Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Industrial
CASO PRÁCTICO: CRAWLER TREAD Y UN NUEVO ENFOQUE
I.
DATOS GENERALES a. Asignatura b. Integrantes c. d. e. f. g.
Ciclo de Estudios Año de Estudios Ciclo académico Fecha de Presentación Docente
: Investigación de Operaciones I : Montes Seclén, Lourdes Sánchez Carrillo, Maricarmen :V : 3er. Año : 2015-0 :10 de febrero del 2015 : Mgrt. Ing. Juan Antonio Torres Benavides
CASO PRÁCTICO - CRAWLER TREAD Y UN NUEVO ENFOQUE: En varios aspectos importantes, parte del trabajo de un gerente se relaciona con el análisis y evaluación del trabajo de otras personas, en lugar de elaborar personalmente su propia formulación y análisis “desde cero”. En su papel de buscador de diagnósticos, el administrador juzgará el modelo de otra persona. ¿Se han planteado las preguntas correctas? ¿Se ha llevado a cabo el análisis correcto? El siguiente diálogo capta la esencia de tal situación. Aquí se le pide a usted que haga comentarios sobre el análisis de una nueva oportunidad. Ralph Hanson ha sido el jefe de metalurgistas de la fundición de hierro de PROTRAC durante los últimos cinco años. Con su presencia aporta varias características importantes para su puesto. Para empezar, tiene una magnífica experiencia. Se graduó en la Universidad Case Western con el título de MCM (maestro en ciencias de materiales) y tuvo cinco años de experiencia en la U.S. Steel antes de ingresar a PROTRAC. Se ha servido de esta capacitación y experiencia para efectuar varios cambios que han contribuido a mejorar la calidad de los productos y la eficiencia de los procesos. Además se ha vuelto un administrador eficaz. A través de su instrucción formal y el estudio autodidáctico, se ha familiarizado con muchas técnicas y enfoques administrativos modernos y ha pugnado para que dichos métodos se apliquen en las condiciones apropiadas. De hecho, Ralph es el autor de la idea de aplicar los modelos de PL a las actividades de mezcla de minerales y reciclaje de desechos en PROTRAC. Ralph era el jefe de metalurgistas cuando se completó Crawler Tread, la primera aplicación de su mezcla de minerales. Actualmente, tanto Ralph como Sam Togas, el administrador de la planta, emplean con soltura los modelos de PL en el área de mezcla de minerales. Por lo general, Ralph formula, resuelve e interpreta por su cuenta la salida del modelo. Actualmente se enfrenta a un nuevo problema. La recesión ha afectado seriamente la demanda de equipo pesado y la mayoría de los departamentos de PROTRAC tienen un exceso de capacidad, incluyendo el de fundición. Sin embargo, las industrias de defensa están en auge. Un fabricante de tanques requiere un mineral de alto grado para la producción de rodamientos para tanques. De hecho, los requerimientos son exactamente los mismos que empleó PROTRAC en el siguiente modelo de Crawler Tread: Modelo Crawler Tread (Capítulo 3): Si bien es cierto que la formulación de PROTRAC, Inc. resultó ser un modelo de maximización, muchos modelos reales se presentan en un contexto de minimización. Cuando el objetivo son las ganancias, entonces resulta claro que lo que se busca es la maximización; en cambio, por ejemplo, si el objetivo es el costo, entonces lo que se requiere es la minimización. Como ejemplo de modelo de minimización, consideraremos ahora el siguiente modelo de Crawler Tread. Se desea mezclar mineral de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto de PROTRAC: un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio de análisis se ha demostrado que, para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas, deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos básicos que, para simplificar, señalaremos aquí como A, B y C. En términos específicos, cada tonelada de mineral deberá contener cuando menos 5 libras del
elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento básico C. Estos datos se presentan resumidos en la tabla 3.4.
