Determinación del Centro de Torsión
Resumen
Se presentan las ecuaciones para determinar el centro de torsión de una edificación de varios niveles, previa explicación de conceptos teóricos y aspectos relevantes del diseño por torsión sísmica. Introducción
En el Diseño Sísmico de Edificios se presenta el problema de la Torsión Sísmica, en el cual las construcciones sufren además de desplazamientos de traslación, fuertes desplazamientos de rotación que en gran medida han causado fallas en las estructuras durante sismos intensos, (Meli y Rosenbluet R osenblueth, h, 19861). En este artículo se presenta un planteamiento para determinar la posición del centro de torsión para una estructura de varios niveles. El centro de Torsión CT para un entrepiso, es el punto en el cual, si se aplica la fuerza horizontal sísmica, el movimiento provocado será solo de traslación sin que se produzca un par de torsión, también, el CT es el punto donde pasa la resultante de la distribución de rigideces de los elementos resistentes en planta del edificio (en color amarillo), como se muestra en la figura 1. El centro de Masas CM es el centro de gravedad de las cargas verticales y será el lugar donde se aplica la fuerza sísmica horizontal actuante (en color rojo y blanco).
Fuerza sísmica
Fuerza resistente
Figura 1.- Cuando el centro de masas CM, coincide con el centro de torsión CT, la Fuerza de
Inercia debida al sismo que pasa por CM y la resultante de las fuerzas resistentes que pasa por CT son colineales, el edificio sufre solo movimiento de traslación como se puede observar también en la siguiente animación: http://www.youtube.com/watch?v=3tmLiDWgbLM
En el caso anterior, se observa que la planta del edificio es asimétrica por lo tanto, el centro de Torsi Torsión ón CT, en en rea eallidad idad es esttará ará car cargado ado hacia acia el lad lado izq izqu uier ierdo de de la plan lanta y alg algo sim similar ilar ocu ocurre con el masas CM, y lo más probable es que no coincidan, por lo que se produce un par o momento de torsión y la planta del edificio sufre movimiento de traslación y de rotación simultáneamente. Otra animación del caso de torsión se encuentra en: http://www.youtube.com/watch?v=ayelQEdnapc&feature=related
Aún en las estructuras nominalmente simétricas las fuerzas sísmicas y de rigidez o resistentes no coinciden, es decir, existen excentricidades accidentales que provocan torsiones, (Escobar, 19962).
Fuerza sísmica
CT CM
Fuerza resistente
Figura 2.- Edifico asimétrico sujeto a torsión sísmica. La respuesta de la estructura se complica cuando la estructura pierde rigidez en un sismo intenso y el comportamiento deja de ser elástico, (Páez, Escobar y Gómez, 1999 3; Escobar Gómez y Páez 19994, Páez, 20055). Para la determinación de la posición del centro de torsión de una estructura de varios niveles, es necesario tomar en cuenta la interacción en los pisos de los diversos elementos que resistirán las cargas laterales. Solo en el caso de estructuras prismáticas compuestas por elementos cuyas rigideces a la flexión tengan una relación constantes en cada nivel a lo largo de su altura, el centro de torsión al nivel de cada piso se localiza en el "centroide" de rigideces a la flexión y queda en la misma posición a lo largo de toda la altura del edificio. Sin embargo, la mayoría de las estructuras no cumplen tal condición y determinar el centro de torsión considerando el "centroide" de rigideces de sus elementos en cada nivel puede ser incorrecto (Smith y Vézina, 19876). Determinación del centro de torsión para estructuras de varios niveles
Primeramente se considera una
en la que las fuerzas laterales provocan únicamente movimiento de traslación de los entrepisos para lo cual se plantean las siguientes hipótesis: a) La carga a nivel de cada piso debe actuar a través del centro de torsión de ese nivel. b) El par de torsión del edificio para esta condición es igual a cero en todos los niveles = 0, por lo tanto, el cortante externo resultante debe ser colineal con el cortante interno resultante en todos los niveles. c) Se acepta la hipótesis de diafragma rígido en cada nivel, es decir, si la estructura sufre únicamente traslación en cada nivel, las deformaciones de las columnas son iguales. Para lograr lo anterior en un modelo empleando un programa de análisis estructural se debe de restringir el grado de libertad al giro y así se pueden obtener las distribuciones de cortante en cada elemento y en cada entrepiso, a continuación planteamos el equilibrio desde el último nivel hacia abajo: condición inicial
� = ∑=1
(1)
en donde: FN es la carga lateral externa aplicada en el último piso N ViN cortante del i-ésimo elemento resistente del nivel inferior al último piso N Xi es la coordenada del i-ésimo elemento resistente XTN es la coordenada del centro de Torsión del último piso n es el número total de elementos resistentes inmediatamente abajo del último piso En el penúltimo piso (N-1), la resultante de las cargas externas, debe ser colineal con la resultante de las fuerzas cortantes de los elementos estructurales que están inmediatamente abajo del piso (N-1), por lo tanto: −1 �−1 + � = ∑=1 −1
de donde:
�−1 =
� ∑ −
(2)
(3)
De manera análoga procedemos hacia abajo piso por piso, y generalizando en el piso j:
� =
� ∑ − ∑
(4)
donde: n es el número total de elementos resistentes del piso j-ésimo N es el número total de niveles o pisos de la estructura En la ecuación (4) se observa que, la suma de las Fuerzas externas (Fr ) hasta el piso j+1, es igual a la suma de fuerzas cortantes justamente debajo de ese piso j+1, por lo tanto: � ∑ =+1 = ∑=1 (+1)
(5)
Por lo tanto, la ecuación (4), puede expresarse como:
� =
∑ −∑=1 ( +1)
(6)
La ecuación anterior sirve para determinar la posición del centro de torsión a nivel de cada piso y es similar a las expresiones que se emplean en la práctica del diseño por torsión, se puede consultar un ejemplo numérico en (Ávila,19917).
Referencias:
1.- Meli R. y Rosenblueth E., 1986,"El temblor de 1985: Causas y efectos en la ciudad de México", Revista del IMCYC 8(5), 23-24 2.- Escobar J .A., 1996,"Respuesta Sísmica de estructuras asimétricas inelásticas con propiedades inciertas", 11th World Conference on Earthquake Engineering, Acapulco,México. 3.- Páez, Escobar y Gómez, 1999, "Diseño de Edificios por Torsión, una tendencia alternativa", XII Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Morelia, Mich., México. 4.- Escobar, Gómez y Páez, 1999, "Evaluación de Tendencias por Torsión", Proyecto 9530, para la Dirección de Obras del Distrito Federal. 5.- Páez, 2005, "Requisito Complementario para Diseño de Edificios por Torsión Sísmica", Tesis de Maestría, Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México. 6.- Smith B., Vézina S., 1987, "Evaluación de Centros de Torsión". Revista IMCYC, vol. 25, núm. 195. 7.- Ávila J ., 1991, "Comentarios y ejemplos a las Normas Técnicas Complementarias para diseño por sismo, DDF", Series del Instituto de Ingeniería, ES-7, UNAM, México. Alfredo A. Páez Robles Profesor ESIA unidad Zacatenco
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