Trabajo Grupal Algebra Lineal Terminado Politecnico

FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS BÁSICAS

PROYECTO GRUPAL

Institución Universitaria Politécnico Grancolombiano

PROYECTO GRUPAL INTRODUCCIÓN ALGEBRA LIENEAL

TALLER

INSTITUCION UNIVERSITARIA POLITECNICO GRANCOLOMBIANO FACULTAD DE INGENIERIA Y CIENCIAS BÁSICAS INGENIERIA INDUSTRIAL 2017

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PROYECTO GRUPAL


CONTENIDO INTRODUCCIÓN ...................................................................................................................... 3

1.

1.1.

OBJETIVO PRINCIPAL .................................................................................................... 4

1.2.

OBJETIVOS SECUNDARIOS........................................................................................... 4

1.3.

CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES A REALIZAR ..................................................... 4

2. SOLUCIÓN PUNTO 1 LITERAL a. DEL TRABAJO GRUPAL ............. ¡Error! Marcador no definido. 2.1. SOLUCÓN PUNTO # 1 LITERAL b. DEL TRABAJO GRUPAL .... ¡Error! Marcador no definido. 2.2. SOLUCIÓN PUNTO #1 LITERAL c. DEL TRABAJO GRUPAL .... ¡Error! Marcador no definido.

4.

2.2.1.

SOLUCIÓN DEL PUNTO # 1 EJERCICIO # 2. ............. ¡Error! Marcador no definido.

3.

SOLUCIÓN DE LA ACTIVIDAD 2 .............................. ¡Error! Marcador no definido. BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 24

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PROYECTO GRUPAL


1. INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo se presenta de una manera muy clara conceptos básicos que un estudiante debe poseer para el adecuado estudio del algebra lineal; para la realización del mismo se ha realizado una recopilación de información de un grupo de estudiantes que mediante la incorporación de conceptos claves de cada uno de ellos se ha podido efectuar de una manera clara el trabajo, tratando de presentar los temas con conceptos propios, sacándolos del entendimiento personal y de igual forma guiados por la tutora que nos acompaña durante el desarrollo del trabajo.

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1.1. OBJETIVO PRINCIPAL Conocer los componentes básicos de una matriz y de qué manera interviene cada uno de ellos para el desarrollo efectivo de ejercicios. 1.2. OBJETIVOS SECUNDARIOS  Describir los componentes de una representación matricial mediante gráficos.  Identificar el campo de aplicación de una matriz en una red social.  Identificar las diferentes características de una matriz así mismo el campo de aplicación a temas cotidianos relacionados a la vida social.

1.3. CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES A REALIZAR

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2. SOLUCION PUNTO # 1 LITERAL a. DEL TRABAJO

1. En la siguiente tabla se presenta una representación gráfica de una red social y su respectiva representación matricial, a partir de ella: a. Observe cada representación gráfica con su respectiva representación matricial y enumere por lo menos tres características de cada una. REPRESENTACION DE UNA RED SOCIAL

CARACTERISTICAS DE LA REPRESENTACION GRAFICÁ

1. Dos integrantes del grupo conocen a la misma persona, pero este no los conoce a ellos. 1. El mínimo de relaciones o de seguidores que tiene un solo individuo en la representación gráfica es de dos (2). 2. De los 4 integrantes del grupo cada uno conoce a otra persona. 3. Ninguno de los 4 integrantes del grupo sabe que otra persona los conoce. 4. Cada uno de los individuos tiene relación o siguen a una sola persona. 5. La relación entre cada individuo no es recíproca, es decir un individuo tiene una relación con otra, pero esta no se da de forma inversa.1. El mínimo de relaciones o de seguidores que tiene un solo individuo en la representación gráfica es de dos (2).

