Trabajo Final de Metodos Numericoss 2014

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN UNIVERSIDAD PERUANA UNION FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

QUINTO CICLO  TRABAJO FINAL  Trabajo  Trabajo entrea!o en "#$%&'$'ento %ar"'a& !e M(to!o) M(to!o) n#$(r'"o)*

TEMA +METODO DE HEUN IMPLEMENTADO EN MATLAB CON APLICACIONES A LA INGENIE ING ENIERIA RIA CIVIL CIV IL,

CURSO METODOS NUMERICOS

PROFESOR M* Bra#&'o Par' Gona&e)

ALUMNO  E&.') /#')%e C0a&"o L#') Fernan!o Ma$an' Cat#nta

 Juliaca, D'"'e$bre !e& 1234

8

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN

INTRODUCCION La) e"#a"'one) !'5eren"'a&e) na"'eron en e& )'&o 6VII7 en )'$#&tane'!a! e)tr'"ta "on e& C&"#&o In9n'te)'$a&* Con 5re"#en"'a7 &a )o&#"':n !e &o) %rob&e$a) $e"n'"o)7 eo$(tr'"o) o !e otra ;n!o&e <#e !'eron or'en a &o) "on"e%to) !e !er'.a!a e 'ntera& no re<#'ere en"ontrar #na %r'$'t'.a o #na !er'.a!a7 )'no !eter$'nar #na 5#n"':n !e)"ono"'!a a %art'r !e #na re&a"':n <#e &a &'a "on )# !er'.a!a= en otra) %a&abra)7 !eter$'nar &a) )o&#"'one) !e #na e"#a"':n !'5eren"'a&* En %a&abra) !e Ne>ton7 Data ae<#at'one <#ot"#$<#e ?#ente) <#ant'tate) 'n.o&.ente ?#@'one) 'n.en're et .'"e.er)a* Co$o7 !e #n &a!o7 &a) e"#a"'one) !'5eren"'a&e) )'r.en %ara !otar !e e@%re)':n $ate$t'"a a &a $aor;a !e &a) &ee) !e &a F;)'"a  !e otra) "'en"'a) 7 a& $')$o t'e$%o7 no e@')te #n $(to!o enera& %ara re)o&.er&a)7 no e) !e e@traar <#e )e &&e.en $) !e tre)"'ento) ao) !e e)5#ero) 'nente) !e!'"a!o) a &a tarea !e e)t#!'ar&a)* 7 nat#ra&$ente7 #na 9#ra !e& "a&'bre !e He#n no %#!o !ejar !e %re)tar&e) aten"':n "ont'n#a!a a &o &aro !e )# .'!a* De 0e"0o7 #n b#en n$ero !e &o) %r'$ero) trabajo) !e& $ate$t'"o !e Ba)'&ea "orre)%on!en a e)te "a$%o7 'n"&#en!o )# te$%rana a%orta"':n !e 31 a& %rob&e$a !e &a) trae"tor'a) re";%ro"a)7 <#e "ontr'b#: a "rear &a 5a$a !e& enton"e)  jo.en";)'$o a#tor* En 318  34 E#&er 5#e e& %r'$ero7 tra) R'""at'7 en ata"ar e"#a"'one) !e or!en )#%er'or* A& $o$ento !e a%&'"ar &a) Mate$t'"a) a )'t#a"'one) !e& $#n!o rea& no) en"ontra$o) a $en#!o "on %rob&e$a) <#e no %#e!en )er re)#e&to) ana&;t'"a$ente o !e $anera e@a"ta  "#a )o&#"':n !ebe )er abor!a!a "on a#!a !e a&n %ro"e!'$'ento n#$(r'"o* A "ont'n#a"':n "on)'!era$o) a&#no) %rob&e$a) t;%'"o)7 a 5or$#&a!o) $ate$t'"a$ente7 %ara &o) "#a&e) e)t#!'are$o) t("n'"a) n#$(r'"a) !e )o&#"':n*

