Facultad de Ingeniería y Ciencia Básicas Probabilidad Modalidad Virtual Parte 1: Utilice los datos de la siguiente Base de datos https://goo.gl/AuqqXe , dentro de esta ubique la hoja de cálculo llamada BaseDatos1 que muestra el resultado de una encuesta en cierta ciudad. Responda a las siguientes preguntas (justifique su respuesta) a) Si selecciona al azar a uno de los encuestados de esta ciudad, calcule la probabilidad de que sea un hombre o sea una persona de Valencia. Solución De acuerdo a la base de datos tenemos: El total de personas encuestadas 𝑁 = 122 De los encuestados los que son hombre 𝐻 = 67 Los que son pobladores de Valencia 𝑉 = 20 Aplicando la fórmula de sucesos compatibles, es: 𝑃(𝐻 ∪ 𝑉) = 𝑃(𝐻) + 𝑃(𝑉) − 𝑃(𝐻 ∩ 𝑉) Hallamos el valor de 𝑃(𝐻 ∩ 𝑉), de acuerdo a la información tenemos: 67
La probabilidad que los encuestados sean hombres 𝑃(𝐻) = 122
La probabilidad que los encuestados sean de Valencia 𝑃(𝑉) = 122
20
𝑃(𝐻 ∩ 𝑉) = 𝑃(𝐻) ∙ 𝑃(𝑉) 67 20 𝑃(𝐻 ∩ 𝑉) = ∙ 122 122 1340 𝑃(𝐻 ∩ 𝑉) = 14884 335 𝑃(𝐻 ∩ 𝑉) = 3721 Ahora, para determinar la probabilidad que al escoger uno de los encuestados en esa ciudad sea hombre o de Valencia es: 𝑃(𝐻 ∪ 𝑉) = 𝑃(𝐻) + 𝑃(𝑉) − 𝑃(𝐻 ∩ 𝑉) 67 20 335 𝑃(𝐻 ∪ 𝑉) = + − 122 122 3721 𝟒𝟔𝟑𝟕 𝑷(𝑯 ∪ 𝑽) = 𝟕𝟒𝟒𝟐 𝑷(𝑯 ∪ 𝑽) = 𝟎, 𝟔𝟐𝟑𝟏 𝑷(𝑯 ∪ 𝑽) = 𝟔𝟐, 𝟑𝟏%
b) Si selecciona al azar a uno de los encuestados de esta ciudad. Calcule la probabilidad de que sea una mujer o una persona que no esté desempleada. Solución De acuerdo a la base de datos tenemos: El total de personas encuestadas 𝑁 = 122 De los encuestados los que son mujer 𝑀 = 55 Los que no están desempleados 𝑁𝑜𝐷 = 96 Aplicando la fórmula de sucesos compatibles, es: 𝑃(𝑀 ∪ 𝑁𝑜𝐷) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝑁𝑜𝐷) − 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁𝑜𝐷) Hallamos el valor de 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁𝑜𝐷), de acuerdo a la información tenemos: 55
La probabilidad que los encuestados sean hombres 𝑃(𝑀) = 122
La probabilidad que los encuestados sean de Valencia 𝑃(𝑁𝑜𝐷) = 122
96
𝑃(𝑀 ∩ 𝑁𝑜𝐷) = 𝑃(𝑀) ∙ 𝑃(𝑁𝑜𝐷) 55 96 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁𝑜𝐷) = ∙ 122 122 5280 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁𝑜𝐷) = 14884 1320 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁𝑜𝐷) = 3721 Ahora, para determinar la probabilidad que al escoger uno de los encuestados en esa ciudad sea mujer o una persona que no está desempleada, es: 𝑃(𝑀 ∪ 𝑁𝑜𝐷) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝑁𝑜𝐷) − 𝑃(𝑀 ∩ 𝑁𝑜𝐷) 55 96 1320 𝑃(𝑀 ∪ 𝑁𝑜𝐷) = + − 122 122 3721 𝟔𝟓𝟕𝟏 𝑷(𝑴 ∪ 𝑵𝒐𝑫) = 𝟕𝟒𝟒𝟐 𝑷(𝑴 ∪ 𝑵𝒐𝑫) = 𝟎, 𝟖𝟖𝟑𝟎 𝑷(𝑴 ∪ 𝑵𝒐𝑫) = 𝟖𝟖, 𝟑% c) Si selecciona al azar a uno de los encuestados de esta ciudad. Calcule la probabilidad de que sea una persona soltera/a y con una altura entre 1,60 y 1,75 Solución De acuerdo a la base de datos tenemos: El total de personas encuestadas 𝑁 = 122 La cantidad de personas que sea una persona soltera/o 𝑆 = 25 Personas que tiene una estatura entre 1,60 y 1,75 𝐸 = 53 Aplicando la fórmula de sucesos dependientes, es: 𝑃(𝑆 ∩ 𝐸) = 𝑃(𝑆) ∙ 𝑃(𝐸/𝑆)
