DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD VARIABLE ALEATORIA Se denomina variable aleatoria al conjunto imagen de esta correspondencia, es decir, al conjunto de los números reales que se hayan hecho corresponder a cada uno de los sucesos elementales. Dado un experimento aleatorio cualquiera cuyos sucesos elementales posibles pueden identificarse fácilmente mediante un número real, se denomina Variable Aleatoria, X, al conjunto de estos números. También se le llama variable de azar o variable estocástica, y significa cantidad que puede tomar varios valores imprevistos. Ejemplo 1.- Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire. Los posibles resultados del experimento (sucesos elementales) son los siguientes: <
>, <>, <>, <>, <> y <>. Resulta sencillo asociar a cada suceso elemental el número correspondiente a la cara del dado que haya salido. Por tanto, la variable aleatoria, X, será: X= 1,2,3,4,5,6 Por el contrario, si dado un experimento aleatorio cualquiera no resulta inmediata la asociación de un número para cada uno de los posibles sucesos elementales, se establece una correspondencia entre el conjunto de los posibles sucesos elementales y el conjunto de los números reales, de manera que a cada suceso elemental le corresponda un número real arbitrario y que a sucesos elementales distintos les correspondan números distintos. Ejemplo 2.- Sea el experimento aleatorio de averiguar la marca de tabaco que preferirá un individuo entre las posibles marcas: <>, <>, <>. En este caso la asociación de un número para cada suceso elemental posible del experimento no es inmediata. En consecuencia, se establece una correspondencia entr entre e el conj conjun unto to de los los suce sucesos sos elem elemen enta tale less posi posibl bles es y el conj conjunt unto o de los los números reales, del modo siguiente: Al suceso elemental <> se le hace corr esponder el número 1; al suceso elemental <> se le hace corresponder el número 2; al suceso elemental <> se le hace corresponder el número 3. La variable aleatoria X será: X = (1,2,3).
El número asociado a cada suceso elemental puede ser cualquiera dentro del conj conjun unto to de los los núme número ross real reales es,, con la condi condici ción ón única única de que a suces sucesos os elementales distintos le correspondan números también distintos. Se comprueba fácilmente que la correspondencia así definida entre el conjunto de los posibles sucesos elementales de un experimento aleatorio y el conjunto de los números reales es una aplicación inyectiva.
X
Y
Z
1
4
2
5
3
6
VARIABLE ALEATORIA DISCONTINUA O DISCRETA. Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto defini definido do de valores valores posibl posibles es x1,x2, x1,x2,x3, x3,….. …..xn xn con probabi probabilid lidades ades respect respectiva ivass p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1. En general, una variable aleatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable alea aleato tori ria a es posi posibl ble e desa desarr rrol olla larr una una func funció ión n mate matemá mátitica ca que que asig asigne ne una una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de la probabilidad. Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, <>, < cruz>>, >, no vien vienen en repre represe sent ntado adoss por por los los núme número ros, s, por por lo que que casa casa suces suceso o elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <> se le hace corresponder corresponder el número “1” y al suceso elemental elemental <> se le hace corresponder el número “2”.
VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.Si X es una Variable aleatoria continua, puede tomar cualquier valor de un intervalo continuo o dentro de un campo de variación dado. Las probabilidades de que ocurra un valor dado x están dadas por una función de densidad de probabilidad de que X quede entre a y b. El área total bajo la curva es 1. Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en medir la altura que es capaz de saltar cada miembro de un conjunto de personas. En este experimento, cada miembro del conjunto observado da lugar a un número, por lo que se toma como variable aleatoria el conjunto de las medidas de las alturas que son capaces de saltar las distintas personas. En el supuesto que una persona hubiera saltado 105 cm y otra 106 cm, no existiría ninguna razón para que otra no hubiera saltado un valor intermedio cualquiera entre las dos anteriores, como 105.5 cm. Se trata de una variable aleatoria continua. La variable aleatoria será: X = (1,2).
CARA
1
SELLO
2
Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.
