estanque en 10 horas; y si funcionan "B" y "C", lo llenan en 15 horas. ¿En cuántas horas llenará la tercera parte del tanque la tubería "B", si funciona sola? a) 12 horas d) 9 horas

b) 8 horas e) 3 horas

c) 6 horas

8. Se tienen dos cajas de fósforos: se usan de la primera, 3 del total y de la segunda, 2 del total. 8 7 Los fósforos usados en la primera son 13 más



que en la segunda, y quedan en la segunda caja 4 de los fósforos que quedan en la primera. 7 ¿Cuántos fósforos tiene cada caja? a) 56 y 28 d) 14 y 19

b) 19 y 14 e) 30 y 12

a) 5 d) 12

c) 28 y 56

9. De un recipiente, se sabe que están vacíos los 2 de lo que no está vacío. Luego se extraen 2 3 5 de lo que no se extrae y finalmente no se elimina 1 de lo que se elimina. Si luego de esto 4

b) 6 e) 18

c) 8



11. Una persona demora 90 s en llegar al segundo nivel del aeropuerto, subiendo por la escalera mecánica detenida. Si la escalera estuviera en movimiento y la persona detenida demorara 60 s, ¿cuánto demoraría si caminara sobre la escalera en movimiento? a) 75 s d) 30 s

b) 45 s e) 36 s

c) 20 s

12. Dos albañiles pueden construir un muro en 20 días; pero trabajando por separado, uno tardaría nueve días más que el otro. ¿Qué tiempo tardará este otro?

at

b) 195 e) 320

m

a) 200 d) 190

c) 10 l

10. Un obrero puede hacer una obra en nueve días; luego de cuatro días recibe un ayudante, terminando la obra en dos días. El ayudante, trabajando solo, ¿cuántos días emplearía en hacer la obra?

ic a

6. Un tranvía parte con cierto número de pasajeros. En el primer paradero deja la tercera parte; en el segundo, suben 65 pasajeros; en el tercero, bajan los 3 de lo que lleva; en el cuarto, 5 suben 50 pasajeros, y en el trayecto al quinto paradero deja los 3 de los que lleva, llegando a 8 este con 80 pasajeros. Determinar, con cuántos pasajeros partió.

b) 70 l e) 75 l

om

b) 2 9 e) 8 27

a) 35 l d) 175 l

1.c

a) 2 7 d) 3 8

recipiente estuvo vacía al comienzo?

a) 36 días d) 48 días

b) 40 días e) 54 días

c) 45 días

13. Un galón de pintura rinde para 30 m2. Si con los 2 de los 3 de ocho galones se han pintado 5 4 los 2 de los 4 de una pared, ¿cuál es la super3 5 ficie de dicha pared? a) 720 m2 d) 13,5 m2

b) 270 m2 e) 15,5 m2

c) 135 m2

14. En un corral, la relación entre el número de pollos y el número de gallinas es como tres es a cinco respectivamente. Si se muere 1 del nú3 mero de aves, del cual 2 son pollos y el resto 3 gallinas, ¿cuál sería la nueva relación entre el número de pollos y gallinas? a) 19 29

b) 29 19

d) 3 13

e) 11 37

c) 13 21

15. He gastado los 5/8 de mi dinero. Si en lugar de gastar los 5/8 hubiera gastado los 2/5 de mi dinero, tendría ahora S/. 72 más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté? a) S/. 100 d) S/. 125

b) S/. 10 e) S/. 130

c) S/. 120

16. El caño “A” llena un depósito en 6 horas y el desagüe “B” ubicado a la mitad de la altura del depósito saca la parte que le corresponde en 8 horas. ¿En cuántas horas quedará lleno dicho depósito si se abren ambos caños a la vez? a) 4 d) 3,4



b) 5,2 e) 7,8

c) 2

a) 3/29 d) 5/29

17. Si sabemos que “A” y “B” pueden hacer una obra en 20 días, “B” y “C” pueden hacer la misma obra en 15 días y además “A” y “C” hacen la misma obra en 12 días. ¿en cuántos días harán la obra “A”, “B” y “C” juntos? a) 5 d) 16

b) 10 e) 20

c) 14



18. Beatriz hace un trabajo en 20 días y Manuel hace el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante cinco días se retira Beatriz. ¿En cuántos días terminará Manuel la parte que le falta?

a) 9/25 d) 9/23

om

1.c ic a at m at e

b) 4/11 e) 13/27

c) 3/17

20. De un frasco lleno de alcohol se extrae un cuarto de su contenido y se reemplaza con agua. Luego se extrae 3/4 de la mezcla y se llena con agua pero sólo hasta los 2/3 de su capacidad. ¿En qué relación se encuentran el alcohol y el agua al final?

c) 15

M

b) 20 e) 25

ww w.

a) 40 d) 30

19. De un recipiente que contiene alcohol puro, se extrae 3/8 y se reemplaza por agua, luego se extrae 4/5 y también se reemplaza por agua, finalmente se extrae 1/4 de la nueva mezcla y se reemplaza por agua. ¿En qué relación están al final el alcohol y el agua?

b) 8/23 e) 14/31

c) 13/23

Problemas resueltos

3 patos=2 pavos Pato=2k Pavo=3k Rpta.: 50%

Piden: x.80%(5k)=2k x=50%

Resolución



•

40 litros de alcohol al 10%

•

Agua → 36 litros Alcohol → 4 litros



Sin considerar las constantes, se tendría



AF=121%AI



RF2=121%RI2 → Se demuestra que el radio final (RF) se incrementa en 10% respecto al radio inicial (RI).



VF=(110%RI)3

VF=133,1%RI3



VF=+33,1%VI

at e

Mezcla final

M

Agua: 36+8=44 Alcohol:4+2+38=44

ww w.

Rpta.: Se incrementa 33,1%

3. Si "S" es el 150% de "T". ¿Cuánto por ciento de "T" es (S+T)?

Resolución Del dato: S= 3 T 2

Piden:X×T=(S+T) → X= cS + T m×100% T → X=250%

Rpta.: 250

8 litros 2 litros

at

Resolución

m





10 litros de alcohol al 20%

Agua → Alcohol →

ic a

2. Si el área de una esfera aumenta 21%, ¿en qué porcentaje varía su volumen?



om

Resolución

4. De la mesa de un laboratorio se toma un recipiente que contiene 40 litros de alcohol al 10% y se vierte todo el contenido en un segundo recipiente que contenía 10 l de alcohol al 20%. Si luego se agregaron 38 litros de alcohol puro, ¿cuánto tanto por ciento de la mezcla final no es alcohol puro?

1.c

1. En una granja, el 30% de patos es el 20% del número de pavos. ¿Cuánto por ciento del 80% del total es el número de patos?

Se observa que el agua y el alcohol tienen la misma cantidad de litros.

Rpta.: 50%

5. Si yo tuviera 20% más de lo que tengo, lo que tendría y lo que tú tienes estarían en la relación de seis a dos. ¿Cuánto por ciento más de lo que tienes es lo que yo tengo?

Resolución



Yo: 5k → si tuviera, 20% más=6k Tú: 2k

2k → 100% 5k → ? ?=250%

Yo tengo 150% más que tú.

Rpta.: 150%

Problemas para clase llinas se deben retirar para que el porcentaje de gallinas resultante sea el que antes correspondía a los gallos?

1. Si de 80 alumnos, 20 son hombres, ¿qué porcentaje de las mujeres representan estos? ! a) 16% b) 75% c) 33,3% ! d) 19% e) 66,6 %

b)16%, 16% d) 21%, 19%



3. El largo de un rectángulo "A" es 10% mayor que el lado del cuadrado "B". El ancho del rectángulo es 10% menor que el lado del cuadrado. Entonces, la razón A/B de las áreas es : a) 1 d) 17/19

b) 5 e) 99/100

c) 2/5



b) 1%­↑

b) 31% e) 76%

c) 70%

6. En las elecciones municipales se observó que el 54% de los varones votaron por el partido "A" y el 78% de las mujeres no votaron por dicho partido. Si acudieron a votar tantos hombres como mujeres, ¿qué porcentaje de la votación alcanzó el partido "A"? a) 38% d) 99%

b) 44% e) 1%

c) 57%

7. Pedro es un futbolista que ha disparado 17 penales, acertando todos ellos. ¿Cuántos más debe ejecutar (fallando todos ellos), para tener una eficiencia del 85%? a) 3 d) 7

b) 4 e) 10

c) 5

c) 50%

10. ¿A qué aumento o descuento único equivalen tres descuentos sucesivos del 50%, 40% y 50%, seguidos de dos aumentos también sucesivos del 120% y 150%? a) 19,3% ↓ d) 16%↑

at ww w.

M

at e

5. El 10% de la suma de las edades de dos compañeros equivale al 70% de la diferencia de dichas edades. ¿Qué porcentaje de la edad del mayor es la edad del menor? a) 30% d) 75%

b) 90% e) 65%

b) 17,5% ↓ e) 19,78%↑

c) 79,4%↓

11. Si el lado de un cuadrado aumenta en un 30%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?

c) 1%↓

e) 2%­­↑

a) 45% d) 75%

a) 10% d) 69%

m

a) 10% ­↑­ ! d) 17,6 % ↓



ic a

4. Al aumentar el precio de la entrada a un espectáculo en 10%, la asistencia disminuyó en 10%. ¿Qué sucedió con la recaudación?

c) 10

9. En una asamblea se discuten dos propuestas "A" y "B". El 40% de los asistentes está en favor de "A" y el resto en favor de "B". Si el 25% de "A" abandonan la asamblea y el 25% de los que apoyan a "B" deciden cambiar de opinión, calcular, del nuevo total, el porcentaje que favorece a "A".

om

a) 25%, 20% c) 18%, 18% e) 21%,17%

b) 30 e) 50

1.c

2. ¿Cuánto por ciento menos es 100 de 125?

a) 20 d) 40



8. En una jaula hay 12 gallos que representan el 40% del total, el resto son gallinas. ¿Cuántas ga-

b) 15% e) 90%

c) 30%

12. Si el largo de un rectángulo aumenta en 50% y su ancho disminuye en 50%, ¿en cuánto por ciento varía su área? a) 16%↑ d) 25%↓

b) 16%↓ e) 17%↑

c) 25%↑

13. Dada la expresión:

2 E = A B π3KM 10R ¿Cuál sería su variación porcentual si "A" aumentase en 10% y "B" disminuye en 19%?

a) 8,9%↑ d) 20%↑

b) 10,2%↑ e) 21%↑

c) 11%↑

14. Una secretaria quiere comprar un equipo de sonido que cuesta S/. 950. El vendedor le comunica que se le harán tres descuentos sucesivos del 10%, 20% y 25%. Como su sueldo no le alcanzaba en ese momento, solicitó un aumento al jefe, el cual le fue otorgado. Se le hicieron tres aumentos sucesivos del 10%, 20% y 25%, pero aun así le faltaron S/. 18 para la compra. ¿Cuál era el sueldo de la secretaria antes del aumento? a) S/. 300 d) 250

b) 513 e) 750

c) 650



15. De un recipiente retiro el 25% de lo que no retiro, y de lo que he retirado devuelvo el 25% de lo que no devuelvo, quedando ahora 84 litros en el recipiente. ¿Cuántos litros no devolví? c) 16 l

16. El precio de un artículo aumenta en p%. Después, el nuevo precio disminuye en p%. Si el último precio era de S/. 1, el precio original era de: 1 - p2 1000 1 - p2 c) 10000 - p2 e) 100 p2 - 1

a)

b) d)

1 - p2 1000

a) 72% d) 44%

b) 40% e) 45%

c) 48%

20. A inicios de 1985, una población tenía 10 000 habitantes; el consumo de agua por persona por hora, era de 10 litros. La población crecía a un ritmo de 20% anual. Determinar el lado de la base cuadrada de un reservorio de 4 m de altura capaz de satisfacer la demanda diaria de la población al inicio de 1989. a) 7 d) 35

b) 8 e) 36

c) 25



a) 55% d) 48

b) 52 e) 15

c) 50



ic a

c) S/. 1980

c) 2333

m

at

b) S/. 2200 e) S/. 2020

b) 2470 e) 2782

19. Si el volumen inicial de un cubo aumentó en 72,8%, ¿en qué porcentaje aumentó su área total?

10000 10000 - p2

17. "A" encarga vender un objeto a "B" y este a su vez, a "C", quien hace la venta y se queda con un 20 por mil; "B" recibe el resto, pero retiene el 10 por 200 de lo que le dio "C" y entrega el saldo de 1862 soles a "A". ¿En cuánto se vendió el objeto? a) S/.1900 d) S/. 2000

a) 1357 d) 4512

om

b) 18 l e) 54 l

1.c

a) 26 l d) 56 l

18. Al escribir en una pizarra se consume el 80% de cada tiza y con lo que queda se vuelve a fabricar tizas. En este proceso se pierde el 5% de la materia prima. Hallar el número de tizas que se pueden fabricar con los residuos de una caja de 13 000 tizas :

M

at e

Tarea domiciliaria

ww w.

1. El peso de un ladrillo es 20 gramos, ¿cuánto pesará otro ladrillo del mismo material, pero con sus dimensiones aumentadas en 50%? a) 72,5 g d) 58,7

b) 62,5 e) 67,5

c) 89,5

2. Si el área del triángulo equilátero AED aumenta en 96%, entonces el lado del cuadrado ABCD aumenta en: B C E

A

a) 20% d) 96

b) 40 e) 4

D c) 70



3. En un recipiente se tienen 80 litros de una mezcla al 40% de alcohol. Se extrae el 25% de ella y se añade sobre otra mezcla de 30 litros al 60% de alcohol. ¿Cuál es la concentración de la mezcla final?

4. En la expresión: M=x2y, si "x" disminuyera en un 20% e "y" aumentara en un 30%, ¿en qué porcentaje aproximadamente variaría la expresión "M"? a) 17% d) 27

b) 20 e) 15

c) 30



5. Janet vendió dos televisores en S/. 1500 cada uno. En el primero ganó el 25% y en el segundo perdió el 25%. ¿En este negocio ganó o perdió y cuánto? a) No gana ni pierde b) Perdió S/. 200 c) Ganó S/. 200 d) Ganó S/. 300 e) Perdió S/. 300 6. Si el lado de un cuadrado se reduce a la mitad, ¿en qué porcentaje disminuye su área? a) 25% d) 5

b) 75 e) 30

c) 80



7. Un autobús tiene 70 pasajeros, de los cuales el 70% están sentados. De las mujeres, están sentadas el 80% y de los hombres, están sentados únicamente el 10%. ¿Cuántos hombres viajan en el autobús? c) 20



8. El área de una superficie esférica disminuye en 19%. ¿En qué porcentaje disminuirá su volumen? a) 27% d) 27,3

b) 27,1 e) 28,3

c) 27,2

c) 24

a) 11% d) 14



b) 175 e) 50

c) 150



b) 12 e) 15

c) 13



17. ¿Cuál debe ser la pureza del alcohol que debe añadirse a 80 litros de alcohol al 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 80% de pureza?

c) 5000

at e

b) 6000 e) 8000

M

a) S/. 5040 d) 6720

m

at

10. Una persona consigue en la compra de una tela, un primer descuento del 20% y sobre el precio rebajado, otro descuento del 30%. Si al final pagó S/. 3360, ¿cuál era el precio original?



16. Una industria redujo en 5% el precio de venta de los artículos que produce. ¿En qué porcentaje debieron aumentar sus ingresos, si esta política produjo un incremento en las ventas del 20%?

om

b) 30 e) 34

c) 12

15. Un depósito cilíndrico se desea cambiar por otro de la misma forma, pero con una base cuya circunferencia es 50% mayor en longitud. ¿En cuánto tanto por ciento se incrementará el volumen del nuevo cilindro respecto al primero? a) 125% d) 225

9. En la Universidad de San Marcos hay 10 500 alumnos, de los cuales el 30% son mujeres y el resto, hombres. Si el número de mujeres aumenta en 20% y el número de hombres aumenta en 40%, ¿en qué porcentaje aumentara el total de alumnos? a) 44% d) 27,3

b) 50 e) 34

1.c

b) 15 e) 12

a) 48 d) 46

ic a

a) 10 d) 25

máquina "A" y el resto, por la máquina "B". Si se sabe que el 5% de lo fabricado por A y el 4% por "B" son productos defectuosos, ¿cuántos de estos hay en los 1000 productos?

ww w.

11. Un litro de mezcla formado por 25% de agua y 75% de alcohol pesa 900 g. Sabiendo que el litro de agua pesa 1 kg, averiguar el peso de un litro de mezcla de 25% de alcohol y el resto, agua. ! ! ! a) 694,4 g b) 964,6 c) 966,6 ! ! e) 969,6 d) 968,6 12. ¿En qué porcentaje aumenta el volumen de un cilindro cuando la altura se reduce en 25% y su radio aumenta en 20%? a) 6% d) 12

b) 16 e) 18

c) 8



13. Si la base de un triángulo disminuye 20%, ¿en qué porcentaje debe aumentar la altura para que el área no varíe? a) 20% d) 25

b) 30 e) 35

c) 40



14. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sido fabricados por la

a) 12% d) 10

b) 20 e) 26

c) 16



18. En la venta de un reloj gané tanto como rebajé, que es el 20% de lo que me costó. ¿Cuánto pensaba ganar sin rebajar, si me costó 60 soles más de lo que gané? a) 30 soles d) 25

b) 42 e) 36

c) 35



19. Un químico tiene "m" onzas de agua salada al m% de sal. ¿Cuántas onzas de sal deben agregarse para obtener una solución que tenga 2m% de sal? a)

m2 2m - 100

b)

2 m2 c) 2m 2m + 100 100 - m

d)

2m 2 100 - 2m

e)

m2 100 - 2m

20. Si se incrementa en un 60% la profundidad de una piscina circular, ¿cuál sería el porcentaje en que hay que aumentar el radio de la piscina para que su volumen aumente en 150%? a) 28% d) 25

b) 24 e) 27

c) 26



Problemas resueltos 1. Si: P(x2+1)=x4+1, hallar el equivalente reducido de: Q=P(x3 - 1) - P(x3+2).



Resolución

Entonces • x -1 =3x + 2

x3;-6

-1-

1)2+1=x6

-

ic a



at m

at e

M

c) m%p= -13/5

ww w.

b) mp= -45 e) m/p=5/4



Resolución



Considerando la información:



• •



Rpta.: C

3%5=m → m= -4 m%(-5)=p → (-4)%(-5)=p → p=-9 se cumple: m%p= -13/5

=9x ;

x -1





Calcular:

x +2 =3x

3

Resolución •

0 ; t
Determinar para t∈[5,7] el valor de:



E=3+4 t



Resolución



Analizando:



E=3+4 t



E=3+4(1) - 2(1)+7(0)



E=3+4 - 2=5



Rpta.: 5

2

2

- 2 t +7 t 5

8

- 2 t +7 t 5

8

5. Para a,b ∈ Z+ se define la operación:

3. Si:



t

321

om

4. Se define en IR la siguiente operación:

Rpta.: -6x3+3

a) m - p=9 d) m+p=1

=14

3

Rpta.: 14

P(x3 +2)=(x3 +2 - 1)2+1=x6+2x3+2 Finalmente: Q= -6x3+3

2. Se define: a%b= a + b a-b Si: 3%5=m; y además, se cumple que: m%(-5)=p; entonces:



x3;+5

=

3

4x3+5

1.c

-

1)=(x3



x3; +5

Luego:

2 Analizando: x2+1 -1;( ) ;+1 x4+1 Aplicando:

P(x3



x +2 =3x x3 ; -6

Aplicando x3 - 6



a 9 b=ab+1 Si: → x, w ∈ Z+ Además: x 9 w=16 ¿Cuál es el valor o valores que podría tener "w"?



Resolución



Del dato: x 9 w=16

=9x

3 x -1 -6=9x



xw+1=16 Rpta.: 1 y 3

xw+1=42 → w=1 xw+1=24 → w=3

Problemas para clase 1. Si : r1 = 3 y además:

a) 0,0000003 c) 0,000003 e) 0,00000003

3x+2

a) 3/2 d) 2/3

b) 0,00000033 d) 0,000000033

b) 5x+11 d) 5x+5y+6

4. Dada la expresión:



at

"k" sumandos



6. Si:

Calcular: 16 * 2.

b) 3 e) 6

c) 4



=

a (a - 1) 2



c) 10



c) 3





a (b * a) b) 9 e) 3 P M =N↔ MN=P

3x-1 y = a ; 3x+1 y = 2a



b) 4 e) Cero

11. Dado: P(2a + b, a - 2b) = a2 + b2 Calcular el valor de:

a-1

c) –2

Calcular el valor de “x” en:

a) 2 d) 1

(b * a) 2 5. Si: a*b = 5 Calcular: 2 * 3. a) 2 d) 5

+1 = 108

b) 2 e) 0



10. Si:

c) 801

2x+5

a*b= a) 8 d) 2

Ak= 1 + 2 + 3 + 4 + ... 14444 2 4444 3 b) 108 e) 100

a - 2 =a2 - 2a



A4 + A8 +1

a) 180 d) 901

" como :

9. Se define:

Donde:



Hallar: “x”. Además:

a) 3 d) –3



x2 +1 =3x+x2 ; xεz +

Hallar:

b) 38 e) 28



at e

M

c) 9/4

ww w.

b) 3/2 e) 2/7

m

A=; 1 * 1 E* ;1 * 1 E 3 2 3

c) 44

= 66

8. Se define el operador "



Calcular: 2x a) 26 d) 18

3. Se define una operación matemática mediante el operador matemático * como el doble del producto de sus términos, multiplicado por el inverso multiplicativo de la suma de estos. Hallar “A”.





c) 1/3

∀NεZ+

x2 - 6

Además:

om

a) 5x+5y-m+6 c) 5m-11 e) 5x+5y+m-6



b) 2/5 e) 2/4

7. Si: N =2N+6

2. Se define la operación: (x+y - 3)*m=2(x+y)+3m, para cualquier valor de "x", "m" e "y". ¿A qué equivale: (x + y + m)*(x + y - m)?

a) 2/3 d) 4/9

= 55



1.c



rn+1=rn+ 3n ; n ε N. 10 Hallar: r10 - r8.

