M2 -
Trig rigonomet onometria ria nos Triâ Triângulos ngulos
1 (Vunesp-SP) Um pequeno avião deveria partir de uma
3 (UEM-PR) Um balão parado no
cidade A rumo a uma cidade B ao Norte, distante 60 quilômetros de A. Por um problema de orientação, o piloto seguiu erradamente rumo ao Oeste. Ao perceber o erro, ele corrigiu a rota, fazendo um giro de 120) à direita em um ponto C, de modo que o seu trajeto, juntamente com o trajeto que deveria ter sido seguido, formaram, aproximadamente, um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura.
céu é observado sob um ângulo de 60). Afastando-se 3 metros, o observador passa a vê-lo sob um ângulo ε tal que 1 tg ε = . Então, a altura do bal ão 2 multiplicada por 11( 6 − 3 ) é:
Com base na figura, a distância em quilômetros que o avião voou partindo de A até chegar a B é: a) 30 3
d) 80 3
b) 40 3
e) 90 3
X c)
B (Norte)
A
No triângulo ABC, temos: tg 60 )
D 3
(Oeste) C
A
(Oeste) C
A
1
3x
C
AC
AC
h
ε =
x
B
0
3
=
1 2
Θ
=
3 (6 0 3 11
2h = x
0
3
2h − 3 = x
x
2
3 ( 2h − 3 )
Θ
h = 2 3h − 3 3 2 3h − h = 3 3
Ι BC =
tg 60 )
tg
60)
Assim, sen 60 ) =
60)
h=
Θ
Substituindo 2 em 1 , vem: h=
Temos a figura:
Ι
3
=
No triângulo ABD, temos:
120)
60
h x
=
h
60 3
120)
3m
ε
B (Norte)
h
h (2 3
3 60 = 2 BC
60 AC
Ι
3
=
60 AC
Por orta tant nto,11 o,11( 6 −
)
−1 =
3 3
h=
40 3
=
=
60 Ι BC
2 3 −1
3 )h =
11( 6 −
20 3
0
40 3
= 60
9
2 3 01 2 3 01
3 ) 9 3 9 ( 60 11
20 3
0 BC =
3 3
3)
=
)
3( 36 − 3 ) = 99 Θ 99 m
3
4 (UFMG) No triângulo ABC, o ângulo AjC é reto,
2 (EEM-SP) Quantos degraus de 19 cm de altura s ão necessários para substituir uma rampa de 9,5 m de extensão com inclinação de 30)?
sen 30 )
30)
. 15 Considerando esses dados, calcule o comprimento do cateto AB. Representando o triângulo ABC, temos:
Fazendo a figura, vem:
m , 9 5
h
=
h 9,5
A
1 h Θ = 2 9,5 h = 4,75 m
Logo, o número de degraus é:
y2
y
x
x2
y2
5 6
(5 6 )
0
=
x y
2
Θ
y2
3
Θ
=
x2
=
x y
15
0 150 Θ
x
=
y
=
1 3y 15
Substituindo 2 em 1 , temos:
4,75 N= = 25 0,19 N = 25 degraus C
=
9y 2 15
0 150 Θ
y2
=
Portanto: x
132
=
cos (BhC)
B
Matemática
3
BC = 5 6 e cos ( BhC ) =
=
3 9 5 15 15
Θ
x
= 15
375
Θ
5 15
2
5 (UFJF-MG) Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edif ício. Para fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200 metros do edif ício e mediu um ângulo de 30), como indicado na figura abaixo. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metro do solo, pode-se concluir que, dentre os valores abaixo, o que melhor aproxima a altura do edif ício, em metros, é: a) 112 b) 115 X c) 117 d) 120 e) 124
7 (UFAC) Se a medida do ân-
gulo BhC é igual a 60), AB = AC e BC = 10, então a área do triângulo ABC da figura vale: a) 10
d) 10 3
b)
e) 5 3
X c)
3 25 3
B
sen 30 ) )
=
5 x
Θ
1 2
)
30 30
x
x
h
10
C
Assim, cos 30 )
=
h x
=
5 x
Θ
x
= 10
3 2
=
10 9 5 3 2
=
Θ
h 10
Θ
h=5 3
A área do tri ângulo é:
30) 5
Pelos dados, temos:
5
S=
b9h 2
Θ
S=
25 3
A
x 30)
60)
Usando a figura, temos:
Use os valores: sen 30) = 0,5 cos 30) = 0,866 tg 30) = 0,577
C
A
200
1,5
1,5
h = x 0 1,5
B
200
No triângulo ret ângulo ABC, temos: x x tg 30 ) = Θ 0,577 = 200 200 x = 115,4 m Logo: h = x 0 1,5 Θ h = 115,4 0 1,5 h = 116,9 m Portanto, a altura do edif ício é aproximadamente 117 m.