El mineral extraído de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones, expresadas en libras por tonelada, se enumeran en la tabla 3.5. Nótese que una tonelada del mineral procedente de la primera mina contiene 10 libras del elemento básico A, y esto satisface los mínimos requerimientos de este elemento en 5 libras por tonelada. En forma similar, la misma tonelada contiene 90 libras del elemento básico B y 45 libras del elemento básico C, por lo cual logra satisfacer el requerimiento del elemento básico C, pero no el del elemento básico B. De igual manera, se puede comprobar que una tonelada de mineral de la segunda mina no logrará satisfacer los requerimientos de los elementos A o C. Una tonelada de la mina 3 no cumplirá los requerimientos de B o C y una tonelada extraída de la mina 4 no satisfará el requerimiento de A. Sin embargo, podemos encontrar muchas mezclas diferentes que satisfagan los requerimientos mínimos de los tres elementos básicos. Un ejemplo de dichas mezclas sería la combinación de media tonelada de material proveniente de la mina 1 y media tonelada de material de la mina 4.
CREACIÓN DEL MODELO DE PL
En virtud de que nos interesa encontrar una mezcla óptima de 1 tonelada, establecemos las variables de decisión en la siguiente forma: T1 = fracción de una tonelada que se tomará de la mina 1 T2 = fracción de una tonelada que se tomará de la mina 2 T3 = fracción de una tonelada que se tomará de la mina 3 T4 = fracción de una tonelada que se tomará de la mina 4 A continuación, tomando los datos de la tabla 3.5, las cantidades de los elementos básicos en 1 tonelada de mezcla se calculan como sigue: libras del elemento básico A en 1 tonelada de mezcla = 10T1 + 3T2 + 8T3 + 2T4 (3.9) libras del elemento básico B en 1 tonelada de mezcla = 90T1 + 150T2 + 75T3 + 175T4 (3.10) libras del elemento básico C en 1 tonelada de mezcla = 45T1 + 25T2 + 20T3 + 37T4 (3.11) Ahora podemos combinar las expresiones (3.9), (3.10) y (3.11) con los requerimientos mínimos indicados en la tabla 3.4 para obtener las tres restricciones (requerimientos): 10T1 + 3T2 + 8T3 + 2T4 ≥ 5 (3.12) 90T1 + 150T2 + 75T3 + 175T4 ≥ 100 (3.13) 45T1 + 25T2 + 20T3 + 37T4 ≥ 30 (3.14) ¿Tiene otras restricciones este modelo? Claro está que será necesario incluir en él las condiciones habituales de no negatividad T1, T2, T3, T4_ 0, pero todavía existe otra restricción importante que debemos agregar. En vista de que, excepto por las cuatro minas, no hay ninguna otra fuente que contribuya a formar la tonelada de material, la suma de las contribuciones fraccionales de dichas minas deberá ser igual a 1. Esto quiere decir que deberemos incluir también la siguiente restricción T1 + T2 + T3 + T4 = 1 (3.15) Esta última restricción, conocida a veces como la condición de balance de material, es una restricción de igualdad y restringe los valores de las variables de decisión, de tal modo que el lado izquierdo sea igual que el lado derecho. Esto ilustra un principio importante: Las restricciones de un modelo de programación lineal pueden ser tanto igualdades como desigualdades. Con base en la tabla 3.6, podemos ver que el costo de cualquier mezcla se da como sigue costo de 1 tonelada de mezcla = 800T1 + 400T2 + 600T3 + 500T4
Haciendo énfasis en que nuestro objetivo consiste en minimizar el costo, ahora podemos escribir el modelo simbólico completo de Crawler Tread: MODELO PL DE CRAWLER TREAD Min 800T1 + 400T2 + 600T3 + 500T4 (costo total) Restricciones: 10T1 + 3T2 + 8T3 + 2T4 ≥ 5 (requerimiento de A) 90T1 + 150T2 + 75T3 + 175T4 ≥ 100 (requerimiento de B) 45T1 + 25T2 + 20T3 + 37T4 ≥ 30 (requerimiento de C) T1 + T2 + T3 + T4 = 1 (condición de mezcla) Ti ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4 Continuando con el ejercicio: El fabricante de tanques está dispuesto a pagar a PROTRAC $850 por tonelada de mineral, por un máximo de 150,000 toneladas que deberán ser entregadas el próximo mes. Ralph se entera de que puede disponer de hasta 98,000 