Modulo de Fisica i - Analisis Vectorial

Análisis Vectorial 1

Capítulo

2

Análisis Vectorial El análisis vectorial, que se inició a mediados del siglo pasado, constituye hoy día una parte esencial de las matemáticas necesaria para matemáticos, físicos, ingenieros y demás científicos y técnicos. Esta necesidad no es casual; el análisis vectorial no solo constituye una notación concisa y clara para presentar las ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas y problemas geométricos, sino que, además, proporciona una ayuda inestimable en la formación de las imágenes mentales de los conceptos físicos y geométricos. En resumen, el análisis vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el más rico lenguaje y forma del pensamiento de las ciencias físicas.

M. R. Spiegel

1. SIST SISTEMA EMAS S DE COO COORDE RDENA NAD DAS 1.1. INTRODUCCIÓN: Muchos aspectos en física se relacionan de una u otra forma con posiciones en el espacio. P.e. para describir el movimiento de un objeto requiere un método para describir la posición del objeto en diferentes tiempos. Esta descripción se hace mediante el uso de coordenadas. Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable. diferenciable. En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia viene dado por un punto de referencia u origen y una base vectorial ortonormal ortonormal,, * quedando así definidos los ejes coordenados.

Los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posición de un punto en el espacio. Un sistema de coordenadas consiste en: Un punto de referencia que llamaremos origen • Ejes específicos con escalas y etiquetas • Instrucciones de cómo designar un punto relativo al origen y a los ejes •

*

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas

Separatas para el curso De Física

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2

Física I

1.2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS La coordenadas más utilizadas como sistema de referencia en física es el sistema de coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares. En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados escalados,, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente (análogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto ( P) es igual a la proyección ortogonal de la recta OP de dicho punto sobre un eje determinado: P(X,Y,Z).

En el plano, las coordenadas cartesianas (o rectangulares) x e y se denominan abscisa y ordenada, respectivamente. †

1.3. SISTEMAS DE COORDENADAS POLARES En ocasiones es más conveniente representar un punto en el plano por medio de sus coordenadas polares planas (r,θ) como se muestra en la figura. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r , θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar». En el caso del origen de coordenadas, coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º). ‡











Análisis Vectorial 3 1.3.1.

Representación Representación de punt os con co n coordena coor denadas das polares

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL . El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL . El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y un ángulo de 210º sobre OL .

•

•

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un número infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos: Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el (r , θ ± n×360°) o (−r (−r , θ ± (2 punto (r , θ) se puede representar como (r (2n + 1)180°), 1)180°), donde donde n es un [4] [4 ] número entero cualquiera. cualquiera. El centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo. polo.[5[5]] Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, r ≥ 0 y θ al intervalo [0, se suele limitar r a números no negativos r ≥ [0, 360°) o (−180°, 180°] (en [6] [6 ] π]). radianes, [0, 2π) o (−π, π]).

•

•

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o en radianes radianes,, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegación marítima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes. radianes.[7 1.3.2.

Conversión de coordenadas

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x . A. Conversión de coordenadas coo rdenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

B.

Conversión de coordenadas co ordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas











4 Física I • •

r = 0, el ángulo θ puede tomar cualquier valor real. Para r = real. r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Para r ≠

Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π]. Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas (arctan denota la

inversa de la función tangente tangente)):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

x,y)=(-3.50; -2.50)m como se muestra Ejemplo: 1) Las coordenadas cartesianas de un punto en el plano xy son ( x,y en la figura. Encuentre las coordenadas polares de este punto: SOLUCION: debe usar los signos para determinar que el punto se encuentra en el tercer cuadrante. Es decir que θ=216º y no 35,5º (se debe sumar 180º más), y r=4,30m.

En el mundo de las abejas. Cuando una abeja sale a explorar y encuentra alimento en una flor, esta de inmediato regresa a su panal para informarle a las demás cómo llegar a la comida que acaba de encontrar. Esto lo hace moviéndose mediante un patrón especial, definido con mucha precisión. Este lenguaje debe ser de tipo vectorial vectori al ¿Qu ¿Qué é debe decir la la abeja abeja a sus compañeras compañeras para especif especificar icar dónde se encuentra encuentra la flor fl or en relación con el panal?. ¿emplearía coordenadas cartesianas o polares?¿porqué?¿qué usaría la abeja como origen de sus coordenadas? - La abeja debe comunicar a sus compañeras cuán lejos está la flor y en qué dirección deben volar. Ésta es exactamente la clase de información que proporcionan las coordenadas polares, siempre que el origen de las coordenadas sea el panal.