6 (UCSal-BA) A autora alegrava-se em conseguir estimar o comprimento de objetos inacess í veis como, por exemplo, a altura x da torre mostrada na figura abaixo.
8 (UEM-PR) No problema a seguir, considere que qualquer trajetória do ciclista é feita em linha reta e com velocidade constante e igual a 10 m/s. Duas rodovias, H e R, cruzam-se em um ponto A, segundo um ângulo de 60). Um ciclista parte do ponto A pela rodo via H e, após um terço de hora, atinge um ponto B, de onde é possí vel seguir para a rodovia R, percorrendo o menor caminho, atingindo-a no ponto C. Para retornar de C ao ponto A de origem, pela rodovia R, a distância que o ciclista deve percorrer, em quil ômetros, é: Pelos dados do problema, temos: Rodovia R C
x
A ε
20 m
A partir do conhecimento de relações trigonométricas e sabendo que sen ε = 0,6428 e cos ε = 0,7660, ela podia encontrar que x, em metros, era aproximadamente igual a: X b) 17 a) 16 c) 18 d) 19 e) 20
60) B
Rodovia H
O ciclista tem velocidade constante de 10 m/s e demorou de A at é B 1 1 hora = 9 60 = 20 minutos. 3 3 Logo, ele percorreu 10 9 60 9 20 = 12 000 Θ 12 000 m = 12 km. Portanto: AC 1 AC cos 60 ) = Θ = Θ AC = 6 km AB 2 12
Observando a figura, temos: x 1 tg ε = 20 sen ε 0,6428 Mas, tg ε = Θ tg ε = cos ε 0,7660 tg ε Λ 0,84 2 Substituindo 2 em 1 , vem: x = 0, 84 Θ x = 16,8 m 20 Portanto, a altura da torre era aproximadamente 17 m.
Matem á tica
133
9 (UFMT) Um rebite é produzido com as dimens ões
11 (UERJ) Um barco navega na
indicadas na figura. Calcule o valor, em cm, da dimensão C.
direção AB, próximo a um farol P , conforme a figura abaixo. P
90)
C
2 cm 12 cm 13 cm 60)
30) A
A F 1 1 1 E CB 1 1 1
45) 1 D
1
Θ 1=
1 ED
Θ
ED = 1 Θ 1 cm
Portanto: BD = BE 0 ED Θ BD = 1 0 1 = 2 Θ 2 cm No #ABD, temos: tg 45 )
=
AB BD
Θ 1=
AB 2
Θ
AB
=
2
Θ
São Paulo: Ática, 1990.)
No ponto A, o navegador verifica que a reta AP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 30) com a direção AB. Após a embarca ção percorrer 1 000 m, no ponto B, o na vegador verifica que a reta BP, da embarcação ao farol, forma um ângulo de 60) com a mesma dire ção AB. Seguindo sempre a dire ção AB, a menor dist ância entre a embarca ção e o farol será equivalente, em metros, a:
12
No #DEF, temos: EF ED
et alii . Matemática e Vida .
2
13
=
B
(Adaptado de BONGIOVANNI, Vincenzo
1
tg 45 )
1 000 m
a) 500
2 cm
b) 500 3
X
d) 1 000 3
c) 1 000
Da figura, temos:
Logo: C = 2AB = 2 9 2 = 4 Θ 4 cm
P
y
10 (EEM-SP) Pelas extremidades A e B de um segmento i, traçam-se perpendiculares, e sobre elas tomam-se os segmentos AC = 2 cm e BD = 3 cm. Em i toma-se o ponto E tal que os ângulos AzC e B zD sejam congruen-
tes. Calcule os comprimentos dos segmentos 2 e &, sabendo-se que AB = 10 cm. Pelos dados do problema, temos:
A menor dist ância é y . y tg 30 ) = e tg 60 ) x 0 1 000 3 3
3
2 E
ε
x
10
No triângulo CEA, temos tg
ε =
No triângulo DEB, temos tg
ε =
3 4 4 2 3 4 10 − x 1 4 2 x
Logo: 2 x
=
3 10 − x
Θx=4
Portanto, AE = 4 cm e BE = 6 cm.
