Caso CRAWLER TREAD -Formulacion PL y Sensibilidad

CPEL C ARRERAS UNIVERSITARIAS UNIVERSITARIAS P ARA PERSONAS CON EXPERIENCIA LABORAL

EJERCICIO EJERCICIO DE PL (Formulación y Sensibilidad) Caso CRAWLER TREAD “

”

(tomado del texto de EPPEN & GOULD, 5ta ed)

La empresa CRAWLER TREAD desea mezclar mineral de hierro de cuatro minas distintas para fabricar rodamientos destinados a un nuevo producto de PROTRAC: un tractor tipo oruga de tamaño mediano, el E-6, diseñado especialmente para competir en el mercado europeo. Por medio de análisis se ha demostrado que, para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas, deben cumplirse requerimientos mínimos en relación con tres elementos básicos que, para simplificar, señalaremos laremos aquí como A, B y C. E n términos términos especí es pecíficos, ficos, cada cada tonelada tonelada de mineral deberá contener cuando menos 5 libras del elemento básico A, 100 libras del elemento básico B y 30 libras del elemento básico C. Estos datos se presentan resumidos en la Tabla 1 Tabla 1. Requerimientos de elementos elementos básicos

A

REQUERIMIENTO MÍNIMO POR TONELADA DE MEZCLA (libras de cada elemento) 5

B

100

C

30

ELEMENTO BÁSICO BÁSICO

El mineral extraído de cada una de las cuatro minas posee los tres elementos básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones, expresadas en libras por tonelada, se enumeran en la Tabla 2. En la misma tabla se indican los costos del mineral el cual es diferente, dependiendo de la localidad (mina) de la cual provenga. Tabla 2. Composiciones obtenidas obtenidas de cada mina mina

ELEMENTO BÁSICO BÁSICO

MINA

1

2

3

4

A

10

3

8

2

B

90

150

75

175

C

45

25

20

37

COSTO DEL MINERAL MINERAL (US$/ton)

800

400

600

500

La administración ha descubierto que hay muchas mezclas posibles (factibles) o combinaciones de cantidades a extraer de las 4 minas, las cuales cumplen con los requisitos de los elementos básicos. Sin embargo, ha solicitado la ayuda de Usted para descubrir una mezcla factible de costo mínimo.

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FORMULACIÓN DEL MODELO DE PL

Sea Ti = fracción de tonelada de mineral proveniente de la local idad (mina) “i” que hay por tonelada de mezcla, nuestro modelo puede ser planteado de la siguiente manera: Min 800T 1 + 400T2 + 600T3 + 500T4 (costo total de 1 tonelada de mezcla) s.a. 10T1 + 3T2 + 8T3 + 2T4 ≥ 5 (req. mínimo de elemento A) 90T1 + 150T2 + 75T 3 + 175T4 ≥ 100 (req. mínimo de elemento B) 45T1 + 25T2 + 20T 3 + 37T4 ≥ 30 (req. mínimo de elemento C) T1 + T2 + T3 + T4 = 1 (condición de mezcla) Ti ≥ 0, i=1, 2, 3, 4 A continuación el modelo ingresado en al EXCEL, el cual aparece con los datos óptimos (luego de correr el SOLVER) en las variables de decisión y V.O (valor de la función objetivo).

Y la hoja de “Informe de Sensibilidad” (o Informe de Confidencialidad en la versión Excel 2010):

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INTERPRETACIÓN (ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD)

1. La “solución” se refiere a los valores óptimos de las variables de decisión (valores de las celdas B4:E4), los cuales son aproximadamente T1 0.26, T2 0.70, T3 0.04, T4 0.00 . Estas son las fracciones o proporciones de cada mineral (de las 4 minas) en una tonelada de mezcla final. 2. Y el costo de esta mezcla es el VO, valor de la función objetivo igual a $511.11 (celda F5), que representa el costo mínimo al cual se puede llegar con los datos y restricciones impuestas. Situación ejemplo 1 (restricciones: precio sombra y cambios en el LD) 3. Y si yo, como Gerente quiero mantener mis costos por debajo de $500 por tonelada. ¿Hay alguna forma de hacerlo? …… La respuesta es NO con las restricciones a ctuales. Pero si se modifican algunos de estos requerimientos se puede ver la forma de llegar a mejorar el VO (menor costo). 4. Recordemos que los requerimientos en este problema se expresaron como niveles mínimos de elementos a incluir. ¿Cómo puedo saber cuánto exactamente es la cantidad de cada elemento que se usa en la mezcla óptima? Esta información se obtiene de las columnas F e I de la hoja de cálculo. Las primeras tres restricciones del modelo son los requerimientos de elementos A, B y C, respectivamente. La columna Holgura (columna I, a partir de la celda I6) también denominada “excedente”, nos i n-