Calcular "x" en:

ic a





P( 5 + 3 , 5 - 3 ) a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3





12. Dado: %(n+2) = n x %(n) Además: %2 = 2 Calcular: %2002

a) 8 d) 13

b) 22002 x 2002! d) 2200!

17. Si: a2* 3 b

13. Sabiendo que: x =x2 - 1



Calcular: 3 + 2 a) 4 d) 2

b) 7 e) 1

c) 3





a*b =5a,a*b>0;

a+2

b) 108 e) 114

c) 110



c) 2/7



a5*3b=8

ic a at

ww w.

16. Si:

m

c) 1

at e

b) 0 e) 4



M

a) -1 d) 2



19. Si se sabe que: 24 * 15 = 3 49 * 26 = 24 18 * 23 = 2



15. Si: fn= (-1)n + 1 An = f1 + f2 + f3 + …….+ fn Calcular: M = A100 – A99

b) 66 e) 23

om

c) 3

c) 21

n+1 = 3n. Calcular: 4 * 4.

a) 106 d) 112

Hallar el valor de “a” en: a =a b) 2 e) 1/2



18. Si: f(x2 - 3x + 2) = x2 + 3x + 2; donde: x > 0; calcular “x” en: f(f(f(x + 22))) = 420

14. Para un entero “x”, x > 0 se define: x =2x+5 ; x =x2+2

a) 1 d) –1

c) 10

=a+b

a) 16 d) 24

x =x(x+2)



b) 9 e) 29

1.c

a) 21001 x 1001! c) 22002 x 1001! e) 21001 x 1000!

Calcular: 13 * 29

Calcular : bb * ab ; si: a≠b. ba * aa a) 6/7 b) 4/7 d) 9/7 e) 1/7

20. Si: f(n) = n – n + n – n + n – ... Calcular: f(2). a) 0 d) 3

=a2+1

b) 2 e) Absurdo

c) 1



Tarea domiciliaria 1. Si sabemos que: m@n=n(n@m) - m Calcular: E=6@5 a) 30 d) 29/31

3. Se sabe que: (m*n)º=4m; m*n>0, además: (m+1)º=m2+4 Calcular: E=10*80

b) 29 e) 31

c) 31/29

a =a × a - 1

Hallar: A=

a) 18x2 - 24x+14 c) 18x2+24x+14 e) 18x2+24x - 8

a

a -1 × a -1 × a -1

a) 1 d) a

b) 6 e) 9

c) 7



4. Si se sabe que f(x+4)=2x2+6 Calcular: f(3x+2)

2. Si:

a) 5 d) 8

b) a2 e) (a - 1)!

c) a!

b) 18x2 - 24x+8 d) 18x2+24x+8

5. Si: (2x2 - 5x)=2x+x3; ∀"x"∈ Z Hallar: M  ((-3))

a) 24 d) 40

b) 35 e) 45

c) 37



6. Si x*y=x - y+2(y*x), hallar: 12*3 a) 2 d) 6

b) 3 e) 9

c) 4

a) 7 d) -32/23



b) 23/30 e) 23/32

14. Sabiendo que:

7. Si: [ xb ]=b.xb-1 f(x+1)=[x2]+3[x3]+f(x); además: f(4)=2 Calcular: f(2) a) -85 d) -40

b) -105 e) -125

c) -120



b) 5a+6 e) 5a - 11

Calcular el valor de:

c) 5a+11

24 2  4 4

b) 501/576 e) 576/567

c) 601/576



Sabiendo que: -5 =3



x

+x2 - 2x+7

3



Calcular: R=(7*3)*1

5

2

6 1

b) 1 e) 3

b) 21 e) 40

c) 20

7

c) 2



1

x2- 5

c) 18



=20



Calcular: 2x -1

a) 19 d) 15

b) 12 e) 13

b) 38 e) 31

c) 29





=2

c) 35

2x+1 =2 x+2 +x+1





θ (n) = ) (n 3) si: n $ 100 θ (θ (n + 5)); si: n 1 100



Hallar: θ(87)÷θ(83) a) 1 d) 4

19. Si:

b) 2 e) 6 ax + b ax - b

c) 3



= ax b

Calcular: Q= 2 × 4 × 6 × ... × 2n

3x-1 =3 x3 +x2+1 3x+2 =4 4x-1 -x+5

Ademas:

=x(x - 1); x∈N

18. El operador "θ" es definido en el conjunto "z":

= 2 x-2 +1, además:

b) 55 e) 50

x+1

a) 25 d) 30

13. Se definen las siguientes operaciones:



4

3

17. Se sabe que: *(1)=11, Además: *(t+1)=*(t)+2t+3, siendo t ∈ Z Hallar: *(0)+*(3)

Calcular: M= 7 + 9 a) 70 d) 60

3*6=6*3=1

1.c

M

x-1

Calcular:

12. Si:



ic a

c) 4(3x-1)

ww w.

=



a) 10 d) 34



at

b) 12x-3 e) 4(4x-3)

2x+3

2*5=5*2=7



11. Si:



at e

a) 3x-4 d) 3x-5

1*4=4*1=6

16. Si:

2 f c2x + 3 m=6x2+5 4

m

Hallar: f(x)



a) 4 d) 7

10. Si definimos:

c) 281

om

a) 601/750 d) 576/601

4

b) 271 e) 324

15. Se cumplen las siguientes condiciones, según el gráfico adjunto:

9. Se define: ax  a=x2+1

2 4 6 4 8 12 7 11 15 10 14 18

Hallar: B=84 5 100 a) 250 d) 354

8. Se define la operación: (a - 3)*b=2a+3b Para cualquier valor de "a" y "b". ¿A qué equivale (a+b)*(a - b)? a) 5a - b+6 d) 5a+b - 6

5 3 6 9

c) -30/31

Hallar: 7

a) 2n2 - 1 d) 2n+1

b) n2 - 1 e) 2n

c) 2n - 1

PRINCIPALES PROPIEDADES OPERACIÓN MATEMÁTICA:

DE

UNA

II. CONMUTATIVA ∀a ∧ b ∈ A → a*b=b*a

Se define en el conjunto "A" una operación representada mediante el operador *. Estudiaremos las siguientes propiedades:



El orden de los elementos en la operación no altera el resultado.

I. CLAUSURA



Ejemplo:



En "N" se define la adición:



Ejemplo:



Se define en "N" la siguiente operación:

at e

a * b = 2 a + b2

¿Cumple con la propiedad de clausura?



En tablas:

ww w.

M



a) Se define en el conjunto:





En "R" se define: a * b = a + b – ab



¿Es conmutativa? ................................



En tablas:

1.c

om

La adición es conmutativa en "N".

a) ¿La siguiente operación en tablas es conmutativa? ............................ * a b c d a a b c d b b c d a c c d a b d d a b c



b) Se define en el conjunto M={1, 3, 5, 7} la siguiente tabla: * 1 3 5 7 3 7 1 3 5 7 3 5 7 1 1 5 7 1 3 5 1 3 5 7

¿Cumple con la propiedad de clausura?





b) Se define en el conjunto:



tSolución:

A = {a,b,c,d}



Ordenando la tabla:

* a b c d

* a b c d

5+8=8+5



A = {a,b,c,d}





at

Se toma un par de elementos del conjunto "A" y se realiza con ellos la operación definida, si el resultado de dicha operación pertenece al conjunto "A", entonces se dice que la operación cumple la propiedad de clausura o también que la operación es cerrada en el conjunto "A".

m





ic a

∀a ∧ b ∈ A → a*b ∈ A



a d a b c

a d b c e

b a b c d

b b c d a

c b c d a

c c d a b

d c d a b

d d e b c

¿Cumple con la propiedad de clausura?

¿Es conmutativa la operación?

*





IV. Elemento inverso (a-1)

III. Elemento neutro (e)



∃! e ∈ A / ∀a ∈ A → a*e=e*a=a

• En la adición, el elemento neutro es el cero (0): a+0=0+a=a

Ejemplos:



1. Se define en "R": a*b = 3 a x b 4 Hallar el elemento neutro.



Solución:



.................................................................... ....................................................................



2. Se define en "R": a * b = a + b + 3



Hallar el elemento neutro.



Solución:



.................................................................... ....................................................................

En tablas



En la siguiente tabla : * 1 3 1 3 5 3 5 7 5 7 1 7 1 3



Definimos en: A = {1;2;3;4} la siguiente tabla. Hallar el elemento neutro: En tablas:



7 1 3 5 7

Hallar: E = ( 3 * 5–1 ) * ( 1–1 * 7)–1

2 4 1 2 3

3 1 2 3 4

4 2 3 4 1

M

1 3 4 1 2

Solución: .................................................................... ....................................................................

ww w.

* 1 2 3 4

5 7 1 3 5

at e

m





at



Observación: "a-1" se lee "elemento inverso de "a". Ejemplo : - Se define en "R": a * b = a + b – 2 Calcular: 3–1 ; 4–1; 6–1 Importante: 1. Se verifica que la operación sea conmutativa. 2. Se busca el elemento neutro "e". 3. Aplicamos teoría de elemento inverso.

ic a





om

• En la multiplicación, el elemento neutro es el (uno): a×1 = 1×a = a

Dado: ∀a∈A, ∃ a-1∈A/a*a-1=a-1*a=e

1.c



→ e = .................



Problemas para clase 1. La operación * está definida mediante la tabla adjunta; el resultado de efectuar la operación: (a * b) es: * a b c



a a b c

b b a c

c c c a

2. En la siguiente tabla se define el operador *. * 1 3 5 7 2 3 1 -1 -3 4 7 5 3 1 6 11 9 7 5 8 15 13 11 9



a) a d) d

b) b e) a * c

c) c





Calcular: a) 6 d) 5

6(12 * 11) + 1@* 13 4*3

b) 4 e) 8

c) 3



3. Con los dígitos: 1, 2, 3, 4 se define la operación (*), como: a*b = a + b 2 Obteniéndose el cuadrado adjunto, que debe completarse. Se afirma, entonces, que los números de las líneas horizontales deben colocarse en los espacios vacíos. * 1 2 3 4 1 1 2 2,5 2 2 3 3 2 3 3,5 4 3 4

I. Primera línea: 0,5 II. Segunda línea: 1,5 y 2,5 III. Tercera línea: 1,5 IV. Cuarta línea: 2,5 y 3,5 De estas afirmaciones, son verdaderas: a) I y IV d) I y III

b) Solo II e) Ninguna



Son ciertas:



I. 16 * 1 = 5 I. El elemento neutro es cero. II. El operador * no es asociativo. III. El operador * es conmutativo. a) Solo I d) Solo IV

8. Si: a * b = a – b + 5 Calcular: (3 –1 * 5 –1) * 6 –1

c) II y IV

a) 299 28 299 d) 30

om

Hallar “x”: (1*x) * (3*0)=(2*2)*1 b) 2 e) 3 o 2

ic a

at

c) 3



s m n r

mn n r r s s m

Son ciertas:

a) -8 d) -10



b) -12 e) 9

c) -16



c) I, II



6. En el conjunto de los números reales "R", se define * mediante: a * b= a + b + 1.

b) 1/2 e) 1/5

c) 1/3



12. Se define la operación (*) en el conjunto: A = {m,n,p} * m n p m m n p n n p m p p m n

b) I, III e) Todas

c) 3

10. Dada la operación: a # b = a + b + 6, en el conjunto "R", hallar el elemento inverso de 4.

a) 1 d) 1/4

I. El operador # representa a una operación que cumple con una ley de composición interna. II. El operador # representa a una operación que cumple con la propiedad conmutativa. III. El elemento neutro respecto a # es (s). IV. El inverso de (s) es m.

a) Solo I d) Solo IV

b) 2 e) 0

11. En el conjunto de los números racionales "Q", se define: a @ b= 3ab. El elemento neutro de @ es:

# m n r s

r s m n

(a–1 : elemento inverso de "a")

a) 1 d) 4

5. Se define el operador # en el conjunto: A ={m,n,r,s} de acuerdo con la tabla adjunta: m n r s

c) 299 31

9. Definida la operación: m * n = m – 3 + n, en el conjunto de los números reales "R", calcular: L = (1-1 * 2) * 3-1

ww w.

a) 1 d) 0

b) 298 31 298 e) 29

1.c

3 3 2 1 0

m

2 2 0 3 1

at e

1 1 3 0 2

M

0 0 1 2 3

c) II, III

7. En el conjunto de los números reales "R", se define el operador # según: a # b = 0. ¿Qué propiedad verifica #? a) La operación # no es asociativa. b) La operación # no es conmutativa. c) Existe elemento neutro. d) No existe elemento neutro. e) Para cada elemento existe su inverso.

4. Si: * 0 1 2 3

b) III, IV e) Todas

Calcular "x" en:



(m –1 * p –1 ) * ( n –1 * x )=m –1

Siendo m-1 = elemento inverso de "m" a) p d) "p" o "m"

b) n e) "m" o "n"

c) m



• Calcular: "x" [3 * (x * 4)] *1 = (4*2) * (3* 1) • Determinar si la operación es cerrada. • Determinar si la operación es conmutativa. • Hallar, si es que existen, el elemento neutro. y el elemento inverso de cada elemento. • Calcular: A =

3–1*2–1 4–1*1–1

Indicar la afirmación falsa: a) Existe un elemento neutro para cada operación. b) La operación es conmutativa. c) Todo elemento de "A" tiene un inverso respecto de "%". d) Si (4 % 1) % x = 3, entonces: x = 2 e) (2 % 3) % (3 % (4 % 1)) = 4

a) 1 d) 4

m

∆ 5 6 7

∇ 1 2 3 4

5 23 28 33

1 0 7 26 63

6 28 34 40

2 -1 6 25 62



4 -3 4 23 60

Calcular: (10∆3)(10∇250). a) 20 000 d) 20 100

b) 21 000 e) 2 100

c) 21 100

16. El operador * está definido mediante la siguiente tabla: * 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 3 4 1

3 3 4 1 2

4 4 1 2 3

4 4 3 2 1

b) 2 e) Cero

c) 3



*

p

n

m

p

m

p

n

n

p

n

m

m

n

m

p

Calcular : E=6(m * p - 1) * (n * m - 1) - 1@ a) m d) "m" y "n"

b) n e) "p" y "n"

c) p



19. En el conjunto: B={0; 1; 2; 3; 4}, se define el operador "*" mediante la tabla adjunta:

7 33 40 47

3 -2 5 24 61



18. Definimos la operación (*) mediante: Nota: a-1. elemento inverso de “a”.

at e

M

ww w.

15. Se definen las operaciones “∆”, “∇” en el conjunto "Z".

c) 2

Calcular "x" en: [(2-1*3)-1*x-1]*[(4-1*2)*4]-1=2 Siendo: x-1 elemento inverso de “x”

at



b) 4 e) 1 o 2

17. Se define en: A = {1; 2; 3; 4}. * 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 1 3 3 1 4 4 4 3 2

ic a

14. En: A = {1; 2; 3; 4} se define la operación "%" mediante la tabla adjunta: % 1 2 3 4 1 4 3 2 1 2 3 4 1 2 3 2 1 4 3 4 1 2 3 4

a) 3 d) 1

om



Hallar el valor de "x" en: [(2-1 # 3)-1 # x] # [(4-1 #2) # 3]-1 = 3 Siendo: x-1 elemento inverso de "x"

1.c

13. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} se define la operación representada por "*" mediante la siguiente tabla: * 3 1 4 2 4 3 1 4 2 1 2 4 1 3 2 1 3 2 4 3 4 2 3 1



* 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 p 2 3 q

2 2 3 0 r

3 3 0 1 3



Sabiendo que *representa a una operación conmutativa, es conmutativo, calcular: L = p-1 + 1-1 + q-1 Siendo: p-1 elemento inverso de "p" a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 6



20. En "R", se define la operación: m & n = 2mn. Entonces: I. La operación es cerrada. II. La operación es conmutativa. III. El elemento neutro es 1. Son ciertas : a) Solo I b) Solo II c) I, II d) II,III e) Todas

Tarea domiciliaria 1. En el conjunto de los números reales "R", se define el operador # según: a#b=0. ¿Qué propiedad no verifica #?

a) b) c) d) e)

La operación # es asociativa. La operación # es conmutativa. Existe elemento neutro. No existe elemento neutro. Para cada elemento no existe su inverso.

6. Dada la siguiente tabla:



2. En el conjunto Q={1; 3; 5; 7} se define la operación "∇" según la siguiente tabla: 7 3

7 3

1 5

5 1

3 7

1

1

3

7

5

5

5

7

3

1

Luego, sea x-1 el inverso de x∈Q. Según la operación ∇, hallar: -1 -1 E= 3 - 1 + 5 - 1 7 +1 b) 3/5 e) 3

c) 1



a) 2 d) 0

ww w.

M

3. Se define: a$b=a+b - 4 Hallar: M=(2-1$4)-1 $(6-1$8)-1 Donde a-1 es elemento inverso de "a" b) 1 e) 4

c) 3



4. Se define en el conjunto "Q", una operación simbolizada por #, de la siguiente manera: # 1 2 3 4

1 5 8 11 14

2 7 10 13 16

3 9 12 15 18

4 11 14 17 20

Calcular: (8#3) + (7#5) A= 4#8 a) 23/12 d) 61/28

b) 45/44 e) 61/29

c) 23/22

5. Se define: a*b=a+b+ab. Hallar: (3-1*2-1)-1 donde: a-1 es el elemento inverso de "a". a) 11 d) 3/4

b) 23/35 e) -12/5

c) 33/35

12 12 36 60

16 16 48 80

7. Se define: m#n=5mn/2 Donde: m-1 es el elemento inverso de "m". Calcular: -1 -1 -1 E=; c 1 m # c 1 mE# c 4 m 25 50 25 a) 120 d) 180

b) 200 e) 10

at

a) 1/3 d) 5/3

8 8 24 40

om

1

1.c

3

m



7

at e



5

4 4 12 20

Indicar verdadero o falso: I. La tabla muestra una operación conmutativa. II. El operador "*" representa a una operación que cumple con la propiedad asociativa. III. El elemento neutro es 3. IV. Considerando que a-1 es el elemento inverso de "a", entonces: (2-1*3-1)=1/25. a) VVFF b) VVFV c) VVVV d) FVFV e) FFVV

ic a



∇

* 5 15 25

c) 12



8. Se define en "R": a%b=a+b-4/3 a-1=elemento inverso de "a"; siendo 2-1 para dicha operación de la forma n/m; donde n/m es una fracción irreductible. Entonces "nm" es igual a: a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 0 9. Para la operación definida en el conjunto A={1; 2; 3; 5} mediante la siguiente tabla:



∇ 5 3 2 1

1 1 2 3 5

2 2 1 0 3

3 3 0 1 2

5 5 3 2 1

Se afirma: I. Es cerrada en el conjunto "A". II. Es conmutativa. III. Posee elemento neutro. Son ciertas: a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III e) Todas

10. En los Reales se define la operación: a%b=a+b+4ab, a ≠ -1/4. Hallar 4-1; donde: a-1 es el elemento inverso de "a". a) -4/17 b) -4/7 c) -4/15 d) 4/15 e) 1/4

11. Se define la operación binaria "" en el conjunto M={2; 3; 4; 5; 6; 7} mediante la siguiente tabla:  2 3 5 7 2 5 a p 3 7 q r a d 3 7 2 q m 5 2 q 5 c Si dicha operación es commutativa, además: c  c=2; entonces podemos afirmar que: I. La operación tiene elemento neutro. II. q-1  (c - 5)-1=3 III. Si (m-1  7)-1 =(d-1  x)-1; entonces: x=5 a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) II y III

M



1 1 3 0 2

2 2 0 3 1

3 3 2 1 0

Entonces, es falso: I. La operación es cerrada. II. El elemento neutro es 4. III. 0-1=0 ; 1-1=2 ; 2-1=1 ; 3-1=3 IV. 3-1*2-1=0 a) I y II d) I, II, III

b) II y III e) Todas

b) 9/28 e) 29/38

8 2 0 8 6 4

b) 7 e) 6

c) -28/9

a) 1 d) 4

c) 2





c) 3



= 4x - 5

Además: a*b = 4(a+b)+3 Calcular:



b) 2 e) 1 o 2 x

18. Si:

P=(3-1*4-1)-1 * ( 3

-1*

2

-1)-1

Se sabe que b-1 es el elemento inverso de "b". a) 16 d) 10

b) 14 e) 22

c) 23



19. Definimos el operador (*) en el conjunto de los números reales mediante la siguiente operación:



c) II y IV

14. Se define en los la operación matemática: m*n=m+n+(4/3)mn ¿Qué número no tendría inverso? ¿El inverso de qué número es la unidad? Dar como respuesta la suma de ambos resultados. a) -33/28 d) 28/33

6 0 8 6 4 2

om



ww w.



