B 2.11 El cable BC de 4mm de diámetro es de acero E=200GPa .sabiendo que el máximo esfuerzo no debe exceder 190Mpa y que la elongación del cable no debe sobrepasar 6mm ,encuentre la carga máxima P que puede aplicarse como se ve en la figura….
2,5 m P 3,5 m
C
A
Obtener largo del cable BC:
4m
Luego usamos el diagrama de cuerpo libre que queda así. 𝑀𝐴 = 3.5𝑃 − 6
6𝑚2 + 4𝑚2 = 7.21𝑚 Dato extra:
4 𝐹𝐵𝐶 = 0 7.2111
𝐶𝑎 cos =
P= .9509𝐹𝐵𝐶 Considerando el esfuerzo admisible: 𝜎 = 190𝑥106 𝑝𝑎 𝐴 = 𝜋/4𝐷2 𝜎 =
𝑓𝑏𝑐 𝐴
𝜋/4(.004)2 =
𝑓𝑏𝑐 = 𝜎 𝑥𝐴
𝐴 = 12.56𝑋106 𝑚2
(190𝑋106 )(12.566𝑋10−6 ) = 2.388𝑋103 𝑁
Considerando la longitud admisible: formula de la deformación. 𝛿=
(𝐹𝐵𝐶) (𝐿𝐵𝐶) (𝐴)(𝐸) 12.566𝑋10−6 200𝑋109 6𝑋10−3 = = 2.091𝑋103 (7.211 )
(𝐴)(𝐸)(𝛿) 𝐹𝐵𝐶 = (𝐿𝐵𝐶)
Tomamos la fuerza FBC que obtuvimos de la formula de deformación debido a q fue la mas pequeña. 𝐹𝐵𝐶 = 2.091𝑋103 𝑁
𝑃 = .9509𝐹𝐵𝐶 = .9509 2.091𝑋103 = 1.988𝑋103
𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃 = 1.988𝐾𝑁
2.12 la varilla BD de acero (𝜖 = 29𝑥106 psi) Se utiliza para reforzar el elemento axialmente comprimido ABC .la máxima fuerza que puede desarrollar el elemento BD es de 0.02 P. si el esfuerzo no debe exceder 18 Ksi y el máximo cambio en longitud de BD no debe sobrepasar 0.001 veces la longitud de ABC, halle el diámetro mínimo que puede utilizarse para la varilla del elemento BD.
P=130Kips
A 72 pulg
D B
𝐹𝐵𝐷 = 0.02𝑃 = 0.02 130 = 2.6𝐾𝑖𝑝𝑠 = 2.6𝑋103 𝐿𝑏 Considerando el esfuerzo: 𝜎 = 18𝐾𝑠𝑖 = 18𝑋103 𝑝𝑠𝑖 𝐹𝐵𝐷 2.6 𝐹𝐵𝐷 𝐴 = = = .14444𝑖𝑛2 𝜎 = 𝜎 18 𝐴 Considerando la deformación: Cambio de longitudes
72 pulg
C
𝛿 = .001 144 = .14444𝑖𝑛
54 pulg
(𝐹𝐵𝐷) (𝐿𝐵𝐷) 𝛿= (𝐴)(𝐸)
(2.6𝑋103 ) (54) 𝐴= = 0.03362𝑖𝑛2 6 29𝑋10 (.144)
𝐴 = 𝜋/4𝐷2
D=
4A π
=
4 (.1444) = 0.429in. π
(𝐹𝐵𝐷) (𝐿𝐵𝐷) 𝐴= (𝐸)(𝛿)
30mm
A
d 2.13 una carga axial única de magnitud P=58KN se aplica en el extremó de una varilla de latón ABC. .sabiendo que E=150Gpa , determine el diámetro d dela porción BC para que el que la deflexión del punto C será de 3mm.
B
1,2m C
P
0,8 m P L =0 A E
𝛿𝑐 =
=
P A
L𝑎𝑏 Aab
+
L𝑏𝑐 Abc
Lbc E 𝛿𝑐 L𝑎𝑏 105𝑥109 3𝑥10−3 1.2 = − = − = 3.7334𝑥103 𝑚 π 3 2 A𝑏𝑐 P Aab 58𝑥10 (0.030) 4 𝐿𝑏𝑐 0.8 −6 𝑚 2 𝐴𝑏𝑐 = = =−= 214.28𝑥10 3.7334𝑥103 3.7334𝑥103 π 𝐴𝑏𝑐 = 𝐷 4
𝐷𝑏𝑐 = 2
4 (𝐴𝑏𝑐) π
=𝐴 =
(4)(214.28𝑋10−6 ) π
= 16.52𝑋10−3 𝑚 = 16.52𝑚𝑚
A
30mm
20mm
B
C
2.14 ambas porciones de la varilla ABC son de un aluminio para el que E=73Gpa. sabiendo que el diámetro de la porción BC es d =20mm encuentra la máxima fuerza P que puede aplicarse si 𝜎𝑝𝑒𝑟 = 160 𝑀𝑃𝑎 y la deflexión correspondiente del punto C no debe exceder 4mm.