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN

Índice ! O"JETIVOS**********************************************************************************************4 !! O#$e%i&'( )ene*ale(*********************************************************************** 4 !+! O#$e%i&'( e(ec-.c'(*********************************************************************4 +! MARCO TEORICO*********************************************************************************** 4 +!! Que e( un /0%'d' nu/0*ic'********************************************************4 +!+! Al)'*i%/'( #1(ic'(************************************************************************* +!2! Quien in&en%' el /0%'d' de 3eun*********************************************** +!4! Que e( el M0%'d' de 3eun************************************************************ +!5! Alicaci'ne( del /0%'d' de 3eun*********************************************** 2! CONTRUCCION DE METODO 6al)'*i%/'7*******************************************8 4! IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO***************************************************K 5! E8PERIMENTACION*****************************************************************************32 9! CONCLUSIONES*********************************************************************************** 31

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN

! O"JETIVOS !!

O#$e%i&'( )ene*ale( •

!+!

E@%&'"ar !e &a $anera $) "&ara %o)'b&e en <#e "on)')te e& $(to!o !e He#n

O#$e%i&'( e(ec-.c'( •

•

Con &o) "ono"'$'ento) %re.'o) a%ren!'!o) en "&a)e)7 '$%&e$entar #n a&or't$o %ara e& $(to!o !e He#n en e& %rora$a !e MATLAB*  a '$%&e$enta!o7 )aber a%&'"ar !'"0o a&or't$o %rob&e$a) !e &a .'!a rea& en 'nen'er;a %or eje$%&o*

a

+! MARCO TEORICO +!!

Que e( un /0%'d' nu/0*ic'

Un $(to!o n#$(r'"o e) #n %ro"e!'$'ento $e!'ante e& "#a& )e obt'ene7 "a)' )'e$%re !e $anera a%ro@'$a!a7 &a )o&#"':n !e "'erto) %rob&e$a) rea&'an!o "&"#&o) %#ra$ente ar't$(t'"o)  &:'"o) o%era"'one) ar't$(t'"a) e&e$enta&e)7 "&"#&o !e 5#n"'one)7 "on)#&ta !e #na tab&a !e .a&ore)7 "&"#&o %re%o)'"'ona&7 et"** Un ta& %ro"e!'$'ento "on)')te !e #na &')ta 9n'ta !e 'n)tr#""'one) %re"')a) <#e e)%e"'9"an #na )e"#en"'a !e o%era"'one) a&ebra'"a)  &:'"a) a&or't$o7 <#e %ro!#"en o b'en #na a%ro@'$a"':n !e &a )o&#"':n !e& %rob&e$a )o&#"':n n#$(r'"a o b'en #n $en)aje* La e9"'en"'a en e& "&"#&o !e !'"0a a%ro@'$a"':n !e%en!e7 en %arte7 !e &a 5a"'&'!a! !e '$%&e$enta"':n !e& a&or't$o  !e &a) "ara"ter;)t'"a) e)%e"'a&e)  &'$'ta"'one) !e &o) 'n)tr#$ento) !e "&"#&o &o) "o$%#ta!ore)* En enera&7 a& e$%&ear e)to) 'n)tr#$ento) !e "&"#&o )e 'ntro!#"en errore) &&a$a!o) !e re!on!eo*

+!+!

