ARITMETICA I BIM. TRILCE PRIMARIA LOCUTORIO LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ARITMETICA
Pág Pá g.
å Adición Adici ón y Sustracción Sustracc ión en N ...................... ........................................... .......................7 å Multiplicación y División en N ................. .......................... ................ ............ .....17 ........................................... ................................... ......... 27 å Números enteros (Z) .................
å Adición y Sustracción en Z - Operaciones combinadas de adición y sustracción en Z ........... .................... .................. ................ ......... ..37
å Multiplicación y División en Z............ Z..................... .................. ................ ......... ..43 å Conjunto de los números racionales ................. .......................... ...........47 Operaci ones con fracciones fracc iones ....................... ........................................ ................. 53 å Operaciones
åRepaso
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å Adición Adici ón y Sustracción Sustracc ión en N ...................... ........................................... .......................7 å Multiplicación y División en N ................. .......................... ................ ............ .....17 ........................................... ................................... ......... 27 å Números enteros (Z) .................
å Adición y Sustracción en Z - Operaciones combinadas de adición y sustracción en Z ........... .................... .................. ................ ......... ..37
å Multiplicación y División en Z............ Z..................... .................. ................ ......... ..43 å Conjunto de los números racionales ................. .......................... ...........47 Operaci ones con fracciones fracc iones ....................... ........................................ ................. 53 å Operaciones
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ADICIÓN EN N A la acción de agregar, agrupar o añadir le llamamos llamamos ADICIÓN. ELEMENTOS DE LA ADICIÓN: 1. Los números que queremos queremos sumar reciben el nombre de SUMANDOS. 2. El signo para identificar la operación es una pequeña cruz (+).
13 + 27 + 58 = 98
3. El resultado resultado de la operación se denomina "suma total". PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES: 1. Propiedad de Clausura. "Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número ______________". ______________". Ejemplo: Si: 87 ___ y 13 ___; entonces: 87 + 13 = 100 ___ es decir:
Si: a
Nyb
N; entonces: (a + b)
N
2. Propiedad Conmutativa. "El orden de los sumandos no altera la ______________". ______________". Ejemplo: Si: 26 ___ y 14 ___; entonces: 26 + 14 = ___ + ___ = 40 es decir:
Si: a
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Nyb
N; entonces: a + b = b + a
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3.a Propiedad Asociativa. "La forma como agrupamos los sumandos no altera la ______________". Ejemplo: Si: 8 ___, 7 ___ y 5 ___; entonces: (8 + 7) + 5 = ___ + (___ + ___) = 20 SUMAS PARCIALES
es decir:
Si: a
N, b
Nyc
N; entonces: (a + b) + c = a + (b + c)
3.b Propiedad Disociativa. "Es una adición, al descomponer uno de los sumandos en dos o más sumandos la suma no se ______________". Esta propiedad es recíproca de la anterior. Ejemplo: Si: 12 ___ y 5
___; entonces: 12 + 5 = (___ + ___) + 5 = 17,
porque 12 = ___ + ___
es decir:
Si: a N y b
SUMA PARCIAL
N; entonces: a + b = (x + y) + b; porque: a = x + y
4. Propiedad del elemento neutro. "Si sumamos cualquier número natural con el ______________, el resultado sigue siendo el mismo número natural". Ejemplo: Si: 3 ___; entonces: 3 + ___ = __ + 3 = 3 es decir:
Si: a
N; entonces: a + 0 = 0 + a = a
Nota: En el conjunto Z, el número opuesto o contrario de un número "a" es aquel número (-a) llamado elemento inverso aditivo de "a", ya que sumando nos da el módulo cero. Ejemplo: 6 + (-6) = (-6) + 6 = 0 es decir: a + (-a) = (-a) + a = 0
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REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Completa el nombre de las propiedades: a. 32 + 27 = 59 b. 210 + 0 = 210 c. (7 + 3) + 12 = 7 + (3 + 12) d. 23 + 57 = 57 + 23 e. 7 + 15 = 7 + (3 + 12)
________________________ ________________________ ________________________ ________________________ ________________________
2. Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. a. Hallar 2 números que sumados resulten: • 10 = 1 + 9 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___ • 13 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___ • 17 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___ • 19 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___ b. Calcular mentalmente el resultado de la adición: 73 + 27 =
(70 + 20) y (3 + 7) 90
Ejemplo: • 23 + 72 = • 42 + 51 =
• •
10 = 100
17 + 81 = 86 + 27 =
• •
64 + 45 = 76 + 23 =
c. Calcular mentalmente, formando grupos de 10. 2+7+5+1+8+3+4+5+9=
Ejemplo: • • • •
10 + 10 + 10 + 10 + 4 = 44
2+7+5+3+8= 1 + 3 +5 +9 + 7 + 5 = 6 + 2 +8 +4 + 7 + 3 = 9 + 5 +1 +6 + 4 + 9 =
d. Separa convenientemente, formando decenas.
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79 + 34 =
79 + (1 + 33) (79 + 1) + 33 80
+ 33 = 113
Ejemplo: •
529 + 32 =
•
249 + 36 =
•
739 + 13 =
•
819 + 27 =
e. Realiza las siguientes adiciones y halla: abc • • • • f.
2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22222222 = ... abc 1 + 31 + 131 + 3131 + ... + 1313131313 = ... abc 3 + 33 + 333 + ... + 33333333 = ... abc 32 + 323 + 3232 + ... + 3232323 = ... abc
Adiciones particulares: •
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 = n(n + 1) 2
n = ____ = último número
•
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 18 + 20 = 2n = ____ = último número
•
n(n + 1)
1 + 3 + 5 + 7 + ... + 17 + 19 = 2n - 1 = ___ = último número
n2
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Relaciona correctamente de acuerdo a. 4 + 0 = 4 b. 9 + 3 = 8 c. 7 + 4 = 4 + 7 d. 18 + 7 = 18 + (2 + 5) e. (3 + 4) + 9 = 3 + (4 + 9)
al nombre de las propiedades. ( ) Propiedad Asociativa ( ) Propiedad del Elemento Neutro ( ) Propiedad Disociativa ( ) Propiedad Clausura ( ) Propiedad Conmutativa
2. Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades. a. 423 + 17 = b. 171 + 29 = COLEGIO TRILCE
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c. 524 + 236 = d. 812 + 428 = e. 6 + 8 + 1 + 4 + 2 + 9 + 5 = f. 12 + 7 + 23 + 5 + 8 + 15 = g. 5 + 25 + 525 + 2525 + ... + 2525252525 = ... ab h. 1 + 2 + 3 + ... + 15 = i.
2 + 4 + 6 + ... + 16 =
DESAF O
f.
1 + 3 + 5 + ... + 17 =
9
99
989
9898
...
989898 ..... 9898
...abc
20 cifras
Hallar el valor de "a + b + c"
SUSTRACCIÓN EN N Es una operación inversa a la ADICIÓN. ELEMENTOS DE LA SUSTRACCIÓN: 53
-
26
=
27 Nota:
(M)
(S)
Si: D 1 entonces: M > S
(D)
PROPIEDADES PARTICULARES: I. Si: 53 - 26 = 27, entonces: 53 = 27 + ___ es decir:
Si: M - S = D; entonces: M = D + S
Veamos qué sucede cuando sumamos los tres términos de una sustracción. si: 53 - 26 = 27; entonces: 53 + 26 + 27 = 53 + (26 + 27) = 53 + ___ = 2 ( ) es decir:
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si: M - S = D; entonces: M+S+D= M + (S + D) M + ____ = 2 ( ) Por lo tanto, la suma de los tres términos de una sustracción es igual a dos veces el minuendo.
M + S + D = 2M II. Sustracciones particulares
412 214 198
832 238 594 = ___
abc cba xny = ___
___ + ___ = ___
___ + ___ = ___
= ___ ___ + ___ = ___
III. Complemento aritmético (C.A.) Para: 123, su C.A. es: 1000 - 123 1000 123 877
Unidades ___ - 3 = 7 Decenas ___ - 2 = 7 Centenas ___ - 1 = 8
C 1 (___ - 1)
D 2 (___ - 2)
U 3 (___ - 3) Complemento Aritmético
En general: Para: abcd, su C.A. es: 10000 UM a (9 - a)
C b (9 - b)
D c (9 - c)
abcd
U d (10 - d) Complemento Aritmético
IV. Relaciones de compra y venta: PV - G = Pc Donde: • PV : ____________________________ COLEGIO TRILCE
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• G : ____________________________ • Pc : ____________________________
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. La suma de los tres términos de una sustracción es 4208. Hallar el minuendo.
6. Si el C.A. de abc es 327; hallar: a + b + c.
2. Los tres términos de una sustracción al sumarse da 2040. Hallar el minuendo.
7. Si el C.A. de 8ab8 es cd4 a ; hallar: a + b + c + d.
3. ¿Cuál es la diferencia en una sustracción cuya suma de términos sea 8424, sabiendo además que el sustraendo es la cuarta parte del minuendo?
4. En una sustracción, la diferencia de los dos menores términos es 44. Si el minuendo es el cuádruple del sustraendo, hallar el mayor de estos dos términos.
5. ¿Cuál es el C.A. de 5782? COLEGIO TRILCE
8. Hallar "x", si:
mnp pnm x93 .
9. Si se cumple: abc hallar: m + n.
cba
2mn ;
10. María vende una bicicleta por S/.750, ganando S/.220. ¿Cuánto le costó la bicicleta?
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DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. La suma de los tres términos de una 6. Si se cumple: pqr rqp 7mx sustracción es 4800, hallar el minuendo. hallar: m + x
2. ¿Cuál es la diferencia, en una sustracción donde la suma de términos es 5400, sabiendo además que el minuendo es el triple del sustraendo?
7. Víctor vendió un equipo de sonido por S/.970, ganando S/.145. ¿Cuál es el precio de costo del equipo de sonido?
8.
925 453
9.
75683873
3. El complemento aritmético de 2753 es:
4. El complemento aritmético de Hallar: a + b + c + d
es .
5. Hallar "a", si:
10.
23541297
DESAFÍO En una sustracción la suma de sus tres términos es 240, y además la diferencia es el triple del sustraendo. Hallar el sustraendo.
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MULTIPLICACIÓN EN N La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse muchas veces. 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 5 = 15
Ejemplo:
Se repite ____ veces el 3.
SUMANDOS
ELEMENTOS DE LA MULTIPLICACIÓN: 6
123 × 45 615 4920 5535
×
7
= 42
Multiplicando Multiplicador ___________________ ___________________ Producto
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN: 1. Propiedad de Clausura. "Si multiplicamos dos o más números naturales, el producto también es otro número natural". Ejemplo: Si: 25 N y 3 N, entonces: 25 × 3 = ____ N es decir: Si: a
Nyb
N; entonces: (a × b)
N
2. Propiedad Conmutativa. "El orden de los factores no altera el producto". Ejemplo: Si: 12 N y 3 N; entonces: 12 × 3 = ___ × ___ = 36
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es decir:
Si: a
Nyb
N; entonces: a × b = b × a
3. Propiedad Asociativa. "Si multiplicamos tres o más factores y juntamos dos sin importar el orden y se reemplaza por el producto parcial, el producto no varia". Ejemplo: Si: 8 N, 3 N y 2 N; entonces: (8 × 3) × 2 = ___ × (___ × ___) es decir:
Si: a
N, b
Nyc
N; entonces: (a × b) × c = a × (b × c)
4. Propiedad del Elemento Neutro o Modulativa. "Cualquier número por UNO es igual al mismo número". Ejemplo: Si: 27 N: entonces: 27 × ___ = 27 es decir:
Si: a
N, entonces: a × 1 = a
5. Propiedad del Elemento Absorvente. "Todo número multiplicado por CERO es igual a CERO". Ejemplo: Si: 43 N, entonces: 43 × ___ = 0 es decir:
Si: a
N, entonces: a × 0 = 0
6. Propiedad Distributiva. a. Con respecto a la Adición: "El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos parciales de dicho número por cada uno de los sumandos". Ejemplo: Si: 8 N, 3 N y 7 N, entonces: 8(3 + 7) = 8 × ___ + 8 × ___ = 80 es decir:
Si: a
N, b N y c N, entonces: a(b + c) = ab + ac
b. Con respecto a la Sustracción: "El producto de un número por una diferencia es igual a la diferencia de los productos parciales de dicho número por cada uno de los términos de la sustracción". Ejemplo: Si: 7 N, 23 N y 13 N, entonces: 7(23 - 13) = 7 × ___ - 7 × ___ = 70
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Si: a
es decir:
N, b N y c N, entonces: a(b - c) = ab - ac
7. Propiedad de Uniformidad. "Si se multiplican miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado es otra igualdad". Ejemplo: Si: a = 5 y b = 3, entonces: ___ × ___ = ___ × ___ es decir:
Si: a = a1 y b = b1, entonces: a × b = a1 × b1
8. Propiedad de Monotomia. a. "Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número natural, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". Ejemplo: Si: 5 < 7, entonces: ___ × 5 < ___ × 7 Si: a < b, entonces: a × c < b × c
es decir:
b. "Si se multiplican miembro o miembro dos o más desigualdades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido". Ejemplo: Si: 3 < 6 y 2 < 5; entonces: ___ × ___ < ___ × ___ Si: a < b, c < d; entonces: a × c < b × d
es decir:
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Completa el nombre de las propiedades: a. 3 × 1 = 3
_______________________
b. 4(5 + 45) = 4 × 5 + 4 × 45
_______________________
c. 8 × 0 = 0
_______________________
d. 7 × 3 = 3 × 7
_______________________
e. 23 × 2 = 46
_______________________
f.
_______________________
(7 × 5) × 9 = 7 × (5 × 9)
g. 5(3 - 2) = 5 × 3 - 5 × 2 COLEGIO TRILCE
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h. b = 11;c = 5 b × c = 55
_______________________
i. j.
_______________________ _______________________
7<97×3<9×3 5<7y3<85×3<7×8
2. Métodos prácticos para multiplicar utilizando las propiedades. a. Hallar 2 números que multiplicados resultan: •
36 = 12 × 3 = ___ × ___ = ___ × ___
•
100 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
•
60 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
•
72 = = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
b. Calcular mentalmente, agrupando factores potencia de 10. (2 × 5) × (3 × 7)
2×3×5×7=
10
Ejemplo:
×
21
= 210
•
3×5×8×2=
•
2×7×5×4=
•
7 × 25 × 8 × 4 =
•
5×9×2×3=
•
4 × 3 × 25 × 7 =
•
25 × 7 × 4 × 5 =
c. Calcular mentalmente el siguiente producto: 7 × 32
7 × 32 = 7 × (30 + 2) = 7 × 30 + 7 × 2 = 210 + 14 = 224
Ejemplo: • •
8 + 32 = 7 × 51 =
• •
9 × 52 = 9 × 35 =
• •
6 × 85 = 5 × 94 =
d. Calcular mentalmente el siguiente producto: 8 × 19
Ejemplo:
8 × 19 = 8 × (20 - 1) = 160 - 8 = 152
•
7 × 19 =
•
4 × 18 =
•
6 × 49 =
•
5 × 19 =
•
5 × 18 =
•
8 × 49 =
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e. Resolver las operaciones sacando el factor común: 2×5+3×5+5×5=
Ejemplo:
2×5+3×5+5×5 5(2 + 3 + 5) 5(10) = 50
•
3 × 5 + 3 × 7 + 3 × 18 =
•
8 × 19 + 8 × 3 + 8 × 8 =
•
9 × 43 + 9 × 27 - 9 × 70 =
•
a × 7 + a × 3 - a × 10 =
•
8a - 4b =
•
ab - ac + a × a =
3. Efectuar las siguientes multiplicaciones: •
234 × 56 =
•
597 × 308 =
4. Resolver las siguientes multiplicaciones: a. Se compraron 9 libros a S/.2 cada uno, 6 lapiceros a S/.1 cada uno y 4 plumas fuentes a S/.3 cada una. Si se vende todo por S/.20, ¿cuánto se pierde? b. Un empresario ocupa los servicios de 10 obreros durante dos semanas pagándoles dominical. Si a 6 de ellos les paga S/.12 diarios y S/.10, a cada uno de los restantes, ¿cuánto desembolsa el día del pago? c. Compre 120 caballos a S/.200 cada uno, 50 se murieron y el resto los vendí a S/.229 cada caballo, ¿cuánto gané o perdí?
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Completa el nombre de las propiedades: a. b. c. d.
3×0=0 (3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4) 3×1=3 5(7 + 2) = 5 × 7 + 5 × 2
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( ( ( (
) ) ) )
Propiedad Conmutativa Propiedad del Elemento Neutro Propiedad Asociativa Propiedad de Clausura Página 15
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e. f. g. h. i. j.
25 × 4 = 100 6(9 - 4) = 6 × 9 - 6 × 4 9×8=8×9 x = 4; y = 7 x.y = 28 10 < 11 3 × 10 < 3 × 11 2 < 3; 5 < 6 2 × 5 < 3 × 6
( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) )
Propiedad Distributiva (+) Propiedad Uniformidad Propiedad de Monomomía (a) Propiedad Distributiva (-) Propiedad de Monotomía (b) Propiedad del Elemento Absorvente
2. Resolver las siguientes multiplicaciones: a. c. e. g. i.
2×7×8×5= 25 × 6 × 4 × 7 = 8 × 27 = 7 × 19 = 3×2+3×5-3×6=
b. d. f. h. j.
9 ×2×8×5= 7 × 25 × 9 × 4 = 9 × 52 = 6 × 39 = 5 × 29 + 5 × 21 - 5 × 49 =
3. Resolver el siguiente problema: Nataly venden 60 docenas de platos y hace 2 entregas: - La primera de 170 platos. - La segunda de 180 platos. ¿Cuántos platos le falta entregar? Dato: 1 docena = 12 unidades DESAFIO Un padre reparte su herencia de la siguiente manera: A Luis le toca $9800, a Juan $200 más que Luis, a María $300 menos que a Luis y a Arturo tanto como a los tres anteriores. ¿Cuánto dinero repartió el padre?
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DIVISIÓN EN N "La división es una operación inversa a la multiplicación". ELEMENTOS DE LA DIVISIÓN: 32
8
=
4
Veamos qué sucede al multiplicar el divisor por el cociente: Si:
32 2
4
; entonces: 32 = 8 × 4
Es decir: El "Algoritmo de la división" es: Si: D = q; entonces: D = d × q d
Nota: "32 contiene cuatro veces al divisor 8". El cociente (q) indica cuántas veces el divisor (d) está contenido en D. TIPOS DE DIVISIÓN: 1. División exacta. Es cuando en la división el residuo es igual a CERO. Ejemplo:
Si: 54 9 54 6
; entonces : 54 = 9 × 6 + 0 donde : "el residuo es igual a CERO"
es decir: Si: D
d q
; entonces: D = d × q
donde: "r = 0"
r
2. División inexacta. Es cuando en la división el residuo es diferente de CERO. Ejemplo: Si: 45 6 42 7 3
; entonces : 45 = 6 × 7 + 3 donde : "el residuo es igual a 3"
Si: D
es decir:
d q
; entonces: D = d × q + r donde: "r 0"
r
Nota: El residuo siempre va a ser menor que el dividendo COLEGIO TRILCE
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REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Hallar en cada caso el elemento que falta: a. D = 85 ; q = 9 ; d = 9 ; r = ____ b. d = 11 ; q = 3 ;
r=8 ;
D = ____
c. D = 215 ; q = 21 ;
r=5 ;
d = ____
d. D = 420 ; d = 32 ;
r=4 ;
q = ____
2. Si el cociente de una división exacta es 853 y el divisor 23, ¿cuál es el dividendo? 3. Se reparten S/.741 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca S/.57, ¿cuántas eran las personas? 4. ¿Por qué número hay que dividir a 15 470 para que el cociente sea 17? 5. Valeria repartió cierto número de caramelos entre 19 personas y después de dar 7 caramelos a cada persona sobraron 6 caramelos. ¿Cuántos caramelos habían? 6. Vanesa repartió 260 lápices entre sus 47 amiguitos en partes iguales, le sobraron 25 lápices. ¿Cuántos lápices repartió Vanesa a cada uno de sus amigos? 7. Esteban tenía S/.165 y lo repartió a cierto número de personas. Si a cada uno le repartió S/.23 y le sobraron S/.44, ¿cuántas personas habían? 8. En una división el cociente es 25, el divisor es 30 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo. 9. Un muchacho compra el mismo número de lápices que de lapiceros por S/.90. Cada lápiz vale S/.3 y cada lapicero S/.7. ¿Cuántos lápices y lapiceros ha comprado? 10. Si al dividir "n" entre 137 el cociente es el duplo del divisor. ¿Qué número es "n"?
DEMUESTA LO APRENDIDO 1. Hallar el valor que falta: a. D = 83
; d = 9 ; q = 9 ; r = ____
b. D = 1 874 ; d = 80 ; r = 34 ; COLEGIO TRILCE
q = ____ Página 18
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c. D = 102 ; r = 10 ; d. d = 8
q = 23 ; d = ____
; r = 3 ; q = 11 ; D = ____
2. Si 14 libros cuestan S/.84, ¿cuánto costarían 9 libros? 3. En una división el dividendo es 72, hallar el divisor sabiendo que el cociente y el residuo son iguales a 4. 4. Tenía S/.2 500, compré víveres por un valor de S/.700 y con el resto compré sacos de arroz a S/.60 el saco. ¿Cuántos sacos de arroz compré? 5. Si al dividir "x" entre 109 el cociente es el doble del divisor, ¿qué número es "x"? 6. Se reparten S/.731 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca S/.43. ¿Cuántas eran las personas? 7. En una división el cociente es 35, el divisor 40 y el residuo es la mitad del divisor. Encontrar el dividendo. DESAFIO En una división el dividendo es 625 y además se sabe que el divisor es el cubo del cociente. Hallar el divisor.
Son aquellos números positivos y negativos que no tienen parte decimal, incluido el cero.
•
Ejemplos: +4; +3; -5; 9; -3; 0; -10
-2
-1 -5
2
6 4
-6
5
3 -3
Z N -4
Los números enteros se representan en una recta numérica: COLEGIO TRILCE
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... -6
*
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6 ...
Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo.
1. VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO. Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde: - Ambos autos parten de un mismo lugar. - Viajan en sentido contrario. - Viajan a una misma velocidad. ¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma? Rpta.: ___________________
Partida
Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de dicho número a cero. Ejemplo: Observa detenidamente la figura:
... -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 ...
De la figura podemos observar lo siguiente: a. |-3| = 3, se lee: valor absoluto de "-3" es 3. b. |+3| = 3, se lee: valor absoluto de "+3" es 3. c. |-7| = 7, se lee: valor absoluto de "-7" es 7. d. |+9| = 9, se lee: valor absoluto de "+9" es 9. 2. EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO. Es el número entero cambiado de signo, por ejemplo: • El opuesto de +7 es -7 • El opuesto de -3 es +3 • El opuesto de 5 es -5 • El opuesto de -1 es +1 3. RELACIÓN DE ORDEN (>, <, =). a. Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la recta numérica. COLEGIO TRILCE
Página 20
ARITMETICA
b. Todo número entero positivo es mayor que su antecesor. c. Todo número entero negativo es menor que su sucesor. Ejemplos: * 6 es mayor que 1, porque:
+1
+6 +4
*
4 es mayor que 0, porque:
0
*
0 es mayor que -3, porque:
-3
*
-2 es mayor que -6, porque:
0
-6
-2
4. DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA RECTA NUMÉRICA. Reglas de juego *
Números negativos, indicarán movimientos hacia la izquierda de la recta, con respecto a cero.
*
Números positivos, indicarán movimientos hacia la derecha de la recta, con respecto a cero.
*
El punto de partida es cero "0".
Ejemplo: Representar sobre la recta: - 2 - 5 + 17 3° 2°
-9
-8
-7 -6
-5 -4
1° -3
-2
-1
0
+2
+3
+4
+5 + 6
+7
+8
+9
+10
+11
+ 12
+13
5 Partida 2
Llegada
Representar: a. -2 - 3 - 1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
b. -3 + 5 + 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
COLEGIO TRILCE
Página 21
ARITMETICA
c. 5 - 2 - 1 + 3
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
d. +4 - 5 - 2
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
e. +8 - 2 - 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
1
1
-2
0
0
1
1
1
0
2
2
1
3
3
2
4
4
3
5
5
4
6
7
6
5
7
6
8
8
7
8
¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1. Indica en los cuadrados si es ">", "<" o "="; en cada uno de los siguientes casos: a.
0
1
e.
4
b.
-8
0
f.
|-3|
+3
c.
5
+5
g.
