TRIGONOMETRÍA TEMA 5
ECUACIÓN DE LA RECTA II ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA SNII2T5
DESARROLLO DEL TEMA I. ECUACIÓN DE LA RECTA
D. Distancia entre rectas paralelas
A. Rectas paralelas d(L1, L2) =
y L1
|C1 – C2|
d
L2
A2 + B2
L1: Ax + By + C1 = 0 L1//L2
q1
q2
m1 = m2
L2: Ax + By + C2 = 0
E. Ángulo entre rectas
x
L1
q
B. Rectas perpendiculares y
Tanq =
m1 – m2 1 + m1m2
L2 L1
II. CIRCUNFERENCIA L1 L2
q1
q2
m1m2 = –1
De la figura: y Centro c(h, k)
Ecuación ordinaria
L2
C. Distancia de un punto a una recta
(h, k) r
Ecuación general x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
(x, y)
x
A. Caso Particular I
P1(x1, y1)
d(P1L) =
(x – h)2 + (y – k)2 = r2
x
Sea: h = 0 y K = 0 → C(0, 0) Reemplazando en la ecuación ordinaria
2 2 2 2 2 2 (x – 0) + (y – 0) = r → x + y = r La ecuación anterior de la circunferencia, se denomina "forma canónica".
|Ax1 + By1 + C| A2 + B2
B. Caso particular II
En la ecuación: x2 + y2 = r2
L Ax + By + C = 0
SAN MARCOS REGULAR 2014 – II
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2 2 Si: r = 1 → x + y = 1
Ecuación de la circunferencia trigonométrica
TRIGONOMETRÍA
TEMA 5
ECUACIÓN DE LA RECTA II - ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
PROBLEMAS RESUELTOS Problema 1 Las rectas: L1: 3x + 2y – 1 = 0 y L2: mx + ny + 5 = 0 Sus perpendiculares y el punto (2, 4) pertenece a la recta L2. Calcule (m + n).
son los centros de las circunferencias cuyas ecuaciones son: C1: x2 + y2 – 4y + 3 = 0
C2: x2 + y2 + 4x + 3 = 0
A) –5/5 B) –5/8 C) 5/3 D) 8/5 E) –8/5
Resolución:
UNMSM – 2007
C3: x2 + y2 – 4x + 3 = 0
UNMSM – 2013
UNMSM – 2005
A) 1/2
B) 1/3
C) 1/5
D) 2/3
E) 3/4
m 3 m2 = – n 2 Teoría m1m2 = –1 (perpendiculares)
Resolución: Expresando las ecuaciones en forma
J– 3 JJ– mJ = –1 → 3m = –2n ..... (I) L 2 LL nL
C1: (x – 0)2 +(y – 2) = 1 → Centro (0,2)
m1 = –
Dado (2, 4)∈ L2 → reemplazando
Problema 3 Los puntos A(–3, 2) y B(1, 6) son los extremos del segmento AB. Determine la ecuación de la mediatriz de dicho segmento. A) x + y – 3 = 0 B) x + y – 4 = 0 C) y + x – 3 = 0 D) x + 2y – 3 = 0 E) x + y – 1 = 0 Resolución: A(–3; 2) y B(1; 6) L1 B(1, 6) M
ordinaria C2: (x+2)2 + (y – 0)2 = 1 → Centro (–2,0) 2
2
C3: (x –2) +(y+ 0) = 1→ Centro (2, 0)
A(–3, 2) M punto medio de AB.