PROCESO ALEATORIO O ESTOCÁSTICO Un proceso aleatorio o proceso estocástico es un concepto matemático que sirve para caracterizar y estudiar todo tipo fenómenos aleatorios (estocásticos) que evolucionan, generalmente, con el tiempo. Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias indexadas por una variable (continua o discreta), generalmente, el tiempo. Cada una de las variables
aleatorias del proceso tiene su propia función de distribución de probabilidad y, entre ellas, pueden estar correlacionadas o no. Cada variable o conjunto de variables sometidas a influencias o impactos aleatorios constituye un proceso estocástico. Ejemplos Los siguientes son ejemplos dentro del amplio grupo de las series temporales:
• • • • • • •
Señales de telecomunicación Señales biomédicas (electrocardiograma, encefalograma, etc...) Señales sísmicas El número de manchas solares año tras año El índice de la bolsa segundo a segundo La evolución de la población de un municipio año tras año El tiempo de espera en cola de cada uno de los usuarios que van llegando a una ventanilla • El clima es un gigantesco cúmulo de procesos estocásticos interrelacionados (velocidad del viento, humedad del aire, temperatura, etc) que evolucionan en el espacio y en el tiempo. • Los procesos estocásticos de orden mayor a uno, como el caso de una serie de tiempo de orden 2 y una correlción de cero con las demás observaciones.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL La distribución binomial fue desarrollada por Jakob Bernoulli (Suiza, 16541705),es la principal distribución de probabilidad discreta. La binomial proviene de experimentos que solo tienen dos posibles resultados, a los que se les puede nombrar como éxito o fracaso. Los datos son resultado de un conteo, razón por la cual se clasifica como distribución discreta. La binomial consiste de varias pruebas y en cada una la probabilidad de éxito es la misma, por lo que son independientes. Para construir una distribución binomial es necesario conocer el número de pruebas que se repiten y la probabilidad de que suceda un éxito en cada una de ellas. La fórmula que describe la distribución binomial es la siguiente:
n! pxqn-x b(x) = x!(n-x)! donde: n es el número de pruebas x es el número de éxitos p es la probabilidad de obtener un éxito q es la probabilidad de obtener un fracaso, que se calcula q = 1- p
Ejemplo El experimento consiste en lanzar cuatro veces al aire una moneda. Nuestro interés es el número de águilas en los cuatro lanzamientos. Como es evidente, la probabilidad de obtener un éxito ( águila ), en una de las pruebas ( lanzamiento ) es .50 y la de obtener un fracaso es también .50 a) ¿Cuál es la probabilidad de no obtener águilas en los cuatro lanzamientos? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un águila en los cuatro lanzamientos? c) Haga una distribución de probabilidad binomial d) Calcular la media y la desviación estándar de la distribución binomial
a) Como tenemos 4 pruebas (n=4) y esperamos cero éxitos (x=0) La probabilidad de no obtener águilas es:
n! b(x) =
x!(n-x)!
pxqn-x
4! b(0) =
4!(4-0)!
0.500.54-0
b(0) = 0.0625 b) De la misma manera tenemos 4 pruebas (n=4), solo que ahora esperamos un éxito (x=1). La probabilidad de obtener un águila es:
n! b(x) =
x!(n-x)!
4! b(1) =
pxqn-x
0.510.54-1
4!(4-1)!
b(1) = 0.25 c) Para representar la distribución binomial completa, primeramente calculamos el resto de las probabilidades asociadas a la variable aleatoria, las cuales se encuentran en la siguiente tabla:
Número de águilas
Probabilidad
0
0.0625
1
0.25
2
0.375
3
0.25
4
0.0625
Total
1.00
Inmediatamente después se procede a graficar. La gráfica más adecuada es el histograma, que consiste en una serie de rectángulos cuya altura es proporcional a las diferentes probabilidades:
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad es una lista del total de valores que puede tomar una variable aleatoria con una probabilidad asociada. Existen dos tipos de distribuciones de probabilidad, las distribuciones de probabilidad discretas y las distribuciones de probabilidad continuas.
Distribuciones de probabilidad discretas Las distribuciones de probabilidad discretas son aquellas en las que la variable aleatoria solo puede asumir ciertos valores claramente separados, y son resultado de un conteo. Por ejemplo, el número de águilas en dos lanzamientos de una moneda.
X
0
1
2
P(X)
0.25
0.50
0.25
Hay varios tipos de distribuciones discretas de probabilidad, tales como la distribución binomial, la distribución Poisson, y la distribución Hipergeométrica.
