Ingeniería Teleinformática
Física II
Martin Nombera
Pacherre Morales Frank Piscoya Farroñan Pedro
IV
Velocidad de propagación de una onda La velocidad de propagación de una onda depende del medio en el cual se propaga esta. En todo medio homogéneo e isótropo la velocidad de la onda es constante en todas direcciones.
En general, las expresiones para determinar la velocidad de propagación de una perturbación mecánica, depende si el medio es sólido, líquido o gas, pero todas tienen la siguiente forma:
Veamos algunos casos: Velocidad de propagación en sólidos:
E: módulo de Young µ: módulo de rigidez ρ: densidad (kg/m 3) Velocidad de propagación en líquidos:
Q: Módulo de compresibilidad ρ: densidad (kg/m 3)
Velocidad de propagación en gases:
g: coeficiente de dilatación adiabática R: constante universal de los gases T: temperatura en kelvin
M la masa molar del gas (Kg/mol) P: presión del gas en pascal (Pa) ρ: densidad (kg/m 3)
Velocidad de oscilación Es el mínimo lapso que separa dos instantes en los que el sistema se encuentra exactamente en el mismo estado: mismas posiciones, mismas velocidades, mismas amplitudes. Así, el periodo de oscilación de una onda es el tiempo empleado por la misma en completar una longitud de onda. En términos breves es el tiempo que dura un ciclo de la onda en volver a comenzar. Por ejemplo, en una onda, el periodo es el tiempo transcurrido entre dos crestas o valles sucesivos. El periodo es inverso a la frecuencia (f ): Ondas de agua en un plato poco profundo tienen 6 cm de longitud. En un punto, las ondas oscilan hacia arriba y hacia abajo a una razón de 4,8 oscilaciones por segundo. a) ¿Cuál es la rapidez de las ondas?, b) ¿cuál es el periodo de las ondas? Datos: longitud (λ) = 6 cm
frecuencia (f) = 4,8 Hz Fórmula:
Periodo (T) = ¿ Velocidad (V) = ¿ Para calcular la velocidad (V) necesitamos conocer la longitud (6 cm) y el periodo (T), ya que la fórmula de V es
y la fórmula para determinar el periodo (T) la obtenemos de
reemplazamos valores y queda
entonces
quedará
Respuestas La rapidez o velocidad de las ondas es de 28,8 cm/s; y el periodo de cada onda es de 0,2083333 seg.
Ecuación de la onda en una dimensión La Ecuación de Onda
La ecuación de onda de una onda plana de propagación en la dirección x es
Donde v es la velocidad de fase de la onda e y representa la variable que cambia al paso de la onda. Esta es la ecuación de onda que aplica a una cuerda estirada o a una onda electromagnética plana. La descripción matemática de una onda, hace uso de las derivadas parciales.
Energía e intensidad de las ondas Se han definido las ondas como un fenómeno de transmisión de energía sin que haya transporte de materia ¿Ahora bien, cuál es la energía que se propaga? Es evidente que la que contiene el foco emisor. Si nos atenemos a alguno de los ejemplos sencillos que se han descrito, ondas sobre una cuerda, sobre la superficie del agua, en ambos casos será la energía del oscilador, siendo la energía del oscilador igual a la energía potencial elástica que será
De tal modo que cuando la masa del punto M que hemos considerado en las ondas, alcanza la elongación máxima , es decir igual a la amplitud, toda su energía será potencial, y cuando pase por las posiciones toda su energía será cinética, es decir, pasará a la velocidad máxima. Pero si queremos determinar el valor de la velocidad en cualquier punto habremos de derivar con relación al tiempo la elongación, es decir, la ecuación de la onda
Dado que el valor máximo de un cos es 1, la velocidad máxima será
De dónde obtenemos que la energía total que se transmite es: o también
Vemos que la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia . En una cuerda en la que se propage una onda sin amortiguamiento, la amplitud se mantiene constante. Esto es debido a que la onda es unidimensional.
Sin embargo, si estudiamos la amplitud de un pulso en la superficie del agua, observamos que va disminuyendo a medida que el círculo que se forma va teniendo un radio mayor, es decir, a medida que se aleja del foco emisor. Si nos alejamos de una fuente sonora, oiremos el sonido cada vez más apagado. La variación de presión que se produce en la fuente sonora se tiene que repartir entre todos los puntos de la superficie de las esferas concéntricas que van recibiendo las variaciones de presión del medio. Llega un momento en que nuestro oído no pèrcibe las señales sonoras que nos llegan. Un lobo si la oiría aún. La percepción de una farola situada en un punto en el campo va disminuyendo hasta que nuestro ojo ya no es capaz de percibir los fotones que le llegan desde esa farola. El número de fotones que parten de la farola es constante, pero deben repartirse entre todos los puntos de superficies esféricas en las cuales nos encontramos. Si nos alejamos, el número de fotones percibidos por nuestro ojo va siendo cada vez menor, hasta que nuestro ojo no percibe la señal luminosa . Sin embargo no debemos confundir la disminución de la amplitud debida a la razón expuesta, con el amortiguamiento que se observa en ocasiones debido a que la energía mecánica se degrada en forma de calor cuando se propaga en medios elásticos. Pero veamos la primera razón de la disminución de la amplitud A cuando la onda se propaga, pues ya hemos considerado que no hay amortiguamiento de las ondas. La disminución de la amplitud se producirá siempre que la onda es bi o tridimensional. Como nuestra percepción también depende de la potencia del foco emisor, tendremos.