0
-4
d.
|-1|
0
h.
0
-60
2. Completa las siguientes expresiones: a. 36 es opuesto de: ______
0
e. El valor absoluto de -4 es: ______
b. -73 es opuesto de: ______
f.
El valor absoluto de: +35 es: ______
c. +82 es opuesto de: ______
g. El valor absoluto de -1 es: ______
d. 5 es opuesto de: ______
h. El valor absoluto de 14 es: ______
3. Coloca (V), si la afirmación es verdadera y (F), si es falsa. a. El opuesto de un número entero negativo es negativo.
(
)
(
)
c. La distancia entre dos números opuestos es el doble de la distancia entre uno de los números y el cero.
(
)
d.
(
)
b.
El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo.
El valor absoluto de un número entero siempre es positivo.
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
e.
El opuesto de un número entero negativo es positivo.
(
)
f. La suma de los valores absolutos de dos números opuestos es cero.
(
)
4. Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos correspondientes. (En el cuaderno). a. - 5 ; + 5 Recuerda: para - 4 y +4
b. + 6 ; - 6 -4 -3
c. - 7 ; + 7
-1 0 +1 +2 +3 +4
d. 8 ; - 8 e. - 3 ; 3 5. Completa el siguiente cuadro: a -15 -7 +5 -13 -100 +10 12 4 -7 -14 -1 -101 16 -54 18
COLEGIO TRILCE
>ó<
b
|a|
>, < ó =
|b|
|a| + |b|
+2 +9 6 15 0 -20 -22 -8 -7 +14 0 -3 +16 52 -36
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ARITMETICA
6. En tu cuaderno traza una recta numérica y representa en ella lo siguiente: a. - 8 + 5 b. + 4 - 10 *
c. - 7 - 2 d. + 5 + 3
Observa la siguiente información y responde las interrogantes: Temperatura Ciudad Mínima Máxima Abadia 14.0ºC 19.1ºC Iquedia 12.1ºC 17.8ºC Calmadia -0.8ºC 22.7ºC Antofadia 13.8ºC 18.1ºC Capia 5.5ºC 21.3ºC Vallenilla 10.0ºC 20.0ºC La Serilla 7.9ºC 13.1ºC Valpedia 11.8ºC 13.6ºC Pudalia 5.3ºC 23.6ºC Quintanilla 7.2ºC 23.8ºC Juantorena 17.9ºC 18.7ºC Cursima 11.7ºC 19.6ºC Chillido 14.2ºC 17.2ºC Conexión 13.4ºC 14.7ºC Temblido 14.6ºC 18.8ºC Valdivia 7.8ºC 17.4ºC Osodio 7.0ºC 16.0ºC Puertilla 6.2ºC 14.6ºC Copadirma -3.8ºC 2.8ºC Balmadia -8.1ºC 1.3ºC Puntillas 0.0ºC 6.3ºC
7. ¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más baja? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el signo negativo en ese caso? ¿Qué indica el número (valor numérico)? 8. ¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la temperatura más alta? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el número (valor numérico)? ¿Por qué no tiene signo? Si tuvieras que ponerle un signo, ¿cuál le pondrías?
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
9. ¿Qué indica el cero en esa información? ¿Qué relación tiene el cero con las temperaturas con signo negativo? y ¿el cero lleva signo? 10 Resuelve: a. |-4| × |2| + |-8| b. |-6| × |-3| + |16| c. |-18| |-3| -
| 10 | | 2 | | 5 | d.
Continúa esforzándote porque el éxito depende de ti.
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Escribe en cada cuadrado, si es "<", ">" o "=", según convenga: a.
|-3|
-3
e. |-48|
48
b.
-1
|1|
f.
+35
35
c.
-2
-38
g.
-8
|+8|
2. Completa las expresiones siguientes: a. -8 es opuesto de: ______
d. El valor absoluto de -5 es: ______
b. 36 es opuesto de: ______
e. El valor absoluto de 13 es: ______
c. +15 es opuesto de: ______
f.
El valor absoluto de +14 es: ______
3. Determina los siguientes conjuntos por extensión: a. A = {x/x Z, x < 1} A = {___________________________________} b. B = {x Z/x > -4} B = {___________________________________} c. C = {x/x Z, -8 < x < 8} C = {___________________________________} d. D = {x/x Z, -1 < x} D = {___________________________________} 4. Traza una recta numérica para cada caso y representa en ella: a. + 7 - 6
c. - 10 - 2
b. - 8 + 8
d. + 3 + 12
5. Ordena los siguientes números enteros en la recta numérica: COLEGIO TRILCE
Página 26
ARITMETICA
a. c. e. g.
-7 ; +6 ; 0 ; -1 -20 ; - 10 ; -6 ; 1 -10; +2 ; +5; -1 -17 ; +16 ; -15 ; 0
b. d. f. h.
-10 ; -12 ; -13 -27 ; -21 ; 1 +15 ; -13 ; -14 ; 0 +8 ; -5 ; -4 ; +3
b.
| 5 | | 25 | | 3|
6. Resuelve los siguientes ejercicios:
| 7 | | 18 | | 3 | | 6| | 5| a. *
| 100 |
2
Un submarino se encuentra sumergido a 50 metros de la superficie, luego realiza los siguientes movimientos: a. Primer movimiento: desciende 120 metros. b. Segundo movimiento: asciende 70 metros. c. Tercer movimiento: desciende 50 metros.
7.
Luego del primer movimiento, ¿a cuántos metros de profundidad se encuentra el submarino?
8.
Luego del segundo movimiento ¿a cuántos metros de la superficie se encuentra el submarino?
9.
Luego del tercer movimiento, ¿cuál es la distancia que separa el submarino de la superficie?
10. ¿Cuál es la mayor profundidad alcanzada por el submarino? ¿En qué movimiento?
DESAFÍO Considera un número entero "x" y realiza con él las siguientes operaciones sucesivas: multiplícalo por 2, súmale 1, multiplícalo por 3 y réstale 5. Si el resultado final fue 220, el valor de "x" es:
A. Un número primo. B. Un número par. C. Un número entre 40 y 50. D. Un número múltiplo de 3. E. Un número cuya suma de dígitos es 9.
COLEGIO TRILCE
Página 27
ARITMETICA
Sabías que ... La primera consideración sobre el número negativo no llega a Occidente hasta el siglo XVI; sin embargo, en Oriente, durante el siglo IV, ya se manipulaban números positivos y negativos en los ábacos, usando bolas de diferentes colores.
ADICIÓN a. Sumandos del mismo signo: Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo signo. Ejemplo: a. (+3) + (+7) + (+10) = b. (-7) + (-3) + (-2) = b. Sumandos de signos diferentes: Se restan los valores absolutos y la suma tiene el signo del sumando de mayor valor absoluto. Ejemplo: a. (-16) + (+2) = b. (+30) + (-16) = SUSTRACCIÓN Para restar dos números enteros se suman el minuendo con el opuesto del sustraendo, es decir "se transforma la resta en suma". Ejemplo: a. (-2) - (-3) = b. (+10) - (-4) = Recuerda • El valor absoluto de un número es el valor del mismo prescidiendo de su signo. • (+4) + (-6) = 4 - 6 (-3) + (-8) = -3 - 8
¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1. Sumar los siguientes números enteros: a. 8 ; 7 8 + 7 = 15 b. 2 ; - 1
c. - 3 ; - 4
d. + 6 ; - 8
COLEGIO TRILCE
__________________________________ __________________________________ __________________________________ Página 28
ARITMETICA
e. + 10 ; + 2
f.
-7;+2
__________________________________ __________________________________
g. - 3 ; - 1
__________________________________
h. - 7 ; + 9
__________________________________
2. Escribir ">", "<" o "=", según corresponde. a. (-9) - (-4) ______ (-3) - (+6) b.
(-8) - (+13) ______ (-7) - (+14)
c.
(-18) - (-6) ______ (-9) - (+3)
d.
(-20) - (+33) ______ (+18) - (-36)
e.
(+65) - (+7) ______ (-7) - (-65)
3. Efectuar las siguientes restas de números enteros: a. (12) - (+7) b. (15) - (8) c. (-36) - (+23)
d. (-36) - (-11)
e. (-25) - (35)
f.
g. (+8) - (-8)
g. (+9) - (+9)
(-100) - (-100)
4. Afina tu cálculo mental. a. + 4 + 6 + 9 =
b. - 8 - 3 - 6 =
c. + 11 + 15 + 12 =
d. - 5 - 12 - 9 =
e. - 5 + 16 - 14 = 5.
Completa la tabla y continúa desarrollando.
a -1 +4 -6
b 3 -2 +1
COLEGIO TRILCE
c -2 5 4
(a + b)
(b - c)
(a + c)
(c - a)
Página 29
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones: a. - 4 - 7 + 13 - 9
Rpta.: -7
b. - 13 + 14 + 27 - 18 - 38
Rpta.: -28
c. 53 - 28 + 39 - 47 + 18
Rpta.: 35
d. - 68 + 4 - 73 - 52 + 106
Rpta.: -83
e. 75 - 49 - 32 + 92 + 18 - 20
Rpta.: 84
f.
Rpta.: 84
36 + 13 + 47 - 12
g. - 73 + 26 - 14 - 37 + 41
Rpta.: -57
h. 45 + 80 - 5 - 6
Rpta.: 114
i.
- 8 - 16 + 10 - 40
Rpta.: -54
j.
- 10 - 15 + 35 - 14
Rpta.: -4
DESAFIO: La rana obstinada. Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 30m de hondo. En su intento por salir, la obstinada rana conseguía subir 3 metros cada día pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros. ¿Podrías decir cuántos días tardó la rana en salir del pozo?
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN Z Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los siguientes pasos. Ejemplo: * Efectuar: P = (+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3) Primero : Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto: P = (+7) + (-2) + (-4) + (+10) + (3)
COLEGIO TRILCE
Página 30
ARITMETICA
Segundo : Escribimos los enteros positivos como números naturales: P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3) Tercero : Suprimimos los paréntesis: P = 7 - 2 - 4 + 10 + 3 Cuarto : Agrupamos los números positivos y los números negativos: P = 7 + 10 + 3 - 2 - 4 Quinto : Sumamos los positivos y los negativos por separado: P = +20 - 6 P = +14
DEMUESTRA LO APRENDIDO I.
Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:
a. (-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6) g. (-4) - (+7) + (-1) - (+10) b. (-7) - (+2) + (+8) - (-4) h. (-9) + (-10) - (-11) - (-1) c. (-10) + (-2) + (-7) i.
(+5) - (+3) + (+2) - (+30)
j.
(-10) - (-3) + (-18) - (+2)
d. (-12) + (-11) - (+10) - (-3) e. (-6) - (-3) + (-2) - (-8) f.
(-5) + (+8) - (-3) - (+2)
Continúa esforzándote, el éxito depende de ti.
COLEGIO TRILCE
Página 31
ARITMETICA
Sabías que ... Los chinos no aceptaron la idea de que un número negativo pudiera ser solución de una ecuación. Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes, hacia el año 650 d.C., el mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los números positivos, negativos y cero.
MULTIPLICACIÓN (+) (+) = + (-) (-) =
+
(+) (-) = -
Ejemplo:
(-) (+) = -
a. (+10) (+20) = b. (-5) (-9) = c. (-2) (+4) = d. (+6) (-2) =
DIVISIÓN
(+) (+) = +
(+) (-) = -
Ejemplo:
(-) (-) = +
(-) (+) = -
a. b. c. d.
(+100) (+2) = (-8) (-1) = (+15) (-3) = (-16) (+4) =
Recuerda • En la multiplicación o división de dos números de igual signo, el resultado siempre será un número positivo. • En la multiplicación o división de dos números de diferentes signos, el resultado siempre será un número negativo.
COLEGIO TRILCE
Página 32
ARITMETICA
¡LISTOS . . . A TRABAJAR! 1. Realiza las siguientes multiplicaciones: a. (+3) (+5) f.
(+40) (+7)
b. (+8) (-1)
g. (-1) (-1)
c. (-5) (-4)
h. (5) (-3)
d. (-1) (+78)
i.
(9) (-10)
e. (+12) (-12)
j.
-9 (-8)
f.
(-1) (-1)
2. Realiza las siguientes divisiones: a. 14 2 b. (-12) (-4)
g. (-8) (+8)
c. 20 (-5)
h. (+25) (-5)
d. (-30) 6
i.
(+100) (+10)
e. (-10) (-2)
j.
(-144) (+12)
3. Completa la siguiente tabla: a b -8 2 -4 -1 +10 -5 +18 -9 -3 +3
4.
a×b
a b
a b +32 -8 -44 +11 +64 -4 -36 -9 +11 -11
a×b
a b
Colorea los triángulos; de color rojo los productos positivos y de color azul los productos negativos:
COLEGIO TRILCE
Página 33
ARITMETICA
(+4)(-5)
(-6)(3)
(-8)(4) 20(+4)
(-7)(+13)
(-10)(-2)
5. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a. - 5 × 3 + 8 - (4 - 1 × 5)
b. - 12 × [ - 6 - 10 × ( - 2 - 3)]
c. - 3 (4 - 2 + 5)
d. - 15 ( - 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 (8))]
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Si: A = (-8) (+2) - 3 B = (+4) (-2) + 4 C =(50) (-2) - 6 Halla: a. A + B + C b. A × B - C c. 2B - 3A d. 2A × B e. A - B - C
Rpta.: -44 Rpta.: -45 Rpta.: 49 Rpta.: 152 Rpta.: 16
2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno: COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
a. b. c. d. e.
-5+4×3 6-2×5 32 - 40 × 5 + 128 (8 - 3) × 4 - 1 (- 13 + 6) × (-3) + 4 (-1)
Rpta.: 27 Rpta.: -4 Rpta.: -40 Rpta.: 19 Rpta.: 17
DESAFÍO: El lechero ingenioso. Un lechero dispone de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?
1. Construcción del conjunto de los números racionales. Los números enteros y los fraccionarios pasan a integrar el conjunto de los números racionales, que se simbolizan por una "Q". Z
Fracciones = Q
Gráficamente: Q
1 3
Z N
-2
0 2
-1 1 1 4
3
5 3
Z : Conjunto de los números enteros. Q : Conjunto de los números racionales.
-3 - 3 4
N : Conjunto de los números naturales.
-
2 7
2. Representación de Q en la recta numérica. Sabemos que el conjunto Z se representa en la recta numérica así: COLEGIO TRILCE
Página 35
ARITMETICA
-3
-2
-1
0
1
2
3
También las fracciones pueden ser ubicadas en la recta numérica, sea por las divisiones sucesivas (de mitad en mitad) o por el uso de las escuadras y el compás para dividir un segmento de recta. -1
-3 4
-1 2
-1 4
1 4
0
-4 5
-3 5
-2 5
-1 5
-8 10
-6 10
-4 10
-2 10
1 5 2 10
1 2
2 5 4 10
3 4
3 5 6 10
1
4 5 8 10
De la gráfica se define que: I. Las subdivisiones de la recta numérica son infinitas. II. Entre dos números racionales siempre será posible hallar al menos otro número racional. III. No es posible hallar el siguiente o el anterior valor de un número racional cualesquiera. IV. Un mismo punto en la recta numérica puede ser representado por varias fracciones que son equivalentes entre sí. Por lo que se afirma que el conjunto de dichas fracciones (clases de equivalencia) representa al Número Racional respectivo. 3. Densidad en el conjunto de los números racionales. Esta propiedad de densidad en Q, no la poseen los conjuntos N y Z. "Dados dos números racionales diferentes, siempre se puede encontrar otro número racional cuyo valor esté comprendido entre ambos" En forma general: Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
( A. Dados dos números fraccionarios tales como se cumple: a.d = b.c Ejemplos: 8 •6
4 3
a c y b d
, podemos afirmar que:
ya que: 8 × 3 = 6 × 4
COLEGIO TRILCE
Página 36
) a b
c d
si
ARITMETICA
6 •3
5 •2
10 5
ya que: 6 × 5 = 3 × 10
30 12 ya que: 5 × 12 = 2 × 30
B. Dados dos números fraccionarios, podemos determinar que uno es mayor o menor que otro, usando la regla de los productos cruzados. Ejemplos: 8 × 11 > 9 × 7
•
•
•
11 9
7 8
11 > 9
7 8
7 6
4×6<8×7 entonces: 4 < 7 8 6
20 4
12 × 4 < 8 × 20 entonces: 12 < 20 8 4
4 8
12 8
entonces:
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no. 3
1 2
-2
-
3 5
0
21 3
-
16 4
1 8
-4
-
2 3
N Z Q
2. Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=".
a.
3 4
b.
9 8
3 12
_______________________________________
c.
7 8
8 10
_______________________________________
8
6
4
3
d.
5 6
COLEGIO TRILCE
porque: 3 × 6 < 4 × 5
_______________________________________ Página 37
ARITMETICA
e.
5 2
f.
6 5
25 60
_______________________________________
3 15
_______________________________________
3. Completar con ">", "<" o "=" según corresponda: 1 2
4
3 4
2 5
7 8
2 3
3 3 6 9 4 5 2 4 6 8 7
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.
Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no pertenencia. 3 5
6
-
2 3
0
-2
7 9
-
4 2
9 3
5 4
-
1 6
N Z Q
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
2. Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=":
8 a. 12 d.
2
3 5
12 9 2
b.
5 7
e.
3 13
3 17
5 4
1
c.
17 3
5
f.
7 5
28 20
3. Completar con ">", "<" o "=" según corresponda: 4 18
2
3 6
5 2
7 3
9 2
2 5 4 6 3 7 2 9 1 5 3
COLEGIO TRILCE
Página 39
ARITMETICA
Con las fracciones se pueden realizar las operaciones que hemos aprendido a efectuar con números enteros: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación. I. ADICIÓN. Para efectuar la suma o adición de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados. A. Método del mínimo común múltiplo. • Hallamos el m.c.m de los denominadores y lo escribimos como denominador del resultado. • Para hallar el numerador dividimos el m.c.m. entre cada denominador y luego se multiplica por el respectivo numerador. • Finalmente se suma en el numerador.
Ejemplo: 3
2 3 7 2 × 10 + 3 × 6 + 7 × 1 20 + 18 + 7 45 3 + + = = = = 3 5 30 30 30 30 2
×
2
Calculando el m.c.m. 3 1 1 1
5 5 5 1
30 3 10 2 5 5 1
m.c.m. [3;5;30] = 3 × 2 × 5 = 30 B. Regla de productos cruzados. Esta es una regla práctica, recomendable para sumar dos fracciones de términos pequeños. a c + b d
=
a×d+b×c b×d
×
Ejemplo: •
1 5
3 7
1 7 5 3 5 7
COLEGIO TRILCE
7 15 35
22 35
Página 40
ARITMETICA
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones: 3 4
+ 1 3 1 5
2. Calcular "A + B", si:
12 a. 5
2 3
A
1 2
1 7
2 3
1 1 ; B 2 5 3
4 b. 9
16 c. 5
d.
5 e. 5
12 8
3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar: 5 12
2 9
a.
19 72
3 8
b.
23 72
49 c. 72
d.
73 72
e.
31 72
e.
69 6
4. Efectuar la siguiente operación:
3
1 1 7 2 3
a.
53 6
b.
65 c. 6
59 6
d.
68 6
5. Completar con los signos ">" o "<", según corresponda:
I.
1 2 + 2 3
III.
1 7
1 1 + 9 8
5 6
II. IV.
2
1 4
2
1 1 + 2 3
2 1 + 3 3
1 1 + 3 4
¿Cuántos signos ">" salen? a. 0
COLEGIO TRILCE
b. 1
c.
2
d. 3
e. 4
Página 41
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones: + 2 5 3 4
1 2
1 3
2 5
5 4
2. Calcular "A + B", si: A
3
2 4
1 ; B 4
a. 4
1
1 4
b.
3
2 4
c.
4
3 4
d.
5
e. 6
3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar: 1 4 5 2 3 9 6 42 b. 36
48 a. 18
65 c. 18
64 d. 36
1 5
d.
e.
72 18
4. Efectuar la siguiente operación: 3 2 2 1 5 5 a. 3
b.
3
2 5
c.
4
4
e. 5
5. Completar con los signos ">" o "<" según corresponda: I.
5 7 + 8 8
3 III. 5
4 5 2 1 + 3 4
II.
3
1 2
2 1 + 5 IV. 3
1
3 1 + 4 4
1 2 + 3 5
¿Cuántos signos ">" salen? a. 0
COLEGIO TRILCE
b. 1
c.
2
d. 3
e. 4
Página 42
ARITMETICA
DESAFÍO Un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro caño puede llenar el mismo depósito en 20 minutos. ¿En cuántos minutos se puede llenar un depósito si abrimos al mismo tiempo los dos caños?
16 a. 3
18 b. 3
c.
7
d.
20 3
e. 9
II. SUSTRACCIÓN. Para efectuar la sustracción de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados. Ejemplo: Resolver aplicando el método del mínimo común múltiplo. 4
4 4 4×5-4×3 20 - 12 8 4 = = = = 6 10 30 30 30 15
×
15
Calculando el m.c.m. 6 3 1 1
10 3 5 2 5 5 1
m.c.m. [2;3;5] = 2 × 3 × 5 = 30
Ejemplo: Resolver aplicando el método del producto en aspa o productos cruzados. 3 1 4 6
7
7 3 × 6 - 4 × 1 18 - 4 14 = = = = 4×6 24 24 12 12
×
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones: -
1 9
2 7
1 3
1 4
2 5 1 3 COLEGIO TRILCE
Página 43
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones: 2 5
-
1 4
8 16
2 6
4 3 5 7
2. Calcular "A - B", si: 1 3 3 A 2 ; B 1 2 4 4 a.
1 2
b.
3 c. 2
3 4
d.
1 4
e.
3. Indicar cuál es la menor diferencia:
2 I. 5
1 3
COLEGIO TRILCE
II.
4 7
2 6
1 III. 4
1 5 Página 44
2 3
ARITMETICA
a. I
b. II c. III
d. I y III
e. iguales
8 c. 5
1 d. 15
3 c. 20
3 10
3 2 de 2 3 4. Restar: 5 2
a. 5. De:
3 5 3 5
4
b. 1 4
7 a. 10
restar
15
e.
3 10
e.
11 20
1 5
b.
8 12
d.
DESAFÍO 1 1 Encontrar el número racional entre 7 y 4 cuya distancia al primero sea el doble de la distancia al segundo. a.
9 14
b.
7 14
6 c. 14
d.
5 14
e.
8 14
III. MULTIPLICACIÓN En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de multiplicar los numeradores, el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores.
Es decir:
a c a×c × = b d b×d 1 3
Ejemplo:
3
12 6 12 × 6 1×6 3 × = = = 15 8 15 × 8 5×2 5 5
2
1
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada:
COLEGIO TRILCE
Página 45
ARITMETICA
2 3
× 5 3 1 4
1 5
4 7
6 10
2. Calcular "A × B", si: 3 3
A
3 5
5 ; B 2
3 2
1 9
2 a. 3
18 5
3 c. 5
4 b. 10
5 e. 9
3 d. 10
3. Se sabe que: 3 5
A
1
1 4
4 3
4 ; 5
1 2
B
2 3
3 4
calcular: "A × B"
2 a. 5
1 b. 5
c.1
3 d. 2
1 e. 4
1 d. 6
10
4. Simplificar: 2
1 3
3
1 4
1
1 3
7 a. 9
b.
11
8 9
3 c. 28 1
e.
5. Simplificar: 6 90
a.
36 15
12 8
3 50
3 12
9 b. 50
c.
7 25
d.
2 25
e.
1 25
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Completar el siguiente cuadro, simplificando el resultado de la operación indicada. × 4 3 8 6 COLEGIO TRILCE
15 8
21 12
6 8
9 16
Página 46
1 9
ARITMETICA
4 18 9 ; B 9 6 8 2. Si: calcular "A × B"
5 3 6 10
A
3 b. 54
6 56
a.
9 21 9 c. 56
15 d. 56
2 c. 3
1 d. 4
e.
10 56
e.
3 4
3. Se sabe que: A
2 3
2
1 2
1 4
6 ; B 5
3 4
4 5
5 6
calcular "A × B"
1 2
a.
1 b. 3
4. Simplificar: 3
2 3
15 16
1
5 11
a. 3
b.
3 5
c.
5 d. 6
5
e.
5 9
5. Simplificar: 8 27
14 40
36 42
3 a. 5
12 18
15 4
4 b. 9
c.
2 9
d.