Distribuciones de probabilidad continuas Las distribuciones de probabilidad continuas son aquellas en las que la variable aleatoria puede asumir un número infinito de valores, que son resultado de una medición. Por ejemplo, el tiempo que tarda un atleta en recorrer 100 metros planos. Por supuesto que las variables aleatorias continuas dependen de la exactitud del instrumento de medición. También existen varios tipos de distribuciones continuas de probabilidad, la distribución normal, la distribución t, la distribución ji-cuadrada, entre otras. Las distribuciones continuas son imposibles de tabular y por lo tanto se representan con curvas.
Curva de una distribución de probabilidad continua
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754). Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la ecuación de la curva; de ahí que también se la conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss". La distribución de una variable normal está completamente determinada por dos parámetros, su media y su desviación estándar. La función de densidad de la curva normal está definida por la siguiente ecuación:
F(x) =
1 2πσ
e
(-1/2)[(x)/ ]2
La distribución continua de probabilidad más importante de toda la estadística es la distribución de probabilidad normal. Como vimos anteriormente, una variable aleatoria continua es la que puede asumir un número infinito de posibles valores dentro de un rango específico. Estos valores usualmente resultan de medir algo ( medidas de longitud, de peso, de tiempo, de temperatura etc.)
CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL La distribución de probabilidad normal y su curva tiene las siguientes características: 1. La curva normal tiene forma de campana. La media, la moda y la mediana de la distribución son iguales y se localizan en el centro de la distribución. 2. La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media. Por lo tanto, la mitad del área bajo la curva está antes del punto central y la otra mitad después. El área total bajo la curva es igual a 1. 3. La curva normal se aproxima de manera asintótica al eje horizontal conforme se aleja de la media en cualquier dirección. Esto significa que la curva se acerca al eje horizontal conforme se aleja de la media, pero nunca lo llega a tocar.
LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR Para facilitar los cálculos se decidió tabular la normal para diferentes probabilidades con variables que siguen la distribución normal. Pero, puesto que sería imposible tener una tabla para cada posible distribución normal, se elaboró solo una tabla, la tabla de la distribución normal estándar, que es la distribución con media igual a cero y desviación estándar igual a uno. De esta manera solo se tiene que transformar o estandarizar una distribución normal específica, se reviza la tabla, y se conoce la probabilidad. Para estandarizar los valores de una variable, se utiliza la siguiente fórmula: z=
x–µ
σ
Gracias a esta fórmula podemos transformar cualquier distribución normal a la distribución normal estándar.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento. La Distribución de Poisson se llama así en honor a Simeón Dennis Poisson (17811840), francés que desarrolló esta distribución basándose en estudios efectuados en la última parte de su vida. La distribución de Poisson se emplea para describir varios procesos, entre otros la distribución de las llamadas telefónicas que llagan a un conmutador, la demanda (necesidades) de servicios en una institución asistencial por parte de los pacientes, los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro y el número de accidentes en un cruce. Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores enteros (0,1,2,3,4,5 y así sucesivamente). El número de enfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo será de 0,1,2,3,4,5 o algún otro número entero. De manera análoga, si se cuenta el número de automóviles que llegan a una caseta de cobro durante un periodo de diez minutos, el número será entero. Características de los procesos que producen una distribución de la probabilidad de Poisson. El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico sirve como ejemplo para mostrar las características de una distribución de probabilidad de Poisson. El promedio (media) de los arribos de vehículos por hora de gran tráfico puede estimarse a partir de los datos anteriores del tráfico. Si dividimos las horas de gran tráfico en periodos (intervalos) de un segundo cada uno, encontraremos que los siguientes enunciados son verdaderos: a) La probabilidad de que exactamente un vehículo llegue por segundo a una caseta individual es un número muy pequeño y es constante para que cada intervalo de un segundo. b) La probabilidad de que dos o más vehículos lleguen en un intervalo de un segundo es tan reducida que podemos asignarle un valor cero. c) El número de vehículos que llegan en determinado intervalo de un segundo es independiente del momento en que el intervalo de un segundo ocurre durante la hora de gran tráfico.