dica que para la restricción A el excedente es cero (0) y recordemos que el requerimiento de A fue de 5 libras (en el lado izquierdo o columna H lo podemos ver). Esto significa que por tonelada de mezcla óptima, se usan exactamente 5 libras de A. De manera similar la restricción relacionada con el elemento C (fila 9) nos indica que su excedente es cero, es decir que la mezcla óptima contiene exactamente 30 libras de C. Entonces, las restricciones A y C serían restricciones “activas” (denominadas también “obligatorias”, “efectivas” o “constreñidas”). Para B tengo que ver la celda I8. Dado que hay un excedente de 31.67 podemos afirmar que la restricción no es activa. Su interpretación es que la mezcla óptima contiene 31.67 libras adicionales que el requerimiento mínimo de 100 libras. 5. Si deseo bajar mi costo total de mezcla por debajo de $500, entonces deberé hacer más flexibles mis restricciones. Esto significa suavizar o “relajar” los requerimientos de A o de C. ¿Por qué no el

de B?...... Porque de nada servirá relajar el requerimiento de B por ejemplo a 98, porque son las restricciones activas (A y B) las que están impidiendo llegar a un menor costo… Dicho de otra fo rma: para poder satisfacer los requerimientos de A y de C a un costo mínimo, las relaciones del modelo implican que la mezcla tenga más de 100 libras de B. Así disminuya el requisito de B, la mezcla óptima seguirá teniendo la misma composición y costo.  Se debe suavizar alguno de los requerimientos activos (aquellos con holgura o excedente cero). 6. Ya sé que debo relajar las restricciones de los elementos A ó C, pero ¿cuál de las dos? y ¿cuánto? Para esto nos fijamos en la columna “Precio s ombra” del informe de sensibilidad que arroja el Solver. Recordemos que el precio sombra nos indica la razón de cambio del VO a medida que aumentamos el lado derecho de la restricción. 3


Como en ambos casos nos interesa suavizar una restricción del tipo ≥, estaremos disminuyendo el

lado derecho, con la esperanza de disminuir nuestro costo (minimización). 7. Veamos el precio sombra de la restricción A. Es de +44.44. El signo positivo nos indica que, a medida que aumenta el lado derecho, el costo de VO aumenta o es afectado. Por tanto, conforme se relaja o disminuye el lado derecho, disminuye también el VO (mejora el VO, toda vez que estamos minimizando la F.Obj). El precio sombra nos dice que el costo mínimo disminuye a razón de $44.44 por cada libra de A reducida y que aumenta a razón de $44.44 por cada libra de A que se añada. Entonces, por ejemplo, si solamente requiriera 4 libras de A, el costo bajaría a unos $466.67 ($511.11 – $44.44), con lo cual cumpliría mi objetivo de llegar a un costo de mezcla menor a $500 ¿Es correcto? No exactamente. Si bien la razón de cambio es la correcta, esta razón sólo se aplica a un intervalo de valores del lado derecho, cercanos al valor original de 5. Este intervalo se deduce de las cifras mostradas en las columnas “Aumento permisible” y “Decremento permisible” del informe . Vemos que el decremento permitido es de 0.25, es decir, como máximo puedo disminuir el LD hasta 4.75 para que mi precio sombra de 44.44 siga siendo válido. Si bajo mi requerimiento de A hasta el mínimo permitido de 4.75 entonces mi ahorro sería igual a 0.25 (44.44)) = $11.11. Es decir mi VO llegaría a $500. ¿Y qué sucedería si disminuyera más mi lado derecho? ¿Mejoraría el VO de mi modelo?.... No lo sabemos, la razón de cambio podría cambiar luego de ese límite. Pero debería reingresar un nuevo modelo con los datos modificados. 8. Si hemos entendido bien, veamos ahora cuánto podría ahorrar si relajo el requerimiento de C. El lado derecho original es 30. En el informe de sensibilidad vemos un precio sombra de +4.44 y un decremento permisible de 7. Por lo que podría bajar hasta 23 mi LD. Si hago esto mi ahorro sería 7 (4.44) = $ 31.08. Es decir $480.03. De hecho si disminuyera el requerimiento de C en sólo 2.5 libras podría aplicar la misma razón de cambio y e n consecuencia debería ahorrar 2.5 (4.44) = $ 11.10, con lo cual también llegaría a mi objetivo de costo de $500. 9. Ok. Veo que puedo rebajar el costo por tonelada hasta $500 si suavizara el requerimiento de A hasta 4.75 libras por tonelada, o bien el requerimiento de C hasta 27.5 libras/ton. Pero ¿si suavizara los dos requerimientos?, el de A y el de C un poco menos, pero en forma simultánea? ¿Qué sucedería entonces? ¿Llegaré a un costo aún menor?... No lo sabemos, el informe de sensibilidad no nos proporciona información precisa para responder esta pregunta. La única manera de contestarla sería volver a resolver el modelo varias veces, utilizando lados derechos distintos para A y C. Entonces recordemos que cuando aplico el precio sombra a uno de los valores de lado derecho, es importante que mantenga sin cambio alguno los demás. En este punto, ¿qué me conviene entonces? Bajar el requerimiento de A en 0.25 libras o el de C en 2.5 libras? (si ambos me dan el mismo costo mínimo óptimo). Nuevamente el modelo no nos dice nada al respecto. Es el usuario, Gerente o interesado el que debe decidir. Un dato podría ser que la diminución en A es un 5% y la de C un 8.33% (quizás convenga la de A). Pero la decisión puede pasar por otras consideraciones administrativas, como por 4


ejemplo “cuál de los cambios afectará más las propiedades de la mezcla”.