6 e. 5
7 9
DESAFÍO 1 1 Una tela se encoge al ser mojada 4 de su longitud y 3 de su anchura. ¿Qué
longitud de la tela nueva hace falta emplear para tener 20 metros cuadrados de tela después de mojada? Esta tela antes de ser mojada tenía 8 metros de ancho. a. 2m 6m
COLEGIO TRILCE
b. 3m
c.
4m
d. 5m
e.
Página 47
ARITMETICA
IV. DIVISÓN c a Para dividir una fracción b entre otra no nula d , equivale a multiplicar la primera c a fracción b por la inversa de la segunda d .
Es decir:
Ejemplo: 4 6
1 8
=
9
4 6
×
9
a
c
b
d
8
6 × 8
2
a
×
b
d
=
c
a×d b×c
3
4 × 9
=
=
=
3 4
2
¡LISTOS, A TRABAJAR! 1. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas 3 2
1 2
5 3
6 8
1 2 3 5
2. Escribir la expresión más simple equivalente a: I.
7 36 5 18
7 b. 10
4 a. 7
2 e. 7
3 d. 7
45 13 90 11
II.
11 b. 26
1 5
a.
c.
10 7
3 c. 22
d.
22 3
e.
3. Hallar el valor de "A × B"; si: A
1 2 1 4
1 3; B
COLEGIO TRILCE
1 7
1 5 1 3
Página 48
26 11
ARITMETICA
8 a. 7
24 b. 7
c.
12 9
d.
6 e. 9
15 7
4. Calcular: 2 7
8 7
3 7
5 8
a. 4
b. 0
c.
1
d. 3
e. 2
5. Calcular:
1 4 18 1 2 3 2 9 5 a. 6
6 1 1 15 3 4 5 2 b.
8 9
3 c. 4
7 e. 3
9 d. 8
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas: 1 3
2 5
1 2
1 4
3 4 2 3
COLEGIO TRILCE
Página 49
ARITMETICA
ADICIÓN EN N. 1) Resolver: 109 + 291 + 300 + 150 + 50 2) Hallar el valor de "a": 1a 2a 3a ... 9a
522
3) Hallar el valor de "a": 1 a
2 a
3 a
....
9 a
15
4) Resolver: 23 + 71 + 17 + 19 + 20 5) Resolver: 49 + 39 + 21 + 31 SUSTRACCIÓN EN N. 1) La suma de los tres términos de una sustración es 4 820. Hallar el minuendo. 2) La suma de los tres términos de una sustracción es 144 y además el sustraendo es el doble de la diferencia. COLEGIO TRILCE
Página 50
ARITMETICA
3) Hallar el complemento aritmético de 32 517. 4) Hallar el valor de x + y. pqr rqp xy3
5) Si vendo una casa en $48 000, ganando $1 300, ¿cuánto es el precio de costo de la casa? MULTIPLICACIÓN EN N. 1) Resolver: 357 × 28
2) Resolver: 253 × 908
3) Resolver: 27a - 9a
4) Resolver: 7 × 12 + 7 × 8 - 7 × 19
5) En la siguiente lista de compras, sacar la cuenta: 2kg 1 2kg 1 kg 2
pollo leche arroz
Precio 1kg pollo S/.3,20 1 leche 1,50 1kg arroz 1,20
papa
1kg papa
0,80
DIVISIÓN EN N. 1) Si: D = 347; d = 19; r = 5, hallar el valor de "q". 2) Si: D = 560; r = 8; q = 23, hallar el valor de "d" 3) Se reparten 348 chocolates entre 17 alumnos, si se sabe que fueron repartidos equitativamente y sobraron 8 chocolates. ¿Cuántos chocolates le tocaron a cada uno? 4) Un jarrón se parte en varios pedazos, Ricardo intentando recoger los pedazos, forma tres grupos (grandes, medianos y pequeños). Si se sabe que en cada grupo hay 9 pedazos y además se le perdieron 2 pedazos. ¿En cuántos pedazos se rompió el jarrón? 5) En una división el dividendo es 684, el divisor dos unidades menos que el cociente, el cociente es el triple del residuo. Si se sabe que el residuo es 9, hallar el valor del divisor.
NÚMEROS ENTEROS Z. 1) Resolver: | 10 | | 2 | 2 | 5| a. COLEGIO TRILCE
b.
| 4|
| 2| |6| | 2|
Página 51
ARITMETICA
c.
| 24 | | 6 | | 15 | | 10 | | 3|
d.
(| 2 |)2 | 4|
| 9| |2| |4|
(| 3 | | 6 |)2
2) Hallar el valor de: A
A
3 14
; si:
| 8 | | 3 | | 1| | 1| | 5 | | 2| | 1|
3) Determinar el valor de "2B", donde: B
| 8| | 2|
| 36 | | 4 | | 20 |
4) La secuencia "22" se describe a si misma pues ella está formada por exactamente dos 2. Analógicamente la secuencia "31123315" se describe a si misma, pues está formada por exactamente tres 1, un 2, tres 3 y un 5. ¿Cuál de las siguientes secuencias no se describe a si msma? a. 2 1 3 2 2 3 1 6 c. 3 1 2 2 3 3 1 7 1 9 e. 4 1 3 2 2 3 2 4 1 5 1 6 1 8
b. 3 1 1 2 3 3 1 8 d. 2 1 3 2 3 3 2 4 1 5
5) ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor absoluto? a. 10 × 0,001 × 100 c. 100 0,01 e. 0,1 × 0,01 × 10 000
b. 0,01 100 d. 10 000 × 100 10
OPERACIONES COMBINADAS. 1) - 15 × (- 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 × 8)] 2) - 3 × [ - 5 + 2 (- 3 + 6 × 8)] + 1 3) 6 ( - 5 - 4) - 8 [4 - (2 × 3 - 5) + 1] 4) [14 ( - 3 ) + 7 (- 2 × 8 + 10) + 1 ] - ( - 3 ) (5 - 4) 5) 1 - 2 {4 + 5 [ 3 - 8 (1 - 6) + 4 - 6 ] - 15} OPERACIONES CON FRACCIONES: Adición. COLEGIO TRILCE
Página 52
ARITMETICA
3 49 1) Andrea vive a 20 km a la derecha de su escuela y Pedro vive a 7 veces esa distancia, pero a la izquierda de la misma escuela. ¿Qué distancia hay entre las casas de Andrea y Pedro? a. 2km
b. 3
7 c. 2
d.
4
9 e. 2
2 2) Una persona gasta la mitad de su dinero en un almacén y 5 de lo que queda en otro
almacén. Si después de efectuadas las compras le quedan S/.2400, determinar el dinero que tenía al principio. a. S/.3600
b. 4000
c.
9 24
6000
d. 8000
e. 10000
2 12
3) Carlos destina del día para trabajar; del día, para transporte y alimentación; y, finalmente, 7 horas, para dormir. ¿Cuántas horas de tiempo libre le quedan? a. 2
COLEGIO TRILCE
b. 3
c.
4
d. 5
e. 6
Página 53
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 54
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 55
ARITMETICA II BIM. TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ARITMETICA
Pág .
å Notación decimal de los números racionales (Q) - Fracción generatriz ..............................5
å Operaciones con números decimales .........................13 å Operaciones combinadas en Q ................................... 21 å Relaciones entre las cuatro operaciones ....................27 å Conjuntos .....................................................................31 å Clases de conjuntos .....................................................41 å Operaciones entre conjuntos ....................................... 47 å Problemas con conjuntos ............................................63 å Repaso .................................................... 69
COLEGIO TRILCE
Página 2
ARITMETICA
Identifica los números racionales ( Q).
7 3
3 2
2 -1
5 0
-2 3
1 2
9 3
0 7
-2 -3
¿Cómo sabemos si es un número racional? "Un número racional (Q) puede expresarse como el cociente de dos números enteros" y se escribe así: Q={
a / "a" y "b" Z y b b
0}; donde: Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; ...}
donde: "a" es el numerador y "b" es el denominador. Si dividimos los dos términos "a" que es el numerador y "b" que es el denominador, en algunos casos la división será inexacta y generaría un número que en el caso del sistema decimal se llama número ______________. ¿Cómo crees que se llaman los siguientes números? •
1,5 Números Decimales
•
2,5(7)
•
38,9(10)
•
642,5(9)
Fracción decimal (Demostración) Si consideramos a la fracción:
Números Inexactos Números Avales
Descomponiendo el numerador en forma polinómica: 36759 = 30000 + 6000 + 700 + 50 + 9
36759 1000
la fracción decimal quedaría así: 30000
6000 700 50 9 1000
COLEGIO TRILCE
Página 3
ARITMETICA
simplificando: 30 + 6 + 7 + 5 + 9 = 36 + 7 + 5 + 9 10 100 1000 10 100 1000
que se lee: 36 _____________ + 7 ____________ + 5 ____________ + 9 ____________ Resulta entonces, que toda fracción puede descomponerse en unidades, décimas, centésimas, milésimas, etc., y de este modo, puede expresar en forma entera la fracción decimal anterior, así: Se llama NÚMERO DECIMAL a la expresión en forma entera de una fracción decimal.
36759 = 36,759 1000
El número decimal consta de dos partes: el número escrito a la izquierda de la coma se llama parte _________________ o ___________________________, y el escrito a la derecha de la coma se llama parte ___________________ o __________________. Del ejemplo anterior: parte entera
parte decimal
36,759 CARACTERÍSTICA
MANTISA
A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. ¿Cuál de las siguientes fracciones no son "fracciones decimales"? 8 a. 10
1152
b.
100
c.
9 4
978
d.
1000
27 f. 0
9 e. 3
2. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones y cuál es su notación decimal? 8 10
= _______________________________________________ = ________
53 100
= _______________________________________________ = ________
18 1000
= _______________________________________________ = ________
COLEGIO TRILCE
Página 4
ARITMETICA
102 10000
= _______________________________________________ = ________
3. Escribe la fracción decimal y su notación decimal.
4.
•
8 centésimos
= _________ = _________________
•
19 milésimos
= _________ = _________________
•
115 diezmilésimos
= _________ = _________________
•
9 cienmilésimos
= _________ = ________________
Completa el siguiente esquema:
Parte _________
Parte _________
... xyz, a
b
c
d
e
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS 1. Escribe 4 números racionales expresados como el cociente de dos números. ___________ ___________ ___________ ___________ 2. Escribe con tus propias palabras qué es un número aval. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 3. Demuestra por qué: 42379 1000 es igual a 42 unidades + 3 décimos + 7 centésimos + 9 milésimos
4. En un número decimal encontramos: • •
A la derecha de la coma A la izquierda de la coma
COLEGIO TRILCE
= ________________ = ________________
Página 5
ARITMETICA
5. Relaciona correctamente: a. 1315 diezmilésimos b. 7546 centésimos c. d.
423 100 97324 1000
( (
) )
0,423 75,46
(
)
4,23
( (
) )
97,324 0,1315
6. Escribe la notación decimal: a. 7 centésimos = _________________ b. 14 milésimos = _________________ c. d.
97324 100
= _________________
26381 1000
= _________________
DESAFÍO ¿Cuál es el resultado de: ocho décimos más 132 centésimos, menos tres milésimos?
FRACCIÓN GENERATRIZ Todo número decimal tiene su equivalente en forma de fracción. La fracción que genera un número decimal se llama "Fracción Generatriz". Caso I: "Cuando el número decimal es exacto". * Ejemplo: a. 0,25
b. 0,18
c. 0,23
d. 1,75
e. 30,5
f. 68,85
g. _____ h. _____ i. _____ j. _____ k. _____ l. _____ Procedimiento: Hallar la fracción generatriz de 1,75. 1. Se escribe el número formado por todas las cifras de la parte entera y decimal (sin la coma). ___________ = numerador 2. Se escribe la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. =
Numerador Denominador
El número decimal 1,75 tiene dos cifras en la parte decimal, entonces le corresponde la unidad seguida de dos ceros.
3. Si se puede, se simplifica la fracción. COLEGIO TRILCE
Página 6
ARITMETICA
Caso II "Cuando el número decimal es periódico puro o periódco mixto". *
Ejemplo: 0,333... a. 0,3
e. _________
b. f.
9,161616... c. 9,16
0,1232323... 0,123
_________
d.
g. _________
3,4515151... 3,451
h. _________
Procedimiento: Hallar la fracción generatriz de 2,154 . 1. Se escribe el número formado por todas las cifras de la parte entera y decimal (sin la coma) y se le resta la parte no periódica. ___________ = Numerador 2. Se escribe un nueve por cada cifra del período y un cero por cada cifra no periódica que está dentro de la parte decimal.
= Numerador Denominador
El número decimal 2,154 tiene dos c ifras en el período, entonces le corresponde dos cifras nueves y, por la cifra no periódica, un cero.
3. Si se puede, se simplifica la fracción. ¡ A PRACTICAR LO APRENDIDO!
Caso I: Hallar la fracción generatriz: a. 0,25 =
b. 0,18 =
c. 4,23 =
d. 7,125 =
Caso II: Hallar la fracción generatriz: a. 0,12 = b. 9,16 =
c. 3,15 =
d. 0,16 =
f.
COLEGIO TRILCE
e. 0,623 =
8,1518 = Página 7
ARITMETICA
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS Caso I: Halla la fracción generatriz: a. 0,76 =
b. 0,012 =
c. 13,08 =
d. 21,333 =
Caso II: Halla la fracción generatriz: a. 0,1 =
b. 0,72 =
d. 0,58 =
e. 5,76 =
c. 10,3 = f.
1,7666...
DESAFÍO Hallar: ; si "a" excede en 4 a "b"; además:
A. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE NÚMERO DECIMALES Para sumar números decimales, se escriben ordenadamente en columnas (décimos sobre décimos, centésimos sobre centésimos, etc.) y se suman como si fueran enteros, colocando la coma en el resultado. Ejemplo: •
Sumar: 5,36 + 0,254 5,360 + 0,254 5,614 7,50 3,24 4,26
COLEGIO TRILCE
•
Restar: 7,5 - 3,24
Página 8
ARITMETICA
A PRACTICAR LO APRENDIDO
I. Resuelve: a. 372,47 + 3,8 + 40,05
b. 26,3 + 472,0 + 15,476
c. 3,58 - 0,6
d. 41,231 - 26,5
e. 62,3 - 56,4
f.
g. 124,8 + 2,54 + 0,612
h. 4,2 - 0,1839
i.
j.
0,6 - 0,0002
2,83 + 16,4 + 193,42
0,368 - 0,2514
B. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES Para multiplicar números decimales se procede como si fueran enteros y, en el producto, se separan con una coma las cifras decimales que tienen en total ambos factores. Ejemplo: Multiplicar 2,7 × 0,45 2,7 × 0,45 135 108 1,215
1 cifra decimal 2 cifras decimales
3 cifras decimales
Para multiplicar un número decimal por una potencia de 10, se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros tenga la potencia.
Ejemplos:
COLEGIO TRILCE
Página 9
ARITMETICA
a. 3,6547 × 10 = 36,547 b. 3,6547 × 10 = 365,47 c.
3,6547 × 10 = 3654,7
A PRACTICAR LO APRENDIDO
I.
Efectúa las siguientes multiplicaciones: a. 15,4 × 3,4
b. 2,8 × 0,6
c. 6,7 × 0,02
d. 2,72 × 6,04
e. 42,6 × 13,5
f.
g. 0,42 × 10
h. 54,2716 × 10
i.
63,125 × 100
j.
6,42 × 100
k. 0,0008 × 100
l.
2,321 × 10000
36,54 × 2,7
C. DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES C.1 División de un decimal por la unidad seguida de ceros Cuando se divide un número decimal entre la unidad seguida de ceros, la coma corre hacia la izquierda tantos lugares como ceros tenga el divisor.
COLEGIO TRILCE
Página 10
ARITMETICA
Ejemplo: • •
65,35
13,132
10 = 6,535 100 = 0,13132
C.2 División de un número decimal por un entero Para esto multiplicamos el dividendo y divisor por la unidad seguida de ceros como sea posible, transformando los números decimales en enteros. Ejemplo: •
13,52 7,1
Multiplicamos ambos términos por 10, sucesivamente; hasta lograr cifras enteras, completando los espacios vacios con cero. 1352 710 Luego se divide como enteros.
A PRACTICAR LO APRENDIDO
a. 7,2 3,1
b. 5,7 2
c. 6,32 5,3
d. 8,56 58
e. 9,16 2,12
f.
g. 23,721 10
h. 232,27 10
i.
j.
7,32 100
27,36 2,42
24,222 1000
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS
I.
Adición a. 0,3 + 0,8 + 3,15 b. 19 + 0,84 + 7 c. 81 + 0,003 d. 93 + 15,132 + 31
COLEGIO TRILCE
Página 11
ARITMETICA
II. Sustracción a. 0,3 - 0,17 c. 0,735 - 0,5999 III. Multiplicación a. 0,5 × 0,3 c. 0,324 × 1000
b. 0,39 - 0,184 d. 8 - 0,3 b. 0,17 × 0,83 d. 8,114 × 10000
IV. División: a. 8,096 3,2
b. 1,508 2,6
c. 16,134 100 d. 2,5 1000 V. Resuelve las siguientes operaciones combinadas: a. (0,025 × 0,075) 0,5 + 0,35 b. (0,3 3)2 × 5 c. (0,12 × ) + (7 0,05) d. (0,5 + ) ( + 0,25) 0 ,25) Continúa esforzándote, porque el éxito depende de ti.
DESAFÍO 3 ,666 ... ... 5 ,3333 ... ... Efectuar:
4 ,888 ... ... 13,111... ...
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Resolución de problemas con enunciados A PRACTICAR LO APRENDIDO
1. Pedro tiene S/.5,64; Ariana S/.2,37 más más que Pedro y Ximena S/.1,15 más que Ariana. ¿Cuánto tienen entre los tres? 2. Se adquiere un libro por S/.4,50; un par par de zapatos, por S/.2 S/.2 menos que el libro; libro; una pluma fuente, por la mitad de lo que costaron el libro y los zapatos juntos. ¿Cuánto le sobrará al comprador después de hacer estos pagos, pa gos, si tenía S/.15,83? 3. Ivanna, que tiene tiene S/.0,60, quiere quiere reunir S/.3,75. Pide a su su padre S/.1,75 y éste le da 17 céntimos menos de lo que le pide; pide a su hermana Xiomara 30 céntimos y ésta le da 15 céntimos más de lo que le pide. ¿Cuánto le falta para obtener lo que desea? 4. Un camión conduce cinco fardos de mercancías. El primero primero pesa: 72,675 kg; el segundo, 8 kg menos que el primero; el tercero, 6,104 kg más que los dos anteriores juntos; y el e l cuarto, tanto como las tres anteriores. ¿Cuál es el peso del quinto fardo si el peso total de las mercancías es 960,34 kg? 5. La altura de Katherine es 1,85 metros y la de una torre es 26 veces la altura de Katherine menos 1,009 metros. Hallar la altura de la torre. 6. La suma de dos números es 15,034 y su diferencia diferencia 6,01. Hallar los números. 7. Una caja de cartas "Yu-gi-oh" vale $4,75 y algunas cartas "mágicas" "mágicas" valen $3,75 más más que la caja de cartas. ¿Cuánto valen algunas "cartas mágicas"? 8. La diferencia diferencia de dos números es 6,80 y su cociente 5. Hallar los números. 9. Un rodillo de piedra tiene de circunferencia 6,34 pies. De De un extremo extremo a otro otro de un terreno de tenis, da 24,75 vueltas. ¿Cuál es la longitud lo ngitud del terreno? 10. El vino de un tonel pesa 1962 kg. Si cada litro de vino pesa 0,981 kg, ¿cuántos litros contiene el tonel?
COLEGIO TRILCE
Página 13
ARITMETICA
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1. Simplifica: (0,03 0,456 8) 6 25,458 2. Simplifica: 0,5 3 0,6 0,03 0,5 0,08 8 0,1 0,1 0,01
3. Un hombre se compra un traje, un sombrero, un bastón y una billetera. billetera. Esta le ha costado S/.3,75; el sombrero le ha costado el doble de lo que le costó la billetera; el bastón, S/.1,78 más que el sombrero; y el traje, cinco veces lo que la billetera. ¿Cuánto le ha costado todo? 4. Tenía S/.14,25 el lunes; el martes cobré S/.16,89; el miércoles cobré S/.97 y el jueves pagué S/.56,07. ¿Cuánto me quedó? 5. Un comerciante hace hace un pedido de 3000 3000 kg de mercancías y se lo envían en cuatro partidas. En la primera le mandan 71,45 kg; en la segunda, 40 kg más que en la primera; en la tercera, tanto como en las dos anteriores y en la cuarta lo restante. ¿Cuántos kilogramos le enviaron en la última partida? 6. Se reparte una herencia entre tres personas. A la primera le corresponden $1245,67; $1245,67; a la segunda, el triple de lo que la primera más $56,89; a la tercera, $76,97 menos que la suma de lo de las otras dos. Si además, se han separado $301,73 para gastos, ¿a cuánto ascendía la herencia? 7. La suma de dos números es 1,05 y su diferencia es 0,45. Hallar los números.
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Sabías que . . . Para resolver las operaciones combinadas hay que tener en cuenta los siguientes conjuntos: N, Z, Q.
*
Donde: Q
- N = {0, 1, 2, ......., .... ..., a} - Z = {...; -3; -2; -1; 0; +1; +2; +3; ...} - Q = {...;
1 1 1 1 1 1 1 1 ; ; ; ; 0; ; ; ; ; 2 3 4 5 5 4 3 2 ...}
Z N
Diagrama de Venn V enn Eule Eulerr
Es decir: - N representa al conjunto de los números naturales. - Z representa al conjunto de los números enteros. - Q representa al conjunto de los l os números racionales
*
Caso I: En este caso, en primer lugar se agrupan los números enteros positivos y los enteros negativos, luego se halla la suma: •
Ejemplo:
Sumar: +4 - 5 + 8 + 9 + 15 - 6 - 6 + 7 (+4 + 8 + 9 + 15 +7) +7) (-5 - 6 - 6) +43 - 17 +26
*
Caso II: En este caso, primero se suprime los signos de agrupación,y luego seguir con los pasos como el caso anterior. • Ejemplo:
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA Sumar: +(-12 + 13 - 18) - [+10 + 20 - 13] - (-18 - 10 + 5) S i g n o ( +) n o c a m b i a n d e signos los números dentro del paréntesis.
Signo (-) cam bia de signos los números d e n t r o d e l p a r é n t e s i s.
= -12 + 13 - 18 - 10 - 20 + 13 + 18 + 10 - 5 = (-12 - 18 - 10 - 20 - 5) (+13 + 13 + 18 + 10) =
-65 + 54
=
-11
* Caso III: Se resuelve teniendo en cuenta la prioridad de las operaciones matemáticas. 1er lugar: la potenciación y radicación. 2do lugar: la multiplicación y división, y finalmente las sumas y restas. • (-6)
Ejemplo A:
(+2) + [18 - 9
(+3) × (-2 + 4) + 5 (-7)
(-3)
+
[18 - 3]
×
(+2)
+ (-35)
(-3)
+
(+15)
×
(+2)
+ (-35)
(-3)
+
(+30)
+ (-35)
-3 + 30 - 35 +27 - 35 -8
•
Ejemplo B: ( 11)( 2)5
( 11)( 32 )
COLEGIO TRILCE
1 64
( 256 ) (2)(3)
1 16 ( 2)(3) 64
Página 16
ARITMETICA
(-11) (-32) + +352
2 1 × 16 - (-2) (3) 81
+ 2 +354 + 6
- (-6)
+360
*
Caso IV: Se procede como en el caso anterior, es decir, teniendo en cuenta las prioridades de las operaciones, pero esta vez se operará con números fraccionarios. •
Ejemplos:
a.
1 2
1 4
16 12
1
2
1
2
1 3
+
b.
5 1 2 ×2 ×2 7 3 5
+
1+1
×
×
3 4
1
6 16 1 × + 8 12 3
5 7 12 7 + × × 1+ 7 3 5 4
1
1 1 + 3 4 3
4
5 7 12 11 + × × 7 3 5 4 11
Recuerda: Encontrar la solución de una operación combinada en Q, quiere decir encontrar un número que sea solución y que pertenezca Q.