CARACTERISTICAS DE LA REPRESENTACION REPRESENTACI MATRICIAL ON MATRICIAL

A C P S

A 0 0 0 1

C 1 0 1 0

“Tabla 1”, Representación Ejercicios # 1

5

P 0 0 0 0

S 0 1 0 0

1. Andrés y pedro conocen a camilo. 2. Camilo conoce a Sofía 3. Sofía conoce a Andrés 4. La representación matricial es simétrica de tamaño 4x4. 5. Cada fila de la matriz tiene máximo un valor 1 en sus casillas. 6. Tanto en las filas como las columnas los integrantes de la red se organizan en el mismo orden. 7. La máxima cantidad de valores de 1 que se presentan en las columnas es de (2) La diagonal trazada de izquierda a derecha está compuesta por ceros, ya que un mismo integrante no se puede


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REPRESENTACION DE UNA RED SOCIAL



1. Dos integrantes del grupo conocen a la misma persona, pero este no los conoce a ellos. 2. Dos integrantes del grupo conocen a la misma persona y este los conoce a ellos. 3. De los 4 integrantes del grupo, dos de ellos no saben que otros integrantes los conocen. 4. La relación entre los individuos puede ser recíproca, es decir se pueden seguir mutuamente. 5. Cada individuo puede tener relación o seguir a todos los integrantes de la red. 6. Cada individuo puede ser seguido por todos los integrantes de la red.

CARACTERISTICAS DE LA REPRESENTACION REPRESENTACI MATRICIAL ON MATRICIAL

D F L P

D 0 1 1 1

F 1 0 0 0


6

L 0 1 0 1

P 1 1 0 0

1. Diana y Felipe conocen a Pablo. 2. Felipe y Pablo conocen a Luisa. 3. Felipe, Luisa y Pablo conocen a Diana. 4. La representación es una matriz simétrica de tamaño 4x4. 5. El orden de los integrantes de la red es exactamente igual en filas y columnas. 6. La máxima cantidad de valores de 1 q se observan en las columnas es de (3), y la mínima es de 1. 7. La diagonal trazada de izquierda a derecha, desde la parte superior hacia la parte inferior está compuesta por cero 8. No es una matriz escalonada. 9. Tenemos 3 elementos de entrada


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REPRESENTACION DE UNA RED SOCIAL



1. Tres de los integrantes del grupo conocen a la misma persona y este los conoce a ellos. 2. Cada integrante del grupo conoce a otro que también lo conoce. 3. De los 5 integrantes del grupo 3 conocen a la misma persona, excepto uno. La relación entre los individuos de la red 1. es recíproca, es decir se siguen mutuamente. 2. Los integrantes de la red como mínimo siguen o se relacionan con una persona. El máximo de los seguidores que tiene uno de los integrantes de la red es de tres.

CARACTERISTICAS DE LA REPRESENTACION REPRESENTACION MATRICIAL MATRICIAL

C L M P R

C 0 0 1 0 0

L 0 0 1 1 1

MP 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0


7

R 0 1 0 1 0

1. Se puede observar y comparar contra la gráfica que hay una inconsistencia, ya que Pablo y Roberto no se conocen pera en la gráfica matricial salen con relación. 2. Carlos y Luis conocen a Martín. 3. Martín, Pablo y Roberto conocen a Luis. 4. La representación es una matriz simétrica de 5x5. 5. El orden de los integrantes de la red es el mismo tanto en columnas como en filas1. La máxima cantidad de valores de 1 observados en las filas es de (3), y la mínima de (1) al igual que en las columnas. Al igual q en los ejemplos anteriores la misma diagonal se compone de ceros


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2.2.1 SOLUCION PUNTO 1 LITERAL b. DEL TRABAJO GRUPAL

b. De las características dadas a cada una de las representaciones anteriores, escriba aquellas que son comunes.

R/ COMUNES DE LA REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE RED SOCIAL. 

Dos integrantes del grupo conocen a la misma persona, pero este no los conoce a ellos.



Dos integrantes del grupo conocen a la misma persona y este los conoce a ellos.



Tres de los integrantes del grupo conocen a la misma persona y este los conoce a ellos.



Los integrantes de la red como mínimo siguen o se relacionan con una persona.



En solo dos de las tres graficas la relación entre los individuos de la red es recíproca.

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COMUNES DE LA REPRESENTACIÓN MATRICIAL.