0 0 1 2 3

4 8 6 4 2 0

1.c

at

c) 2

13. Se define el operador (*) en el conjunto Q={0; 1; 2; 3} mediante la siguiente tabla: * 0 1 2 3

2 6 4 2 0 8

17. Dado: 1-1=1; 4-1=4; 2-1=3; 3-1=2. Además el elemento neutro toma su máximo valor en esta operación cerrada. Calcular: A=[(3&2)-1 & (4&1-1)]-1

[(2-1 * 3)-1 * x] * [(4-1 * 2) * 3]-1=1, siendo a-1 elemento inverso de "a". b) 1 e) 4

0 4 2 0 8 6

c) FVV

Calcular: M=[(2-1∆ 6-1)-1∆(6 ∆ 8-1)-1]∆ 4-1 a) 4 d) 1

4 4 3 2 1

Calcular "x", si:

a) 0 d) 3

∆ 0 8 6 4 2

ic a

3 3 1 4 2

b) VVF e) VVV

16. Se define:

m



2 2 4 1 3

Indicar (V) o (F) I. (32)2=122 II. La operación es conmutativa. III. La operación  tiene elemento neutro. a) VFV d) FVF



at e



1 1 2 3 4



c) Solo III

12. Definimos en el conjunto: A={1; 2; 3; 4} * 1 2 3 4

15. Se define: ab=3ab+2 , ∀ a,b ∈ R

a*b= 2a + b 2 Hallar el elemento neutro respecto al operador (*): a) 0 d) -1

b) 1 e) No existe.

20. Definida la operación en

c) 2

:



a#b=a+b+8



¿Cuál es el elemento inverso de -26? a) 8 d) 10

b) -12 e) 9



c) -16



Problemas resueltos



• Primero hallaremos qué día de la semana será el 15 de febrero de 2014. • Años transcurridos = 75 • Años bisiestos 2012 - 1940 + 1 = 19 4 º Luego: 75+19=94= 7 S +3

• Marzo : 31 • Abril : 12 º 13+31+12=56<>7



Rpta.: Jueves

13

2. Cierto reloj se adelanta cuatro minutos cada cinco horas. ¿Qué hora será en realidad cuando el reloj marque las 11:00 h, si hace 20 horas que empezó a adelantarse?

Resolución Pasan







m

x

-1

x-1

m+3

Rpta.: x=

(n2 + 1) (m + 3) + m m

Se adelanta



5 minutos 720 minutos 5x=720 x=144 h



Rpta.: Tienen que pasar 144 h o 6 días

5. ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 19 horas, 20 minutos, 15 segundos?

4 minutos



20 h

x



5x=20(4) x=16 minutos • Dicho reloj tiene 16 minutos de adelanto; es decir, está marcando 16 minutos más • Luego: Hora=11:00 - 16 minutos=10:44 real

Resolución Observación: Cuando un reloj se empieza a atrasar o adelantar, para que este reloj vuelva a marcar la misma hora se tiene que atrasar o adelantar 12 horas (720 minutos). Se adelanta Pasan 1h x

5h

Rpta.: 10:44

n2+1

4. Un reloj se empieza a atrasar cinco minutos por cada hora que pasa. ¿Cuánto tiempo como mínimo debe pasar para que este reloj vuelva a marcar la misma hora que el reloj normal?

ww w.

123

Del: 15 Al : 28



-1

at



Febrero

m

•

at e





n2+2

ic a

3

Jueves Entonces: 15/02/2014 → Jueves 12/04/2014 → ? Hallando los días transcurridos.

M

Lun

S+



Resolución: • Recordemos que se deben considerar los intervalos de tiempo. Intervalos Tiempo Campanadas

om

Resolución

Resolución



α=± 11 M 30H 2 Usaremos la fórmula Debemos convertir el dato para poder aplicar la fórmula: 19 h 20 min 15 seg <>07:20 1 p.m. 4 Luego: α= 11 ⋅(20 1 )+30(7) 2 4 α =98,7º



Rpta.: 98,7º

±



3. La campana de una iglesia suena (n2+2) veces en "m" minutos. ¿Cuántas veces sonará dicha campana en (m+3) minutos?

1.c

1. Si se sabe que el 15 de febrero del año 1939 fue lunes, ¿qué día de la semana será el 12 de abril del año 2014?

Nota: el horario lleva el signo (+) pues está más cerca de las 12 (en sentido horario).

Problemas para clase 1. El campanario de una iglesia toca siete campanadas en 12 segundos. ¿Cuántos segundos demora en dar 10 campanadas? c) 12

2. Un reloj demora (m + 2) segundos en tocar (m2 + 2m + 1) campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en un minuto? a) 30 m d) 60 m+1

b) m+1 e) 60 m - 1

b) 6 e) 8



c) 4

Número de días de la semana que más aparecen o se repiten (cinco veces)

Indica que el mes tiene:

1 día

29 días

2 días

30 días

3 días

31 días

10. Carlos pregunta: "¿Qué hora es?" y le responden: "Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12. Además, dentro de 13 minutos faltará para las 13 la misma cantidad de minutos que habrán pasado desde las 11 hasta hace 7 minutos". ¿Qué hora es?

M

b) 3n(n-1) / n d) m/ n

ww w.

a) (3n+1) / (n-1) c) 3n(n-1) / m e) (mn+1)/ (mn-1)

at e

m

at

ic a

4. El campanario de una iglesia indica las horas con igual número de campanadas. Si para indicar las “n” horas tarda “m” segundos, ¿cuántas horas habrán transcurrido, desde el instante en que empleó “n” segundos para indicar dicha hora hasta el instante en que utilizó “4n” segundos para indicar la hora correspondiente?

5. Si el 7 de febrero de 1984 fue viernes, entonces el 10 de abril de 1984 fue: a) Lunes d) Domingo

b) Viernes c) Sábado e) Martes

6. Si el 10 de febrero de 1972 fue martes, ¿qué día fue el 29 de diciembre de ese mismo año? a) Martes d) Viernes

b) Miércoles c) Jueves e) Lunes

7. Si el 6 de marzo de 1950 fue sábado, ¿qué día fue el 6 de marzo de 1973? a) Sábado d) Viernes

b) Lunes e) Domingo

c) Martes

8. Si el 28 de julio de 1948 fue lunes, ¿qué día será el 5 de agosto del año 2018? a) Lunes d) Domingo

b) Martes e) Viernes

c) Miércoles

b) Miércoles c) Viernes e) Domingo

Observación:

c) m

3. La campana de una iglesia emplea 12 segundos en tocar tantas campanadas como segundos transcurren entre campanada y campanada. ¿Cuántas campanadas tocará en 20 segundos? a) 7 d) 5

a) Martes d) Lunes

om

b) 15 e) 18

1.c

a) 16 d) 17

9. En un determinado mes existen cinco viernes, cinco sábados y cinco domingos. ¿Qué día de la semana será el 24 del mes que le sigue al mes en mención si todavía faltan más de dos meses para celebrar fiestas patrias?

a) 11:57 d) 11:56

b) 11:54 e) 11:55

c) 11:58

11. ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un reloj forman un ángulo de 130° por segunda vez? a) 2h 52 8/11min b) 2h 50 min c) 2h 49 3/11 min d) 2 h 51 min e) 2 h 47 3/10 min 12. En una mañana de sol, un árbol de 8 3 m de altura arroja una sombra de 8 m de longitud. ¿Qué ángulo forman las agujas en ese momento? a) 60° d) 340°

b) 70° e) 80°

c) 260°

13. ¿A qué hora, entre las 15 horas y 16 horas, las agujas de un reloj están superpuestas? a) 15h 17 min b) 15h 19 min c) 15h 19 7/11 min d) 15h 16 4/11 min e) 15h 17 7/11 min 14. Fabiana empieza una tarea cuando las agujas del reloj forman un ángulo recto entre las 2 y las 3, y termina cuando las agujas del reloj están superpuestas entre las 3 y las 4. ¿Qué tiempo duró la tarea? a) 45 min d) 78 min

b) 34 6/7 min c) 49 1/11 min e) 49 min

18. Un reloj se adelanta ocho minutos cada 15 minutos. ¿Qué hora marcará dicho reloj cuando en realidad sean las 7:54 h, si hace cinco horas que viene funcionando con este desperfecto?

15. ¿Qué hora indica el gráfico?

a) 10:44 h d) 10:24 h

19. Un reloj se atrasa seis minutos cada 20 minutos. ¿Qué hora será en realidad cuando dicho reloj marque las 14:48 h, si hace 3 h 20 min que viene funcionando con este desperfecto?

c) 2:55 7/8

16. ¿Qué hora indica el reloj de la figura?

a) 13:48 h d) 13:28 h

a) ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcurrir para que ambos relojes marquen la misma hora?

c) 1:39 5/9

b) 14:28 h e) 14:40 h

c) 14:35 h

M

ww w.

Tarea domiciliaria

at e

m

a) 14:32 h d) 14:24 h

b) ¿Cuánto tiempo como mínimo debe transcurrir para que ambos relojes marquen la hora correcta?

at

17. ¿A qué hora inmediatamente después de las 14:00 h, el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12?

om

a) 1:37 7/13 b) 1:38 4/9 d) 1:38 4/7 e) 1:38 9/11

c) 13:40 h

20. Dos relojes se sincronizan a la misma hora, a partir de cuyo instante uno de ellos se adelanta dos minutos por hora y el otro se atrasa tres minutos, también por hora.





b) 13:38 h e) 15:48 h

1.c

b) 2:53 1/7 e) 2:57 1/11

c) 10:25 h

ic a

a) 2:57 1/7 d) 2:57 7/11

b) 10:34 h e) 10:14 h

1. Un reloj da ocho campanadas en 16 s. ¿Cuántas campanadas dará en 80 s?

5. Si el 19 de agosto de 1994 fue martes, ¿qué día será el 15 de agosto del año 2007?





Rpta.: ....................................

2. Un reloj indica la hora tocando tantas campanadas como la hora indica en ese momento y además, toca tres campanadas cada media hora. ¿Cuántas campanadas se oirán en un día?

Rpta.: ....................................

4. Si el 17 de febrero de 1986 fue domingo, ¿qué día será el 28 de diciembre de ese mismo año?

6. En un determinado mes existen cinco lunes, cinco martes y cinco miércoles. ¿Qué día caerá el 18 del siguiente mes?

Rpta.: ....................................

Rpta.: ....................................

3. Un boxeador da 10 golpes en 4 s. ¿Cuánto tiempo demorará en dar 28 golpes?

Rpta.: ....................................

Rpta.: ....................................

7. Tránsito nació cuatro años exactos antes que Eucalipta. Tránsito nació el 28 de diciembre. Si la Navidad cae sábado, ¿qué día de la semana cae el cumpleaños de Tránsito?

Rpta.: ....................................

8. Si el 31 de julio del próximo año será martes, ¿qué día habría sido el 1 de agosto del año pasado que fue bisiesto?

Rpta.: ....................................

9. ¿Cuántos años bisiestos ha habido desde 1920 hasta 1986, inclusive?

Rpta.: ....................................

16. Dentro de dos días faltarán para terminar el mes de febrero tantos días como la mitad de los días transcurridos hasta hace seis días desde el inicio de dicho mes. ¿Qué día es, si febrero se encuentra en un año bisiesto?

10. Si el primer día de 1934 fue sábado, ¿en qué día empezará el año 1981?





17. ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas exceda en dos a los 3/8 del número de hojas que quedan?

Rpta.: ....................................

11. Si un mes empieza y termina en domingo, ¿qué día será el último día del siguiente mes? Rpta.: ....................................

12. Si el 15 de abril de 1980 fue sábado, ¿qué día habrá sido el 14 de julio de 1982? Rpta.: ....................................



Rpta.: ....................................

19. Si el 13 de marzo de 1972 fue jueves, ¿qué día habrá sido el 18 de agosto de 1990?

Rpta.: ....................................

ic a

13. Durante cierto mes se pueden contar más lunes y martes que los demás días de la semana. ¿Qué día fue el último día del siguiente mes? Rpta.: ....................................

at



18. ¿En qué día y hora del mes de abril del año 2000 se verificará que la fracción transcurrida de ese mes sea igual a la fracción transcurrida de ese año?

om



Rpta.: ....................................

1.c





Rpta.: ....................................

Rpta.: ....................................

ww w.



M

at e

m

14. Un reloj da (a+1) campanadas en a2 segundos, entonces, ¿cuántas campanadas dará en 3a segundos?

15. En una casa encantada hay un fantasma bastante especial: aparece cuando el reloj comienza a dar la medianoche y desaparece con la última campanada. El reloj tarda seis segundos en dar seis campanadas. ¿Cuánto dura la aparición del fantasma?

Rpta.: ....................................

20. Un reloj indica las horas con tantas campanadas como el número de horas transcurridas. Si para indicar las 8:00 h tardó 14 segundos en dar las campanadas, ¿qué hora indicó cuando tardó 22 segundos?

Rpta.: ....................................

Problemas resueltos

• Dato II: Mujeres: n+10 Hombres: n

H =2 M 3

Se determina la relación de la cantidad de hombres y mujeres pero no el total (insuficiente)

ww w.

Mujeres: 60%T Hombres: 40%T

No se conoce el total

• Si ambos datos son n = 2 insuficientes, se 3 n + 10 pueden juntar → T=50



Rpta.: C

2. La pregunta que a continuación se propone está acompañada de las informaciones I y II. Analizar e identificar la información suficiente para responder: la figura ABCD ¿es un cuadrado? Información: D C α I. α=45º II. Medida del ángulo ADC es 90º

a) b) c) d) e)

•

Solo la información I A B Solo la información II Ambas informaciones a la vez. Cada una de las informaciones por separada. La información brindada es insuficiente.

Dato I: α=45º D

C

45º

A

B

No necesariamente es un cuadrado (insuficiente) • Dato II: \ ADC=90º

om



C

1.c

D

A

B

(insuficiente)

at e

• Dato I:



m

Resolución

M



Resolución

at

a) La información I es suficiente. b) La información II es suficiente. c) Es necesario emplear ambas informaciones a la vez. d) Cada una de las informaciones, por separado, es suficiente. e) La información brindada es insuficiente.



• Datos: I y II D

45º

C

ic a

1. Se requiere determinar el número de asistentes a una reunión de padres de familia. Información brindada: I. El 60% de los asistentes son mujeres. II. El número de mujeres que asistieron excede en 10 al número de hombres. Para resolver el problema:



A

B

(insuficiente)

Rpta.: E

3. Una bolsa contiene bolas verdes, amarillas y blancas. Si en total existen nueve bolas, se desea saber de cuántas maneras distintas se pueden ordenar dichas bolas. Información brindada: I. Existen tres bolas verdes y cuatro blancas. II. Dentro de la bolsa existen, además, dos bolas amarillas. La pregunta se puede resolver, considerando:

a) b) c) d) e)

Solo la información I Solo la información II Ambas informaciones a la vez. Cada una de las informaciones por separado. La información brindada es insuficiente.



Resolución En total, la bolsa contiene nueve bolas:



Dato I: Verdes=3 Blancas=4 ∴ Amarillas=2 Al conocer la cantidad de cada color, es posible calcular de cuántas maneras se pueden ordenar (suficiente)

Dato II: No se puede conocer la cantidad de bolas verdes y blancas (insuficiente) Rpta.: A



Nota: Luego de analizar de manera independiente cada dato y determinar que uno de ellos es suficiente, no son necesarios ambos datos.

4. ¿Cuál es el valor de x? Información brindada: II. x<2 I. x2 - 2x=8 Para resolver este problema se requiere utilizar:

5. Determinar el valor de "n". Se sabe que n3 es un número de tres cifras. Información brindada: I. (n+3)3 es un número de cuatro cifras. II. n2 es múltiplo de 2.

a) La información I es suficiente. b) La información II es suficiente.

a) I solamente b) II solamente c) I y II conjuntamente d) I o II, cada una por separado e) Información adicional

c) Es necesario utilizar ambas informaciones. d) Cada una de las informaciones por separado, es suficiente. e) Las informaciones dadas son insuficientes.



Resolución



Dato I:

Dato II:



x2 - 2x=8

x<2



Se determina: x=4 x=-2 No se precisa el valor de "x" (insuficiente)

Existen infinitos valores (insuficiente)

(n+3)3=xyzw se cumple para n={7;8;9} (insuficiente)

n2=2 Se cumple para n={6;8} (insuficiente)

1.c

om

Dato II:

m



º

Datos I y II: Se cumple para n=8



Rpta.: C

at e

Calcular el valor de: E = (x2 + 2y)(x4 - 2x2y + 4y2) – (x2 - 2y)(x4 + 2x2y + 4y2) I. x = 2 II. y = 1 b) II e) F.D.

c) I y II

2. ¿Cuál es el radio del círculo de centro O? I. El área del círculo es 25π. I. El área del círculo dividido entre el diámetro del círculo es igual a π veces la mitad del radio del círculo. b) II e) F.D.

c) I y II

3. Si: y > 0, ¿cuál es el valor de x/y? I. x = 1/4 y II. y = 400% de "x" a) I d) I o II

Dato I:

M

ww w.

Problemas para clase

a) I d) I o II

De la información: n3=abc se deduce que n={5; 6; 7; 8; 9}



4

Rpta.: C

a) I d) I o II



ic a

2

x=-2

1.

Resolución

Datos I y II:

-2





at



Para resolver:

b) II e) F.D.

c) I y II

4. Hallar: E=m3 + 13 , m>0 m I. m2+ 12 =4 m II. m + 1 = 6 m a) I d) I o II

b) II e) F.D.

c) I y II

5. Si: P(x+3) – P(x) = 2x+1, hallar: P(4). I. P(0) = 2 II. P(1) = 3 a) I d) I o II

b) II e) F.D.

c) I y II

b) II e) F.D.

c) I y II

6. ¿Es x > y? I. x/y = 5/4 II. x2 > y2 a) I d) I o II

7. ¿Cuántas frutas tiene un árbol, si dicho número está entre 80 y 90? I. Si se cuentan de cuatro en cuatro, sobra una. II. Si se cuentan de seis en seis, sobra una. b) II e) F.D.

a) I d) I o II

c) I y II

8. ¿Cuánto gasté, si tenía S/. 240 para hacer compras? I. Gasté los 3/5 de lo que no gasté. II. Lo que no gasté excede en S/.60 a lo que gasté. a) I d) I o II

b) II e) F.D.

c) I y II

b) II e) F.D.

13. Determinar A + B, si: A + B = Cx + D x-2 x+5 x2 + 3x - 10 I. C = 3 II. D = 29 b) II e) F.D.

3

ab

a) I d) I o II

b) II e) F.D.

c) I y II

16. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 3x + a < 5x + b – 2x I. a – b < 0 II. b < a a) I d) I o II

ic a

c) I y II

12. Hallar el valor de "x", entero positivo: I. 5x < 7 II. x + 1 es un entero positivo. x a) I b) II c) I y II d) I o II e) F.D.

a) I d) I o II

II. a * b =

b) II e) F.D.

c) I y II



M=

AB A+B

I. A + B = 6 4 AB II. (A+B)2= 4AB

at ww w.

11. Si: a + b = b ; "a", "b" y "c" son enteros. c b+c Entonces, para hallar "b" se necesita: I. a + c = 20 II. ac = 64 a) I d) I o II



ab b*a

17. Si "A" y "B" son números reales y positivos, hallar:

at e

c) I y II

M

b) II e) F.D.

I. a * b =



10. Determinar si: x(3x + 5) es par. I. x es par. II. x es impar. a) I d) I o II

c) I y II

om

b) II e) F.D.

m

a) I d) I o II



c) I y II

9. Resolver la ecuación, hallando un único valor numérico para "x": p(2x – 1) + 3 = 4 – (p + 1) + q + x I. p = 2 II. q = 0; p≠1/2

b) II e) F.D.

15. Hallar: 2 * 4.

1.c

a) I d) I o II

14. En un triángulo ABC, AB = 7 m y AC = 2 m. Determinar el perímetro de dicho triángulo I. La longitud de BC es un número entero. II. El
c) I y II

a) I d) I o II

b) II e) F.D.

c) I y II

18. El signo de la expresión: xyz I. x2y2z< 0 II. x < 0 a) I d) I o II

b) II e) F.D.

c) I y II

19. Se tiene un mantel formado por paños rectangulares, de los cuales se conocen su superficie y el número de estos que conforman el mantel. ¿Con cuáles de los siguientes datos se pueden hallar las dimensiones del mantel si los paños están uno a continuación del otro? I. El perímetro del mantel II. Las dimensiones de los paños a) I d) I o II

b) II e) F.D.

c) I y II

20. Hallar la distancia entre la ciudad de “Anco” y “Cañaverales”. I. La distancia de “Anco” a “Puquero” es 40 km. II. La distancia de “Puquero” a “Cañaverales” es 30 km. a) I d) I o II

b) II e) F.D.

c) I y II

Tarea domiciliaria 1. Sean "p" y "q" dos números enteros. Entonces, para determinar cuál de ellos es siempre el mayor se requiere conocer además, la información dada: p (1) =3 q

(2) p q>0

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero 5. Una persona parte de una ciudad "P" y pasa por las ciudades "A", "B" y "C" sucesivamente. Se la "(1)" sola no lo es. puede calcular la distancia de "P" a "B", si se c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, sabe que: pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. (1) "S" es la distancia de "P" a "A". e) Si la información dada no es suficiente. (2) "Q" es la distancia de "P" a "C".

om

(1) Se encontraron 28 ruedas. (2) La cantidad de autos excede en 4 unidades a la de motos.

ic a



a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

1.c

2. En un taller de reparación hay ocho vehículos entre motos y autos. Determinar la información necesaria para responder a la siguiente pregunta: ¿Cuántos autos y motos hay en el taller?

ww w.