d) El número de llegadas en cualquier intervalo de un segundo no depende del número de arribos de cualquier otro intervalo de un segundo. Ahora bien, podemos generalizar partiendo de las cuatro condiciones que hemos descrito en este ejemplo, si estas condiciones se cumplen nos apoyaremos en una distribución de probabilidad de Poisson para describirlos. Cálculo de probabilidades mediante la distribución de Poisson. La distribución de Poisson, según hemos señalado, se refiere a ciertos procesos que pueden ser descritos con una variable aleatoria discreta. La letra X suele representar esa variable y puede además asumir valores enteros (0,1,2,3 etc..) . Utilizamos la letra X mayúscula para representar la variable aleatoria y la x minúscula para designar un valor específico que puede asumir la X mayúscula. La probabilidad de exactamente x ocurrencias en una distribución de Poisson se calcula mediante la fórmula: P(x) = l x * e-l / x! l x = Lambda (número medio de ocurrencias por intervalo de tiempo) elevada a la potencia x. e-l = e= 2.71828 elevado a la potencia de lambda negativa. x! = x factorial. Ejemplo : Supóngase que estamos investigando la seguridad de un crucero muy peligroso. Los archivos de la policía indican una media de cinco accidentes por mes en él. El número de accidentes está distribuido conforme a la distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4 accidentes en un mes determinado. Aplicando la fórmula anterior: P(0) = (5)0 (e-5) /0! = 0.00674 P(1) = (5)1 (e-5) /1! = 0.03370 P(2) = (5)2 (e-5) /2! = 0.08425 P(3) = (5)3 (e-5) /3! = 0.14042 P(4) = (5)4 (e-5) /4! = 0.17552
Para saber cual es la probabilidad en 3 o menos, sumaremos las probabilidades de 0,1,2,3 lo que será igual a : P(0) = 0.00674 P(1) = 0.03370 P(2) = 0.08425 P(3) = 0.14042 P(3 o menos) = 0.26511 Dado que la probabilidad de que haya 3 o menos accidentes es de 0.26511 entonces la probabilidad de que ocurran más de tres debe ser = 1 –0.26511 = 0.73489. La distribución de Poisson como una aproximación a la distribución binomial. Algunas veces, si se desea evitar el tedioso trabajo de calcular las distribuciones binomiales, se puede usar a cambio la de Poisson, pero debe cumplir con ciertas condiciones como : n=>20 p=<0.05 En los casos en que se satisfacen tales condiciones, podemos sustituir la media de la distribución binomial en lugar de la media de la distribución de Poisson de modo que la fórmula quedaría así: P(x) = (np) X * e-np /x!
EJERCICIOS 7.2 dentro del programa de salud escolar del ministerio de Salud, se llevo a cabo una revisión de los dientes de los niños que asisten a la escuela, para determinar el numero de caries que tienen y proceder a su tratamiento. En una escuela rural se reviso a sus 120 alumnos y se encontró los siguientes resultados: Numero de caries Numero de alumnos 0 8 1 12 2 16 3 16 4 20 5 30 6 18 a). Construya la 13ISTRIBUCIÓN de 13ISTRIBUCIÓN13s del numero de caries de los alumnos. TABLA DE PROBLABILIDAD X 0 1 2 3 4 5 6
13ISTRIBUCIÓN
DE
F(X) 1/15 1/10 2/15 2/15 1/6 1/4 3/20
b).cual es la probabilidad de que un niño de esa escuela tenga: I. cero caries P= 8/120 = 0,066 II. 5 o mas p= 48/ 120= 0,4 III. Entre 2 y 5 p= 2/15 + 2/15+ 1/6 + 1/4 = 0,6833
IV. Mas de 4 caries P = 48/120 = 0,4 V. E(x) = (0x1/5) + (1x1/10) + (2x2/15) + (3x 2/15) + (4x 1/6) + (5 x 1/4) + (6 x 3/20) = 3,7833 caries VI.
