1. INT INTROD ODUC UCCI CIÓN ÓN La estructura es el conjunto mecánico encargado encargado de soportar soportar y transmitir transmitir las cargas cargas hasta las cimentaciones, donde serán absorbidas por el terreno. Para ello, las estructuras se encuentran constituidas por una serie de barras enlazadas entre sí. Las vigas son los principales elementos estructurales, la cual ofrece resistencia a la deformación; con eactitud a la fleión. !isten much muchos os m"to m"todo doss de cons conserv ervaci ación ón de ener energí gía, a, los los cuale cualess sirv sirven en para para el cálcu cálculo lo de las las defleiones de una viga; el primer m"todo de #astigliano es uno de ellos, es conocido como el más eacto para estas operaciones, ya $ue primero calcula el trabajo realizado por la fuerza cortante $ue aplica la cargas en dicha viga, y por %ltimo calcula lo $ue se desea en realidad& cuán deformable es el material $ vamos a utilizar en la fabricación de esta. Los teoremas y procedimientos relacionados con la energía de deformación ocupan una posición central en todo cálculo de estructuras. !n este trabajo se a intentará determinar la deformación de una viga, utilizando los teoremas de #astigliano. Pues calcular el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a cuerpos de temperatura constante, de material con comportamiento elástico lineal; es decir nos ayuda a calcular las defleiones producidas en una viga a causa de una determinada carga $ue debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para la construcción de estás seg%n su resistencia y para $ue propósito la necesitamos.
¿Para que nos sirve el método m étodo de Castigliano? !l m"todo de castigliano permite estudiar los desplazamientos $ue se verifican en los distintos puntos de una estructura, cuando la misma está sometida a cargas eternas. !n particular este m"todo se torna %til cuando en las secciones transversales surgen simultáneamente acciones aial aiales, es, accio accione ness corta cortant ntes, es, mome moment ntos os flect flector ores es y mome moment ntos os torso torsore res. s. !l m"to m"todo do de #astigliano tiene la gran ventaja de permitir ampliar el campo de problemas a analizar ya $ue se trata indistintamente a las vigas rectas y a las curvas, a las estructuras planas y a las estructuras tridimensionales.
. O!"# O!"#TI TI$O $O% % N# N#R' R'( ( !studiar y analizar el '"todo
.1. O!"#TI$O% #%P#C)*ICO% (nvestigar los dos teoremas propuestos en el '"todo de #astigliano para el cálculo de defleión y pendiente en una viga, armadura o un marco.
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(dentificar cuando podemos utilizar los teoremas de #astigliano para el cálculo la pendiente y
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la defleión de una estructura )plicar estos conocimientos mediante ejercicios $ue vinculen este tipo de cálculo en la deformación de una estructura y comparando $ue los resultados sean iguales a los demás m"todos estudiados.
+. ,#TODO(O&I' La manera en la $ue se llevará a cabo la presente investigación será utilizando la metodología analítica*sint"tica, ya $ue de acuerdo con el tema referido sobre el '"todo de #astigliano, estudiaremos el tema en cada una de sus partes para comprenderlas en forma individual y luego la integramos para aplicarla en los ejercicios $ue nos proponemos. !n atención a esta modalidad de investigación, y de acuerdo con la investigación propuesta se introducirán tres fases en el estudio, a fin de cumplir con los objetivos establecidos. !n la primera fase, investigaremos el autor de este m"todo, consultaremos el '"todo de #astigliano y sus diferentes teoremas para la determinación de la defleión y pendiente en la deformación de una estructura. !n la segunda fase de la investigación identificaremos cuando podemos aplicar este m"todo, por$ue en el estudio de estructuras encontraremos en varias ocasiones diferentes tipos de vigas como las determinadas y las indeterminadas en las cuales tendrán procedimientos específicos a cada una de ellas. Por %ltima fase, con todos estos conocimientos ad$uiridos podremos aplicarlos a los ejercicios propuestos en los diferentes libros de +esistencia de los 'ateriales $ue encontremos a nuestra disposición
-. !IO&R'*)' D# C'R(O '(!#RTO C'%TI&(I'NO. #arlo )lberto #astigliano - de noviembre de /01, )sti * 23 de octubre de //0, 'ilán 4 fue un italiano matemático y físico conocido por el m"todo de #astigliano para la determinación de los desplazamientos en un elástico*lineal del sistema sobre la base de las derivadas parciales de energía de deformación . )lberto #astigliano se trasladó desde la región de su nacimiento, Piamonte en el noroeste de (talia, para el (nstituto 5"cnico de 5erni en 6mbría 4 en /77. 8espu"s de cuatro a9os en 5erni , #astigliano se trasladó al norte de nuevo, esta vez para convertirse en un estudiante de la universidad de :iles. 8espu"s de tres a9os de estudio en :iles escribió una disertación en /1< titulado !lastici(ntornoaisistemi por la $ue es famoso. !n su tesis parece un teorema $ue ahora lleva el nombre de #astigliano. !sto se afirma $ue& La derivada parcial de la energía de deformación, considerada como una función de estas fuerzas, es igual al desplazamiento en la dirección de la fuerza de su punto de aplicación=. 8espu"s de graduarse de la universidad :iles, #astigliano era empleado de los ferrocarriles del norte de (talia. >e dirigió a la oficina responsable de la obra, mantenimiento y servicio y trabajó allí hasta su muerte a una edad temprana
. T#OR#,' D# C'%TI&(I'NO ?La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada=.
!ste es el teorema de #astigliano, llamado así en honor al ingeniero (taliano )lberto #astigliano /01*//04, $uien lo estableció. >i un cuerpo homog"neo, isotopo y elástico está sujeto a la acción de un sistema cual$uiera de fuerzas eteriores $ue lo mantiene en e$uilibrio, el trabajo de deformación almacenado en "l es función del sistema de cargas&
)demás, supondremos $ue los apoyos son fijos y $ue la función @ es diferenciable. !l incremento del trabajo puede entonces s escribirse en la forma&
!n donde&
#uando sobre el cuerpo solamente act%a la fuerza
>i aplicamos sobre el cuerpo una fuerza
>iempre $ue la carga cuerpo con el sistema
,
el trabajo efectuado es&
se produce una deformación
y un trabajo&
se apli$ue gradualmente. >i una vez efectuado este trabajo se carga al $ue desarrolla un trabajo
y produce una deformación
dirección de la fuerza aplicada* el trabajo de deformación en el cuerpo es&
Por tanto, el incremento del trabajo vale&
>ustituyendo el valor de la ecuación <.24 en la ecuación <.4 $ueda&
en
8ividiendo entre
#onsiderando ahora $ue el cuerpo en estudio solamente act%a el sistema , función contin%a y diferencial, se cumple&
siendo el trabajo
/. T#OR#,' D# C'%TI&(I'NO P'R' 'R,'DUR'%
7. EJERCICIOS Ejemplo 1 Calcular la máxima deformación de una viga simplemene apo!ada con una carga uniformemene disri"uida
Puesto que Q es imaginaria podemos ahora igualarla a cero.