CAPÍTULO 2 Método de análisis de fuerza o de flexibilidad
2.1
INTRODUCCIÓN. Este es uno de los métodos básicos del análisis de estructuras. En este capítulo nos
proponemos describir el procedimiento y, después, formular la generalización generalización del método para analizar estructuras reticulares estáticamente indeterminadas.
DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO 1. Antes que todo, se determina el grado de indeterminación estática. Liego se introduce un número de liberaciones igual al grado de indeterminación, efectuándose cada liberación eliminando una fuera externa o interna. Las liberaciones se deben seleccionar de manera que la estructura restante sea estable y estáticamente determinada. Sin embargo, en algunos casos el número de liberaciones puede ser menor que el grado de indeterminación, siempre que la estructura estáticamente indeterminada restante sea tan sencilla que se pueda analizar fácilmente. En todos los casos, las fuerzas liberadas, que también se llaman fuerzas redundantes , se deben escoger cuidadosamente para que la estructura liberada se pueda analizar con facilidad. 2. Las liberaciones introducen incongruencias en desplazamientos y como segundo paso se determinan estas incongruencias o “errores” en la estructura liberada. En otras palabras, calculamos la magnitud de los errores en los desplazamientos que corresponden a las fuerzas redundantes. Estos desplazamientos de pueden deber a cargas externas aplicadas, asentamiento de los apoyos o variación de temperatura. 3. El tercer paso consiste en una determinación de los desplazamientos en la estructura liberada debidos a valores unitarios de las redundantes. Estos Estos desplazamientos se necesitan en el mismo lugar y en la misma dirección que los desplazamientos calculados en el paso dos.
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4. Ahora se determinan los valores de las las fuerzas redundantes necesarias para eliminar los errores en los desplazamientos. Esto exige escribir ecuaciones de superposición en las que se suman los efectos de las fuerzas redundantes separadas a los desplazamientos de la estructura liberada. 5. En consecuencia, encontramos las fuerzas que actúan sobre la estructura indeterminada original: Conocidas las fuerzas redundantes, la estructura se puede resolver por simple estática.
Nomenclatura. i : coordenada, número asociado a una redundante D0i : Desplazamiento en la coordenada i, en la estructura liberada X i i : redundante en la coordenada i D ij ij : desplazamiento producido por la redundante Xj, en la coordenada i cuando solo actúa Xj. Si X j = 1, entonces D ij ij se conoce coeficiente de flexibilidad f ij ij Ejemplo 2.1. La viga ABC empotrada en C, C, descansa sobre apoyos de rodillo rodillo en A y B, y soporta una carga uniforme q por unidad de longitud. La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI. Encontrar los diagramas de de fuerza cortante y momento flector. q por unidad de longitud A
B L
C L
a) viga continua considerada en el ejemplo X2, D2 X1, D1 b) Estructura primaria y sistema coordenado
D01
c) Carga externa sobre la estructura liberada
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D02
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4. Ahora se determinan los valores de las las fuerzas redundantes necesarias para eliminar los errores en los desplazamientos. Esto exige escribir ecuaciones de superposición en las que se suman los efectos de las fuerzas redundantes separadas a los desplazamientos de la estructura liberada. 5. En consecuencia, encontramos las fuerzas que actúan sobre la estructura indeterminada original: Conocidas las fuerzas redundantes, la estructura se puede resolver por simple estática.