M

at e

m

at

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero 6. Entre Pablo, Sebastián, Nicolás y Ricardo se la "(2)" sola no lo es. comieron una torta. De la información dada en b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero (1) y (2), ¿cuál es la necesaria para determinar la "(1)" sola no lo es. quién fue el que más comió? c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. (1) Sebastián comió el doble que Pablo y el trid) Si cualquier afirmación sola es suficiente. ple que Ricardo. e) Si la información dada no es suficiente. (2) Nicolás ha comido más que Pablo y más que Ricardo. 3. Un comerciante se plantea obtener una ganana) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero cia de S/.1000, vendiendo 30 relojes de pulsera. la "(2)" sola no lo es. Para determinar esta ganancia debe conocer: b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero (1) El precio total de la compra la "(1)" sola no lo es. (2) El precio unitario de la venta c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. la "(2)" sola no lo es. e) Si la información dada no es suficiente. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, 7. "P", "Q" y "R" representan a tres personas: el pero ninguna sola. abuelo, el padre y el hijo. Si las relaciones que d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. a continuación se señalan se refieren a la edad, e) Si la información dada no es suficiente. entonces para determinar quién es el abuelo, el padre y el hijo, respectivamente, se debe cono4. En un salón de clases hay cierto número de cer que: alumnos. Para determinar cuántos alumnos hay (1) Q>P en el salón, se debe conocer que: (2) P+Q
b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero 11. ¿Cuál es el perímetro del cuadrilátero circunscrito? la "(1)" sola no lo es. a c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, (1) R=4 pero ninguna sola. (2) a=10 - b c d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. R e) Si la información dada no es suficiente. b

8. Para saber qué porcentaje de 16 es "m", se debe conocer que:

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

(1) "m" es el 5% de 10 (2) 400% de "m" es 2

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. 12. En un cuarto de círculo, hallar el perímetro de d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. A. e) Si la información dada no es suficiente.



B



(1) Perímetro de "B" (2) Perímetro del cuarto del círculo



at

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

1.c



(1) "x" e "y" son números consecutivos. (2) "x" e "y" son números mayores que 34.

ic a



om

A

9. Sea x+y=z. Para determinar si el número "z" es impar se debe conocer que:

ww w.

M

at e

m

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

10. Hallar la medida del \ x:

13. Si: AB=BC, hallar el área del triángulo ABC. (1) "D" es el incentro. (2) El \ B mide la tercera parte de un ángulo (1) BP=2 A llano. (2) MB=BN= 2 B

M

D x A

C

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.



B

P

N

C

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

14. ¿Cuántas cartas pueden escribir dos mecanógrafas en un día de trabajo? (1) Un día de trabajo tiene una duración de seis horas y 30 minutos. (2) Cuatro mecanógrafas pueden escribir 600 cartas en tres días de trabajo.

18. ¿Cuántas bolas rojas hay en una caja?

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente. 15. ¿Qué número de personas no votan en un país?

(1) Elevando al cuadrado el número de bolas rojas se obtendría el mismo resultado que multiplicando por tres dicho número. (2) Hay diez bolas en la caja. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

ww w.

M

at e

m

at

ic a

1.c

om

(1) Solo pueden votar los mayores de 20 años. (2) Este país tiene una población total de 5 362 486 personas. 19. Un colegio tiene un auditorio con 25 filas de asientos. Cada fila tiene de 30 a 35 asientos. Si a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero el auditorio está lleno, qué porcentaje del colela "(2)" sola no lo es. gio tiene cabida? b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. (1) El colegio tiene 2000 alumnos y 70 profesoc) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, res. pero ninguna sola. (2) La media de asientos por fila es de 32. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero e) Si la información dada no es suficiente. la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero 16. ¿Cuánto mide la circunferencia de un círculo? la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, (1) El radio es 4. pero ninguna sola. (2) La superficie es 16π. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero e) Si la información dada no es suficiente. la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero 20. Se cayó un canasto con 90 huevos, de los cuala "(1)" sola no lo es. les 60 eran blancos. ¿Cuántos huevos de color c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, se quebraron? pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. (1) Los huevos blancos que no se quebraron son e) Si la información dada no es suficiente. 53. 17. ¿Cuánto pesa Miguel? (1) Si Miguel midiera 5 cm más, pesaría 12 kg más. (2) Si Miguel midiera 5 cm más, su peso se incrementaría en un 10%. a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es.

(2) Se quebró una docena de huevos.

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente.

Problemas resueltos

Ingresantes

2. Si el 10% de los ingresantes de los colegios religiosos en el año 2005 está representado por mujeres, de las cuales el 50% pertenecieron al tercio superior de sus respectivos colegios, ¿qué cantidad es esa?

Resolución

• •

Los ingresantes de cole- gios religiosos en 2005 10%×5800=580 son el 10% del total El 10% de 580 son  10%×580=58 mujeres

•

El 50% perteneció  50%×58=29 al tercio superior

2006 I

2006 II

Ingresantes de diversos colegios 10%

15%

M

2006

50% 40%



Rpta.: 29

3. Respecto a la información brindada en el diagrama de barras mostrado

ww w.

2005

m

2005 II

at e

2005 I

at

ic a

1.c

3000 2900 2800 2700 2600 2500 2400 2300 2200

om

Gráfico (1-2) Los gráficos adjuntos representan el resultado de un estudio realizado sobre los ingresantes a una universidad nacional durante los años 2005 y 2006.

Producción de lápices en millones 12

60%

9

25%

6 3

Nacionales

Particulares

Religiosos

1. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de alumnos que ingresaron de colegios nacionales en 2006 y los de colegios particulares de 2005? Resolución



Analizando: • Ingresantes 2005  5800 • Ingresantes 2006  5400



•

Ingresantes colegios nacionales 2006 → 60%×5400=3240



•

Ingresantes colegios particulares 2005 → 40%×5800=2320



Piden: 3240 - 2320 = 920

123



Gráficos de barras

Rpta.: 920

2002 2003 2004 2005 2006



años

Es correcto afirmar: a) El promedio de producción de los últimos tres años supera al promedio del total de años. b) El promedio de producción de los cuatro primeros años supera al promedio del total de años. c) El promedio de producción del segundo, tercer y cuarto año supera al promedio de producción de los últimos tres años. d) El promedio de producción del segundo y cuarto año es mayor al promedio de producción de los primeros cuatro años. e) El promedio de producción del primer y tercer año es igual al promedio de producción del segundo y cuarto año.



Resolución



Analizando cada alternativa:



A) 3 + 6 + 9 < 12 + 9 + 3 + 6 + 9



B) 12 + 9 + 3 + 6 < 12 + 9 + 3 + 6 + 9 (falso) 4 5



C) 3 + 6 + 9 = 12 + 9 + 3 + 6 + 9 (falso) 3 5 D) 9 + 6 = 12 + 9 + 3 + 6 (falso) 2 4 E) 12 + 3 = 9 + 6 (verdadero) 2 2





3

2k → 60º

5

(falso)



30º ↑ k



Luego:

6

M

m

at e

60º

M

I

ww w.

C.S.

M

D



6000

k<>300

5000

3k<>900

6000

k<>300

Postulantes = 6000 = 20 Ingresantes 300 1

II. De la tabla (V)



c) Solo III



Resolución



Del gráfico circular obtenemos la cantidad de ingresantes a cada especialidad.



12k=3600 → k=300

C.S. Postulantes = 5000 = 50 Ingresantes 900 9



(V)

(V)

Rpta.: E

5. El gráfico I muestra lo que gana por hora un operario, y el gráfico II, la cantidad de horas que labora por cada día. Gráfico I

Gráfico II

S/.

I. A Medicina, de cada 20 postulantes ingresó uno. II. A Derecho ingresaron 1500 postulantes. III. La relación postulantes / ingresantes es mayor en Ingeniería que en Ciencias Sociales. b) Solo II e) Todas

2k<>600



Indicar las afirmaciones correctas:

a) Solo I d) I y II

8000

Medicina Ciencias Sociales Arte

I.

Total de ingresantes: 3600

Ingeniería

III. Ingeniería Postulantes = 8000 = 40 Ingresantes 600 3

Especialidades

A

5k<>1500





C S

D

4

A

7000

ic a

5

Derecho

om

7

Ingresantes

1.c

I

Arte Derecho Ingeniería Medicina Ciencias Sociales

Postulantes

at

8

30º ↑ k

M

150º ↑ 5k

4. El gráfico de barras muestra el número de postulantes en cada especialidad y el gráfico circular indica el porcentaje de ingresantes por especialidad. A. D. I. M. C.S.

C.S

A D

Rpta.: E

Miles

90º ← 3k I

40

10

30

8

20

6

10 L M M J V S D



Horas

días

4 L M M J V S D

días

Indicar la alternativa correcta: a) El día jueves gana el 42% de lo que percibe el día martes. b) El día viernes gana el 50% de lo que percibe el día domingo. c) Lo que gana los días sábado y domingo supera a lo que percibe los días martes y viernes.

d) Los días lunes, miércoles y viernes gana más que los días martes, jueves y sábado. e) El ingreso que percibe trabajando los días miércoles, jueves y domingo es menor al que percibe trabajando los días martes, sábado y lunes.

Resolución



Analizando, se halla lo que gana día a día: Lunes = 10×S/.10=S/.100 Martes = 8×S/.40=S/.320

Miércoles = 8×S/.30=S/.240 Jueves = 6×S/.20=S/.120 Viernes = 8×S/.20=S/.160 Sábado = 8×S/.30=S/.240 Domingo = 6×S/.40=S/.240

Evaluando cada alternativa se deduce que la única correcta es la "E".



Rpta.: E

Problemas para clase Enunciado (1-2) Una discoteca del centro de Lima muestra en el gráfico adjunto las cantidades promedio de hombres y mujeres que acuden a su local cada uno de los días de la semana:

Enunciado (3-7) La comercializadora "El pollón" se dedica a la venta de alimento balanceado para pollos. El siguiente gráfico muestra el precio de venta en función de la cantidad de kilogramos deseados:

1.c

om

Personas

IV. Las cantidades mínimas entre ambos sexos se dio en diferentes días. a) VVFV b) VFVV c) VFFF d) FVFV e) VVVV

M

J Mujeres

V

S

M

M

DÍA

ww w.

L Hombres

at e

m

at

ic a

400 350 300 250 200 150 100 50

Además, se sabe que el precio de las entradas es de: • Lunes a jueves: S/. 20 • Viernes y sábado. S/. 40 • PROMOCIÓN: los miércoles las chicas no pagan. 1. ¿Qué porcentaje del total de personas que acuden los jueves son hombres? a) 32,5% d) 40%

b) 37,5% e) 35%

c) 42,9%

2. Considerando la cantidad mínima y la cantidad máxima de hombres y mujeres que asistieron en cualquier día, indicar verdadero o falso: I. En ambos casos, la suma del número de hombres y el número de mujeres es la misma. II. La cantidad máxima del número de hombres es el 700% más que la cantidad mínima de mujeres. III. Las cantidades máximas entre ambos sexos se dio en diferentes días.

Precio (S/.)

120 90 50 10

20

30

Peso (kg)

3. ¿Cuánto se debería pagar si se desean adquirir 7 kg del alimento balanceado? a) S/. 28 d) 38

b) 32 e) 42

c) 35



4. Si se pagaron 78 soles, ¿cuántos kilos se adquirieron? a) 16 kg d) 19

b) 17 e) 16,5

c) 18



5. Si se compraron 40 kg, ¿cuánto se pagó? a) S/. 135 d) 160

b) 142 e) 150

c) 145



6. Si se pagan S/. 77,04 por kilogramo de alimento balanceado para pollos, ¿cuántos kilogramos se adquirieron? a) 15 kg d) 16,5

b) 15,5 e) 16,76

c) 16



7. Si el 1 de enero se compraron 25 kg y el 15 de enero, 15 kg, ¿cuánto se habría ahorrado si el 1 de enero se compraban los 40 kg?

I. Con el aumento de actos delictivos, disminuye el flujo de entrada de extranjeros.



II. Hay temporadas altas de entrada de extranjeros, al margen del número de actos delictivos.

8. Gráfico: Presión - Velocidad - Temperatura

III. Los actos delictivos aumentan más rápidamente con la entrada de extranjeros.

b) 20 e) 30

c) 22

a) Solo I d) Solo II

Presión Temperatura Velocidad

escala

c b a tiempo I



II

III

b) I y II e) Solo III

c) II y III

10. En enero de 2006, un inversionista compró acciones de la empresa "A", "B" y "C", por un monto de 36 000 dólares en las proporciones indicadas en el gráfico I. En el gráfico II se muestra la variación de los precios de cada acción de enero a diciembre. Determinar el monto de las acciones en total en el mes de diciembre.

IV

Gráfico II

De la información brindada por el gráfico, indicar las alternativas verdaderas o falsas.

Gráfico I

$/acción

A

I. La temperatura tiene una tendencia creciente en el tiempo. II. La presión y la temperatura tienen la misma tendencia. III. La presión y la velocidad tienen la misma tendencia. IV. La presión y la velocidad tienen tendencias opuestas.

1.c

150

om

a) S/. 15 d) 25

ic a

90

120

B

at

C

B

30 25 20 15 10 5

C

A

junio

diciembre

a) $ 34 500 d) 37 500

c) VVFF

M

b) FVVF e) FFFV

ww w.

a) FVVV d) FFVF

at e

m

enero

30 25 20 15 10 5

9. El gráfico muestra el movimiento de entrada de extranjeros (ME) y el número de actos delictivos (ND) en el año 2006.

c) 35 500

11. Para la aprobación del TLC con China, se reunieron los 120 congresistas del Parlamento Nacional y emitieron su voto. Los resultados se muestran en la tabla adjunta. Tipo de voto

Número de congresistas

A favor

a

180

En contra

b

150

Abstención

c

120

Total

120

Miles

90 E F M A M J J A S ON D

Meses

Movimiento de entrada de extranjeros Números de actos delictivos



b) 32 600 e) 38 500

Del análisis de la información brindada, se puede afirmar:



Se pudo observar que el número de votos favorables superó en 20 a los desfavorables y en 40 a las abstenciones. Si la mitad de quienes se abstuvieron pertenecen al partido PEM, calcular la cantidad de congresistas de ese partido político. a) 5 d) 12

b) 8 e) 14

c) 10



Enunciado (12-13) Para las próximas elecciones se ha realizado una encuesta para saber la opción de voto de las personas, de las cuales, las que votan por "B" se dividen en tres clases socioeconómicas. D 40%

Enunciado 15 - 16 Un restaurante se dedica a la venta exclusiva de caldo de gallina (S/. 7 el plato). El gráfico siguiente muestra los volúmenes de venta por día de la semana: Cantidad de platos vendidos

A 5%

40

B 30%

30 20 10 L

M

Mi

J

V

S

DÍA

D

15. ¿Cuál es el ingreso promedio diario por la venta de caldo de gallina? (En soles).

C 25%

a) 180 d) 150

SOLO VOTARON POR EL CANDIDATO "B" Nº de personas

b) 200 e) 275

c) 300



16. Si asumimos que algunos días de la semana hubo una variación en la cantidad de platos vendidos, tal como lo indica la tabla:

36

DÍAS

LUN

om

60

MIER

JUE

VIER

SAB

DOM

-40%

+50%

0%

-30%

+60%

0%

Entonces: a) ¿Cuántos soles más se hubieran recaudado? b) ¿Cuál fue la variación porcentual en la cantidad de platos vendidos?

MEDIA

BAJA

Clase socioeconómica

at e

m

ALTA

at

ic a



1.c

VARIACIÓN +10%

24

MAR

b) 6% e) 30%

c) 20%

ww w.

a) 3% d) 40%

M

12. ¿Qué porcentaje del total representan los que votaron por "B" en clase media?

13. Si el 50% no votaría por ningún candidato, estos representan, en cantidad de personas: a) 200 d) 600

b) 400 e) N.A.

c) 800





AÑO

PRECIO (S/.)

CANTIDAD

2000

25

170

2001

30

200

2002

40

350

¿Cuál es la variación porcentual entre lo que recaudó la compañía en el año 2002 con respecto al año 2000? a) 119,4% d) 229,4%

b) 129,4% e) 19,4%

Enunciado (17-20) El gráfico muestra la producción de dos tipos de fideos en una fábrica de pastas (en miles de kilogramos): Fideo envasado 210

2002

80

c) 219,4%

2000

Fideo a granel

200

2001

14. El siguiente cuadro muestra los precios unitarios y las cantidades vendidas de un artículo por una compañía, en tres años diferentes:



a) S/.70 y 5% b) S/.75 y 15% c) S/.75 y 5% d) S/.70 y 10% e) S/.100 y 5%

75 140 55

1999

1998

150 60 160 70

17. Respecto de los fideos envasados, ¿en cuáles de los siguientes años se tiene una producción mayor al promedio de la producción de este tipo de fideos en los cinco años? I. 1998

II. 2001

III. 2002

a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) II y III

c) Solo III

18. Respecto de los fideos a granel, ¿cual de las siguientes afirmaciones es verdadera? a. La producción en el año 2000 sufrió una caída de 10% con respecto al año anterior. b. La producción en el año 2001 se incrementó en un 35% con respecto al año anterior. c. El promedio de producción por año es de 65 mil kilogramos con respecto a los años dados. d. La producción en el año 2002 se incrementó en más de 5% con respecto al año anterior. e. La producción en el año 2003 se habría de incrementar por lo menos 3% con respecto al año anterior.

19. Respecto de los fideos envasados, ¿en qué año la producción fue el 75% del año anterior? a) 1998 d) 2001

b) 1999 c) 2000 e) En ningún año

20. ¿En qué periodo el incremento porcentual de los fideos envasados fue mayor al incremento porcentual de los fideos a granel? a) 1998-1999 c) 2000-2001 e) 1998-2000

b) 1999-2000 d) 2001-2002

Tarea domiciliaria Gráfico (1-5) 6. El gráfico muestra las inversiones en cuatro ruEl siguiente gráfico muestra los ingresos de 250 bros de una cuenta de S/. 37 810: empleados del colegio Trilce durante el mes de B C 9% enero de 2007.

om

D

A

34%

ic a



1.c

60



at

50

20

m

30 10

Si la suma de las inversiones en los rubros "B" y "C" es de S/. 9830,6, ¿cuántos nuevos soles se invirtieron en el rubro "A"? a) 6427,7 d) 15 124

Sueldo (S/.)

M

400 600 800 1000 1200 1400 1600

at e

Número de trabajadores

80

b) 12 558 e) 15 142,7

c) 12 855,4

ww w.

1. ¿Cuántos trabajadores ganan más de 700 soles y 7. La gráfica circular muestra la distribución del menos de 1300 soles? presupuesto de una familia a) 170 b) 165 c) 175 d) 155 e) 180 otras 5% Comida

2. Si el K% de los trabajadores ganan entre 600 y 1025 soles, determinar el K% de "K". a) 16 d) 9

b) 25 e) 12

c) 36

Eduación

Casa

3. El ingreso medio es: a) S/. 924 d) 932

b) 918 e) 916

Diversión

c) 926





4. ¿Cuántos trabajadores ganan menos del ingreso medio? (Aproximadamente) a) 125 d) 115

b) 120 e) 112

c) 118



5. ¿Qué fracción del total gana menos de 1150 soles? a) 3 5 d) 7 10

b) 2 5 e) 9 10



c) 4 5

Salud

Si el ingreso familiar es de 3600 soles, indicar las afirmaciones correctas. I. El presupuesto para gastos de educación es de 720 soles. II. Si usaran la tercera parte del presupuesto de diversión en el rubro salud, podrían gastar hasta 480 soles en salud. III. En casa y educación gastan 1440 soles. a) Solo I d) I y II

b) Solo II e) Todas

c) Solo III

Gráfico (8-9) El gráfico adjunto representa las ventas de una empresa de vehículos durante un mes y medio. Se sabe que en la primera semana se vendieron 23 camionetas menos que el total de motos y autos; y que en la segunda semana se vende 1/3 menos de camionetas que las vendidas en la primera semana.

11. ¿Qué valor tiene el auto después de tres años de comprado? a) $ 14 400 d) $ 12 600

a) 8 años d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

15

a) 20 d) 22

Camionetas

b) 21 e) 25

c) 18

Motos

Otros

Otros C

8. ¿Cuál de los vehículos vendidos tiene la mayor variación porcentual y en qué periodo se produjo dicha variación?

b) Semana 2 e) Semana 5

c) Semana 3

Gráfico (10-13) El siguiente gráfico muestra cómo se deprecia el valor de un auto a través del tiempo: Valor($)

45% B

D

30% F

14. ¿Cuántos prefieren el producto "B"? a) 45 d) 200

b) 100 e) 225

c) 175



15. ¿Qué porcentaje del total prefiere "E"? a) 6% d) 45%

b) 9% e) 90%

c) 11,25%

16. ¿Qué porcentaje representan los que prefieren "E" con respecto a los que prefieren "B"? a) 10% d) 60%

b) 20% e) 100%

c) 40%

El siguiente gráfico muestra el total de bosques del Perú (% de participación):

18000 9000

Bosques productivos 66%

3000 5

15

años

10. Un auto con más de cinco años de antigüedad, ¿cuántos dólares por año disminuye su valor? a) 500 d) 1000

om

1.c

ic a

ww w.

M

9. ¿En qué semana se vende el 50% de los vehículos vendidos en la tercera y quinta semana? a) Semana 1 d) Semana 6

45% 20%

at

m

Motos; de: semana 4 a: semana 5 Autos; de: semana 4 a: semana 5 Camionetas; de: semana 4 a: semana 5 Motos; de: semana 5 a: semana 6 Autos, de: semana 3 a: semana 4

35%

E

5%

20%

A

at e



a) b) c) d) e)



Gráfico (14-16) El gráfico muestra las preferencias de 500 personas entrevistadas acerca de los siguientes productos:

SEMANA SEMANA SEMANA SEMANA SEMANA SEMANA 1 2 3 4 5 6 Autos





13. Suponiendo que la tendencia del gráfico continúe luego de los 15 años, ¿a los cuántos años el auto no tendría valor?

20 10 5 0

c) $ 12 800

12. ¿Qué antigüedad tiene un auto cuyo precio es $ 4800?