LISTOS … A TRABAJAR 1. Halla: a. +3 + 9 - 5 + 5 - 8 - 3 + 9 b. -3 + 10 + 3 - 8 - 12 + 5 - 3 2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas: a. 5 - [ - 2 - ( - 1 + 5 - 6) - 7] - 3 b. [ - 9 - 11 - ( - 18 + 21 - 3) + 7] - [ - 18 + 21 - (3 - 11 + 15)] COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
3. Desarrolla los siguientes ejercicios: a. {[ - (+3 + 2)] + (-4)} - [(+1) + (-4 + 1)] b. - { - 5 + 10 - [ - 4 + 2 - ( - 10 + 5) + 1 - 2] - 3} 4. Resuelve: a. {14 - 10 × [32 + 6 × (-5) - 4] - 16} × (-1) + 79 b. (-6) (+2) + [18 - 9 (+3) × (-2 + 4) + 5(-7) 5. Halla el valor de "A × B" si: 3 8
A B
0
1 30 36 2 64 3
y 1 2
2
6. Determina el valor de: 3
8 1 5 27 4
7. Resta
2
2 3
1
1 1 5 3 de 5 , luego indica cuál es el numerador de la fracción impropia.
8. Simplifica la siguiente expresión numérica: 4 5
2 9 3 2
3 4
9 3
1 3
9. Halla el resultado de: 2 3
3
4 9
25 100
3 2
2
10. Indicar la suma de cifras de la fracción irreductible del resultado de: 5 6
2
3 10
3
27 100
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Resolver: a. -100 + 400 + 500 - 1000 - 300 b. +3 + 10 - 13 - 5 - 10 + 5 - 12 + 2 2. Hallar el valor de: COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
a. - 4 - 12 - [(-13 - 20 + 8) - 4] - [21 + 16 - (15 + 3)] b. - 2 - 7 - [- 3 + 1 - (1 + 2 - 3) + 1] - [- 7 + 4 - (2 + 5)] 3. Simplificar la siguiente expresión numérica: - { - 38 + 38 - ( - 38 - 38 + 76)} - ( - 17 + 17 - 7) 4. Calcular: a. 70 - 70 × [2 - 2 × (5 - 5 × 4) - 3 + 3 × 2] b. (-4 + 3) (-1) + [3 - (-8) (+2)] + (-9) (+3) 5. Resolver: 144 . ( 4)2 (32 )
a.
169
b. 16 8 × 8 - (-6)2 (9) 6. Calcular el valor de "T × O"; si: T
7. Si:
3 27 9 36
y
2 15 5 4
O
7 2 10 J 15 15 ; el valor de: 15 es:
J
8. Calcular: 1 4
3 5
1 2
2 4
1 3
0
9. Hallar el valor de (140 × E)1500; si: 2 3 2 3 3
4 E
1 3 2 1 3 2
3 4
1 5
80 11
3 4
2 6
10. Simplificar: 10 3 12 3
2 3 2 3
1 3 2 1 3 3 2
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
DESAFÍO Un niño se propone resolver 20 problemas de fracciones: 2 -
El primer día resuelve 5 del total, 3
-
El segundo día resuelve 4 del resto.
¿Cuántos problemas quedan aún por resolver?
Cuando relacionamos las cuatro operaciones fundamentales entre los números naturales nos referimos a aquellos ejercicios en los que participa, la ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN; así entre las más importantes, tenemos: I. ENTRE LA SUMA Y LA DIFERENCIA DE DOS NÚMEROS Si conocemos la suma (S) de los dos números y la Diferencia (D) de los mismos, entonces, si sumamos ambas relaciones, el resultado es el doble del mayor y si lo restamos el resultado es el doble del menor. Siendo (a > b), la suma (S) es: (a + b) y la diferencia (D) es (a - b), luego: a=
S+D 2
b=
S-D 2
Ejemplo: La suma de dos números es 124 y su diferencia 22. Hallar los números. Hemos visto que la suma de dos números más su diferencia es igual al doble del mayor, luego: 124 + 22 = 146 = duplo del mayor. Entonces: 146 2 = 73 será el número mayor. Ahora la suma de los dos números es 124, siendo el mayor 73, el menor será: 124 - 73 = 51 entonces, los números son 73 y 51. COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
II. ENTRE LA SUMA (S) Y EL COCIENTE (q) DE DOS NÚMEROS Cuando se divide la suma (S) de los dos números entre su cociente (q) aumentado en 1, se obtiene el menor de los dos números, luego: si: a + b = S
entonces:
a y b
q
(a > b)
S b= q+1
Ejemplo: La suma de dos números es 102 y su cociente 5. Hallar los números. Aplicando y reconociendo los datos como: S = 102 y q = 5, entonces el menor sería: 102 (5 + 1) = 102 6 = 17 y el mayor sería: 102 - 17 = 85. III. ENTRE LA DIFERENCIA (D) Y EL COCIENTE (q) DE DOS NÚMEROS Conocida la diferencia (D) y el cociente (q) de dos números, entonces, el menor de ellos se obtiene dividiendo la diferencia (D) entre su cociente (q) disminuido en 1. En efecto; si: a - b = D y b=
entonces:
a b
q
, siendo: (a > b)
D q -1
Ejemplo: La diferencia de dos números es 8 888 y su cociente 9. Hallar los números. Aplicando la relación anterior, el menor es 8 888 (9 - 1) = 8 888 8 = 1 111, entonces si el menor es 1 111 y como la diferencia de los dos números es 8 888, el número mayor se hallará sumando el menor con la diferencia de ambos, luego: 1 111 + 8 888 = 9 999 IV. OTRAS APLICACIONES Ejemplos: a. ¿Cuál es el número que sumado con su duplo da 45? 45 es el número que se busca más dos veces dicho número, o sea, el triple del número buscado; luego, el número buscado será: 45 3 = 15 b. Multiplico un número por 6 y añado 15 al producto; resto 40 de esta suma y la diferencia la divido entre 25, obteniendo como cociente 71. ¿Cuál es el número? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Esta clase de problemas se comienza por el final y se van haciendo operaciones inversas a las indicadas en el problema. Como el resultado final es 71, este 71 proviene de dividir entre 25 la diferencia, luego, la diferencia es: 71 × 25 = 1 775. A este resultado, 1 775, le sumamos 40: 1775 + 40 = 1 815 A 1 815 se le resta 15: 1 815 - 15 = 1 800; y finalmente, 1 800 se divide entre 6: 1 800 6 = 300 ¡LISTOS … A TRABAJAR!
1. La suma de dos números es 1 250 y su diferencia 750. Hallar los números. 2. El triple de la suma de dos números es 1 350 y el duplo de su diferencia es 700. Hallar los números. 3. Un muchacho tiene 32 bolitas entre las dos manos y en la derecha tiene 6 más que en la izquierda. ¿Cuántas bolitas tiene en cada mano? 4. Un hotel de dos pisos tiene 48 habitaciones, y en el segundo piso hay 6 habitaciones más que en el primero. ¿Cuántas habitaciones hay en cada piso? 5. Una botella y su tapón valen 80 céntimos y la botella vale 70 céntimos más que el tapón. ¿Cuánto vale la botella y cuánto vale el tapón? 6. La suma de dos números es 450 y su cociente 8. Hallar los números. 7. El duplo de la suma de dos números es 100 y el cuádruplo de su cociente 36. Hallar los números. 8. La edad de "A" es cuatro veces la de "B" y ambas edades suman 45 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 9. La diferencia de dos números es 150 y su cociente 4. Hallar los números. 10. La mitad de la diferencia de dos números es 60 y el duplo de su cociente es 10. Hallar los números. COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. La suma de dos números es 45 678 y se diferencian en 9 856. Hallar los números. 2. La mitad de la suma de dos números es 850 y el cuádruplo de su diferencia es 600. Hallar los números. 3. Una pecera con sus peces vale S/.260, y la pecera vale S/.20 más que los peces, ¿cuánto vale la pecera y cuánto los peces? 4. La suma de dos números excede en 3 unidades a 97 y su diferencia excede en 7 a 53. Hallar los números. 5. La edad de un padre y la de su hijo suman 90 años. Si el hijo nació cuando el padre tenía 36 años, ¿cuáles son las edades actuales? 6. La suma de dos números es 3 768 y su cociente 11. Hallar los números. 7. Si 800 excede en 60 unidades a la suma de dos números y en 727 a su cociente, hallar los números. 8. Entre "A" y "B" tienen S/.2 816 y "B" tiene la tercera parte de lo que tiene "A". ¿Cuánto tiene cada uno? 9. La diferencia de dos números excede en 15 a 125 y su cociente es tres unidades menor que 11. Hallar los números. 10. Hoy la edad de "A" es cuatro veces la de "B", y cuando "B" nació, "A" tenía 12 años. Hallar ambas edades actuales. DESAFÍO Dentro de 7 años mi edad será 8 años más que la de Ricardo. Si actualmente nuestras edades suman 56 años, ¿cuál es la edad de Ricardo?
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Sabías que: "Uno de los temas más importantes para el desarrollo de las matemáticas lo constituye la "TEORÍA DE CONJUNTOS". Nosotros, los seres humanos vivimos rodeados de conjuntos: alumnos, carpetas, personas, libros, etc.
I. NOCIÓN O IDEA DE CONJUNTOS Intuitivamente se entiende por conjunto, a la agrupación, reunión o colección de objetos debidamente determinados, a los cuales se les denomina elementos del conjunto. II. REPRESENTACIÓN DE CONJUNTOS A los conjuntos generalmente se les representa por letras mayúsculas de nuestro alfabeto y a sus elementos por letras minúsculas separadas por comas y encerradas entre llaves: { } o escribiendo entre llaves la propiedad que cumplen todos los elementos del conjunto. También lo podemos representar a través del Diagrama de Venn Euler que se trata de curvas simples y cerradas. •
Ejemplo 1 Al grupo de letras de la palabra "trilce", las cuales son: t, r, i, l, c, e Si a este grupo de letras se le representa por "A", se puede escribir lo siguiente: A = {t,r,i,l,c,e} El cual se lee: "A" es el conjunto cuyos elementos son: t,r,i,l,c,e Si a este conjunto "A" lo representamos a través del diagrama de Venn Euler, se graficará como:
A
.t .r
COLEGIO TRILCE
.i .e
.l .c
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ARITMETICA
Ejemplo 2 Representar al conjunto B, cuyos elementos son los números impares menores que 12; mediante llaves y el diagrama de Venn Euler. Entre aves
En iagrama e Venn Eu er B
B = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}
Veamos: III. RELACIÓN DE PERTENENCIA Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que pertenece () a este conjunto, en caso contrario se dirá que no pertenece () a dicho conjunto. La relación de pertenencia se da de elemento a conjunto. •
Ejemplo 1: Del siguiente diagrama de Venn Euler:
Se tiene que:
A .6
.2
.8
.7
•
7 3 1 6
.3
.1
A A A A
8 5 9 4
A A A A
Ejemplo 2: Dado el conjunto "B": B = {t,r,i,l,c,e}; Se tiene que: t ......... B l ......... B e ......... B r ......... B
a s y n
......... ......... ......... .........
B B B B
¡Qué fácil! Si el elemento forma una parte del conjunto diré que pertenece ( ) y si no forma parte del conjunto diré que no pertenece ()
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
¡LISTOS… A TRABAJAR! 1. a.
Observa los diagramas y escribe dentro de las llaves los elementos de cada conjunto.
A .2
.1
A = {______________________}
.8
.4
.3
.6
.5
B = {______________________}
.7 B A
b.
.7
B
.10
.11
.8
.1
A = {______________________ }
.3
.2
.6 .5
.9
B = {______________________}
.13
.12
C = {______________________}
.4 C
C
c.
B
.7
.11
.15
.10
A
.14
.3 .4 .1
.6
A = {______________________}
.9 .2
.5 .12
.8 .13
d.
B = {______________________}
.16
C = {______________________}
C
A = {______________________}
.1 A .2
.13 .4 .5 .16 .6 .11
.14
.3 .8 .10
B = {______________________}
B
C = {______________________}
.15 .7
D = {______________________} .12 D .9
.
Utilizando las llaves, escribe los siguientes conjuntos, representados por las letras mayúsculas: •
"A"; cuyos elementos son las siete notas musicales. A = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
•
"B"; cuyos elementos son los nueve primeros números impares. B = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}
•
"C"; cuyos elementos son los días de la semana. C = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}
•
"D"; cuyos elementos son las cinco primeras consonantes del alfabeto. D = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}
•
"E"; cuyos elementos son los números pares mayores que 8 y menores que 20. E = {_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}
3. Representa en diagramas de Venn Euler cada conjunto: a.
P = {1; 3; 5; 7; 9}
b.
N = {Norte, Sur, Este, Oeste}
c.
R = {Costa, Sierra, Selva}
d.
Q = {e, s, t, u, d, i, o}
Demuestra lo aprendido Dados los conjuntos: A = {a,e,i,o,u}; B = {2; 4; 6; 8; 10}; C = {1; 3; 5; 7; 9}; D = {p,q,r,s,t,u} Escribe los signos "" (pertenece) o "" (no pertenece) según corresponda: • • • • • • • • • •
2 a 5 6 10 e 5 i 10 u
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
COLEGIO TRILCE
B D D D B A D D B A
• • • • • • • • • •
7 9 i p r 4 1 6 t 3
........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........ ........
C A A C D A C A C B Página 27
ARITMETICA
2. Observa los diagramas y escribe dentro de las llaves los elementos de cada conjunto. b.
C
a.
C .13
B
.11 A
.1
.9
.4
.2 .10
.5
.3 .6
A .6
B
.11 .5
.8
.10 .7
.9
.1
.4
.17 .14 .12
.2
.16 .3
.18
.15
.8
D
.7
A = {______________________} B = {______________________} C = {______________________}
A = {______________________} B = {______________________} C = {______________________} D = {______________________}
3. En cada caso construye un diagrama para cada conjunto: a. M = {do, re, mi, fa, sol, la, si} b. N = {1; 6; 9; 13; 18} c. P = {9; 15; 19; 23; 29} d. Q = {x + 2/x N, "x" es impar, 6 < x < 12}
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS I. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Los conjuntos se determinan de dos formas: a. Por Extensión: Cuando se nombra a cada uno de sus elementos. Ejemplo: El conjunto de los números impares menores que 12 Veamos: A = {____________________________________} b. Por Comprensión Cuando solamente se dice la característica común que tienen todos sus elementos. Veamos el ejemplo anterior. A = {números impares menores que 12} simbólicamente se escribe: A = {x/x N, "x" es impar, x < 12}
COLEGIO TRILCE
Página 28
ARITMETICA
y se lee: "A" es el conjunto formado por los elementos "x", tal que "x" es un número natural e impar menor que 12. II. CARDINAL DE UN CONJUNTO Nos indica la cantidad de elementos diferentes que tiene un conjunto. Se denota n(A) y se lee cardinal del conjunto "A" o número de elementos de "A". Ejemplos: • Dado el conjunto: A = {2; 2; 3; 3; 3; 4; 3; 2} = {_______} entonces: n(A) = ___________ •
Sea el conjunto "B", hallar n(B), si: B = {x/x N; "x" es par; 5 < x < 15} entonces: B = {_______________} y su n(B) es: ________
¡LISTOS … A TRABAJAR! 1. Determina por extensión los siguientes conjuntos, además sus cardinales. a. P = {es una nota musical} P = {____________________________________}; n(P) = _____ b. S = {x/x N, 4 < x < 10} S = {____________________________________}; n(S) = _____ c. Q = {es una vocal} Q = {____________________________________}; n(Q) = _____ d. B = {x2 + 2/x N, "x" es impar, x < 10} _________________________________; n(B) = ______ e. C = {x2 - 3/x N; "x" es par, 1 x < 10} _________________________________; n(C) = ______ f.
D = {2x + 5/x N; "x" es par, 3 < x < 9} _________________________________; n(D) = ______
2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos: a. A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} _____________________________________________________ COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
b. B = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 13} _____________________________________________________ c. A = {3; 6; 9; 12; 15; 18} ________________________________________________________ d. B = {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11} ________________________________________________________ e. C = {4; 8; 12; 16; 20} ________________________________________________________
Demuestra lo aprendido 1. Determina por extensión los siguientes conjuntos y da su cardinal. a. P = {x + 5/x N, "x" es impar, x 7} b. Q = {3x + 6/x N; "x" es par, 5 < x 12} c. R = {x2 + 3/x N; 3 < x < 12} d. S = {es un mes del año} 2. Determina por comprensión los siguientes conjuntos: •
A = {6; 12; 18; 24; 30}
____________________________________________________ • B = {0; 1; 4; 9; 16; 25} ____________________________________________________ •
C = {1; 4; 7; 10; 13; 16} ____________________________________________________
•
D = {1; 2; 5; 10; 17}
____________________________________________________ 3. Observa los diagramas, escribe los signos "" o "" según corresponda: a.
A
.1 .3
.5
.10
.9
.7 .13
.6 COLEGIO TRILCE
.2
.12
.4
B C
6 ...... B
13 ...... A
12 ...... A
9 ...... B
7 ...... C
2 ...... C
3 ...... C
5 ...... B
4 ...... A
4 ...... B Página 30
ARITMETICA b.
B .q
A .m
.r
.c .u
.p
.s
.n .b
.t
C
D
n t s r q
...... ...... ...... ...... ......
C B A D A
b r t c m
...... ...... ...... ...... ......
D B C D A
.a
DESAFÍOS 1.
Dado el siguiente conjunto: R = {a; b; {c}; d; e} I.
a b R
II.
{{c}} C
III. {e} R
c.
¿Cuáles enunciados son falsos?
2.
a.
solo I
b.
solo II
d.
I y II
e.
II y III
solo III
Si tenemos que: n(A) = 10; n(B) = 15; n(C) = 8; n(A B C) = 2; n(B C) = 5; n(A B) = 4; entonces hallar: n[(A - B) - C] a.
4
b.
5
d.
6
e.
8
c.
7
SEGÚN SU NÚMERO DE ELEMENTOS 1. CONJUNTO NULO O VACÍO
Es aquel conjunto que no posee elementos. - Se le representa como: " " o también así: { } - Y se lee: el conjunto vacío.
Ejemplo: A = {x/x es un número impar que termina en 2} Veamos: como ningún número impar termina en 2, entonces el conjunto "A" es igual al vacío y se le representa así: A = COLEGIO TRILCE
Página 31
ARITMETICA
2. CONJUNTO UNITARIO Es aquel conjunto que posee un solo elemento. Ejemplo: P = {x/x N, 5 < x < 7} Veamos: como 6 es el único número natural comprendido entre 5 y 7, entonces: P = {6} 3. CONJUNTOS FINITOS Es aquel conjunto que posee una cantidad limitada de elementos diferentes. Ejemplo: A = {x/x N; x < 8} Veamos: pasando a extensión el conjunto "A" se tendrá: A = {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .}; entonces es un conjunto finito. 4. CONJUNTO INFINITO Es aquel conjunto que posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes. Ejemplo: M = {x/x N, x > 2} Veamos: M = {3; 4; 5; 6; 7; . . . }; como los elementos de "M" no tienen fin, entonces es un conjunto infinito.
o jo
Los conjuntos infinitos más conocidos son los conjuntos numéricos: - Conjunto de los números naturales (N). - Conjunto de los números enteros (Z). - Conjunto de los números racionales (Q). - Conjunto de los números irracionales (I). - Conjunto de los números reales (R).
5. CONJUNTO UNIVERSAL Es aquel conjunto que contiene a todos los elementos de dos o más conjuntos en referencia. Al conjunto universal se le representa por: "U" Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3}; B = {4; 5; 6} Luego: un conjunto universal será: U = {x/x conjuntos "A" y "B".
N,
1
x 6}, ya que "U" contiene a los
SEGÚN SU RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 1. INCLUSIÓN Se dice que un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B", si todos los elementos de "A" pertenecen al conjunto "B". Se denota: "A B". Se lee: - "A está incluido en B", "B incluye a A". - "A está contenido en B", "B contiene a A". - "A es un subconjunto de B", "B es superconjunto de A".
Su diagrama de Venn - Euler será: COLEGIO TRILCE
Página 32
ARITMETICA B
A
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {2; 3; 4; 6} y B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Se observa que todo elemento de "A" pertenece al conjunto "B", entonces afirmamos que: "A" está incluido en "B", lo cual lo indicamos de la siguiente manera: "A B".
Su diagrama de Venn - Euler es: B .7
A
.1 .2
.3 .4
.5 .6 .8
¡Ya entendí! Si todos los elementos de un conjunto "A" pertenecen a otro conjunto "B", diré que: "A es subconjunto de B".
Observaciones: i. Todo conjunto "A" está incluido consigo mismo y se denota: A A. ii. El conjunto vacío "" está incluido en todo conjunto "A": A. 2. CONJUNTOS IGUALES
Dos conjuntos "A" y "B" son iguales sólo si tienen los mismos elementos. Se denota: A = B Se lee: el conjunto "A" es igual al conjunto "B".
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {i, u} y B = {x/x es una vocal débil} Veamos: los conjuntos "A" y "B" tienen los mismos elementos, entonces podemos afirmar que: A = B ¡Ya veo! Quiere decir que si un conjunto "A" tiene los mismos elementos que otro conjunto "B", no interesando el orden como están escritos, ambos conjuntos son iguales.
Observaciones: i. En un conjunto sólo se puede escribir una sola vez cada uno de sus elementos. ii. En un conjunto sus elementos pueden ser escritos en cualquier orden. COLEGIO TRILCE
Página 33
ARITMETICA
3. CONJUNTOS DISJUNTOS Dos conjuntos "A" y "B" son disjuntos si no tienen ningún elemento en común. Su diagrama de Venn: A
B "A" y "B" son disjuntos
Ejemplo: Dados los conjuntos: A = {2; 3; 5} y B = {1; 4; 6} Veamos: como los elementos de "A" son diferentes a los elementos de "B", entonces "A" y "B" son disjuntos. ¡Ya entiendo! Si todos los elementos de un conjunto "A" son diferentes a los elementos de otro conjunto "B", entonces los conjuntos "A" y "B" son disjuntos.
¡ A PRACTICAR LO APRENDIDO ¡ 1. Escribe el símbolo "" o "" según corresponda: a.
{do, re, sol}
............ {x/x es una nota musical}
b.
{2; 6; 8; 10}
............ {x/x es un número par}
c.
{a ,e, i, m, r}
............ {x/x es una vocal}
d.
{9; 7; 6; 5; 3; 1} ............ {x/x es un número impar}
2. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}; B = {1; 4; 5; 7}; C = {2; 4; 6}; D = {1; 5} escribe los símbolos "" o "" en cada caso: C ....... A B ....... D
C ....... D A ....... B
3. Dado el conjunto: A = {2; {3}; 3;{5}} Señala verdadero o falso: 2 A ............ ( ) {2} A ........... ( {3} A ......... ( ) {{5}} A ........ ( COLEGIO TRILCE
A ....... C B ....... A
) )
{3} A ........... ( {{3}} A........ ( Página 34
) )
ARITMETICA
4. En cada caso completa la clase de conjunto(s): A = {2x/x N; x < 100} __________________________ B = {2; 3; 4} y C = {x/x N, 1 < x < 5} __________________________ P = {3x/x N; "x" es par, 2 < x < 4} __________________________ M = {t,r,i,l,c,e} y N = {x/x N; x < 8} __________________________ R = {x/x N} __________________________ 5. Dado el conjunto unitario: A = {6; m + 2}, halla "m" DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Dados los conjuntos: A = {2x + 1/x N, x < 8}; B = {x/x N, "x" es impar, 3 < x 11} C = {9; 11; 13; 15}; D = {11; 15} escribe los signos "" o "" en cada caso C ....... B A ....... D
A ....... B D ....... B
D ....... A B ....... C
C ....... D
C ....... A
B ....... A
2. Completa en cada caso la clase o clases de conjuntos: a. A = {x/x N; x > 5}
_______________________
b. M = {x/x es una vocal} y N = {2; 4; 6; 8}
_______________________
c. C = {3x/x N; x > 0} d. D = {4; 4; 7; 7; 7; 4; 4} y E = {7; 4}
_______________________ _______________________
e. P = {x/x N; 5 < x < 7} y Q = {2}
_______________________
3. Si: A = B; halla "m2 + p2" donde: A = {2m + 6; 2} y B = {10; p - 3} 4. Dado los conjuntos unitarios: P = {2a - 3; 7} y Q = {a; b + 2} halla "a + b" 5. Dado el conjunto: A = {1; {2}; {4}; 6} señala verdadero o falso: {2} A ........... (
)
{1} A ......... (
)
{{2}} A.......... (
)
4 A .............. ( 2 Ï A……………..(
) )
2 A ............ ( ) {6} A………. ( )
{6} A ............. ( A…………… (
) )
COLEGIO TRILCE
Página 35
ARITMETICA
DESAFÍO Dados los conjuntos: P = {x/x es dígito y 3 x 8} Q = {x N/x - 3 = 2} x
R = {x N/}
1 2
3
Hallar: (P Q) R
I. UNIÓN O REUNIÓN DE CONJUNTOS La unión de dos conjuntos "A" y "B" es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de "A" con todos los elementos de "B". Se denota: A B Se lee: A o B Se define: A
B = {x/x
Aox
B}
Representación gráfica: No disjuntos Para conjuntos que tengan elementos comunes
A
B
A B
Disjuntos Para conjuntos que no tengan ningún elemento en común. A
B
A B
Comparables Para conjuntos, en los cuales, uno de ellos esté incluido en el otro. B A
A B
Ejemplos: 1. Si: A = {1; 2; 4; 5; 7}; B = {3; 4; 6; 7; 8} entonces: A B = {____________________________} Como ambos conjuntos tienen elementos comunes, su gráfico será:
COLEGIO TRILCE
Página 36
ARITMETICA
2. Si: P = {2; 6; 9; 10}; Q = {1; 3; 5} entonces: P Q = {____________________________} Como ambos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su gráfico será:
3. Si: M = {1; 3; 4; 6; 7}; N = {3; 4; 7} entonces: M N = {____________________________} Como todos los elementos de uno de los conjuntos pertenecen al otro conjunto, (uno está incluido en el otro) su gráfico será:
¡Ya entiendo! En la unión de dos o más conjuntos se sombrean todos los conjuntos.