Hallamos el valor de 𝑃(𝐸/𝑆) de acuerdo a la información tenemos: 25
La probabilidad que los encuestados sean hombres 𝑃(𝑆) = 122
La probabilidad que los encuestados sean de Valencia 𝑃(𝐸) = 122
53
𝑃(𝑆 ∩ 𝐸) 𝑃(𝑆) 𝑃(𝑆 ∩ 𝐸) = 𝑃(𝑆) ∙ 𝑃(𝐸) 25 53 𝑃(𝑆 ∩ 𝐸) = ∙ 122 122 1325 𝑃(𝑆 ∩ 𝐸) = 14884 𝑃(𝐸/𝑆) =
𝑃(𝑆 ∩ 𝐸) 𝑃(𝑆) 1325 14884 𝑃(𝐸/𝑆) = 25 122 𝟓𝟑 𝑷(𝑬/𝑺) = 𝟏𝟐𝟐 Teniendo en cuenta el resultado tenemos, que la probabilidad de que la persona escogida sea soltero/a y presente una estatura entre 1,60 y 1,75 es: 𝑃(𝐸/𝑆) =
𝑃(𝑆 ∩ 𝐸) = 𝑃(𝑆) ∙ 𝑃(𝐸/𝑆) 25 53 𝑃(𝑆 ∩ 𝐸) = ∙ 122 122 𝟏𝟑𝟐𝟓 𝑷(𝑺 ∩ 𝑬) = 𝟏𝟒𝟖𝟖𝟒 𝑷(𝑺 ∩ 𝑬) = 𝟎, 𝟎𝟖𝟗 𝑷(𝑺 ∩ 𝑬) = 𝟖, 𝟗% d) Se van a elegir a un presidente(a) y a un tesorero(a) del grupo de encuestados cuya lengua usual es el catalán y francés. ¿Cuántas opciones diferentes de funcionarios son posibles si Solución Como se tiene en cuenta los datos de la base de datos, donde: De los encuestados la lengua usual es catalán 𝐶 = 69 Aquellos encuestados que la lengua es francés 𝐹 = 4 El total de personas encuestadas que cumplen las condiciones son 73 ● no hay restricciones. Como son dos cargos tanto de presidente y tesorero, no hay restricciones entonces. 73 ∙ 73 = 𝟓𝟑𝟐𝟗 son posibles 5329 formas que se pueden 73 73 Acomodar entre los 73personas que cumplen lo solicitado Presidente Tesorero
● A participará sólo si él es el presidente. 𝑛!
Aplicamos la fórmula de permutaciones, la cual establece 𝑛𝑃𝑟 = (𝑛−𝑟)! 𝑛! (𝑛 − 𝑟)! 73! 73𝑃2 = (73 − 2)! 73 ∙ 72 ∙ 71! 73𝑃2 = 71! 73𝑃2 = 73 ∙ 72 73𝑃2 = 𝟓𝟐𝟓𝟔 Son posible 5256 formas de elegir los cargos de funcionarios con las 73 personas que cumplen el requisito e hicieron parte de la encuesta de la base de datos. 𝑛𝑃𝑟 =
● B y C participarán juntos o no lo harán. Aplicamos la fórmula de las combinaciones sin repetición, tenemos. 𝑛! 𝑛𝐶𝑟 = 𝑟! (𝑛 − 𝑟)! 73! 73𝐶2 = 2! (73 − 2)! 73! 73𝐶2 = 2! ∙ 71! 73 ∙ 72 ∙ 71! 73𝐶2 = 2! ∙ 71! 73 ∙ 72 73𝐶2 = 2∙1∙1 5256 73𝐶2 = 2 𝟕𝟑𝑪𝟐 = 𝟐𝟔𝟐𝟖 Si B y C participaran juntos o no lo harán, son posible formar la asociación de 2628 manera distintas ● D y E no participarán juntos. Aplicamos la fórmula de las combinaciones con repetición, tenemos. (𝑚 + 𝑛 − 1)! 𝑚𝐶𝑛 = 𝑛! (𝑚 − 1)! (73 + 2 − 1)! 73𝐶2 = 2! (73 − 1)! 74! 73𝐶2 = 2! ∙ 72! 74 ∙ 73 ∙ 72! 73𝐶2 = 2! ∙ 72! 74 ∙ 73 73𝐶2 = 2∙1∙1 5402 73𝐶2 = 2 𝟕𝟑𝑪𝟐 = 𝟐𝟕𝟎𝟏 Si D y E no participaran juntos se es posible elegir un presidente y un tesorero de 2701 formas distintas.
