Transformada de una onda cuadrada

 Transformada  Transformada de Laplace de una onda cuadrada   Jackozee 31 de enero de 2018

Problema:

∞ 

y − y  =



(−1)k U (t − k )

k=0

y(0) = 0,  y  (0) = 0

donde  U (t − a)  es la funci´on on unitaria de Heaviside Heaviside.. Para entender la parte derecha, veremos unos cuantos t erminos e´ rminos de la sumatoria. ∞



(−1)k U (t − k ) =  U (t) −  U (t − 1) +  U (t − 2) −  U (t − 3) +  ...

k =0

Es decir: es una se˜ nal nal cuadrada:

´ en los numeros ´ donde las subidas y bajadas est ´ est an enteros. Entonces, retomando nuestro problema original: ∞ 

y − y  =



(−1)k U (t − k )

k=0

y  − y  =  U (t) − U (t − 1) +  U (t − 2) − U (t − 3) +  ...

´ a trozos: Esto se puede expresar como una funci´ funcion y  − y  =



1  si  par < t < impar 0  si  impar < t < par

al aplicar la transformada de Laplace en ambos lados:

L  {y



− y }  =

1

2

3

4

5

6

ˆ 

ˆ 

ˆ 

ˆ 

ˆ 

ˆ 

0

e−st (1)dt +

e−st (0)dt +

1

e−st (1)dt +

2

e−st (0)dt +

3

4

e−st (1)dt +

e−st (1)dt +  ...

5

Por supuesto, al eliminar las integrales donde la funci´on on vale cero:

L  {y



− y }  =

0

    3    −st    (0)dt + e−st (1)dt + e      0 1 2    1

2

ˆ 

ˆ 

ˆ 

0

    5    −st    (0)dt + e−st (1)dt + e      3 4    4

ˆ 

1

ˆ 

0

       −st    (0)dt +  ... e−st (1)dt + e      5    6

ˆ 

´ Nos quedamos con las que van de un numero para a uno impar: L  {y



− y }  =

1

3

5

ˆ 

ˆ 

ˆ 

e−st dt +

0

e−st dt +

2

e−st dt +  ...

4

Es decir: 2k+1

∞

L  {y



 ˆ 

− y }  =

k=0

e−st dt

2k

 Y al realizar la integral del lado derecho: ∞

    

L  {y



− y }  =

e−st

k=0

∞

=

e−s(2k+1) −s

k=0

∞

k=0

factorizando:

   

(e−s2k · e−s ) − e−s2k −s

∞

=

e−s2k − −s

−s

k=0

=

2k

e−s2k−s − e−s2k

=

∞

−s

2k+1

 

 k=0

e−s − 1 −s2k e −s



 Y como la divisi´on no es afectada por la sumatoria, entonces la podemos sacar, y escribir  e−s − 1 L  {y − y }  = −s 

∞



e−s2k

k=0

Desarrollando el lado izquierdo: 2



[s Y   (s) − sy (0) − y (0)] − Y   (s) =

e−s − 1

−s

 Y usando las condiciones de frontera 

∞

 k=0

y (0) = 0 y  (0) = 0

obtenemos: e−s − 1 s Y   (s) − Y   (s) = −s 2

Factorizando: 2

(s − 1) ·  Y   (s) =

e−s − 1

2

−s

∞



e−2ks

k=0

∞

 k=0

e−2ks

e−2ks

Y   (s) =

∞

e−s − 1

−s(s2

− 1)

Para finalmente obtener: e−s − 1 Y   (s) = s −  s3



e−2ks

k=0

∞



e−2ks

k=0

Por supuesto, la serie del lado derecho tambi´en se puede escribir como: ∞



e−2ks = 1 +  e−2s + e−4s + e−6s + e−8s + ...

k=0

3