Muchos lenguajes de programación modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementación de la función atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la función atan puede recibir como parámetro la coordenada x (como ocurre en Lisp Lisp)).

1.4. COORDENADAS COORDENADAS CILÍNDRICAS CILÍNDRICAS§ Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo ángulo,, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana











Análisis Vectorial 5 •

•

φ: Coordenada acimutal, definida como el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY. z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

1.5. COORDENADAS ESFÉRICAS** El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r , el ángulo polar o polar o colatitud θ y el azimut φ. Algunos autores utilizan la latitud latitud,, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes radianes)), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

2. VECTORES. 2.1. DEFINICIONES.†† El término vector tiene distintos significados de acuerdo al contexto: 2.1.1. En matemática • •

espacio cio vectorial vectorial.. Vector , en álgebra lineal, es todo segmento de recta dirigido en un espa Vector (espacio euclídeo) un conjunto ordenado de números reales, o elementos de un cuerpo.

2.1.2. En física

‡‡

En física física,, un vector es una herramienta geométrica utilizada para representar una magnitud física del cual depende únicamente un módulo (olongitud (o longitud)) y una [1] [1 ] [2] [2 ] [3] [3 ] [4] [4 ] dirección (u orientación orientación)) para quedar definido. definido. Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos de recta dirigidos o flechas en planos o ; es decir, bidimensional bidimensional o tridime tridimensiona nsional.l. Ejemplos La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia la que se dirige. La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad o módulo, de la dirección en la que opera. El desplazamiento de un objeto. •

•

•











6 Física I

2.2. ELEMENTOS DE UN VECTOR . y A

Punto de aplicación.- está dado por el origen del vector. Intensidad, módulo o magnitud.- es el valor del vector y generalmente, está dado en escala. Pe. 5 unidades de longitud equivale a 5n (si se tratase de fuerza). Sentido.- es la orientación del vector. Dirección.- está dada por la línea de acción del vector o por todas las líneas rectas paralelas a él. La dirección del vector se puede identificar con un ángulo ( ) antihorario medido desde el eje positivo x hasta la ubicación del vector.

α

Todo vector queda bien definido conociendo su módulo y su dirección (y sentido) siendo éstos sus elementos.

2.3. Notación Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar ). Ejemplos: ... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente correspondiente al vector: ... ... •

En los textos manuscrit anuscritos os se escribe: ... ... para los vectores y ... ... o ... para los módulos. Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la •

forma , ... ... resultando muy muy útil esta notación para los vectores que representan representan el desplazamiento. Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan frecuenteme frecuentemente nte con un circunfl circunflejo ejo encima, por ejemplo .

2.4. CLASES Y RELACIONES ENTRE VECTORES: a) Vectores colineales.- son aquellos vectores que están contenidos en una misma línea de acción. b) Vectores concurrentes.- son aquellos vectores cuya líneas de acción, se cortan en un solo punto. Los vectores concurrentes tienen el mismo origen. sus rectas de acción

d) Vectores iguales.- son aquellos vectores que tienen la misma intensidad, dirección y sentido. e) Vectores equipolentes.- Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

f)

Vectores libres.- El conjunto de todos los vectores equipolentes entre














j)

Vectores linealmente independientes.- Varios son vectores libres linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros a1 = a2 = ··· = an =0

g) Vectores opuestos (- A ).- se llama vector opuesto (- A ) de un vector cuando tienen tienen el mismo módulo, la misma dirección, pero sentido contrario.

k) Vectores ortogonales.- Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto h) Vector de posición.- El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

escalar es cero l) i)

Vectores linealmente dependientes.- Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal:

Vectores ortonormales.- Dos vectores son ortonormales si: Su producto escalar es cero. Los dos vectores son so n unitarios.











8 Física I

Módulo a partir de las coordenadas coordenadas de los punt os

Propiedades Propiedades del módulo: mó dulo: 1. El módulo del vector nulo es cero y el vector nulo es el único vector cuyo módulo es cero. 2.

Donde K es un número cualquiera y u es un vector cualquiera.

3.

. Para cualquier pareja de vectores.

2.6. VECTOR UNITARIO: Un vector unitario es un vector cuya magnitud es uno y es útil para indicar el sentido y la dirección de un determinado vector. Matemáticamente el vector unitario se halla 

dividiendo el vector entre su respectivo módulo. µ = 

V 

V

.

2.7. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL PLANO: En cualquier dirección es posible determinar el respectivo vector unitario (También se llama versor), en el plano cartesiano, en las direcciones “x” y “y”, los vectores unitarios reciben nombres especiales, estos son i y j respectivamente. Cualquier vector puede ser expresado en el plano cartesiano en función de los vectores unitarios principales i y j.