σx = √ ∑[(x2 – f(x)) ] .µx 2 σx = √ (90) . (3,7833) 2 σx = 35,89
7.3 En un estudio sobre la efectividad de un insecticida contra cierto insecto se roció un área grande de tierra. Posteriormente, se examino el área en relación con los insectos vivos, seleccionando metros cuadrados al azar y contando el numero de insectos vivos por metro cuadrado. Experiencias anteriores han demostrado que el numero promedio de insectos vivos por metro cuadrado, después de haber rociado, es de 0,6. Si el numero de insectos vivos por metro cuadrado se distribuye según poisoon. ¿cual es la probabilidad de que un metro cuadrado elegido al azar contenga:
a) exactamente un insecto vivo?
p( x; λ) = e-λ . λx x!
= P(1;o,6) =
e-(0,6) . 0,61 = 1!
0,3293
x= 1 λ= 0,6
b) ningún insecto vivo? P(0; 0,6) = = e-(0,6) . 0,60 0!
= 0,5488
c. Tres o más insectos vivos? P(2; 0,6) = P(x ≥ 3) = 1 – P(x ≤ 2) = 0,0231 ii ¿Cuál es la probabilidad de que, en tres metros cuadrados haya más de cinco insectos vivos? P(x ≥ 5) = P(x ≤ 6) = 1 – P(x ≤ 5) = 1- P(5;1,8) =
=
e-(1,8) . 1,85 = 0,0104 5!
7.4 En el 65% de los hogares con teléfono de una zona suburbana, hay alguien en la casa en la noche. Un investigador que esta haciendo una
encuesta por teléfono, selecciona al azar 16 de esos hogares para llamar rn la noche. i.
¿cuál es la probabilidad de que?
a). Encuentre a alguien en cada casa en exactamente el 50% de los hogares estudiados n= 16 p= 0,65 x= 0,5 de los hogares estudiados o sea 8 p(x=8) P= 16! (0,65)8 (1 – 0,65)16-8 – 16! (0,65)7 (1 – 0,65)16-7 (16 – 8)!8! (16 – 7)!7! P= 0,0481
b. encuentre a alguien en casa en menos de 4 hogares n= 16 p= 0,65 p(x ≤ 4) P=
16! (0,65)4 (1 – 0,65)16-4 = 0,00109 (16 – 4)!4!
c).encuentre a alguien en casa en 5 o mas hogares? n= 16 p= 0,65 P(x ≥ 5) = 1 - p(x ≤ 4)= 0.99891
ii- si la zona suburbana cuenta con 700 hogares, en cuantos se espera encontrar a alguien en casa en las noches? E(x) = np
E(x) = (700) (0,65) = 455
iii- Si el investigador decide estudiar una muestra de 100 hogares, cual es la probabilidad de encontrar 70 o mas con alguien en casa en la noche? n= 100 p= 0,65
P(x ≥ 70) = 1 - p(x ≤ 69) P=
100! (0,65)69 (1 – 0,65)100-69 (100 – 69)!69!
P = 1 – 0,06 = 0,94
7.5 La ingesta diaria de agua de un animal de laboratorio es de 16 gramos con una desviacion estandar de 2 gramos i-
¿cuál es la probabilidad de que, si se selecciona un animal al azar, consuma:
a). Entre 15,50 y 16,25 gramos? P(15,50
x
P( 15,5 – 16 2
16,25) Z
16,25 – 16) 2
P(- 0,25 ≤ Z ≤ 0,125) = Fz (0,125; 0,1) – F z (- 0,25, 0,1) = 0,5478 – 0,4013 = 0,1465
b. Mas de 16,50 gramos? P(X > 16,50) = P( Z> 16,5 – 16) = P(Z> 0,25) = 2 1 - Fz (0,25; 0,1) = 1 – 0,5987 = 0,4013
c. Menos de 15 gramos? P(X < 15) = P( Z < 15 – 16) = P(Z < - 0,5) = 2 Fz (-0,5; 0,1) = 0,3085
Ii- si se tiene una muestra de 65 animales, cuantos se espera que consuman entre 15,50 y 16,25 gramos (utilice la probabilidad del punto a). n= 65 P= 0,1465
np = (65) ( 0,1465) = 9,5225 ≈ 10 animales
7.6 Supóngase que se sabe que en cierta población mayor de 18 años el 12% padece de hipertensión. Si de esta población se extrae una muestra al azar de 20 personas, ¿ cual es la probabilidad de que: a) Tres o menos sean hipertensas N = 20 P = 0,12 P(X ≤ 3) = F (3, 20, 0.12) = 20! (20 – 3)! 3!