J L
Coordenadas del baricentro:
5 4
n =–
15 → m + n =– 5 8 8
J L
m=
G
J0 + (–2) + 2 ,2 + 0 + 0 3 L 3
Incógnita:
Respuesta: –5/8
M.A. J0, 2J = L 3L
Problema 2 Determine la media aritmética de las coordenadas del triángulo cuyos vértices
0+ 2
2 3
J → M(–1, 4) L
M –3 + 1, 2 + 6 2 2
m(2) + n(4) + 5 = 0→2m + 4n + 5 = 0 ..(II) Resolviendo: (I) y (II)
(–1, 4)
J J L L
2 → G 0, 3
=
Cálculo de la pendiente AB. 6–2 mAB = =1 1 – (–3) m1 = –1
M(–1, 4)
G(x, y)
Cálculo de (m1) y–4 = –1→ y – 4 = – x – 1 m1 = x – (–1) x+y–3=0
1 3
Respuesta: 1/3
Respuesta: x + y – 3 = 0
PROBLEMAS DE CLASE EJERCITACIÓN
1. Una recta pasa por el punto P(–8, 2) sabiendo que es perpendicular a la recta L : 6x + 2y – 11 = 0. Indique su ecuación. A) 3x + y – 11 = 0 B) x – 3y + 27 = 0 C) x + 3y – 11 = 0 D) 3x – y + 11 = 0 E) x – 3y + 14 = 0
x 2 + y 2 – 10x + 2y + 1 = 0 A) 5p B) 10p C) 15p D) 20p E) 25p
3. De la figura: q = 18°30' y
(0,2)
2. Calcule la longitud de una circunferencia sabiendo que su ecuación es:
TEMA 5
TRIGONOMETRÍA
q
xL
22
Indique la ecuación de la recta L . A) x + 3y – 21 = 0 B) x + 3y – 24 = 0 C) x + 3y – 31 = 0 D) x + 3y – 26 = 0 E) x + 3y – 33 = 0
4. Indique la ecuación de la recta tangente a la circunferencia: x2 + y2 = 5 en el punto A(1, 2) A) 2x + y – 1 = 0 B) 2x + y – 3 = 0 C) 2x + y – 5 = 0 D) 2x + y – 7 = 0 E) 2x + y – 9 = 0
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ECUACIÓN DE LA RECTA II - ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
5. Indique la ecuación de la recta que pasa por el punto P(–3, –2) y las coordenadas del centro de la circunferencia: x2 + y2 = 36 A) 2x + y = 0 B) 2x – y = 0 C) 2x + 3y = 0 D) 2x – 3y = 0 E) 3x – y = 0
PROFUNDIZACIÓN 6. Indique la ecuación de una circunferencia cuyo centro se ubica sobre el eje (x) y que pasa por los puntos A(1, 3) y B(4, 6). A) x2 + y2 – 2x + 6 = 0 B) x2 + y2 + 6y + 11 = 0 C) x2 + y2 + 8x + 19 = 0 D) x2 + y2 – 14x + 4 = 0 E) x2 + y2 – 14y + 10 = 0 7. Una recta pasa por el punto de intersección de las rectas: L1: 2x – y –11 = 0 y L2: x + y – 4 = 0 y es paralela a la recta: L3: 10x + 20y – 31 = 0 Indique su ecuación A) x + 2y + 3 = 0 B) x + 2y – 3 = 0 C) x + 2y – 7 = 0 D) x + 2y + 7 = 0 E) x + 2y – 11 = 0
8. S e tiene una circunferencia tangente a los ejes cartesianos y que pasa por el punto P(6, 3). Indique la suma de la mayor y menor longitud que cumplen esta condición. A) 20p B) 28p C) 30p D) 32p E) 36p 9. En base a los datos de la figura determine la ecuación de la recta L2. y L1 x
Determine el tercer vértice (C) si el lado BC es paralelo:
L: x – 2y – 32 = 0 35 1 , A) 4 8 B)
J J L L 35 1J , C) J– L 4 8L 35 1 E) J , – J 4 L 8L
J35 , – 1J L 4 8L J34 , 1J D) L 4 8L
11. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por A(0, 2) y es tangente a la recta:
L1: 2x + y = 0 en el origen. A) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5 B) (x – 1)2 + (y – 1)2 = 5
(2, – 4)
C) (x – 3)2 + (y – 1)2 = 5
L2
D) (x + 1)2 + (y + 1)2 = 5 E) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 5
(0, –8)
A) x B) x C) x D) x E) x
+ + + + +
2y 2y 2y 2y 2y
– – – – –
2 3 4 5 6
= = = = =
12. Indique la ecuación de una circunferencia tangente al eje (x), con centro en la recta:
0 0 0 0 0
punto A(5, 4) A) x2 + y2 + 6x + 10y + 9 = 0 B) x2 + y2 – 6x + 10y + 9 = 0
SISTEMATIZACIÓN
C) x2 + y2 – 6x + 20y + 11 = 0
10. El área de una región triangular ABC es 7m2. Si A(1, 4), B(7, –1).
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L: x + y – 7 = 0 y que pasa por el
D) x2 + y2 – 6x – 20y + 13 = 0 E) x2 + y2 + 6x – 20y + 9 = 0
TRIGONOMETRÍA
TEMA 5