2.8. NOTACIÓN A TRAVÉS DE SUS COMPONENTES Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial. vectorial. En coordenad coordenadas as cartesianas, los vectores unitarios se representan representan por , , , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las siguientes notaciones son las mas típicas para representar a los vectores:



ˆ

ˆ












Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

2.9. METODOS DE ADICIÓN DE VECTORES COPLANARES i. METODO DEL PARALELOGRAMO

componentes

del

vector.

ii. ii . METODO DEL TRIÁNGULO Y DEL POLÍGONO

v. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

iii. RESTA DE VECTORES Para restar restar dos vectores libres libres y se suma con el opuesto de .

Dados dos vectores: b , el vector

y

, y dos números: a y se dice que es una

combinación lineal de

y

.

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares. Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección

iv. iv . PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR El producto de un número número k por un vector

es

Por ejemplo: Esta combinación lineal es única











10 Física I

El vector combinación

, ¿se puede expresar como de los vectores lineal

2.10. MÉTODO MÉTODO ANALITIC ANAL ITICO O PARA LA ADICIÓN DE VECTORES VECTORES . Para comprender comprender la regla de adición de vectores consideremos primero el caso de los desplazamientos. Si una partícula se desplaza primero de A a B, y se representa por el vector d 1 , y de la misma forma de de B a C, representada por d 2 2 , el resultado será equivalente a un desplazamiento único de A a C, representado por d , de modo que escribiremos simbólicamente d=d 1+ d 2 . Esto no es lo mismo que d=d 1+d 2, que se refiere solamente a las magnitudes y no valen para este caso. Ahora generalicemos el procedimiento para cualquier clase de vectores. Decimos entonces que: V =V 1+V 2 si se obtiene como en la figura, además se observa que la suma vectorial es conmutativa, consecuencia directa de la geometría del método. Para calcular la magnitud del vector resultante V vamos a deducir la conocida ley de los cosenos: La figura muestra la operación de adición donde se cumple V=V 1+V 2 , para calcular su magnitud utilizamos el teorema de pitágoras. (AC)2=(AD)2+(DC)2.











Análisis Vectorial 11 Vectorial 11 V senθ

=

V 1 sen β

=

V 2 senα

(I.2)

.

Nótese que en el caso particular cuando V 1 y V 2 son perpendiculares que se cumple nuevamente el teorema de Pitágoras. Se puede demostrar también que para la diferencia de vectores se cumple que: 2

2

2

2

2

V =(V 1+V 2 cosθ) - (V 2 senθ) = V 1 +V 2 -2 V 1V 2 cosθ .

y además esta diferencia es anticonmutativa:

EJEMPLO I.1.(P.36-37)(Alonso – Finn)













12 Física I

EJEMPLO I.2.(P.64)(Serway): I.2.(P.64)(Serway): UN VIAJE DE VACACIONES

A partir de esta generalización se han deducido los métodos gráficos para la adición y sustracción de vectores que comúnmente conocemos. Si le resulta complicado al alumno entender el proceso realizado, la respuesta la encontraremos en el hecho de que hasta ahora se han trabajado los problemas mecánicamente sin caer en la cuenta de los principios matemáticos que determinan su comportamiento.











Análisis Vectorial 13 Vectorial 13

2.12.VECTORES 2.12. VECTORES EN EL ESPACIO Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z). Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante las tres coordenadas son positivas Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro 2.13.COMPONENTES 2.13. COMPONENTES DE UN VECTOR Cualquier vector V puede expresarse como la suma de otros dos (o más) vectores, el número de posibilidades es infinito. Entonces, a cualquier conjunto de vectores que al sumarse den V se les llamará componentes de V . Las componentes más usadas son las rectangulares, es decir expresado en la suma de vectores mutuamente perpendiculares, del mismo modo que se definió para las coordenadas polares. V = V x iˆ + V y jˆ o también V = u xV x + u yV y , en términos de sus vectores unitarios. Además se puede demostrar que: u = u cosα + u y senα . Nótese que las componentes de un vector en una dirección son iguales a las proyecciones del vector en esa misma dirección ( una paralela al eje de referencia y otra perpendicular). Hasta ahora hemos hablado de dos componentes, correspondientes al plano xy, sin embargo en el espacio las componentes respectivas serán: V x , V y , y V z. se puede verificar que sus componentes se calculan así: 



x

V x=V sen θ cos φ, V y=V sen θ sen φ, V z=V cos θ,

..........................................................I.3)

Donde θ es el ángulo que hace el vector con el eje Z, y donde φ es el ángulo que hace la proyección del











14 Física I

EJEMPLO I.3.(P.40)(Alonso – Finn)

EJEMPLO I.4.(P.40-41)(Alonso – Finn)












2.14.ADICION 2.14. ADICION DE VARIOS VECTORES …, no hay más que extender el procedimiento Para la adición de varios vectores, sean estos V , V 2 , V 3 , …, anterior de la figura 3.18, de modo que, conocidas los vectores en sus componentes rectangulares, se procede a sumar los módulos correspondientes: 





1

(

) (

) (

)

V = V 1 x iˆ + V 1 y jˆ + V 1 z k ˆ + V 2 x iˆ + V 2 y jˆ + V 2 z k ˆ + V 3 x iˆ + V 3 y jˆ + V 3 z k ˆ + ... 