VEHÍCULOS VENDIDOS 35 30 25

b) $ 23 400 e) $ 11 800

b) 600 e) 800

c) 400



Bosques no productivos 34%

Ayacucho 9%

Cusco 5%

18. ¿Cuál es la relación entre la producción de San Martín y el total de bosques productivos?

Puno 2% San Martín 35%

a) 1/4 d) 35

Junín 14%

b) 11/20 e) 7/20

c) 119/340

19. Si la diferencia entre la producción de Huánuco y Pasco es de 14 mil toneladas, ¿cuál es la diferencia, en miles de toneladas, entre San Martín y Puno?

Pasco 14%

Huánuco 21% BOSQUES PRODUCTIVOS

a) 60 d) 74

b) 70 e) 132

c) 66



17. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son cier20. ¿Qué porcentaje del total de bosques del Perú tas? representa la producción de Puno? I. El ángulo central que corresponde a la para) 2% b) 33% c) 17% ticipación de Ayacucho en los bosques prod) 1,32% e) 0,68% ductivos mide 34,2º.

M

at

at e

m

b) I y III d) Todas

ww w.

a) I y II c) II y III e) Ninguna

1.c

ic a

III. El ángulo central que corresponde a la participación del Cusco en los bosques productivos es mayor en 10,8º al que le corresponde a Puno.

om

II. El ángulo central que corresponde a la participación de Junín en los bosques productivos mide 50,4º.

Problemas para clase

c) 16



2. Si al año en que cumplí los 12 años se le suma el año en que cumplí los 16 y se le resta la suma del año en que nací con el actual, se obtendrá seis. ¿Qué edad tengo? c) 20



ww w.

M

at e

3. Paul le dice a Yuri: "Cuando tengas lo que yo tengo, es decir, el triple de lo que tenías cuando yo tenía cuatro años menos de los años que tienes, nuestras edades sumarán 68 años". Yuri a su vez, le dice a Calichi: "Cuando tengas lo que yo tengo, yo tendré cinco veces lo que tenías cuando yo tenía lo que tú tienes". ¿Qué edad tendrá Calichi cuando Paul tenga el triple de lo que tiene actualmente? a) 44 años d) 74 años

b) 85 años e) 66 años

c) 58 años

4. Dos móviles m1 y m2, separados 4000 m van al encuentro uno del otro con velocidades de 30 m/s y 20 m/s, respectivamente. Una paloma sale del móvil m1 con una velocidad de 70 m/s y se dirige hasta tocar el móvil m2, luego regresa a m1 y así, sucesivamente, hasta que se encuentran los móviles. ¿Qué espacio recorrió la paloma hasta el momento en que se encontraron los dos móviles? a) 4000 m d) 5600

b) 3200 e) N.A.

c) 14,5

x (m - 1) 1-n d) mx (1 - n)

a)

c) xn 1-m

b) xn m e) nx n-m

7. Un caño vierte "x" l en "y" horas y un desagüe arroja "w" l en "z" horas. Estando vacío un depósito y actuando los dos juntos, lo llenan en “T” horas. Calcular la capacidad del depósito.

at

b) 32 e) 26

m

a) 22 d) 24

b) 13,5 e) 15,5

6. En un negocio, Deborah pierde m/n partes de su capital; si aún le quedan "x" soles, ¿cuánto tenía al empezar el negocio?

om

b) 19 e) 18

a) 15 d) 16,5

1.c

a) 24 d) 14

luego "B" se encuentra con "C" y cuatro minutos después se encuentra con "D". ¿Qué distancia en km, separa a "A" y "B" a las 9:00 horas?

ic a

1. En el último día del año 1995 fue el cumpleaños de Valentina. Estando reunida con sus amigas, sumaron los años de nacimiento de cada una de ellas; luego sumaron sus respectivas edades para finalmente juntar las sumas, obteniendo 29 925. ¿Cuántas amigas asistieron al cumpleaños de Valentina?

c) 6400

xyz - w m xy xy - zw c) T c m yz yz - xw e) T c m yz a) T c

(xz - yw) yz xy - z d) T c m yz

b) T

8. Si de una lata saco el 20% de lo que no saco y de lo que saco devuelvo el 25% de lo que no devuelvo, resulta que hay 208 litros en la lata. ¿Cuántos litros no devolví? a) 23 l d) 21 l

b) 24 l e) 35 l

c) 32 l

9. La base de un rectángulo aumenta sucesivamente en 20% y 20%, y su altura disminuye en 20% y 20%, sucesivamente. ¿En cuánto por ciento varió el área? a) 4,53% d) 7,84%

b) 2,34% e) 9,1%

5. A las 8:00 horas salen de “M” dos ciclistas "A" y "B" al encuentro de otros dos ciclistas "C" y 10. Dado: x = 64x - 63 "D" que vienen de "N" a una velocidad de 600 Calcular : -2 m/min, pero que salieron con cinco minutos de diferencia entre ellos. A las 8:15 horas se encuena) -2 b) 8 tran "A" con "C" y tres minutos después con "D", d) -11 e) 11

c) 5,56%

c) -10

VENTAS DE FANTASTIC BURGUER VENTAS DE FANTASTIC BURGER

Cantidad (miles)

11. Si: aa * b = b(b-a) Calcular: (2003*2002) x (2002*2003) a) 111 b) 11 c) 1 d) -1 e) -2001



12. Si: f(x3+1) = 14x calcular "a" en: f(f(2a+1)) = 42 a) 4 d) 5

b) 3 e) 9

c) 2

b) 14 e) 26

c) 23

Año 2001

b) 14 400 13 800

c) 16 000 e) 13 500

b) 13 e) 10

c) 12



Gráfico III Se está haciendo un estudio sobre la creación de regiones en el país. Para ello se ha agrupado a los departamentos en cuatro regiones. Los gráficos muestran la distribución de la recaudación anual entre las regiones, así como la distribución Recaudación por región en la región sur.

at e

Nº de panetones

m

200

at

CF

Recaudación por región

14. Si se desea vender los panetones a S/.12 y se quiere ganar S/. 2 por panetón, ¿cuántos panetones se deberán producir?

M

Región Oriente 19%

ww w.

Región Centro 36%

b) 600 e) 1200

c) 400

Región Norte 20%

15. ¿Cuánto se gana en cada panetón si se han producido 1500 panetones que han sido vendidos a S/. 11 cada uno? b) 1,4 e) 1,2

c) 1,0

Región Sur 25%

Recaudación en la Región Sur



Tacna 10% Moquegua 9%

Gráfico II “Parrillas & Chicken” nos muestra los precios de compra y de venta de su producto premium: “Fantastic Burger”, durante el periodo 1998 – 2001 15 12 10 8 5

1999

6

6

2000

2001

AÑO Precio de venta

Cusco Cuzco 16%

Arequipa 53%

Puno 12%

PRECIOS DE FANTASTIC FANTASTICBURGUER BURGER

Precio (s/.)

Año 2000

om

600

Precio de costo

Año 1999

ic a

I

1998

0

1.c

S

4

5

a) S/. 14 d) 11

CT = S + I + CF

a) S/. 1,6 d) 1,5

8

17. Si en el año 2001, por cada sol menos de ganancia se pueden vender 1000 unidades más, ¿cuál debió haber sido el precio de venta para ganar en dicho año 66 000 soles?

Costo (s/.)

a) 500 d) 800

12

10

a) 15 500 d)



Gráfico I Una empresa se dedica a la producción de panetones en caja. El gráfico siguiente muestra todos los costos en función del volumen de producción:

100

14

16. Para el 2002, el costo pronosticado es de 7 soles y se desea fijar un precio mayor en 0,75 soles que el promedio de los precios de venta para el periodo 1998 – 2001. ¿Cuántas hamburguesas deberán venderse para ganar igual que en el año 2001?



Calcular: S=[(3-1*4-1)-1*( 3 -1* 2 -1)-1]*1 Siendo a-1 el elemento inverso de "a". a) 16 d) 10

15

15

Año 1998

13. Si: x = 4x - 5 ; además: a * b = 4(a + b) + 3

20

18. Si Tacna recauda anualmente 120 millones de soles, ¿cuánto recauda anualmente la Región Centro?

a) b) c) d) e)

960 millones de soles 1200 millones de soles 833,3 millones de soles 1728 millones de soles 912 millones de soles

19. Sin considerar la Región Centro, ¿qué porcentaje del país corresponde a la recaudación del Cusco? a) 7,25%

b) 6,25%

c) 4%



d) 5,75%

e) 3,50%

Gráfico IV La tabla muestra los costos de envío de encomienda de Lima a otros departamentos de acuerdo con el tipo de servicio y al peso de la encomienda: 2 kg Paquetes de hasta 2kg.

Recargo por kilogramo adicional o fracción (para los primeros 8 kilogramos adicionales) Recargo por kilogramo adicional o fracción (más allá de los 8 kilogramos adicionales)

Envío terrestre Terrestre

Envío aéreo

Envío expreso

S/. 1,5

S/. 2,5

S/. 4,5

S/. 0,4

S/. 0,6

S/. 1,2

S/. 0,2

S/. 0,4

S/. 0,8

20. ¿Cuál es el costo de enviar un paquete de 14,3 kilogramos de peso, si se elige el sistema de envío aéreo? a) S/. 3,5

b) S/. 5,7

c) S/. 11,8

d) S/. 8,9

e) S/. 9,3

Tarea domiciliaria

m at e

b) Solo II e) N.A.

c) II y III

ww w.

a) Solo I d) Todas

2. Si "D" no se sienta junto a "B", ¿dónde se sienta "F"? a) Entre "C" y "E" b) Frente a "D" c) Entre "B" y "C" d) Frente a "B" e) N.A. 3. Un barril lleno de vino cuesta S/. 900. Si se extraen 80 litros de vino costaría solamente S/. 180. Hallar la capacidad del barril (en litros) si se sabe que el barril vacío cuesta tanto como 10 litros de vino. a) 100 d) 82

b) 92 e) 90

c) 72

a) 9 d) 15

=6555 ;

b) 11 e) 18

b

om

1.c

a) Solo I d) I o II

5. Sabemos que: • Algunos "A" que son "B" no son "C".

c) Solo III

b) Solo II e) F.D

c) I y II

7. Si se sabe que cada figura le corresponde un número, entonces, ¿qué número le corresponde a la figura "M"?

a) 19 d) 20

=105

c) 12

b) Solo II e) II y III

6. Se desea hallar el número abba(7), sabiendo que es múltiplo de 6. Información brindada: I. "a" y "b" son cifras impares. II. a - b=4 Para resolver el problema es necesario:

11

n = n (n - 1) 2 Determinar el valor de a+b. (a ∈ IN), si: 4a2 + 75 a

a) Solo I d) I y II



4. Se define para Z+

• Todos los "B" son "A". • Ningún "A" es "C". Entonces: I. Ningún "B" es "C". II. Todos los "A" son "B". III. Algunos "C" no son "A". Son ciertas:

at

Se puede afirmar con certeza que: I. "C" se sienta entre "D" y "F". II. "D" se sienta frente a "B". III. "F" se sienta frente a "E".

M

1.



ic a

Enunciado (1-2) Seis amigos "A", "B", "C", "D", "E" y "F", se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Y se sabe que: • "A" se sienta junto y a la derecha de "B", y frente a "C". • "E" no se sienta junto a "C".



17

b) 18 e) 15

13

12

c) 17

Figura "M"



8. Se encienden simultáneamente dos velas de igual longitud y después de una hora se observa que una se ha consumido en su tercera parte y la otra, en su quinta parte. ¿Cuántas horas más tienen que transcurrir para que una de ellas tenga el triple de longitud que la otra? a) 0,5 d) 2,5

b) 1,5 e) 2

c) 1



9. Hallar la suma de cifras de: E=(333... 333) 2 144 4 2 44 43

a) 449 m d) 451 m

200 cifras

a) 900 d) 2700

b) 1200 e) 8784 b) 5984 e) 8784

c) 6984

400 30%

300 frecuencia

11. Todos los días una persona sale de su casa a la misma hora, y llega a su trabajo a las 8 horas 30 minutos. Cierto día triplicó su velocidad y llegó a las 7 horas 30 minutos. ¿A qué hora sale normalmente de su casa?

c) 50

b) 8 e) 6



c) 13



17. En la figura se muestran 300 estacas colocadas alternadamente cada 2 m y 1 m. Hallar la distancia "d" entre la primera y la última estaca. 2

1

2

1 d

4

5

6

7

8

9

10

calificaciones

b) 15,38% e) 27,07%

c) 16,66%

om

•

a) Si la afirmación "(1)" sola es suficiente, pero la "(2)" sola no lo es. b) Si la afirmación "(2)" sola es suficiente, pero la "(1)" sola no lo es. c) Si ambas afirmaciones juntas son suficientes, pero ninguna sola. d) Si cualquier afirmación sola es suficiente. e) Si la información dada no es suficiente. Dado el siguiente gráfico: Cantidad de alumnos

16. Se organiza una función de teatro en nuestro colegio. Si el Sr. Fernández paga S/. 6 por cada entrada le sobrarían S/. 16, y si paga S/. 7 por cada entrada, le sobrarían S/. 8. ¿Cuántas entradas compró?



3

ic a

at

at e

M

ww w.

c) Viernes

b) 35 e) 60

a) 11 d) 7

2

19. ¿Qué máquina fotocopiadora, "X" o "Y", hace las copias a la proporción más rápida? (1) La máquina "X" hace 90 copias por minuto. (2) En tres minutos, "X" hace 15 copias más que "Y".

m

c) Esposo

15. Si 14 cuadernos cuestan lo mismo que seis libros, ocho libros cuestan lo mismo que cinco maletines, tres maletines cuestan S/. 35, ¿cuántos soles tengo que gastar para adquirir 16 cuadernos? a) S/. 40 d) 45

1

a) 10,00% d) 18,18%

14. Cotita nació en el mes de mayo de 1980 un día domingo. ¿Qué día de la semana fue el cumpleaños de Cotita en 1990? b) Martes e) Sábado

10%

1.c

c) Primero

b) Sobrino e) Hermano

a) Lunes d) Jueves

15%

0



13. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? a) Tío d) Abuelo

20%

200

5%

12. Entre cuatro hermanos tienen S/. 64. Si al dinero del mayor se le añaden S/. 3, al segundo se le quitan S/. 3, se triplica el dinero del tercero y se divide entre tres el dinero del cuarto, resultará que todos tendrían la misma cantidad. Entonces, el que menos tiene es el: b) Tercero e) Quinto

25%

100

a) 7:10 horas b) 7:05 horas c) 7:00 horas d) 6:45 horas e) 6:30

a) Segundo d) Cuarto

c) 452 m

18. El gráfico de barras muestra las notas obtenidas por un grupo de alumnos y sus frecuencias. Indicar qué porcentaje de los alumnos obtuvo una nota entre 9 y 10.

c) 1800

10. Hallar: P=53+63+73+.... +123 a) 4785 d) 6103

b) 450 m e) 448 m

1

2

800 600 500 300

0

16

18

20

22

Edad (años)

20. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. La edad promedio de los alumnos está entre 18 y 19 años. II. El número de alumnos que tienen 16 o 22 años es igual al número de alumnos que tienen 18 o 20 años. III. El número de alumnos que superan la edad promedio del grupo es 1 100. a) I y III d) Todas

b) I y II e) Ninguna

c) II y III

Problemas para la clase 1. Pedro, a inicios del año 2010, compró 10 000 dóla- res y 10 000 euros. Al término del cuarto trimestre del 2010, cambia nuevamente sus ahorros a nuevos soles. ¿Qué porcentaje de su capital inicial en nuevos soles perdió durante el año 2010, si el comportamiento del tipo de cambio en las monedas mencionadas es el mostrado en las figuras adjuntas? nuevos soles/dólar 3,5

De las afirmaciones: I. En invierno estudia 3,6 horas menos que en verano. II. En verano duerme 2,4 horas más que en invierno. III. En verano emplea más horas en alimentarse y dormir que en estudiar. Son ciertas: b) Solo II e) Todas

om

a) Solo I d) II y III

1.c

3,0

c) I y II

III

IV

trimestres 2010

at e

dólar/euro

at

II

m

I



% de viviendas construidas

ww w.

M

1,6

3. Un plan constante de construcción de viviendas para 10 años, se inició en enero de 2006. ¿Cuáles de las siguientes figuras representaría el avance de tres años en los cuales se retrasa la décima parte de lo planificado?

ic a

2,8

1,45 1,3 I



II

a) 1,87% d) 20,00%

III

IV

b) 9,56% e) 21,70%

trimestres 2010

c) 18,75%

2. Un alumno universitario reparte (porcentualmente) su tiempo diario, tanto en invierno como en verano, en las siguientes actividades: asistir a clase (A), estudiar (B), tomar sus alimentos (C), dormir (D) y recrearse (E), según el gráfico que sigue:

63

a)

70

d)



actividad

B

C

D

E

c)

e)

Enunciado (4-5) Una distribuidora se dedica a la comercialización de cuatro marcas de bebida. El consumo total en el año 1980 fue de 40 000 unidades; y en el año 2000, de 100 000 unidades. Además, los niveles de consumo de las cuatro marcas está mostrado en los gráficos adjuntos. 1980 B 10%

A

10



invierno

verano

b)

27

% del día 40 35 30 25 20 15 10 5



83

2000 C 25%

A 25%

A 25% D 40%

B 25%

D 25%

C 25%

II. El Grupo Pik representa aproximadamente el 19,3% de la facturación del año 2003. III. El ingreso de los últimos tres años se incrementó a un ritmo constante de 20%

4. Señalar la afirmación correcta. a) El consumo de "D" en 1980 es igual al consumo de "D" en el año 2000. b) En dicho periodo el consumo de "D" aumentó en 20 000 unidades. c) En dicho periodo el consumo de "A" aumentó en 10 000 unidades. d) El porcentaje de consumidores de "B" en 1980 se cuadruplica en 2000. e) La cantidad de consumidores de "A" en 1980 aumentó en 15 000 en el año 2000.

a) I, II d) Solo I

a) 2575 d) 3075

a) 220% d) 300%

om

1.c

ic a

98

4

99

00 01 Años

02

número de turistas (en millones)

10,1

5,0 4,7

ww w.

3,5

c) 222%

at

m

at e

5

b) 218% e) 318%

7,2

M

5

c) 307,5

9. A continuación se muestran dos gráficos que reflejan el número de turistas que llegan cada año a una ciudad y el dinero que gastan durante su visita:

6

4,5

b) 257,5 e) 2753

8. ¿Cuánto por ciento más factura la División de Educación respecto del Grupo Pik? (Aproximadamente).

Enunciado (6-8) El siguiente gráfico muestra el ingreso de una corporación: Ingreso (en miles de millones de dólares)

c) I y III

7. Si los porcentajes de facturación del año 2002 son los mismos del año 2003, entonces, ¿cuál fue el ingreso por facturación de la División de Educación para el año 2002, en millones de dólares?

5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) En 1980, el consumo de "A" fue de 10 000 unidades. b) En el año 2000, el consumo de "D" fue de 40 000 unidades. c) En el año 2000, el consumo de "A" fue de 10 000 unidades. d) El consumo de "B" en el año 1980 fue igual al consumo de "B" en el año 2000. e) El consumo de "C" en 1980 fue igual consumo de "C" en el año 2000.

b) II y III e) Todas

año

0

2005

2006

2007

2008

gastos (en miles de millones de dólares)

03

15,1

Facturación del año 2003 por sectores (millones de dólares)

13,5 12,1

Otros 1030 Grupo TF 120 División de Educación 3690

Grupo PIK 1160

6. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. El grupo TF representa el 2% del ingreso del año 2003.

año



0

2005

2006

2007

2008

Marcar la alternativa que haga la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F). I. En promedio, en el año 2007 un turista gastó más que otro turista en el año 2006. II. La variación porcentual en el número de turistas en el año 2007 respecto del 2006 es ! 30,5%.

III. El promedio de gastos por turista en el periodo 2005 a 2008 es 3000 dólares. a) VVV d) VFF

b) VVF e) FFF

I. Hay más hombres que mujeres que prefieren tomar café instantáneo. II. El 28,17% de las personas que prefieren tomar café son casadas. III. Hay más viudas que mujeres divorciadas, que prefieren tomar café instantáneo. IV. El porcentaje de mujeres solteras que prefiere tomar café instantáneo es mayor al porcentaje de viudos.

c) FVV

10. Los gráficos muestran la producción de los productos "A" y "B", el precio de cada componente y la proporción de los componentes en cada producto. Producción(+)

Componentes

a) I y II d) II y IV

w

120

x

100

z 0

5 10 15 20

Producto

Precio en soles

x

x w

y z

A

B

C 40%

60º

ww w.

M

at e

m

I. El costo del producto "A" es mayor al del producto "B". II. Para la producción mensual de los productos "A" y "B" se consumen 110 t de los componentes (x+w). III. En el producto "B" se gasta menos que en el producto "A", considerando solo el componente "Z". a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) II y III

11. Indicar cuál de las siguientes afirmaciones es correcta, considerando la información del cuadro de barras adjunto. Cantidad de personas que prefieren tomar café instantáneo en el desayuno, según estado civil y sexo (septiembre de 2007).

Estado civil

431

Viudo/a

210

Casado/a

Mujeres Varones

132 318

633

142

364

Soltero/a 0

200

521 400

600

A 50%

C 35%

B 10%

A 45%

B 20%

12. En 1999, ¿en cuánto varió "B" respecto al año anterior?

at

Indicar la afirmación correcta.