toneladas de mineral, el cual está compuesto de 21,000 toneladas de material procedente de la mina 1; 40,000 de la mina 2; 15,000 de la mina 3 y 22,000 de la mina 4. A partir de esta información, Ralph ha formulado un nuevo modelo de PL. En este modelo, Ti representa los miles de toneladas de mineral de la mina i (donde i = 1, 2, 3, 4) que intervienen en la mezcla y B son los miles de toneladas de mineral mezclado. Con el mayor cuidado, ha anotado la formulación para poder explicar fácilmente su análisis a Sam, el administrador de la planta. La formulación y la solución aplicadas por Ralph para su presentación aparecen en el Anexo 1. A Sam le encantó el proyecto. Da un margen de contribución de $30,500,000 y ocupa recursos (mano de obra y maquinaria) que de otra manera estarían ociosos. De inmediato hizo que el departamento legal elaborara un contrato por la venta de 98,000 toneladas de mineral. Cuando Ralph llegó, al día siguiente, Sam ya lo estaba esperando. Entonces sostuvieron la siguiente conversación: Sam: El contrato está listo y cuando ya me disponía a telefonear para confirmar el acuerdo, surgieron nuevos acontecimientos. Acabamos de recibir un télex de la mina 1. Debido a la cancelación de otro pedido, tenemos a nuestra disposición hasta 3,000 toneladas más de material al precio normal de $800 por tonelada, si las queremos. ¿Qué debemos hacer? Por qué no regresas y resuelves de nuevo tu modelo, incluyendo la posibilidad de las 3,000 toneladas más de la mina 1 y preparas un nuevo contrato si la solución es mejor. Obviamente, no nos puede ir peor que ahora, y la verdad es que no nos va tan mal. Ralph: En realidad, no hay necesidad de resolverlo de nuevo. Una de las mejores cosas de la PL es que podemos contestar muchas preguntas referentes a posibles cambios en el modelo original. En particular, el precio sombra de la cantidad de T1 disponible nos da un límite superior sobre cuánto más debemos pagar por la oportunidad de adquirir una tonelada adicional de mineral de la mina 1. Si el precio sombra es positivo, digamos $10, deberíamos estar dispuestos a pagar hasta $10 más por la oportunidad de comprar otra tonelada de
mineral (es decir, hasta $810 por tonelada de mineral de la mina 1). Si es cero, el aumento de la cantidad de mineral disponible en la mina 1 no nos permitirá incrementar las ganancias. Una rápida inspección de la solución nos revela que el precio sombra de esta restricción es cero. Ralph: En virtud de que no podemos aumentar nuestro margen de contribución, dejemos el contrato tal como está y regresemos a trabajar. Sam: ¡Caramba, Ralph, no lo entiendo! Podemos comprar mineral a $800 la tonelada y venderlo a $850, ¿y me dices que no lo debemos hacer? Ralph: Comprendo que es difícil de entender, pero yo sé que si se aumenta el lado derecho de la restricción (celda I7) el valor óptimo de la función objetivo permanecerá igual. Esto implica que las toneladas de mineral extra de la mina 1 no nos ayudarán. Supongo que es porque no podemos añadir este mineral nuevo a nuestra mezcla y aun así satisfacer los requerimientos mínimos de elementos. Recuerda que el mineral de la mina 1 sólo tiene 90 libras del elemento B por tonelada y que la mezcla debe tener cuando menos 100. Sam: Mira, Ralph, debo reunirme con el comité ahora. No puedo pasar más tiempo con este proyecto. No te diré que entiendo bien tu respuesta, pero tú eres el experto. Sigamos pues con el contrato actual. CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE OPTIMIZACIÓN Variables: T1: Miles de toneladas de mineral proveniente de la mina 1. T2: Miles de toneladas de mineral proveniente de la mina 2. T3: Miles de toneladas de mineral proveniente de la mina 3. T4: Miles de toneladas de mineral proveniente de la mina 4. M (MEZCLA): Miles de toneladas de la mezcla total. Función Objetiva: Maximizar el margen de contribución (en dólares) de la venta de la mezcla total. Max Z = 850 M - 800 T1 - 400 T2 - 600 T3 - 500 T4 Restricciones: i.