Matem á tica
134
y x
0 1 000 =
1
=
3
e
B
y x =
y x
2
3x
De 1 , vem:
C
ε
=
De 2 , vem: y
3 3
D
A
30) 1 000 m
A
10 − x
B
=
3x
=
500
x
0 1 000
9
500 = 500 3
Θ
x
=
500 m
Logo: y
=
3
Θ
y
=
500 3 m
60) x
C
12 (Unicamp-SP) Os pontos A e B estão, ambos, locali-
14 (Vunesp-SP) Ao chegar de viagem, uma pessoa to-
zados na superf ície terrestre a 60) de latitude norte; o ponto A está a 15)45δ de longitude leste e o ponto B a 56)15δ de longitude oeste. a) Dado que o raio da Terra, considerada perfeitamente esf érica, mede 6 400 km, qual é o raio do paralelo de 60 )? b) Qual é a menor distância entre os pontos A e B, medida ao longo do paralelo de 60)?
mou um táxi no aeroporto para se dirigir ao hotel. O percurso feito pelo táxi, representado pelos segmentos AB, BD, DE, EF e FH, est á esboçado na figura, onde o ponto A indica o aeroporto, o ponto H indica o hotel, BCF é um triângulo retângulo com o ângulo reto em C, o ângulo no vértice B mede 60) e DE é paralelo a BC.
Use
22 7
F
como aproximação para π .
a) Do enunciado, temos:
D
O r
r
B
A P 30) 6 400 Oδ
* = 15)45δ ( = 56)15δ
Aδ
Os pontos O e Oδ são, respectivamente, os centros do paralelo e da Terra, e r é a medida do raio do paralelo. No tri ângulo ret ângulo AOO δ, temos: r 1 r sen 30 ) = Θ = 6 400 2 6 400 r = 3 200 km b) Temos que d = * 0 ( d = 15)45δ 0 56 )15δ Θ d = 72) Logo, a dist ância pedida é igual a: dist ância ângulo 360) 2 πr 360 ) 2 πr Θ = 72) x 72 ) x 2 πr 5= x 2 πr x= 5 22 29 9 3 200 7 x= 5 x Λ 4 022,86 km
A
de um relógio medem, respectivamente, 50 cm e 80 cm. Calcule a distância entre suas extremidades quando o relógio estiver marcando 14 h. Fazendo a figura, vem: 1
E
1 km
B
3 km
C
Assumindo o valor 3 = 1, 7 e sabendo-se que AB = 2 km, BC = 3 km, DE = 1 km e FH = 3,3 km, determine: a) as medidas dos segmentos BD e EF em quil ômetros b) o preço que a pessoa pagou pela corrida (em reais), sabendo-se que o valor da corrida do t áxi é dado pela função y = 4 0 0,8x, sendo x a distância percorrida em quilômetros e y o valor da corrida em reais a) Do enunciado, temos a figura: F
60) D
3,3
H
E
1
60) A
2
B
3
C
No triângulo ret ângulo BCF, temos: 3 cos 60 ) = Ι BF = 6 BF No tri ângulo ret ângulo DEF, temos: tg 60 )
13 (UFMT) Considere que os ponteiros menor e maior
H
60)
2 km
60)
3,3 km
=
cos 60 )
EF 1
=
Ι EF =
1 DF
Ι DF =
3
= 1, 7 Θ 1,7
km
2
Como BD = BF − DF, vem: BD = 6 − 2 Ι BD = 4 Θ 4 km b) A distância percorrida x é: x = 2 0 4 0 1 0 1,7 0 3,3 = 12 Então, y = 4 0 0,8 9 12 Ι y = 13,60 Θ R$ 13,60
x 2 80 60) 50
Aplicando a lei dos cossenos, temos: x2 = (50) 2 0 (80) 2 − 2 9 50 9 80 9 cos 60 ) 1 x 2 = 2 500 0 6 400 − 2 9 50 9 80 9 2 x2 = 2 500 0 6 400 − 4 000 x2 = 4 900 x = 4 900 x = 70 cm
Matem á tica
135
15 (Unemat-MT) A rampa de acesso a um estaciona-
16 (UERJ)A extremidade A de uma planta aqu ática
mento de automó veis faz um ângulo de 30) com o solo e, ao subi-la, um carro desloca-se horizontalmente 8 m de distância, conforme o desenho.