Divorciado/a

1999

om

y z

1998

1.c

w



B

ic a

20%

A

c) I y III

Enunciado (12-14) Las ventas totales de un empresa en el año 1998 fueron de S/. 1 000 000 y en el año 1999 aumentaron 20%.

y

0

b) II y III e) III y IV

800

1000



a) b) c) d) e)

"B" aumenta en 140% "B" aumenta en 240% "B" disminuye en 10% "B" aumenta en 340% "B" aumenta en 10%

13. En 1999, ¿en cuánto varió "A" con respecto al año anterior?

a) b) c) d) e)

"A" aumenta en 108% "A" aumenta en 8% "A" disminuye en 108% "A" disminuye en 8% "A" aumenta en 54%

14. En 1999, ¿en cuánto varió "C" respecto al año anterior?

a) b) c) d) e)

"C" aumenta en 105% "C" disminuye en 5% "C" disminuye en 105% "C" aumenta en 5% "C" aumenta en 25%

Enunciado (15-17) En la siguiente tabla se muestran las unidades vendidas de tres productos -"A", "B" y "C"- en tres tiendas -T1, T2 y T3- en el mes de agosto. Tienda Producto A B C

T1

T2

T3

135 225 100

240 320 100

200 200 200

Enunciado (18-20) El siguiente gráfico muestra la cantidad de libros vendidos por las librerías Alfa, Beta, Delta y Gamma, en tres meses: Enero Febrero Marzo

Librerías DELTA GAMMA

15. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

BETA

Cantidad de libros

ALFA

I. En el mes de agosto, T2 vendió en total 200 unidades más que T1.

0

70 80 100 130 140 180 190 200

240

II. En el mes de agosto, se vendieron en total 170 unidades más de "B" que de "A".

18. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

III. En el mes de agosto, T3 vendió en total menos que el total vendido por cualquiera de las otras dos tiendas.

I. La librería Gamma vendió 50 libros en marzo. II. La librería Beta vendió 60 libros en marzo. III. La librería Alfa vendió 10 libros menos en marzo que en febrero.

c) Solo III

om

b) Solo II e) I y III

b) I y III e) Ninguna

c) II y III

ic a

16. En el mes de agosto, ¿qué porcentaje fueron las ventas que T2 realizó de "A" con respecto a las que realizó de "B"?

a) I y II d) Todas

1.c

a) Solo I d) I y II

at

c) 72%

m

b) 70% e) 78%

ww w.

M

17. Si el precio de venta unitario del producto "C" es 20% mayor que el de "B", el del producto "B" es 5% mayor que el de "A" y el precio de venta unitario de "A" es $100, ¿cuál fue el ingreso total de la tienda T3 en agosto? a) $66 200 d) $65 400

a) 20% d) 26%

at e

a) 65% d) 75%

19. En enero, ¿qué porcentaje de los libros fueron vendidos por la librería Beta, aproximadamente?

b) $70 200 e) $68 300

b) 22% e) 28%

c) 24%

20. De enero a febrero, la venta de libros en ___ decayó en 37,5%. a) la librería Alfa c) la librería Beta e) ninguna librería

c) $62 600

b) la librería Gamma d) la librería Delta

Tarea domiciliaria

Pesca 108º

COSTO DE CADA ACCIÓN EN $

1. Un empresario decide invertir S/. 300 000 en tres actividades económicas, tal como se muestra en el gráfico adjunto: Textil 72º

Minería



Las acciones de cada sector variaron mes a mes, tal como se indica en el siguiente gráfico:

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

ENERO

FEBRERO TEXTIL



MARZO

ABRIL

MINERÍA

MAYO

JUNIO

PESCA

Si compró y vendió sus acciones en los meses más convenientes, ¿en qué actividad gana más

a) VFV d) VFF

dinero? ¿En qué meses hizo su mejor negocio? ¿Cuánto gana en la actividad que le resulta más rentable?

a) b) c) d) e)

b) VVF e) FVF

c) FFV



4. Si el 50% de los empleados que pertenecen a la minoría logran una beca de estudios para todos sus hijos, entonces, ¿cuánto ahorraría dicho grupo?

Pesca: febrero y junio; S/. 150 000 Pesca, enero y mayo; S/. 130 000 Minería; febrero y abril; S/. 120 000 Textil; febrero y junio; S/. 150 000 Textil, febrero y mayo; S/. 130 000

Gráfico (2 - 4) Se realizó una encuesta a 60 empleados de una empresa privada; los resultados de dicha encuesta se muestran en el gráfico I y el gráfico II.

a) S/. 500 d) S/. 600

b) S/. 400 e) S/. 550

c) S/. 700

5. Gráfico 25 20 PRECIO ($)

20%

GRÁFICO I 10% con 1 hijo con 2 hijos con 3 hijos con 4 hijos

15%

15 10 5 0



4º

5º

6º

7º

8º

9º 10º

aCCIONES DE "a" aCCIONES DE "b"

Si el segundo y tercer día, Luis compra 20 acciones "A" y 35 acciones "B", y las vende el último y séptimo día, respectivamente, ¿qué ocurre con su inversión?

at

GRÁFICO II

m

INVERSIÓN MENSUAL POR HIJO

at e

a) Gana $100 c) Gana $150 e) Gana $200

M

VESTIDO

ww w.

SALUD

3º

1.c

: 10% : 55% : 15% : 20%

MOVILIDAD

2º

ic a

con 1 hijo con 2 hijos con 3 hijos con 4 hijos

1º

om

55%

b) Pierde $200 d) Pierde $150

Gráfico 6. El gráfico muestra las exportaciones del Perú en los dos últimos meses del año.

COLEGIO

EN MILLONES ($) 0

50

100

150

200

250

50

NUEVOS SOLES (S/.)

40

2. ¿Cuántos soles invierte en total un empleado que pertenece al grupo mayoritario de empleados con hijos? a) S/. 2000 d) 2200

b) 1800 e) 1500

30 20

c) 1200

10 0

3. Indicar verdadero (V) o falso (F)

NOVIEMBRE

I. Hay nueve empleados que tienen tres hijos. II. Si durante el mes anterior, ninguno de los hijos de un empleado que pertenece al segundo grupo mayoritario se ha enfermado, Entonces, dicho empleado ahorró S/. 500. III. La máxima inversión realizada en un hijo es 100% mayor que la mínima inversión.



DICIEMBRE

TEXTILERÍA

AGRICULTURA

PESCA

MINERÍA

¿En qué porcentaje se incrementaron las exportaciones de nuestro país? a) 33,33% d) 33%

b) 32% e) 35,25%

c) 35%

Gráfico (7-9) A continuación se muestra la distribución de notas del curso de Cálculo en la UNI.

11. ¿Qué porcentaje de las personas casadas representan los hombres solteros con hijos? a) 12,9% d) 13,4%

Número de alumnos 32

18 10 8

12

16

20

300

Nota

250 200

7. Si se aprueba con "m" puntos, ¿cuál es ese valor si se sabe que los aprobados fueron 56 alumnos? a) 7 d) 20

b) 8 e) 11

c) 9

150 100 50



año



8. Hallar la suma de la mediana, la media y la moda, aproximadamente:

2002

2003

2004

Determinar el porcentaje que representa la cantidad de matriculados en las universidades privadas en los cuatro años, respecto al total de matriculados en el sistema universitario nacional.

om

c) 34,04

2001

1.c

b) 32,03 e) 31,04



0

a) 40,00% d) 52,38%

ic a

a) 34,01 d) 30,89

Univ. pública Univ. privada

miles de matriculados

6 4

c) 12,8%

12. El gráfico muestra la evolución de la matrícula en el sistema universitario del Perú, del año 2001 a 2004.

24

0

b) 13,8% e) 12,6%

c) 50,00%

at e

m

at

9. Si para mejorar el promedio se decide aumentar dos puntos a todos los que obtuvieron 8 o menos, y un punto a los que obtuvieron más de 8, el nuevo promedio estaría entre:

b) 42,10% e) 53,00%

b) 11 y 11,5 d) 12 y 12,5

ww w.

M

a) 10,5 y 11 c) 11,5 y 12 e) 12,5 y 13

13. Las ventas de una tienda en el año 2009, se muestran por rubros en el gráfico I. En el gráfico II, se muestra el rubro "equipos de cómputo" por tipo. Determinar el monto aproximado de ventas de laptops en miles de dólares. gráfico I

Gráfico (10-11) El gráfico representa los resultados de una encuesta realizada a un grupo de personas sobre su estado civil y si tienen o no hijos. hombres solteros Mujeres solteras

CANTIDAD DE PERSONAS

90º 60º Lavadoras cocinas

32

30

30

25

25 15

Equipos de computo

hombres casados Mujeres casadas

35

20 12 13

15

18

Equipos de audio-video $500 000

20%

gráfico II

20

Equipos de frio

15% Calculadoras y accesorios

Laptos

10 5 0

150º

CON HIJOS SIN HIJOS CONDICIÓN

10. ¿Qué porcentaje representan las mujeres sin hijos? a) 34,56% d) 35,54%

b) 34,67% e) 36,54%

c) 34,54%

PC de escritorio

a) 319,44 d) 434,44

b) 332,22 e) 766,66

c) 333,33

14. Los gráficos muestran las ventas de una tienda de artefactos eléctricos.



a) Solo I d) I y II

Ventas miles de dólares 80

45 años

2005

2006

b) Solo II e) I y III

2007

Año 2007

%MERCADO

35

PC Otros

30

120º

25 10

100º

B



om

a) 36,10 d) 40,01

C

D

A

b) 38,88 e) 41,31

c) 39,12

17. El siguiente histograma muestra la distribución de las masas en kilogramos de un grupo de personas. f

at e

m

at

I. Las ventas se han incrementado en más del 70%, de 2005 a 2007. II. En 2007, la venta en equipos de sonido fue de 20 mil dólares. III. Las ventas en otros artículos, para 2007, fue menos de 10 000 dólares. a) I b) II c) I y II d) I y III e) II y III

1.c

Indicar las afirmaciones que son verdaderas.

ic a



Equipos de sonido

TV



c) Solo III

16. El gráfico adjunto muestra cómo comparten el mercado de computadoras las empresas "A", "B", "C" y "D". Si la empresa "A" se retira del mercado, la empresa "B" desea mantener la misma proporción del mercado, comparado con "C" y "D" antes de que se retire "A". Determinar qué porcentaje del mercado total debe tener "B" para cumplir su deseo.

56

0

¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?

ww w.

M

d c

15. Del gráfico Tasa de aprobación de un grupo de estudiantes en los cursos "A", "B", "C", "D" y "E".

b a

%

50 80%

70%

60%

60% 50%

año



0

A

B

C

D

E

Se afirma: I. El porcentaje promedio de desaprobación por curso es 36%. II. El porcentaje de aprobación del curso "D" es el 60% del porcentaje de aprobación del curso "B". III. La tasa de desaprobación del curso "E" es el 60% de la tasa de aprobación del curso "C".

90

masa (kg)

El ancho de clase es constante. Si "a", "b", "c" y "d" son entre sí como 2, 3, 4 y 5, respectivamente ¿qué porcentaje de las personas tiene una masa comprendida entre 65 y 80 kilogramos? (Redondear al centésimo). a) 42,31 d) 48,31

b) 45,31 e) 50,51

c) 47,51

Gráfico (18-20) Una empresa de golosinas saca al mercado su nuevo producto, el cual es vendido en los sectores "A", "B", "C" y "D" de la gran Lima y provincias. Los resultados son: GRAN LIMA D 5%

PROVINCIAS

A 30%

C 40% B 25%

a) 60º d) 90º B 40%

C 30%

a) 23% d) 600%



En Lima hubo el triple de ventas que en Provincias. 18. ¿Qué porcentaje de las ventas totales (Lima y provincias) se realizan en el sector "B"?

at e

m

at

ic a

1.c

om

c) 28,25%

M

b) 28,5% e) 29,25%

ww w.

a) 27,5% d) 28,75%

b) 300% e) 350%

c) 400%

20. Si sumaran Lima y provincias, ¿qué ángulo central le correspondería al sector "A"?

A 10%

D 20%

19. ¿Cuál es el porcentaje de chocolates que se vendieron en el sector "C" de Lima respecto al sector "C" de provincias?

b) 75º e) 100º

c) 85º



Problemas resueltos 1. Encontrar el valor de "A". A= 0! + 1! + 2! + ... + 18! 2! 3! 4! 20!



Resolución



Simplificando, se tiene: 1 A= 1 + 1 + 1 + ... + 1×2 2×3 3×4 19×20 A=1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + 1 - 1 2 2 3 3 4 19 20 A=1- 1 = 19 20 20

4to Alumno

9 carpetas

8 carpetas

7 carpetas

6 carpetas



Finalmente:



Total de formas: = 9×8×7×6=3024



Rpta.: 3024

at m

M=(11!×22!×33!)3





Resolución



En forma práctica buscamos los múltiplos de 5 contenidos en cada caso.

ww w.

M



• 22 5 4 4 ceros

Luego:



at e

2. ¿En cuántos ceros termina el resultado de la siguiente expresión?



3er Alumno

4. ¿Cuántas palabras diferentes (no necesariamente pronunciables) se pueden formar con las letras de la palabra "PERÚ"?

Rpta.: 19/20

• 11 5 2 2 ceros

2do Alumno

1.c





1er Alumno

ic a



Resolución

om





• 33 5 6



5 1

6+1=7 ceros



M= ( 11! × 22! × 33! )3 ? ? ? M=( ...×102 ×...×10 4 ×...×107 )3



M=(...1013)3=...1039 Rpta.: Termina en 39 ceros

Resolución 1a Letra

2a Letra

3a Letra

4a Letra

4 casos

3 casos

2 casos

1 casos



Finalmente: Total de palabras = 4×3×2×1=24



Rpta.: 24

5. ¿De cuántas maneras diferentes puede una persona ir de "A" hacia "D" si en ningún caso va a retroceder?

Resolución

A

B

C

D

A →B→ C→ D  2×4×2=16 o A → C→ D  1×2=2 o A →B→ D  2×1=2

3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar en un salón de clase cuatro alumnos en nueve carpetas unipersonales?

Finalmente: Total=16+2+2=20 Rpta.: 20

Problemas para clase (a - 2) ! + (a - 1) ! =1 a! 3 (a + 1) ! Calcular: (a - 2) !

8. Encontrar la suma: S = 0! + 1! + 2! + 3! + ... "n" sumandos 2! 2! 4! 5!

1. Si:

a) 24 d) 120

b) 48 e) 144

c) 60

a) 2 d) 7

b) 3 e) 6

c) 4

a) n/(n+1) d) (n+1)/n



9. 2. Si: (x+3)! + (x+1)!(x+2)(x+3) = 240. Calcular el valor de: (x + 1) ! E= x!



3. Hallar "n" en: n! + 6 = 1 n! (n! + 1) 20 c) 6

a) 231 d) 238



om

b) 4 e) 10

((3!) !) ! + 719! 359 + 721! (3!) !

a) 1/3 d) 1/2

at e



b) 2 e) 1/5

ww w.

5. Calcular:

c) 5

M

b) 4 e) 9

m

a! + (a + 1) ! + (a + 2) ! a + a (a + 1) ! = a! a a) 3 d) 8

b) 72 e) 2

c) 4

a) 60 d) 79

c) 4



m + 2 (m - n) ! n Q= n m ! + (m + n) ! n n

a) 1 d) n/m

b) mn e) m



c) m/n



b) 45 e) 62

c) 34



11. ¿De cuántas maneras se puede llegar de "A" a "B" en el siguiente circuito?

A

B

a) 20 d) 31

7. Simplificar:

c) 216

10. En una fiesta se encuentran Juan, Paty, dos varones y cuatro mujeres más. ¿Cuántas parejas se pueden formar? ¿Cuántas, si Juan solo quiere estar con Paty? ¿Cuántas, si Paty solo quiere estar con Juan? ¿Cuántas, si Paty solo quiere con Juan y viceversa? ¿Cuántas, si ambos no desean estar juntos? Dar la suma de los resultados.

6. Señalar el valor entero y positivo de “n” para el cual se cumple que: (n+1)! x (n-1)! = 36n + (n!)2 a) 13 d) 6

b) 211 e) 120

at

4. Calcular "a" en:

Dos varones y tres mujeres van al cine y se sientan en una fila de cinco asientos. ¿De cuántas maneras pueden sentarse? ¿De cuántas maneras, si las mujeres deben estar juntas? ¿De cuántas maneras, si los hombres deben estar juntos? ¿De cuántas maneras, si las mujeres no pueden estar juntas? Dar la suma de los resultados.

1.c

a) 2 d) 8



c) (n2 - 1)/n

ic a



b) n(n+1) e) n

b) 21 e) 30

c) 22



12. Un ladrón quiere abrir la caja fuerte y sabe que la combinación consta de tres dígitos y que los dígitos posibles son 2, 4 y 6. ¿Cuál es el mayor número de combinaciones erradas que podría intentar? a) 21 d) 26

b) 24 e) 27

c) 25



13. La placa de un automóvil esta conformada por cinco símbolos, siendo las dos primeras, vocales, y los tres últimos dígitos. ¿Cuántas placas se pueden hacer? ¿Cuántas, si las vocales son diferentes? ¿Cuántas, si los dígitos son diferentes? ¿Cuántas, si vocales y dígitos son diferentes? Dar la suma de los resultados. a) 67 700 d) 77 300

b) 77 400 e) 77 895

c) 66 890

20. Se dispone de cinco colores diferentes para pintar la siguiente figura:



14. Orlando solo sabe contar hasta el 30 y observa los siguientes números: 2, 5, 4, 3, 1. ¿De cuántas maneras podrá identificar lo siguiente: 3 2 4 5 1 3? c) 3



15. ¿De cuántas maneras podrá vestirse Leo si tiene tres pares de zapatillas, cuatro pantalones (dos iguales), seis polos (tres iguales) y siete shorts (cuatro iguales)? c) 200





a) 2400 d) 5760

b) 120 e) 2600

c) 360



ic a

b) 144 e) 70

c) 120

22. Si cinco niños, cuatro hombres y tres mujeres van a sentarse en una fila de 12 asientos, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán ubicar para que los niños permanezcan juntos entre sí, lo mismo que los hombres y las mujeres?

at

a) 504 d) 84

b) 60 e) 360

21. Un bote va a ser tripulado por ocho hombres, de los cuales Manuel y Pedro reman en el lado derecho y Juan, en el lado izquierdo. ¿De cuántas maneras puede ordenarse la tripulación, si en cada lado se ubican cuatro hombres?

om

b) 2 e) 5

a) 24 d) 180

1.c

a) 1 d) 4

En la cual debe verificarse que cuadrados vecinos tengan colores distintos. ¿De cuántas maneras puede cumplirse dicho objetivo, si el número de colores utilizados en cada caso es mínimo?

b) 40 e) 12

c) 24

ww w.

a) 64 d) 8

M

at e

m

16. Con cuatro banderas de diferente color se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes se pueden mandar si no es obligatorio usar todas las banderas?

17. ¿Cuántos números pares de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 5, 6, 7, 8 y 9? Además, la cifra de las decenas es impar. a) 90 d) 88

b) 84 e) 200

c) 56

b) 234 900 e) 450 800

b) 23 e) 30

c) 103 456



1! 22+2!32+3!42+… 20!212 = ×! – 2! a) 12 d) 25

b) 13 e) 22

c) 24



24. Si: 120.(120) 24! = (5!) (4!)! . (5+x)!

c) 231 890

19. ¿En cuántos ceros termina 100!? a) 12 d) 25

b) 23 1000 e) 103 680

23. Hallar "x" en:



18. ¿De cuántas maneras distintas pueden cinco niños y cinco niñas sentarse en cinco bancas, cada una con capacidad para dos de ellos, de modo que en cada banca se sienten un niño y una niña? a) 456 000 d) 460 800

a) 120 001 d) 103 280



c) 24





Calcular: (x+2)! a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3



25. ¿Cuántos números capicúas de cinco cifras significativas existen, tales que el producto de estas sea un cuadrado perfecto? a) 234 d) 121

b) 243 e) 456

c) 122



Tarea domiciliaria 1. Juanito tiene cuatro pantalones y dos pares de zapatos, todos de diferente color. ¿De cuántas formas puede vestirse alternando estas prendas? a) 12 d) 16 2. Simplificar: a) n d) n+2

b) 24 e) 20

c) 8

a) 30 240 d) 6832



(n + 1) ! + (n + 2) ! + (n + 3) ! (n + 1) ! + (n + 2) ! b) n+3 e) n+1

8. ¿Cuántas permutaciones distintas se pueden formar con las letras de la palabra "CAPACIDAD"?

c) n - 2

a) 220 d) 320

(8!) 8! + 1×7!9! × (9!) 8! ×8!8! (9!×7!9 × (8!) 2) 8! b) 8 e) 9!

c) 8!



c) 315



b) 11! 6

d) 10! 8

e) 10! 5

c) 12! 5

11. Si se tienen cuatro consonantes diferentes y tres vocales diferentes, ¿cuántos arreglos de cuatro letras se pueden formar donde intervengan dos vocales diferentes y dos consonantes diferentes?

c) 6



m

b) 5 e) 10

at e

a) 7 d) 8

at

ic a

4. Una persona puede viajar de "A" a "B" por vía terrestre o por vía aérea y tiene a su disposición dos líneas aéreas y cinco líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

a) 11! 8

om

a) 1 d) 9

b) 224 e) 248

10. ¿Cuántos ordenamientos diferentes pueden obtenerse con las letras de la palabra "BLANQUIAZUL"?

1.c

P=

c) 7560

9. Con cuatro oficiales y ocho soldados, calcular el número de grupos de seis miembros que pueden formarse, de manera que en cada grupo haya un solo oficial.

3. Simplificar:

b) 15 120 e) 3415

ww w.