Al)'*i%/'( #1(ic'(

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN En $ate$t'"a)7 &:'"a7 "'en"'a) !e &a "o$%#ta"':n  !')"'%&'na) re&a"'ona!a)7 #n a&or't$o !e& r'eo  &at;n7 !'@'t a&or't0$#)  e)te a )# .e !e& $ate$t'"o %er)a A& J#ar')$'3  e) #n "onj#nto %re)"r'to !e 'n)tr#""'one) o re&a) b'en !e9n'!a)7 or!ena!a)  9n'ta) <#e %er$'te rea&'ar #na a"t'.'!a! $e!'ante %a)o) )#"e)'.o) <#e no eneren !#!a) a <#'en !eba rea&'ar !'"0a a"t'.'!a!*1 Da!o) #n e)ta!o 'n'"'a&  #na entra!a7 )'#'en!o &o) %a)o) )#"e)'.o) )e &&ea a #n e)ta!o 9na&  )e obt'ene #na )o&#"':n En &a .'!a "ot'!'ana7 )e e$%&ean a&or't$o) 5re"#ente$ente %ara re)o&.er %rob&e$a)* A&#no) eje$%&o) )on &o) $an#a&e) !e #)#ar'o7 <#e $#e)tran a&or't$o) %ara #)ar #n a%arato7 o &a) 'n)tr#""'one) <#e re"'be #n trabaja!or %or %arte !e )# %atr:n* A&#no) eje$%&o) en $ate$t'"a )on e& a&or't$o !e &a !'.')':n %ara "a&"#&ar e& "o"'ente !e !o) n$ero)7 e& a&or't$o !e E#"&'!e) %ara obtener e& $@'$o "o$n !'.')or !e !o) entero) %o)'t'.o)7 o e& $(to!o !e Ga#)) %ara re)o&.er #n )')te$a &'nea& !e e"#a"'one)* ELEMENTOS BASICOS EN MATLAB E)ta!;)t'"a )'$%&e • • • • •

a322*and373 Qoa7%a('*da or!en a)"en!ente Qo!7%!('*da7!e)en! or!en !e)"en!'ente P:i(%a7 0')tora$a  *c%ilea7Q1 2  %er"et'&e) In)tr#""'one) 'ntro!#"tor'a) %ara "#a&<#'er a&or't$o

•

•

• •

Clea* all borra !e& "o$an!o !e >or)%a"e &a) .ar'ab&e) enera!a) anter'or$ente cl'(e all e&'$'nar to!a) &a) 9#ra) enera!a) anter'or$ente clc e&'$'nar to!a) &a) 9#ra) enera!a) anter'or$ente ;a*nin) '< all en e& "o$an!o no a%are"er &a) a!.erten"'a) <#e re"&a$e MATLAB a& "orrer e& a&or't$o* Otra) "on!'"'one) &:'"a)

• • •

;:ile = "on!'"':n e@"&#)'.o re%et't'.o .ar'a!o (;i%c:= "on!'"':n e@"&#)'.o .nd= "on!'"'ona& e@"&#)'.o re%et't'.o !e9n'!o

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN Otra) 5#n"'one) %ara enerar 9#ra) • •

+!2!

)te$t7% )ta'r)t7%

Quien in&en%' el /0%'d' de 3eun

Leon0ar! Pa#& E#&er Ba)'&ea7 S#'a7 3 !e abr'& !e 32 - San Peter)b#ro7 R#)'a7 38 !e )e%t'e$bre !e 387 "ono"'!o "o$o Leon0ar! E#&er7 5#e #n $ate$t'"o  5;)'"o )#'o*  Se trata !e& %r'n"'%a& $ate$t'"o !e& )'&o 6VIII  #no !e &o) $) ran!e)  %ro&;9"o) !e to!o) &o) t'e$%o)* V'.': en R#)'a  A&e$an'a &a $aor %arte !e )# .'!a  rea&': '$%ortante) !e)"#br'$'ento) en rea) tan !'.er)a) "o$o e& "&"#&o o &a teor;a !e ra5o)* Ta$b'(n 'ntro!#jo ran %arte !e &a $o!erna ter$'no&o;a  nota"':n $ate$t'"a7 %art'"#&ar$ente %ara e& rea !e& an&')') $ate$t'"o7 "o$o %or eje$%&o &a no"':n !e 5#n"':n $ate$t'"a*3 A)'$')$o )e &e "ono"e %or )#) trabajo) en &o) "a$%o) !e &a $e"n'"a7 :%t'"a  a)trono$;a* E#&er 0a )'!o #no !e &o) $ate$t'"o) $) %ro&;9"o)7  )e "a&"#&a <#e )#) obra) "o$%&eta) re#n'!a) %o!r;an o"#%ar entre 2  82 .o&$ene)*1Una a9r$a"':n atr'b#'!a a P'erre S'$:n La%&a"e e@%re)a &a 'n?#en"'a !e E#&er en &o) $ate$t'"o) %o)ter'ore)= Lean a E#&er7 &ean a E#&er7 (& e) e& $ae)tro !e to!o) no)otro)* En "on$e$ora"':n )#a7 E#&er 0a a%are"'!o en &a )er'e )e@ta !e &o) b'&&ete) !e 32 5ran"o) )#'o)7 a); "o$o en n#$ero)o) )e&&o) %o)ta&e) tanto )#'o) "o$o a&e$ane)  r#)o)* E& a)tero'!e 1221 E#&er re"'b': e)e no$bre en )# 0onor*