(0,12) 3
P = 0,7884 probabilidad que sean 2 P = 0,2242 probabilidad que sean 3
b) Seis o más sean hipertensas P(X ≥ 6) = 1 – P(X ≤ 5) = 1 – F( 5, 20, 0.12) = 120! (0,12)5 (1 - 0,12)20-5 (20 – 5)! 5! = 0,9433
c) Entre cinco y diez inclusive sean hipertensas P( 5≤ x ≤ 10 ) = F(10, 20, 0.12) – F(5, 20, 0.12) = 20! (0,12)10 (1 - 0,12)20-10 (20 – 10)! 10!
20! (0,12)5 (1 - 0,12)20-5 (20 – 5)! 5!
P= d). Dos o tres sean hipertensas P(X ≥ 2) = 1 – P(X ≤ 1) = 1 – F( 1, 20, 0.12) = 120! (0,12)1 (1 - 0,12)20-1 (20 – 1)! 1! P=
7.7 Se sabe que entre los estudiantes universitarios el 4% tienen 6 0 más hermanos; un 42% vive fuera de San Jose; un 24% usa anteojos; un 60%
lleva 4 o mas asignaturas; un 2% lleva dos carreras; un 18% está insatisfecho con la carrera escogida. Si se toma una muestra aleatoria de 20 estudiantes obtenga la probabilidad de que dos de ellos: a). Tenga 6 o mas hermanos n= 20 P= 0,04 P(X ≥ 6) = 1 P( X ≤ 5) = 1 – F (5, 20, 0.04) = 1 -
20! (0,04)5 (1 - 0,04)20-5 (20 – 5)! 5!
P= 0,999
b) Vivan fuera de San jose n= 20 P= 0,42 P( X = 2) P= F(2, 20, 0.42) – F(1, 20, 0.42) = 20! (0,42)2 (1 - 0,42)20-2 (20 – 2)! 2!
--
20! (0,42)1 (1 - 0,42)20-1 (20 – 1)! 1!
P= 0,001849 - 0,000268 = 0,001581
c) Usen anteojos n= 20 P= 0,24 P( X = 2) P= F(2, 20, 0.24) – F(1, 20, 0.24) = 20!
(0,24)2 (1 - 0,24)20-2
(20 – 2)! 2!
P= 0,0783 – 0,0261 = 0,0522
d). Cursen 4 o mas asignaturas n= 20 P= 0,6
--
20! (20 – 1)! 1!
(0,24)1 (1 - 0,24)20-1
P(X ≥ 4) = 1 – P(X ≤ 3) = 1 – F( 3, 20, 0.6) = 120! (0,6)3 (1 - 0,6)20-3 (20 – 3)! 3! = 0,999 ≈ 1 d) esten insatisfechos con su carrera n= 20 P= 0,02 P( X = 2) P= F(2, 20, 0.02) – F(1, 20, 0.02) = 20!
(0,1)2 (1 - 0,18)20-2
--
(20 – 2)! 2!
20!
(0,18)1 (1 - 0,18)20-1
(20 – 1)! 1!
P= 0,1729 – 0,0829 = 0,09
e) lleven dos carrera n= 20 P= 0,02 P( X = 2) P= F(2, 20, 0.02) 20!
(0,02)2 (1 - 0,02)20-2
(20 – 2)! 2! P= 0,0528
7.8 Con base en el enunciado de la pregunta anterior, pero ahora suponiendo que se escogen 100 estudiantes al azar; obtenga las sigientes probabilidades: a) 3 de ellos lleven dos carreras n= 20 P= 0,02 P( X = 3) Se tiene que n es demasiado grande y p es pequeña, se aproxima a poisson con: λ = np
λ = (100)(0,02)
λ=2 P(3,2) = F(3,2) – F(2,2)
e
P=
-(2)
(2)3 -
e
-(2)
(2)2 3! 2! P= 0,8571 - 0,6767 = 0,1804
b) Entre 40 y 65 lleven 4 o mas asignaturas
n=100 P=0,6
P(40
x
65)
P= F(65,100, 0.6) – F(40, 100, 0.6) P= 0,0491 – 0,0000244 P= 0,049
c) 12 o mas esten insatisfechos con la carrera escogida n=100 P=0,6
P(X ≥ 12) P= 1 – P ( 11) = 1 – F(11, 100, 00.18) P= 1 – 0,0194 P= 0,9805 ≈ 1
d) entre 5 y 9 lleven dos carreras n=100 P=0,02
P(5
x
9)
Se aproxima a poisson con: λ = np
λ = (100)(0,02) λ=2 P= e-(2) (2)9 - e-(2) (2)4 9! P= 1 – 0,9473
4!