Mineral mezclado: 1 M – 1 T1 – 1 T2 – 1 T3 – 1 T4 = 0; esta restricción se da porque la cantidad utilizada total de las cuatro minas va a ser igual a la mezcla total en toneladas por esa razón, el restar las cantidades de mineral de todas las minas dará como resultado cero.
ii.
Límite de mezcla: 1 M ≤ 150 (en miles); esta restricción es menos igual porque el fabricador de tanque que es el cliente está dispuesto a pagar hasta 150 mil toneladas.
iii.
Límite mineral mina 1: 1 T1 ≤ 21 (en miles)
iv.
Límite mineral mina 2: 1 T2 ≤ 40 (en miles)
v.
Límite mineral mina 3: 1 T3 ≤ 15 (en miles)
vi.
Límite mineral mina 4: 1 T4 ≤ 22 (en miles)
vii.
Total mineral disponible: 1 T1 + 1 T2 + 1 T3 + 1 T4 ≤ 98 (en miles)
Las restricciones “iii”, “iv”, “v”, “vi” y “vii” se dan porque solo se puede disponer de hasta 98,000 toneladas de mineral, el cual está compuesto de 21,000 toneladas de material procedente de la mina 1; 40,000 de la mina 2; 15,000 de la mina 3 y 22,000 de la mina 4. viii.
Mínimo A: 5 T1 – 2 T2 + 3 T3 – 3 T4 ≥ 0
ix.
Mínimo B: -10 T1 + 50 T2 - 25 T3 + 75 T4 ≥ 0
x.
Mínimo C: 15 T1 – 5 T2 - 10 T3 + 7 T4 ≥ 0
RESOLVIENDO POR SOLVER: ¿QUÉ ES SOLVER? Solver es un paquete agregado para Excel que optimiza numéricamente los modelos sujetos a restricciones, como los modelos de PL. Solver emplea una técnica llamada algoritmo matemático de programación, con la cual encuentra las decisiones óptimas para un modelo determinado en una hoja de cálculo. Los algoritmos son sencillamente rutinas escritas en código de computadora que aplican en forma iterativa una receta, con la cual logran hallar las decisiones óptimas. Para la PL, Solver usa un algoritmo de optimización muy eficiente (que sólo trabaja con modelos de PL) llamado “método símplex”.
Para que Solver pueda optimizar un modelo, se debe preparar éste en una hoja de cálculo de la manera adecuada; debe apegarse a ciertas restricciones técnicas que este paquete impone a los modelos; y, lo más importante, si quiere interpretar adecuadamente los resultados de Solver, se debe entender las limitaciones de los modelos de optimización. Solver puede optimizar tanto los modelos lineales como los no lineales. Se debe recordar que: para la optimización de PL, debe ser lineal cada una de las fórmulas de su modelo que incluyan las variables de decisión directamente (o indirectamente, por medio de una cadena de referencias a celdas), y que directa o indirectamente afecten a la celda de la función objetivo. La restricción (de linealidad) es impuesta por el método símplex de programación lineal de Solver, el cual sólo funciona correctamente con las fórmulas de hojas de cálculo en las que intervienen relaciones lineales. Todas las fórmulas de Excel que se empleen en el modelo de PL construido en hojas de cálculo deben referirse de manera exclusiva a relaciones lineales entre las variables (de decisión), directa o indirectamente, según sea pertinente para el cálculo de la celda de la función objetivo y para la especificación de cualquiera de las restricciones.