+!4!

Que e( el M0%'d' de 3eun

E) #n $(to!o %ara $ejorar &a e)t'$a"':n !e &a %en!'ente e$%&ea!a &a !eter$'na"':n !e !o) !er'.a!a) en e& 'nter.a&o* • •

Una en e& %#nto 'n'"'a& Una en e& 9na&

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN La) !o) !er'.a!a) )e %ro$e!'an !e)%#() "on &a 9na&'!a! !e obtener #na $ejor e)t'$a"':n !e &a %en!'ente en to!o e& 'nter.a&o*

Ecuaci>n P*edic%'*a En e& $(to!o !e E#&er !eber;a %arar a<#;* S'n e$baro7 en e& $(to!o !e He#n no e) &a re)%#e)ta 9na&7 )'no #na %re!'""':n 'nter$e!'a

+!5!

Alicaci'ne( del /0%'d' de 3eun

Un $(to!o %ara $ejorar &a e)t'$a"':n !e &a %en!'ente 'n.o&#"ra &a !eter$'na"':n  %ro$e!'a!o !e !o) !er'.a!a) %ara e& 'nter.a&o #na en e& %#nto 'n'"'a&  otra en e& %#nto 9na&* En e& $(to!o !e E#&er7 &a %en!'ente a& 'n'"'o !e& 'nter.a&o )e #)a %ara e@tra%o&ar &'nea&$ente a W3 En e& $(to!o !e He#n &a %en!'ente "a&"#&a!a en &a e)t'$a"':n %re.'a no e) %ara &a re)%#e)ta 9na&7 )' no %ara #na %re!'""':n 'nter$e!'a* E)ta e"#a"':n e) &&a$a!a %re!'"tor* Mejora #na e)t'$a"':n !e W3 <#e %er$'te e& "&"#&o !e #na e)t'$a"':n !e &a %en!'ente a& 9na& !e& 'nter.a&o*

0

Y ´ i+1= f  ( x 1+1 , y i+ 1)

0

A<#;7  y ί + 1

e) e& %re!'"tor7  e) &a $')$a e"#a"':n !e E#&er

%ara en"ontrar W3* E)ta no) )'r.e %ara en"ontrar W3 e)ta no) )'r.e %ara "a&"#&ar &a %en!'ente

' 

 y ί + 1

La) !o) %en!'ente) )e %ro$e!'an en e& 'nter.a&o=

Y´ ´ =

 y ´ i+ y ´ i +1 2

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN

E)t %en!'ente %ro$e!'o )e #t'&'a %ara e@tra %o&ar &'nea&$ente !e)!e  0a)ta W3 #)an!o e& $(to!o !e E#&er*

 f  ( z i∗ y ´ i ) + f  ( z i+1 ¿  y i +1 ) 0

Y i+ 1= yi +

2

h

E)ta e"#a"':n e) "ono"'!a "o$o e"#a"':n "orre"to* E& $(to!o !e He#n e) %ro"e!'$'ento %re!'"tor-"orre"tor* Se %#e!e "on)e#'r #na $ejor %re"')':n en e& re)#&ta!o )' 0a"e$o) .ar'o) %ro"e)o) "orre"tore) e)to &o &ora$o) to$an!o  W3  re$%&an!o&o %or

