ACTIVIDAD COLABORATIVA 3 ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL
DARÍO ORLANDO DITTA DIAZ. CÓDIGO: 1095810159 ELIZABETH SAAVEDRA CORTES CÓDIGO: 1096185811 HELBERTO JOHAN SIERRA CÓDIGO: 13851887 PAOLA ANDREA OSORIO OSORI O ARANGO CÓDIGO: 109!813 C"RSO: !0806#53
T"TOR: OSCAR IVAN IVAN VALDERRA$A VALDERRA$A
"NIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA % A DISTANCIA &"NAD'. CIENCIAS B(SICAS) TECNOLOGÍAS E INGENIERAS. BARRANCABER$EJA) NOVIE$BRE !015.
Introducción.
En este segundo trabajo colaborativo se revisaran las temáticas de la unidad número tres, análisis de derivadas y sus aplicaciones, mediante el análisis de unos ejercicios que serán de gran ayuda para el proceso de aprendizaje de cada uno de los integrantes del grupo colaborativo. El estudio de espacios vectoriales, son una herramienta fundamental en algebra lineal, y en esta fase introductoria se analizan las principales caractersticas y usos que se les puede dar, como una antesala a conceptos de más envergadura
Ejercicios de Álgebra Lineal S = {U 1 , U 2 }
1. Dado el conjunto
U 1=( 5, 1 )
donde
U 2=(−3,−2 )
y
.
2 Demostrar que S genera a R .
!"# $n conjunto dado, ! en este ejercicio, genera un espacio vectorial si todos los elementos del espacio vectorial pueden ser e%presados como una combinación lineal del conjunto. &dicionalmente, es necesario que todos los elementos del conjunto sean parte del espacio vectorial. S
'ara demostrar que el conjunto S
demostrar que los vectores
U 1
puede generar
U 2
y
b
R
2
, de manera que ya se U 1
y
U 2
generan R
2
, con coordenadas i y j, debe poder e%presarse
como combinación lineal de
U 1
y
U 2
#
b =k 1 U 1+ k 2 U 2
E%presado en t)rminos de componentes, ( b1 , b2 ) =k 1 (5 , 1 ) + k 2 (−3 ,−2 ) * bien, ( b1 , b2 ) =( 5 k 1 , k 1 ) +(−3 k 2 ,−2 k 2 ) 1
se intentará
. (ótese que dichos vectores, e%presado en
cumple una de las condiciones. &hora bien, si
(b
2
puede ser e%presado como una combinación lineal de
t)rminos de coordenadas, pertenecen a
un vector arbitrario
R
, b2 ) =( 5 k 1−3 k 2 , k 1− 2 k 2 )
Esto puede ser e%presado en un sistema de ecuaciones#
5 k 1−3 k 2=b1
k 1− 2 k 2=b2
El problema ahora se reduce a determinar si el sistema es consistente para b1
los valores de
b2
y
. 'ara ello la matriz de coeficientes, del sistema
de ecuaciones propuesto, debe ser invertible y por tanto su determinante diferente de cero. !ea la matriz de coeficientes &, A =
(
−3 −2
5 1
)
| |
DetA =
−3 =( 5∗−2 ) −( 1∗−3 )=−10 + 3 =−7 −2
5 1
'uesto que el determinante de & e%iste, e%iste un conjunto de valores b2
y de
b1
que satisfacen el sistema de ecuaciones, y por tanto e%isten valores k 1
y
k 2
, que permiten e%presar el conjunto U 1 ,U 2
combinación lineal de al espacio vectorial
R
2. Dado el conjunto V 1=(−1,2, −3,5 )
2
. 'or tanto, los vectores
S
como una
U 1 ,U 2
. V = {V 1 , V 2 ,V 3 }
, V 2=( 0,1,2,1 ) ,
definido en
V 2=( 2,0,1, −2 )
R
4
!"# El conjunto de vectores
V
. Donde
. Determinar si los
vectores de V son linealmente independientes.