Nomenclatura. i : coordenada, número asociado a una redundante D0i : Desplazamiento en la coordenada i, en la estructura liberada X i i : redundante en la coordenada i D ij ij : desplazamiento producido por la redundante Xj, en la coordenada i cuando solo actúa Xj. Si X j = 1, entonces D ij ij se conoce coeficiente de flexibilidad f ij ij Ejemplo 2.1. La viga ABC empotrada en C, C, descansa sobre apoyos de rodillo rodillo en A y B, y soporta una carga uniforme q por unidad de longitud. La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI. Encontrar los diagramas de de fuerza cortante y momento flector. q por unidad de longitud A
B L
C L
a) viga continua considerada en el ejemplo X2, D2 X1, D1 b) Estructura primaria y sistema coordenado
D01
c) Carga externa sobre la estructura liberada
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f 11 11
f 21 21
X1 = 1 d) X1 =1 X2 = 1 f 12 12
f 22 22
e) X2 = 1
f) Fuerzas redundantes
La estructura es estáticamente indeterminada en segundo grado, por lo que se deben eliminar dos fuerzas redundantes. Son posibles varias opciones, por ejemplo, el momento y la reacción vertical en C, o las reacciones verticales en A y B. Para los propósitos de este ejemplo, eliminaremos la reacción vertical en B y el momento en C. Entonces la estructura liberada es una viga simple AC con las fuerzas redundantes y los desplazamientos que se muestrean en la figura b). A la ubicación y dirección de las diversas fuerzas redundantes y los desplazamientos se hace referencia como sistema coordenado.
Las direcciones positivas de las fuerzas redundantes X 1 y X 2 2 se eligen arbitrariamente pero las direcciones positivas de los desplazamientos en el mismo lugar deben coincidir con los de las fuerzas redundantes. Las flechas de la figura b) indican las direcciones positivas seleccionadas en el presente caso y, como las flechas representan fuerzas así como desplazamientos, es conveniente en un caso general identificar las coordenadas por medio de los números 1, 2, .. i, … n .
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Siguiendo este sistema, la figura c) muestra los desplazamientos en B y C como D 01 y D 02 respectivamente. De hecho, como se ilustra en la figura a) los desplazamien-
tos reales en estos puntos tienen valor cero, de modo que D 01 y D 02 representan las incongruencias en deformación La magnitud de D 01 y D 02 se puede calcular por el comportamiento de la viga simplemente apoyada de la figura c) (estructura liberada). Para el objeto del presente ejemplo, podemos usar tablas. Por lo tanto:
Los signos negativos indican que los desplazamientos son en direcciones opuestas a las direcciones positivas elegidas en la figura b) Los desplazamientos debidos a valores unitarios de las redundantes se muestran en las figuras d) y e). Estos desplazamientos son como sigue (según tablas)
El coeficiente general f ij representa el desplazamiento en la coordenada i debido a una redundante unitaria en la coordenada j
Ecuaciones de compatibilidad . Las relaciones geométricas expresan el hecho de que la traslación vertical en B y la rotación en C desaparecen. Los desplazamientos finales son el resultado de la superposición del efecto de la carga externa y de las fuerzas redundantes sobre la estructura liberada. Por lo tanto las relaciones geométricas de pueden expresar como
(2.1)
Matriz de flexibilidad Las relaciones de la ecuación 2.1 se pueden escribir en forma de matriz {D0} + [f]{X} = 0 (2.2) Donde Apuntes del curso análisis Estructural (2012-I)
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El vector columna {D0} depende de la carga externa
y
Los elementos de la matriz [f] son los desplazamientos debido a los valores unitarios de las redundantes. Por lo tanto depende de las propiedades de la estructura y representa la flexibilidad de la estructura liberada. Por esta razón [f] se llama matriz de flexibilidad y sus elementos se denominan coeficientes de influencia de flexibilidad . Los elementos del vector {X} son las fuerzas redundantes que se pueden obtener resolviendo la ecuación 2.2; entonces {X} = [f] -1{-D 0 }
(2.3)
En el ejemplo considerado, la matriz de flexibilidad y su inversa son:
y
El vector desplazamiento es
Sustituyendo en la ecuación 3.3 o resolviendo la ecuación 2,2 obtenemos
Por lo tanto las fuerzas redundantes son
El sino positivo indica que las fuerzas redundantes actúan en las direcciones positivas seleccionadas de la figura b Las fuerzas finales que actúan sobre la estructura se ilustran en la figura f) y cualquier fuerza interna
y/o reacción se pueden determinar por los métodos ordinarios de
la estática Las reacciones y las fuerzas internas también se pueden calcular usando el principio de superposición: Sumando el efecto de las cargas externas sobre la estructura liberada y el efecto de las fuerzas redundantes.