USO DE SOLVER
DIAGRAMA DE FLUJO DE SOLVER
Inicie Excel Construya o abra su modelo de optimización Guardar el libro
Seleccionar “Solver” en el menú “Herramienta” Modifique el modelo
Especifique, dentro del cuadro de diálogo de Solver: La celda que va a optimizar Las celdas cambiantes Las restricciones
En las opciones, haga clic en “Asumir modelo lineal” y en seguida en botón “Aceptar” Lea atentamente el mensaje de terminación de Solver No
¿Encontró Solver la solución óptima? Si Haga clic “Utilizar la solución de Solver” y a continuación en el botón “Aceptar”
Si
¿Desea modificar el modelo y volver a optimizar? No Guardar el modelo final
SOLUCIÓN DEL CASO PRÁCTICO: CRAWLER TREAD SEGÚN EL DIAGRAMA DE FLUJO. PASO 1: Iniciar Excel
PASO 2: Construir el modelo de optimización Variables: T1: Cantidad de producción de tonelada (en miles) de mineral proveniente de la mina 1. T2: Cantidad de producción de tonelada (en miles) de mineral proveniente de la mina 2. T3: Cantidad de producción de tonelada (en miles) de mineral proveniente de la mina 3. T4: Cantidad de producción de tonelada (en miles) de mineral proveniente de la mina 4. M (MEZCLA): Cantidad de producción de tonelada (en miles) de la mezcla total. Función Objetivo: Maximizar las utilidades ganadas (en dólares) de la venta de la mezcla total. Max Z = 850 M - 800 T1 - 400 T2 - 600 T3 - 500 T4 Restricciones: i.
Mineral mezclado: 1 M – 1 T1 – 1 T2 – 1 T3 – 1 T4 = 0
ii.
Límite de mezcla: 1 M ≤ 150 (en miles)
iii.
Límite mineral mina 1: 1 T1 ≤ 21 (en miles)
iv.
Límite mineral mina 2: 1 T2 ≤ 40 (en miles)
v.
Límite mineral mina 3: 1 T3 ≤ 15 (en miles)
vi.
Límite mineral mina 4: 1 T4 ≤ 22 (en miles)
vii.
Total mineral disponible: 1 T1 + 1 T2 + 1 T3 + 1 T4 ≤ 98 (en miles)
viii.
Mínimo A: 5 T1 – 2 T2 + 3 T3 – 3 T4 ≥ 0
ix.
Mínimo B: -10 T1 + 50 T2 - 25 T3 + 75 T4 ≥ 0
x.
Mínimo C: 15 T1 – 5 T2 - 10 T3 + 7 T4 ≥ 0
PASO 3: Guardar el libro
PASO 4: Seleccionar “Solver” en el menú herramienta
PASO 5: Especificar, dentro del cuadro de diálogo de Solver: 1. La celda que va a optimizar 2. Las celdas cambiantes 3. Las restricciones
PASO 6: En las opciones, hacer clic en “Asumir modelo lineal” y en seguida en botón “Aceptar”
Ahora ya se tiene la solución
Y el análisis de sensibilidad
RESOLVIENDO POR TORA: PASO 1: Ejecutar Tora.
PASO 2: Seleccionar “Linear Programming” del menú principal.
PASO 3: Seleccionar “Go to Imput Screen”
PASO 4: Ingresar datos del modelo de Optimización Variables: T1: Cantidad de producción de tonelada (en miles) de mineral proveniente de la mina 1. T2: Cantidad de producción de tonelada (en miles) de mineral proveniente de la mina 2. T3: Cantidad de producción de tonelada (en miles) de mineral proveniente de la mina 3. T4: Cantidad de producción de tonelada (en miles) de mineral proveniente de la mina 4. M (MEZCLA): Cantidad de producción de tonelada (en miles) de la mezcla total. Función Objetiva: Maximizar las utilidades ganadas (en dólares) de la venta de la mezcla total. Max Z = 850 M - 800 T1 - 400 T2 - 600 T3 - 500 T4 Restricciones: i.
Mineral mezclado: 1 M – 1 T1 – 1 T2 – 1 T3 – 1 T4 = 0
ii.
Límite de mezcla: 1 M ≤ 150 (en miles)
iii.