0

 y ί + 1

en &a e"#a"':n a); en"ontrar

#n n#e.o W3  )e re%'te e& %ro"e)o 0a)ta !on!e )e !e)ee

2! CONTRUCCION DE METODO 6al)'*i%/'7 E)te e) #no !e &o) $(to!o) n#$(r'"o) $) )en"'&&o) %ara re)o&.er e& %rob&e$a PVI !e9n'!o en 4*3* A)#$'re$o) <#e e& %rob&e$a PVI "ont'ene #na )o&a e"#a"':n !'5eren"'a&7 a& 9na& !e& "a%;t#&o tratare$o) e& "a)o !e )')te$a) !e e"#a"'one) !'5eren"'a&e)*

{

' 

 PVI   y = f  ( t , y ) ¿  y ( t o )= y o ( 4.1)

La '!ea !e& $(to!o %arte !e &o )'#'ente7 "o$o= ' 

 y ( t o ) =lim

 y ( t o + h )− y ( t o ) h

h→ 0

Con)'!eran!o ' 

 y ( t o ) ≈

h0 ≈ 0

 y ( t o + h ) − y ( t o ) h

7 )e t'ene

( 4.2 )

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN De 4*17 .e$o) <#e  y ( t o + h ) ≈ y ( t o ) + h∗ y ' ( t o )

De9n'$o) enton"e) t 1 =t o + h  y 1= y o + h∗ f  ( t o , y 0 ) ( 4.3)

  .ere$o) <#e en e5e"to

 y 1 ≈ y ( t 1 )

( t  , y )    #)n!o)e &a e"#a"':n 4*7

E) !e"'r7 "ono"'!o e& %ar %o!e$o) "ono"er e@a"to

(t  , y ( t  ) ) 1

1

0

0

( t  , y ) 7 <#e e) #na a%ro@'$a"':n %ara e& .a&or 1

1

* Ob)er.e <#e %o!e$o) #)ar e& %ar

"a&"#&ar7 !e $anera )'$'&ar a 4*7 e& )'#'ente %ar

( t  , y )

#)a$o)

3

3

( t  , y )

%ara 0a&&ar

'$%ortante re)a&tar <#e

 y 0

4

4

 y 1

1

1

( t  , y ) 7 &#eo 2

2

 a); %or !e&ante* E)

era e& n'"o !ato e@a"to7

"a&"#&a!o %robab&e$ente "on #n error to!a.;a %#e) #)a

( t  , y )  %ara

 y 2

 y 1

5#e

a"#$#&a $a) error

 "o$o .a&or 'n'"'a&7  a); %or !e&ante*

Al)'*i%/' 63eun7 "on)'!ere e& %rob&e$a PVI !e9n'!o en 4*3* Da!o) %or

t 0 , y 0

 T  %*

3* Ca&"#&e e& ta$ao !e %a)o=

h=

T   p

1* Para n3717X7%7 "a&"#&e &o) %are) !e "orre)%on!en"'a* t n=t n1 + h  y n= y n−1 + h∗f  ( t n−1 , y n−1 )

(t n , y n )  #)an!o &a re&a

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN Lo) %are)

(t  , y ) 7 ( t  , y ) 7X7 ( t  p , y  p )  )on %#nto) %or 0

0

1

1

!on!e )e e)t'$a <#e e& ra9"o !e &a )o&#"':n e@a"ta !e 4*3 !eber;a %a)ar*

4! IMPLEMENTACION DEL ALGORITMO Mo)tra$o) &a 5#n"':n HEUN*$ <#e 0a"e %o)'b&e eje"#tar e& A&or't$o en e& "o$%#ta!or #)an!o e& MatLabYO"ta.e* La 5#n"':n 5*$ !ebe )er "rea!a !e a"#er!o a& %rob&e$a "on"reto <#e )e <#'ere re)o&.er

5#n"t'on Qt70e#na7b727n 0b-aYn ta=0=b ero))'et 32 5or 3=n 35t7 %W03 15tW37% W3W0Y13W1 en!