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Ai
=
Asi
+ ( Aui1 X 1 + Aui2 X 2 + ….. + Auin X n)
(2.4)
Donde Ai : Cualquier acción i , que es reacción en un apoyo, fuerza cortante, fuerza axial, mo-
mento de torsión o momento de flexión en una sección de la estructura real Asi : La misma acción que Ai pero en la estructura liberada sometida a las cargas exter-
nas Aui1, Aui2 ,. Auin : La acción correspondiente debida a una fuerza unitaria que actúa sola
sobre la estructura liberada en la coordenada 1, 2, … n respectivamente X 1, X 2, ….. X n fuerzas redundantes que actúan sobre la estructura liberada
El término entre paréntesis de la ecuación 2.4 representa la acción de todas las fuerzas redundantes aplicadas simultáneamente a la estructura liberada. Generalmente se necesitan varias reacciones y fuerzas internas. Estas se pueden obtenerse con ecuaciones similares a la ecuación 2.4. Si el número de acciones es m , el sistema de ecuaciones que se necesita se puede expresar en forma de matriz
{A}mx1 ={As}mx1 + [Au]mxn{X}nx1
(2-5)
El orden de cada matriz se indica en la ecuación 2.5. Las matrices completas se escriben así
Los elementos de la matriz de flexibilidad no son necesariamente dimensionalmente homogéneos, ya que representan bien una traslación o bien una rotación debidas a una carga o par unitario. Finalmente se presentan los diagramas de fuerza cortante y momento flector.
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2.2 Generalización del método de flexibilidad
Q
X2 , D2
2 X1, D1 1 ΔT
3
X3, D3
Estructura estáticamente indeterminada
Estructura liberada y sistema de coordenadas
Superposición Q f 21
2 D02 1
D01
X1=1
f 11
+ ΔT
ΔT
D03
X1
3
f 31
X2=1
f 12
f 23
f 22
f 13
+
X2 +
X3 f 33
f 32
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X3=1
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Ecuaciones de
compatibilidad.
Las traslaciones en la dirección de las coordenadas son nulas, por lo tanto sumando desplazamientos a lo largo de cada una de las coordenadas debido al efecto de la
* +
carga externa y de las redundantes sobre la estructura obtenemos
En forma matricial de acuerdo con la Ec. 2-2
{D0 } + [f]{X} = 0
Propiedades de la matriz de flexibilidad [f] 1. La matriz de flexibilidad es una matriz cuadrada simétrica ( f ij = f ji ) 2. Los términos de la diagonal principal f ii de la matriz de flexibilidad son siempre mayores que cero 3. Los elementos de la matriz de flexibilidad no son necesariamente dimensionalmente homogéneos, ya que representan bien una traslación o bien una rotación debidas a una carga unitaria o un par unitario 4. La matriz de flexibilidad es definida positiva (determinante diferente de cero), es decir, su inversa existe. 5. La matriz de flexibilidad es la inversa de la matriz d, y viceversa, siempre que se use el mismo sistema de coordenadas de fuerzas y desplazamientos en la formación de las dos matrices. 6. La matriz de flexibilidad no depende de la solicitación externa (cargas, asentamientos de apoyo, variaciones de temperatura). La matriz de flexibilidad depende las propiedades de la estructura: geometría, material, condiciones de apoyo y de las propiedades de los elementos.
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Ejemplo 2.2 . Determine las reaccione y las fuerzas axiales en las barras de la ar-
madura plana mostrada en la figura. Las áreas de las secciones transversales de las barras, en centímetros cuadrados, se indican dentro de paréntesis. Asuma E = 2.0 x10 5 N/mm2
1. Grado de indeterminación estática, estructura primaria y sistema de coordena- das . La armadura dada, es estáticamente indeterminada en segundo grado. La arma-
dura es tanto externa como internamente indeterminada. Eliminando la reacción horizontal del apoyo D y cortando la barra CE, obtenemos la estructura liberada la misma que se muestra a continuación.