PROPIEDADES a. La unión de cualquier conjunto "A" consigo mismo, es igual al mismo conjunto "A". Así: A A = A b. La unión de cualquier conjunto "A" con el conjunto vacío, es igual al mismo conjunto "A". Así: A = A c. La unión de cualquier conjunto "A" con el conjunto universal, es igual al conjunto universal. Así: A U = U ¡LISTOS …. A TRABAJAR! 1. Sean los conjuntos: A = {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} B = {x/x N; "x" es impar, 6 < x 13} = {_______________} Hallar "A B" y su diagrama de Venn Euler. DIAGRAMA
Solución: COLEGIO TRILCE
Página 37
ARITMETICA
A B = {_______________} n(A B) = {__________________}
2. Dados los conjuntos: M = {2x + 1/x N; x < 5} = {_______________} N = {x/x N; "x" es par, 4 x < 12} = {_______________} Hallar "M N" y su diagrama de Venn Euler.
DIAGRAMA
Solución: M N = {_______________} n(M N) = {__________________}
DIAGRAMA
3. Dados los conjuntos: A = {3x - 1/x N; 1 x 6}; B = {2x/x N; 0 x < 8} y C = {x2 + 1/x N; x < 4} hallar: "A B"; "A C"; "B C"; con sus respectivos diagramas de Venn.
4. Sean los conjuntos: P = {es una consonante de la palabra "trilce"} Q = {t,r,i,l,c,e} Hallar "P Q" y su diagrama de Venn Euler. Solución: P Q = {_________________________} n(P Q) = {_________________________}
DIAGRAMA
5. Sombrear en cada caso: a. A
B
b. P
Q
c. M
P
A
N
M Q N
B
COLEGIO TRILCE
Página 38
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Dados los conjuntos: A = {3; 5; 7; 11; 13}; B ={2x + 1/x N; x 5} hallar: n(A B) a. 5 b. 6 c. 7 d. 8
e. 9
2. Sabiendo que: A = {x2 /x Z; -2 x < 4}; B = {0; 2; 4; 6} calcular la suma de los elementos del conjunto A B a. 19 b. 20 c. 21 d. 22
e. 23
3. Dados los conjuntos: M = {2x - 1/x N; 0 < x 4}; R = {2; 4; 6} hallar: n(M R) a. 4 b. 5 c. 6
e. 8
d. 7
4. Sean los conjuntos: P = {x - 3/x N; 3 < x < 9}; Q = {x + 1/x N; 1 x < 4} hallar la suma de los elementos del conjunto P Q. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14
e. 15
5. Dados los conjuntos: A = {x + 1/x N, "x" es par, 1 < x < 10}; B = {2; 3; 4; 5; 7; 8} hallar: n(A B) a. 4 b.5 c.6 d.7 e.8 II. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS La intersección de dos conjuntos "A" y "B" es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. Se denota: A B Se lee: "A y B" Se define: A
B = {x/x
Ayx
B}
Representación gráfica:
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA No disjuntos Para conjuntos que tengan elementos comunes. A
B
A B
Disjuntos Para conjuntos que no tengan ningún elemento en común. A
B
A B
Comparables Para conjuntos, en los cuales, uno de ellos esté incluido en el otro. B A
A B
Ejemplos: DIAGRAMA
1. Si: A = {3; 5; 6; 7; 9; 10}; B = {6; 9; 11; 12} entonces: A B = {____________________________} Como ambos conjuntos tienen elementos comunes, su gráfico será:
DIAGRAMA
2. Si: P = {a,e,o,u} Q = {m,n,p} entonces: P Q = {____________________________} Como ambos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su gráfico será:
¡Ya entendí! En la intersección de dos conjuntos se sombrea sólo la parte común a ambos.
PROPIEDADES a. La intersección de cualquier conjunto "A" consigo mismo, es igual al mismo conjunto "A". Así: A A = A b. La intersección de cualquier conjunto "A" con el conjunto vacío, es igual al conjunto vacío. Así: A = c. La intersección de cualquier conjunto "A" con el conjunto universal es igual al mismo conjunto "A". Así: A U = A COLEGIO TRILCE
Página 40
ARITMETICA
¡ LISTOS …. A TRABAJAR ¡ 1. Sean los conjuntos: M = {x/x N; "x" es par, 2 x 10} = {_______________} N = {1; 2; 3; 5; 7; 8; 9; 10; 11} Hallar "M N" y su diagrama de Venn Euler.
DIAGRAMA :
Solución: M N = {_______________} n(M N) = {_______________}
2. Dados los conjuntos: P = {x - 1/x N, 1 < x < 12} = {_______________} Q = {x2 /x N; "x" es impar, x < 4} = {_______________} Hallar "P Q" y su diagrama de Venn Euler.
DIAGRAMA :
Solución: P Q = {_______________} n[P Q]= {______________________}
3. Sombrear en cada caso: a. A
B
b. P
Q
c. M
N
M
A
P B
Q N
4. Dados los conjuntos: M = {2x + 3/x N; x 4} N ={4x - 1/x N; 1 x < 5} Q = {x2 /x N; x < 1} Hallar: "M Q"; "N M"; "Q N", con sus respectivos digramas de Venn. 5. Dados los conjuntos: COLEGIO TRILCE
Página 41
ARITMETICA
R = {x3 + 1/x Z; -2 x < 3} S = {x - 3/x N; 3 x < 9} hallar la suma de los elementos del conjunto "R S". DEMUESTRA LO APRENDIDO. 1. Dados los conjuntos: A = {3x + 1/x N; x 3}; B = {1; 2; 4; 7; 9; 11} hallar: n(A B) a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
e. 5
2. Sabiendo que: P = {x2 /x Z; -2 x < 3}; Q = {-1; 0; 1; 5; 7} Calcular la suma de los elementos del conjunto P Q. a. -2 b. -1 c. 0 d. 1
e. 2
3. Sean los conjuntos: R = {x + 2/x Z; -3 < x < 4}; S = {1; 3; 5; 7; 9; 11} hallar: n(R S) a. 1 b. 2 c. 3 d. 4
e. 5
4. Dados los conjuntos: M = {x - 2/x N; 2 x < 6}; R = {2x/x N; x 5} calcular la suma de los elementos del conjunto M R. a. 0 b. 1 c. 2 d. 3
e. 4
5. Dados los conjuntos: B = {x/x N; "x" es impar; x 9}; D = {2; 3; 5; 6; 7; 9} hallar la suma de los elementos del conjunto B D. a. 21 b. 22 c. 23 d. 24
e. 26
III. DIFERENCIA DE CONJUNTOS La diferencia de dos conjuntos "A" y "B", es el conjunto formado por los elementos de "A" pero no de "B". Se denota: A - B Se lee: "A pero no B" (sólo "A") Se define: A B = {x/x COLEGIO TRILCE
Ayx
B} Página 42
ARITMETICA
Representación gráfica: No disjuntos Para conjuntos que tengan elementos comunes. A
B
A - B
Disjuntos Para conjuntos que no tengan ningún elemento en común. A
B
A-B
Ejemplos: 1. Si: A = {1; 2; 4; 5; 6; 8}; B = {2; 3; 5; 7; 8; 9} entonces: A - B = {___________________} B - A = {___________________} Como ambos conjuntos tienen elementos comunes, su gráfico será: n(A - B) = _________; n(B - A) = _________
Comparables Para conjuntos, en los cuales, uno de ellos esté incluido en el otro. B A
A-B DIAGRAMA:
DIAGRAMA:
2. Si: M = {2; 4; 6; 8; 10}; N = {1; 3; 5; 7; 9} entonces: M - N = {____________________} N - M = {____________________} Como ambos conjuntos no tienen ningún elemento en común, su gráfico será: n(M - N) = _________; n(N - M) = _________ DIAGRAMA:
3. Si: P = {4; 5; 7; 8; 9; 10}; Q = {5; 8; 9} entonces: P - Q = {____________________} Q - P = {____________________} Como todos los elementos de uno de los conjuntos pertenecen al otro conjunto (uno está incluído en el otro), su gráfico será: n(P - Q) = _________; n(Q - P) = _________
COLEGIO TRILCE
Página 43
ARITMETICA
¡Ya entendí! En la diferencia de dos conjuntos se sombrea la parte que no pertenece al otro conjunto.
PROPIEDADES a. Si un conjunto "A" está incluido en otro conjunto "B", entonces la diferencia de los conjuntos "A - B", es igual al conjunto vacío. Así:
Si: A B A - B =
b. Para todo conjunto "A", la diferencia del conjunto "A" consigo mismo es igual al conjunto vacío. Así:
A;
A-A=
c. Para todo conjunto "A"; la diferencia del conjunto "A" con el conjunto vacío es igual al conjunto "A". Así:
A;
A - = A
Recordar: A
B = {x/x
A
B = (A
COLEGIO TRILCE
(A B) (A
B)
x
(A
B)}
B)
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ARITMETICA
¡ LISTOS …. A TRABAJAR ¡ 1. Sean los conjuntos: A = {x/x N; "x" es impar, x < 10}; B = {x + 1/x N; 5 < x < 12} Hallar "A - B"; "B - A" y sus diagramas de Venn Euler. Solución: A B = {_______________} B A = {_______________} Diagrama:
Diagrama:
2. Dados los conjuntos: M = {x/x N; x < 9} = {_______________} N = {x/x N; "x" es par, 2 x < 10} = {_______________} Hallar "M N"; "N - M" y sus diagramas de Venn Euler. Solución: M N = {_______________} N M= {_______________} Diagrama:
Diagrama:
3. Sean los conjuntos: P = {2x/x N; x < 5} = {_______________} Q = {x2 /x N; 2 < x 6} = {_______________} Hallar "P Q"; "Q - P" y sus diagramas de Venn Euler. Solución: P Q = {_______________} Q P = {_______________} Diagrama:
COLEGIO TRILCE
Diagrama:
Página 45
ARITMETICA
3. Sean los conjuntos: B = {x2 + 1/x N; x < 4} = {____________} C = {x - 3/x N; 3 < x 13} = {____________} Hallar:"B C" y su diagrama de Venn Euler.
DIAGRAMA:
Solución: B C = {_________________}
4. Sombrear en cada caso: a. M - N
b. Q - P
c. S - R
Q
N
P
S
M
R
d. A B
e. B C
f. D E
B D
A
E
C B
COLEGIO TRILCE
Página 46
ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Sean los conjuntos: A = {x/x N; "x" es par; x < 11}; B = {x - 1/x N; 5 < x < 12} hallar: n(A - B) a. 1 b. 2 c. 3
d. 4
e. 5
2. Dados los conjuntos: R = {x/x N; x < 8}; S = {x/x N; "x" es impar; 2 x < 9} hallar: n(S - R) a. 1 b. 2 c. 3
d. 4
e. 5
3. Sean los conjuntos: M = {2x/x N; x < 4}; N = {x + 1/x N; x < 7} hallar: n(N - M) + n(M - N) a. 2 b. 3
c. 4
d. 5
e. 6
4. Sean los conjuntos: P = {3x/x N; 1 < x 6}; Q = {x + 1/x N; x < 5} hallar: n(P Q) a. 6 b. 7
c. 8
d. 9
e. 10
5. Dados los conjuntos: B = {2x + 3/x N; 2 x < 7}; D = {x - 1/x N; "x" es par, 5 < x 12} hallar: n(B D D) a. 1 b. 5
2c.
3
d.
4
e.
PROPIEDADES a. Para todo conjunto "A"; la unión del conjunto "A" con su complemento es igual al conjunto universal. Así:
COLEGIO TRILCE
A;
A
A' = U
Página 47
ARITMETICA
b. Para todo conjunto "A"; la intersección del conjunto "A" con su complemento es igual al conjunto vacío. Así:
A;
A
A' =
c. El complemento del conjunto vacío es igual al conjunto universal. ' = U Así: d. El complemento del conjunto universal es igual al conjunto vacío. U' = Así: e. El complemento del complemento del conjunto "A" es igual al mismo conjunto "A". Así:
(A')' = A
A PRACTICAR LO APRENDIDO
1. Sean:
U = {x + 2/x N; x < 9} = {___________________} P = {x/x N; "x" es impar; x < 10} = {___________________} Hallar P' y su diagrama de Venn Euler. Solución: P' = U - P = {___________________} Graficamente:
2. Sean:
U = {2x + 3/x N; x < 8} = {___________________} Q = {x + 1/x N; "x" es par, 4 x < 13} = {___________________} Hallar Q' y su diagrama de Venn Euler. Solución: Q' = U - Q = {___________________} Graficamente:
COLEGIO TRILCE
Página 48
ARITMETICA
3. Sean:
U = {x - 5/x N; 6 x 14} = {___________________} A = {x2 /x N; 1 x < 4} = {___________________} B = {x + 2/x N; "x" es impar, x 7} = {___________________} Hallar: (A B)'; (A B)' con sus diagramas de Venn Euler. Solución: A B = {_________________} A B = {_________________} (A B)' = U - (A B) (A B)' = U - (A B) (A B)' = {_________________} (A B)' = {_________________} Diagrama: Diagrama:
4. Sean:
U = {x/x N; x 1} = {_________________} M = {2; 3; 5; 7; 8; 9}; N = {0; 1; 2; 6; 7; 8} Hallar: (M - N)', (M N)' con sus diagramas de Venn Euler. Solución: M - N = {_____________} M N = {_____________} (M - N)' = U - (M - N) (M N)' = U - (M N) (M - N)' = {_____________} (M N)' = {_____________} Diagrama: Diagrama:
OPERACIONES CON MÁS DE DOS CONJUNTOS 1. Dados los conjuntos: A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} B = {3; 4; 5; 6; 8} C = {5; 8; 9; 10} hallar: (A B) C y su diagrama de Venn. 2. Sean los conjuntos: P = {3; 4; 5; 6} Q = {4; 5; 7; 8} R = {2; 3; 4; 6; 8} COLEGIO TRILCE
Página 49
ARITMETICA
hallar: (A B) C y su diagrama de Venn. 3. Dados los conjuntos: A = {1; 2; 4; 5; 7} B = {1; 3; 5; 6} C = {4; 5; 6; 8} hallar: n[(B - C) A] y su diagrama de Venn. 4. Dados los conjuntos: M = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} R = {2; 4; 5; 6} Q = {2; 4; 6; 8; 9} hallar: (Q R) - M
PROBLEMAS CON DOS CONJUNTOS por las Para resolver problemas con dos conjuntos, se debe identificar en su diagrama de Venn,
las diferentes zonas que se presentan; para eso veamos con un ejemplo, sobre una encuesta a un grupo de personas sobre la preferencia revistas "A" o "B". Prefieren la revista "A". A
Prefieren la revista "B". B
Prefieren sólo "A"; solamente "A", "A" pero no "B". A
B
Prefieren "A" y "B". A
COLEGIO TRILCE
A
B
Prefieren sólo "B", solamente "B", "B" pero no "A". A
B
No prefieren ni "A" ni "B". B
A
B
Página 50
ARITMETICA No prefieren "A".
No prefieren "B".
A
B
A
Prefieren "A" o "B".
B
Prefieren solamente una revista.
A
B
A
B
PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON TRES CONJUNTOS a. UNIÓN
b.
A
B
C
INTERSECCIÓN A
B
C
¡ A PRACTICAR LO APRENDIDO ¡
1. Si el conjunto "A" tiene 34 elementos, el conjunto "B" tiene 18 elementos y ambos conjuntos tienen 9 elementos comunes. ¿Cuántos elementos pertenecen a "A" pero no a "B"? a. 20 b. 23 c. 25 d. 28 e. 34 2. De un grupo de personas que leen revistas GENTE o CARETAS, se conocen que 72 leen GENTE, 51 leen CARETAS y 34 leen sólo GENTE. ¿Cuántas personas leen sólo CARETAS? a. 10 b. 13 c. 15 d. 17 e. 19 3. Se observó en una reunión que: 46 personas usaban relojes; 24 usaban pulseras y 12 usaban ambas cosas. ¿Cuántas personas asistieron a la reunión si todos llevaban al menos una de las dos prendas? a. 48 b. 50 c. 56 d. 58 e. 60
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
4. En un restaurante donde asisten 40 personas, 19 toman solo café; 10, café con leche; el resto solo leche. ¿Cuántos toman leche? a. 10 b. 11 c. 21 d. 23 e. 29 5. Durante el mes de febrero del 2007, trilcito solo desayunó jugo de narajna y/o jugo de papaya. Si 12 días desayunó solamente jugo de naranja, 3 días desayunó jugo de naranja y jugo de papaya. ¿Cuántos días desayunó solamente jugo de papaya? a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. 16 6. En una encuesta realizada a un grupo de deportista: 115 practican básquet, 35 practican básquet y ajedrez, 90 practican solo ajedrez, 105 no practican básquet. ¿A cuántos deportistas se encuestó? a. 180 b. 190 c. 200 d. 210 e. 220 7. Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y ketchup: 57 consumen mayonesa, 45 consumen ketchup, 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa pero no ketchup? a. 38 b. 40 c. 42 d. 48 e. 57 8. En un jardín de infancia se consulta a 55 niños sobre la preferencia de golosinas y contestan lo siguiente: - A 31 niños le gustan los caramelos. - A 33 niños le gustan los chocolates. - A 29 niños le gustan las galletas. - A 19 niños le gustan los caramelos y los chocolates. - A 17 niños le gustan los caramelos y las galletas. - A 18 niños le gustan los chocolates y las galletas. - A 10 niños le gustan los chocolates, los caramelos y las galletas. ¿A cuántos niños no les gusta las golosinas? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 9. En una encuesta a 80 personas, 47 tienen refrigeradora, 56 tienen computadora y 5 no tienen ninguno de los dos artefactos. ¿Cuántas personas tienen como computadora solamente? a. 20 b. 22 c. 23 d. 25 e. 28 10. Cien alumnos de un colegio solicitan beca y al hacer su estudio socio económico, se establece que 60 tienen televisor y 78 tienen radio. ¿Cuántos tienen sólo radio, si se sabe además que 9 no tienen ni televisor ni radio? a. 27 b. 28 c. 30 d. 31 e. 33 COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Durante todas las noches del mes de mayo, Marlene escucha música o lee un libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches, ¿cuántas noches escucha música y lee un libro solamente? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6 2. José realiza un viaje mensual durante todo el año a Chiclayo o Trujillo. Si 8 viajes fueron a Chiclayo y 11 viajes fueron a Trujillo, ¿cuántos meses visitó los dos lugares? a. 2 b. 3 c. 5 d. 7 e. 8 3. Se tiene 80 personas de las cuales 6 juegan fútbol y básquet, 30 no juegan fútbol ni básquet y 20 juegan fútbol. ¿Cuántos solamente juegan básquet? a. 10 b. 12 c. 14 d. 16 e. 18 4. De un grupo de 65 alumnos, 30 prefieren Lenguaje, 40 prefieren Matemática, 5 prefieren otros cursos. ¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje? a. 6 b. 8 c. 10 c. 12 e. 14 5. De 50 estudiantes encuestados: 20 practican sólo fútbol 12 practican fútbol y natación, 10 no practican ninguno de estos deportes. ¿Cuántos practican natación y cuántos solo natación? a. 12 y 8 b. 12 y 10 c. 20 y 12 d. 20 y 8 e. 20 y 10 6. En un salón de 100 alumnos, 65 aprobaron Razonamiento Matemático, 25 Razonamiento Matemático y Razonamiento Verbal, 15 aprobaron solamente Razonamiento Verbal. ¿Cuántos no aprobaron ninguno de los cursos mencionados? a. 10 b. 15 c. 20 d. 25 e. 30 7. En una encuesta realizada a 120 personas: 40 leen solamente la revista "Gente", 60 leen solamente la revista "Caretas", 12 no leen ninguna de estas revistas. ¿Cuántos no leen la revista "Caretas"? a. 48 b. 50 c. 52 d. 54 e. 56 8. En un restaurante donde asisten 40 personas, 19 toman sólo café; 10, café con leche; el resto sólo leche. ¿Cuántos toman leche? a. 10 b. 11 c. 19 d. 20 e. 21 9. De 300 alumnos que salen al recreo: 90 bebieron Inca Kola, 60 bebieron Coca Cola, 10 bebieron ambas bebidas. ¿Cuántas alumnos bebieron solo una de estas bebidas? a. 110 COLEGIO TRILCE
b. 120
c. 130
d. 140
e. 150 Página 53
ARITMETICA
10. En una reunión de profesores de Ciencias: 47 eran de Matemática, 40 eran solo de Física, 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? a. 87 b. 89 c. 90 d. 91 e. 98
1. ¿Cómo se leen las siguientes fracciones y cuál es su notación decimal? • •
17 100000
= ___________________________________ = _______
29
17 100
= ___________________________________ = _______
30
31 10000
• = ___________________________________ = _______ 2. Escribir la fracción decimal y su notación decimal: • 978 décimos = __________ = _______ •
9 unidades 19 milésimos
•
6 unidades 215 diezmilésimos = __________ = _______
3. Hallar la fracción generatriz: a. 0,05 =
= __________ = _______
b. 3,5222 = d. 0,17 =
c. 17,36 = e. 9,1235 =
4. Resolver las siguientes operaciones combinadas: a. 0,19 + 3,81 + 0,723 + 0,1314 = b. 837,2 - 35,13 = c. 134,7 × 3,01 = e.
(0, 6 1, 6)
COLEGIO TRILCE
d. 38,2 0,2 =
9 5 Página 54
ARITMETICA
5. Resolver: 1 1 1 2 3 7 14 2 2 5 1 6 5 10 3 9 18
1 3
4
a.
b.
2 1 5 30 23 30
6. Simplificar: 5
7 36
1 1 1 18 72 1 78 2
4
36
7. Resolver y luego indicar el número entero (parte entera) del resultado de: 5
1 1 1 3 4 3 2
8. Calcular: (3 27 )2 82 (42 22 ) (100 10) ( 64 102 )
9. Resuelve los siguientes problemas: a. Al sumar dos números se obtiene 40, si el mayor excede al menor en 12, ¿cuál es el número mayor? b. La suma de las edades de Víctor y Elizabeth es 66 años. ¿Qué edad tiene Víctor si dice ser 18 años mayor que Elizabeth? c. Si sumamos las edades de Rocío y Walter obtenemos 78 años. Si hace 10 años la diferencia de sus edades era 2 años, ¿qué edad tiene Rocío? d. La diferencia de dos números es 24, si al minuendo y al sustraendo le aumentamos 5, ¿cuál es la nueva diferencia? e. Juan es mayor que Jorge por 6 años. Si a ambas edades, le aumentamos 6 años, ¿cuál es la nueva diferencia de sus edades? 10. Resuelve los siguientes ejercicios de conjuntos: a. Dado el conjunto unitario: B = {8; a - 5; b + 3}, hallar "a + b". b.. Si los conjuntos: A = {m; n}; B = {n; p}; C = {2p - 1; 3} son unitarios; hallar "m + n + p". c. ¿Cuál es el mínimo número de elementos que puede tener: (A B) C; si: n(A) = 5; n(B) = 4 y n(C) = 3? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
d. Dados los conjuntos: A = {x/9 x2 300; x N} B = {x/2x - 5 30; x N} hallar; n(A B) e. Determinar por comprensión: M = {2; 4; 6; 8; 10} a. M = {x/x es par} b. M = {x/x = 2n; 1 x 5} c. M = {x/x = 2n; 1 n 5; n N} d. M = {x/x = 2n} e. M = {x/x < 11} f.