M

5. Juan Carlos tiene cinco pantalones y seis camisas, todos de distintos colores. ¿De cuántas maneras puede escoger las prendas, sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa? a) 30 d) 36

b) 20 e) 24

c) 21



b) 120 e) 12

c) 48



a) 36 d) 132

b) 96 e) 142

c) 122



c) 144



b) 380 e) 910

c) 830



13. De un grupo de ocho hombres y siete mujeres, ¿cuántos grupos mixtos de siete personas se puede formar, sabiendo que en cada grupo hay cuatro varones y el resto son damas? a) 2480 d) 4250

7. ¿De cuántas maneras diferentes, cuatro parejas de enamorados pueden ubicarse alrededor de una fogata? Se debe cumplir que: I. Los hombres y mujeres se sienten alternados. II. Cada pareja debe estar siempre junta. Dar como respuesta la suma de los resultados obtenidos en ambos casos.

b) 432 e) 720

12. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en total en un campeonato que se disputa a dos ruedas? Supongamos que participan 20 equipos. a) 190 d) 890

6. Con todas las letras de la palabra "PERUANO", ¿cuántas palabras diferentes se podrán formar, si todas deben empezar con la letra "P", terminan en "O" y llevan siempre consigo la sílaba "RU"? a) 60 d) 24

a) 36 d) 24

b) 4520 e) 5240

c) 2450

14. Si disponemos de las fichas de ajedrez (solo las blancas) y queremos ordenarlas en una fila, ¿de cuántas maneras se puede realizar este ordenamiento? a) 2 c15! m 7!

b) 2 c15! m 8!

d) 16!

e) 15!

c) 23!

15. Con un grupo de 10 personas, ¿cuántos cuartetos diferentes se podrán formar? a) 10! d) 24

b) 5040 e) 40

c) 210



16. Se tienen ocho frutas diferentes. ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar con tres de ellas? a) 336 d) 24

b) 56 e) 6

c) 8!



17. En un torneo futbolístico participan siete equipos. ¿Cuántos partidos diferentes se realizarán, si juegan todos contra todos?

a) 35 d) 21

b) 210 e) 20

a) 56 d) 336

c) 81

b) 7 c) 8 e) 10

1.c ic a at m

b) 28 e) 168



20. ¿En cuántos ceros termina el resultado de 30!? a) 6 d) 9

at e

c) 5040

19. Se tiene ocho puntos en un plano, de los cuales tres o más no pueden estar en línea recta. ¿Cuántos triángulos diferentes se podrán formar?

om

c) 42

M

b) 5040 e) 49

ww w.

a) 21 d) 2520

18. Un club desea formar una bandera representativa, de tres franjas verticales, una a continuación de la otra. Si se proponen siete colores diferentes, ¿cuántas banderas tricolores diferentes se podrán formar?



Problemas resueltos 1. Con las frutas: fresa, papaya, mango y plátano, ¿cuántos jugos de diferente sabor se pueden hacer?

Total de casos=4!×2!×3!×3!=1728 Hay tres nacionalidades

4

Con 1 fruta: C1 =4



Con 2 frutas:



Con 3 frutas:



Con 4 frutas:

4 C2 =6 4 C3 =4 4 C 4 =1

Total de jugos:

Rpta.: 1728

4. Se tienen seis telas de colores distintos. ¿Cuántas banderas de tres costuras verticales se pueden formar?

4+6+4+1=15



Resolviendo

ic a

Nota: al preparar los jugos no interesa el orden de la frutas Rpta.: 15



Analizando, se tiene:

at





om



Resolución Considerando que los jugos se pueden preparar de diferentes maneras, es decir:

• Solo argentinos=3! • También es necesario ordenarlos por nacionalidad, finalmente:

1.c





m

color color color color 1 2 3 4



ww w.

M

at e

2. En la familia Muñoz hay seis hermanos y cada hermano tiene tres sobrinos (de primer grado). ¿Cuántas fotos diferentes se les puede tomar, si en cada foto debe haber tres hermanos y dos sobrinos? Resolución Analizando: Lo primero es seleccionar quiénes se van a fotografiar y luego, en cada foto, se deben ordenar a las personas; tenemos: Hermanos=6 Sobrinos=3 6 3 En las fotos : C3 × C2 ×5!=7200 se escogen se escogen 3 de 6 2 de 3 Rpta.: 7200

cuatro colores a usar por bandera



Finalmente: Color Color Color Color 1 2 3 4 ↓ ↓ ↓ ↓ 6 × 5 × 4 × 3 =360

Rpta.: 360

5. Se tienen cinco números positivos y siete números negativos, se eligen cuatro números arbitrariamente, sin sustitución, y se multiplican. ¿De cuántas formas se puede obtener un producto positivo?

Resolución • Para obtener un producto positivo se tienen los siguientes casos:

3. En una reunión hay: cuatro peruanos, dos colombianos y tres argentinos. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar en una fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?



• 4 positivos → C 4 =5



• 4 negativos → C 4 =35



Resolviendo



• 2 positivos y 2 negativos → C2 ×C2=10×21



Analizando: • Solo peruanos=4! • Solo colombianos=2!



Finalmente: Total=5+35+210=250 Rpta.: 250

5

7

5

7

Problemas para clase 1. En un torneo pugilístico participan siete boxeadores. Si pelean todos contra todos, ¿cuántas luchas se realizarán? b) 504 e) 6

c) 21



2. ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes pueden formarse con todos los dígitos significativos? a) 15 120 d) 9!

b) 720 e) 60

c) 153



3. ¿Cuántos grupos de cinco letras se pueden formar con las letras "a", "b", "n", "o", "e", "q" y "r"? a) 7 d) 35

b) 12 e) 60

c) 21

c) 14



b) 24 e) 32

c) 70



c) 12



12. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir siete canicas blancas idénticas en cuatro recipientes diferentes? a) 84 d) 240

b) 72 e) 120

c) 36



13. ¿De cuántas maneras diferentes, dos peruanos, tres argentinos y cuatro colombianos pueden sentarse en fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?

c) 210



at e

b) 5040 e) 40

M

a) 10! d) 24

m

at

5. Con un grupo de 10 personas, ¿cuántos cuartetos diferentes se podrán formar?

c) 1236

11. Un alumno quiere responder 10 de 12 preguntas de un examen. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?

1.c

b) 12 e) 15

b) 42 e) 120

om

4. ¿Cuántas sumas diferentes de dos sumandos se pueden hacer con los números 1, 3, 5, 7, 11 y 26? a) 10 d) 13

a) 18 d) 72

a) 25 d) 66



b) 1444 e) 760

10. ¿De cuántas maneras podemos sentar a seis niños alrededor de una mesa circular, de modo que dos de ellos ("P" y "Q"), previamente determinados, no estén juntos?

ic a

a) 71 d) 42

a) 362 d) 768

ww w.

6. Se tienen ocho frutas diferentes. ¿Cuántos jugos surtidos diferentes se podrán preparar con tres de ellas? a) 336 d) 24

b) 56 e) 6

c) 8!



7. Entre ocho candidatos, se desea elegir a un presidente, un secretario y un tesorero. ¿Cuántas directivas diferentes se podrán formar? a) 336 d) 6

b) 56 e) 24

c) 81



8. Un marinero tiene siete banderolas del mismo tamaño, pero de colores diferentes; si iza cinco de ellas en un mástil una a continuación de la otra, siendo la primera blanca y la última amarilla, ¿cuántas señales diferentes podrá hacer? a) 60 d) 210

b) 10 e) 20

c) 120



9. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ubicar cinco parejas de esposos alrededor de una fogata, siempre que cada matrimonio permanezca junto?

a) 864 d) 892

b) 1728 e) 1700

c) 688



14. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de seis asientos, si cuatro están en espera? a) 2520 d) 10!

b) 1200 e) 1800

c) 25 200

15. De una baraja de 52 cartas, se extraen al azar cinco de ellas. ¿De cuántas formas se pueden obtener tres corazones y dos espadas? a) 12 345 d) 22 308

b) 12 222 e) 22 480

c) 12 113

16. Un grupo de inversionistas está conformado por siete mujeres y cuatro hombres. ¿De cuántas maneras diferentes se puede formar una expedición de seis personas en la cual debe haber por lo menos dos hombres? a) 320 d) 371

b) 125 e) 900

c) 729



17. De un grupo formado por siete hombres y cuatro mujeres hay que escoger seis personas de forma que entre ellas haya no menos de dos mujeres. ¿De cuántas maneras puede efectuarse la elección? c) 192



18. Con las frutas: plátano, melón, piña, papaya y mamey, ¿cuántos jugos de diferentes sabores se pueden hacer? a) 13 d) 32

b) 10 e) 31

c) 25



a) 15 d) 21

b) 36 e) 27

c) 51



b) 7 e) 10

c) 8



23. ¿Cuántos partidos de fútbol se juega en un campeonato a dos ruedas, si existen 30 equipos? a) 435 d) 890

b) 900 e) 910

c) 870



24. El número de permutaciones de "x" objetos tomados de seis en seis es 720 veces el número de combinaciones de esos mismos objetos agrupados de cuatro en cuatro. Hallar el valor de "x". a) 10 d) 40

b) 20 e) 50

c) 30



c) 7200

at e

b) 3600 e) 9600

ww w.

M

a) 21 600 d) 10 800

m

at

ic a

20. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan dos vocales diferentes y cuatro consonantes distintas, se pueden formar con cuatro vocales, incluyendo la "e", y seis consonantes, incluyendo la "s", de manera que empiecen con "e" y contengan la "s"?

c) 32!

22. ¿Cuál será el número de letras de una palabra, sabiendo que el número de combinaciones tomadas de dos a dos, es igual al de combinaciones tomadas de tres a tres, como tres es a cinco? a) 6 d) 9

19. Un examen consta de 12 preguntas, de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las seis primeras preguntas debe contestar por lo menos cinco, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante?

b) 312! 8! e) 31! 2 2. (8!)

om

b) 181 e) 901

a) 32! 8! 32 d) ! 16!

1.c

a) 72 d) 371

21. Si disponemos de las fichas de ajedrez y queremos ordenarlas en una fila, ¿de cuántas maneras se puede realizar este ordenamiento?

25. ¿Cuántos números enteros y desiguales, mayores de 10 y menores de 100, se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8? a) 72 d) 50

b) 58 e) 35

c) 64



Tarea domiciliaria 1. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra PISCO? a) 24 d) 72

b) 60 e) 48

c) 120



2. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin sentido, se pueden formar con todas las letras de la palabra CALABAZA? a) 1 680 d) 5 040

b) 40 320 e) 3 360

c) 2 460

3. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ordenar a seis personas en una fila? a) 120 d) 360

b) 240 e) 1 440

c) 720



4. Se tiene cinco puntos coplanares donde no existen tres o más puntos colineales. ¿Cuántos triángulos diferentes se pueden trazar si se usan los puntos como vértices? a) 20 d) 15

d) 10 e) 60

c) 12

5. A un trabajo se presentan cuatro hombres y seis mujeres. Si hay plazas disponibles para dos mujeres y tres hombres, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá realizar la selección? a) 36 d) 60

b) 48 e) 90

c) 120



6. Alrededor de una mesa circular con ocho asientos distribuidos simétricamente se van a sentar ocho amigos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ocupar los asientos?

a) 720 d) 840

7. Se dispone de siete frutas. ¿Cuántos jugos surtidos de tres frutas diferentes se podrá preparar? a) 35 d) 120

b) 28 e) 70

c) 210



8. En una carrera de 100 metros planos participan 8 atletas. ¿De cuántas maneras fueron ocupados los cuatro primeros lugares, si Usain Bolt ganó la carrera? a) 840 d) 210

b) 640 e) 336

c) 70



9. Un profesor debe elegir a un delegado, un tesorero y un asistente de aula. Si cuenta con 24 alumnos, ¿de cuántas maneras diferentes podrá realizar la elección? Dar por respuesta la suma de las cifras del número. c) 15



ww w.

M

at e

10. La Tinka es un juego que consiste en que cada concursante elige 6 números de 48 posibles. El día domingo, el conductor del espacio saca seis bolos de un ánfora y si ellos coinciden con los bolos que eligió algún concursante, gana un premio de varios millones de soles. ¿Cuántos boletos debo jugar para estar seguro de que ganaré el premio? Dar por respuesta la suma de las cifras del número. a) 18 d) 22

b) 19 e) 20

c) 21



11. Según el enunciado de la pregunta anterior, si el premio es de 5 millones de soles y el costo de cada boleto es de 3 soles, ¿cuánto se perderá, en soles, si se compra todos los boletos que sean necesarios para asegurar que se ganará el premio?

a) b) c) d) e)

Más de 30 millones Entre 25 y 30 millones Entre 20 y 25 millones Menos de 20 millones 25 millones

c) 1 160

13. En una mesa de póker hay seis asientos distribuidos simétricamente. Si existen ocho personas paradas que desean participar del juego, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán sentar seis de ellas sabiendo que las restantes deberán hacer una cola para que cuando haya un eliminado pasen a sentarse en la mesa? a) 6 720 d) 2 960

b) 3 360 e) 10 080

c) 1 440

14. Se han producido doce chocotejas y cuatro de ellas no tienen relleno. Si una persona recibe una chocoteja sin relleno entonces se le entregará otra gratis. Mariana compró una chocoteja y al final comió tres por el precio de una, ¿de cuántas maneras diferentes pudo haber hecho la selección para que ocurra ello? a) 48 d) 124

at

b) 14 e) 11

m

a) 12 d) 13

b) 720 e) 1 680

om

c) 10 240

1.c

b) 5040 e) 720

ic a

a) 40 320 d) 10 320

12. Se desea contratar tres arquitectos y cuatro abogados. Si se presentan ocho arquitectos y seis abogados, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá realizar la elección de los puestos?

b) 96 e) 66

c) 72



15. Se desea contratar a cinco alumnos (más mujeres que hombres) para participar de un proyecto escolar. Si se presentan seis mujeres y cinco hombres, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá realizar la elección? a) 234 d) 281

b) 264 e) 296

c) 196



16. En una bolsa hay dos bolas blancas, tres bolas verdes y cuatro bolas azules. ¿De cuántas maneras diferentes podré extraer una bola de cada color, sin importar el orden? a) 24 d) 36

b) 12 e) 48

c) 18



17. Una fábrica produce lotes de 20 televisores. Se elige una muestra de 6 televisores y se acepta el lote si máximo hay dos defectuosos, caso contrario se envía el lote a reparaciones. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá devolver el lote a reparaciones si este tiene 4 defectuosos? a) 1 840 d) 7 860

b) 25 480 e) 4 720

c) 2 360

Problemas resueltos 1. Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo). ¿Cuántas cartas hay que sacar como mínimo para estar seguros de haber obtenido una carta con numeración par y de color rojo?



•



Analizando, se deduce:

Para Irene

Rojos Negros

Impares Pares negros



M

Rpta.: 41

ww w.

2. Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y 17 blancas; la menor cantidad que debe sacarse para obtener al menos una de cada color es:

Resolución • Lo peor que podría ocurrir es que se extraiga un color por completo, entonces tendríamos:



Bolas extraídas=18 + 17 + 1 = 36 negras blancas

Rpta.: 36

3. Un kilogramo de duraznos contiene desde ocho hasta 12 duraznos. El precio de los más grandes varía desde 2 hasta 3,5 soles cada kilo, y el de los más pequeños, entre 1 y 1,5 soles el kilo. Si Lucía compra cuatro docenas pagando lo máximo posible e Irene, la misma cantidad con el mínimo posible de dinero, ¿cuál es la diferencia entre los pagado por ambas?

Piden la diferencia: 21 - 4=S/. 17



Rpta.: S/. 17

om



4. En una caja hay 18 pares de guantes de color marrón y 13 pares de color negro. ¿Cuántos guantes se deben sacar como mínimo para conseguir necesariamente un par de guantes del mismo color?

at

Considerando el peor de los casos, se tiene: Cartas = 28 + 12 + 1 = 41 extraídas

m

•

at e



12 14

1.c



12 14

48÷12=4 kilogramos Gasta  a S/.1 el kilogramo S/. 4

ic a

Pares impares

48÷8=6 kilogramos Gasta a S/.3,5 el kilogramo  S/.21

123

Resolución

Para Lucía

123



cio mayor, en cambio, Irene debe comprar pocos kilogramos a menor precio, entonces:

Resolución • Para que Lucía pague lo máximo posible debe comprar muchos kilogramos a un pre-



Resolución



Analizando, tenemos que de cada color hay: Marrones=36 Negros=26 Considerando lo peor que puede ocurrir, se deduce:



Guantes = 1 + 1 + 1 = 3 extraídos marrón negro



Rpta.: 3

5. Una bolsa contiene caramelos: "n" de limón, (n - 1) de naranja, (n - 2) de piña y (n - 3) de mango. ¿Cuántos caramelos como mínimo hay que extraer al azar para tener la seguridad de haber extraído por lo menos, tres de cada sabor? (n>6).

Resolución • Considerando lo peor que puede ocurrir, se tiene: Caramelos = n+(n - 1)+(n - 2)+3=3n extraídos

Rpta.: 3n

Problemas para clase

5. Una carta con numeración prima:

c) 30



M

b) 29 e) 32

6. Dos cartas que sumadas resulten 10: a) 34 d) 25

b) 26 e) 27

c) 24



c) 47



7. Dos cartas múltiplos de 5: a) 44 d) 42

b) 46 e) 45

8. De un juego de ajedrez, cuántas fichas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido tres peones (uno blanco y dos negros). a) 24 d) 27

b) 25 e) 28

12. Pepe tiene en su establo: 20 caballos blancos, 25 caballos negros, 12 yeguas blancas y 10 yeguas negras. ¿Cuántos animales se deben sacar al azar y cómo mínimo para tener la certeza de tener una pareja mixta del mismo color? a) 26 d) 27

ww w.

a) 28 d) 31



at

c) 41

m

b) 40 e) 43

at e

a) 39 d) 42

ic a

1.c

om

Dar la suma de dichos resultados. 1. En una caja se tienen 21 fichas rojas, 20 blan- cas, 28 verdes, 11 negras, 11 azules y 9 amaria) 115 b) 110 c) 112 llas. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que d) 118 e) 120 se deben extraer para tener necesariamente 15 fichas de un mismo color? 10. Se tienen dos cajas: en una de ellas hay seis daa) 31 b) 43 c) 74 dos blancos y seis dados negros, y en la otra hay d) 22 e) 20 seis fichas blancas y seis fichas negras. ¿Cuál es el mínimo número de objetos que se deben sacar Enunciado (2 - 7) para tener necesariamente entre ellos un par de Dentro de una bolsa oscura hay un mazo de cartas dados y un par de fichas, todos del mismo co(52 cartas, 13 de cada palo). ¿Cuántas hay que sacar lor? como mínimo para estar seguro de haber obtenido: a) 11 b) 7 c) 6 2. Un as: d) 4 e) 2 a) 3 b) 48 c) 49 11. Una caja contiene “P” bolas rojas, “Q” blancas d) 50 e) 13 y “R” azules. Si se extraen al azar, ¿cuál es el mínimo número de bolas que deben sacarse para 3. Una carta de color negro: tener la certeza de que haya cuando menos dos a) 27 b) 28 c) 14 bolas de colores diferentes? (P>R>Q). d) 26 e) 30 a) PR-Q b) PR+1 c) P+1 4. Dos corazones: d) Q+1 e) PQR-1

c) 26



b) 46 e) 39

c) 12



13. Dentro de una urna depositamos 120 esferas numeradas del 1 al 120. Señalar cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la certeza de haber obtenido: a) Una esfera con numeración que termine en cero. b) Dos esferas cuya numeración esté comprendida entre 50 y 70. c) Tres esferas comprendidas entre 80 y 110 que sean impares. a) 110-109-108 c) 109-103-108 e) 103-108-109

b) 109-110-108 d) 110-103-109

9. De un juego de naipes (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuántos hay que extraer al azar y como 14. Tres cajas idénticas contienen, cada una, dos mínimo para tener la seguridad de haber obtepelotas. Una contiene dos pelotas negras, otra nido lo siguiente?: contiene dos pelotas blancas y la tercera, una pelota negra y una pelota blanca. Cierta vez a) Una carta de color rojo las cajas estuvieron correctamente etiquetadas, b) Dos corazones y un diamante pero debido a una confusión las etiquetas se c) Tres naipes impares múltiplos de 3

b) Solo III e) Solo II

c) I o II

15. Pedro tiene en una caja 10 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la seguridad de haber sacado tres fichas numeradas consecutivamente? a) 3 d) 8

b) 4 e) 7

c) 6





20. Una bolsa contiene seis bolas blancas y tres bolas negras; otra contiene cuatro bolas blancas y siete bolas negras. Se saca sin mirar una bola de la primera bolsa y luego una de la segunda bolsa, y así se sigue alternadamente. Si se empieza sacando de la primera bolsa, ¿cuántas bolas como mínimo hay que sacar para tener la certeza de que se han sacado dos bolas de diferente color? a) 4 d) 8

b) 9 e) 11

c) 10



MÁXIMOS Y MÍNIMOS 21. Si “x” tiene un valor entre 4 y 5; y “z” tiene un valor entre 20 y 40, ¿entre qué valores estará z/x? a) 4 y 8 d) 10 y 20

b) 5 y 8 e) N. A.

c) 4 y 10

22. Un kilo de duraznos contiene entre 8 y 12 duraznos. El precio de los más grandes varía entre 2 y 3,5 soles por kilo, y el de los más pequeños, entre 1 y 1,5 soles por kilo. Si Rosario compra cuatro docenas pagando lo máximo posible y Erica, la misma cantidad pagando lo menos posible, ¿cuál es la suma de lo pagado por ambas?

c) 6



M

b) 3 e) 7

ww w.

a) 4 d) 8

at e

m

at

16. Una bolsa contiene cuatro bolas blancas y dos bolas negras; otra contiene tres bolas blancas y seis bolas negras. Se saca sin mirar una bola de la primera bolsa y luego una de la segunda bolsa, y así se sigue alternadamente. Si se empieza sacando de la primera bolsa, ¿cuántas bolas como mínimo hay que sacar para tener la certeza de que se han sacado dos bolas de diferente color?

c) 60

om

a) Solo I d) II o III

b) 31 e) 45

1.c

I. Extraer una pelota de la caja etiquetada N.N. II. Extraer una pelota de la caja etiquetada B.B. III. Extraer una pelota de la caja etiquetada B.N.

a) 32 d) 46

ic a

mezclaron y ninguna caja quedó correctamente etiquetada. Las etiquetas están marcadas con las siguientes abreviaturas: B.B.: Blanca-Blanca; N.N.: Negra-Negra; B.N.: Blanca-Negra. ¿Cuál de los siguientes pasos, por sí solo es suficiente para determinar el contenido de las tres cajas?