X 2, D 2 X 1, D 1
Estructura liberada y sistema de coordenadas
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2. Superposición
60 E
F
-20
20
Fuerzas en kN D02
-25 20
15
-25 60
40 A
-75
0 60
B
D01 D
C
15
40 E
0
F
0
0
f 21
0
X1
0
0 1
1
A
C
B
E
0
0
f 22
0.60 0
X2
0.60
X2 =1 -0.80
B
D
F
-0.80
1 A
X1=1 f 11
1
1
0 C
f 12 D
3. Ecuaciones de compatibilidad . En la estructura original el desplazamiento hori-
zontal del nudo D y el desplazamiento relativo de los nudos C y E son nulos, por lo tanto igualamos a cero la suma de los desplazamientos a lo largo de cada una de las coordenadas en los diagramas de superposición: Apuntes del curso análisis Estructural (2012-I)
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o en forma matricial
4. Calculo de los coeficientes
virtuales (carga unitaria).
Donde
(1)
. Se calculará por el método de las fuerzas
∑
D j = Desplazamiento a lo largo de la coordenada j (desplazamiento que se necesita
determinar) n : Fuerzas en las barras debido a una carga unitaria en la ubicación y dirección del
desplazamiento que se necesita N : Fuerzas en las barras debido a la carga real E . Módulo de elasticidad
A : Área de la sección transversal de la barra
Para evaluar los desplazamientos
de la estructura liberada es convenien-
te usar una forma tabular, como la que sigue
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Propiedades de la barra Barra Longitud AB BC CD EF EB FC AE BF FD EC
m 4 4 4 4 3 3 5 5 5 5
Area 2
m 1.50E-03 1.50E-03 1.50E-03 1.50E-03 1.00E-03 1.00E-03 2.00E-03 2.00E-03 2.00E-03 2.00E-03
Carga real X1 =1
X2=1
D01
D02
f 11
f 12=f 21
L/EA
N
n1
n2
n1N0L/EA
n2N0L/EA
n1n1L/EA
n1n2L/EA
m/KN 1.33E-05 1.33E-05 1.33E-05 1.33E-05 1.50E-05 1.50E-05 1.25E-05 1.25E-05 1.25E-05 1.25E-05
KN 40 60 60 -20 15 0 -25 -25 -75 0
KN 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
KN 0 -0.8 0 -0.8 -0.6 -0.6 0 1 0 1
m 5.33E-04 8.00E-04 8.00E-04 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
m 0.000 -6.400E-04 0.000 2.133E-04 -1.350E-04 0.000 0.000 -3.125E-04 0.000 0.000
m 1.33E-05 1.33E-05 1.33E-05 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
m 0.000 -1.067E-05 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
TOTAL
2.133E-03
-8.742E-04
4.000E-05
-1.067E-05
La tabla se explica por sí sola, siendo iguales los desplazamientos D 01, D 02 , f 11, f 12 = f 21 y f 22 a la suma de la columna apropiada, por lo tanto, D01 = 2.133 x 10 -3 m D02= -8.742 x 10-4 m f 11 = 4 x 10 -5 f 12 = f 21 = -1.067 x 10 -5 f 22= 5.287 x 10 -5 5. Cálculo de las fuerzas redundantes X 1, X 2.
Matriz de flexibilidad
Y su inversa
De acuerdo con la ecuación Eec.2-2
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Hallamos el valor de las redundantes usando la Ec. 2-3
KN
Los dos elementos del vector columna son la reacción horizontal en el apoyo D y la fuerza axial en la diagonal EC . El signo negativo de X 1 significa que la reacción horizontal del apoyo D está dirigido hacia la izquierda, en sentido opuesto al adoptado en el sistema de coordenadas. 6. Fuerzas finales en las barras . Encontramos las fuerzas finales en las barras usando
la Ec. 2-4 N i = N 0 +n 1X 1 + n 2X 2
Por ejemplo la fuerza axial final en la barra AB es N AB = 40 + 1(-51.71) + (0)(6.100) = -11.71 KN
Las fuerzas finales en las barras se muestran en la última columna de la tabla y también en la figura siguiente 60 E
Fuerzas en kN
F
-24.88
20
6.10 -25
A
11.34
-18.90 3.41
-11.71 B
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-75
3.66 8.29
D C
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Ejemplo 2.3. Analizar el pórtico plano mostrado en la figura y trace los diagramas
de fuerza cortante y momento flector. Para el cálculo de los desplazamientos considere sólo deformaciones por flexión. La rigidez a flexión EI es constante para toda la estructura.