1,2m P Áreas:
0,8 m
𝜋 𝐴𝑎𝑏 = (0.030)2 = 706.86𝑥10−6 𝑚 4 𝜋 𝐴𝑏𝑐 = (0.020)2 = 314.16𝑥10−6 𝑚 4 Considerando el esfuerzo admisible: 𝜎 = 160𝑥10106 𝑃 𝑃 = 𝐴𝜎 𝜎= 𝐴 Porcion AB P = 706.86𝑥10−6 160𝑋106 = 113.1𝑋103 𝑁 Porción BC P = 314.16𝑥10−6 160𝑋106 = 50.3𝑋103 𝑁
Considerando la deflexión admisible:
𝛿𝑐 =
𝛿𝑐 = 𝑚
𝑃 𝐿 𝑃 𝐿𝑎𝑏 𝐿𝑏𝑐 = ( + ) 𝐴 𝐸 𝐸 𝐴𝑎𝑏 𝐴𝑏𝑐
𝐿𝑎𝑏 𝐿𝑏𝑐 −1 1.2 .8 𝑃 = 𝐸𝛿𝑐( + ) = 73𝑥109 4𝑥10−3 = ( + )−1 −6 −6 𝐴𝑎𝑏 𝐴𝑏𝑐 706.86𝑥10 314.16𝑥10 Resultado de P:
= 68.8𝑥103 𝑁
Tomas el mas pequeño para p:
𝑃 = 50.3𝑋103 N
1 y 1/2 pulg P
1 pulg
A
1 y 1/2 pulg 2.15 la probeta mostrada en la figura esta
B C
D 2 pulg
P
2 pulg 3 pulg
compuesta por la varilla cilíndrica de acero de 1 pulgada de diámetro y por dos manguitos de 1.5 pulgadas de diámetro exterior unidos a la varilla. Sabiendo que E =29𝑥 106 𝑝𝑠𝑖,determine a)la carga P total que la deformación total sea de 0.002 pulgadas ,,b)la deformación corresponda a la porción central BC.
AB
2
1.5
1.7671
𝑳 , 𝒊𝒏−𝟏 𝑨 1.1318
BC
3
1
0.7854
3.8197
CD
2
1.5
1.7671
1.1318
L, 𝒊𝒏
𝑫, 𝒊𝒏
𝑨, 𝒊𝒏𝟐
SUMA
𝛿=
6.083
𝑃 = 29𝑋106 0.002 6.083 = 9.535𝑋102 𝐿𝑏𝑠 = 9.53𝐾𝑖𝑝𝑠 𝑃 𝐿𝑏𝑐 𝑃 𝐿𝑏𝑐 9.535𝑥103 3 𝑖𝑛. 𝐵) 𝛿𝑏𝑐 = = = 3.8197 = 1.254𝑥10 𝐴𝑏𝑐 𝐸 𝐸 𝐴𝑏𝑐 29𝑥106
𝑃𝑖 𝐿𝑖 𝑃 = 𝐴𝑖 𝐸𝑖 𝐸 𝑃 = 𝐸𝛿(
𝐿𝑖 𝐴𝑖
𝐿𝑖 −1 ) 𝐴𝑖
𝜋 2 𝐴𝑖 = 𝐷𝑖 4
2.16 ambas porciones de la varilla BC son de aluminio para que E =70 Gpa. sabiendo que la magnitud P es de 4KN encuentre ,a)el valor de Q para que la deflexión de A sea de cero. ,,b)la deflexión correspondiente de B.