encontra-se 10 cm acima da superf ície da água de um lago (figura 1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superf ície da água no ponto B, situado a 10 3 cm do local em que sua proje ção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (figura 2). Considere 8, ) e p segmentos de retas e o arco d uma trajetória do movimento da planta.
Dados: h
ε=
sen 30 ) =
30)
cos 30 ) = 8m
1 2 3 2
A
10 3 cm
A 10 cm
Sobre os dados, julgue os itens: 1. A altura da rampa, representada por h, no desenho, é 8 3 m. 3 2. O comprimento da rampa inclinada, por onde sobem os carros, é o dobro da altura h. 3. Na mesma rampa, se o ângulo formado com o solo fosse de 60), ou seja, o dobro de ε, então a altura h também seria o dobro.
C
B
de
Do enunciado, temos: B
O
Figura 1
Determine: a) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta b) o comprimento, em cm, do arco d a)
x ε=
C
3 h=
=
x
30) 8
b)
10
10 3
h 8
8 3 m (verdadeira) 3
Daí, h 0 j 0 O = 180) Θ 60) 0 60) 0 O = 180) O = 60) O #ABO é eqüilátero.
hδ = 8 3 m hδ
60)
Matem á tica
136
8
Aδ
B
Como 8 = ) (raio), o #ABO é isósceles (ou seja, h = j). No #ACB, temos: CB 10 3 tg h = Θ tg h = = 3 AC 10 h = j = 60)
O
No tri ângulo ret ângulo A δBδCδ, temos: hδ hδ tg 60 ) = Θ 3 = 8 8
Cδ
A
C
sen 60 )
2
(10 0 x ) 2 = (10 3 ) 0 x 2 100 0 20x 0 x2 = 300 0 x2 20x = 200 x = 10 cm
O
Bδ
xδ
B
x 0 1 0
A
2. No tri ângulo ret ângulo ABC, temos: h 1 h sen 30 ) = Θ = x 2 x x = 2h (verdadeira) 3.
10 3
h
1. No tri ângulo ret ângulo ABC, temos: sen 30 ) h h tg 30 ) = Θ = 8 cos 30 ) 8 1 h 2 = 8 3 2 1
Figura 2
=
hδ xδ
Θ
3 8 3 = 2 xδ xδ = 16 m (falsa)
O arco d está contido em uma circunfer ência de centro O e raio R = 8 = ) = 20 cm. 1 1 20 π 20 π med ( d ) = cm 9 2 πR = 9 2 π 9 20 = Θ 6 6 3 3
17 (Fuvest-SP) Na figura, M é o ponto médio da corda c
Q
da circunferência e PQ = 8. O segmento W é perpendicular a
c e RM =
4 3
19 (UFU-MG) No instante do impacto com a torre sul
R
M
P
. Calcule:
3
a) o raio da circunferência b) a medida do ângulo POQ, onde O é o centro da circunferência 4 3 3
R 4
P
M 4 θ
r
−
do World Trade Center , o avião da United Airlines foi fotografado simultaneamente por três fotógrafos, cujos tripés estão representados na figura abaixo pelos pontos A, B e C. Os três fotógrafos tinham suas máquinas fotográficas colocadas sobre esses tripés de 1,70 m de altura cada um. Sabendo-se que as inclinações das máquinas fotográficas, em relação ao solo, nos tripés A e C eram de 45) e que 5 cos ε = , determine a altura em que o avião estava 7 naquele momento.