B
C
A
1. Grado de indeterminación estática, estructura liberada y sistema de coordena- das.
El pórtico es estáticamente indeterminado en segundo grado; obtenemos la estructura liberada eliminando el apoyo C . El sistema de coordenadas se muestra en la figura siguiente
X1, D1 X2, D2
Estructura liberada y sistema de coordenadas
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1. superposición 48 kN
48 kN D01 D02
24 kN
24 kN
=
X1=1 f 11
+
f 22
f
X2=1
X1 +
+
f 12
X2
2. Ecuaciones de compatibilidad . En la estructura original los desplazamientos en la
dirección y ubicación de las redundantes son nulas. Así, sumando desplazamientos de la estructura liberada en la dirección de las coordenadas debido a la carga real y
al efecto de las redundantes tenemos:
O en forma matricial
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(1)
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1 5
∫ ∫
3. Calculo de los coeficientes
Donde
. Se calculan por el método del trabajo virtual
m i , m j : momento flector en la estructura liberada debido a las redundantes unitarias M : momento flector en la estructura liberada debido a la carga externa 48 KN
96 KN-m
X1 = 1 24 KN m1
M
6 168 KN.m 4
X2 =1 4
m2
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Apuntes del curso análisis Estructural (2012-I)
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Donde las integrales se extienden a todos los miembros de la estructura. Empleando la técnica de multiplicación de diagramas para hallar las integrales anteriores tenemos.
() ( ) ( ) Matriz de flexibilidad
Y su inversa
4.
Cálculo de las redundantes X 1 y X 2
De acuerdo con la ecuación Eec.2-2
* +
Hallamos el valor de las redundantes usando la Ec. 2-3
KN
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Los elementos del vector columna son los valores de la reacción horizontal y vertical en el apoyo C . El signo negativo en el valor de X 1 significa que la reacción horizontal es hacia la izquierda, es decir en sentido opuesto al indicado en el sistema de coordenadas. 5. Diagramas de fuerza cortante y momento flector
Cálculo de los momentos flectores en los puntos A, B y C y en las secciones donde se aplican las cargas. Usando la Ec. 2-4 tenemos:
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1 8
2.3 Análisis para cargas diferentes Cuando se usa la ecuación 2-3 para encontrar las fuerzas redundantes en una estructura bajo varias cargas diferentes, no es necesario repetir el cálculo de la matriz de flexibilidad (y su inversa). Cuando el número de casos de carga es p , la solución puede obtenerse de una sola ecuación matricial -1
[X]n x p = [f]n x n [-D0 ]n x p
(2-6)
En la que cada columna de [X] y [D 0 ] corresponde a una carga. Las reacciones y las fuerzas de sección en la estructura original se pueden determinar con ecuaciones similares a la ecuación 2-5, es decir, [A]m x p = [As ]m x 1 + [Au ]m x n[X]n x p
(2-7)
2.3.1 Efecto del desplazamiento en los nudos; efectos del ambiente El método de fuerza se puede usar para el análisis de estructuras hiperestáticas sometidas a solicitaciones externas diferentes a las cargas aplicadas, entre estas solicitaciones externas podemos mencionar: Asentamiento de las cimentaciones (apoyos) Cambios de temperatura en los elementos de una estructura Errores de montaje, por ejemplo cuando una barra de una armadura se fabrica más corta o más larga que su longitud teórica
Efecto de contracción en los elementos de concreto al secarse La pre fatiga que se induce en los elementos de concreto preesforzado. En todos estos casos se puede aplicar la ecuación 2-3 para el análisis, siendo los elementos de la matriz D 0 los desplazamientos de la estructura liberada debido al efecto considerado, o a la combinación de los diferentes efectos.