17. En una reunión se encuentran 390 personas. ¿Cuántas personas como máximo deberán retirarse para que en dicha reunión tengamos la seguridad de que estén presentes dos personas que compartan el mismo onomástico? a) 21 d) 24

b) 22 e) 35

c) 23



18. Una caja contiene (n3 - 1) bolas amarillas, (n2+1) bolas rojas, (3n+1) bolas verdes, (2n-4) bolas azules y (3n2+5) bolas negras. Si el mínimo número de bolas que deben extraerse al azar para tener la certeza de contar con dos bolas amarillas, tres rojas, cinco negras es (n3+354), ¿cuál es el valor de "n"? (n>3). a) 11 d) 8

b) 9 e) 7

c) 10



19. Se tienen en una caja 15 pares de guantes negros y 15 pares de guantes blancos. ¿Cuántos guantes como mínimo se deben extraer de la caja, sin mirarlos, para estar seguro de tener un par de guantes blancos que sirvan para usarse?

a) S/. 21 d) S/. 14

b) S/. 17 e) N. A.

c) S/. 25

23. Una caja contiene entre 20 y 25 unidades. Si el precio de compra varía entre 10 y 15 soles por caja, y el precio de venta, entre 20 y 25 soles por caja, ¿cuál sería la máxima ganancia a obtener por la venta de 100 naranjas? a) S/. 50 d) S/. 80

b) S/. 60 e) S/. 85

c) S/. 75

24. Si 10 manzanas pesan entre “p” y “q” kg (p
b) q/100 e) N.A.

c) 100/p

25. A un herrero le dan cinco pedazos de cadena de tres eslabones cada uno, y luego le encargan que los una formando una cadena continua. El herrero cobra S/. 1 por abrir un eslabón y S/. 2 por cerrarlo. ¿Cuántos soles como mínimo debe pagársele? a) 6 d) 9

b) 7 e) N.A.

c) 8



26. Francesca quiere abrir el maletín de su novio, cuya clave consta de tres dígitos. Si ella solo sabe que los dígitos posibles son 3, 4 y 5, ¿cuál es el menor número de combinaciones erradas que podría intentar? a) 5 d) 30

b) 27 e) N.A.

c) 26



27. Una librería tiene 11 tiendas en una ciudad. Si en total cuenta con 100 empleados y ninguna tienda tiene menos de siete ni más de 12, ¿cuál es el menor número de empleados que puede haber en tres tiendas? a) 19 d) 28

b) 20 e) N.A.

c) 21



28. ¿Cuál es el máximo valor de la siguiente expresión? 2 Q= 1 + (x - 1) 2 (x + 3) 2

a) 1 d) 1/2

b) 2 e) N.A.

c) 2/3



29. Un grupo de 456 alumnos de la Universidad Católica va a elegir a su representante estudiantil. Si se presentan cinco candidatos, ¿cuál es el menor número de votos que puede obtener uno de ellos para tener así, más que cualquiera de los otros cuatro? a) 90 d) 93

b) 91 e) N.A.

c) 92



30. Se tienen 3n perlas, todas del mismo color y tamaño, pero una de ellas más pesada que las demás. ¿En cuántas pesadas como mínimo se puede determinar cuál es la más pesada con seguridad, si se dispone de una balanza de dos platillos? a) 2n d) n+1

c) 2n - 1

5. Sarita tiene en una urna 10 fichas numeradas del 1 al 10. ¿Cuál es el mínimo número de fichas que ha de extraer para tener la seguridad de haber sacado, cuatro fichas numeradas consecutivamente?

c) 5



M

b) 10 e) 26

ww w.

a) 9 d) 8

at e

m

at

ic a

1. Dentro de una bolsa oscura depositamos 10 esferas rojas, ocho negras y 12 blancas. ¿Cuántas hay que sacar al azar y como mínimo para tener la certeza de haber extraído cuatro esferas de uno de los colores?

1.c

om

Tarea domiciliaria

b) nn e) n+2

2. ¿Cuántas veces se debe lanzar un dado para tener la seguridad de obtener tres veces el mismo puntaje? a) 12 d) 14

b) 15 e) 3

c) 13



3. Se tienen fichas de "m" clases diferentes y la cantidad suficiente de cada grupo. ¿Cuántas como mínimo se deben extraer para tener la certeza de haber sacado (m+1) de una de las clases? a) m2 - 1 d) m+3

b) m2+m e) 1 - m

c) m2+1

4. Depositamos dentro de una urna, seis pares de guantes negros utilizables y seis pares de guantes blancos utilizables. ¿Cuántos guantes se deben sacar al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber extraído un par de guantes utilizables y del mismo color? a) 12 d) 3

b) 13 e) 15

c) 18



a) 5 d) 4

b) 8 e) 10

c) 9



6. En una urna se tienen (a- b) fichas negras y (a+b) fichas blancas. ¿Cuántas fichas se deben sacar para tener la certeza de haber extraído "a" fichas de uno de los colores? a) 2b - a d) 2b+a

b) a+b e) 2a - b

c) a - b

7. Depositamos 20 esferas blancas, 18 azules y 12 cremas, todas del mismo tamaño. ¿Cuántas se deben extraer como mínimo para tener la seguridad de haber obtenido 15 de uno de los colores? a) 44 d) 41

b) 43 e) 40

c) 42



8. Depositamos en un ánfora 80 bolas numeradas del 1 al 80. ¿Cuántas esferas hay que extraer como mínimo para tener la seguridad de haber obtenido una esfera con numeración par? a) 44 d) 41

b) 58 e) 50

c) 46



9. En un camal hay 10 toros negros y 10 toros blancos. En otro camal hay 10 vacas negras y 10 blancas. ¿Cuántos animales se deben extraer en total y al azar para tener la seguridad de haber obtenido una pareja mixta del mismo color? a) 11 d) 10

b) 3 e) 21

c) 12



10. De un juego de cartas (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuántas hay que extraer al azar y como mínimo para tener la seguridad de haber extraído dos cartas que sumadas resulten 11? a) 32 d) 34

b) 31 e) 35

16. ¿Cuál es el mínimo número de colores a emplear, de modo que no se tengan dos rectángulos pintados del mismo color juntos?

c) 33



a) 2 d) 3

a) S/. 320 d) 530



12. 13 naranjas pesan entre 3 y 4,8 kg. ¿Cuál es el máximo número de naranjas que puede haber en 12 kg? b) Entre 40 y 50 d) Entre 60 y 70

b) 35 e) 45

c) 25

ic a



14. Dos kilos de huevos contienen entre 20 y 35 huevos. ¿Cuál es el mínimo peso de 140 huevos? a) 4 kg d) 6

b) 8 e) 2

c) 5



15. Se tiene una balanza de dos platillos y 17 bolas de billar, aparentemente iguales, pero una de ellas pesa más. ¿Cuál es el menor número de pesadas a realizar para determinar la que pesa más? a) 2 d) 4

b) 1 e) 5

c) 4 días

at ww w.

M

at e

13. Una persona puede comprar 24 manzanas y 20 naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si compra solo naranjas, ¿cuál es el máximo número que podría comprar? a) 30 d) 40



18. Una vela misionera se consume aproximadamente 1 mm por minuto. En un hogar se acostumbra prender la vela por espacio de 30 a 60 minutos al día. Si una vela tiene una longitud de 10 centímetros, ¿durante cuántos días se podrá contar con dicha vela como máximo? a) 10 días b) 3 días d) 3 días y 10 minutos e) 3 días y 20 minutos

m

a) Menos de 40 c) Entre 50 y 60 e) Más de 70

c) 140

om

c) 5

b) 640 e) 840

1.c

b) 4 e) 8/3

c) 6

17. El costo de fabricación de un par de zapatos oscila entre 24 y 32 soles, y el precio de venta, entre 40 y 52 soles. ¿Cuál es la mínima ganancia que se puede obtener en 80 pares de zapatos?

11. Para cualquier número real "x", ¿cuál es el máximo valor de: F=8x - 3x2 ? a) 0 d) 16/3

b) 4 e) 6

c) 3



19. ¿Cuántos días dura como máximo una caja de tizas, si cada seis horas se consume el equivalente a una tiza, y si se sabe que un profesor trabaja 10 horas diarias y que siempre en cada clase utiliza tres colores diferentes en forma equitativa?

Nota: las cajas traen 10 tizas. a) 20 días d) 18

b) 17 e) 21

c) 19



20. Un tanque de agua de 8 m3 de volumen alimenta a todo un edificio de 20 departamentos, en cada uno de ellos se consume de 50 a 100 litros de agua diariamente. Suponiendo que el tanque está medio lleno y que el edificio está medio vacío, ¿cuál será la máxima cantidad de días que dure el contenido del tanque? a) 16 días d) 8

b) 32 e) 4

c) 48



Problemas para clase BLOQUE I

a) 7 b) 6 d) Menos de 9 e) Más de 9

c) 5



om

1. Un recipiente "A" contiene 8 litros de vino puro y cuatro litros de agua. Un segundo recipiente "B" contiene nueve litros de vino puro y seis 5. Cada vez que compro nueve manzanas me regalan 2 y cada vez que vendo 10 regalo una. Si litros de agua. Se sacan tres litros de las mezclas compro y vendo las manzanas al mismo precio, de cada recipiente y se hace el intercambio res¿cuántas debo comprar para ganar 44 manzanas? pectivo. ¿Cuántos litros más de vino hay en un a) 360 b) 340 C) 450 recipiente con relación al otro? d) 400 e) 460 a) 2,4 b) 1,8 c) 1,4 d) Igual e) 6. Hallar el valor de la siguiente serie:

ww w.

M

at e

m

at

ic a

1.c

E=1×5+2×6+3×7+...+10×14 2. Se define el operador matemático no convena) 610 b) 609 c) 605 cional "*" como: P*=P(P+1) - P(P - 1). d) 606 e) 607 Calcular: 7. En la competencia de natación de damas, Carla, E= 1 *+ 2 *+ 3 *+ ... + 40 * 20 *+ 19 *+ 18 *+ ... + 1 * Carmen y Diana ocuparon los tres primeros lugares, aunque no necesariamente en ese orden. a) 83/20 b) 45/76 c) 82/21 Al ser cuestionadas acerca del resultado de la d) 44/23 e) 33/25 competencia, ellas contestaron: • Carla : "Yo gané la competencia". 3. María tiene cierta suma de dinero que gasta de • Carmen : "Yo no gané la competencia". • Diana : "Yo terminé mejor ubicada la siguiente manera: en gaseosas, la mitad de que Carmen". su dinero, más dos soles; en galletas la tercera Si Carmen terminó en segundo lugar, ¿cuáles de parte del resto, más cuatro soles, y en cigarrillos las siguientes afirmaciones son verdaderas? las 3/4 partes del dinero que le queda más tres I. Al menos una de ellas miente. soles. Si aún le quedan dos soles, entonces po II. Diana ganó la competencia. demos afirmar como verdadero: III. Diana dice la verdad. I. Gastó en total 76 soles. II. Si cada galleta costó un sol, entonces coma) Solo I b) Solo II c) Solo III pró 16 galletas. d) I y II e) I y III III. Gasta en cigarrillos 22 soles menos que en gaseosas. 8. ¿Qué figura completa coherentemente el siguiente arreglo? a) Solo I b) I y II c) II y III d) I y III

e) Solo III

4. Se tienen cinco números enteros positivos a los que llamaremos "A", "B", "C", "D" y "E". Si se sabe que: • "A" no es mayor que "D" ni "C". • "E" es mayor que "C". • "B" es mayor que "A".

Entonces, ¿cuántos posibles ordenamientos existen?

? a) d)



b)

e)



c)

9. ¿Cuántos apretones de manos se dieron los 120 representantes reunidos en la última reunión del ALC-UE? a) 7140 d) 7240

b) 7450 e) 7420

c) 7410

b) 186 e) 200

c) 222



d)

10. En la siguiente sucesión: 10; 5; 5; 12; 28; ... Hallar la semisuma de los dos primeros números que resulten mayores que 100. a) 75 d) 150

a)



b)



c)

e)

15. La facultad de Economía de una universidad está realizando un estudio sobre los cursos desaprobados por sus estudiantes. Los datos obtenidos de 50 estudiantes que desaprobaron al menos un curso se muestran en la figura: Alumnos 24

11. En el siguiente gráfico, ¿cuántos triángulos equiláteros se formarán, en total, al unirse los centros de tres circunferencias vecinas inmediatas? Observación: de la forma indicada. 2 0

1

2

3

4

5



om

Se sabe que la cantidad de alumnos que desaprobaron dos cursos supera en cuatro a los alumnos que desaprobaron tres cursos; y que la cantidad de alumnos que desaprobaron cuatro cursos es el doble de los alumnos que desaprobaron cinco cursos. Calcular la cantidad de alumnos que desaprobaron dos cursos, de los 50 considerados.

b) 210 e) 360

19

20

21

c) 400



at

3

at e

a) 201 d) 441

2

m

1

ic a

1.c



cursos desaprobados

a) 6 d) 12

ww w.

M

12. Dadas las siguientes sucesiones: S1: 11; 18; 25; 32; ...; 844 S2: 4; 13; 22; 31; ...; 1165 ¿Cuántos términos son comunes a ambas? a) 12 d) 14

b) 13 e) 10

c) 16



13. Un tablero de ajedrez no convencional tiene 10 cuadrados chicos por lado. ¿Cuántos triángulos se formarán en total si se traza una diagonal al tablero? a) 107 d) 109

b) 110 c) 108 e) Más de 110

c) 10



16. En el conjunto A={1; 2; 3; 4} se define la operación representada por (*) mediante la siguiente tabla: * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 1 1 1



14. ¿Qué figura completa coherentemente la siguiente distribución?

b) 8 e) 14

3 3 1 1 4

4 4 2 3 4



I. Si: [3*(x*4)]*1=(4*2)*(3*1), entonces x=3 II. La operación es cerrada. III. Operación conmutativa. IV. Existe el elemento neutro y un elemento inverso para cada elemento de "A".



Son ciertas: a) Solo II d) III y IV

b) Solo I e) II, III y IV

c) I, II y IV

nas próximas se dirigirá. En la próxima esquina volverá a hacer lo mismo. Si tira la moneda tres veces, ¿cuál de los recorridos mostrados no es posible?

17. El gráfico indica el costo de tres tipos de semillas "A", "B" y "C" por cada 50 kg. Con el costo de 150 kg de semilla "B", ¿cuántos kg de semilla "C" se pueden comprar? Costo por 50 kilos

B

C

A

D

A B

C

10 20 30 40 50 60 70

a) 75 d) 150

b) 100 e) 300

a) ABCD d) ADAB

Miles de soles

c) 125



6. Si: A = 999...99 14 2 4 3 50 cifras

BLOQUE II 1. Un empresario razonaba de la siguiente mane- ra: "Si pago S/. 15 a cada uno de mis empleados, me faltarían S/. 400; pero si les pago S/. 8 me sobrarían S/. 160. ¿Cuántos empleados hay en la empresa?

50 cifras

Además: (A - B)2= CAR...MEN ; A=M 144 2 44 3 100 cifras

Calcular: C+A+R+M+E+N a) 18 d) 21

om

c) 85

B = 444...44 14 2 4 3

b) 28 e) 32

c) 19



1.c

b) 72 e) 60

c) ADCB

1 2 7. Se define en R: a = (a + 1) 2

ic a

a) 80 d) 75

b) ABAD e) ADCA

3.

b) 120 e) 60

c) 162

ww w.

a) 42 d) 126

M

at e

m

at

2. Un club de vóley tiene en total 10 jugadoras, de las cuales, en cada partido solo pueden jugar seis. ¿Cuántos equipos diferentes podrían formarse en este club, sabiendo que en todos ellos siempre tiene que estar como capitana la misma jugadora cuyo nombre es María Luisa?

Si asumimos como cierto que: • Cada una de las mujeres es romántica. • Ninguna celosa es romántica. Entonces, podemos concluir: a) Muchas románticas son celosas. b) Todas las mujeres son celosas. c) Muchas celosas gustan de los hombres. d) Ninguna mujer es celosa. e) Todas las celosas son atractivas.

Además: x*y =(x+y)(x - y) Si se cumple: a * b =

31

Hallar: a2+b2 a) 6 d) 8

b) 9 e) 1

c) 3



8. Se sabe que para colocar los códigos de los postulantes a una universidad se emplean las cifras y la letra que van apareciendo en la siguiente secuencia:

3 - B; 4 - D; 7 - G; 13 - L;



¿Cuál podría ser el código de un postulante, si aquel se formará con el término que sigue en la secuencia? a) 2233R d) R3232

b) 4568P c) S7506 e) Hay más de una respuesta.

4. Un corredor de bienes raíces recarga el precio de una casa en 25% de su valor. Si al venderla hace un descuento del 12%, ¿cuál ha sido su 9. Sabiendo que: porcentaje de utilidad? A = 1 + 3 3 + 5 5 + ... 10 10 10 a) 15% b) 13% c) 12% 2 4 d) 10% e) 11% B= + + 6 6 + ... 2 4 10 10 10 Calcular: A÷B 5. Una persona está parada en el punto "A" del cuadrado que se observa en la figura y decide, a) 1,01 b) 1,02 tirando una moneda, hacia cuál de las esquid) 5,05 e) 0,12

c) 0,1



b) 240 km e) 360 km

c) 320 km

11. En el calendario de un año no bisiesto se observó que desde el jueves primero de enero hasta el onomástico de una persona se emplearon 264 cifras para numerar los días transcurridos. ¿Qué día y mes nació dicha persona? a) Martes 7 - 06 c) Sábado 8 - 06 e) Domingo 7 - 06

b) Domingo 8 - 06 d) Sábado 7 - 06

a) 450 y 80 d) 500 y 20

b) 300 y 50 e) N.A.

b) 24 e) N.A

c) 450 y 50

a) 60 d) 80

b) 70 e) N.A.



c) 75



18. En una reunión de la academia había 100 personas entre profesores, alumnos y empleados. El número de profesores que tenían anteojos era igual a la raíz cuadrada del número de alumnos. Entre los asistentes había un número de empleados igual a la raíz cúbica de el número de alumnos. ¿Cuántos profesores tenían anteojos? a) 18 d) 26

b) 20 e) 28

c) 24



b) 3 e) 9

c) 12

ww w.

a) 6 d) 8

M

at e

m

at

13. José y Luis salieron de cacería y trajeron patos y conejos. José mató el doble de patos que conejos; Luis mató tantos conejos como José. Ambos trajeron en total, 21 cabezas y 54 patas. ¿Cuántos patos mató Luis?

c) 63

17. En un corral hay tantas patas de patas como cabezas de patos; pero hay tantas patas de patos y patas como cabezas de patas y patos aumentadas en 30. ¿Cuántos animales se contará en total, luego de que cada pata tenga tres crías de patitos?

1.c

12. En cantidades iguales el peso del vino es 1/50 menos que el agua. Se tiene una mezcla de 500 l de vino y agua que con el recipiente pesa 523 kg. Si el recipiente vacío pesa 32 kg, ¿qué cantidad de vino y de agua hay en el recipiente?

a) 36 d) 43

ic a

a) 300 km d) 350 km

16. Un profesor nació en el año 19ab; su hijo, en el año 19ba, y en el año 1992 sus edades estaban en la relación de cuatro a uno. Determinar la edad del profesor. (Año actual: 2011).

om

10. Un automóvil parte de "A" con 10 galones de gasolina, y un agujero en el tanque por el cual pierde 1/2 galón por hora. Si su velocidad es 80 km/h, ¿a qué distancia de "A" se encontrará el automóvil cuando se le acabe la gasolina, si su rendimiento es de 40 km/galón?



14. Tres trenes parten del mismo punto y siguen igual vía en la misma dirección. El primero parte a las 6:00 horas, el segundo, a las 7:00 horas; y el tercero, a las 9:00 horas; siendo sus velocidades de 25, 30 y 40 km/h, respectivamente. ¿A qué hora el tercer tren estará en el punto medio de la distancia que separa al primero y al segundo? a) 22:00 h d) 19:00

b) 16:00 e) N.A.

c) 14:24

15. Hallar el producto de las cifras del resultado de: 3 * * × 2 * * * 3 * 6 2 * * * * a) 105 d) 0

b) 108 e) 126

c) 124



19. Verónica gasta su dinero del modo siguiente: en 25 chocolates, 3/5 de su dinero más tres soles; en 62 refrescos, 2/3 del dinero que le queda más un sol y en 40 galletas gasta 3/7 del resto más cuatro soles, quedándose al final únicamente con cuatro soles. ¿Cuánto gasta en 10 chocolates, seis refrescos y ocho galletas? (En soles). a) 35 d) 33,5

b) 44 e) N.A

c) 39



20. "La mitad de lo que me queda de gaseosa en la botella", dice ella: "Es igual a la tercera parte de lo que ya me tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda". ¿Qué fracción de toda la gaseosa se habrá tomado? a) 3/10 d) 7/10

b) 3/7 e) N.A.

c) 2/3