5! E8PERIMENTACION 3* E.o&#"':n en e& t'e$%o !e& n'.e& !e& e$ba&)e a& !e)a#ar*

K: coefciente de pérdida (aprox. 0.62) g: aceleración gravedad (9.81 m/eg2)  !: pro"#ndidad dede #perfcie li$re a e%e deag&e  ': rea orifcio deag&e * (!): +rea #perfcie em$ale, "#nción de ! (dato topogrfco)

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN V  D ( y ) =k √ 2 gy → −S ( y ) dy =V  D  A dt 

E"#a"':n !'5eren"'a& "on .a&ore) 'n'"'a&e) t-0, !-

y0

dy − AK  √ 2 gy  = dt  S ( y )

ato de e%emplo de #perfcie li$re de #n em$ale (de #n mapa topogrfco): ota ! (metro): 810 812 81 816 818 820 822 82 826 828 80 82 8 86 88  +rea (Km2), * (!): 0 6 1 6 1 112 183 260 32 60 3 03 80 91 961 E& t'e$%o en 0ora) !e !e)e$ba&)e entre !o) "ota) e) t  D ( y t ) =

 y t 

( )

S  y ∫  KA √ 2 g √  y 1

dy

 y 0

• •

Una 5or$a !e 0a&&ar S e) #t'&'an!o 'nter%o&a"':n* Para 0a&&ar &a 'ntera& !e arr'ba #)a$o) e& $(to!o !e S'$%)on7 !e &a $anera )'#'ente 5#n"t'on TT!e)a#e275 n1405-2Yn2=0=5 %ar2W10=10=5-10'$%ar2W0=10=5-0 5!T 5%5e.a&57%ar95e.a&57'$%ar  T5e.a&572W1)#$5%W4)#$9W 5e.a&5750Y 5#n"t'on t!T Z2*81K*83A1*2 "oe53YZA)a
METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN •

En "'erto $o$ento e& e$ba&)e t'ene #na a&t#ra !e  y 0=28

7  )e abre e& !e)a[e7 e& t'e$%o <#e tar!a en

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9! CONCLUSIONES •

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La !er'.a!a e 'ntera& no re<#'ere en"ontrar #na %r'$'t'.a o #na !er'.a!a7 )'no !eter$'nar #na 5#n"':n !e)"ono"'!a a %art'r !e #na re&a"':n <#e &a &'a "on )# !er'.a!a= en otra) %a&abra)7 !eter$'nar &a) )o&#"'one) !e #na e"#a"':n !'5eren"'a&* Para )o&#"'onar %rob&e$a) !e e<#'&'br'o  )')te$a) "ont'n#o) e& $(to!o !e He#n e) #na !e &a) o%"'one)* En "on"&#)':n e& $(to!o !e E#&er a& $(to!o n#$(r'"o "on)')tente en 'r 'n"re$entan!o %a)o a %a)o &a .ar'ab&e 'n!e%en!'ente  0a&&an!o &a '$aen "on &a !er'.a!a* En &o) a&or't$o) '$%&e$enta!o)7 a& a#$entar &a "ant'!a! !e %a)o)7 )e ob)er.a <#e e& error !')$'n#e* Re)#&ta $# t'& #)ar e)te t'%o !e a&or't$o) a <#e "on #na "ant'!a! !e %a)o) )e "on)'#e #na $# b#ena a%ro@'$a"':n a &a )o&#"':n !e &a e"#a"':n !'5eren"'a&* Con &a a#!a !e #n "o$%#ta!or e) $# )en"'&&o '$%&e$entar a&#no) !e &o) a&or't$o)7 %or<#e7 a %e)ar <#e &o) "a&"#&a$o) no )on "o$%&'"a!o)7 )' )on re%et't'.o)* S' <#'en .a a #t'&'ar &o) $(to!o) a<#; trata!o) no %#e!en %rora$ar t'ene &a a&ternat'.a !e #t'&'ar %a<#ete)

METODOS NUMERICOS- METODO DE HEUN "o$%#ta"'one) en &a) <#e %#e!e "on 5a"'&'!a! obtener &a) re)%#e)ta) "on a%ro@'$a"'one)*