MEDICINA HUMANA HUMANA -2012 I
TRABAJO DE ANALISIS COMBINATORIO Y DE PROBABILIDADES
1.-Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 0 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos personas no piensen el mismo número? 2. En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés? c ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que solo hable francés? 3. Una urna, A, contiene 7 bolas bolas numeradas del 1 al 7. En otra urna, urna, B, hay 5 bolas numeradas del 1 al 5. Lanzamos una moneda equilibrada, de forma que, si sale cara, extraemos una bola de la urna A y, si sale cruz, la extraemos de B. a ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par? b. Sabiendo que salió un número par, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la urna A?
4. De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una bola al azar. a ¿Cuál es el espacio muestral? b. Describe los sucesos: A . "Mayor que 6" B . "No obtener 6" C. "Menor que 6" Escribiendo todos sus elementos. 5. Tres empleados A, B y C trabajan en una empresa. Se les asigna 2 oficinas numeradas 1 y 2. ¿Cuál es la probabilidad de que A y C no estén en la misma oficina? 6. ¿Cuántas sumas diferentes, de 3 sumandos cada una, se pueden obtener con los números 13, 27, 41,53 y 35? 7. Extraemos dos cartas de una baraja española (de cuarenta cartas). Calcula la probabilidad de que sean: a) Las dos de oros.
b) Una de copas u otra de oros.
c) Al menos una de oros.
d) La primera de copas y la segunda de oro.
MEDICINA HUMANA HUMANA -2012 I 8. Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son: - A 32 personas les gusta leer y ver la tele. - A 92 personas les gusta leer. - A 47 personas les gusta ver la tele. Si elegimos al azar una de esas personas: a ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que no le guste ver la tele? b ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele? c ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que le guste leer? 9. El 1% de la población de un determinado lugar padece una enfermedad. Para detectar esta enfermedad se realiza una prueba de diagnóstico. Esta prueba da positiva en el 97% de los pacientes que padecen la enfermedad; en el 98% de los individuos que no la padecen da negativa. Si elegimos al azar un individuo de esa población: a ¿Cuál es la probabilidad de que el individuo dé positivo y padezca la enfermedad? b Si sabemos que ha dado positiva, ¿cuál es la probabilidad de que padezca la enfermedad? 10. Dos personas eligen al azar, cada una de ellas, un número del 1 al 5. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos elijan el mismo número? 11. En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado matemáticas, 16 que han aprobado inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que haya aprobado inglés y matemáticas? b Sabiendo que ha aprobado matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado inglés? c ¿Son independientes los sucesos "Aprobar matemáticas" y "Aprobar inglés"? . 12. Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2.rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B. a ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca? b ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas? 13. En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven joven de esa localidad al azar:
MEDICINA HUMANA HUMANA -2012 I a ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que sea chico? b Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica? c ¿Cuál es la probabilidad probabilidad de que sea un chico que no juegue al tenis? 14. Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, bolsa, B, contiene 6 bolas bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno, la extraemos de B. a ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja? b Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de
A?
15. En unas oposiciones, el temario consta de 85 temas. Se eligen tres temas al azar de entre los 85. Si un opositor sabe 35 de los 85 temas, ¿cuál es la probabilidad de que sepa al menos uno de los tres temas? 16. Tenemos para enviar tres cartas con sus tres sobres correspondientes. correspondientes. Si metemos al zar cada carta en uno de los sobres, ¿cuál es la probabilidad de que al menos una de las cartas vaya en el sobre que le corresponde? 17.En una cadena de televisión se hizo una encuesta a 2 500 personas para saber la audiencia de un debate y de una película que se emitieron en horas distintas: 2 100 vieron la película, 1 500 vieron el debate y 350 no vieron ninguno de los dos programas. Si elegimos al azar a uno de los encuestados: a. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película y el debate? b. ¿Cuál es la probabilidad de que viera la película, sabiendo que no vio el debate? c. Sabiendo que vio la película, ¿cuál es la probabilidad de que viera el debate?
18. Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola. a .¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? b. Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna? 19. Al lanzar dos dados ¿Cuál ¿Cuál será la probabilidad probabilidad de obtener 3 como diferencia de los resultados en los dados? 20.Se lanzan 5 monedas al mismo tiempo sobre una superficie lisa .¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 caras y 2 sellos? 21. En una caja hay 30 fichas numeradas, todas del mismo tamaño y forma. Si se extrae una ficha al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ésta sea múltiplo de 3 ó de 5?
