Ecuaciones Diferenciales Parciales Luis Buitrago N., Sara González Y., Paola Valbuena N. Facultad de Ingeniería Ambiental. Universidad Manuela Beltrán. Bogotá, Colombia.
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I. INTRODUCCIÓN Este trabajo de investigación pretende explicar las ecuaciones diferenciales parciales y sus principales tipos, los cuales son : parabólica, hiperbólica y elíptica, comprender la definición que de éstas se desprende en la ecuación del calor, la aplicación de dichas ecuaciones y su respectivo procedimiento; para modelar diversas situaciones se hará uso del software Matlab y
también se hará uso de métodos numéricos. De esta manera se proyecta que después del trabajo de investigación correspondiente a la materia de métodos numéricos podremos manejar con propiedad y con total certeza los conceptos de modelación por medio del software Matlab y también por medio de la aplicación de métodos numéricos.
II. OBJETIVOS DEFINICIÓN GENERAL ●
Determinar mediante ecuaciones diferenciales y su desarrollo por medio de métodos analíticos y numéricos la solución de la ecuación del calor mediante el uso del programas como lo son : toolbox de MatLab PDEtool.
ESPECÍFICOS ●
●
●
Investigar la fórmula general de las ecuaciones diferenciales parciales. Identificar y comprender el concepto de ecuaciones diferenciales parciales. Analizar los diferentes tipos de resolución de problemas mediante las ecuaciones diferenciales parciales y los casos que se derivan de esta como lo es la ecuación del calor según su caracterización utilizando el método de resolución..
III. MARCO TEÓRICO:
Ecuación diferencial parcial: Es una expresión matemática que contiene una o más variables dependientes y dos o más variables independientes. La característica principal que posee una ecuación diferencial es que cuenta con más de una variable independiente, como lo pueden ser el tiempo y posición, o bien dos coordenadas coordenadas de posición o una combinación de varias posiciones con el tiempo. Las ecuaciones diferenciales parciales se pueden clasificar de acuerdo a su orden y linealidad. 1. Orden: Está determinado por la derivada parcial de mayor orden que se encuentre en la expresión. Ejemplos:
Primer orden
de sus derivadas de menor orden que el de la ecuación diferencial
se deduce que es una ecuación diferencial cuasilineal. Ejemplo:
Segundo orden
Segundo orden ➔
Si los coeficientes a, b, c y d son funciones de derivadas del mismo orden que el de la ecuación diferencial
Tercer orden entonces se trata de una ecuación diferencial no lineal. Ejemplo:
[], [], [] 2. Linealidad: Pueden ser clasificadas según su linealidad, en lineales cuasilineales y no lineales. Ejemplo: Tomando la siguiente ecuación diferencial parcial pueden darse los siguientes casos:
➔
Si los coeficientes a, b, c y d son constantes o función de las variables independientes(x,y) estaríamos representando una ecuación diferencial lineal. Ejemplo:
➔
Si los coeficientes a, b, c y d son funciones de la variable dependiente o
[][]
La forma general de una ecuación diferencial parcial de segundo orden se expresa de la siguiente forma:
Donde los coeficientes a, b , c, d, e, f, y g son constantes o funciones de las variables independientes; si el parámetro g es cero entonces se está hablando de una ecuación diferencial parcial homogénea.
[] []
Clasificación de una ecuación diferencial de segundo orden:
La anterior ecuación indica que es una ecuación diferencial parcial elíptica , ya que:
Su clasificación canónica está determinada por: b=0, y entonces ● ●
●
Si es una ecuación elíptica.
Si parabólica.
Si hiperbólica.
es
una
es
una
ecuación ecuación
En esta ecuación la variable dependiente u(x,y), representa la temperatura de una placa plana en una posición x y y, en condiciones de estado estable.
De esta forma de clasificación desprende un caso muy importante como lo es: ➔
●
La ecuación de onda unidimensional:
Ecuación de conducción de calor o ecuación de difusión.
Ecuación
diferencial
hiperbólica, ya que si se re-acomoda se obtiene que:
La cual es una ecuación parcial parabólica , ya que: b=0, c=0 y a=k, entonces
, donde: b=0, a>0 y c<0, entonces:
En donde: K es la constante de conductividad y depende del material en donde se esté realizando el fenómeno de conducción de calor. La variable dependiente u(x,t) representa la temperatura en una posición y tiempos dados. La ecuación diferencial que se mencionó anteriormente también puede representar el flujo eléctrico en un cable. ● La ecuación de Laplace en dos dimensiones, o temperatura de estado estable en un cable rectangular. Ejemplo:
En esta ecuación la variable independiente u(x,t) representa pequeños desplazamientos de una cuerda vibrante idealizada. [], []
BIBLIOGRAFÍA []Escrito por Maria Del Carmen Cornejo,Pedro Alberto Quintana Hernández,Eloisa B. Villalobos,Pedro Quintana. Métodos de solución de Ecuaciones Diferenciales y aplicaciones. Recuperado el 12 de Octubre de 2013, de http://books.google.com.co/books?id=v5CSmbT wjHEC&pg=PA236&dq=tipos+de+Ecuaciones+ diferenciales+parciales&hl=es&sa=X&ei=h39X UpjYFsWr4AOzoIGIBQ&ved=0CEQQ6AEwB
A#v=onepage&q=tipos%20de%20Ecuaciones% 20diferenciales%20parciales&f=false
[]. Weinberger Hans F. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Recuperado el 12 de Octubre de 2013, de http://books.google.com.co/books?id=nQR69wa NWvMC&printsec=frontcover&dq=Ecuaciones +diferenciales+parciales&hl=es&sa=X&ei=MH BZUs7iDZPM9gTdhIDYAg&redir_esc=y#v=on epage&q=Ecuaciones%20diferenciales%20parci ales&f=false
[]En este programa se realizaron cada una de las ecuaciones: http://s1.daumcdn.net/editor/fp/service_nc/penci l/Pencil_chromestore.html []Zill, D. G. (séptima edición). ECUACIONES DIFERENCIALES CON APLICACIONES DE MODELADO. thomson learning.