(

)

V = (V 1 x + V 2 x + V 3 x + ...)iˆ + V 1 y + V 2 y + V 3 y + ... jˆ + (V 1 z + V 2 z + V 3 z + ...)k ˆ ............................ (I.7) 

De modo que: V x = (V x + V x + V x + ...) = ∑i V ix cosα i 1

2

3

V y = (V 1 y + V 2 y + V 3 y + ...) =

∑ V senα .................................................................................. (I.8) i

iy

i

Donde α i es el águlo que hace con el semieje positivo X . EJEMPLO I.5.(P.42)(Alonso – Finn)











16 Física I

EJEMPLOS I.6.(P.22-2 I.6.(P.22-23)(Se 3)(Sears-Zemans ars-Zemansky) ky)

EJEMPLOS I.7.(P.23)(Sears-Zemansky I.7.(P.23)(Sears-Zemansky))

2.15.PRODUCTO 2.15. PRODUCTO ESCALAR El producto escalar de dos vectores A y B se denota con A ⋅ B . Por esta notación, el producto escalar se denomina también producto punto. Para definir en producto escalar A ⋅ B dibujamos A y B , nos valemos de las graficas, representando a los vectores unidos por su origen: Definimos A ⋅ B como la magnitud de A multiplicada por la componente de B paralela a A , expresado de la siguiente manera: A ⋅ B = A ⋅ B cosθ = A ⋅ B cosθ ............................................................................................. (I.9) 

































donde θ , el ángulo entre éstos vectores, está entre 0º y 180º. También funciona a la inversa (conmutativa), es decir, como la magnitud de B multiplicada por la componente de A paralela a B . 





El producto escalar es una cantidad escalar, no un vector, y puede ser positivo














Propiedades Propiedades del producto escalar escalar Conmutativa Asociativa Distributiva El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

EJEMPLOS I.9.(P.26)(Sears-Zemansky I.9.(P.26)(Sears-Zemansky))











18 Física I

2.16.PRODUCTO 2.16. PRODUCTO VECTORIAL El producto vectorial de dos vectores A y B , también llamado producto cruz se denota con A × B . (Usaremos este producto para describir describir el par o torque y la cantidad cantidad de de movimiento movimiento angular, campos magnéticos). Definimos el producto vectorial de dos vectores como un vector perpendicular al plano formado por A y B 






















El valor de su magnitud es igual a A ⋅ Bsenθ ; pero Bsenθ = h que viene a ser la altura del paralelogramo de modo que C = A × B = ABsenθ = Ah = área del paralelogramo. 







B ,

Si conocemos las componentes de A y podemos calcular las componentes del producto vectorial similarmente al procedimiento usado para el producto escalar. Deducimos entones la tabla de multiplicación de los vectores unitarios. ˆ × k ˆ = (1)(1) sen0º = 0 ; el cero en negritas nos iˆ × iˆ = jˆ × jˆ = k recuerda que cada producto es un vector cero, es decir uno con todas sus componentes igual a cero y dirección indefinida. Usando las ecuaciones anteriores (I.12) y (I.13) y la regla de la mano derecha: iˆ × jˆ = − jˆ × iˆ = k ˆ jˆ × k ˆ = −k ˆ × jˆ = iˆ ................................................................................................................. (I.14) ˆ × iˆ = −iˆ × k ˆ = jˆ k

De modo que:

(

)(

) )

ˆ × B iˆ + B jˆ + B k ˆ A × B = A x iˆ + A y jˆ + A z k x y z

(











20 Física I

EJEMPLOS I.11-12.(P.50)(Alonso-Finn)












EJEMPLOS I.12.(P.30)(Sears-Zemansky) CÁLCULO DE UN PRODUCTO VECTORIAL













22 Física I

Volumen de un tetraedro El volumen de un tetraedro tetraedro es igual a 1/6 1/6 del producto mixto, en valor absoluto

Obtener el volumen del tetraedro tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

Modulo de Fisica i - Analisis Vectorial

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