En las filas se representa la relación que tiene cada persona con la otra como entrada

y en las columnas se representa como salida con quien

hay relación. 

El cero (0) significa no hay relación y el uno (1) que tienen relación acorde a nuestra grafica de red social.



Andrés y pedro conocen a camilo.



Diana y Felipe conocen a Pablo.



Felipe y Pablo conocen a Luisa.



Carlos y Luis conocen a Martín.



Luis y Pablo conocen a Roberto.



Felipe, Luisa y Pablo conocen a Diana.



Martín, Pablo y Roberto conocen a Luis.



Dos de las tres representaciones matricial es simétrica de tamaño 4x4.



El orden de los integrantes de la red es exactamente igual en filas y columnas.



En dos de las tres representaciones la cantidad máxima de valores 1 observados en las filas es de tres y la mínima de 1 al igual q en las columnas.

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


En los tres ejemplos la diagonal que va de izquierda a derecha está compuesta por ceros ya que en ese punto se uno el mismo integrante o individuo y este no se puede seguir así mismo.



Alguna de las características comunes es que todas eran matrices cuadradas aunque no del mismo tamaño, tampoco eran matrices escalonadas, siempre había alguna persona que recibía o enviaba solo uno.

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2.2 SOLUCIÓN PUNTO # 1 LITERAL c. DEL TRABAJO GRUPAL

C. Teniendo en cuenta las características comunes de las representaciones matriciales, escriba el proceso que se debe seguir para elaborar la representación matricial de una red social. 

Primer paso: con base a la red social verificar cuantos integrantes son, tener en cuenta los nombres de los participantes, para ubicar las primeras letras de su nombre en las filas y columnas y que quede exactamente en el mismo orden.



Segundo paso: establecer el tamaño de la gráfica matricial (cuantas filas y columnas requiero).



Tercer paso: ubicar las primeras letras de su nombre en las filas en este se ubican los elementos que dan la entrada y en las columnas que quede exactamente

en

el

mismo

orden donde

ubicaremos

la salida de

la información. 

Cuarto paso: se observan las acciones de cada integrante (con base a la red social) para ser ubicadas en la representación matricial como característica 1 cuando hay relación y 0 cuando no hay relación.



Quinto paso: una vez terminada el resultado de interpretación debe ser el mismo en ambas representaciones.

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2.2.1. SOLUCIÓN AL PUNTO # 1 EJERCICIO # 2



Ejecute el proceso descrito en el literal © del punto anterior, para hallar la representación matricial de la siguiente red:

Pe M Pa C L

Pe 0 0 0 0 0


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M Pa 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

C 1 0 0 0 0

L 0 1 1 1 1



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

SOLUCION DE LA ACTIVIDAD # 2

ACTIVIDAD 2. Aplicaciones del álgebra de matrices en el análisis de redes sociales.



Un módulo virtual lo cursan estudiantes de carreras de ingeniería y administración. Al conformar los grupos de trabajo se identificaron las siguientes relaciones en un grupo:

“Tabla 5”, Representación Ejercicios Actividad # 2

Al sumar las matrices se obtiene información sobre la intensidad de las relaciones entre dos actores; por ejemplo, si en la posición a14 de la matriz resultante de la suma aparece 3,

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esto indica con certeza que entre José y Sara: alguno eligió al otro, son amigos y estudian la misma carrera.

 1

Teniendo en cuenta esta información: Calcule la suma de las matrices de las relaciones elección, son amigos y estudiar la

misma carrera. Nombre la matriz resultante como S. 2

A partir de los resultados obtenidos de la matriz suma S responda:

a)

¿Qué significado tiene los elementos 0,1 y 2 de la matriz S en el contexto de las

relaciones? b)

Enumere tres conclusiones que pueda deducir a partir de los resultados obtenidos

en la matriz suma en el contexto de las relaciones; por ejemplo: El elemento a43 es 1. Esto indica que entre Sara y pablo solo se representa una relación, en este caso “Sara es amiga de pablo” Respuesta:

Matriz S José Luz Pablo Sara

José 0 2 2 2

Luz 3 0 0 2

Pablo 1 1 0 1

Sara 3 3 2 0

“Tabla 6”, Representación Ejercicios Actividad # 2 Literal b.