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22. En una reunión hay 10 hombres y 8 mujeres. Si se eligen 3 personas al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres? 23. Un grupo de 12 amigas, entre las cuales se encuentran Juana y María, se van de excursión. Si se decide formar un grupo de 5 personas. Calcule la probabilidad de que en dicho grupo siempre estén Juana y María. 24. En una canasta hay 4 duraznos,6 manzanas ,5 naranjas y 3 peras. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir 4 frutas al azar resulten ser del mismo tipo? 25. Se colocan aleatoriamente aleatoriamente 6 obras obras en un mismo estante entre las cuales hay una una obra de 4 tomos, otra de 3 tomos, otro de 2 tomos y las restantes de un solo tomo cada una. ¿Cuál es la probabilidad de que los tomos de cada obra estén juntos?(Obs: todos los tomos son de diferente tamaño) 26. En una compañía hay 6 varones y 4 damas que aspiran a ser miembros de un comité. Si se debe escoger 2 miembros al azar escribiendo sus nombres en hojas de papel y sacándolos de una urna. a) ¿Cuál es la probabilidad que los dos sean varones? b) ¿Cuál es la probabilidad que sea un varón y una mujer? 27. De 150 pacientes examinados en una clínica, se encontró que 90 tenían enfermedades cardiacas 50 tenían diabetes y 30 tenían ambos padecimientos. ¿Cuál es la probabilidad de que los pacientes tengan uno u otro de los padecimientos? 28. En cierta ciudad, la probabilidad probabilidad de que una una familia tenga televisor es 0.85, un equipo de sonido 0.60 y que tengan ambos es 0.50. ¿Cuál es la probabilidad que una familia tenga al menos uno de estos artefactos? 29. Un comerciante tiene tiene 12 unidades de cierto artículo artículo de los cuales 4 tienen algún tipo de defecto. Un cliente muy exigente quiere comprar 3 de tales artículos; pero le explica al comerciante que si alguno contiene defectos devolverá la compra pedirá la devolución de su dinero. Si el comerciante escoge al azar y a la vez 4 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que con esos 4 artículos pueda atender satisfactoriamente al cliente? 30. De un grupo de personas, el 30% practica fútbol y el 40% juega ajedrez. De los futbolistas el 50% juega ajedrez. Si se elige aleatoriamente una persona. ¿Cuál es la probabilidad que: a) Juega fútbol o ajedrez. ajedrez. b) Practica sólo uno de estos deportes.
MEDICINA HUMANA HUMANA -2012 I 31. Una compañía de desarrollo Urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de Chiclayo. Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista autopista que une este sector con el centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la compañía construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de sólo 0.20. Basándose en la información disponible, el presidente de la compañía estima que hay una probabilidad probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada. a) ¿Cuál es la probabilidad que la compañía construya el centro comercial? b) Dado que el centro comercial fue construido. ¿Cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada? 32. En una elección el 55% de los votantes están registrados como independientes y el 45% están registrados como gobiernistas. Existen dos candidatos a la alcaldía, un independiente independiente y un gobiernista. En la elección, el 80% de los independientes independientes y el 10% de los gobiernistas votaron por el independiente; el 20% de los independientes y el 90% de los gobiernistas votaron por el gobiernista. Si se selecciona un votante al azar. ¿Cuál es la probabilidad que haya votado por el gobiernista? 33. La probabilidad que la construcción de un edificio termine a tiempo es 17/20, la probabilidad que no haya haya huelga es 3/4, y la probabilidad probabilidad que la construcción se termine a tiempo dado que no hubo huelga es 14/15; la probabilidad que haya huelga y no se termine la construcción a tiempo es 1/10 ¿cuál es la probabilidad que?: a) La construcción se termine a tiempo y no haya huelga. b) La construcción no se termine a tiempo si hubo huelga.
34. Un grupo de tres jugadores llegan a una ciudad donde existen 6 hoteles. ¿De cuántas maneras se pueden hospedar, si lo hacen: a) Cada uno en diferentes hoteles. b) Todos en un mismo hotel. 35. La siguiente tabla indica la distribución del tipo sanguíneo por sexo. s exo. Tipo Sanguíneo O A B AB
Varones 0.21 0.215 0.055 0.02
Mujeres 0.21 0.215 0.055 0.02
Si se selecciona s elecciona aleatoriamente aleatoriamente a una persona a) ¿Cuál es la probabilidad de tener tipo sanguíneo “O” ó tipo sanguíneo “A”?
b) ¿Cuál es la probabilidad de ser varón y tener tipo sanguíneo B? c) ¿Cuál es la probabilidad de elegir un varón, si la persona que se selecciono al azar es alguien de tipo sanguíneo A?