2.3.2 Efecto del desplazamiento en las coordenadas a) El desplazamiento de un apoyo tiene lugar en una de las coordenadas que re- presentan las fuerzas redundantes , este desplazamiento tiene que considerarse en la Apuntes del curso análisis Estructural (2012-I)
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ecuación de superposición. Por ejemplo si en el pórtico del ejemplo 2.3 suponemos que el apoyo C sufre los desplazamientos (traslaciones) Δ 1 y Δ2 respectivamente en las
mismas direcciones que las fuerzas redundantes X 1 y X2. Las ecuaciones de compatibilidad deben expresar el hecho la suma de los desplazamientos en la dirección de cada
coordenada ya no son nulos sino iguales a los desplazamientos Δ 1 y Δ2
En forma matricial
{D0 } + [f]{X} = { Δ }
Despejando X -1
Δ-D0 } {X} = [f] {
(2-8)
En donde Δ es una matriz del mismo orden que D o. En el caso general cuando el número de fuerzas redundantes es n
b) El desplazamiento del apoyo no coincide con una de las coordenadas , su efecto del movimiento de apoyo se debe incluir en el cálculo de los desplazamientos de la estructura primaria es decir en el cálculo de {D o } La ecuación 2-8 es más general que la ecuación 2-3 y se puede usar para carga externa así como para desplazamientos de apoyos. Cuando el análisis se va a llevar a cabo para p casos de cargas y movimiento de apoyos es conveniente generalizar la ecuación 2-6 en la forma
(2-9)
Ejemplo 2.4. Analizar la viga continua de la figura para: a) Una carga uniformemente distribuida de intensidad q=2 T/m en todos los tramos b) Un movimiento descendente del apoyo A de 1 cm c) Un movimiento descendente del apoyo B de 1 cm. Apuntes del curso análisis Estructural (2012-I)
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2 0
La viga tiene una rigidez constante a la flexión EI; E = 2 000 000 T/m 2; bxh =0.25 m x 0.60 m q = 2 T/m A
B
C
D
E
Solución 1. Grado de indeterminación estática, estructura liberada y sistema de coordena- das
La Viga es estáticamente indeterminada en tercer grado. Obtenemos la estructura liberada introduciendo una articulación sobre cada apoyo interior, es decir, con la eliminación de dos fuerzas (momentos) iguales y opuestas que actúan a cada lado del apoyo. Así la estructura liberada resulta en una serie de vigas simplemente apoyadas (fig.)
Estructura liberada y sistema de coordenadas 2. Superposición
Caso a)
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2 1
X1=1 f 21
f 11
f 31=0 X2=1 f 32
f 22
f 12
X3=1 f 23
f 33
f 13=0
La solución de los tres casos se obtiene mediante la ecuación 2.9 3. Cálculo de los desplazamientos en la estructura liberada(D 0i )
Caso a) Los desplazamientos de la estructura liberada se obtienen de tablas
Caso b)
{}
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2 2
Caso c)
Δ
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2 3
7.714 t-m
7.714 t-m 5.143 t-m 9
9
qL2/8 =9
9
4.018 t-m
0.268 t-m
1.071 t-m 6.428 t-m
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2 4
1.607 t-m
9.107 t-m
Tarea. Analizar el pórtico del ejemplo 2.3, si además de la carga, el apoyo C sufre un asentamiento vertical de 10 mm. Asumir EI constante para todos los miembros. Asumir E = 200 GPa e I=10 -4 m.se asienta ara el pórtico plano ABC del ejemplo 2.3 Desplazamiento debido al movimiento de apoyos
2.3.3 Efecto de variaciones de temperatura
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Ejemplo2.5. Construir los diagramas de momento flector, en el pórtico de la figura, para los siguientes casos a) Una carga uniformemente distribuida de 1t/m en el tramo AB b) Un asentamiento de 10 mm en el apoyo D c) Una variación de temperatura t1=20ºC y t2=50ºC en la cara superior e inferior de la barra BC E=2x106 ton/m2; α=12x10-6/ºC; I = 1.6x10 -3 m4 q= 2 t-/m
8m
8m
1. Grado de indeterminación estática, estructura primaria y sistema de coordenadas. El pórtico plano es estáticamente indeterminado en segundo grado. Obtenemos la estructura liberada eliminando el apoyo E. La estructura liberada y el sistema de coordenadas se muestran en la figura