Q
r C
4 3 O 3
4 0 0 m
B
a) No triângulo ret ângulo OMQ, tem-se: m 0 0 3
4 3 , MQ = 4, OQ = r e 3 (OQ) 2 = (OM)2 0 (MQ)2
1) OM = r
−
Assim sendo, r 2 = r r
=
2) sen
ε
2
4 3 − 3
0 42
8 3 3 θ=
A
Pelos dados, temos: E
4 r
4
=
3 2
=
8 3 3
Υ θ =
C 4 0 0
45)
60 )
h
b) A medida do ângulo P OQ é 2 9 θ = 120)
B
h
D ε
h
0 0 3
45)
18 (UEMA) Em um tri ângulo de vértices A, B e C,
i = 6 cm, p = 10 m e o ângulo interno formado pelos lados i e p mede 60). A medida do cosseno do ângulo interno formado pelos lados o e p é: a) b)
1 19 3
7
c)
X
2 19 5
d)
19
Fazendo a figura, vem:
3 19
O triângulo EDC é isósceles, logo ED
=
DC
=
h.
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo ABC, temos: (AC)2 = (AB)2 0 (BC)2 Θ (AC)2 = (300) 2 0 (400)2 (AC)2 = 90 000 0 160 000 = 250 000 AC = 500 m
=
250 000
0
h2
− 2 9 500 9 h 9
5 7
Como as máquinas fotográficas estavam sobre trip és de altura de 1,70 m, temos: 350 0 1,70 = 351,70 Θ 351,70 m
x
ε
B
10
Aplicando a lei dos cossenos, temos: (AC)2 = (AB)2 0 (BC)2 − 2(AB) 9 (BC) 9
DA = h.
5 000 h = 1 750 000 h = 350 m
A
2 9 6 9 10
=
h2
60)
= 6 2 0 10 2 −
5 19
O triângulo EDA é isósceles, logo ED
Aplicando a lei dos cossenos no tri ângulo ACD, temos: (CD)2 = (AC) 2 0 (AD) 2 − 2 9 (AC) 9 (AD) 9 cos ε
6
x2
1
e)
A
1 2
Υ
C 9
cos 60 )
x 2 = 36 0 100
− 60 Υ
x 2 = 76 Υ x = 2 19
Aplicando novamente a lei dos cossenos, vem: (AB)2 = (BC)2 0 (AC)2 − 2(BC) 9 (AC) 9 cos ε 62
= 10 2 0
40 19 cos
( 2 19 )
2
− 2 9 10 9 2
ε = 140 Υ
cos
ε =
19 Υ 36 140
= 100 0
Υ
40 19
cos
76
ε =
− 40
19
9
cos
ε
7 2 19
Matem á tica
137
Em quest õ es como a 20, a resposta é dada pela soma dos nú meros que identificam as alternativas corretas.
20 (UFPR) Em um triângulo ABE, a medida do lado 2 é 3, a do ângulo E é 75), e a do ângulo A é 45). Dois pontos, C e D, pertencem ao lado i. Sabe-se que a dis-
tância AC é 2 e que o segmento I é perpendicular a i. Nessas condi ções, é correto afirmar: (01) A medida do ângulo B é igual a 60).