p A
0,04m
20mm diámetro
𝑎)
𝜋 𝜋 2 𝐴𝑎𝑏 = 𝐷𝑎𝑏 = 0.020 4 4
2
= 314.16𝑥10−6 𝑚 2
B 𝜋 𝜋 2 𝐴𝑏𝑐 = 𝐷𝑎𝑏 = 0.060 4 4 Q
0,5m C
2=
2.8274𝑥10−3 𝑚 2
60mm diámetro
Forzando la viga AB en P con tensión:
𝑃𝐿𝑎𝑏 4𝑥103 (0.4) 𝛿𝑎𝑏 = = = 72.756𝑥10 𝐸𝐴𝑎𝑏 (70𝑥109 )(314.16𝑥10 −6 )
−6 𝑚𝑡𝑠
Forzando la varilla BC: es q-p =compresión
Deformación 𝛿𝑏𝑐 =
𝑄−𝑃 𝐿𝑏𝑐 𝐸 𝐴𝑏𝑐
𝑄−𝑃 (0.5)
= (70𝑋109(2.8274𝑋10−3 ) = 2.5263𝑋10 −9 (𝑄 − 𝑃)
Evaluando en cero la deflexión de A 𝛿𝑏𝑐 = 𝛿𝑎𝑏 2.5263𝑥10 −9 𝑄 − 𝑃 = 72.756𝑋 −6
𝑄 = 28.3𝑋10 3 + 4𝑋10 3 = 32.8𝑋10 3 𝑁 = 32.8𝐾𝑁 𝐵) 𝛿𝑎𝑏 = 𝛿𝑏𝑐 = 𝛿𝑏 = 72.756𝑥10𝑚 = 0.0728𝑚𝑚
OJO: 𝑄 − 𝑃 = 28.8𝑋10 3 𝑁
p 2.17 la varilla ABC es de aluminio para que E =70 Gpa. Sabiendo que P=6KN y que Q =42KN. Determine la flexión de a)el punto AB, b)el punto B.
A
0,04m
20mm diámetro B
Q
0,5m C
60mm diámetro
𝜋 𝜋 𝐷𝑎𝑏 2 = .020 4 4 𝜋 𝜋 𝐴𝑏𝑐 = 𝐷𝑏𝑐 2 = .060 4 4 𝐴𝑎𝑏 =
2=
314.16 −6 𝑚 2
2=
2.8272 −3 𝑚 2
𝑃𝑎𝑏 = 𝑃 = 6𝑋10 3 𝑃𝑏𝑐 = 𝑃 − 𝑄 = 6𝑋10 3 − 42𝑋10 3 = −36𝑋10 3
𝐿𝑎𝑏 = .4 𝑚
𝐿𝑏𝑐 = .5𝑚
𝑃𝑎𝑏 𝐿𝑎𝑏 6𝑥10 3 (.4) −6 𝑚 𝛿𝑎𝑏 = = = 109.135𝑥10 𝐴𝑎𝑏 𝐸𝑎 314.016𝑥10 −6 (70𝑥10 4 )
𝑃𝑏𝑐 𝐿𝑏𝑐 −36𝑥10 3 (.5) 𝛿𝑏𝑐 = = = −90.947𝑥10 −6 𝑚 −3 4 𝐴𝑏𝑐 𝐸 2.8274𝑥10 (70𝑥10 )
𝛿𝑎 = 𝛿𝑎𝑏 = 𝛿𝑏𝑐 = 109.135𝑥10 −6 − 90.947𝑥10 −6 𝑚 = 0.01819𝑚𝑚
B)
𝛿𝑏 = 𝛿𝑏𝑐 = −90.9 𝑥10−6 𝑚 = 0.0909𝑚𝑚
A 2m B 50KN 3m
2.18 la varilla de acero de 36mm de diámetro ABC y la varilla de latón CD del mismo diámetro están unidas en el punto C ACERO para formar la varilla de 7.5 m longitud E=200GPa ABCD. para la carga mostrada en la figura, y despreciando el paso de la varilla ,determine la flexión de a)el punto C , b)el punto D.