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X1, D1 X2, D2 Estructura liberada y sistema de coordenadas
2. Superposición q= 4 ton/m
8q
M0
D01
caso b)
D01
D02
D02 ΔD=10 mm
Caso a): carga
Caso b): movimiento de apoyo t1=20ºC t2=50ºC D01 D02 Caso c): Variación de temperatura
4
4
6
+
4 2
m1
X1 f 11
X1 =1 f 21
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+
f 12
8
X2
f 22
m2
X2=1
3. Ecuaciones de compatibilidad
Para cada caso (carga, desplazamiento de apoyo y variación de temperatura), deberá calcularse los desplazamientos, Doi, en la estructura liberada. En forma matricial (1)
Donde cada columna de la matriz Do corresponde a los casos considerados. 4. Calculo de los coeficientes Doi
∫ ∫ ∑ () ∑ ∑
Caso a) Carga aplicada
Caso b) Asentamiento de apoyo
Caso c) Variación de temperatura
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( ) ∫ ( )( )( )( )() ( )( ) ∫ ( )( )( ) ∫ ( )( ) ⁄ ⁄
Por lo tanto, la matriz [D o ] es
5. Cálculo de los coeficientes de flexibilidad fij
Matriz de flexibilidad [f]
y su inversa
6. Calculo de la matriz [x]. Utilizando la Ec. (1)
Reemplazando E e I por sus valores y multiplicando las matrices, obtenemos:
Los elementos en esta matriz corresponden a los casos a), b) y c) y los dos elementos de cada columna son las reacciones en el apoyo E Apuntes del curso análisis Estructural (2012-I)
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7. Diagramas de fuerzas internas. Los diagramas de N, V y M, para cada caso, se muestran a continuación
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Efecto de las cargas
Diagrama de fuerza normal (N)
Diagrama de fuerza cortante (V)
Diagrama de momento flector (M)
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3 1
Efecto de asentamiento de apoyo
Diagrama fuerza normal (N)
Diagrama de fuerza cortante (V)
Diagrama de momento flector (M)
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Efecto de variación de temperatura
Fuerza normal (N)
Fuerza cortante (V)
Momento flector (M) Apuntes del curso análisis Estructural (2012-I)
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2.4 Aprovechamiento de la simetría en el análisis de estructura estáticamente indeterminadas 2.5 Determinación de los desplazamientos en estructuras estáticamente indeterminadas En estructuras estáticamente indeterminadas los desplazamientos se pueden determinar usando el principio de las fuerzas virtuales; para ello será necesario analizar la estructura estáticamente indeterminada debido a las solicitaciones externas y debido a una carga virtual unitaria en la dirección y ubicación del desplazamiento deseado. Significa que para calcular el desplazamiento en una estructura estáticamente indeterminada es necesario calcular dos veces la misma estructura estáticamente indeterminada. La dificultad que representa vencer dos veces la misma estructura estáticamente indeterminada puede evitarse si razonamos de la siguiente manera: Consideremos la estructura estáticamente indeterminada en la cual deseamos calcular el desplazamiento de la coordenada j (figura a). Seleccionemos la estructura liberada y sobre ésta apliquemos las solicitaciones externas y las redundantes Xi (X1, X2, X3). Una vez analizado la estructura estáticamente indeterminada y obtenidos los valores de las redundantes, la estructura de la figura b no se diferencia en nada de la estructura original. Luego, serán iguales los desplazamientos de todos los puntos en las dos estructuras. Así, las redundantes X1, X2 y X3 se pueden considerar como fuerzas dadas. Por lo tanto, es evidente que para calcular el desplazamiento en una estructura estáticamente indeterminada no es necesario calcular dos veces la estructura dada, ya que la carga virtual unitaria se pueda aplicar a la estructura liberada (isostática) (figura c) y usar el procedimiento usual para evaluar el desplazamiento deseado. Q
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