A partir desses dados, calcule, em metros: a) o comprimento dos seguimentos MS e SP b) quanto o arame deveria medir para que tivesse o mesmo tamanho do segmento MP a) • Cálculo de MS MR: cos 30 )
=
MR 10
RS: cos 60 )
=
NT 20
(02) AD . ED (04) EB =
6
(08) EC =
5
MS: MS
75) 3
60)
A
C
2
D
B
01. h 0 z 0 j = 180) Θ 45) 0 75) 0 j = 180) Θ j = 60) (verdadeira)
cos 45 )
ED AE
=
AD AE
Θ
2 2
Θ
2 2
=
ED 3
=
AD 3
Θ
ED =
3 2 3 4 2 4
AD
3 2 4 4 2 1
sen 60 )
=
Θ
=
Θ
3 2
=
3 2 2 EB
=
32
0
=
0 RS = 5
3
0 10 = 10 0
1 2
20
=
5 3
= 10
5 3
( 2)
2
−
=
TS: sen 30 )
=
293
PT 20 NR 10
TS
3 = 10 3 2 1 NR = 10 sen 30 ) = 10 = 5 2 • NR = TS • TS = 5 PT
=
20 sen 60 )
3
0
5
= 10
=
= 5 0 10
20
3
b) Observando que MP é a hipotenusa do tri ângulo ret ângulo MPS, podese usar: (MP)2 = (MN)2 0 (NP) 2 − 2 9 (MN) 9 (NP) 9 cos (MNP) (MP)2 = 102 0 202 − 2 9 10 9 20 9 cos 150 ) (MP) 2
= 100 0
MP =
400
−
3 2
400 9 −
500 0 200 3 = 10 5 0 2 3
22 (UEMA) Considere um triângulo ABC inscrito nu-
Θ
EB = 6 (verdadeira)
08. Usando a lei dos cossenos no tri ângulo AEC, temos: (EC) 2 = (AE)2 0 (AC)2 − 2 9 AE 9 AC 9 cos 45 ) (EC ) 2
NT = 20 cos 60 ) • NT = RS • RS = 10
3 2
2 AD = ED (falsa)
04. No tri ângulo ret ângulo ADB, temos: ED EB
PT: sen 60 )
Ι SP = PT 0
45)
=
MR
= 10
• Cálculo de SP E
02. sen 45 )
=
MR = 10 cos 30 )
2
9
9
ma circunferência de raio unitário cujos lados medem a = 3 , b = 1 e c = 2. Determine a soma 2h 0 3j 0 k, onde h, j e k são ângulos internos desse triângulo. Desenhando o tri ângulo ABC, vem:
2 2
A
(EC) 2 = 9 0 2 − 6 (EC) 2 = 5 EC = 5 (verdadeira) Portanto: 01 0 04 0 08 = 13
b
2
=
=
1
c
r=1 O
B
a
C
3
=
Aplicando a lei dos senos, temos: a
21 (UFRN) Ao se tentar fixar as extremidades de um pedaço de arame reto, de 30 m de comprimento, entre os pontos M e P de um plano, o arame, por ser maior do que o esperado, entortou, como mostra a figura abaixo. P
sen h
3 sen h 1 sen j
sen k
N
60)
30)
Matem á tica
138
R
=
c
=
sen k
2R
Θ
3 sen h
=
1 sen j
=
=
2
Θ
sen h
=
2
Θ
sen j =
=
2
Θ
sen k
3 2
=
1 2
Θ
Θ
=1 Θ
h
=
60 )
j = 30 )
k
=
90 )
Portanto: 2 h 0 3j 0 k = 2 9 60) 0 3 9 30) 0 90) = 300)
10 M
b sen j
Logo:
2 20
=
S
2 sen k
=
2 9 1= 0
23 (Vunesp-SP) Cinco
Nessas condições, podemos dizer que a tra ção no cabo puxado pelo homem em rela ção ao ponto A é de: X e) 801 N a) 20 283 N c) 680 N b) 17 320 N d) 200 N
C
cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura.
E
x
y
A
D
B
A rodovia AC tem 40 km, a rodovia AB tem 50 km, os ângulos x, entre AC e AB, e y, entre AB e BC, s ão tais que 3 3 e sen y = . Deseja-se construir uma nova sen x = 4 7 rodovia ligando as cidades D e E que, dada a disposi ção destas cidades, será paralela a BC. a) Use a lei dos senos para determinar quantos quilômetros tem a rodovia BC. b) Sabendo que AD tem 30 km, determine quantos quilômetros terá a rodovia DE. a) Sendo AC = 40 km, AB = 50 km, 3 3 , pela sen x = e sen y = 7 4 lei dos senos, temos:
C
E
BC sen x x
y
A
AC sen y
Υ
BC 3 4
40 3 7
=
sen 58 ) 20 000
TAB
sen 2 ) TAC
Θ
0, 848 20 000
=
