Análisis de Fourier Para Una Señal de Onda Cuadrada

U NIVERSIDAD T ECNOLÓGICA DE  P EREIRA , P ROGRAMA DE I NGENIERÍA  F  F ÍSICA 

 Análisis de Fourier Fourier aplicado a una señal de onda cuadrada Juan Sebastián Blandón Luengas 05 de febrero de 2015

1 . I NTRODUCCIÓN La intención intención de éste documen documento to es presentar presentar el análisis análisis en series de Fourier Fourier aplicado aplicado a una una señal de onda cuadrada. cuadrada. Para ello, se partirá de la definición de las series de Fourier y se presentará el método ejecutado sobre la onda deseada.

2 . D EFINICIÓN EFINICIÓN SERIE DE F OURIER Una serie de Fourier puede definirse como el desarrollo de una función o representación de una función en una serie de senos y cosenos tal que:  f   (x ) =

a o  o 

2

∞

+

∞

 a  c o s (n x )  b  s i n (n x ) +

n  n 

n =1

n =1

n  n 

(1)

En la ecuación (1) se ve involucrada una función f   (x ), ), que debe cumplir ciertos criterios condicione ioness de Dirichl Dirichlet  et . Esta conocid conocidos os como condic Estass prop propon onen en que que f   (x ) teng tengaa un núme número ro finit finito o de discontinuidades y solamente un número finito de valores extremos, máximos y mínimos; las condiciones son suficientes pero no necesarias. Si las funciones cumplen las condiciones de Dirichlet los coeficientes que definen la expansión son: a 0 = a n  n  =

1 π

2π

1

  1

π

0

2π

b n  n  =

π

0

2π



 f   (t )d t 

(2)

 f   (t )c o s (n t ) d t 

(3)

 f   (t )s i n (n t ) d t 

(4)

0

1

Para cambiar el intervalo que se observa en el conjunto de ecuaciones (2),(3) y (4) se tiene en cuenta que si f   ( x ) es periódica con período 2L , se pude indicar:  f   (x ) =

a o 

2

∞

+

∞

 a  cos  n  x   b  si n  n  x  L  L   1 a   f   (t )d t  L   n  t   1 π

+

n 

n =1

n =1

π

n 

L 

0=

b n  =

L 

1 L 

(6)

−L 

L 

a n  =

(5)

π

 f   ( t )cos 

−L 

L 

L 

 n  t 



π

 f   ( t )si n 

−L 

L 

d t 

(7)

d t 

(8)

Con n  = 1,2,3,4,...

3. A P LICACIÓN A UNA ONDA CUADRADA  Una onda cuadrada es una función periódica en el tiempo o espacio unidimensional que toma dos valores alternativamente y de igual duración. En la Figura 1 se presenta la onda:

Figura 1. Onda cuadrada de periodo 2 π.

Como se puede observar la onda está definida por un segmento dos segmentos de recta  h  que se comportan en el espacio de la siguiente manera:  f   ( x ) = 0,

−π < x  < 0

 f   ( x ) = h ,

0 < x  < π

Se desea hallar la serie de Fourier que describa la onda cuadrada presentada en la Figura 1. Por ello, se calculan los coeficientes de Fourier considerando que la onda cumple las condiciones de Dirichlet. Se halla el coeficiente  a 0 primero: a 0 =

1 π

π

 0

h · d t  =

h 

π

π

= h 

(9)

 Ahora se calculan los coeficientes a n  y  b n :

2

a n  = b n  =

1 π

1 π

π

 0

h · cos (nt ) d t  =

1

π

 0

h · si n (nt ) d t  = −

n π

1 π

h · si n (nt ) |π 0 =0

h · cos (nt ) |π 0=

h  n π

(1 − cos (n π))

(10)  

(11)

Teniendo en cuenta que n  = 1,2,3, 4,5... se evaluarán los primeros cinco términos de la serie para el coeficiente  b n : b 1 = b 2 = b 3 =

h  π

h 

2π h 

3π

b 4 =

(1 − cos (π)) =

2h  π

(1 − cos (2π)) = 0

(1 − cos (3π)) =

h 

4π

2h  3π

(1 − cos (4π)) = 0

2h  5π 5π Se evidencia a partir de los resultados anteriores que el coeficiente  b n  = 0 cuando n  es par  y  b n  = n 2h  cuando  n  es impar. Según lo anterior, la serie de Fourier para la onda cuadrada estudiada es: b 5 =

h 

(1 − cos (5π)) =

π

 f   (x ) =

h 

2

+

2h  π

∞

 si n (nx )

n =1

n 

(12)

BIBLIOGRAFÍA 

G. Arfkem, Métodos Matemáticos para la Física . México D.F., México. 1981

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