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36. Un club consiste de ciento ciento cincuenta miembros. miembros. Del total, 3/5 son hombres hombres y 2/3 son profesionales. Además, 1/3 de las mujeres son no profesionales. - Si se elige al azar un socio del club: a) Calcular la probabilidad de que sea hombre y profesional. b) Calcular la probabilidad de que sea hombre, dado que es profesional 37. En una caja hay 80 tubos buenos y 20 malos; en un segundo cajón el 30% son malos y en un tercer cajón, el 25% son malos. Se sabe que el número de tubos del tercer cajón es el triple de los que hay en el segundo cajón cajón y además se sabe que el total total de tubos de los tres cajones es 260. Se mezclan los tubos de las tres cajas. a) Al extraer al azar, un tubo; calcule la probabilidad que sea malo si se sabe que pertenece al segundo cajón. b) Al extraer al azar, dos tubos, calcule la probabilidad de que el primero y el segundo sean malos.
38. La siguiente tabla indica los resultados de pruebas de embarazo realizadas a un grupo de mujeres: Resultado de prueba positivo (indica embarazo) 80
Resultado de prueba negativo (no indica embarazo) 5
La mujer está embarazada La mujer no está 3 11 embarazada a) Si se elige aleatoriamente una mujer, encuentre la probabilidad de que su resultado pruebe positivo, ya que está embarazada. b) Calcular la probabilidad de que la mujer que se selecciono esté embarazada, puesto que la prueba indicó negativo. c) ¿Cuál es la probabilidad de que la mujer no está embarazada y la prueba resulte positivo? 39. La fuerza policial está formado de 1200 oficiales, 960 hombres y 240 mujeres. En los últimos dos años fueron ascendidos 324 oficiales. La siguiente tabla muestra el detalle de las promociones de oficiales de hombres hombres y mujeres. Hombres Ascendidos 288 No ascendidos 672 Total 960 Determinar:
Mujeres 36 204 240
Total 324 876 1200
MEDICINA HUMANA HUMANA -2012 I a) La probabilidad de que un oficial seleccionado al azar sea hombre y también que sea ascendido. b) La probabilidad de que un oficial oficial seleccionado al azar sea mujer y también que no sea ascendido. c) La probabilidad de que un oficial sea ascendido, dado que es hombre. d) La probabilidad de que un oficial sea ascendido, dado que es mujer. 40. Determine la probabilidad de que una pareja con tres hijos tenga exactamente dos niñas. Suponga que es igualmente probable dar a luz un niño que una niña y que el género de cualquier hijo no influye en el género del otro
41. Un club consta de 78 personas. De ellos 50 juegan fútbol, 32 basket y 23 voley. Además 6 figuran en los 3 deportes y 10 no practican ningún deporte. Si “x” es el total de personas que practican exact amente un deporte, “y” practican exactamente dos deportes, hallar “x - y”.
42. De B a C hay 6 caminos diferentes y de C a D hay 4 caminos diferentes. ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de B a D pasando por C? 43. ¿De cuántas maneras diferentes 3 peruanos, 2 argentinos y 5 franceses pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? 44. Seis jóvenes forman cola en la ventanilla de la secretaría de la facultad de cierta Universidad. a) ¿De cuántas maneras pueden hacer la cola, si el más alto y el más bajo deben estar en extremos opuestos? b) ¿De cuántas maneras si el más alto y el más bajo no deben estar juntos? 45. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra PROBLEMAS de manera que empiece en una vocal y termine en una consonante?. (Las palabras no necesitan tener significado) 46. En una compañía hay 7 mujeres y 5 varones que aspiran a ser miembros de un comité. Si se deben escoger 3 al azar escribiendo los nombres en hojas de papel y sacándolos de una urna. a) ¿Cuál es la probabilidad que los tres sean varones? b) ¿Cuál es la probabilidad que 2 sean varones y 1 sea mujer? 47. En una encuesta entre alumnos de maestría en Biología Molecular se obtuvieron los datos siguientes acerca de “El principal motivo del alumno para solicitar su ingreso a la escuela donde está matriculado”