P= 0,0527
7.9 Al realizar el control en una fabrica de latas de frijoles, se encuentra en promedio 3 latas arrugadas al dia ¿Cual es la probabilidad de encontrar 5 de estas latas en un dia cualquiera? P(5,3) =
e
-(3)
(3)5 -
5! P= 0,9161 – 0,8153 P= 0,0998
e
-(3)
(3)4 4!
7.10 En una población de 1000 estudiantes, las puntuaciones de una prueba de inteligencia (CI) se distribuyen normalmente con una media de 100 puntos y una desviación estandar de 10 puntos. a) ¿cuántos alumnos se ubicaron entre 75 y 125 puntos?
X ∼ N(100,10)
P(75 x 125) P( 75 – 100 Z 10
125 - 100) 10
P= (- 2,5 Z 2,5) = F2(2,5; o,1) – F 2 (-2,5; 0,1) P= 0,9938 – 0,0062 P= 0,9876 % P= 98,76 Estudiantes
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar tenga un CI de 90 puntos o menos? P( x P( Z P= (Z
90) 90 - 100) 10 -1) = F2 (2-1; o,1)
P= 0,1587
c) Si se diera una beca a los 50 estudiantes con mayores CI, cual es el puntaje minimo que deberia establecerce para obtorgar la beca?
Para seleccionar los 50 estudiantes el porcentaje correspondiente es del 5% ó 0,05. como solo un 5% serian privilegiados estando por encima del 95% restante la funcion de probabilidad sera: P( X
) = P( Z
x
- 100) = 1 – FZ 10
x
Como los seleccionados serian solo un 5% delos estudiantes, tomamos como probabilidad que el 95% ó 0,95 de los estudiantes estarán por debajo del puntaje mínimo requerido. Al ubicar 0,95 en la tabla encontramos que corresponde a un Z= 1,64 aproximadamente, ahora podemos averiguar el puntaje mínimo exigido 1,64 ≥ 16,4
– 100 = 10 (1,64) 10
x
X - 100 = 16,4 + 100
X
X , este es el puntaje mínimo requerido para otorgar la beca
7.11 En una clínica del seguro social se atiende un promedio de 5 pacientes por hora. ¿cuál es la probabilidad de que en la proxima hora se atienda exactamente 3 pacientes?
λ = 5p/h X= 3 P= e-(5) (5)3 - e-(5) (5)2 3!
2!
P= 0,2650 – 0,1247
P= 0,1403
7.12 Se sabe que la proporcion de parasitos con la solitaria comun en el Ganado porcino es de 15% en cierta region. a). Si se toma una muestra de 20 cerdos de dicha region, cual es la probabilidad de que cinco de los cerdos tengan parasitos? P= 0,15 n=20 P(X;n, P) = P(5; 20,0.15) = F(5; 20, 0.15) – F(4; 20, 0.15) P= 0,9327 – 0,8298
P= 0,1029
b) Si se toma una muestra de 80 cerdos de esa region, cual es la probabilidad de que al menos 75 cerdos no tengan el parasito como n es demasiado grande hacemos una aproximación a la distribución de poisson
p = e-λ . λx x! Donde, n= 80 y luego 2 permanece constante siendo en el anterior caso 2= (20) (0,15) = 3, ahora hallamos P, con n= 80 3= (80)P P= 3/80 = 0,0375 Entonces quedaría P(X ≥ 65) = 1 – F(64; 0,0375) P=
e
-(0,0375)
(0,0375)64 64!
P= 0
7.13 Si las concentracione de colesterol total para cierta población tienen distribución aproximadamente normal con promedio 200 mg/100ml y desviación estandar de 20mg/100ml. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar un individuo que renga: a). Entre 180 y 200 mg/100ml?