Si la onda se propaga en la superficie del agua, esa energía se tendrá que repartir entre todos los puntos que son alcanzados por el pulso al mismo tiempo, es decir la longitud de las circunferencias que van formándose con un radio cada vez mayor. Todos los puntos de esas circunferencias están vibrando en concordancia de fase puesto que la distancia al foco emisor será la misma, es decir, el radio r de cada circunferencia.r. Dado que la vel ocidad de propagación de las ondas en cada punto es perpendicular al frente de ondas formado La potencia en un punto será pues:
En el caso del sonido, si éste se propaga en un medio homogéneo y isotrópico, la onda formada es tridimensional, la energía del foco emisor se distribuye entre todos l os puntos de la superficie de la onda que, por tratarse de esferas concéntricas con el foco emisor, será . Para determinar la potencia en un punto del medio escribiremos:
Si nos encontramos en un punto que nos determina un elemento de superficie s, la energía que llega a ese elemento de superficie será:
Llamamos Intensidad I de una onda a la energía que atraviesa por unidad de tiempo y por unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda .
dado que Tendremos que Así como la energía se mide en julios y la potencias en vatios , la intensidad se mide en también en . Si se trata de encontrar la potencia en un elemento de superficie , tendremos:
o
Por eso se utiliza el megáfono o s e juntan las manos alrededor de la boc a, pues ello permite que se pierda la menor cantidad de energía por la parte exterior de la boca de salida.. Pero lo mismo ocurrirá con la intensidad. Si comparamos la relación q ue existe entre la intensidad entre dos frentes situados a las distancia y , encontraremos:
Vemos pues que la intensidad que llega los puntos de un medio trimensional es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias al foco emisor. También se puede escribir:
O también:
La amplitud de la onda es inversamente proporcional a la distancia a la fuente de las perturbaciones. En el sonido, como ya se verá, la energía emitida por segundo por el foco emisor es su potencia , es una magnitud física, y la intensidad, tal como se ha definido también , tanto que len el sonido hay lo que definimos como intensidad fisiológica que es una cualidad fisiológica la cual se abordará al estudiar el sonido.
Principio de superposición En la naturaleza raramente pueden encontrarse cargas aisladas, estas se encuentran distribuidas formando lo que se conoce como una distribución de cargas. Estas distribuciones pueden ser tanto puntuales (formadas por cargas individuales de diferente valor) como distribuidas, en el caso de que la carga se encuentre repartida en un volumen o superficie dados.
Este segundo caso es más complejo de tratar, pues implica el dominio del cálculo integral, por lo que en este apartado nos centraremos en calcular la fuerza electrostática para sistemas simples de cargas puntuales en una superficie.
Para ello se enuncia el denominado principio de superposición.
Principio de superposición:
Si en una región del espacio existe más de un cuerpo cargado, al colocar en dicha región una nueva carga de prueba , la intensidad de la fuerza electrostática a la que esta carga se verá sometida será igual a la suma de la intensidad de las fuerzas que ejercerían de forma independiente sobre ella cada una de las cargas existentes.
Expresado de forma matemática para un sistema de n cargas:
SUPERPOSICIÓN DE ONDAS ARMÓNICAS INTERFERENCIA La propagación de un movimiento ondulatorio a través de un medio no se ve afectada por la presencia de otras ondas. Cuando dos movimientos ondulatorios se encuentran al mismo tiempo en un mismo medio se superponen (interfieren), es decir, suman sus efectos (PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN)
ALGUNOS TIPOS DE INTERFERENCIA
Si la onda tiene una amplitud máxima, tendremos una interferencia constructiva: x1-x2=n·( Ⲗ) Es decir, las dos ondas se unirán. Si la onda tiene una amplitud mínima tenemos una i nterferencia destructiva: x2 x1=(2n+1) Ⲗ /2 Ⲗ =
lambda
ONDAS ESTACIONARIAS ONDA ESTACIONARIA - ECUACIÓN La ecuación de la onda estacionaria, como la de cualquier interferencia en un punto, surge por superposición de las dos ondas que la originan. Sumando las ecuaciones de l as dos ondas obtendremos la de la onda estacionaria. Esto es:
Comparándola con la ecuación de un movimiento ondulatorio,
, se deduce que: • La amplitud de la onda estacionaria es variable: A’= 2 ª cos kx. Cada punto del medio está sometido a un movimiento vibratorio cuya amplitud (A’) depende de su distancia al origen. •
La frecuencia, ω, es la misma que la de la onda original
• Cuando la amplitud es nula, A’=0, los puntos no vibran y se denominan nodos y cuando la amplitud es máxima: A’= 2A, los puntos se denominan vientres o antinodos.