Dado el conjunto: A = {x3 /x Z; -3 x < 4}; B = {4x/x Z; 0 x 3} calcular la suma de los elementos del conjunto: A B a. 4 b. 5 c. 6 d. 7
e. 8
g. Dados los conjuntos: A = {2x2 + 1/x N; x < 4}; B = {3x/x N; "x" es impar; x < 7} hallar la suma de los elementos del conjunto A B. a. 10 b. 11 c. 12 d. 15 e. 18 h. Dados los conjuntos: A = {x2 - 1/x N; -3 < x 2}; B = {2x/x N; x < 5} hallar: n(A - B) + n(B A) a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 i.
e. 8
Jessica tomó helados de fresa o coco durante todas las mañanas en los meses de verano (enero, febrero y marzo) del 2004. Si tomó helados de fresa 53 mañanas y tomó helados de coco durante 49 mañanas. ¿Cuántas mañanas tomó helado de los dos sabores? a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 15
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ARITMETICA III BIM. TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ARITMETICA
Pág .
å Sistema de númeración decimal: descomposición .......7 å Sistema de numeración no decimal ............................13 å Cambio de Sistema de numeración ............................19 å Repaso de Sistema de numeración ............................25 å Propiedades de los números .......................................29 å Criterios de divisivilidad ...............................................37 å Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo ......43 å
Problemas con m.c.m y m.c.d......................49
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ARITMETICA
CONCEPTOS BÁSICOS Número: Es una idea de cantidad, la cual nos permite cuantificar los objetos; es un ente abstracto.
Numeral: Es la figura o símbolo que representa o da la idea del número.
*
Sistema de numeración Es un conjunto de símbolos y leyes que nos permiten representar y expresar correctamente los números. Tenemos diversos Sistemas de Numeración, entre los cuales destaca el Sistema de Numeración de Decimal o decuplo
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL Es el sistema cuyo principio fundamental es que la agrupación de sus unidades son de diez en diez. Así por ejemplo:
1 < > 1 unidad 10 unidades < > 1 decena 10 decenas < .> 1 centena
..
Características del sistema Decimal a.
Símbolos utilizados en el sistema decimal.
0 ; 1; 2; 3; 4 ; 5 ;6 ; 7; 8 ; 9 cifras
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
b.
De la combinación de estas cifras se pueden formar todos los números que conocemos: Ejemplo: - Con 0; 1; 2 se pueden formar: 0; 1; 2; 10; 20; 11; 12; 210; . . . - Con 3; 4; 0 se pueden formar: ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; . . .
Descomposición polinómica de un Numeral del Sistema Decimal "Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras". Ejemplo: 3 2 7 8 = 3000 + 200 + 70 + 8 = ___ × 103 + ___ + 10 2 + ___ × 101 + 8
Observa: Cada cifra está multiplicada por 10 y ésta tiene como exponente la cantidad de cifras que se encuentran as la derecha de ella. 3 278
32 78
327 8
3 × 10 3
2 × 10 2
7 × 10 1
3278 8 × 10 0
Forma general . . . bcba = . . . + d × 103 + c × 102 + b × 101 + a Casos especiales * mmmm = m × 103 + m × 102 + m × 101 + m = 1000m + 100m + 10m + m = 1111m *
Para un numeral capicúa:
aba = a × 102 + b × 101 + a = 100a + 10b + a = 101a + 10b abcba
c.
= a × 104 + b × 103 + c × 102 + b × 10 1 + a = 10000a + 1000b + 100c + 10b + a = 10 = _______ × a + _______ × b + _______ × c En el sistema decimal: - Mínimo valor no significativo : 0 - Mínimo valor significativo :1 - Máximo valor :9
Orden: Es la posición que ocupa cada cifra empezando a contar de derecha a izquierda.
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
UM
C
D
U
1er orden o unidades . . . . = ________
1
2
3
4
2do orden o decenas . . . . = ________
4to
3 er
2 do
1 er
3er orden o centenas . . . . = ________ 4to orden o unidades de millar . . . . = ________
Ejemplo:
Lugar: Es la ubicación de la cifra según como se lee, de izquierda a derecha. Ejemplo: UM
C
D
U
1er Lugar = ________
1
2
3
4
2do Lugar = ________
4to
3er
2do
1er
3er Lugar = ________ 4to Lugar = ________
Valores de una cifra Toda cifra que forma parte de un número, puede tener dos valores. a. Valor absoluto (V.A.): Es absolutamente el mismo valor de cada cifra en cualquier orden que se encuentre. V.A.(7) = ________ V.A.(5) = ________ V.A.(1) = ________ V.A.(4) = ________
7 5 1 4 V.R.(4) = _________________ V.R.(1) = ____________ _____ V.R.(5) = _________________ V.R.(7) = _________________
b.
Valor Relativo (V.R.): Es relativo al orden donde se encuentra cada cifra (unidades,
decenas, centenas, . . .)
¡ LISTOS A TRABAJAR ¡ 1.
2.
Escribe el valor relativo (V.R.) o el valor absoluto (V.A.) según corresponda. a.
34 271
V.R.(2) = _____________
b.
67 192
V.A.(6) = _____________
c.
5 314 218
V.R.(4) = _____________
d.
27 235
V.A.(7) = _____________
e.
851 231
V.R.(8) = _____________
f.
567 421
V.A.(5) = _____________
Indicar la suma de la cifra del primer orden más la cifra del sexto orden en: 42 399 981 301
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
3.
Indicar la suma de la cifra del tercer lugar más la cifra del quinto lugar en: 29 433 167
4.
Calcular la suma del mayor y menor número que se puede formar con las siguientes cifras, solo puedes utilizar una vez cada cifra. 1; 2; 4; 7; 9
5.
¿Cuál debe ser el valor de "x" en: x 32 3x2 xxx
2323 ?
6.
Si se cumple que: 22 a es el triple de 7a . Calcular el valor de "a".
7.
Hallar el valor de "a" y "b" tal que: 123 b es el doble de a1a .
8.
Hallar el valor de "b", si se cumple que: 78b es el resultado de invertir el orden de las cifras a b87 y disminuirlo en 99 unidades.
9.
Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas de como resultado 72. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
10. Si al numeral 1432 se le quita la cifra del tercer orden y se le reemplaza por la cifra "a", el número resultante es mayor que el anterior en 200 unidades. Hallar el valor de "a".
DEMUESTRA LO APRENDIDO
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
7.
Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas dé como resultado 63. Además se sabe que la suma de las dos cifras es 9. Dar como respuesta el producto de las cifras del número perdido.
8.
Se tiene un número de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final; luego al mismo número original se le agrega un 7 al comienzo. Si se suman los dos números de cuatro cifras se obtiene 9768. Hallar la suma de las cifras del número original.
9.
A un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha, aumentándose el número en 4752 unidades. Calcular el número original.
10. Hallar un número de dos cifras, cuya suma de cifras es 10 y tal que al invertir el orden de sus cifras, el número disminuye en 36 unidades. Dar como respuesta el producto de las cifras del número pedido.
DESAFÍO Un número está compuesto por tres cifras, la cifra de las centenas es cuatro veces la cifra de las unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el producto de las cifras de dicho número.
Para este segundo tema, queridos alumnos, estudiaremos otros sistemas de numeración; para lo cual, generalizaremos algunos conceptos dados en el tema anterior.
1. Base de un Sistema de Numeración: Es la cantidad de unidades requeridas de un orden cualquiera para formar una unidad de un orden inmediato superior. Así; por ejemplo, si deseo representar un grupo de unidades en base 7, necesito grupos de siete unidades para ser agrupados y formar una unidad de orden inmediato superior. COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Al agrupar de 7 en 7, se han formado cuatro grupos y han quedado sin agrupar seis unidades, luego se puede decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente: 46(7) Otro ejemplo: Agrupar 26 unidades en base 3. La agrupación es: 2 grupos de 3 × 3 = 2 × 2 grupos de 1 × 3 = 2 × 2 unidades sueltas = 2
32 31
o también: 222(3) .
Condiciones de la base: a)
La base de un sistema de numeración siempre es un número natural mayor que 1.
b) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades, por lo que la menor base es 2 (Sistema Binario).
2. Principios fundamentales de los Sistemas de Numeración: 2.1 Toda cifra de un numeral es menor que su base y utiliza "n" cifras: el cero y (n 1) cifras significativas. 0;
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . ; (n - 1)
cero
cifras significativas
Ejemplo: -
1023(5)
Todas las cifras son menores que la base 5, entonces, el número 10 está correctamente escrito.
-
222222(3)
-
86577 (8)
Todas las cifras son menores que la base 3. Todas las cifras no son menores que la base 8, la cifra que ocupa el primer lugar (el 8) no es menor que 8, entonces
el
número
no
está
correctamente
representado. Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente: En la base "b": COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
-
Se usan "b" cifras para formar un orden inmediatamente superior cualquiera.
-
Las cifras pueden ser: Significativas = {1; 2; 3; 4; ...; (b - 1)) Cifra máxima
No significativa o auxiliar: 0 (cero) Conclusión: Cifra < Base
Principales Sistemas de Numeración Base
Sistemas de Numeración
2
Binario o dual
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Denario o decimal Undecimal
12
Duodecimal
Cifras diferentes que utiliza 0;1 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0;
1; 1; 1; 1; 1; 1; 1; 1;
2 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2;
3 3; 3; 3; 3; 3; 3;
4 4; 4; 4; 4; 4;
5 5; 5; 5; 5;
6 6; 7 6; 7; 8 6; 7; 8; 9
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ;
Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta: = 10; = 11; = 12; etc.
Como consecuencia del cuadro anterior, existen infinitos sistemas de numeración.
3. Descomposición polinómica de un número en cualquier Sistema de Numeración abcd (n) = a × n3 + b × n2 + c × n + d Ejemplos: • 1234(5) = 1 × 53 + 2 × 5 2 + 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194 •
(9) =
•
(a)
a × 92 + a × 9 + a = 81a + 9a + a = 91a
= 3 × a2 + 4 × a + 0 = 3a 2 + 4a
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ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
COLEGIO TRILCE
Página 10
ARITMETICA
DESAFÍO Un número consta de 2 cifras, cuya suma es 11. Si intercambiamos el orden de sus cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número original. Hallar dicho número. a.
47
b.
29 c.
65
d.
83
e.
56
Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de numeración, pero sin dejar de representar estos números la misma cantidad de unidades. También se le conoce a este tema como cambio de base.
Caso I:
De una base diferente de 10 a la base 10
"Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando para ello las operaciones indicadas". Descomposición polinómica: abc (n) = a × n2 + b × n + c Ejemplos: • 123 ( 4)
142
2 4
16
879 (9)
• aba ( 8)
•
3
27
8
2 89
7 9 6
648
63
2 a8
b 8
64a
a
717
65a 8b
8b
También se puede utilizar el "método de Ruffini", así: 1
4 ×
1
2
3
+
+
4
24
6
27
En el sistema decimal
×
COLEGIO TRILCE
Página 11
ARITMETICA
1
9 × ×
8
7
6
+
+
72
711
79
717
En el sistema decimal
Caso II: De base 10 a una base diferente de 10 Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado del sistema decimal (base 10) entre la base "n" a la cual se desea convertir; si el cociente es mayor que "n", se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una división donde el cociente sea menor que "n". Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el número expresado en base "n".
Ejemplo: • Convertir 25 a base 8:
•
25
8
1
3
25 = 31(8)
Convertir 100 a base 3: 100
3
1
33 0
100 = 10201 (3)
3 11 2
•
3 3
3
0
1
Convertir 216 a base 6: 216 6
0
216 = 1000(6)
36
6
0
6
6
0
1
Caso III: De una base diferente de 10 a otra diferente de 10
Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir, primero llevamos el número de base diferente de 10, por descomposición polinómica, al sistema decimal; y, luego este número, por divisiones sucesivas, lo llevamos al otro sistema de base diferente a 10.
Ejemplos: 1. Convertir: 543(6) a base 4 543 (6)
a. Descomposición polinómica: b. Divisiones sucesivas: COLEGIO TRILCE
2 56 180
4 6
3
207
24
Página 12
ARITMETICA 207
4
3
51
4
3
12 4 0
2.
Luego: 543(6) = 207 = 3033(4)
3
Convertir: 2134(5) a base nueve 2134 (5)
a. Descomposición polinómica: b. Divisiones sucesivas: 294
9
6
32
9
5
3
3 2 2 5 15 250
25
3 5 4
294
15
Luego: 2134(5) = 294 = 356(9)
PROPIEDAD: "En un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que donde tenga mayor representación aparente le corresponde una menor base y viceversa, a menor representación mayor base". + N = RATÓN(x) = PAVO(y) +
Ejemplo: Numeral menor
Numeral mayor
134 = 251 (7) = 2012 (4) Mayor base
Menor base
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1.
Convertir al sistema decimal: a. 1101(2) b.
320(4)
d. 2031(4)
132(9)
e.
c.
1032(5)
2. Convertir: a.
123 al sistema binario.
b.
871 al sistema ternario.
c.
2031 al sistema quinario.
d.
952 al sistema undecimal.
e.
642 al sistema de base 15.
COLEGIO TRILCE
Página 13
ARITMETICA
3. Convetir: a. 1002(3) al sistema quinario.
4.
c.
2134(5) al sistema nonario.
e.
123(4) al sistema octanario.
Hallar "a + b + c" si: 1230 (5) = a.
5.
8
Convertir: sus cifras. a. 4
b.
9
5
432(7) a base 4.
d.
1023(4) a base 6.
abc(7)
(a 1)(a 1)(a 2) ( 4)
b.
b.
c.
10
d. 11
e.
12
al sistema senario. Dar como respuesta la suma de c.
6
d.
7
e.
8
DEMUESTRA LO APRENDIDO
COLEGIO TRILCE
Página 14
ARITMETICA
LISTOS … A TRABAJAR 1.
Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que: A: B: C: a.
es el mayor número de tres cifras. es el mayor número impar de dos cifras diferentes. es el mayor número de tres cifras diferentes. 2063 b. 2073 c. 2083 d. 2093
e.
3113
2.
¿Cuál es el menor número cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de mayor orden. a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
3.
Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. La primera es el doble de la tercera. II. La segunda es el triple de la primera. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a. 6 b. 7 c. 8
d.
9
e.
10
4.
Si el numeral (a 1)b(b 1)(a 5)(3 a) es capicúa. Hallar la cifra de tercer orden. a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
5.
Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "a + b"
I. a.
(2a)(a 2)(5)
3
COLEGIO TRILCE
b.
II. 4
b (b 5) 3 (9 )
c.
5
d.
6
e.
7
Página 15
ARITMETICA
6.
¿Cuántas numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
7.
Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más nueve veces la cifra de las unidades. ¿cuál es la suma de sus cifras? a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13
8.
Al menor número de tres cifras diferentes de la base nueve, convertirlo al sistema senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
9.
Hallar: a + b + c. (a 2)(b 1)(c
Si: a. 8
2)(8)
b. 201
256 ( 9)
9
c.
10
d. 12
e.
13
3
b. 4
c.
5
e.
320
abcde
(2) (3) 10. Si se cumple: ; hallar: a + b + c + d + e + n a. e. 7
d.
6
EMUESTRA LO APRENDIDO
1.
Hallar el valor de "A + B + C", si se sabe que: A: Es el menor número de tres cifras diferentes. B: Es el mayor número par de dos cifras diferentes. C: Es el menor número de tres cifras. a. 280 b. 290 c. 300 d. 310
2.
¿Cuál es el menor número cuya cifras suman 30? Dar como respuesta la cifra de mayor orden. a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
3.
Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras: I. La primera es el triple de la tercera. II. La segunda es el doble de la primera. a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11
4.
Si el numeral (x 2)(y 3)(x 1)(6 x) es capicúa. Hallar la cifra de segundo orden. a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
5.
Si los numerales están correctamente escritos. Calcular "x + y".
COLEGIO TRILCE
Página 16
ARITMETICA
x (x 1) 3 (7 )
(2x )
I. a.
4
b.
y (y 2
II. 5
c.
6
2)( y
3) ( 8)
d.
7
e.
8
6.
¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a siete veces la suma de sus cifras? a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
7.
Si: (n - 1)(n3)(n + 3) = aba (7); calcular: "a + b + n". a. 7 b. 8 c. 9 d. 10
8.
9.
Hallar: a + b + c + d + n; si se cumple: a. 3 b. 4 c. 5
102 (3)
e.
11
e.
7
abcd (n) d.
6
Convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes de la base 5 al sistema octanario. a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14
10. Convertir el menor numeral de 4 cifras diferentes del sistema senario al sistema nonario. Dar como respuesta la suma de sus cifras. a.
12
b.
13 c.
14
d.
15
e.
16
DESAFÍO Al convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes del sistema senario al sistema cuaternario se obtiene:
a.
6
b.
7
c.
abcd
8
. Hallar: a + b + c + d
d.
9
e.
10
1. MÚLTIPLOS Un número entero "A" es múltiplo de otro Ejemplo 1: Averiguar si 72 es múltiplo de 6. Veamos: Para obtener 72 se necesita 12 veces el valor de 6, entonces: 72 = 6(12) 72 es múltiplo de 6. COLEGIO TRILCE
Página 17
ARITMETICA
Ejemplo 2: Averiguar si 143 es múltiplo de 11. Veamos: Para obtener 143 necesito 13 veces el valor de 11, entonces 143 = 11(13) 143 es múltiplo de 11.
Ejemplo 3: Escribe los 10 primeros enteros positivos múltiplos de 4. Solución: 1 × 4; 2 × 4; 3 × 4; 4 × 4; 5 × 4; 6 × 4; 7 × 4; 8 × 4; 9 × 4; 10 × 4 luego: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40.
2. DIVISOR DE UN NÚMERO Es el número que está contenido en el p rimero una cantidad exacta de veces, también se le conoce como submúltiplos. Ejemplo 1: *
4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces.
*
8 es factor de 64 porque está contenido en 64 ochos veces.
Ejemplo 2: Halla los divisores de 24. Solución: D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24} Ejemplo 3: ¿Cuántos divisores más tiene 45 que 13? Solución: D(45) = {1; 2; 3; 5; 9; 15; 45} í tiene 6 divisores
í tiene 2 divisores D(13) = {1; 13} Respuesta: 45 tiene 4 divisores más que 13.
Observación: En el campo numérico de los enteros Z, los múltiplos pueden ser negativos, además del 0, así por ejemplo: *
Los múltiplos de 15 son:
COLEGIO TRILCE
Página 18
ARITMETICA
15(1); 15(2); 15(3); 15(4); . . . . . º
15 = 15k
15(0) = cero 15(-1); 15(-2); 15(-3); 15(-4); . . . .
donde "k" es un entero cualquiera. De todo esto podemos afirmar lo siguiente: i. Todo número tiene INFINITOS múltiplos. ii. El CERO es múltiplo de todos los números. En resumen: A = Bº
I.
se lee: "A" es múltiplo de "B" múltiplo de
múltiplo de
II.
Ejm.:
divisible por
A
B
divisible por
12
3
factor de
factor de
divisor de
divisor de
3. NÚMEROS PRIMOS Llamados tambien PRIMOS ABSOLUTOS, son aquellos números que tienen unicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número. Ejemplos:
Número Primo Divisores 2 3 5 7 11
_ _ _ _ _
__ __ __ __ __
___ ___ ___ ___ ___
__ __ __ __ __
_____ _____ _____ _____ _____
__ __ __ __ __
4. NÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos números que tienen más de dos divisores.
Número Compuesto 4 6 8
Divisores
_______________ _______________ _______________
COLEGIO TRILCE
Página 19
ARITMETICA
10 12
_______________ _______________
TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 100
(Criba de Eratóstenes) 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 13 14 15 16 17 18 19 20
21
22 23 24 25 26 27 28 29 30
31
32 33 34 35 36 37 38 39 40
41
42 43 44 45 46 47 48 49 50
51
52 53 54 55 56 57 58 59 60
61
62 63 64 65 66 67 68 69 70
71
72 73 74 75 76 77 78 79 80
81
82 83 84 85 86 87 88 89 90
91
92 93 94 95 96 97 98 99 100
Entonces: Los números primos menores que 100 son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ •
Propiedades 1.
El "uno" no es un número primo. sólo tiene un divisor, es considerado como número simple.
2.
Los números primos son infinitos.
3.
El "dos" es el único número primo par.
4.
El "dos" y el "tres" son los únicos números consecutivos y a la vez primos
absolutos
5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI) Dos o más números son primos entre si (PESI), cuando tienen como único divisor común a la unidad. •
Ejemplo: ¿6, 14 y 9 son números PESI? veamos:
COLEGIO TRILCE
Página 20
ARITMETICA
Divisores 6
:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9
:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que _________, es el único divisor común a dichos números Entonces: ______________ son números ______________. •
Ejemplo: ¿21, 15 y 8 son números PESI? veamos: Divisores 21 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 8
:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que: __________, es el único divisor común a di chos números. Entonces: ______________ son números ______________. •
Ejemplo: ¿8, 6 y 14 son números PESI? veamos: Divisores 8
:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6
:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números. Entonces: ______________ no son números ______________. •
Ejemplo: ¿10, 35 y 15 son números PESI? veamos: Divisores 10 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 35 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.
COLEGIO TRILCE
Página 21
ARITMETICA
Entonces: ______________ no son números ______________.
Propiedades 1. Dos o más números consecutivos son siempre números PESI. 2. Dos o más números impares consecutivos son siempre números PESI.
6. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (DC) Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus divisores primos diferentes elevados a exponentes enteros positivos. •
Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 18. Veamos:
18
Entonces: 18 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
•
Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 120. Veamos:
120
Entonces: 120 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nota: Los divisores primos de un número compuesto se observan en su descomposición canónica.
7. CANTIDAD DE DIVISORES (CD) Sea "N" un número compuesto cuya descomposición canónica es: N = a m . bn . c p
donde: a; b y c : factores primos absolutos m; n y p : exponentes enteros positivos
Entonces: la cantidad de divisores de "N" será: CD(N) = (m + 1)(n + 1)(p + 1)
•
Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 180.
COLEGIO TRILCE
Página 22
ARITMETICA
Veamos:
180
Luego:
180 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Finalmente:
CD(180) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
•
Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 480. El primer paso es hallar la descomposición canónica de 480. Veamos:
480
Luego:
480 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Finalmente:
CD(480) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
¡LISTOS… A TRABAJAR ¡ 1.
a. ¿Cuál es el menor número primo mayor que 25? b. ¿Cuál es el mayor número primo menor que 52?
2.
¿Cuáles son los números primos que sumados de 2 en 2 dan 100 como resultado?
3.
Hallar "a + b"; si: a = mayor número primo menor que 70 b = menor número primo mayor que 20
4.
¿Cuál es el menor número compuesto de 2 cifras?
5.
¿Cuál es el mayor número compuesto de 2 cifras?
COLEGIO TRILCE
Página 23
ARITMETICA
6.
Indicar verdadero "V" o falso "F", según convenga: a.
35 = 5
(
)
b.
8 = 16
(
)
c.
111 = 37
(
)
d.
53 = 7
(
)
e.
26 = 13
(
)
7.
¿Cuál es la suma de cifras del mayor múltiplo de 13 de dos cifras?
8.
Si el número 5a2 es múltiplo de 8, ¿cuántos valores puede tener "a"?
9.
Hallar la suma de las partes alícuotas de 12.
10. Si: A = {x/x N, "x" es divisor de 14} y B = {x/x N, "x" es divisor de 8} hallar: a.
AB
b.
AB
c.
A-B
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1.
¿Cuál es el menor número compuesto mayor que 20?
2.
Hallar la suma de todos los números compuestos mayores que 12 pero menores que 23?
3.
¿Qué grupo de números son PESI? a. 8; 25; 32 b. 9; 27; 35
4.
Hallar la descomposición canónica en cada caso: a. 220 b. 280 600
5.
Hallar la cantidad de divisores de: a. 340 b. 420
6.
¿Cuántos números de dos cifras son 5?
7.
Del 1 al 100, ¿cuántos números son 7?
COLEGIO TRILCE
c.
18; 30; 43
c.
390
d.
Página 24
ARITMETICA
8.
Si el siguiente número:
453 x es
divisible por 7, calcular el valor de "x".
9.
Del 1 al 80, ¿cuántos números son 3?
10. Si: a < 10, hallar la suma de valores que puede tomar en: 3a + 1 = 7.
DESAFÍO
×
Hallar la cantidad de divisores de: 3 2 ××× 75
COLEGIO TRILCE
Página 25
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 26
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 27
ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
Página 28
ARITMETICA
DESAFÍO
DESAFIO En un juego infantil se va contando de 1 a 100 y se aplaude cada vez que se dice un múltiplo de 3 o un número que termina en 3. ¿Cuántas veces se has aplaudido al terminar el juego? a.