Límite mineral mina 1: 1 T1 ≤ 21 (en miles)
iv.
Límite mineral mina 2: 1 T2 ≤ 40 (en miles)
v.
Límite mineral mina 3: 1 T3 ≤ 15 (en miles)
vi.
Límite mineral mina 4: 1 T4 ≤ 22 (en miles)
vii.
Total mineral disponible: 1 T1 + 1 T2 + 1 T3 + 1 T4 ≤ 98 (en miles)
viii.
Mínimo A: 5 T1 – 2 T2 + 3 T3 – 3 T4 ≥ 0
ix.
Mínimo B: -10 T1 + 50 T2 - 25 T3 + 75 T4 ≥ 0
x.
Mínimo C: 15 T1 – 5 T2 - 10 T3 + 7 T4 ≥ 0
PASO 4: Seleccionar “SOLVE Menu” y si se desea guardar seleccionar “Sí” y seleccionar “No” si por el contrario, no desea guardar.
PASO 5: Seleccionar “SOLVE Problem”, luego “Algebraic” y finalmente “Final solution”
PASO 6: Seleccionar “Go to Output Screen”
PASO 7: Finalmente se obtiene el resultado final, con su respectivo análisis de sensibilidad
Interpretación Para obtener un margen de contribución máximo de $30500 se necesita una mezcla de 98 toneladas de mineral compuesta por 21 toneladas de mineral de la mina 1, 40 de la mina 2, 15 de la mina 3 y 22 de la mina 4. La demanda es de como máximo 150 toneladas, sin embargo solo se producen 98 toneladas, dejando una holgura de 52 toneladas. Para las 4 minas se utilizan con exactitud los límites máximos de los que se pueden disponer.
Mientras que el precio de venta no baje de 800 dólares, las cantidades utilizadas de mineral de cada mina no van a cambiar, pero el margen de contribución si variará. Por otro lado, mientras el costo del mineral de cada mina no supere el precio de venta de 850, la solución óptima se mantendrá igual. El reduced cost de 0 indica que para cada una de las variables se obtuvieron valores óptimos, es decir, cantidades de toneladas mayores que 0. Además se tiene que por cada unidad que se varíe en el LD de las restricciones con un Dual Price diferente de 0, la función objetivo cambiará en ese valor. Por ejemplo, para el caso de la restricción del límite de la mina 1 se tiene un precio sombra de 50 que será el mismo en el rango de 20.20 a 21, lo que indica que por cada unidad que varía el mineral disponible, el valor del margen de contribución cambia en $50. Lo mismo se cumple para las demás restricciones de límites de las minas 2, 3 y 4 con sus respectivos precios sombra. Además se tiene que en el supuesto caso de que la primera restricción variara al igual que las anteriores en una unidad, el valor óptimo cambiaría en $850, lo que indica que si ahora la mezcla total excediera a la suma de las toneladas de cada mina en una tonelada, el nuevo valor óptimo sería de $30500 + $850 = $31350.
PREGUNTAS: 1. ¿Es correcta la interpretación que ha hecho Ralph de las cifras que aparecen en el informe? No es correcta la interpretación que hace Ralph con respecto a la primera pregunta planteada, porque el precio de sombra no indica cuanto es el costo de mineral por cada mina, por el contrario, es la cantidad en la que incrementa la función objetivo por cada unidad que le agregas o le quitas al lado derecho. En conclusión, la verdadera interpretación es la siguiente: si el precio de sombra es de 10 y tú le agregas una unidad a la restricción respectiva al precio de sombra antes mencionado (límite de mineral de la mina 1), significa que tu función objetivo aumentará en 10 dólares.
Para este caso se tendría que de tener disponible una tonelada más de mineral de la mina 1, el margen de contribución se incrementaria en $50, pero al no encontrarse este valor en el rango permitido no se puede determinar con certeza en cuanto variaría el VO.