MEDICINA HUMANA HUMANA -2012 I a) Si el alumno es de tiempo completo, ¿cuál es la probabilidad de que la calidad de la institución sea el principal motivo para elegir su escuela? b) Si el alumno es de tiempo parcial, ¿cuál es la probabilidad de que el costo o comodidad sea el principal motivo para elegir su escuela? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar sea a tiempo completo? d) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno seleccionado al azar sea a tiempo completo y el motivo de su solicitud de ingreso a la escuela sea otros 48. De un grupo de 5 profesores, 8 ingenieros y 6 médicos, se desea escoger un comité de 14 miembros de modo que se incluyan 4 profesores, 6 ingenieros y 4 médicos. ¿De cuántas maneras puede hacerse esto? 49. Diez libros diferentes se colocan aleatoriamente en un estante. Determinar la probabilidad que tres libros determinados, sean colocados juntos. 50. En una Universidad el 70% de los estudiantes son de ciencias y el 30% de letras; de los estudiantes de ciencias el 60% son varones y los de letras son varones el 40%. Si se elige aleatoriamente un estudiante, calcular la probabilidad que: Tipo de Estudiante Tiempo Completo Tiempo Parcial Total
Calidad de la Institución 421 400 821
Costo o Comodidad 393 593 986
Otros Total 76 46 122
890 1039 1929
a) Sea un estudiante varón. b) Sea un estudiante varón, si es de ciencias. c) Sea un estudiante de ciencias, si es varón 51. En una facultad el 25% de los estudiantes desaprobaron química, el 35% desaprobaron física y el 10% 10% desaprobaron desaprobaron las dos materias. Se selecciona un estudiante al azar: a) Si desaprobó química, ¿cuál es la probabilidad de que desaprobara física? b) Si desaprobó física, ¿cuál es la probabilidad de que desaprobara química? 9. Supongamos que la ciudad de Lima está formada por 60% de mujeres y 40% de hombres. Si el 50% de las mujeres y el 30% de los hombres fuman y se elige una persona al azar, entonces, determinar la probabilidad que la persona elegida sea fumador. 52. En un laboratorio hay 3 jaulas. En la jaula I hay 2 conejos pardos y 3 blancos, la jaula II tiene 4 conejos pardos y 2 blancos y la jaula III contiene 5 conejos pardos y 5 blancos. Se selecciona al azar una jaula y se saca un conejo al azar de esta jaula. ¿Cuál es la probabilidad de que el conejo escogido sea blanco?
MEDICINA HUMANA HUMANA -2012 I 53. En un ómnibus que posee 37 asientos (en ocho filas de cuatro asientos cada uno con un pasillo en el medio, y al final 5 asientos juntos), se debe ubicar 25 pasajeros. a) ¿De cuántas formas se puede ubicar? b) ¿De cuántas formas se pueden ubicar, si viajan cinco amigos que deciden viajar juntos en los últimos asientos? 54. Una señora tiene 3 frutas: manzana, fresa y piña, ¿cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar preparar con estas frutas? frutas? 55. Tenemos una urna con 7 bolas numeradas y se quiere saber de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 2. 56 Una compañía desea ascender a 3 de sus 10 gerentes a posiciones de vice presidente de ventas, de manufacturas y de finanzas. Hallar el número de formas distintas de efectuar los ascensos. 57. ¿Cuántos números pares pares de tres dígitos se pueden formar con los dígitos 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9 si cada dígito puede emplearse una sola vez? 58. Hallar el número de maneras como se puede colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual tamaño estén juntas. 59. ¿Cuántos partidos de fútbol se juega en el campeonato descentralizado descentralizado de fútbol en una rueda, en la que participan 16 equipos? 60. Tres viajeros llegan a una ciudad en la que hay 6 hoteles. ¿De cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos, debiendo estar cada uno en un hotel diferente? 61. ¿De cuántas maneras se pueden ubicar a 4 parejas de esposos en una mesa circular para jugar casino, si estas parejas juegan siempre juntas? 62. ¿Cuántos números de 5 cifras son tales que el producto de sus cifras no es un valor impar? 63. ¿cuántos números de 3 cifras existen en los cuales una cifra se repite 2 veces solamente? 64. En un corral hay 10 jaulas diferentes, se han comprado 10 aves: 3 gallinas,4 pavos y 3 patos. ¿De cuántas maneras distintas se puede colocar un ave en una jaula, de modo que se diferencien en su especie? . 65.¿De cuántas maneras diferentes se puede permutar 2 bolas rojas ,3 bolas verdes y 9 bolas azules. Las bolas rojas se ubican en los extremo s?
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FECHA UNICA DE PRESENTACIÓN: 9 DE MAYO DEL 2012