30
COLEGIO TRILCE
b.33
c.36
d.39
e.43
Página 29
ARITMETICA
¿Sabías qué? El método de obtención del máximo común divisor por divisiones sucesivas, aparece ya descrito en el siglo IV (a.C.) en la obra "Elementos", del matemático griego Euclides. En dicha obra también se proponía un método parta obtener el mínimo común múltiplo.
M ÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d) I. DEFINICIÓN Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números enteros positivos. Ejemplo: Sean los números 8 y 12.
D8 = { 1 ; 2 ; 4 ; 8} D12 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6; 12} Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Entonces el m.c.d.(8;12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ II.
Método para hallar el m.c.d. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA
factores comunes hasta obtener
Ejemplo: 8
números PESI, luego el m.c.d. de
4
- 6
dichos números es el producto de
2
- 3
Se extrae de los números todos los
los factores extraídos.
COLEGIO TRILCE
- 12 2 2
m.c.d. = 2 × 2 = 4
Página 30
ARITMETICA
POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
Ejemplo: 8 4 2 1
A los números se les descompone canónicamente, luego el m.c.d. de dichos números es el producto de todos sus divisores primos comunes elevados a su menor exponente.
2 2 2
12 2 6 2 3 3 1
luego: 8 = 2 3 12 = 22 × =3 entonces el m.c.d.(8;12) = 2 2 = 4
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1.
Completa el siguiente cuadro: Número
Divisores
Número
36
27
24
18
40
30
Divisores
Ahora completa el siguiente cuadro: Número
Divisores comunes
m.c.d.
18 y 24 30 y 40 18 y 27 24 y 36
2.
Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea en cada caso: a. 49 y 63
3.
b. 48 y 72
-
-
m.c.d. =
m.c.d. =
c. 90 y 120 -
m.c.d. =
Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso: a.
52 y 78
COLEGIO TRILCE
b.
56 y 72
c.
84 y 96
Página 31
ARITMETICA
4.
Hallar el m.c.d. si: A = 22 × 34 × 5 B = 22 × 15 m.c.d.(A;B) =
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.
Hallar el mc.d. por descomposición simultánea, en cada caso: a. d.
2.
b. e.
75 y 125 20; 36 y 40
c. f.
24; 36 y 68 18 y 15
c. f.
30; 60 y 72 48 y 36
Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso: a. d.
3.
45 y 95 30; 60 y 90
64 y 96 48; 52 y 72
b. e.
160 y 180 50; 300 y 600
Hallar el mc.d. de A, B y C; si: A = 33 × 54 × 8 B = 12 × 27 C = 25 × 36
DESAFÍO •
Hallar el m.c.d. de: 5 y 9. ¿Qué ocurrió?
•
¿Por qué no se estudia el mínimo común divisor?
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m) I. DEFINICIÓN Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números enteros positivos diferentes de "0". Ejemplo: Sean los números 4 y 6. º
4 = 0 ; 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 . . . º
6 = 0 ; 6 ; 12 ; 18 ; 24 ; 30 . . .
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Entonces el m.c.m.(4;6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
II. Métodos para hallar el m.c.m. POR DESCOMPOSICIÓN SIMULTÁNEA
factores comunes y no comunes hasta
Ejemplo: 4
- 6
2
obtener la unidad en cada número;
2
- 3
2
luego, el mc.m. de dichos números es
1
- 3
3
el producto de los factores extraídos.
1
- 1
Se extraen de los números todos los
m.c.m.(4;6) = 2 × 2 × 3 = 12
POR DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA
A los números se les descompone canónicamente; luego, el m.c.m. de dichos números es el producto de todos los divisores primos comunes y no comunes elevados a su mayor exponente.
Ejemplo: 4 2 1
2 2
6 3 1
2 3
luego: 4 = 22 6=2 × 3 entonces el m.c.m. = 22 × 3
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡ 1.
Completa el siguiente cuadro: Número
Múltiplos (10 primeros)
Número
8
15
10
16
12
20
Múltiplos (10 primeros)
Ahora completa el siguiente cuadro: Número Múltiplos comunes
m.c.m.
8 y 12 10 y 15 8 y 20 16 y 20
2.
Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
a. 30 y 45
b. 12; 15 y 20
c. 42; 36 y 48
-
-
-
m.c.m. =
3.
m.c.m. =
Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso: a.
4.
m.c.m. =
45; 75 y 90
b.
12; 14 y 16
c.
9 y 15
Hallar el m.c.m. de A y B; si: A = 23 × 32 × 53 B = 26 × 3 × 52
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.
2.
3.
Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso: a.
35 y 63
b.
12 y 60
c.
15 y 25
d.
24 y 36
e.
9 y 15
e.
120; 148 y 200
Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso: a.
85 y 30
b.
36 y 99
c.
96 y 100
d.
24 y 30
e.
200; 300 y 400
e.
160; 180 y 360
Hallar el m.c.m. de P, Q y R; si: P = 32 × 53 × 72 Q = 2 × 33 × 52 × 7 R = 32 × 7
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
DESAFÍO •
Hallar el m.c.m. de 0 y 4. ¿Qué sucede?
•
¿Se podrá hallar el máximo común múltiplo de dos números?
Aca me quede
¿Sabías qué? Para poder resolver problemas sobre el m.c.m. y el m.c.d. debes tener en cuenta las siguientes indicaciones: 1º Debes leer el problema las veces que sean necesarias. 2º Se debe recoger los datos del problema. 3º Identificar lo que se solicita. 4º Plantear estrategias al problema. 5º Comprobar las estrategias y elegir una de ellas.
¡ LISTOS .,.. A TRABAJAR ¡ 1.
Tres compañías de navegación pasan por cierto puerto. La primera cada 8 días; la segunda cada 18 días y la tercera cada 21 días. ¿Cada cuántos días se hallan los buques de los tres compañías simultáneamente en este puerto? DATOS
2.
SOLUCION
Tres aviones salen de una misma ciudad con una periodicidad de 4 días; 5 días y 10 días, respectivamente. Si la última vez que salieron juntos fue el 14 de julio, ¿cuál será la próxima fecha en que volverán a salir juntos?
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
DATOS
3.
¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla para que se puede dividir en trozos de 24 cm; 27 cm; ó 45 cm de longitud sin que sobre ni falte nada? DATOS
4.
SOLUCION
Dos ciclistas dan vueltas en una pista; el primero cada 48 segundos y el segundo cada 64 segundos. Si salen juntos, ¿al cabo de cuánto tiempo pasarán por el sitio de partida? DATOS
5.
SOLUCION
SOLUCION
Tres perros salen juntos en una carrera. El primero tarda 20 segundos en dar la vuelta a la pista, el segundo tarda 33 segundos y el tercero, 36 segundos. ¿Al cabo de cuántos segundos volverán a pasar juntos por la línea de salida, si salen juntos? DATOS
COLEGIO TRILCE
SOLUCION
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ARITMETICA
6.
Dos cintas de 12 metros y 16 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo? DATOS
7.
¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente 3 cintas de 120 cm; 180 cm y 240 cm? DATOS
8.
SOLUCION
Se desean dividir dos cordeles de 60 y 80 metros de longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada trozo resultante? DATOS
9.
SOLUCION
SOLUCION
Se tienen que envasar 120 kg; 144 kg y 200 kg de plomo en tres cajas de modo que los bloques de cada una tenga el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada pedazo de plomo? DATOS
COLEGIO TRILCE
SOLUCION
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ARITMETICA
10. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez 612; 2040 y 8976? DATOS
SOLUCION
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1.
¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 12; 24 y 60 panes simultáneamente para que, en cualquiera de los casos, cada uno reciba la misma cantidad?
2.
Se tiene tres cubos de 84 cm3; 270 cm3 y 330 cm3. ¿Cuál es el mayor volumen en cm3 que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos?
3.
¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir simultáneamente entre 15 y 20 niñas para que en cada caso una niña reciba una cantidad exacta?
4.
En una competencia automovilística de circuito cerrado, tres automóviles arrancan juntos. Si tardan 10; 12 y 15 minutos en dar una vuelta completa. ¿Al cabo de qué tiempo pasarán juntos por la línea de partida?
5.
¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puede medir exactamente tres dimensiones 280; 1120 y 16000 metros?
6.
Un tren sale cada 5 horas, otro tren sale cada 3 horas, si han salido al mismo tiempo, a las 9 de la mañana. ¿Cuánto volverán a coincidir?
7.
Una puerta se abre cada 20 segundos, otra cada 12 segundos y una tercera cada 30 segundos, si se abren simultáneamente a las 12 del día. ¿A qué hora vuelven a abrirse simultáneamente?
8.
¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 30 cm, 40 cm ó de 50 cm?
COLEGIO TRILCE
Página 38
ARITMETICA
9.
Hallar el mayor número de niños entre los que se puede repartir, en partes iguales, 174 soles y 730 soles. 10. Una madre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos: 90 caramelos y 75 chocolates. ¿Qué número de cada dulce corresponde a cada uno de ellos?
DESAFÍO Hallar la menor cantidad de soles que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13 niños, de tal manera que en cada caso sobren 4 soles.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL 1.
En: abc 273; hallar el V.A.(c) + V.R.(a) - V.A.(b)
2.
Indicar la suma de la cifra del segundo orden más la cifra del quinto orden en: 956 783
3.
Indicar la suma de la cifra del primer lugar más la cifra del cuarto lugar en: 9 128 751
4.
Si se cumple que: 15(2a) es el cuadruple de 3(3a) . Calcular el valor de "a".
5.
Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo número pero con las cifras invertidas, dé como resultado 27. Si se sabe que la suma de las dos cifras es 13.
TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN 6.
Convertir: 15042(6) a base ternaria.
7.
Si:
3ab (65) ; 4b2(a) ; 23 (b)
COLEGIO TRILCE
están correctamente escritos, Página 39
ARITMETICA
hallar: "a + b + c"
3ab(65) ; 4b2(a) ; 23(b)
8.
Hallar:
9.
Hallar: (a + b + c); si se cumple:
(a 1)(a 1)a(3)
bc
10. Al mayor número de dos cifras de la base cuaternaria, transformarlo a la base nonaria. Dar la suma de sus cifras (base nonaria).
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS 11. Si: A = cantidad de divisores de 80. B = suma de los tres primeros números primos de 2 cifras. hallar: "A + B" 12. Si: A = 27 × 12 × 5
_____________
B = 16 × 24
_____________
_____________ C = 32 × 18 hallar: CD(A) + CD(B) + CD(C)
13. Si el siguiente siguiente número número
7843 b es divisible por 9. Calcular el valor de b2.
14. Siendo: M = {x/x es divisor de 12} y N = {x/x es divisor de 18}; hallar la suma de los elementos en: M N. 15. Se tienen los siguientes conjuntos: conjuntos: A = {x/x es múltiplo de 4; x N}; B = {x/x N; "x" es múltiplo de 7} hallar cuántos elementos tiene A B, si todos son de 2 cifras.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD 16. Restas al año de tu nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. ¿El resultado obtenido es múltiplo de 9? ¿Por qué? 17. Hallar "a + b", si: 3a
º
7 1 y b5
º
9 1 . º
18. Hallar la suma de valores de "a", "a", si: 2nnma 2 . COLEGIO TRILCE
Página 40
ARITMETICA º
19. Calcular la suma entre el mayor y el menor valor que que puede tomar "x" en: 4 x 21 º
20. Hallar la suma suma de de valores valores de "a", "a", si: 29a2
COLEGIO TRILCE
4 .
Página 41
3
ARITMETICA IV BIM. TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ARITMETICA
Pág .
å
Magnitudes proporcionales - Razón ..............................7
å
Proporciones - Propiedad fundamental de proporcionalidad........................................................... 13
å
Regla de tres simple ....................................................19
å
Porcentaje - Interés simple ..........................................23
å
Iniciación a la estadística .............................................29
å
Elaboración e interpretación de gráficos estadísticos .................................................................. 33
å
Medidas de tendencia central - Probabilidades ..........43
å Repaso............................................................ 49
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ARITMETICA
MAGNITUD Es todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución) y que puede ser medido. CANTIDAD Es el valor de un estado particular de la magnitud, poseen dos partes: valor numérico y unidad. Ejemplo: MAGN ITUD
CAN TI DAD
CLASIFICACIÓN I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (M.D.P.) Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud también aumentan o disminuyen en la misma proporción. Ejemplo: Un saco de papas pesa 50 kg. ¿Cuánto pesan 25 sacos?
Para pasar de la primera fila a la segunda solo se multiplica por 50. Para pasar de la segunda a la primera fila solo se divide entre 50. Observa que: 1 50
2 100
........
A estas divisiones iguales se llama constante de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kilogramos es: _________________ II. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (M.I.P.) Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar o disminuir los valores de una de ellas, los valores correspondientes en la otra magnitud disminuyen o aumentan correspondientemente en la misma proporción.
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Ejemplo: Si tres hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuánto emplearán 18 hombres?
Observamos que los productos: 3 × 24 = _____ × 12 = 9 × _____ = _____ _____ × 18 = _____
Por tanto:
Número de días
Otros ejemplos: * Se invita a 20 personas a una cena. Si se gasta S/.250, ¿cuánto se gastaría por 120 invitados?
Observamos: ___________________________________________________ ___________________________________________________ *
Si cuatro jardineros terminan de podar un parque en 20 días, ¿cuántos jardineros son necesarios para un parque similar, en cuatro días?
Observamos: ___________________________________________________ ___________________________________________________
AZÓN RAZÓN Es el resultado de comparar dos cantidades. De las diferentes formas de comparar dos cantidades vamos a estudiar dos. a. Razón Aritmética o por diferencia Es el resultado de comparar dos cantidades homogéneas mediante la sustracción. a - b = r Antecedente
Razón Aritmética
Consecuente
Ejemplo: Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas, al compararlas por diferencia, podemos afirmar: COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
*
12 rosas - 9 margaritas = 3 rosas más que margaritas, o también 3 margaritas menos que rosas.
b. Razón Geométrica o por cociente Es el resultado de comparar dos cantidades mediante la división. Antecedente Consecuente
a = K b
Razón Geométrica
Ejemplo: Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas, al compararlas por cociente, se tiene: *
12 rosas 9 m arg aritas
4 rosas 3 m arg aritas
Por cada 4 rosas hay 3 margaritas, o
*
9 m arg aritas 12 rosas
3 m arg aritas 4 rosas
Por cada 3 margaritas hay 4 rosas.
En los siguientes ejercicios, cuando se diga simplemente razón, se entenderá que la razón pedida es geométrica .
A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. Hallar la razón aritmética y geométrica de: a) 40 y 120 b) 25 y 81
c) 144 y 256
d) 49 y 121
2. La edad de Javier es a la edad de Janet como 8 es a 6. Si el doble de la edad de Javier y el triple de la edad de Janet suman 136, hallar sus edades. 3. Si la relación entre dos números es de 7 a 11, hallar los números sabiendo que su diferencia es 8. 4. Cita dos números cuya razón aritmética sea 6; dos números cuya razón geométrica 2 sea: 3 5. Hallar la razón aritmética y geométrica de: COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
a) 60 y 12 c) 5,6 y 3,5
b)
11 5 y 12 6
d)
3 y 0,02 8
6. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 10 y 14 años. 5 7. La razón de dos números es 6 . Si el menor es 20, ¿cuál es el mayor?
8. El mayor de dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. Hallar el número menor. 9. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar los números sabiendo que su suma es 49. 8 10. La razón de dos números es 3 y su diferencia 55. Hallar los números.
¡ AHORA… HAZLO TU ¡ 1. Hallar la razón aritmética y geométrica de: a) 25 y 35 b) 6 y 18 b. La edad de Alejandro es a la edad de Arianne como 4 es a 8. Hallar la edad de ambos si se sabe que sus edades suman 24 años. 3. La relación entre dos números es de 3 a 8, ¿cuáles son los números si se sabe que ambos suman 39? 4. Cita dos números cuya razón aritmética sea 8. 5. Cita dos números cuya razón geométrica sea 1/5. 6. Hallar la relación entre las edades de dos niños de 8 y 12 años. 7. La razón de dos números es de 3 a 7, si el mayor es 21, ¿cuál es el menor? 8. El menor de dos números es 125, si la relación entre ambos es de 25/35, ¿cuál es el mayor? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
9. La relación de dos números es 5/3, si se sabe que ambos suman 64. Hallar el producto de dichos números. 10. La suma de las edades de dos niños de la primaria TRILCE es de 16 años, si la relación entre ambas edades es de 1 a 3. ¿Cuál será la edad de ambos dentro de 5 años? DESAFIO En una fábrica de chocolates de marca "DINOSAURIO" se tiene tres máquinas "x", "y" y "z"; por cada 11 chocolates que produce la máquina "x", la máquina "y" produce 7 y por cada 5 chocolates que produce la máquina "y" la máquina "z" produce 3. Si en un día "x" y "z" produjeron 15 960 chocolates; ¿cuántos chocolates más o menos hizo "y" con respecto a "z" ese mismo día? a) 4 500 menos d) 4 500 más e) N.A.
b) 2 940 más
c) 2 940 más
Sabías qué . . . El matemático Pedro Sánchez Ciruelo señala que la proporción aritmética y geométrica hacen referencia a una relación métrica que se da tanto en la aritmética como en la geométrica.
I. DEFINICIÓN Es la igualdad de dos razones, que tienen el mismo valor. II. TIPOS DE PROPORCIÓN Proporción aritmética o equidiferencia
Proporción geométrica o equicociente
Recuerda: COLEGIO TRILCE
Página 7
ARITMETICA
• •
Los términos de la equidiferencia se llaman extremos al primer y cuarto elemento de la proporción y medios al segundo y tercero. Al al igual que en la proporción aritmética, en la proporción geométrica se llaman extremos al primero y cuarto de los términos y medios al segundo y tercer término.
Proporción discreta
Proporción continua
Recuerda: • A cualquier término se llama cuarta diferencial en la progresión aritmética y cuarta proporcional en la progresión geométrica. • Al término medio se llama media diferencial en la progresión aritmética continua y se llama media proporcional en la progresión geométrica continua. LISTOS … A TRABAJAR
1. Hallar el término desconocido: a) 50 - 42 = 25 - x
x 1 d) 5
b) 45,3 - x = 18 - 0,03 1 4 x
6 2 e)
x 9 16
c)
1 1 3 7
f)
8 x
5 x 6
16 4
2. Hallar el término media diferencial entre: COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
2 1 y 3 b) 5
a) 26 y 14
c) 8,04 y 4
3. Hallar el término media proporcional entre: a) 81 y 4
b) 0,16 y 169
c)
1 1 y 4 9
4. En las siguientes relaciones, hallar lo que se pide: a) b)
x y 7 5
2 , 3 además: x + y = 10; x = ?; y = ? a , b además:
a - b = 30; a = ?; b = ?
c) La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar dichos números sabiendo que su suma es 49. 8 d) La razón de dos números es 3 y su diferencia 55. Hallar los números. DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Hallar "x" en: 5 16
x
6
2 1 5 8
2. Hallar "x" en: 8
1 3
x
5
1 4
14
1 12
3. Hallar "x" en: 50 - x = x - 14,26 4. Hallar la media diferencial entre: a)
5 1 y 7 8
b)
8,16 y 5
1 5
c)
14
2 3 y 5 7
5. Hallar la media proporcional entre:
a)
0,49 x
x 0,64
COLEGIO TRILCE
25 36 x
b)
x 49 81
49 c) x
x 0,25 Página 9
ARITMETICA
DESAFÍO a Si: 2
m 3
n 4 ; hallar "a", "m" y "n" sabiendo que: a + m + n = 86
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE PROPORCIONALIDAD En toda proporción geométrica el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios. Ejemplos:
6 a) 2
18 6
6 × 6 = 18 × 2
COLEGIO TRILCE
b)
2 5
10 25 2 × 25 = 5 × 10
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ARITMETICA
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
R EGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Es cuando las magnitudes que intervienen son directamente proporcionales (D.P.).
•
Por magnitudes proporcionales:
a1 b1 •
a2 x
x
×
A = K B
A D.P. B
Método práctico: ×
Ejemplo: Si cuatro libros cuestan S/.6, ¿cuánto costarán 12 libros?
×
*
Plantea la solución por magnitudes proporcionales.
R EGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Es cuando las magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales (I.P.)
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ARITMETICA
•
Por magnitudes proporcionales: a1b1 = a2x x =
•
×
A I.P. B
A × B = K
Método Práctico: ×
Ejemplo: Si cuatro hombres hacen una obra en 12 días, ¿en cuántos días podrían hacer la misma obra seis hombres?
×
*
Plantea la solución por magnitudes proporcionales.
A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. Si cuatro libros cuestan S/.20, ¿cuánto costarán tres docenas de libros? 2. Si una vara de 2 m de longitud da una sombra de 6 m, ¿cuál será la altura de una torre cuya sombra, a la misma hora, es de 54 m?
2 3. Los 5 de capacidad de un estanque es 500 litros. ¿Cuál es la capacidad que falta llenarse del estanque? 5 11 de
4. Dos individuos arriendan una finca, el primero ocupa los la finca y paga S/.6 000 de alquiler al año. ¿Cuánto paga de alquiler anual el segundo?
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
5. Si un carpintero hace 35 carpetas en una semana, ¿cuántas carpetas fabricará en 12 días? 6. Si una cuadrilla de 10 obreros hacen una obra en 12 días, ¿con cuántos obreros se hará la misma obra en 15 días? 7. Una cuadrilla de obreros emplea 14 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en cuántos días habrían terminado la obra? 8. Nueve hombres pueden hacer una obra en cinco días, ¿cuántos hombres más harían falta para hacer la obra en un día? 9. Una guarnición de 500 hombres tienen víveres para 20 días a razón de tres raciones diarias. ¿Cuántos raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más? 10. Una travesía en un barco de 1 300 hombres tienen víveres para cuatro meses. Si se quiere que los víveres duren 110 días más, ¿cuántos hombres habrá que dejar de lado? Dato: 1 mes = 30 días
AHORA HAZLO TU 1. Si ocho libros cuestan S/.30, ¿cuánto costarán dos decenas de libros? 2. Si una casa de 4 m de altura da una sombra de 5 m, ¿cuál será la altura de un edificio cuya sombra, a la misma hora, es de 35 m? 3 3. Los 7 de capacidad de un estanque es 300 liltros. ¿Cuál es la capacidad que falta
llenarse del estanque? 7 11 del
4. Dos individuos alquilan oficinas de un edificio, el primero alquila total de las oficinas y paga S/.3 500 de alquiler al mes. ¿Cuánto paga de alquiler mensual el segundo?
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ARITMETICA
5. Si un cerrajero hace 20 ventanas en un mes, ¿cuántas ventanas fabricará en 180 días? 6. Si un equipo de trabajo de 15 obreros hace una obra en 60 días, ¿con cuántos obreros se hará la misma obra en 36 días? 7. Una cuadrilla de obreros emplea 28 días, trabajando 8 horas diarias, en realizar cierta obra. Si hubiera trabajado una hora menos al día, ¿en cuántos días habrían terminado la obra? 8. Un grupo de cinco jardineros iban a podar un jardín en seis horas. Si solo fueron tres jardineros, ¿qué tiempo emplearán en podar el jardín? 9. Un ejército de 600 hombres tiene víveres para 80 días a razón de tres raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 40 días más? 10. Un grupo de exploradores de 120 hombres tiene víveres para seis meses. Si se quiere que los víveres duren 60 días menos, ¿cuántos hombres más se podrá llevar? DESAFÍO Una torre de 25,05 m da una sombra de 33,40 m. ¿Cuál será, a la misma hora, la sombra de una persona cuya estatura es 1,80?
Se llama Tanto por Ciento o Porcentaje de un número a una o varias de las cien partes iguales en que se puede dividir dicho número; es decir, una o varias centésimas de un número. El signo para designar el tanto por ciento es "%" y se empezó a utilizar en 1685.
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ARITMETICA
*
Ejemplo: ¿Cuál es el 1% de 2 500? 2500 100
*
1%
Ejemplo: ¿Cuál es el 7% de 2 500? 2500 100
*
25
7
(25) 7
175
Ejemplo: ¿Cuál es el 20% de 4 200? (
)
______
A PRACTICAR LO APRENDIDO 1. Calcular el 4% de 50 000. 2. Calcular el 5% de 40. 3. Calcular el 15% de 60. Recuerda que cada vez que veas de, de los, del; significa que tienes que multiplicar.