En el caso contrario, que se tuviera media tonelada menos disponible, es decir, solo 20.5 toneladas de mineral de la mina 1, se podría decir que te tendría un margen de contribución total de $30475 ($30500-$25), ya que este valor si se encuentra dentro del rango 2. ¿Es correcta la respuesta que dio Ralph en cuanto a la oportunidad de efectuar la compra adicional? Si usted cree que se equivocó, ¿dónde estuvo la falla? No es correcta en su totalidad la interpretación, ya que no es que “la función objetivo permanezca igual” si no que las variables de decisión permanecerán igual siempre y cuando permanezcas en el rango permisible de la restricción. Con conclusión tendríamos entonces: Las decisiones tomadas permanecerán iguales sobre las cantidades que se tendrán de cada uno y la función objetivo si cambiaría porque se estaría comprando más material. Sin embargo, a pesar de que se tengan 3000 toneladas de material disponible de la mina 1, el análisis de sensibilidad nos muestra un valor máximo de 21 toneladas, lo que significa que si se modifica más allá de ese valor, precio sombra ya no será el mismo y no se sabrá con certeza cuando será el valor de la función objetivo, es decir, del margen de contribución.
Sin embargo, si lo resolvemos nuevamente cambiando el modelo podemos observar que el margen de contribución si se incrementa. Debemos tener en cuenta que la restricción del total de disponibilidad de materia prima ahora sería de 101 toneladas, ya no de 98
El margen de contribución sería ahora de $30650, por lo cual si conviene aceptar las 3000 toneladas extras de mineral. 3. Suponga que se eliminara del modelo la fila 11 (restricción total del mineral disponible). ¿Cuál sería el precio sombra de la restricción límite del material de la mina 1? ¿Y de la restricción límite del material de la mina 2? Al eliminarse la restricción del total de mineral disponible, tanto el precio de sombra de ambas restricciones se mantiene igual (siendo de 50 para el límite de material de la mina 1 y 450 para el de la mina 2), puesto que esta se puede deducir a partir de las restricciones iii, iv, v y vi debido a la propiedad que explica que si se suman miembro a miembro varias desigualdades de mismo sentido, resulta una desigualdad de mismo sentido que aquéllas. A continuación se muestra la comprobación en Solver
Comprobación con TORA:
4. ¿Puede usted determinar qué sucedería con el VO si se modificara el valor del LD de la restricción de la mina 2 (celda I8) a 39.999? Sí se puede determinar. Al reducirse una cantidad de 0.001 que se encuentra dentro del intervalo permisible entonces el VO vendría dado proporcionalmente al precio sombra.
Considerando que si se variara en una unidad el LD, el VO variaría en 450 (precio sombra), al tratarse de la disminución de 0.001, el VO disminuiría en una cantidad de 0.45, es decir, se tendría un nuevo valor para el VO de $ 30499.55. 450 x 0.001 = 0.45 30500 – 0.45 = 30499.55 Comprobación con Solver:
5.- Suponga que el LD de la restricción de la mina 2 (celda I8) aumenta a 40.001. ¿Cuáles son los nuevos valores óptimos de T1, T2, T3 Y T4?
La cantidad que se piensa aumentar de 0.001 está fuera de los parámetros permisibles, por lo que no se puede determinar con certeza que ocurrirá con el VO. La solución óptima tampoco se puede determinar. En este caso, lo ideal es resolver nuevamente el modelo en Solver para poder determinar el nuevo valor de las variables de decisión.
De esta manera, los nuevos valores que asumen las variables son de: T1=20.999 T2= 40.001, T3= 22 Y T4=15. 6. Determine por qué el incremento permisible de esta restricción (restricción del límite de mineral de la mina 2 - celda I8) es de 0.
El el
valor de 0 en incremento permisible indica que no se puede aumentar el lado derecho de la restricción en ningún valor sin que el precio de sombra cambie, pero se tiene que se puede reducir hasta una cantidad de 40 toneladas al material disponible en la mina 2, en el que el precio de sombra se mantendrá constante. 7.- ¿Es degenerada la solución del modelo de Ralph? De ser así, ¿puede identificar cuál o cuáles son las restricciones que provocan la degeneración del modelo? La solución tiene 10 restricciones y 9 variables positivas; las 5 de decisión, 1 de holgura de la segunda restricción y 3 de excedente de las 3 últimas, por tanto al ser la cantidad menor igual es una solución degenerada. Las restricciones que provocan la degeneración del modelo son todas las activas (que tienen holgura o excedente de 0), es decir, la primera restricción de mineral mezclado, la restricciones de límite de mineral en cada mina y la del total de mineral disponible.