k 1 V 1+ k 2 V 2+ k 3 V 3 =0
generan
, es linealmente independiente si#
+ los coeficientes
k 1
,
k 2
k 3
y
. !on iguales a cero. !e procede de la
siguiente manera, k 1 (−1,2,−3, 5 ) + k 2 ( 0,1,2,1 ) + k 3 ( 2,0,1, −2 )=0
ero en la ecuación es el vector de coordenadas
( 0,0,0,0 ) . 'or tanto,
(−k +2 k , 2 k + k , −3 k +2 k + k , 5 k +1 k −2 k ) =( 0,0,0,0 ) 1
3
1
2
1
2
3
1
2
3
* bien, −k 1+ 2 k 3=0 2 k 1 + k 2= 0
−3 k 1+ 2 k 2+ k 3=0 5 k 1 +k 2 −2 k 3=0
(ótese que el sistema tiene cuatro ecuaciones, pero solo tres incógnitas. 'or tanto, para resolverlo solo evaluaremos las tres primeras ecuaciones, para obtener un sistema de -%-# eescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz /solo las - primeras0 y lo resolvemos por el m)todo de eliminación de 1auss23ordan,
24
5
6
5
6
4
5
5
2-
6
4
5
4
5
26
5
6
4
5
5
2-
6
4
5
7ividamos la fila 4 por 24
&hora la fila 4 la multiplicamos por 26 y la sumamos a la fila 6. !e multiplica la fila 4 por - y se suma a la fila 6# 4
5
26
5
5
4
8
5
5
6
29
5
!e multiplica la fila 6 por 26 y se suma a la fila -# 4
5
26
5
5
4
8
5
5
5
24-
5
4
5
26
5
5
4
8
5
5
5
4
5
!e divide la fila - por 24-
:a fila - se multiplica por 28 y se suma a la fila 6. :a fila - semultiplica por 6 y se suma a la fila 4#
Resultado
4
5
5
5
5
4
5
5
5
5
4
5
;4 < 5 ;6 < 5 ;- < 5 *tras combinaciones de ecuaciones arrojan el mismo resultado. !e puede concluir que puesto que los coeficientes ;4, ;6 y ;- son cero, el conjunto = es linealmente independiente.
!. Dado el conjunto
S = {U 1 , U 2 }
donde
U 1=( 1 − x
3
)
y
U 1=(− x + 5 )
.
Determinar si S es o no una base de P3 . "# El conjunto S es una base de P si se cumplen las siguientes 3
condiciones, a$ S es linealmente independiente. b$
S
genera a P3
!e debe demostrar que
S
es linealmente independiente. 'ara ello debe
cumplirse qu)# 3 c 1 ( 1 − x ) + c 2 (− x + 5 )=0
on
c 1 =0
y
c 2=0
&l resolver las operaciones, −c1 x 3−c 2 x + ( c1 + 5 c 2 )=0 + luego reorganizar los t)rminos,
−c1 x 3=0 −c2 x =0 c 1+ 5 c2 =0
Estas ecuaciones se cumplen para todo % si, y solo si#
−c1 =0 (1 ) −c2 = 0 ( 2 ) c 1+ 5 c2 =0 ( 3 )
esulta claro de /40 y /60 que
c 1 =0
y
c 2=0
, con lo que se comprueba
la independencia lineal de de !. 'ara que
S
independiente,
sea una base de S
P3
, además de ser linealmente
debe ser generador de
P3
. !e procede a intentar
demostrar este hecho# 7e manera que
S
pueda ser generador de a
polinomio arbitrario de grado -, tal qu)# 3 2 3 b1 x + b2 x + b3 x + b4 =k 1 ( 1− x ) + k 2 (− x + 5 ) eorganizando según las potencias de %, 3 2 3 b1 x + b2 x + b3 x + b4 =−k 1 x − k 2 x + ( k 1+ 5 k 2 )
−k 1 x 3= b1 x 3 0 =b2 x
2
−k 2 x = b3 x k 1 + 5 k 2 =b4
>inalmente,
−k 1=b 1
P3
, debe e%istir un
0 = b2
−k 2=b 3 k 1 + 5 k 2 =b4
Este sistema tiene múltiples soluciones, por lo cual es un sistema generador de
P3
/Esto se infiera de que tiene más incógnitas que
ecuaciones0. 'uesto que
S
cumple con las dos condiciones requeridas, es linealmente
independiente y a su vez generador de P3
es una base de
P3
, queda demostrado que
S
.