4. Calcular el 2% de 6% de 35 000. 5. Calcular el 10% del 30% de 50 000. 6. El precio de una computadora es 2 800 nuevos soles. Si compro con el descuento del 15%, ¿cuánto pago? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
7. El precio de un Play Station IV es de 750. Si compro con un descuento del 10%, ¿cuánto se paga? 8. En el primer concurso de TRILCE 2007, Renzo respondió 80 preguntas correctas de una prueba de 120 preguntas. ¿Qué porcentaje de preguntas respondió correctamente? 9. En una granja hay 1 600 aves. Si el 45% son gallinas y el resto pavos, ¿cuántas gallinas y cuántos pavos hay? 10. En una colecta para la Cruz Roja se fija recaudar como meta 700 000 nuevos soles. Si se recaudó 630 000 nuevos soles, ¿qué porcentaje representa lo recaudado?
AHORA, HAZLO TU 1. Calcular el 20% de 30 000. 2. Calcular el 25% de 120 000. 3. Calcular el 75% de 240 000. 4. Calcular el 3% del 4% de 60 000. 5. Calcular el 15% del 20 de 2 000. 6. El precio de un televisor es 350 dólares. Si compro con el descuento del 10%, ¿cuánto pago? 7. El precio de una casa es S/.25 000, si la cuota inicial representa el 20% del precio total de la casa, ¿cuánto le restaría pagar? 8. Roberto gana 1 800 nuevos soles mensuales. Si el 9% de su sueldo lo destina a pagar los servicios de teléfono, ¿qué cantidad de dinero le queda para otros gastos? 9. Rafael gasta 84 nuevos soles que representa el 30% del dinero que tenía. ¿Cuánto tenía? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
10. Un alpinista decide subir una montaña. Al medio día lleva subiendo 30 m. Si esto representa el 40%, ¿cuánto mide de altura la montaña? DESAFÍO Calcular el 10% del 20% del 5% de 2 500 000.
INTERÉS SIMPLE El interés es la ganancia que produce un capital a un porcentaje acordado en un tiempo determinado. Usaremos las siguientes fórmulas:
i=
c.t.r 100
; si el tiempo está dado en años.
i=
c.t.r 1 200
; si el tiempo está dado en meses.
i=
c.t.r ; si el tiempo está dado en días. 36 000
Donde: i = interés c = capital t = tiempo r = tasa porcentual *
Ejemplo: ¿Cuál es el interés que produce un capital de 15 000 nuevos soles en cuatro años al 25%? Datos: Fórmula: c = 15 000 i = c.t.r t = 4 años 100 r = 25 i=¿ ? Resolución:
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ARITMETICA
i
15 000 4 25 100
i = 15 000 Respuesta: El interés producido en cuatro años es S/.15 000.
PRACTIQUEMOS 1. Hallar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 15 000 nuevos soles que al 10% produjo intereses por S/.12 000. 2. ¿Cuál será el capital que ha producido un interés de 360 nuevos soles, al 30% mensual durante ocho meses? 3. Un capital colocado al 30% produce un interés de 6 000 durante ocho meses. ¿Cuál fue el capital? 4. Rocío depositó en un banco S/.10 000 impuesto al 30% durante cinco meses. ¿Qué interés produjo? 5. Ángel depositó en el banco 30 000 nuevos soles para cinco años. ¿A qué interés debe ser depositado para obtener una ganancia de S/.60 000? 6. Jacqueline ahorró en un banco 2 000 nuevos soles durante cuatro meses al 3%. ¿Cuánto ganó? 7. José Luis ahorró en un banco 3 000 nuevos soles durante siete meses al 6%. ¿Cuál fue su ganancia? 8. Alejandro ahorró por cinco años un capital de S/.10 000 y después retiró su capital y sus intereses. ¿Cuánto retiró en total? (Porcentaje = 5%) 9. Flor depositó 8 000 nuevos soles, ¿cuánto obtuvo de interés al cabo de 120 días? (Porcentaje = 15%) 10. Al 7% anual un capital de 8 000 nuevos soles, ¿cuánto genera de intereses en dos años? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
DESAFÍO Ricardo depositó en el banco 80 000 nuevos soles en seis meses. Sabiendo que su ganancia fue la quinta parte de lo que depositó. Hallar la tasa porcentual con la cual fue depositado?
Sabías que . . . La estadística empieza con los grandes imperios de la antigüedad. Del Egipto de los faraones se tienen datos mucho más exactos: listas de familias, de soldados, de casas, de jefes de familias y de profesiones.
Los romanos eran buenos administradores y hacían censos cada cinco años. Ellos aplicaban la siguiente técnica: * Ejemplo 1: Utiliza la técnica de los palotes. Recolectar y luego organizar los datos en cada uno de los siguientes casos: Anotar las calificaciones del curso de Aritmética de la sección del sexto grado. Luego ordénalas en esta tabla. Calificaciones Calificaciones Conteo Total AD A B C 1. ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados? Rpta.: ________________ 2. ¿Cuántos alumnos tienen calificación AD? Rpta.: ________________ 3. ¿Cuántos alumnos tienen más la calificación A que la calificación B? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Rpta.: ________________ *
Ejemplo 2: Utiliza la técnica de los palotes. Aplicar la siguiente encuesta a tus compañeros de aula y profesores, la pregunta es: ¿en qué mes del año cumplen años? Anota los resultados en la tabla. Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre
Conteo
Total
1. ¿Cuál es el mes en que más personas cumplieron años? Rpta.: ________________ 2. ¿Cuál es el mes o meses en qué no hubo cumpleaños? Rpta.: ________________ 3. ¿Cuál es el número de personas que cumplen años en el mes de julio? Rpta.: ________________ 4. ¿Cuántos alumnos y profesores fueron encuestados? Rpta.: ________________
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ARITMETICA
¡ LISTOS …..A TRABAJAR ¡ 1. Elabora en tu cuaderno una tabla que contenga las distancias de los planetas al Sol y luego contesta las siguientes preguntas. (Sugerencia: consultar el almanaque mundial) a. ¿Qué planeta se encuentra más alejado del Sol? b. ¿Qué planeta se encuentra más próximo al Sol? c. ¿Cuál es la distancia de la Tierra al Sol? 2. Aplica una encuesta a los alumnos de primaria, con la siguiente pregunta: ¿cuál es su edad? Anota los resultados en una tabla que contenga los siguientes campos: edad, conteo, total. Luego responde: a. b. c. d.
¿Cuántos alumnos tienen la mayor edad? ¿Cuántos alumnos tienen la menor edad? ¿Cuántos alumnos superan los nuevos años? ¿Cuál fue el total de alumnos encuestados?
3. Elabora una tabla que contenga la población mundial por continentes. Luego responde las siguientes preguntas: (Sugerencia: consultar el almanaque mundial del presente año) a. b. c. d.
¿Cuál es el continente más poblado? ¿Cuál es el continente que presenta la menor población? ¿Cuál es la población de América? Halla la diferencia entre el número de habitantes del continente asiático y el continente americano. e. ¿Cuál es el número de habitantes del continente europeo?
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ARITMETICA
Elaboración e interpretación de gráficos estadísticos Sabías que . . . En el continente americano, los incas desarrollaron un sistema de estadísticas muy perfeccionado: todos los datos relacionados con las actividades económicas y demográficas se conservaban en los "quipus", unas cuerdas gruesas de las cuales colgaban varios hilos de distintos colores según el objeto que representaban, amarillo para las piezas de oro, rojo para los soldados, blanco para las construcciones, etc.
I. GRÁFICA DE BARRAS Ejemplo: A continuación se muestra el sueldo de una persona durante el año 2006. Sueldo (miles de nuevos soles)
20 16 15 13 11 10 8
Enero
F
M
A
M
J
J
A
S
O
N
D
Mes
1. ¿En qué mes ganó menos? ______________________ 2. ¿En qué mes ganó más? ______________________ 3. ¿Cuál fue su sueldo promedio durante el año 2 006? ______________________ 4. ¿Cuántos meses ganó más del sueldo promedio? ______________________ COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
II. GRÁFICA DE BARRAS AGRUPADAS Ejemplo: A continuación se muestran la población de hombres y mujeres de cierta localidad, durante el período 2004 - 2007: # población (miles)
1. ¿Cuál fue la población en el 2004? __________________________
hombres mujeres
25
20 15
2. ¿Cuál era la población en el 2006? __________________________
15
10 10 8 5
años 2004
2005
2006
2007
3. ¿En cuánto aumenta la población de hombres del año 2005 al año 2007? __________________________ 4. Del año 2004 al año 2007 la población de mujeres ¿aumentó o disminuyó? ¿en cuánto? __________________________ III. GRÁFICO LINEAL Ejemplo: Rendimiento de la cosecha "x", a diferentes temperaturas e intensidades luminosas. Rendimiento
60
I. Intensidad luminosa I II. Intensidad luminosa II III. Intensidad luminosa III
50 40 30
I
20
II III
10
10
20
30
40
50
Temperatura (ºC)
1. El máximo rendimiento, con Intensidad luminosa I, se alcanza aproximadamente con una temperatura de: _____________________________________________ 2. ¿Qué rendimiento se alcanza, aproximadamente con una temperatura de 30º e Intensidad luminosa III? _____________________________________________ COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
3. Para una mejor cosecha ¿qué intensidad luminosa conviene y a qué temperatura? _____________________________________________ IV. SECTOR CIRCULAR Ejemplo: En una encuesta se obtuvo la siguiente información, acerca del consumo de los productos "A", "B", "C", "D" y "E", de un total de 200 personas encuestadas. C B
15% D
30%
10% 5% E 40%
A
1. ¿Qué porcentaje de los consumidores prefiere más el producto "A" que el producto "C"? _____________________________ 2. ¿Cuántos de los encuestados prefieren el producto "B"? _____________________________ 3. ¿Qué procentaje de los consumidores prefieren más el producto "C" que el producto "E"? _____________________________ 4. ¿Cuántos de los encuestados prefieren los productos "D" y "E"? _____________________________ A PRACTICAR LO APRENDIDO
•
Gráfico 1: La siguiente gráfica muestra el volumen de venta obtenido durante los seis primeros meses del año de un equipo de vendedores.
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA Cantidad de artículos 45000 40000 35000 30000 25000 20000 15000
ene
feb
mar
abr
may
jun
Mes
1. ¿Cuál es el volumen total de venta, durante esta "Campaña de medio año"? a. 160 000 d. 190 000
b. 220 000 e. 242 000
c. 200 000
2. Indica el promedio (aprox.) de venta mensual durante esta campaña. a. 28 828 d. 30 300
b. 33 300 e. 30 000
c. 33 333
3. ¿Durante cuántos meses el volumen de venta estuvo sobre el promedio mensual? a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 1
4. ¿Cuál es el máximo volumen de venta logrado a lo largo de toda la campaña, durante un mes? a. 35 000 artículos d. 50 000
b. 40 000 e. 60 000
c. 45 000
5. ¿Entre qué meses el volumen de venta tuvo la caída más apreciable? a. mayo y junio d. abril y mayo •
b. enero y febrero e. mayo y enero
c. marzo y abril
Gráfico 2: La inflación en un país mostró la siguiente evolución entre febrero y junio:
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA Tasa de inflación (%)
90 70 50 30 10
F
M
A
M
J
Mes
6. Halla la inflación promedio durante el periodo febrero - junio (aprox.) a. 30% b. 40% c. 45,5% d. 66,5%
e. 36%
7. ¿Cuál será la inflación de julio según la tendencia mostrada? a. 100% b. 120% c. 130% d. 150%
e. 180%
•
Gráfico 3: El gráfico muestra la producción (en toneladas) de dos tubérculos, en tres meses del año. Producción (toneladas)
35
papa
30
camote
25 20 15 10 5 Ene
Feb
Mar
Mes
8. ¿En qué porcentaje desciende la producción de camote entre febrero y marzo? a. 40% b. 25% c. 33% d. 45% e. 20% 9. ¿Cuál fue la producción total (en toneladas) de papa en los tres meses? a. 60 b. 50 c. 80 d. 70
e. 45
10. ¿Qué porcentaje más de camote, con respecto a la papa, se produce en enero? a. 40% b. 50% c. 45% d. 30% e. 10% DEMUESTRA LO APRENDIDO
•
Gráfico 1: El gráfico muestra la producción (en toneladas) de arroz y cebada, en tres meses del año:
COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA Producción (toneladas)
35
cebada
30
arroz
25 20 15 10 5 Ene
Feb
Mes
Mar
1. ¿En qué porcentaje desciende la producción de arroz entre febrero y marzo? a. 40% b. 25% c. 33,3% d. 45% e. 20% 2. ¿Cuál fue la producción total de cebada (en toneladas) en los tres meses? a. 60 b. 50 c. 80 d. 75 e. 45 •
Gráfico 2: Sony analiza las ventas de TV de 43" en Lima Metropolitana, en las últimas ocho semanas. La información se muestra a continuación: Número de TV vendidos
35 30 25 20 15 10 5 1
2
3
4
5
6
7
8
Semana
3. ¿Cuántos TV se vendieron en las tres primeras semanas? a. 55 b. 60 c. 65 d. 70
e. 75
4. ¿En qué semana se vendió un mayor número de televisores? a. segunda b. tercera c. cuarta d. quinta e. sexta 5. ¿En qué semana hubo una mayor variación en las ventas? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
a. 3ra y 4ta d. 6ta y 7ma
b. 5ta y 6ta e. 2da y 3ra
c.1ra y 2da
6. ¿Cuál es el promedio de TV que se vende por semana? a. 19,75 b. 19,25 c. 18,25 d. 18,75 •
e. 19,5
Gráfico 3: La siguiente gráfica muestra la temperatura de un paciente en el Hospital del Niño, durante el transcurso de 12 horas.
17. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura máxima observada? a.
1 p.m.
b. 2 p.m.
c.
3 p.m.
d.
4 p.m.
e. 5 p.m.
18. ¿Durante qué periodo tuvo el paciente más de 37º de temperatura? a. De 10 a.m. a 6 p.m. b. De 8 a.m. a 6 p.m. c. De 2 p.m. a 6 p.m. d. De 11 a.m. a 5 p.m. e. De 8 a.m. a 4 p.m. 19. ¿Cuál fue aproximadamente la temperatura del paciente a las 11 a.m.? a) 37º b. 38,5º c. 37,5º d. 36º
e. 38º
20. ¿Cuál fue la temperatura que más veces se presentó en el paciente? a. 36º b. 37º c. 38º d. 39º
e. 40º
21. ¿A qué hora alcanzó el paciente la temperatura mínima observada (aprox.)? a.
6 a.m.
COLEGIO TRILCE
b. 8 a.m.
c.
12 a.m.
d.
2 a.m.
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e. 10 a.m.
ARITMETICA
DESAFÍO En el siguiente gráfico circular se muestra los resultados de una encuesta acerca de las preferencias de ciertos géneros musicales, sobre un total de 800 encuestados. Balada 20% Criollo 10%
Rock 30%
Otros 5%
Salsa 35%
1. ¿Cuántos encuestados prefieren más salsa que rock? a. 280 b. 240 c. 256 d. 80
e. 40
2. ¿Cuántos de los encuestados prefieren más salsa y rock, que los demás géneros musicales? a. 280 b. 520 c. 480 d. 360 e. 240
A. MEDIA ARITMÉTICA Viene a ser la suma de todos los datos dividido entre el número total de datos. Ejemplo: Sean las notas de un grupo de alumnos las siguientes: 12; 15; 12; 11; 16; 19; 12 La media aritmética es:
12 15 12 11 16 19 12 7
13 ,85
B. MODA Es el número que más se repite o de mayor frecuencia en un conjunto de datos ordenados. COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
Ejemplo: Del ejemplo anterior: 11; 12; 12; 12; 15; 16; 19 La moda: es: 12 C. MEDIANA Es el número ubicado en el centro de la ordenación cuando el número de datos es impar y la semisuma de los dos centrales, cuando el número de datos es par. Ejemplo: Del ejemplo anterior: 11; 12; 12; 12; 15; 16; 19 La mediana es: 12
PROBABILIDADES En la actualidad se ha inventado juegos en donde interviene el azar, es decir donde no se sabe quien va a ganar solamente se dan resultados probables. Fórmula: P=
•
Ejemplo 1: Si lanzo un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que me salga el número 5?
P Resolución: •
número de resultados favorables total de posibles resultados
1 resultado favorable 6 resultados posibles
1 6
Ejemplo 2: En una caja tengo seis bolas de color verde y cuatro amarillas. Sin mirar saco una, ¿cuál es la probabilidad de que me salga verde? ¿y amarilla?
Resolución:
COLEGIO TRILCE
Pverde
6 10
3 ; 5
Pamarillo
4 10
2 5
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ARITMETICA
LISTOS… A TRABAJAR 1. Calcular la media aritmética de las notas obtenidas por 11 alumnos del 6to grado en la asignatura de Aritmética en el Tercer Bimestre. Nota: 12; 14; 12; 15; 12; 11; 10;11; 12; 14 y 14 2. Los ahorros mensuales, en nuevos soles, de Gabriel son: 20; 25; 20; 20; 20; 25; 40; 50; 40; 50; 40 y 30. a. Calcula la media aritmética. b. ¿Cuál es la moda? c. Hallar la mediana. 3. Indica cuál es la moda del siguiente conjunto de datos: 9; 7; 5; 4; 3; 4; 9; 3; 4; 7; 8; 10; 7; 11; 7; 6; 2; 10; 7; 2; 3; 4 4. Dados los siguientes valores de las edades de algunos niños de primaria: 5; 6; 7; 7; 7; 8; 8; 9 la media aritmética, la mediana y la moda son: 5. Se lanza un dado al aire, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par? ¿y un número impar? 6. En una bolsa hay cuatro bolas azules, cinco bolas verdes y dos negras. a. b. c. d.
¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola azul? ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola verde? ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar salga una bola negra? ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar salga una bola azul o una bola verde?
7. En una bolsa hay 12 bolas señaladas con los números: 1; 2; 3; 4; 5; 6; . . . . ; 12
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ARITMETICA
a. ¿Cuál es la la probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un divisor divisor de 12? 12? b. ¿Cuál es la la probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un múltiplo múltiplo de 3? c. ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que al sacar una bola, ésta tenga un número menor que 10? 8. Indica cuál es la probabilidad de de que al lanzar lanzar un dado salga un número: número: a. múltiplo de 2. b. divisor de 5. c. menos que 4. 9. Si lanzamos una moneda al aire: a. ¿Qué probabilidad hay de que salga cara? b. ¿Qué probabilidad hay de que salga sello?
DEMUESTRA LO APRENDIDO 1. Calcular la media media aritmética aritmética de las notas obtenidas por un alumno del 6to grado en el el curso de aritmética. Nota: 18; 20; 16 y 14 a. 14 b. 15 c. 16 d. 17 e. 18 2. Los gastos diarios, en nuevos nuevos soles, soles, de de Carlos Carlos son: son: 30; 20; 40; 20; 30; 30; 40 calcular: I. La media aritmética II. La moda
III. La mediana
Dar como respuesta la suma de los lo s resultados obtenidos. a. 30 b. 60 c. 90 d. 120
e. 150
3. En el último examen bimestral del curso de Aritmética de 10 preguntas se observó que un grupo de alumnos al umnos respondieron la siguiente cantidad de preguntas: 7; 6; 8; 10; 7; 3; 9; 3; 8; 8 ; 7; 10; 8; 7; 6 y 6 Calcular: I. La moda aritmética
II. La mediana
III. La
Dar como respuesta la suma de los lo s resultados obtenidos. a. 15 b. 18 c. 20 d. 21 COLEGIO TRILCE
media
e. 24 Página 33
ARITMETICA
4. En una bolsa hay dos bolas azules; tres bolas rojas y cinco bolas amarillas. I. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola al azar azar salga una bola azul? II. ¿Cuál es la probabilidad de que que al sacar al azar salga salga una bola amarilla? Dar como respuesta la suma de los lo s resultados obtenidos.
3 a. 10
4 b. 10
5 c. 10
7 d. 10
9 e. 10
5. Indica cuál es la probabilidad de de que al lanzar lanzar un dado salga salga un número: I. multiplicado 3 II. menor que 5 Dar como respuesta la suma de los lo s resultados obtenidos. a.
1 6
b.
2 6
c.
3 6
5 d. 6
e. 1
REGLA DE TRES. 3 7
1. Los de la capacidad capacidad de un estanque es 8 136 liltros. Hallar Hallar la capacidad capacidad del estanque. 1 2 docena
2. Si docenas?
de una mercadería cuesta S/.4 050. ¿Cuánto será el importe de dos
3. Una casa es de dos dos hermanos, la parte del primero, que es los valuada en S/.15 300. Hallar el valor de la parte del otro hermano.
5 13 de
la casa, está
4. Una fuente brinda 1 200 litros de agua en 10 minutos. ¿Cuántos ¿Cuántos litros más dará dará en una hora? 5. Un grupo de amigos disponía de S/.360 para gastar vacacionando vacacionando durante cuatro días. ¿Para cuántos días les alcanzará al canzará S/.630? COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
PORCENTAJE. 1. Jorge ahorró en una cooperativa 1 500 nuevos soles durante cinco meses al 4%. ¿Cuánto ganó? 2. María prestó su dinero a una amiga, bajo las las siguientes condiciones: condiciones: capital = 60 000 000 nuevos soles; tiempo = 2 años año s al 20%; ¿qué intereses se generó? 3. Calcular el 20% del 5% de 80 000. 4. Calcular el 6% del 30% de 30 000. 5. En un colegio el 40% son mujeres, si se sabe que la cantidad de mujeres es 200, ¿cuántos varones hay en el colegio? INICIACIÓN A LA ESTADÍSTICA. 1. Analiza e interpreta los los resultados resultados de alguna encuesta de opinión. • Identifica la institución o personas responsables de la encuesta: a. ¿Es una institución conocida? ¿Es ¿Es especializada en encuestas de opinión? Pertenece a un grupo con características particulares? (Por ejemplo, a un partido político, a un grupo económico, iglesia, etc). • Revisa la ficha técnica de la encuesta: b. ¿Qué cobertura tuvo? c. ¿La respuesta es considerada representativa representativa de qué población? (el país; las mujeres mayores de 18 años; etc). • Discute respecto a las limitaciones que podría tener la encuesta para obtener conclusiones generales: por ejemplo, si fue una encuesta telefónica ¿podría considerarse representativa de toda la población? ¿por ¿po r qué? • Lee y discute los resultados de la encuesta (gráficos y tablas) y discute sobre las conclusiones que como estudiantes, podrían sacar a partir partir de esos resultados y justifica. Debate acerca de la validez de las conclusiones propias y de las entregadas por los autores a utores o autoras de la encuesta. • Haz la encuesta analizada en el colegio analizando analizando los resultados resultados y comparándolos con los de la encuesta original. Busca explicaciones a las diferencias o similitudes de los resultados. res ultados. COLEGIO TRILCE
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ARITMETICA
2. Organizados en pequeños grupos preparar y presentar un trabajo respecto a un tema de interés que incluya información estadística que aporte a la caracterización y análisis del tema que se quiere comunicar. a. Recopilar información en diarios, revistas, boletines oficiales, etc., referidas a un tema de su interés. b. Organizar la información de acuerdo a criterios que deben hacer explícitos (por ejemplo, cronológicamente, según fuentes, etc.) c. Formular preguntas referidas al tema elegido. (Mínimo cinco preguntas) ELABORACIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. 1. Hasta el año 1999, se había registrado que en el mundo había 350 millones de personas vivas infectadas con Hepatitis B. Fuente: INE, ministerios, servicios públicos y publicaciones periódicas, en general
a. Considerando que la población mundial actual se estima en 6 mil millones, ¿cuál era la razón entre las personas infectadas y el total de la población mundial? b. ¿Es correcto decir que, aproximadamente 6 de cada 100 personas vivas estaban infectadas con el virus de la Hepatitis B? 2. El 55% de los niños y niñas que cursan primaria presentan problemas de caries. (Total de niños y niñas 500 alumnos) Fuente INE, ministerios, servicios públicos y publicaciones periódicas, en general.
a. ¿Cuántos niños y niñas por cada 100 de primaria tienen problemas de caries? b. Según esta información ¿cada cuántos alumnos de primer año uno de ellos tiene problemas de caries aproximadamente? 3. Recopila en diarios y revistas informaciones presentadas en gráficos, incluidos los gráficos circulares. a. Lee y analiza las informaciones, discute por qué algunas se presentan en gráficos de barras y otras en gráficos circulares. b. Relaciona los porcentajes señalados en los gráficos circulares con la porción del área de la circunferencia (aproximadamente) que ocupan.
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