X ∼ N(220mg/100ml; 20mg/100ml) = 2; 0.2) P( 180/100
Z
200/100) = P( 180/100 – 200/100 ≤ Z ≤ 200/100- 200/100) = 20/100 20/100
P(- 20/200 ≤ Z ≤ 0) = P( -1 20/100 Fz(0; 0.1) – F z (-1; 0.1) P= 0,5 – 0,1587 P= 0,3413
Z
0)=
b) Mas de 210 mg/100ml? 2,1 P(
Z > 210/100 – 200/100 ) = P( Z > 10/100 ) = P(Z> 0,1/0,2) 20/100 20/100
P(Z> 0,5) = 1- F Z (0,5; 0.1) = 1 – 0,6915 P= 0,3085
c) Menos de 150 mg/100ml)? 1,5 P(X< 150/199) P(
Z < 150/100 – 200/100 ) = P( Z < -50/100 ) = P(Z< -2,5) 20/100 20/100
FZ (2,5; 0.1) = 0,0062 P= 0,3085
d) Mas de 250 mg/100ml? P(X>250/100) P(
Z > 250/100 – 200/100 ) = P( Z > -250/100 ) = P(Z> 2,5) 20/100 20/100
1- FZ = (2,5; 0.1) = 1 - 0,9938 P= 0,0062
7.14 De 120 mujeres que padecieron rubeola durante los tres primeros meses de embarazo, nacieron 40 niños con defectos congenitos a dicha enfermedad y el resto normales. a) Calcular la probabilidad de encontrar una madre con un niño anormal en un grupo de 20 madres que sufrio el mismo riesgo. P= 40/120 = 0,3333
n= 20 P= 0,3333 P(X=1)
P=
20!
( 0,3333(1) (1- 0,3333)20-1 -
(20-1)!1!
20!
( 0,3333(0) (1- 0,3333)20-0
(20-0)!0!
F(1,20,0.3333) – F(0,20,0.3333) P=
b) Calcular la probabilidad de que en 50 madres que sufrieron el riesgo, todos los niños sean normales
n= 100 P= 0,3333 P(15 ≤ X ≤ 20 ) P=
100!
( 0,333320 (1- 0,3333)100-20 -
(100-20)!20!
100!
( 0,333315 (1- 0,3333)100-15
(100-15)!15!
P= c) Calcular la probabilidad de que en 50 madres que sufrieron el riesgo, todos los niños sean normales n=50 P(X=0) P= 0,3333 P=
50!
( 0,33330 (1- 0,3333)50-0
(50- 0)!0! P=
d) ¿Cual es la probabilidad de que el hijo sea normal para una madre que sufrio el riesgo?
n= 1 P(X=0) P= 0,3333
P=
1!
( 0,33330 (1- 0,3333)1-0
(1- 0)!0! P= 7.15 En los 200.000 egresos del año pasado de un sistema hospitalario se observo la siguiente distribucion: HOSPITAL NO DE PACIENTES A 92.000 B 20.000 C 6.000 D 82.000 a) ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente sea del hospital B?
b) ¿cuál es la probabilidad de que en una muestra al azar de 100 pacientes haya 400 o mas del hospital D?
n= 1000 P= 0,41 P( X ≥ 400) P= 1- P( X ≤ 399)
P= 1-
1000!
( 0,41)399 (1- 0,41)1000-399
(1000- 399)!399! P= c) ¿Cuál es la probabilidad de que en 5 pacientes al azar, dos mas sean del hospital A?
n= 5 P= 0,46 P( X ≥ 2) P= 1- P( X ≤ 1)
P= 1-
5!
( 0,46)1 (1- 0,46)5-1
(5- 1)!1! P= 1- 0,1955 P= 0,8045 d) ¿Cual es la probabilidad de que en una muestra al azar de 100 pacientes, 20 0 mas sean del hospital C?
n= 1000 P= 0,03 P( X ≥ 20) P= 1- P( X ≤ 19)
P=1-
1000! (1000- 19)!19!
P= 1- 0,00848 P= 0,9915
( 0,03)19 (1- 0,03)1000-19