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2 R/ a) significado de los elementos:

SIGNIFICADO

VALOR 0

No hay interacción y/o relación o se podría deducir que las dos personas en cuestión no se eligieron, no son amigos y tampoco estudian la misma carrera.

1

Al menos uno de los dos eligió al otro, tuvo alguna relación o son amigos o estudian la misma carrera).

2

tuvo 2 relaciones (elección y son amigos, o son amigos y estudiar la misma carrera,o elección y estudiar la misma carrera), Alguna de las dos personas eligió a la otra y además son amigos, aunque no estudien la misma carrera.

3

tuvo las tres relaciones (elección, son amigos y estudiar la misma carrera)

“Tabla 7”, Representación Ejercicios Actividad # 2

R/ b) características encontradas: •

El elemento 1,2 de la matriz amigos indica que necesariamente el elemento 2,1 de la

misma matriz es tiene el mismo valor. Esto quiere decir que solo hay 2 posibilidades, J y L son amigos, o no lo son; pero nunca J será uno amigo de L sin que L sea amiga de J. En este caso existe una relación de correspondencia. •

Las diagonales principales en cada matriz están formadas por ceros, eso quiere decir

que ninguna de las personas puede elegirse a sí misma, ni puede ser amiga de sí misma, y obviamente estudia la misma carrera que sí misma, pues sería inconsistente de no fuera así.

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De esto se concluye que para que exista alguna relación se necesitan al menos dos personas. Si la diagonal principal de la matriz está formada por ceros no existe ninguna relación entre elementos del mismo nombre. •

En la matriz “Elección” el elemento 1,3 es cero, pero es 1 en el elemento 3,1, En

este caso puede existir una relación no recíproca. Dado que solo P elige a J, pero J no elige a P. •

José eligió a Luz y a Sara, son amigos y estudian la misma carrera. Están presentes

en las tres relaciones. José estudia la misma carrera con pablo. •

Luz es amiga de José y estudian la misma carrera. Luz eligió a Sara, son amigos y

estudian la misma carera. Luz eligió a pablo. •

Pablo eligió a José y estudian la misma carrera. Pablo eligió a Sara y son amigos.

•

Sara no tiene relación en la opción de elección. Sara es amiga de José, Luz y Pablo,

pero solo estudia la misma carrera con José y Luz. 

En ocasiones es de interés determinar de cuántas maneras se pueden conectar dos actores a una distancia dada; es decir, cuántos caminos diferentes hay para llegar de un punto A un punto B, definiendo una distancia. La potencia de

Una matriz

𝑛

brinda información sobre la cantidad de caminos de distancia n entre dos

puntos; por ejemplo, sea 𝑹 la matriz asociada a una red social, la matriz 𝑹𝟐 indica la

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cantidad de caminos de distancia dos que existen entre dos actores. Para ello, es necesario tener en cuenta lo siguiente: 

La distancia se refiere a la cantidad de aristas que se debe recorrer para llegar de un punto a otro: por ejemplo:

“Figura 1”



Andrés y Camilo están a una distancia de uno.



Andrés y Pedro están a una distancia de dos.

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


El número de caminos son los recorridos diferentes que se pueden realizar para llegar de un punto a otro. Por ejemplo, en el caso anterior entre Andrés y Camilo hay dos caminos diferentes de distancia

Uno: Andrés Camilo y otro Camilo Andrés.

Teniendo en cuenta la representación matricial de la relación “son amigos” del punto 1, realice lo siguiente: a. La representación gráfica de la matriz.