C LATON E=105GPa
2,5m D
2=
1.01787𝑥10 −3 𝑚 2
𝑷𝒊
𝑳𝒊
𝑬𝒊
AB
150𝐾𝑁
2𝑚
200𝐺𝑝𝑎
𝑷𝒊 𝑳𝒊 𝑨 𝑬𝒊 1.474𝑥10−3 𝑚
BC
100𝐾𝑁
3𝑚
200𝐺𝑝𝑎
1.474𝑥10−3 𝑚
CD
100𝐾𝑁
2.5 𝑚
105𝐺𝑝𝑎
2.339𝑥10−3 𝑚
porción
100KN
𝜋 2 𝜋 𝐴 = 𝐷 = .036 4 4
𝛿𝑐 = 𝛿𝑎𝑏 + 𝛿𝑏𝑐 = 1.474𝑥10 −3 + 1.474𝑥10 −3 = 2.948𝑥10 −3 𝑚 = 2.95𝑚𝑚 𝛿𝑑 = 𝛿𝑑 + 𝛿𝑐𝑑 = 2.948𝑥10 −3 + 2.339𝑥10 −3 = 5.287𝑥10 −3 𝑚 = 5.29𝑚𝑚
P 3 𝑖𝑛 64 D A 15𝑖𝑛
C
B
𝐿𝑎𝑏 = 15 +
3 = 15.047𝑖𝑛 64
2.19 el tubo de latón AB(𝐸 = 15𝑋106 𝑃𝑠𝑖)tiene una área de sección transversal de .22𝑝𝑢𝑙𝑔2 .y esta dotado de un tapón en A. el tubo esta unido en B a una placa rígida que a su vez esta sujeta en C al fondo de un cilindro de aluminio (𝐸 = 10,4𝑋106 𝑃𝑠𝑖)con una área de sección transversal de .40𝑝𝑢𝑙𝑔2 .el cilindro entonces se cuelga de un soporte en D. para cerrar el cilindro el tapón debe moverse 3/64 𝑝𝑢𝑙𝑔. Hacia abajo. Determine la fuerza P que debe aplicarse en el cilindro.
𝐴𝑎𝑏 = 0.22𝑖𝑛 2
Acortamiento en la base del tubo AB: 𝛿𝑎𝑏 =
𝑃 𝐿𝑏𝑏 𝑃(15.047) −6 𝑃 = = 4.5597𝑋10 𝐴𝑎𝑏 𝐸𝑎𝑏 (15𝑋10 6 )(0.22)
𝐸𝑎𝑏 = 15𝑥10 6 𝑝𝑠𝑖
Alargamiento del aluminio para cd 𝐿𝑐𝑑 = 15𝑖𝑛
𝐴𝑐𝑑 = 0.40𝑖𝑛 2
𝐸𝑐𝑑 = 10.4𝑥10 −6 𝑝𝑠𝑖
𝑃 𝐿𝑐𝑑 𝑃(157) 𝛿𝑎𝑏 = = = 3.6058𝑋10 −6 𝑃 6 𝐴𝑐𝑑 𝐸𝑐𝑑 (10.4𝑋10 )(0.40)
Deflexión total: 3 64
𝛿𝑎 = 𝛿𝑎𝑏 + 𝛿𝑐𝑑 =
= 4.5597𝑥10 −6 + 3.6058𝑥10 −6 𝑃 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 𝑃 = 5.74𝑋10 3 𝐿𝑏 = 5.74𝐾𝑝𝑠𝑖
B 1,2m
A 0,9m C
P Rodillo BC
𝐿𝑏𝑐 = 2.1𝑚
𝜋 2 𝜋 𝐴𝑏𝑐 = 𝐷 = .015 4 4
2=
2.20 una sección de 1.2 m de una tubería de aluminio con una área de sección transversal de 1100𝑚𝑚2 descansa sobre un soporte fijo en A. la varilla de acero BC de 15𝑚𝑚 de diámetro cuelga de una barra rígida que descansa sobre una tubería en B. Sabiendo que el modulo de elasticidad es de 200Gpa para el acero y de 72Gpa para el aluminio ,calcule la deflexión del punto C cuando un fuerza de 60KN se aplica en C.
, 𝐸𝑏𝑐 = 200𝑥10 9 𝑝𝑎 176.715𝑥10 −6 𝑚 2
𝑃 𝐿𝑏𝑐 60𝑥10 3 (2.1) 𝛿𝑑𝑏 = = = 3.565𝑥10 −3 𝑚 9 −6 𝐴𝑏𝑐 𝐸𝑏𝑐 200𝑥10 (176.715𝑥10 )
Para el Circulo AB: 𝐿𝑎𝑏 = 1.2𝑚
,
𝐸𝑎𝑏 = 72𝑥10 4 𝑝𝑎
,
𝐴𝑎𝑏 = 1100𝑚𝑚 2 = 1100𝑥10 −6 𝑚 2
𝛿𝑏 𝑃 𝐿𝑎𝑏 (60𝑥10 3 )(1.2) = = = 909.1𝑥10 −6 𝑚 2 9 −6 𝐴 𝐸𝑎𝑏 𝐴𝑎𝑏 (72𝑥10 )(1100𝑥10 ) 𝛿𝑐 =
𝛿𝑏 𝛿𝑐 + = 909.1𝑥10 −6 + 3.565𝑥10 −3 = 4.47𝑥10 −3 𝑚 = 4.47𝑚𝑚 𝐴 𝑏