0, 034 TAC
TAC Λ 801,8 N ou T AC = 801
120) TAC
=
58)
25 (UFMT) Para determinar a altura de um morro, um topógrafo adotou o seguinte procedimento: I Escolheu dois pontos, A e B, situados no mesmo plano vertical que passa por C. I Mediu a distância AB, encontrando 162 m. I Com auxílio de um teodolito mediu os ângulos ε, ψ e ι, encontrando, respectivamente, 60), 90) e 30). A figura ilustra o procedimento descrito. C
BC = 70 Θ 70 km
y D
=
2)
20 000 N
B
b) Sendo 3 // p, temos #ADE Κ #ABC e, portanto: AD AB
=
DE BC
Υ
30 50
=
DE 70
Υ
DE = 42
Θ
h
42 km
A ι ψ ε
horizontal
B
D
Qual a altura do morro (h), em metros, encontrada pelo topógrafo? Da figura, temos: C 60) 30)
24 (Unic-MT) Durante a descarga de um automó vel de peso 20 kN, o guindaste que suporta o carro precisa do auxílio de um cabo puxado por um estivador para colocá-lo na posição correta. O desenho abaixo mostra a situa ção. (Dados: sen 2) = 0,034, sen 58) = 0,848, cos 2) = 0,999, cos 58) = 0,529, sen 120) = 0,866 e cos 120 ) = 0,500)
x
h
A 30) 1 6 90) 2 m
60)
horizontal B
D
Usando a lei dos senos no #ABC, temos: sen 30 ) x
=
sen 60 ) 162
Θ
1 2 x
=
3 2 162
Θ
x
=
54 3 m
No #BDC, temos: 2)
B
sen 60 )
P
TAB
=
h x
Θ
3 2
=
h 54 3
Θ
h = 81 Θ h = 81 m
2) 120) A
30)
TAC
58)
C
Matem á tica
139
26 (Furb-SC) Florianópolis,
Belo Horizonte
Curitiba e Belo Horizonte, respectivamente, capitais de Santa Catarina, Paraná e Minas Gerais, estão localizadas conforme a fiCuritiba gura ao lado. A partir dos dados fornecidos, qual a distância entre Florianópolis e Belo Horizonte? a) 1 700 km Dados: b) 2 395 km cos 110) = −0,34 X c) 1 395 km sen 110) = 0,93 cos 12) = 0,97 d) 2 700 km sen 12) = 0,20 e) 2 390 km
12)
110)
d
3 0 0
28 (Unicamp-SP) Um homem, de 1,80 m de altura, sobe uma ladeira com inclinação de 30), conforme mostra a figura. No ponto A está um poste vertical de 5 m de altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para: a) calcular o comprimento da sombra do homem depois que ele subiu 4 m ladeira acima b) calcular a área do triângulo ABC B
Florianópolis C 1,80 m
sombra
5m
30)
Da figura, temos: sen 110 ) d
=
sen 12 ) 300
Θ
0, 93 d
0, 20 300
=
Θ
d
=1
A
395 km
Sendo x o comprimento da sombra do homem, em metros, depois que ele subiu 4 m ladeira acima, e S a área, em metros quadrados, do tri ângulo ABC, tem-se:
B E C 60) 1,80 m 5m
x D
4
60)
30) A
27 (MACK-SP) Supondo lo da figura vale: a) 1,15 b) 1,25 c) 1,30 X d) 1,35 e) 1,45
3
=
1, 7 , a área do triângu-
Π
30) 2
S=
45)
45) 30) A
2
=
BH 2
Ι
=
AH 2
Ι
1 2
B
=
3 2
BH 2 =
Ι BH = 1
AH 2
Ι
AH
=
3
No #BHC: HC = BH Ι HC = 1. A área do #ABC é: 1 1 1 9 ( AC )(BH) = 9 ( AH 0 HC ) 9 ( BH) = 9 ( 3 0 1) 9 1 2 2 2 2,7 Fazendo-se 3 = 1,7, a área é , ou seja, 1,35. 2
140
4
b) S =
H
Matem á tica
DC
45)
C
Da figura, temos: 1 4 4 sen 30 ) 2 No #ABH: 4 4 3 cos 30 )
a) Os triângulos ABC e DEC s ão semelhantes. 40x AC AB 5 Assim: = Π = Π 0
x
x
=
DE
25 9
Π
x
16 x
=
1, 8 0
36
Π
x
=
36 16
AB 9 AC 9 sen 60 ) 2 5 9 ( 4 0 2, 25 ) 9 4
3
=
S
=
125 3 16
Π
x
=
2, 25
