TIPOS DE VOLUMEN DE CONTROL Teorema del transporte de Reynolds (TTR) Para convertir el análisis de un sistema en el análisis de un volumen de control debemos utilizar nuestras matemáticas para poder aplicar las leyes básicas a regiones específicas en lugar de a masas concretas. Examinando estas leyes básicas, (3.1 a (3.3 y ( 3.!, vemos "ue todas se refieren a deri# vadas temporales de propiedades fluidas m, V, H y E . Por tanto, lo "ue necesitamos es relacionar la derivada temporal de una propiedad del sistema con la variaci$n de dic%a propiedad dentro de una regi$n concreta.
&a f$rmula de conversi$n difiere ligeramente seg'n se trate de vol'menes fios, m$viles o deformab deformables. les. &a )igura 3.* ilustra los tres casos.
Volumen de control !o un"d"mens"onal El volumen de control seleccionado es la regi$n de conducto entre la secci$n a y la secci$n b, "ue coincide exactamente con el sistema * en un instante determinado t . En el instante t + dt , el sistema * %a comenzado a salir del volumen de control y una pe"uea parte del sistema 1 %a entrado por la iz"uierda. &as áreas rayadas muestran un volumen saliente AbV b dt y un volumen entrante A entrante AaV a dt . &a cantidad total de - en el volumen de control es
&a derivada temporal de B de B/ está definida por la expresi$n
El primer t0rmino del segundo miembro es la variaci$n temporal de B dentro del sistema * en el instante en "ue ocupa el volumen de control. eagrupando la Ecuaci$n (3.2 obtenemos la f$rmula de conversi$n deseada deseada para para relaci relacionar onar las variaciones de cual"uier propiedad B de un sistema concreto en movimiento uni# dimensional con lo "ue ocurre en el volumen de control fio "ue en cierto instante encierra el sistema3
Esta expresi$n es el teorema del transporte de eynolds en forma unidimensional y para un volumen de control fio. &os tres t0rminos del segundo miembro son, respectivamente respectivamente 1. a ariaci$n riaci$n temporal de - dentro del volumen de control. *. )luo de - %acia el exterior exterior a trav0s de la superficie de control. control. 3. )luo de - %acia el interior interior a trav0s de la superficie de control. control.
Vollumen de control !o Vo
ar#"trar"o
/uando la propiedad B es la masa, la cantidad de movimiento, el momento cin0tico o la energía tenemos las leyes básicas en forma de volumen de control o forma integral. 4$tese "ue las tres integrales "ue aparecen están relacionadas con la propiedad propie dad intensiva β. /omo el volumen de control está fio en el espacio, los vo# l'menes elementales d no varían con
el tiempo, de forma "ue la derivada temporal "ue aparece en el se# gundo miembro se anulará a menos "ue β o ρ varíen con el tiempo (fluo no estacionario.
Vollumen de Vo
control mo$" m o$"%n %ndo dose se
a
5i el volumen de control se mueve con velocidad uniforme
V
s
$eloc"d $elo c"dad ad const constante ante
, como en la )igura 3.*b 3.* b,
6n observador fi(o al volumen de control verá al fluido atravesar la superficie de control con una velocidad relativa definida por Vr
=V–V
s
V
,
r
7onde V es la velocidad del fluido respecto al mismo sistema de referencia para el "ue la velocidad del vo volumen lumen de control es V
El teorema del transporte de eynolds en este caso de mo movimiento vimiento uniforme del volumen de control "ueda
Vo lumen de control Vol de &orma constante para $eloc"dad $ar"a#le
5i el volumen de control se mueve con una velocidad V s(t , , pero conservando su forma, los elementos de volumen no cambiarán con el tiempo, aun"ue la velocidad relativa Vr 8 V(r, t 9 V s(t "ueda algo más com plicada. &a Ecuaci$n sigue siendo válida para este caso, aun"ue el cálculo de la integral puede ser muy laborioso
Volumen de control con de&ormac"' de&ormac"'n n y mo$"m"ento ar#"trar"o ar#"trar"os s
El fluo de volumen a trav0s de la superficie de control es de nuevo proporcio proporcional nal a la velocidad relativa normal V n, como en la Ecuaci$n (3.1!. 5in embargo, como la superficie de control se deforma, con velocidad V 8 V (r, t , , la velocidad relativa V 8 V(r, t 9 V (r, t puede ser una funci$n complicada, aun"ue la integral del fluo sea la misma "ue en la Ecuaci$n ·
r
s
r
s
s
&a derivada temporal debe ser tomada después de la integraci$n. Para un vo volumen lumen de control deformable, el teorema del transporte adopta la forma
&a Ecuaci$n (3.1: del volumen de control m$vil y deformable s$lo contiene dos complicaciones3 (1 la derivada temporal de la integral triple debe ser tomada fuera de la integral, y (* la segunda int integr egral al involucra velocidades relativas V entre el fluido y la superficie de control r