De igual manera se observa en TORA
= Variables positivas = 9 = Restricciones = 10 8. El Anexo 2 es un intento de Ralph por reformular el PL de manera más compacta, parecida a la del modelo de Wayne Foley presentado en la sección 5.6. Su solución óptima es la misma, pero el Informe de sensibilidad tiene una apariencia distinta que el Informe que aparece en el Anexo 1. ¿Cómo explica los coeficientes objetivo y los costos reducidos que aparecen en el Informe de sensibilidad del Anexo 2 comparados con los correspondientes al del informe del Anexo 1? ¿Puede responder a las preguntas 4 y 5 basándose en el Anexo 2?
Anexo 1
Anexo 2
El tiempo y los requerimientos de memoria para que Solver optimice un modelo vienen determinados por el tamaño de la matriz de celdas coeficientes que constituyen el LI de las restricciones. El tamaño de esta matriz es proporcional al producto de la cantidad de variables (columnas) y la cantidad de restricciones (filas). Solver tiene incorporado un procedimiento que permite que cualquier límite de restricción superior o inferior impuesto sobre las variables de decisión se respete sin considerarse como restricción. Esto, llamado “límites superiores e inferiores simples”, hace que se mantenga pequeña la matriz de coeficientes, dando como resultado menores tiempos de optimización de Solver y un menor consumo de la memoria (RAM). Lo que se paga por hacer uso de los límites superiores e inferiores simples consiste en la pérdida de un poco de información en el Análisis de sensibilidad después de la optimización. La única información de sensibilidad disponible acerca de las restricciones con límite superior e inferior son sus precios sombra, pero sin la información referente al rango de aplicación generado para los precios sombra que corresponden a una restricción normal. La columna de Costo reducido del Informe de Sensibilidad siempre tiene una celda por variable de decisión, así que Solver pone cualquier precio sombra diferente de cero que haya en una restricción con límite superior o inferior en la columna de Costo reducido junto a la variable de decisión respectiva. Por tanto, los costos reducidos que aparecen en el Anexo 2 vendrían a ser en realidad los precios sombras que corresponden a las restricciones de cada variable. En el caso de la variable T1, se tienen dos restricciones de límites superior e inferior: T1>0 y T1< 21. Aquí se puede observar que la restricción obligatoria es la segunda, por tanto el precio sombra de 50 correspondería a tal restricción.
De la misma manera se cumple para T2, T3 y T4. Para todas ellas la restricció obligatoria correspondiente son las de T2<40, T3<15 y T4<22, por lo que el precio de sombra de cada una respectivamente es aquel en la columna de costo reducido.
En el caso de los coeficientes objetivos, como el 2do modelo de PL planteado cuenta solo con 4 variables y se trata de un modelo de maximización, los coeficientes finales vendrían dados por la resta entre el precio de venta respectivo de $850/tonelada menos el costo/tonelada de cada mezcla. Así se tendría: Para T1: $850/ton – $800/ton = $50/ton Para T2: $850/ton – $400/ton = $450/ton Para T3: $850/ton – $600/ton = $250/ton Para T4: $850/ton – $500/ton = $350/ton Aparte se tiene que no se podrían responder a las preguntas 4 y 5 debido a que, como ya se mencionó antes, el análisis de sensibilidad no presenta la información adecuada respecto al rango para el cual la variación del precio sombra se puede aplicar.
BIBLIOGRAFÍA Gould – Eppen – Schmidt. Investigación de Operaciones en la Ciencia Administrativa. Editorial: Prentice Hall. 3ra Edición.
Chiclayo, Febrero del 2015