%. Dados los vectores U =−6 i +9 j
y V =−i + 9 j &Es correcto afirmar
que el vector W =−11 i − 9 j es una combinaci'n lineal de U y V ( )ustificar la respuesta. !"#
W
contantes
es una combinación lineal de k 1
y
k 2
, tales qu)#
W = k 1 U + k 2 V
&l introducir los vectores# −11 i − 9 j = k 1 (−6 i + 9 j ) + k 2 (−i + 9 j ) 7e donde se tiene que, −11 i − 9 j =(−6 k 1−k 2 ) i+ ( 9 k 1 + 9 k 2) j
&l separarlo en componentes# (−6 k 1− k 2 ) i =−11 i
U
y
V
, si e%isten dos
( 9 k +9 k ) j =−9 j 1
2
eescribiendo los t)rminos, se obtiene el sistema# −6 k 1−k 2=−11 9 k 1 + 9 k 2=−9
!i al resolver el sistema se obtienen valores de satisfagan, entonces
W
k 1
será una combinación lineal de
k 2
y U
y
que lo V
. El
sistema propuesto se puede resolver por 1auss23ordan# eescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el m)todo de eliminación de 1auss23ordan 2?
24
244
@
@
2@
!e divide la fila 4 por 2?. 4
4"?
44"?
@
@
2@
!e multiplica la fila 4 por 2@ y se suma a la fila 6 4
4"?
44"?
5
A.9
269.9
4
4"?
44"?
5
4
2-.8
!e divide la fila 6 entre A.9
!e multiplica la fila 6 por 24"? y se suma a la fila 4 4
5
6.8
5
4
2-.8
Resultado 12 k 1= 2.4= 5
k 2=−3.4 =
−17 5
!e concluye entonces qu), puesto que e%isten dos escalares tales que, W = k 1 U + k 2 V W es una combinación lineal de
U y
V .
*. Dada la +atri -allar el rango de dic-a matri.
k 1
y
k 2
,
Escribimos de nuevo en la forma de una matriz
− 2 3 1
− 1 − 4 − 5
5
−2 1
dividido por - 2 la fila 1
1 3 1
− 2.5 −2
0.5
− 4 − 5
1
de fila 2,3 sustraemos la linea 1 multiplica da por 3,1 respectivamente
1 0 0
− 2.5 5.5 3.5
0.5 − 5.5 − 5.5
dividido por 5.5 la fila 2
1 0 0
− 2.5 1 3.5
− 1 − 5.5 0.5
de fila 1,3 sustraemos la linea 2 multiplica da por − 2.5,3.5 respectivamente
1 0 0
0 1 0
− 2 − 1 − 2
dividido por 2 la fila 3
1 0 0
0 1 0
− 2 − 1 1
de fila 1,2 sustraemos la linea 3 multiplica da por − 2,−1 respectivamente
1 0 0
0
0
1
0
0
1
Respuesta: Ya que hay 3 filas no nulas, entonces Rango = 3. o!pro"aci#n
onclusiones.
2 'ara hablar de espacios vectoriales y sus aplicaciones, tenemos que adquirir varios conceptos, conocimientos y realizar prácticas, las cuales nos permiten afianzar cada da más lo aprendido, por tal motivo en este trabajo se desarrollaron ejercicios que abarcan muchos temas y subtemas, que van a ser de gran ayuda a la hora de ejercer nuestra profesión, por ellos hay que familiarizarse para lograr muy buenos resultados.
2El buen manejo y uso de herramientas informáticas de avanzada como geogebra, las cuales nos permiten verificar la solución de cada uno de los problemas planteados, podemos verificar de una forma más segura y eficaz que la aplicación de nuestros conocimientos la estamos haciendo de manera correcta.
27ebido a la realización de los diferentes ejercicios se pudo retomar conocimiento teórico, que se adquieren con las variadas lecturas realizadas pertenecientes a los temas de la unidad y se llevan a la práctica por medio e cada situación planteada llevándonos a adquirir una agilidad matemática la cual es muy importante para nuestra profesión.
Bibliografa.
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Ecuaciones vectorial, sim)trica y param)trica de una recta en el espacio https#""CCC.youtube.com"CatchDv<;:v%FlgGy;
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