“Figura 2”

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a. Calcule la matriz potencia A

J L P S

J 0 1 0 1

L 1 0 0 1

A3

P 0 0 0 1

=

S 1 1 1 0

J L P S

A2=

J L P S

J L P 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0

J L P 2 3 1 3 2 1 1 1 0 4 4 3 “Figura 3”

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S 4 4 3 2

S 1 1 0 3


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Interprete los resultados obtenidos en las matrices de las potencias, por ejemplo, piense en:

¿Qué significado tiene los elementos de la matriz A3,

3 José y Pablo están a una distancia de 1 José y Sara están a una distancia de 4 José y José están a una distancia de 2

José y luz están a una distancia de





Luz y José están a una distancia de Luz y Pablo están a una distancia de Luz y Sara están a una distancia de Luz y luz están a una distancia de

3 1 4 2



Pablo y José están a una distancia de Pablo y Luz están a una distancia de Pablo y Sara están a una distancia de Pablo y Pablo están a una distancia de

1 1 3 0

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

Sara y José están a una distancia de Sara y Luz están a una distancia de Sara y Pablo están a una distancia de Sara y Sara están a una distancia de

4 4 3 2

“Tabla 8”Elementos de la Matriz

¿Cómo se relacionan los elementos de esta matriz con la representación gráfica de la relación “son amigos”?

José vs José, 

José vs Luz,  

Luz

Jose

Sara

Jose

Jose

Luz

Jose Jose

Sara Sara

José vs Pablo,

Luz Pablo Sara

Jose

Sara

Jose

Luz

Sara

Sara



Jose Jose

Pablo Sara



Luz vs José,

José vs Sara



Sara

Luz

Pablo

Sara Pablo Sara

Luz

Luz

Jose

Luz vs José, Luz Luz

Sara Sara

21

Luz

Jose

Jose Pablo

Sara

Jose



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Luz vs Luz  

Luz vs Pablo,

 

Jose

Luz

Jose

Sara

Sara

Pablo

Luz vs Sara Luz

Jose

Sara

Luz Luz

Sara

Pablo Jose

Sara

Pablo vs José Sara Pablo vs Luz,

Pablo

Sara Sara

Luz

Pablo

Sara

Jose

Jose

Luz

Pablo vs Pablo; no se puede devolver

Pablo vs Sara



Sara vs Sara



Sara vs Luz



Luz

Luz

 

Sara

Pablo

Sara

Jose

Pablo

Sara

Luz

Pablo

Sara

Jose

Sara

Luz

Sara

Sara Sara Sara

Pablo Jose

Sara

Sara

Luz

Sara Sara Sara

Jose Pablo

Sara Luz

Jose

Sara

Sara

Pablo

Luz Jose

Luz

Luz Sara Sara

Pablo

22

Sara



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Sara vs Pablo

 Sara vs Sara



Sara

Pablo

Sara

Luz

Jose

Sara

Pablo

Sara

Jose

Luz

Sara

Pablo

Sara

Jose

Luz

Sara

Sara

Pablo

Sara

“Tabla 9”Representacion grafica Elementos de la Matriz

d. En el análisis de redes sociales se afirma que los actores que están próximos a muchos otros pueden ser capaces de ejercer más poder que aquellos que están más distantes y el tener múltiples conexiones puede indicar una conexión más fuerte entre actores. De acuerdo a lo anterior y a partir de los resultados obtenidos en los ítems anteriores, ¿quién de los actores (José, Luz, Pablo, Sara) tiene más poder sobre la red social?

R/: SARA, porque es el eje de la red social, y puesto que es la única que tiene relación con todos los actores del conjunto. Entre más conexiones múltiples y más próximas, es como si fuera el administrador de la red, ella se comunica con todos.

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BIBLIOGRAFÍA

1. Hugo Eduardo Ramírez -Sistemas de ecuaciones y matrices, Lectura 1 (2017), Consultado el

día

25

de

Julio

de

2017

de

la

world

wide

web:

https://poli.instructure.com/courses/1046/files/63665?module_item_id=64240

2. Hugo Eduardo Ramírez -Operaciones con matricez Lectura 2 (2017), Consultado el dia 25 de

Julio

de

2017,

de

la

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web

wide:

https://poli.instructure.com/courses/1046/files/63666?module_item_id=64242 3. Hugo Eduardo Ramírez- Determinantes Lectura 3 (2017), Consultado el dia 26 de Julio de 2017,

de

la

world

web

https://poli.instructure.com/courses/1046/files/63664?module_item_id=64246 4.

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wide:

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