Situación ejemplo 2 (variables: cambios en los coeficientes de la F.Objetivo) 10. Según algunas fuentes confiables, el costo del mineral de la localidad 2 podría aumentar. ¿Puedo saber si influirá en las cantidades de la mezcla óptima? Recordemos que el costo del mineral lo vemos representado en los coeficientes de la Función Objetivo: $800, $400, $600 y $500. La repuesta es afirmativa. En la parte del informe denominada celdas cambiantes tengo la información que me interesa. Por ejemplo, para variable T2, en la fila correspondiente hay un elemento llamado Incremento permisible (66.85) y otro llamado Decremento permisible (300). Estos números nos dan el rango dentro del que puede variar el costo de T2, sin cambiar la mezcla óptima de producción. Como el costo de T2 es de $400 en nuestro modelo original, el informe nos dice que este coeficiente podría variar entre $100 y 466.85 y la mezcla óptima de productos seguirá siendo la misma. Por lo tanto, si el costo de la localidad 2 aumenta de $400 a $450, ¿no tenemos de qué preocuparnos? No necesariamente. Sólo sabemos que la mezcla óptima de productos se conservará igual. Es decir, los valores óptimos de todas las variables, incluyendo las de holgura, quedan igual. Pero nuestro costo total aumenta en $50 por la cantidad de T2 que se emplee en la solución actual. Entonces, el VO pasará del valor anterior $511.11 al nuevo valor $511.11 + 50(0.704) = $ 546.31. Todo quedará igual excepto este costo final. 11. Y ¿qué pasa si la mina 3 me disminuye su precio? ¿Cuánto podría disminuir sin que cambie los valores óptimos actuales? Según el informe de sensibilidad este precio puede bajar hasta en $118.27 y esto no variará mi combinación óptima de minerales. Aunque el VO mejorará hasta llegar a un costo total mínimo de $506.73 (511.11-118.27*0.037). Situación ejemplo 3 (Costo reducido de las variables no básicas) 12. Como soy un Gerente muy detallista y conocedor de mi negocio, me doy cuenta que el valor óptimo de T4 es cero. Es decir que la solución óptima resultante del modelo me indica que no debe incluirse ni una sola libra del mineral de la mina 4 en la mezcla óptima, a fin de llegar al costo mínimo. Sin embargo, yo sé que el mineral de la localidad 4 tiene algunas propiedades deseables referentes a la tensión, que no han sido incorporadas al modelo. Además hay posibilidades de renegociar periódicamente el costo de T4. Mi pregunta es ¿cuánto tendría que disminuir el costo de T4 para que nos decidamos a comprar su mineral? 13. Veamos, el costo actual de T4 es de $500 por tonelada. Nuestra cuestión es “¿cuánto tendría que bajar dicho costo para que en nuestra política óptima se usar a un poco de T4?” (es decir, para que el valor de T4 sea positivo en nuestra solución óptima). Nuevamente voy a mi fuente, el informe de sensibilidad y veo en la fila correspondiente a la variable T4 (fila 12), que el decremento permisible es 91.11. Lo interpreto como “si el coeficiente o c osto de la variable disminuye en menos de $91.11, esa variable seguirá siendo cero, es decir no par5


ticipará en la solución óptima o base”. También puedo afirmar que si supera ese valor (si dismin u-

ye más de $91.11), T4 tomará un valor positivo y pasará a formar parte de la solución (pasará a ser “básica”). Pero una forma más directa de responder a la pregunta es revisando la columna “Costo reducido”.

Esta columna sólo es significativa para las variables de decisión cuyo valor ópti mo es cero. Nos indican cuánto del costo unitario de dichas variables puede reducirse antes de que el valor óptimo de ellas se vuelva positivo. En nuestro caso, la celda E12 señala un costo reducido de 91.11 para la variable T4. Esa es la respuesta a mi pregunta: El costo del mineral T4 tendría que bajar como mínimo en 91.11 para que participe en mi política óptima de mezcla. Adjuntamos el informe de sensibilidad de Lindo donde observarán exactamente los mismos datos del informe del SOLVER. A modo de ejercicio, pueden identificar los valores de holguras, intervalos de las restricciones, intervalos para los coeficientes de la F.Objetivo y los costos reducidos de las variables de decisión.

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